Tolkning: Alle \(\ln x\)-leddene kansellerer, mens \(\ln y\)-leddene gir koeffisienten 7.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, y = sp.symbols("x y", positive=True)
original = 2*sp.log(x*y**3) - sp.Rational(1,2)*sp.log(x**4/y**2)
first_expansion = 2*(sp.log(x) + 3*sp.log(y))
second_expansion = -sp.Rational(1,2)*(4*sp.log(x) - 2*sp.log(y))
combined = sp.expand(first_expansion + second_expansion)
simplified = sp.simplify(combined)
print("Original expression =", original)
print("Expansion of first term =", first_expansion)
print("Expansion of second term =", second_expansion)
print("Combined logarithms =", combined)
print("Coefficient of log(x) =", 2 - 2)
print("Coefficient of log(y) =", 6 + 1)
print("Simplified result =", simplified)
print("Equivalent single logarithm =", sp.log(y**7))
Utskrift fra Python:
Original expression = 2*log(x*y**3) - log(x**4/y**2)/2
Expansion of first term = 2*log(x) + 6*log(y)
Expansion of second term = -2*log(x) + log(y)
Combined logarithms = 7*log(y)
Coefficient of log(x) = 0
Coefficient of log(y) = 7
Simplified result = 7*log(y)
Equivalent single logarithm = log(y**7)
Fasit: Uttrykket blir \(7\ln y=\ln(y^7)\), for \(x>0\) og \(y>0\).
Vanlig feil: Å la faktoren \(-\frac12\) virke bare på det første leddet i parentesen.
Sensorpunkt: Fortegnene og koeffisientene ved logaritmereglene må håndteres korrekt.
Del 1 - Oppgave 3aVektorer - komponenter
Oppgave 3a
Oppgave: Punktene \(A(-2,-1)\), \(B(-1,-3)\) og \(C(3,-1)\) er gitt. Bestem \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{BC}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? En vektor fra et startpunkt til et sluttpunkt finnes ved sluttpunkt minus startpunkt.
Tolkning: GeoGebra beregner vektorene som sluttpunkt minus startpunkt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
A = sp.Matrix([-2, -1])
B = sp.Matrix([-1, -3])
C = sp.Matrix([3, -1])
AB = B - A
BC = C - B
check_B = A + AB
check_C = B + BC
print("A =", list(A))
print("B =", list(B))
print("C =", list(C))
print("AB = B - A =", list(AB))
print("BC = C - B =", list(BC))
print("A + AB =", list(check_B))
print("B + BC =", list(check_C))
Utskrift fra Python:
A = [-2, -1]
B = [-1, -3]
C = [3, -1]
AB = B - A = [1, -2]
BC = C - B = [4, 2]
A + AB = [-1, -3]
B + BC = [3, -1]
Fasit: \(\overrightarrow{AB}=[1,-2]\) og \(\overrightarrow{BC}=[4,2]\).
Vanlig feil: Å regne startpunkt minus sluttpunkt og dermed få motsatt retning.
Sensorpunkt: Begge komponentene skal beregnes med samme rekkefølge: slutt minus start.
Del 1 - Oppgave 3bVektorer - ortogonalitet
Oppgave 3b
Oppgave: Bruk vektorregning til å vise at \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? To ikke-null vektorer står normalt på hverandre når skalarproduktet er null.
Siden skalarproduktet er 0, er vektorene ortogonale.
Steg 5 - Kontroller at vektorene ikke er nullvektorer
Begge har positiv lengde, så kriteriet kan brukes uten tvil.
Steg 6 - Konkluder geometrisk
Dermed er vinkelen \(\angle ABC=90^{\circ}\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Dot[Vector[A,B],Vector[B,C]]
\(0\)
2
Angle[Vector[A,B],Vector[B,C]]
\(90^{\circ}\)
Tolkning: Null skalarprodukt bekrefter at vektorene er vinkelrette.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
AB = sp.Matrix([1, -2])
BC = sp.Matrix([4, 2])
dot_product = AB.dot(BC)
length_AB = sp.sqrt(AB.dot(AB))
length_BC = sp.sqrt(BC.dot(BC))
cos_angle = sp.simplify(dot_product/(length_AB*length_BC))
print("AB =", list(AB))
print("BC =", list(BC))
print("AB dot BC =", dot_product)
print("Length of AB =", length_AB)
print("Length of BC =", length_BC)
print("cos(angle) =", cos_angle)
print("The vectors are perpendicular =", dot_product == 0)
Utskrift fra Python:
AB = [1, -2]
BC = [4, 2]
AB dot BC = 0
Length of AB = sqrt(5)
Length of BC = 2*sqrt(5)
cos(angle) = 0
The vectors are perpendicular = True
Fasit: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0\), derfor \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}\).
Vanlig feil: Å konkludere med parallellitet når skalarproduktet blir null.
Sensorpunkt: Sensor forventer både beregningen av skalarproduktet og den eksplisitte konklusjonen om 90 graders vinkel.
Del 1 - Oppgave 3cVektorer - parallellitet
Oppgave 3c
Oppgave: Punktet \(D(t,t^2+2)\) er gitt. Bestem \(t\) slik at \(\overrightarrow{CD}\parallel\overrightarrow{AB}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker \(\overrightarrow{CD}\) og bruker at parallelle vektorer har determinant lik null.
For \([u_1,u_2]\parallel[v_1,v_2]\) må \(u_1v_2-u_2v_1=0\).
Steg 4 - Sett inn
\[(t-3)(-2)-(t^2+3)\cdot1=0.\]
Steg 5 - Forenkle likningen
\[-2t+6-t^2-3=0\iff t^2+2t-3=0.\]
Steg 6 - Faktoriser
\[(t+3)(t-1)=0.\]
Steg 7 - Finn løsningene
\[t=-3\quad\text{eller}\quad t=1.\]
Steg 8 - Kontroller retningen
For \(t=1\) blir \(\overrightarrow{CD}=[-2,4]=-2\overrightarrow{AB}\). For \(t=-3\) blir \([-6,12]=-6\overrightarrow{AB}\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[Determinant[{{t-3,t^2+3},{1,-2}}]=0,t]
\(t=-3\) eller \(t=1\)
Tolkning: Begge verdiene gjør \(\overrightarrow{CD}\) til et skalarmultiplum av \(\overrightarrow{AB}\).
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
C = sp.Matrix([3, -1])
D = sp.Matrix([t, t**2 + 2])
AB = sp.Matrix([1, -2])
CD = D - C
determinant = sp.expand(CD[0]*AB[1] - CD[1]*AB[0])
solutions = sp.solve(sp.Eq(determinant, 0), t)
print("CD(t) =", list(CD))
print("AB =", list(AB))
print("Parallelism determinant =", determinant)
print("Factored equation =", sp.factor(determinant))
print("Solutions for t =", solutions)
for value in solutions:
vector = CD.subs(t, value)
print("t =", value, "gives CD =", list(vector), "and scale factor =", sp.simplify(vector[0]/AB[0]))
Utskrift fra Python:
CD(t) = [t - 3, t**2 + 3]
AB = [1, -2]
Parallelism determinant = -t**2 - 2*t + 3
Factored equation = -(t - 1)*(t + 3)
Solutions for t = [-3, 1]
t = -3 gives CD = [-6, 12] and scale factor = -6
t = 1 gives CD = [-2, 4] and scale factor = -2
Fasit: \(t=-3\) eller \(t=1\).
Vanlig feil: Å kreve at de parallelle vektorene må være helt like; de kan være alle ikke-null skalarmultipler.
Sensorpunkt: Begge løsningene skal finnes og kontrolleres som skalarmultipler av \(\overrightarrow{AB}\).
Del 1 - Oppgave 4aPolynom - faktorsetningen
Oppgave 4a
Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=x^3+kx+12\). Bestem \(k\) slik at divisjonen \(f(x):(x-1)\) går opp.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Faktor-/restsetningen sier at divisjonen med \(x-1\) går opp akkurat når \(f(1)=0\).
Steg 1 - Bruk restsetningen
Kravet er \(f(1)=0\).
Steg 2 - Sett inn \(x=1\)
\[f(1)=1^3+k\cdot1+12.\]
Steg 3 - Forenkle
\[f(1)=k+13.\]
Steg 4 - Sett resten lik null
\[k+13=0.\]
Steg 5 - Løs likningen
\[k=-13.\]
Steg 6 - Kontroller
Med \(k=-13\) får vi \(f(1)=1-13+12=0\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[(1)^3+k(1)+12=0,k]
\(k=-13\)
Tolkning: CAS finner parameterverdien som gjør resten ved divisjon med \(x-1\) lik null.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, k = sp.symbols("x k", real=True)
f = x**3 + k*x + 12
remainder_at_one = sp.expand(f.subs(x, 1))
solution = sp.solve(sp.Eq(remainder_at_one, 0), k)
selected_k = solution[0]
controlled_polynomial = sp.expand(f.subs(k, selected_k))
print("f(x) =", f)
print("Remainder when dividing by x - 1 is f(1) =", remainder_at_one)
print("Equation for k:", remainder_at_one, "= 0")
print("Solution for k =", solution)
print("Polynomial with this k =", controlled_polynomial)
print("Check f(1) =", controlled_polynomial.subs(x, 1))
Utskrift fra Python:
f(x) = k*x + x**3 + 12
Remainder when dividing by x - 1 is f(1) = k + 13
Equation for k: k + 13 = 0
Solution for k = [-13]
Polynomial with this k = x**3 - 13*x + 12
Check f(1) = 0
Fasit: \(k=-13\).
Vanlig feil: Å utføre lang polynomdivisjon før parameteren er bestemt, uten å bruke restsetningen.
Sensorpunkt: Det må komme tydelig fram hvorfor \(f(1)=0\) er riktig betingelse.
Del 1 - Oppgave 4bPolynomdivisjon og faktorisering
Oppgave 4b
Oppgave: Sett inn verdien for \(k\) fra a, og skriv \(f(x)\) som et produkt av lineære faktorer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi setter \(k=-13\), deler med den kjente faktoren \(x-1\) og faktoriserer andregradsfaktoren.
Steg 1 - Sett inn parameteren
\[f(x)=x^3-13x+12.\]
Steg 2 - Del med \(x-1\)
Polynomdivisjonen gir \[x^3-13x+12=(x-1)(x^2+x-12).\]
Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket
Vi søker to tall med produkt \(-12\) og sum \(1\): \(4\) og \(-3\).
Steg 4 - Skriv faktoriseringen
\[x^2+x-12=(x+4)(x-3).\]
Steg 5 - Samle alle faktorene
\[f(x)=(x-1)(x+4)(x-3).\]
Steg 6 - Les av nullpunktene
Nullpunktene er \(x=1\), \(x=-4\) og \(x=3\).
Steg 7 - Kontroller ved utvidelse
Utvidelse gir \(x^3-13x+12\), slik den skal.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
PolynomialDivision[x^3-13x+12,x-1]
Kvotient \(x^2+x-12\), rest 0
2
Factor[x^3-13x+12]
\((x-1)(x+4)(x-3)\)
Tolkning: CAS bekrefter både divisjonen og full faktorisering.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**3 - 13*x + 12
quotient, remainder = sp.div(f, x - 1)
factored_quadratic = sp.factor(quotient)
full_factorization = sp.factor(f)
expanded_check = sp.expand(full_factorization)
roots = sp.solve(sp.Eq(f, 0), x)
print("f(x) =", f)
print("Quotient after division by x - 1 =", quotient)
print("Remainder =", remainder)
print("Factored quotient =", factored_quadratic)
print("Full factorization =", full_factorization)
print("Roots =", roots)
print("Expansion check =", expanded_check)
print("Difference from original =", sp.simplify(expanded_check - f))
Utskrift fra Python:
f(x) = x**3 - 13*x + 12
Quotient after division by x - 1 = x**2 + x - 12
Remainder = 0
Factored quotient = (x - 3)*(x + 4)
Full factorization = (x - 3)*(x - 1)*(x + 4)
Roots = [-4, 1, 3]
Expansion check = x**3 - 13*x + 12
Difference from original = 0
Fasit: \(f(x)=(x-1)(x+4)(x-3)\).
Vanlig feil: Å stoppe etter \((x-1)(x^2+x-12)\) selv om oppgaven ber om lineære faktorer.
Sensorpunkt: Alle tre lineære faktorene og en kontroll ved utvidelse bør framgå.
Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer telleren og lager en fortegnsvurdering rundt nullpunktene og den utelukkede verdien.
Steg 1 - Faktoriser telleren
\[x^2+x-12=(x+4)(x-3).\]
Steg 2 - Skriv uttrykket faktorisert
\[\frac{(x+4)(x-3)}{x-1}\ge0.\]
Steg 3 - Finn kritiske punkter
Telleren er null ved \(x=-4\) og \(x=3\). Nevneren er null ved \(x=1\).
Steg 4 - Del tallinjen
Intervallene er \(( -\infty,-4)\), \((-4,1)\), \((1,3)\) og \((3,\infty)\).
Steg 5 - Bestem fortegn
Uttrykket er negativt, positivt, negativt og positivt i de fire intervallene i denne rekkefølgen.
Steg 6 - Ta med nullpunktene
Fordi ulikheten er \(\ge0\), tas \(-4\) og \(3\) med.
Steg 7 - Utelukk nevnerens nullpunkt
\(x=1\) kan aldri tas med fordi uttrykket ikke er definert der.
Steg 8 - Skriv løsningsmengden
\[x\in[-4,1)\cup[3,\infty).\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[(x^2+x-12)/(x-1)>=0,x]
\([-4,1)\cup[3,\infty)\)
Tolkning: CAS tar med tellerens nullpunkter, men utelukker nevnerens nullpunkt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
expression = (x**2 + x - 12)/(x - 1)
factored = sp.factor(expression)
critical_points = [-4, 1, 3]
test_points = [-5, 0, 2, 4]
signs = [sp.sign(sp.N(expression.subs(x, p))) for p in test_points]
solution = sp.solve_univariate_inequality(expression >= 0, x)
print("Expression =", expression)
print("Factored expression =", factored)
print("Critical points =", critical_points)
print("Test points =", test_points)
print("Signs on the four intervals =", signs)
print("Numerator at x = -4 =", (x**2 + x - 12).subs(x, -4))
print("Numerator at x = 3 =", (x**2 + x - 12).subs(x, 3))
print("Denominator at x = 1 =", (x - 1).subs(x, 1))
print("Solution set =", solution)
Utskrift fra Python:
Expression = (x**2 + x - 12)/(x - 1)
Factored expression = (x - 3)*(x + 4)/(x - 1)
Critical points = [-4, 1, 3]
Test points = [-5, 0, 2, 4]
Signs on the four intervals = [-1, 1, -1, 1]
Numerator at x = -4 = 0
Numerator at x = 3 = 0
Denominator at x = 1 = 0
Solution set = (3 <= x) | ((-4 <= x) & (x < 1))
Fasit: \(x\in[-4,1)\cup[3,\infty)\).
Vanlig feil: Å inkludere \(x=1\) fordi fortegnsskiftet tegnes på tallinjen.
Sensorpunkt: Endepunktene må ha riktige åpne/lukkede parenteser.
Del 1 - Oppgave 5aSannsynlighet - produktregelen
Oppgave 5a
Oppgave: 40 % av laderne kommer fra A, og 3 % av laderne fra A er defekte. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig lader kommer fra A og er defekt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en snittsannsynlighet ved å multiplisere sannsynligheten for A med den betingede sannsynligheten for defekt gitt A.
Steg 1 - Definer hendelser
La \(A\) bety «fra leverandør A» og \(D\) bety «defekt».
Steg 2 - Les av sannsynlighetene
\[P(A)=0{,}40,\qquad P(D\mid A)=0{,}03.\]
Steg 3 - Bruk produktregelen
\[P(A\cap D)=P(A)P(D\mid A).\]
Steg 4 - Sett inn
\[P(A\cap D)=0{,}40\cdot0{,}03.\]
Steg 5 - Regn ut
\[P(A\cap D)=0{,}012.\]
Steg 6 - Gjør om til prosent
\[0{,}012=1{,}2\,\%.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
0.40*0.03
\(0.012\)
Tolkning: Produktet er sannsynligheten for at begge hendelsene skjer samtidig.
Grafen skjærer x-aksen i \((0,0)\) og \((\ln3,0)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[exp(2x)-4exp(x)+3=0,x]
\(x=0\) eller \(x=\ln3\)
Tolkning: CAS finner de to reelle nullpunktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, u = sp.symbols("x u", real=True)
f = sp.exp(2*x) - 4*sp.exp(x) + 3
quadratic_in_u = u**2 - 4*u + 3
u_roots = sp.solve(sp.Eq(quadratic_in_u, 0), u)
x_roots = sp.solve(sp.Eq(f, 0), x)
print("f(x) =", f)
print("Substitution u = exp(x) gives =", quadratic_in_u)
print("Factored quadratic =", sp.factor(quadratic_in_u))
print("Solutions for u =", u_roots)
print("Solutions for x =", x_roots)
for root in x_roots:
print("f(", root, ") =", sp.simplify(f.subs(x, root)))
print("Decimal x-values =", [sp.N(root, 10) for root in x_roots])
Utskrift fra Python:
f(x) = exp(2*x) - 4*exp(x) + 3
Substitution u = exp(x) gives = u**2 - 4*u + 3
Factored quadratic = (u - 3)*(u - 1)
Solutions for u = [1, 3]
Solutions for x = [0, log(3)]
f( 0 ) = 0
f( log(3) ) = 0
Decimal x-values = [0, 1.098612289]
Fasit: Nullpunktene er \(x=0\) og \(x=\ln3\approx1{,}10\).
Vanlig feil: Å løse \(e^{2x}\) som om det var \(2e^x\).
Sensorpunkt: Substitusjonen \(u=e^x\) og tilbakeføringen til x må vises.
Del 1 - Oppgave 6bEkstremalpunkt
Oppgave 6b
Oppgave: Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til \(f(x)=e^{2x}-4e^x+3\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner stasjonære punkter ved \(f^{\prime}(x)=0\) og klassifiserer dem med den andrederiverte.
Steg 1 - Deriver
\[f^{\prime}(x)=2e^{2x}-4e^x=2e^x(e^x-2).\]
Steg 2 - Sett den deriverte lik null
\[2e^x(e^x-2)=0.\]
Steg 3 - Bruk at \(e^x>0\)
Derfor må \(e^x-2=0\), altså \(x=\ln2\).
Steg 4 - Finn y-verdien
\[f(\ln2)=2^2-4\cdot2+3=-1.\]
Steg 5 - Finn andrederivert
\[f^{\prime\prime}(x)=4e^{2x}-4e^x.\]
Steg 6 - Klassifiser
\[f^{\prime\prime}(\ln2)=16-8=8>0.\] Punktet er derfor et bunnpunkt.
Steg 7 - Konkluder
Grafen har bunnpunkt \((\ln2,-1)\) og ikke noe toppunkt.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Extremum[exp(2x)-4exp(x)+3]
Bunnpunkt \((\ln2,-1)\)
Tolkning: Den positive andrederiverte i det stasjonære punktet bekrefter minimum.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = sp.exp(2*x) - 4*sp.exp(x) + 3
f_prime = sp.diff(f, x)
f_second = sp.diff(f_prime, x)
stationary = sp.solve(sp.Eq(f_prime, 0), x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", sp.factor(f_prime))
print("Stationary x-values =", stationary)
for value in stationary:
print("At x =", value, "the y-value is", sp.simplify(f.subs(x, value)))
print("Second derivative there =", sp.simplify(f_second.subs(x, value)))
print("f''(x) =", sp.factor(f_second))
print("Classification: positive second derivative means a local minimum")
Utskrift fra Python:
f(x) = exp(2*x) - 4*exp(x) + 3
f'(x) = 2*(exp(x) - 2)*exp(x)
Stationary x-values = [log(2)]
At x = log(2) the y-value is -1
Second derivative there = 8
f''(x) = 4*(exp(x) - 1)*exp(x)
Classification: positive second derivative means a local minimum
Fasit: Bunnpunktet er \((\ln2,-1)\). Det finnes ikke noe toppunkt.
Vanlig feil: Å kalle punktet et toppunkt uten å kontrollere fortegn eller andrederivert.
Sensorpunkt: Både koordinater og klassifisering skal være med.
Del 1 - Oppgave 6cVendepunkt
Oppgave 6c
Oppgave: Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til \(f(x)=e^{2x}-4e^x+3\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Et vendepunkt krever at krumningen skifter fortegn. Vi finner kandidater fra \(f^{\prime\prime}(x)=0\).
Steg 1 - Bruk andrederiverten
\[f^{\prime\prime}(x)=4e^{2x}-4e^x=4e^x(e^x-1).\]
Steg 2 - Sett lik null
\[4e^x(e^x-1)=0.\]
Steg 3 - Løs
Fordi \(e^x>0\), får vi \(e^x=1\), altså \(x=0\).
Steg 4 - Finn y-verdien
\[f(0)=1-4+3=0.\]
Steg 5 - Kontroller fortegnsskifte
For \(x<0\) er \(e^x-1<0\), så \(f^{\prime\prime}<0\). For \(x>0\) er \(f^{\prime\prime}>0\).
Steg 6 - Konkluder
Krumningen skifter fra konkav ned til konkav opp i \((0,0)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[Derivative[exp(2x)-4exp(x)+3,x,2]=0,x]
\(x=0\)
2
Substitute[exp(2x)-4exp(x)+3,x,0]
\(0\)
Tolkning: Fortegnsskiftet i andrederiverten gjør kandidaten til et reelt vendepunkt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = sp.exp(2*x) - 4*sp.exp(x) + 3
f_second = sp.factor(sp.diff(f, x, 2))
candidates = sp.solve(sp.Eq(f_second, 0), x)
left_test = sp.N(f_second.subs(x, -1))
right_test = sp.N(f_second.subs(x, 1))
print("f''(x) =", f_second)
print("Candidate x-values =", candidates)
for value in candidates:
print("Candidate point =", (value, sp.simplify(f.subs(x, value))))
print("f''(-1) =", left_test)
print("f''(1) =", right_test)
print("Sign change from negative to positive =", left_test < 0 and right_test > 0)
print("Inflection point =", (0, f.subs(x, 0)))
Utskrift fra Python:
f''(x) = 4*(exp(x) - 1)*exp(x)
Candidate x-values = [0]
Candidate point = (0, 0)
f''(-1) = -0.930176631739319
f''(1) = 18.6830970818864
Sign change from negative to positive = True
Inflection point = (0, 0)
Fasit: Vendepunktet er \((0,0)\).
Vanlig feil: Å sette \(f^{\prime}(x)=0\) i stedet for \(f^{\prime\prime}(x)=0\), eller å glemme å kontrollere fortegnsskifte.
Sensorpunkt: Det må dokumenteres at andrederiverten faktisk skifter fortegn.
Del 1 - Oppgave 6dGrafskisse
Oppgave 6d
Oppgave: Lag en skisse av grafen til \(f(x)=e^{2x}-4e^x+3\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi kombinerer nullpunkter, bunnpunkt, vendepunkt, monotoni, krumning og endeadferd.
Steg 1 - Marker nullpunktene
Grafen går gjennom \((0,0)\) og \((\ln3,0)\).
Steg 2 - Marker bunnpunktet
Bunnpunktet er \((\ln2,-1)\).
Steg 3 - Marker vendepunktet
Vendepunktet er \((0,0)\), som samtidig er et nullpunkt.
Steg 4 - Beskriv monotonien
Fordi \(f^{\prime}(x)=2e^x(e^x-2)\), avtar grafen for \(x<\ln2\) og øker for \(x>\ln2\).
Steg 5 - Beskriv krumningen
Grafen er konkav ned for \(x<0\) og konkav opp for \(x>0\).
Steg 6 - Finn venstre endeadferd
Når \(x\to-\infty\), går \(e^x\to0\), og dermed \(f(x)\to3\). Linjen \(y=3\) er en horisontal asymptote mot venstre.
Steg 7 - Finn høyre endeadferd
Når \(x\to\infty\), dominerer \(e^{2x}\), og \(f(x)\to\infty\).
Steg 8 - Tegn en sammenhengende kurve
Skissen nedenfor tilfredsstiller alle disse egenskapene.
Kontrollert grafskisse med nullpunkter, bunnpunkt, vendepunkt og asymptote.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
f(x)=exp(2x)-4exp(x)+3
Tegn graf
2
Extremum[f]
\((\ln2,-1)\)
3
InflectionPoint[f]
\((0,0)\)
Tolkning: Grafen visualiserer de analytisk bestemte nøkkelpunktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = sp.exp(2*x) - 4*sp.exp(x) + 3
f_prime = sp.factor(sp.diff(f, x))
f_second = sp.factor(sp.diff(f, x, 2))
zeros = sp.solve(sp.Eq(f, 0), x)
minimum_x = sp.log(2)
inflection_x = sp.Integer(0)
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Zeros =", zeros)
print("Minimum point =", (minimum_x, sp.simplify(f.subs(x, minimum_x))))
print("Inflection point =", (inflection_x, f.subs(x, inflection_x)))
print("f'(x) =", f_prime)
print("f''(x) =", f_second)
print("Limit as x -> -infinity =", left_limit)
print("Limit as x -> infinity =", right_limit)
print("Horizontal asymptote on the left: y =", left_limit)
Utskrift fra Python:
Zeros = [0, log(3)]
Minimum point = (log(2), -1)
Inflection point = (0, 0)
f'(x) = 2*(exp(x) - 2)*exp(x)
f''(x) = 4*(exp(x) - 1)*exp(x)
Limit as x -> -infinity = 3
Limit as x -> infinity = oo
Horizontal asymptote on the left: y = 3
Fasit: Skissen går mot \(y=3\) mot venstre, passerer \((0,0)\), har bunnpunkt \((\ln2,-1)\), passerer \((\ln3,0)\) og går mot \(\infty\).
Vanlig feil: Å tegne grafen symmetrisk som en parabel; dette er en eksponentialfunksjon med ulik endeadferd mot venstre og høyre.
Sensorpunkt: Alle nøkkelpunkter og riktig monoton/krumningsmessig form skal være synlige.
Del 1 - Oppgave 7aFormlikhet
Oppgave 7a
Oppgave: En rettvinklet trekant har sider \(a\), \(b\) og hypotenus \(c\). Sidene multipliseres henholdsvis med \(c\), \(b\) og \(a\) for å lage tre nye trekanter. Begrunn at de tre trekantene er formlike.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Hver ny trekant er en skalering av den opprinnelige trekanten med én fast faktor.
Steg 1 - Første trekant
Den første har sider \(ac\), \(bc\) og \(c^2\). Dette er \((a,b,c)\) multiplisert med \(c\).
Steg 2 - Andre trekant
Den andre har sider \(ab\), \(b^2\) og \(bc\). Dette er \((a,b,c)\) multiplisert med \(b\).
Steg 3 - Tredje trekant
Den tredje har sider \(a^2\), \(ab\) og \(ac\). Dette er \((a,b,c)\) multiplisert med \(a\).
Steg 4 - Sammenlign sideforholdene
I alle trekantene er forholdet mellom samsvarende sider \(a:b:c\).
Steg 5 - Bruk SSS-kriteriet
Når alle tre samsvarende sidepar er proporsjonale, er trekantene formlike.
Steg 6 - Konkluder om vinklene
De tre trekantene har derfor de samme vinklene som den opprinnelige rettvinklede trekanten.
De tre trekantene er skaleringer av den samme rettvinklede trekanten.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Polygon[(0,0),(a*c,0),(0,b*c)]
Trekant skalert med \(c\)
2
Dilate[original,b]
Trekant skalert med \(b\)
3
Dilate[original,a]
Trekant skalert med \(a\)
Tolkning: Skalering bevarer vinkler og gir proporsjonale sider.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
a, b, c = sp.symbols("a b c", positive=True)
original = sp.Matrix([a, b, c])
triangle_1 = c*original
triangle_2 = b*original
triangle_3 = a*original
ratios_12 = [sp.simplify(triangle_1[i]/triangle_2[i]) for i in range(3)]
ratios_13 = [sp.simplify(triangle_1[i]/triangle_3[i]) for i in range(3)]
print("Original side vector =", list(original))
print("Triangle scaled by c =", list(triangle_1))
print("Triangle scaled by b =", list(triangle_2))
print("Triangle scaled by a =", list(triangle_3))
print("Corresponding ratios triangle 1 / triangle 2 =", ratios_12)
print("Corresponding ratios triangle 1 / triangle 3 =", ratios_13)
print("All three corresponding ratios are constant within each comparison")
Utskrift fra Python:
Original side vector = [a, b, c]
Triangle scaled by c = [a*c, b*c, c**2]
Triangle scaled by b = [a*b, b**2, b*c]
Triangle scaled by a = [a**2, a*b, a*c]
Corresponding ratios triangle 1 / triangle 2 = [c/b, c/b, c/b]
Corresponding ratios triangle 1 / triangle 3 = [c/a, c/a, c/a]
All three corresponding ratios are constant within each comparison
Fasit: De tre trekantene er formlike etter SSS fordi de er skaleringer av samme trekant med faktorene \(c\), \(b\) og \(a\).
Vanlig feil: Å sammenligne sider som ikke svarer til hverandre.
Sensorpunkt: Argumentet må tydelig vise en felles skaleringsfaktor for hver trekant eller tre like sideforhold.
Del 1 - Oppgave 7bVinkelargument
Oppgave 7b
Oppgave: De tre trekantene settes sammen som i figuren. Begrunn at \(E\), \(D\) og \(C\) ligger på en rett linje.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker de to spisse vinklene i den opprinnelige rettvinklede trekanten og vinkelsummen rundt punktet D.
Steg 1 - Navngi de spisse vinklene
La de spisse vinklene i den opprinnelige trekanten være \(\alpha\) og \(\beta\). Da er \(\alpha+\beta=90^{\circ}\).
Steg 2 - Bruk formlikheten på venstre trekant
Vinkelen \(\angle EDA\) svarer til den ene spisse vinkelen, for eksempel \(\beta\).
Steg 3 - Bruk den midterste trekanten
Vinkelen \(\angle ADB\) ligger mellom katetene \(ac\) og \(bc\), og er derfor \(90^{\circ}\).
Steg 4 - Bruk formlikheten på høyre trekant
Vinkelen \(\angle BDC\) svarer til den andre spisse vinkelen \(\alpha\).
En samlet vinkel på \(180^{\circ}\) betyr at strålene \(DE\) og \(DC\) er motsatt rettet. Dermed er E, D og C kollineære.
Vinklene ved D summerer seg til en rett vinkel.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
alpha+90deg+beta
\(180^{\circ}\) når \(\alpha+\beta=90^{\circ}\)
Tolkning: Vinkelsummen på oversiden av D er en rett vinkel på 180 grader.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
alpha, beta = sp.symbols("alpha beta", positive=True)
right_triangle_relation = sp.Eq(alpha + beta, 90)
angle_EDA = beta
angle_ADB = 90
angle_BDC = alpha
sum_at_D = angle_EDA + angle_ADB + angle_BDC
substituted_sum = sp.simplify(sum_at_D.subs(beta, 90 - alpha))
print("Acute-angle relation =", right_triangle_relation)
print("Angle EDA =", angle_EDA)
print("Angle ADB =", angle_ADB)
print("Angle BDC =", angle_BDC)
print("Sum before substitution =", sum_at_D)
print("Sum using beta = 90 - alpha =", substituted_sum)
print("A 180-degree sum means E, D and C are collinear")
Utskrift fra Python:
Acute-angle relation = Eq(alpha + beta, 90)
Angle EDA = beta
Angle ADB = 90
Angle BDC = alpha
Sum before substitution = alpha + beta + 90
Sum using beta = 90 - alpha = 180
A 180-degree sum means E, D and C are collinear
Fasit: \(\angle EDC=180^{\circ}\), derfor ligger \(E\), \(D\) og \(C\) på en rett linje.
Vanlig feil: Å anta kollinearitet bare fordi figuren ser slik ut.
Sensorpunkt: Vinkelargumentet med \(\alpha+\beta=90^{\circ}\) må være eksplisitt.
Del 1 - Oppgave 7cGeometrisk bevis for Pytagoras
Oppgave 7c
Oppgave: Forklar at firkanten \(ABCE\) er et rektangel. Hvordan viser dette at Pytagoras’ setning gjelder?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi viser først at ytterfiguren er et rektangel, og sammenligner deretter lengdene av de motstående sidene.
Steg 1 - Finn de loddrette sidene
I de ytre rettvinklede trekantene er \(AE=ab\) og \(BC=ab\). Dermed er \(AE=BC\).
Steg 2 - Vis parallellitet
Både \(AE\) og \(BC\) står vinkelrett på den rette linjen \(EC\), og er derfor parallelle.
Steg 3 - Bruk parallellogramkriteriet
Et firkant med ett par motstående sider som både er parallelle og like lange, er et parallellogram.
Steg 4 - Bruk den rette vinkelen
Parallellogrammet har en rett vinkel ved E (og C), og er derfor et rektangel.
Steg 5 - Sammenlign motstående sider
I et rektangel er \(AB=EC\).
Steg 6 - Les av lengden AB
Den nederste siden er hypotenusen i den midterste trekanten og har lengde \(AB=c^2\).
Steg 7 - Les av lengden EC
\[EC=ED+DC=a^2+b^2.\]
Steg 8 - Sett likt
\[c^2=a^2+b^2.\] Dette er Pytagoras’ setning.
Rektangelets motstående sider gir likheten mellom c² og a²+b².
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Length[AB]
\(c^2\)
2
Length[EC]
\(a^2+b^2\)
3
Equation[Length[AB]=Length[EC]]
\(c^2=a^2+b^2\)
Tolkning: Likheten mellom motstående sider i rektangelet gir Pytagoras direkte.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
a, b, c = sp.symbols("a b c", positive=True)
AE = a*b
BC = a*b
AB = c**2
ED = a**2
DC = b**2
EC = sp.expand(ED + DC)
rectangle_side_equation = sp.Eq(AB, EC)
print("AE =", AE)
print("BC =", BC)
print("AE equals BC =", sp.simplify(AE - BC) == 0)
print("AB =", AB)
print("ED =", ED)
print("DC =", DC)
print("EC = ED + DC =", EC)
print("Opposite sides in the rectangle give =", rectangle_side_equation)
print("Rearranged Pythagorean statement =", sp.Eq(a**2 + b**2, c**2))
Utskrift fra Python:
AE = a*b
BC = a*b
AE equals BC = True
AB = c**2
ED = a**2
DC = b**2
EC = ED + DC = a**2 + b**2
Opposite sides in the rectangle give = Eq(c**2, a**2 + b**2)
Rearranged Pythagorean statement = Eq(a**2 + b**2, c**2)
Fasit: Fordi \(ABCE\) er et rektangel, er \(AB=EC\), altså \(c^2=a^2+b^2\).
Vanlig feil: Å bruke Pytagoras for å bevise at figuren er et rektangel; da blir argumentet sirkulært.
Sensorpunkt: Rektangelegenskapen skal begrunnes uavhengig før sidelengdene sammenlignes.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aSirkelgeometri - periferivinkel
Oppgave 1a
Oppgave: En firkant \(ABCD\) er innskrevet i en sirkel med sentrum S. La \(u=\angle BSD\). Forklar at \[\angle DCB=180^{\circ}-\frac12u.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Periferivinkelen ved C spenner over buen DB som ikke inneholder C. Denne buen er den store buen med sentralvinkel \(360^{\circ}-u\).
Steg 1 - Identifiser sentralvinkelen
Vinkelen \(u=\angle BSD\) spenner over den lille buen BD.
Steg 2 - Finn den andre buen
Den store buen fra D til B har vinkelmål \(360^{\circ}-u\).
Steg 3 - Identifiser buen for periferivinkelen
Periferivinkelen \(\angle DCB\) spenner over buen DB som ikke inneholder C, altså den store buen.
Steg 4 - Bruk periferivinkelsetningen
En periferivinkel er halvparten av sentralvinkelen over samme bue.
Steg 5 - Sett inn buemålet
\[\angle DCB=\frac12(360^{\circ}-u).\]
Steg 6 - Forenkle
\[\angle DCB=180^{\circ}-\frac12u.\]
Den innskrevne firkanten med sentralvinkelen u.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Angle[D,C,B]
\(\frac12(360^{\circ}-u)\)
Tolkning: GeoGebra-figuren viser at vinkelen ved C spenner over den store buen DB.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
u = sp.symbols("u", positive=True)
minor_arc = u
major_arc = 360 - u
inscribed_angle = sp.simplify(major_arc/2)
expected = 180 - u/2
print("Minor arc BD has central angle =", minor_arc)
print("Major arc BD has central angle =", major_arc)
print("Inscribed angle DCB = half of major arc =", inscribed_angle)
print("Expected expression =", expected)
print("Difference check =", sp.simplify(inscribed_angle - expected))
print("Therefore angle DCB = 180 degrees - u/2")
Utskrift fra Python:
Minor arc BD has central angle = u
Major arc BD has central angle = 360 - u
Inscribed angle DCB = half of major arc = 180 - u/2
Expected expression = 180 - u/2
Difference check = 0
Therefore angle DCB = 180 degrees - u/2
Fasit: \(\angle DCB=180^{\circ}-\frac12u\).
Vanlig feil: Å bruke \(u/2\) direkte; vinkelen ved C spenner over den store, ikke den lille, buen DB.
Sensorpunkt: Det må framgå hvilken bue periferivinkelen spenner over.
Del 2 - Oppgave 1bSirkelgeometri - syklisk firkant
Oppgave 1b
Oppgave: Vis at \[\angle BAD+\angle DCB=\angle CBA+\angle ADC=180^{\circ}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Motstående vinkler i en innskrevet firkant spenner til sammen over hele sirkelens 360 grader.
Steg 1 - Finn \(\angle BAD\)
Vinkelen \(\angle BAD\) spenner over den lille buen BD med sentralvinkel \(u\), så \(\angle BAD=\frac12u\).
Vinklene \(\angle CBA\) og \(\angle ADC\) spenner over de to komplementære buene CA.
Steg 5 - Summer buene
De to buene har samlet vinkelmål \(360^{\circ}\).
Steg 6 - Halver
Summen av periferivinklene blir derfor \(\frac12\cdot360^{\circ}=180^{\circ}\).
Steg 7 - Konkluder
Begge par motstående vinkler i den innskrevne firkanten summerer til \(180^{\circ}\).
Motstående vinkler i en syklisk firkant er supplementvinkler.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Angle[B,A,D]+Angle[D,C,B]
\(180^{\circ}\)
2
Angle[C,B,A]+Angle[A,D,C]
\(180^{\circ}\)
Tolkning: Måling i GeoGebra bekrefter syklisk-firkant-setningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
u, v = sp.symbols("u v", positive=True)
angle_BAD = u/2
angle_DCB = 180 - u/2
first_sum = sp.simplify(angle_BAD + angle_DCB)
# For the other pair, let one central arc be v and the other 360-v.
angle_CBA = v/2
angle_ADC = (360 - v)/2
second_sum = sp.simplify(angle_CBA + angle_ADC)
print("Angle BAD =", angle_BAD)
print("Angle DCB =", angle_DCB)
print("First opposite-angle sum =", first_sum)
print("Angle CBA =", angle_CBA)
print("Angle ADC =", angle_ADC)
print("Second opposite-angle sum =", second_sum)
print("Both sums equal 180 degrees =", first_sum == 180 and second_sum == 180)
Utskrift fra Python:
Angle BAD = u/2
Angle DCB = 180 - u/2
First opposite-angle sum = 180
Angle CBA = v/2
Angle ADC = 180 - v/2
Second opposite-angle sum = 180
Both sums equal 180 degrees = True
Vanlig feil: Å tro at alle fire vinklene hver for seg er 90 grader.
Sensorpunkt: Beviset skal bruke buer/periferivinkelsetningen, ikke bare sitere figuren.
Del 2 - Oppgave 2aSirkel - likningssystem
Oppgave 2a
Oppgave: Sirkelen har likning \[x^2+y^2+ax+by+c=0.\] Punktene \(A(3,8)\), \(B(9,6)\) og \(C(13,-2)\) ligger på sirkelen. Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Hvert punkt settes inn i sirkelens likning og gir én lineær likning i a, b og c.
Tolkning: CAS gir sentrum \((3,-2)\) og radius 10.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, y, a, b, c = sp.symbols("x y a b c", real=True)
system = [3*a + 8*b + c + 73,
9*a + 6*b + c + 117,
13*a - 2*b + c + 173]
solution = sp.solve(system, [a, b, c], dict=True)[0]
circle_general = x**2 + y**2 + solution[a]*x + solution[b]*y + solution[c]
center = (3, -2)
radius_squared = 100
points = [(3, 8), (9, 6), (13, -2)]
print("CAS solution =", solution)
print("General circle expression =", circle_general)
print("General equation:", circle_general, "= 0")
print("Center =", center)
print("Radius squared =", radius_squared)
print("Radius =", sp.sqrt(radius_squared))
for point in points:
value = sp.simplify(circle_general.subs({x:point[0], y:point[1]}))
print("Check point", point, "gives", value)
Utskrift fra Python:
CAS solution = {a: -6, b: 4, c: -87}
General circle expression = x**2 - 6*x + y**2 + 4*y - 87
General equation: x**2 - 6*x + y**2 + 4*y - 87 = 0
Center = (3, -2)
Radius squared = 100
Radius = 10
Check point (3, 8) gives 0
Check point (9, 6) gives 0
Check point (13, -2) gives 0
Fasit: \(a=-6\), \(b=4\), \(c=-87\). Sirkelen er \((x-3)^2+(y+2)^2=100\).
Vanlig feil: Å lese sentrum som \((-3,2)\); fortegnene skifter når kvadratene fullføres.
Sensorpunkt: Parameterverdiene skal oppgis, og det er en styrke å kontrollere sentrum/radius og punktene.
Del 2 - Oppgave 3aBinomisk modell - forutsetninger
Oppgave 3a
Oppgave: Et fly har 116 plasser. Sannsynligheten for at en passasjer med billett ikke møter, er 6 %. Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi beskriver de fire standardkravene til en binomisk forsøksrekke i denne konkrete situasjonen.
Steg 1 - Fast antall forsøk
For en bestemt flyavgang må antall solgte billetter \(n\) være fast.
Steg 2 - To mulige utfall
Hver billettinnehaver må klassifiseres som «møter» eller «møter ikke».
Steg 3 - Samme sannsynlighet
Sannsynligheten for å møte må være den samme for alle, \(p=1-0{,}06=0{,}94\).
Steg 4 - Uavhengighet
Om én passasjer møter, må antas å være uavhengig av om de andre møter.
Steg 5 - Definer variabelen
Da kan \(X\), antall som møter, modelleres som \(X\sim\operatorname{Bin}(n,0{,}94)\).
Steg 6 - Vurder realismen
I praksis kan uavhengighet og lik p være tilnærminger, men de er nødvendige modellforutsetninger her.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
BinomialDist[n,0.94]
Modell for antall som møter
Tolkning: Kommandoen forutsetter fast n, uavhengige forsøk, to utfall og konstant p.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
from fractions import Fraction
p_no_show = Fraction(6, 100)
p_show = 1 - p_no_show
conditions = [
"fixed number n of sold tickets",
"two outcomes per passenger: show or no-show",
"constant probability of showing",
"independent passenger outcomes"
]
print("No-show probability =", p_no_show, "=", float(p_no_show))
print("Show probability =", p_show, "=", float(p_show))
print("Required binomial assumptions:")
for index, condition in enumerate(conditions, start=1):
print(index, condition)
print("Model notation: X ~ Bin(n, 0.94)")
Utskrift fra Python:
No-show probability = 3/50 = 0.06
Show probability = 47/50 = 0.94
Required binomial assumptions:
1 fixed number n of sold tickets
2 two outcomes per passenger: show or no-show
3 constant probability of showing
4 independent passenger outcomes
Model notation: X ~ Bin(n, 0.94)
Fasit: Fast n, to utfall, samme møte-sannsynlighet \(0{,}94\) for alle og uavhengige passasjerutfall.
Vanlig feil: Å nevne bare at sannsynligheten er 94 %, uten å diskutere uavhengighet og fast antall forsøk.
Sensorpunkt: Alle sentrale binomiske forutsetninger skal knyttes til situasjonen.
Del 2 - Oppgave 3bBinomisk sannsynlighet
Oppgave 3b
Oppgave: Det er solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Alle får plass når høyst 116 passasjerer møter. Med \(X\sim\operatorname{Bin}(122,0{,}94)\) beregner vi \(P(X\le116)\).
Steg 1 - Definer fordelingen
\[X\sim\operatorname{Bin}(122,0{,}94).\]
Steg 2 - Oversett hendelsen
Flyet har 116 plasser, så hendelsen er \(X\le116\).
Kumulativ binomisk beregning gir omtrent \(0{,}7466\).
Steg 5 - Gjør om til prosent
\[0{,}7466\approx74{,}66\,\%.\]
Steg 6 - Tolk
Det er altså omtrent 25,34 % risiko for at flere enn 116 møter og noen ikke får plass.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
BinomialDist[122,0.94,116,true]
\(0.7466012314\)
Tolkning: Den kumulative sannsynligheten til og med 116 er sannsynligheten for at kapasiteten holder.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
from math import comb
n = 122
p_show = 0.94
capacity = 116
terms = [comb(n, k)*(p_show**k)*((1-p_show)**(n-k)) for k in range(capacity + 1)]
probability = sum(terms)
overbook_probability = 1 - probability
largest_terms = sorted(enumerate(terms), key=lambda item: item[1], reverse=True)[:5]
print("Distribution: X ~ Bin(", n, ",", p_show, ")")
print("Capacity condition: X <=", capacity)
print("Number of summed terms =", len(terms))
print("P(X <= 116) =", format(probability, ".12f"))
print("Percentage =", format(100*probability, ".6f"), "%")
print("P(X > 116) =", format(overbook_probability, ".12f"))
print("Five largest individual probabilities (k, P(X=k)) =")
for k, value in largest_terms:
print(k, format(value, ".12f"))
Utskrift fra Python:
Distribution: X ~ Bin( 122 , 0.94 )
Capacity condition: X <= 116
Number of summed terms = 117
P(X <= 116) = 0.746601231363
Percentage = 74.660123 %
P(X > 116) = 0.253398768637
Five largest individual probabilities (k, P(X=k)) =
115 0.152310781654
116 0.143994963116
114 0.139753243805
113 0.112991984353
112 0.081498473821
Fasit: \(P(X\le116)\approx0{,}7466\), altså omtrent \(74{,}66\,\%\).
Vanlig feil: Å beregne \(P(X=116)\) i stedet for den kumulative sannsynligheten \(P(X\le116)\).
Sensorpunkt: Hendelsen skal oversettes korrekt, og en kumulativ binomisk sannsynlighet skal brukes.
Del 2 - Oppgave 3cBinomisk modell - maksimal billettmengde
Oppgave 3c
Oppgave: Flyselskapet ønsker minst 95 % sannsynlighet for at alle som møter, får plass. Hvor mange billetter kan de maksimalt selge?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi søker største heltall n som oppfyller \(P(X\le116)\ge0{,}95\) for \(X\sim\operatorname{Bin}(n,0{,}94)\).
Steg 1 - Skriv kravet
\[P(X\le116)\ge0{,}95.\]
Steg 2 - La n variere
Vi beregner den kumulative sannsynligheten for stigende antall solgte billetter.
Steg 3 - Test \(n=119\)
\[P(X\le116)\approx0{,}9764.\] Dette er over 0,95.
Steg 4 - Test neste heltall
For \(n=120\) får vi \[P(X\le116)\approx0{,}9340.\] Dette er under 0,95.
Steg 5 - Bruk maksimalitetsargumentet
Siden 119 oppfyller kravet og 120 ikke gjør det, er 119 det største tillatte billettallet.
Steg 6 - Tolk overbookingen
De kan selge 3 billetter mer enn de 116 plassene og fortsatt oppfylle 95 %-kravet.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Sequence[BinomialDist[n,0.94,116,true],n,116,125]
Første verdi under 0,95 oppstår ved \(n=120\)
Tolkning: Grensekontrollen av både 119 og 120 dokumenterer at maksimum er 119.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
from math import comb
p_show = 0.94
capacity = 116
threshold = 0.95
def cumulative_probability(n):
return sum(comb(n, k)*(p_show**k)*((1-p_show)**(n-k))
for k in range(capacity + 1))
results = []
for n in range(116, 126):
results.append((n, cumulative_probability(n)))
valid = [n for n, probability in results if probability >= threshold]
maximum_n = max(valid)
print("Required threshold =", threshold)
print("Capacity =", capacity)
for n, probability in results:
print("n =", n, "P(X <= 116) =", format(probability, ".12f"))
print("Largest n satisfying the requirement =", maximum_n)
print("Probability for n = 119 =", format(cumulative_probability(119), ".12f"))
print("Probability for n = 120 =", format(cumulative_probability(120), ".12f"))
print("Number of tickets above capacity =", maximum_n - capacity)
Utskrift fra Python:
Required threshold = 0.95
Capacity = 116
n = 116 P(X <= 116) = 1.000000000000
n = 117 P(X <= 116) = 0.999282273683
n = 118 P(X <= 116) = 0.994243834934
n = 119 P(X <= 116) = 0.976407761764
n = 120 P(X <= 116) = 0.933957907618
n = 121 P(X <= 116) = 0.857548170157
n = 122 P(X <= 116) = 0.746601231363
n = 123 P(X <= 116) = 0.611245966034
n = 124 P(X <= 116) = 0.468542843445
n = 125 P(X <= 116) = 0.335828939437
Largest n satisfying the requirement = 119
Probability for n = 119 = 0.976407761764
Probability for n = 120 = 0.933957907618
Number of tickets above capacity = 3
Fasit: Flyselskapet kan maksimalt selge \(119\) billetter.
Vanlig feil: Å stoppe ved en verdi som fungerer uten å kontrollere at det neste heltallet ikke fungerer.
Sensorpunkt: Både sannsynligheten ved 119 og ved 120 bør vises for å dokumentere maksimaliteten.
Del 2 - Oppgave 4aModellering - geometri
Oppgave 4a
Oppgave: Fire byer danner et kvadrat med side 10. Veinettet har fire like skråstrekninger med lengde s og en midtstrekning \(EF=x\). Vis at samlet veilengde er \[g(x)=x+2\sqrt{(x-10)^2+10^2}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker én skråstrekning ved Pytagoras og bruker symmetrien i figuren.
Steg 1 - Bruk symmetrien horisontalt
E og F ligger på kvadratets midtlinje, så den horisontale avstanden fra et hjørne til E eller F er \(5\).
Steg 2 - Fordel den resterende høyden
Den totale høyden utenom EF er \(10-x\). Ved symmetri er den vertikale komponenten i hver skråstrekning \((10-x)/2\).
Steg 3 - Bruk Pytagoras på én skråstrekning
\[s=\sqrt{5^2+\left(\frac{10-x}{2}\right)^2}.\]
Steg 4 - Skriv samlet lengde
Det finnes fire skråstrekninger og én midtstrekning: \[g(x)=4s+x.\]
Vanlig feil: Å ta kvadratroten og bare beholde den positive t-verdien; t er tidparameter og kan være negativ i hele modellen.
Sensorpunkt: Alle tre reelle løsninger og en kontroll av normen skal oppgis.
Del 2 - Oppgave 5dEkstremal banefart og ortogonalitet
Oppgave 5d
Oppgave: Vis at banefarten har ekstremalverdi i de punktene på kurven der fartsvektoren står normalt på akselerasjonsvektoren.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi deriverer banefarten. Siden farten aldri er null, er dens deriverte null akkurat når skalarproduktet \(\vec v\cdot\vec a\) er null.
Steg 1 - Definer banefarten
La \(s(t)=|\vec v(t)|=\sqrt{\vec v(t)\cdot\vec v(t)}\).
Fasit: \(s^{\prime}(t)=0\iff\vec v(t)\cdot\vec a(t)=0\). Her skjer det ved \(t=-\frac23,0,\frac23\), altså når v og a står normalt på hverandre.
Vanlig feil: Å si at normalitet betyr at akselerasjonen er null; det er skalarproduktet mellom v og a som skal være null.
Sensorpunkt: Det generelle derivatargumentet må vises, ikke bare de tre numeriske tidspunktene.
Kilde og metode: Oppgavetekstene er transkribert fra Utdanningsdirektoratets eksamenssett REA3022 Matematikk R1, våren 2018. Løsningene, figurene og kontrollkodene er originale ifingo-utarbeidelser. Python-utskriftene er generert ved faktisk kjøring av hver kodeblokk under produksjonen.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
