Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et tredjegradspolynom ledd for ledd med potensregelen.

Steg 1 - Skriv potensregelen

For et ledd \(ax^n\) er den deriverte \(anx^{n-1}\).

Steg 2 - Deriver tredjegradsleddet

\[\frac{d}{dx}(2x^3)=2\cdot 3x^2=6x^2.\]

Steg 3 - Deriver førstegradsleddet

\[\frac{d}{dx}(-5x)=-5.\]

Steg 4 - Deriver konstanten

Konstantleddet har derivert lik 0: \(\frac{d}{dx}(4)=0\).

Steg 5 - Samle resultatet

\[f^{\prime}(x)=6x^2-5.\]

Steg 6 - Rimelighetskontroll

En tredjegradsfunksjon skal normalt få en andregradsfunksjon som derivert. Det stemmer her.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
f = 2*x**3 - 5*x + 4
term_1 = sp.diff(2*x**3, x)
term_2 = sp.diff(-5*x, x)
term_3 = sp.diff(4, x)
print("f(x) =", f)
print("Derivative of 2*x**3 =", term_1)
print("Derivative of -5*x =", term_2)
print("Derivative of 4 =", term_3)
print("f'(x) =", sp.diff(f, x))

Utskrift fra Python:
f(x) = 2*x**3 - 5*x + 4
Derivative of 2*x**3 = 6*x**2
Derivative of -5*x = -5
Derivative of 4 = 0
f'(x) = 6*x**2 - 5

Fasit: \(f^{\prime}(x)=6x^2-5\).

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^2\) og \(e^x\), så vi må bruke produktregelen.

Steg 1 - Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=e^x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

Vi får \(u^{\prime}(x)=2x\) og \(v^{\prime}(x)=e^x\).

Steg 3 - Skriv produktregelen

\[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 4 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=2x\,e^x+x^2e^x.\]

Steg 5 - Faktoriser

Begge leddene inneholder \(xe^x\): \[g^{\prime}(x)=xe^x(x+2).\]

Steg 6 - Kontroller formen

Utvidelse av det faktoriserte svaret gir \(x^2e^x+2xe^x\), som er samme uttrykk.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
u = x**2
v = sp.exp(x)
g = u*v
u_prime = sp.diff(u, x)
v_prime = sp.diff(v, x)
product_rule = u_prime*v + u*v_prime
print("u(x) =", u)
print("v(x) =", v)
print("u'(x) =", u_prime)
print("v'(x) =", v_prime)
print("Product rule result =", product_rule)
print("Factored g'(x) =", sp.factor(product_rule))

Utskrift fra Python:
u(x) = x**2
v(x) = exp(x)
u'(x) = 2*x
v'(x) = exp(x)
Product rule result = x**2*exp(x) + 2*x*exp(x)
Factored g'(x) = x*(x + 2)*exp(x)

Fasit: \(g^{\prime}(x)=e^x(x^2+2x)=xe^x(x+2)\).

Hva spør oppgaven om? Rotfunksjonen har en indre funksjon \(x^2-3\). Vi bruker potensregelen sammen med kjerneregelen.

Steg 1 - Skriv roten som potens

\[h(x)=(x^2-3)^{1/2}.\]

Steg 2 - Identifiser den indre funksjonen

Sett \(u(x)=x^2-3\). Da er \(u^{\prime}(x)=2x\).

Steg 3 - Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(u^{1/2}\) er \(\frac12u^{-1/2}\).

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[h^{\prime}(x)=\frac12(x^2-3)^{-1/2}\cdot 2x.\]

Steg 5 - Forenkle

Faktorene 2 og \(\frac12\) forkortes: \[h^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-3}}.\]

Steg 6 - Oppgi hvor den deriverte finnes

Originalfunksjonen er definert for \(|x|\geq\sqrt3\), men den deriverte har nevner 0 i endepunktene. Derfor gjelder formelen for \(|x|>\sqrt3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
inside = x**2 - 3
h = sp.sqrt(inside)
inside_prime = sp.diff(inside, x)
outer_factor = sp.Rational(1, 2)*inside**sp.Rational(-1, 2)
chain_rule = sp.simplify(outer_factor*inside_prime)
print("Inside function =", inside)
print("Inside derivative =", inside_prime)
print("Outer derivative factor =", outer_factor)
print("Chain rule result =", chain_rule)
print("SymPy derivative =", sp.diff(h, x))
print("Derivative domain condition: x**2 - 3 > 0")

Utskrift fra Python:
Inside function = x**2 - 3
Inside derivative = 2*x
Outer derivative factor = 1/(2*sqrt(x**2 - 3))
Chain rule result = x/sqrt(x**2 - 3)
SymPy derivative = x/sqrt(x**2 - 3)
Derivative domain condition: x**2 - 3 > 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-3}}\) for \(|x|>\sqrt3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke fellesnevneren \((x-3)(x+3)\), samle tellerne og forkorte.

Steg 1 - Finn definisjonsbegrensningene

Nevnerne kan ikke være 0, så \(x\neq -3\) og \(x\neq 3\).

Steg 2 - Faktoriser andregradsnevneren

\[x^2-9=(x-3)(x+3).\]

Steg 3 - Utvid den andre brøken

\[\frac1{x+3}=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}.\]

Steg 4 - Utvid den tredje brøken

\[\frac5{x-3}=\frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)}.\]

Steg 5 - Samle tellerne

\[x^2-3+(x-3)+5(x+3)=x^2+6x+9.\]

Steg 6 - Faktoriser telleren

\[x^2+6x+9=(x+3)^2.\]

Steg 7 - Forkort lovlig

\[\frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+3}{x-3}.\] Definisjonsbegrensningene fra originaluttrykket beholdes.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
expr = (x**2 - 3)/(x**2 - 9) + 1/(x + 3) + 5/(x - 3)
common_numerator = sp.expand((x**2 - 3) + (x - 3) + 5*(x + 3))
print("Original expression =", expr)
print("Common denominator =", sp.factor(x**2 - 9))
print("Combined numerator =", common_numerator)
print("Factored numerator =", sp.factor(common_numerator))
print("Simplified expression =", sp.cancel(expr))
print("Excluded values = -3 and 3")

Utskrift fra Python:
Original expression = (x**2 - 3)/(x**2 - 9) + 1/(x + 3) + 5/(x - 3)
Common denominator = (x - 3)*(x + 3)
Combined numerator = x**2 + 6*x + 9
Factored numerator = (x + 3)**2
Simplified expression = (x + 3)/(x - 3)
Excluded values = -3 and 3

Fasit: \(\dfrac{x+3}{x-3}\), med \(x\neq -3\) og \(x\neq 3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produkt-, kvotient- og potensregelen for logaritmer.

Steg 1 - Avklar forutsetningene

For at begge logaritmene skal være definert, må de to argumentene være positive. Det gir i praksis \(a>0\) og \(b>0\).

Steg 2 - Utvid den første logaritmen

\[\ln(a^{-3}b^2)=-3\ln a+2\ln b.\]

Steg 3 - Multipliser med 2

\[2\ln(a^{-3}b^2)=-6\ln a+4\ln b.\]

Steg 4 - Utvid den andre logaritmen

\[\ln\!\left(\frac b{a^2}\right)=\ln b-2\ln a.\]

Steg 5 - Multipliser med -3

\[-3\ln\!\left(\frac b{a^2}\right)=-3\ln b+6\ln a.\]

Steg 6 - Samle like ledd

\[-6\ln a+4\ln b-3\ln b+6\ln a=\ln b.\]

Steg 7 - Konkluder

Alle leddene med \(\ln a\) kansellerer, og svaret blir \(\ln b\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, b = sp.symbols("a b", positive=True)
first_log = sp.log(a**(-3)*b**2)
second_log = sp.log(b/a**2)
expr = 2*first_log - 3*second_log
expanded_first = sp.expand_log(first_log, force=True)
expanded_second = sp.expand_log(second_log, force=True)
expanded_total = sp.expand_log(expr, force=True)
print("First logarithm expanded =", expanded_first)
print("Second logarithm expanded =", expanded_second)
print("Whole expression expanded =", expanded_total)
print("Simplified result =", sp.simplify(expanded_total))
print("Assumptions: a > 0 and b > 0")

Utskrift fra Python:
First logarithm expanded = -3*log(a) + 2*log(b)
Second logarithm expanded = -2*log(a) + log(b)
Whole expression expanded = log(b)
Simplified result = log(b)
Assumptions: a > 0 and b > 0

Fasit: Uttrykket forenkles til \(\ln b\), for \(a>0\) og \(b>0\).

Hva spør oppgaven om? En vektor fra et startpunkt til et sluttpunkt finnes ved å trekke startkoordinatene fra sluttkoordinatene.

Steg 1 - Skriv regelen

\[\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\,y_Q-y_P).\]

Steg 2 - Finn x-komponenten til AB

\[2-(-1)=3.\]

Steg 3 - Finn y-komponenten til AB

\[1-6=-5.\]

Steg 4 - Skriv AB

\[\overrightarrow{AB}=(3,-5).\]

Steg 5 - Finn komponentene til AC

\[4-(-1)=5,\qquad 4-6=-2.\]

Steg 6 - Skriv AC

\[\overrightarrow{AC}=(5,-2).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Matrix([-1, 6])
B = sp.Matrix([2, 1])
C = sp.Matrix([4, 4])
AB = B - A
AC = C - A
print("A =", tuple(A))
print("B =", tuple(B))
print("C =", tuple(C))
print("AB = B - A =", tuple(AB))
print("AC = C - A =", tuple(AC))
print("Check A + AB =", tuple(A + AB))
print("Check A + AC =", tuple(A + AC))

Utskrift fra Python:
A = (-1, 6)
B = (2, 1)
C = (4, 4)
AB = B - A = (3, -5)
AC = C - A = (5, -2)
Check A + AB = (2, 1)
Check A + AC = (4, 4)

Fasit: \(\overrightarrow{AB}=(3,-5)\) og \(\overrightarrow{AC}=(5,-2)\).

Hva spør oppgaven om? Vektorlikningen sier at \(\overrightarrow{CD}\) er den motsatte vektoren av \(\overrightarrow{AB}\).

Steg 1 - Bruk resultatet fra a)

Vi har \(\overrightarrow{AB}=(3,-5)\).

Steg 2 - Isoler CD

\[\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=(-3,5).\]

Steg 3 - Skriv CD med koordinater

Hvis \(D=(x,y)\), er \[\overrightarrow{CD}=(x-4,y-4).\]

Steg 4 - Sammenlikn x-komponentene

\[x-4=-3\quad\Rightarrow\quad x=1.\]

Steg 5 - Sammenlikn y-komponentene

\[y-4=5\quad\Rightarrow\quad y=9.\]

Steg 6 - Kontroller vektorlikningen

Fra \(C(4,4)\) til \(D(1,9)\) får vi \((-3,5)\). Da er \((3,-5)+(-3,5)=(0,0)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Matrix([-1, 6])
B = sp.Matrix([2, 1])
C = sp.Matrix([4, 4])
AB = B - A
CD = -AB
D = C + CD
print("AB =", tuple(AB))
print("Required CD = -AB =", tuple(CD))
print("C =", tuple(C))
print("D = C + CD =", tuple(D))
print("Computed CD =", tuple(D - C))
print("AB + CD =", tuple(AB + (D - C)))

Utskrift fra Python:
AB = (3, -5)
Required CD = -AB = (-3, 5)
C = (4, 4)
D = C + CD = (1, 9)
Computed CD = (-3, 5)
AB + CD = (0, 0)

Fasit: \(D=(1,9)\).

Hva spør oppgaven om? Vi må vise både at punktet ligger på grafen og at krumningen skifter ved \(x=1\).

Steg 1 - Kontroller punktet

\[P(1)=2-6-2+6=0.\] Dermed ligger \((1,0)\) på grafen.

Steg 2 - Finn første derivert

\[P^{\prime}(x)=6x^2-12x-2.\]

Steg 3 - Finn andre derivert

\[P^{\prime\prime}(x)=12x-12=12(x-1).\]

Steg 4 - Sett inn x=1

\[P^{\prime\prime}(1)=0.\] Dette er nødvendig, men alene ikke tilstrekkelig.

Steg 5 - Undersøk fortegnet til andrederiverten

For \(x<1\) er \(12(x-1)<0\), mens den er positiv for \(x>1\).

Steg 6 - Konkluder om krumningen

Andrederiverten skifter fortegn fra negativ til positiv ved \(x=1\). Grafen går derfor fra å være konkav ned til konkav opp.

Steg 7 - Konklusjon

Siden punktet ligger på grafen og krumningen skifter der, er \((1,0)\) et vendepunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
P = 2*x**3 - 6*x**2 - 2*x + 6
P1 = sp.diff(P, x)
P2 = sp.diff(P, x, 2)
P3 = sp.diff(P, x, 3)
print("P(1) =", P.subs(x, 1))
print("P'(x) =", P1)
print("P''(x) =", sp.factor(P2))
print("P''(1) =", P2.subs(x, 1))
print("Third derivative P3(x) =", P3)
print("P''(0.9) =", sp.N(P2.subs(x, sp.Rational(9, 10))))
print("P''(1.1) =", sp.N(P2.subs(x, sp.Rational(11, 10))))

Utskrift fra Python:
P(1) = 0
P'(x) = 6*x**2 - 12*x - 2
P''(x) = 12*(x - 1)
P''(1) = 0
Third derivative P3(x) = 12
P''(0.9) = -1.20000000000000
P''(1.1) = 1.20000000000000

Fasit: \((1,0)\) er et vendepunkt fordi \(P(1)=0\) og \(P^{\prime\prime}\) skifter fortegn ved \(x=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi grupperer leddene og trekker ut en felles andregradsfaktor.

Steg 1 - Grupper leddene

\[P(x)=(2x^3-6x^2)+(-2x+6).\]

Steg 2 - Trekk ut felles faktor i hver gruppe

\[P(x)=2x^2(x-3)-2(x-3).\]

Steg 3 - Trekk ut den felles parentesen

\[P(x)=2(x-3)(x^2-1).\]

Steg 4 - Bruk konjugatsetningen

\[x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 5 - Skriv full faktorisering

\[P(x)=2(x-3)(x-1)(x+1).\]

Steg 6 - Kontroller nullpunktene

Faktorene gir nullpunktene \(-1\), \(1\) og \(3\), og innsetting gir \(P(x)=0\) for alle tre.

Steg 7 - Kontroller ledende ledd

Produktet av de ledende leddene er \(2\cdot x\cdot x\cdot x=2x^3\), som stemmer med originalen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
P = 2*x**3 - 6*x**2 - 2*x + 6
grouped = 2*x**2*(x - 3) - 2*(x - 3)
factored_once = 2*(x - 3)*(x**2 - 1)
fully_factored = sp.factor(P)
print("P(x) =", P)
print("Grouped form =", grouped)
print("After common factor =", factored_once)
print("Fully factored =", fully_factored)
print("Expansion check =", sp.expand(fully_factored))
print("Roots =", sp.solve(sp.Eq(P, 0), x))

Utskrift fra Python:
P(x) = 2*x**3 - 6*x**2 - 2*x + 6
Grouped form = 2*x**2*(x - 3) - 2*x + 6
After common factor = (2*x - 6)*(x**2 - 1)
Fully factored = 2*(x - 3)*(x - 1)*(x + 1)
Expansion check = 2*x**3 - 6*x**2 - 2*x + 6
Roots = [-1, 1, 3]

Fasit: \(P(x)=2(x-3)(x-1)(x+1)\).

Hva spør oppgaven om? Uttrykket har samme polynomstruktur som P. Vi setter \(u=e^x\) og løser en tredjegradslikning.

Steg 1 - Gjør substitusjonen

Sett \(u=e^x\). Da er \(u>0\), \(e^{2x}=u^2\) og \(e^{3x}=u^3\).

Steg 2 - Skriv om likningen

\[2u^3-6u^2-2u+6=0.\]

Steg 3 - Bruk faktoriseringen fra b)

\[2(u-3)(u-1)(u+1)=0.\]

Steg 4 - Finn kandidater for u

Nullproduktregelen gir \(u=3\), \(u=1\) eller \(u=-1\).

Steg 5 - Bruk at u er positiv

Fordi \(u=e^x>0\), forkastes \(u=-1\).

Steg 6 - Gå tilbake til x

\[e^x=1\Rightarrow x=0,\qquad e^x=3\Rightarrow x=\ln 3.\]

Steg 7 - Kontroller

Innsetting av \(x=0\) og \(x=\ln3\) gjør venstresiden lik 0.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, u = sp.symbols("x u", real=True)
poly = 2*u**3 - 6*u**2 - 2*u + 6
u_roots = sp.solve(sp.Eq(poly, 0), u)
valid_u = [value for value in u_roots if value.is_positive]
x_roots = [sp.log(value) for value in valid_u]
original = 2*sp.exp(3*x) - 6*sp.exp(2*x) - 2*sp.exp(x) + 6
print("Polynomial in u =", poly)
print("Factorization =", sp.factor(poly))
print("All u-roots =", u_roots)
print("Positive u-roots =", valid_u)
print("Corresponding x-roots =", x_roots)
for value in x_roots:
    print("Check at x =", value, ":", sp.simplify(original.subs(x, value)))

Utskrift fra Python:
Polynomial in u = 2*u**3 - 6*u**2 - 2*u + 6
Factorization = 2*(u - 3)*(u - 1)*(u + 1)
All u-roots = [-1, 1, 3]
Positive u-roots = [1, 3]
Corresponding x-roots = [0, log(3)]
Check at x = 0 : 0
Check at x = log(3) : 0

Fasit: \(x=0\) eller \(x=\ln3\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker midtpunktformelen på sidene BC, AC og AB.

Steg 1 - Skriv midtpunktformelen

Midtpunktet mellom \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) er \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\).

Steg 2 - Finn D på siden BC

\[D=\left(\frac{6+3}{2},\frac{2+5}{2}\right)=\left(\frac92,\frac72\right).\]

Steg 3 - Finn E på siden AC

\[E=\left(\frac{1+3}{2},\frac{0+5}{2}\right)=\left(2,\frac52\right).\]

Steg 4 - Finn F på siden AB

\[F=\left(\frac{1+6}{2},\frac{0+2}{2}\right)=\left(\frac72,1\right).\]

Steg 5 - Geometrisk kontroll

Hvert midtpunkt ligger koordinatmessig mellom endepunktene på den aktuelle siden.

Steg 6 - Konklusjon

De tre oppgitte koordinatene følger direkte av midtpunktformelen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Matrix([1, 0])
B = sp.Matrix([6, 2])
C = sp.Matrix([3, 5])
D = (B + C)/2
E = (A + C)/2
F = (A + B)/2
print("A =", tuple(A), "B =", tuple(B), "C =", tuple(C))
print("D = (B + C)/2 =", tuple(D))
print("E = (A + C)/2 =", tuple(E))
print("F = (A + B)/2 =", tuple(F))
print("Check BD = DC =", tuple(D - B), tuple(C - D))
print("Check AE = EC =", tuple(E - A), tuple(C - E))
print("Check AF = FB =", tuple(F - A), tuple(B - F))

Utskrift fra Python:
A = (1, 0) B = (6, 2) C = (3, 5)
D = (B + C)/2 = (9/2, 7/2)
E = (A + C)/2 = (2, 5/2)
F = (A + B)/2 = (7/2, 1)
Check BD = DC = (-3/2, 3/2) (-3/2, 3/2)
Check AE = EC = (1, 5/2) (1, 5/2)
Check AF = FB = (5/2, 1) (5/2, 1)

Fasit: \(D=(9/2,7/2)\), \(E=(2,5/2)\) og \(F=(7/2,1)\).

Hva spør oppgaven om? Punktet T ligger både på medianen fra A gjennom D og på medianen fra B gjennom E.

Steg 1 - Bruk medianen AD

Siden T ligger på linjen gjennom A og D, er \(\overrightarrow{AT}\) parallell med \(\overrightarrow{AD}\).

Steg 2 - Innfør parameter s

Alle vektorer fra A til punkter på linjen AD kan skrives som et reelt multiplum av \(\overrightarrow{AD}\). Derfor \(\overrightarrow{AT}=s\overrightarrow{AD}\).

Steg 3 - Gå fra A til T via B

Vektoraddisjon langs en kjede gir \[\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BT}.\]

Steg 4 - Bruk medianen BE

Siden T ligger på linjen gjennom B og E, er \(\overrightarrow{BT}=t\overrightarrow{BE}\) for et reelt tall t.

Steg 5 - Sett inn uttrykket for BT

\[\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BE}.\]

Steg 6 - Tolk parameterne

For selve skjæringspunktet ligger T mellom hjørnet og midtpunktet på begge medianene, så vi forventer \(0<s<1\) og \(0<t<1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
s, t = sp.symbols("s t", real=True)
A = sp.Matrix([1, 0])
B = sp.Matrix([6, 2])
D = sp.Matrix([sp.Rational(9, 2), sp.Rational(7, 2)])
E = sp.Matrix([2, sp.Rational(5, 2)])
AD = D - A
AB = B - A
BE = E - B
AT_via_AD = s*AD
AT_via_B = AB + t*BE
print("AD =", tuple(AD))
print("AB =", tuple(AB))
print("BE =", tuple(BE))
print("AT along median AD =", tuple(AT_via_AD))
print("AT via A to B to T =", tuple(AT_via_B))
print("These expressions are equal at the median intersection")

Utskrift fra Python:
AD = (7/2, 7/2)
AB = (5, 2)
BE = (-4, 1/2)
AT along median AD = (7*s/2, 7*s/2)
AT via A to B to T = (5 - 4*t, t/2 + 2)
These expressions are equal at the median intersection

Fasit: Begge uttrykkene beskriver \(\overrightarrow{AT}\), fordi T ligger på både AD og BE.

Hva spør oppgaven om? Vi setter de to uttrykkene for \(\overrightarrow{AT}\) lik hverandre og sammenlikner komponentene.

Steg 1 - Finn de nødvendige vektorene

\[\overrightarrow{AD}=\left(\frac72,\frac72\right),\quad \overrightarrow{AB}=(5,2),\quad \overrightarrow{BE}=\left(-4,\frac12\right).\]

Steg 2 - Sett uttrykkene lik hverandre

\[s\left(\frac72,\frac72\right)=(5,2)+t\left(-4,\frac12\right).\]

Steg 3 - Lag likningssystemet

\[\frac72s=5-4t,\qquad \frac72s=2+\frac12t.\]

Steg 4 - Eliminer s

Siden venstresidene er like, får vi \[5-4t=2+\frac12t.\]

Steg 5 - Løs for t

\[3=\frac92t\quad\Rightarrow\quad t=\frac23.\]

Steg 6 - Finn s

\[\frac72s=2+\frac12\cdot\frac23=\frac73\quad\Rightarrow\quad s=\frac23.\]

Steg 7 - Finn T

\[T=A+\overrightarrow{AT}=A+\frac23\overrightarrow{AD}=(1,0)+\left(\frac73,\frac73\right)=\left(\frac{10}{3},\frac73\right).\]

Steg 8 - Tolk resultatet

Tyngdepunktet deler hver median i forholdet 2:1 regnet fra hjørnet, i samsvar med \(s=t=2/3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
s, t = sp.symbols("s t")
A = sp.Matrix([1, 0])
B = sp.Matrix([6, 2])
D = sp.Matrix([sp.Rational(9, 2), sp.Rational(7, 2)])
E = sp.Matrix([2, sp.Rational(5, 2)])
AD = D - A
AB = B - A
BE = E - B
solution = sp.solve(list(s*AD - (AB + t*BE)), (s, t), dict=True)[0]
T = A + solution[s]*AD
print("AD =", tuple(AD))
print("AB =", tuple(AB))
print("BE =", tuple(BE))
print("Solution for s and t =", solution)
print("T = A + s*AD =", tuple(T))
print("Check T = B + t*BE =", tuple(B + solution[t]*BE))
print("Centroid average =", tuple((A + B + sp.Matrix([3, 5]))/3))

Utskrift fra Python:
AD = (7/2, 7/2)
AB = (5, 2)
BE = (-4, 1/2)
Solution for s and t = {s: 2/3, t: 2/3}
T = A + s*AD = (10/3, 7/3)
Check T = B + t*BE = (10/3, 7/3)
Centroid average = (10/3, 7/3)

Fasit: \(s=t=\frac23\) og \(T=(10/3,7/3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi deler alle lyspærer i de to gjensidig utelukkende gruppene forkastet og godkjent.

Steg 1 - Definer hendelsene

La \(F\) bety forkastet, \(G\) godkjent og \(D\) defekt.

Steg 2 - Skriv opp sannsynlighetene

\[P(F)=0{,}08,\quad P(G)=0{,}92,\quad P(D\mid F)=0{,}92,\quad P(D\mid G)=0{,}02.\]

Steg 3 - Bruk loven om total sannsynlighet

\[P(D)=P(F)P(D\mid F)+P(G)P(D\mid G).\]

Steg 4 - Regn bidraget fra forkastede

\[0{,}08\cdot0{,}92=0{,}0736.\]

Steg 5 - Regn bidraget fra godkjente

\[0{,}92\cdot0{,}02=0{,}0184.\]

Steg 6 - Legg sammen

\[P(D)=0{,}0736+0{,}0184=0{,}092.\]

Steg 7 - Gjør om til prosent

\[0{,}092=9{,}2\%.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from decimal import Decimal
p_rejected = Decimal("0.08")
p_approved = Decimal("0.92")
p_defective_given_rejected = Decimal("0.92")
p_defective_given_approved = Decimal("0.02")
rejected_defective = p_rejected*p_defective_given_rejected
approved_defective = p_approved*p_defective_given_approved
p_defective = rejected_defective + approved_defective
print("P(rejected and defective) =", rejected_defective)
print("P(approved and defective) =", approved_defective)
print("P(defective) =", p_defective)
print("P(defective) in percent =", p_defective*100, "%")

Utskrift fra Python:
P(rejected and defective) = 0.0736
P(approved and defective) = 0.0184
P(defective) = 0.0920
P(defective) in percent = 9.2000 %

Fasit: \(P(D)=0{,}092=9{,}2\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi søker den omvendte betingede sannsynligheten \(P(F\mid D)\).

Steg 1 - Skriv Bayes setning

\[P(F\mid D)=\frac{P(F)P(D\mid F)}{P(D)}.\]

Steg 2 - Bruk resultatet fra a)

Vi har \(P(D)=0{,}092\).

Steg 3 - Finn telleren

\[P(F)P(D\mid F)=0{,}08\cdot0{,}92=0{,}0736.\]

Steg 4 - Sett inn

\[P(F\mid D)=\frac{0{,}0736}{0{,}092}.\]

Steg 5 - Regn ut

\[\frac{0{,}0736}{0{,}092}=0{,}80.\]

Steg 6 - Tolk

Av alle defekte lyspærer er 80 prosent i gruppen som kontrollen forkaster.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction
p_rejected = Fraction(8, 100)
p_defective_given_rejected = Fraction(92, 100)
p_defective = Fraction(92, 1000)
joint = p_rejected*p_defective_given_rejected
posterior = joint/p_defective
print("P(rejected) =", p_rejected)
print("P(defective | rejected) =", p_defective_given_rejected)
print("P(rejected and defective) =", joint)
print("P(defective) =", p_defective)
print("P(rejected | defective) =", posterior)
print("Decimal value =", float(posterior))
print("Percent =", float(posterior)*100, "%")

Utskrift fra Python:
P(rejected) = 2/25
P(defective | rejected) = 23/25
P(rejected and defective) = 46/625
P(defective) = 23/250
P(rejected | defective) = 4/5
Decimal value = 0.8
Percent = 80.0 %

Fasit: \(P(F\mid D)=0{,}80=80\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker at firkanten rundt det rette hjørnet C er et kvadrat med side r, og at sidene deles i tangentstykker.

Steg 1 - Se på radiusene til tangentpunktene

Radiusene \(SD\) og \(SF\) står vinkelrett på sidene AC og BC og har lengde r.

Steg 2 - Bruk det rette hjørnet

Vinkelen ved C er 90 grader. Firkanten CFS D har fire rette vinkler og to tilstøtende sider med lengde r.

Steg 3 - Finn tangentstykkene fra C

Dermed er \(CF=CD=r\).

Steg 4 - Del siden BC

På siden BC ligger F mellom B og C, så \[a=BC=BF+FC=BF+r.\]

Steg 5 - Del siden AC

På siden AC ligger D mellom A og C, så \[b=AC=AD+DC=AD+r.\]

Steg 6 - Konkluder

Begge uttrykkene følger av at avstanden fra C til hvert av de to tangentpunktene er r.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
r, AD, BF = sp.symbols("r AD BF", positive=True)
CD = r
CF = r
a = BF + CF
b = AD + CD
print("CD =", CD)
print("CF =", CF)
print("BC = BF + CF =", a)
print("AC = AD + CD =", b)
print("Therefore a - BF =", sp.simplify(a - BF))
print("Therefore b - AD =", sp.simplify(b - AD))

Utskrift fra Python:
CD = r
CF = r
BC = BF + CF = BF + r
AC = AD + CD = AD + r
Therefore a - BF = r
Therefore b - AD = r

Fasit: \(a=BF+r\) og \(b=AD+r\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter uttrykkene fra a) inn og bruker at tangentstykker fra samme ytre punkt er like lange.

Steg 1 - Bruk uttrykkene fra a)

\[a=BF+r,\qquad b=AD+r.\]

Steg 2 - Bruk uttrykket for hypotenusen

\[c=AE+BE.\]

Steg 3 - Sett inn i venstresiden

\[a+b-c=(BF+r)+(AD+r)-(AE+BE).\]

Steg 4 - Samle leddene

\[a+b-c=(BF-BE)+(AD-AE)+2r.\]

Steg 5 - Bruk tangentsetningen

Fra samme punkt B er tangentstykkene \(BF=BE\), og fra samme punkt A er \(AD=AE\).

Steg 6 - Kanseller

De to parentesene blir 0, og vi står igjen med \[a+b-c=2r.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
AD, AE, BF, BE, r = sp.symbols("AD AE BF BE r")
a = BF + r
b = AD + r
c = AE + BE
expression = a + b - c
substituted = expression.subs({BF: BE, AD: AE})
print("a + b - c before substitutions =", expression)
print("Use BF = BE and AD = AE")
print("After substitutions =", substituted)
print("Simplified result =", sp.simplify(substituted))
print("Identity check =", sp.simplify(substituted - 2*r))

Utskrift fra Python:
a + b - c before substitutions = AD - AE - BE + BF + 2*r
Use BF = BE and AD = AE
After substitutions = 2*r
Simplified result = 2*r
Identity check = 0

Fasit: \(a+b-c=2r\).

Hva spør oppgaven om? Den første formelen bruker katetene som grunnlinje og høyde. Den andre deler trekanten i tre mindre trekanter med felles høyde r.

Steg 1 - Bruk rettvinklet trekant

Katetene a og b står vinkelrett på hverandre.

Steg 2 - Finn arealet direkte

Grunnlinje ganger høyde delt på 2 gir \[T=\frac12ab.\]

Steg 3 - Del trekanten ved innsenteret

Trekk linjer fra S til hjørnene A, B og C. Da får vi tre trekanter med grunnlinjer a, b og c.

Steg 4 - Finn høyden i hver deltrekant

Avstanden fra S til hver side er radiusen r, fordi radien står vinkelrett på tangenten.

Steg 5 - Summer delarealene

\[T=\frac12ar+\frac12br+\frac12cr.\]

Steg 6 - Faktoriser

\[T=\frac12r(a+b+c).\]

Steg 7 - Konkluder

Begge formlene beregner arealet av den samme trekanten, men med ulike oppdelinger.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, b, c, r = sp.symbols("a b c r", positive=True)
area_right = sp.Rational(1, 2)*a*b
area_parts = sp.Rational(1, 2)*a*r + sp.Rational(1, 2)*b*r + sp.Rational(1, 2)*c*r
area_factored = sp.factor(area_parts)
print("Area from perpendicular legs =", area_right)
print("Area as three small triangles =", area_parts)
print("Factored second expression =", area_factored)
print("For a=3, b=4, c=5, r=1:")
print("First area =", area_right.subs({a: 3, b: 4}))
print("Second area =", area_factored.subs({a: 3, b: 4, c: 5, r: 1}))

Utskrift fra Python:
Area from perpendicular legs = a*b/2
Area as three small triangles = a*r/2 + b*r/2 + c*r/2
Factored second expression = r*(a + b + c)/2
For a=3, b=4, c=5, r=1:
First area = 6
Second area = 6

Fasit: \(T=\frac12ab=\frac12r(a+b+c)\).

Hva spør oppgaven om? Vi eliminerer radiusen r mellom areallikningen og sammenhengen \(a+b-c=2r\).

Steg 1 - Sett arealuttrykkene lik hverandre

Fra c) får vi \[\frac12ab=\frac12r(a+b+c).\]

Steg 2 - Multipliser med 2

\[ab=r(a+b+c).\]

Steg 3 - Isoler r fra b)

Fra \(a+b-c=2r\) får vi \[r=\frac{a+b-c}{2}.\]

Steg 4 - Sett inn for r

\[ab=\frac{a+b-c}{2}(a+b+c).\]

Steg 5 - Multipliser med 2

\[2ab=(a+b-c)(a+b+c).\]

Steg 6 - Bruk konjugatsetningen

\[(a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^2-c^2.\] Dermed \[2ab=(a+b)^2-c^2.\]

Steg 7 - Utvid kvadratet

\[2ab=a^2+2ab+b^2-c^2.\]

Steg 8 - Trekk fra 2ab

\[0=a^2+b^2-c^2.\]

Steg 9 - Isoler c²

\[\boxed{c^2=a^2+b^2}.\] Dette er Pytagoras setning.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, b, c = sp.symbols("a b c", positive=True)
r = (a + b - c)/2
right_side = sp.expand(2*r*(a + b + c))
identity_expression = sp.expand((a + b - c)*(a + b + c))
pythagorean_remainder = sp.expand(identity_expression - 2*a*b)
print("2*r*(a+b+c) after substituting r =", right_side)
print("Conjugate product =", identity_expression)
print("Subtract 2*a*b =", pythagorean_remainder)
print("Factored remainder =", sp.factor(pythagorean_remainder))
print("Setting the remainder to zero gives c**2 = a**2 + b**2")
print("Check for 3-4-5 triangle =", 5**2 - 3**2 - 4**2)

Utskrift fra Python:
2*r*(a+b+c) after substituting r = a**2 + 2*a*b + b**2 - c**2
Conjugate product = a**2 + 2*a*b + b**2 - c**2
Subtract 2*a*b = a**2 + b**2 - c**2
Factored remainder = a**2 + b**2 - c**2
Setting the remainder to zero gives c**2 = a**2 + b**2
Check for 3-4-5 triangle = 0

Fasit: \(c^2=a^2+b^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi teller femkortshender uten rekkefølge. Tre av kortene skal velges blant de fire tierne, og de to andre blant de 48 kortene som ikke er tiere.

Steg 1 - Tell alle mulige femkortshender

Antall like sannsynlige hender er \[\binom{52}{5}.\]

Steg 2 - Velg tre av de fire tierne

Dette kan gjøres på \[\binom43\] måter.

Steg 3 - Velg de to resterende kortene

For å få nøyaktig tre tiere må de to siste kortene velges blant de 48 kortene som ikke er tiere: \[\binom{48}{2}.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

Antall gunstige hender er \[\binom43\binom{48}{2}.\]

Steg 5 - Dann sannsynligheten

\[P=\frac{\binom43\binom{48}{2}}{\binom{52}{5}}.\]

Steg 6 - Regn ut

\[P=\frac{4512}{2598960}\approx0{,}001736.\]

Steg 7 - Gjør om til prosent

\[P\approx0{,}1736\%.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
all_hands = comb(52, 5)
choose_tens = comb(4, 3)
choose_non_tens = comb(48, 2)
favourable = choose_tens*choose_non_tens
probability = favourable/all_hands
print("All five-card hands =", all_hands)
print("Ways to choose 3 tens =", choose_tens)
print("Ways to choose 2 non-tens =", choose_non_tens)
print("Favourable hands =", favourable)
print("Probability =", probability)
print("Probability in percent =", probability*100)

Utskrift fra Python:
All five-card hands = 2598960
Ways to choose 3 tens = 4
Ways to choose 2 non-tens = 1128
Favourable hands = 4512
Probability = 0.0017360790470034167
Probability in percent = 0.17360790470034168

Fasit: \(P=\dfrac{\binom43\binom{48}{2}}{\binom{52}{5}}\approx0{,}001736=0{,}1736\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi velger først hvilken av de 13 verdiene som skal forekomme tre ganger, deretter tre av de fire kortene med denne verdien og til slutt to kort med andre verdier.

Steg 1 - Velg verdien til trippelen

Det finnes 13 mulige verdier: 2 til 10, knekt, dame, konge og ess.

Steg 2 - Velg tre av de fire fargene

For den valgte verdien kan tre kort velges på \(\binom43\) måter.

Steg 3 - Utelukk det fjerde kortet med samme verdi

Etter at verdien er valgt, finnes 48 kort med andre verdier.

Steg 4 - Velg de to siste kortene

De velges på \(\binom{48}{2}\) måter. De kan eventuelt ha samme verdi som hverandre, men ingen av dem har trippelverdien.

Steg 5 - Tell gunstige hender

\[13\binom43\binom{48}{2}.\]

Steg 6 - Del på alle hender

\[P=\frac{13\binom43\binom{48}{2}}{\binom{52}{5}}.\]

Steg 7 - Regn ut

\[P=\frac{58656}{2598960}\approx0{,}022569=2{,}2569\%.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
all_hands = comb(52, 5)
rank_choices = 13
triple_suit_choices = comb(4, 3)
other_card_choices = comb(48, 2)
favourable = rank_choices*triple_suit_choices*other_card_choices
probability = favourable/all_hands
print("Possible triple ranks =", rank_choices)
print("Suit choices for the triple =", triple_suit_choices)
print("Choices for the other two cards =", other_card_choices)
print("Favourable hands =", favourable)
print("All hands =", all_hands)
print("Probability =", probability)
print("Probability in percent =", probability*100)

Utskrift fra Python:
Possible triple ranks = 13
Suit choices for the triple = 4
Choices for the other two cards = 1128
Favourable hands = 58656
All hands = 2598960
Probability = 0.02256902761104442
Probability in percent = 2.256902761104442

Fasit: \(P=\dfrac{13\binom43\binom{48}{2}}{\binom{52}{5}}\approx0{,}022569=2{,}2569\%\).

Hva spør oppgaven om? Det finnes fire farger, og innen hver farge skal fem av de 13 kortene velges.

Steg 1 - Velg kortfargen

Vi kan få hjerter, ruter, spar eller kløver, altså 4 valg.

Steg 2 - Velg fem kort i den valgte fargen

En farge inneholder 13 kort, så antallet er \(\binom{13}{5}\).

Steg 3 - Tell gunstige hender

\[4\binom{13}{5}.\]

Steg 4 - Tell alle hender

\[\binom{52}{5}.\]

Steg 5 - Dann brøken

\[P=\frac{4\binom{13}{5}}{\binom{52}{5}}.\]

Steg 6 - Regn ut

\[P=\frac{5148}{2598960}\approx0{,}00198079.\]

Steg 7 - Prosent

\[P\approx0{,}1981\%.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
all_hands = comb(52, 5)
suit_choices = 4
hands_in_one_suit = comb(13, 5)
favourable = suit_choices*hands_in_one_suit
probability = favourable/all_hands
print("Suit choices =", suit_choices)
print("Five-card selections in one suit =", hands_in_one_suit)
print("Favourable hands =", favourable)
print("All five-card hands =", all_hands)
print("Probability =", probability)
print("Probability in percent =", probability*100)

Utskrift fra Python:
Suit choices = 4
Five-card selections in one suit = 1287
Favourable hands = 5148
All five-card hands = 2598960
Probability = 0.0019807923169267707
Probability in percent = 0.19807923169267708

Fasit: \(P=\dfrac{4\binom{13}{5}}{\binom{52}{5}}\approx0{,}001981=0{,}1981\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi beregner koordinatene fra parameteren t og tegner den parametriske kurven i riktig rekkefølge.

Steg 1 - Les av koordinatfunksjonene

\[x(t)=t^2-1,\qquad y(t)=t^3-t=t(t^2-1).\]

Steg 2 - Finn noen nøkkelpunkter

For \(t=-1,0,1\) får vi henholdsvis \((0,0)\), \((-1,0)\) og \((0,0)\).

Steg 3 - Finn endepunktene

\[\mathbf r(-3/2)=\left(\frac54,-\frac{15}{8}\right),\qquad \mathbf r(3/2)=\left(\frac54,\frac{15}{8}\right).\]

Steg 4 - Bruk symmetrien

\(x(-t)=x(t)\), mens \(y(-t)=-y(t)\). Kurven er derfor symmetrisk om x-aksen.

Steg 5 - Tegn parametrisk

I GeoGebra brukes kommandoen Curve med t som parameter og intervallet fra \(-3/2\) til \(3/2\).

Steg 6 - Vis bevegelsesretningen

Når t øker, går partikkelen fra det nedre endepunktet via origo og \((-1,0)\), tilbake via origo og til det øvre endepunktet.

Steg 7 - Kontroller utsnittet

Hele kurven har \(-1\leq x\leq5/4\) i det oppgitte intervallet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r = sp.Matrix([t**2 - 1, t**3 - t])
values = [sp.Rational(-3, 2), -1, 0, 1, sp.Rational(3, 2)]
print("r(t) =", tuple(r))
for value in values:
    print("t =", value, "gives point", tuple(sp.simplify(v) for v in r.subs(t, value)))
print("x(-t) - x(t) =", sp.simplify(r[0].subs(t, -t) - r[0]))
print("y(-t) + y(t) =", sp.simplify(r[1].subs(t, -t) + r[1]))
print("x-range on the interval is from -1 to 5/4")

Utskrift fra Python:
r(t) = (t**2 - 1, t**3 - t)
t = -3/2 gives point (5/4, -15/8)
t = -1 gives point (0, 0)
t = 0 gives point (-1, 0)
t = 1 gives point (0, 0)
t = 3/2 gives point (5/4, 15/8)
x(-t) - x(t) = 0
y(-t) + y(t) = 0
x-range on the interval is from -1 to 5/4

Fasit: Kurven går fra \((5/4,-15/8)\) via \((0,0)\), \((-1,0)\), \((0,0)\) og til \((5/4,15/8)\).

Hva spør oppgaven om? Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren komponentvis, og akselerasjonen er den deriverte av farten.

Steg 1 - Skriv posisjonsvektoren

\[\mathbf r(t)=[t^2-1,\,t^3-t].\]

Steg 2 - Deriver x-komponenten

\[\frac{d}{dt}(t^2-1)=2t.\]

Steg 3 - Deriver y-komponenten

\[\frac{d}{dt}(t^3-t)=3t^2-1.\]

Steg 4 - Skriv fartsvektoren

\[\mathbf v(t)=[2t,\,3t^2-1].\]

Steg 5 - Deriver farten

\[\frac{d}{dt}(2t)=2,\qquad \frac{d}{dt}(3t^2-1)=6t.\]

Steg 6 - Skriv akselerasjonsvektoren

\[\mathbf a(t)=[2,\,6t].\]

Steg 7 - Kontroll

Akselerasjonsvektoren er også den andrederiverte av posisjonsvektoren.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r = sp.Matrix([t**2 - 1, t**3 - t])
v = r.diff(t)
a = v.diff(t)
print("Position r(t) =", tuple(r))
print("dx/dt =", sp.diff(r[0], t))
print("dy/dt =", sp.diff(r[1], t))
print("Velocity v(t) =", tuple(v))
print("dv_x/dt =", sp.diff(v[0], t))
print("dv_y/dt =", sp.diff(v[1], t))
print("Acceleration a(t) =", tuple(a))
print("Second derivative of r =", tuple(r.diff(t, 2)))

Utskrift fra Python:
Position r(t) = (t**2 - 1, t**3 - t)
dx/dt = 2*t
dy/dt = 3*t**2 - 1
Velocity v(t) = (2*t, 3*t**2 - 1)
dv_x/dt = 2
dv_y/dt = 6*t
Acceleration a(t) = (2, 6*t)
Second derivative of r = (2, 6*t)

Fasit: \(\mathbf v(t)=[2t,3t^2-1]\) og \(\mathbf a(t)=[2,6t]\).

Hva spør oppgaven om? Banefarten er lengden av fartsvektoren. Det er enklere å minimere kvadratet av farten, fordi kvadratrotfunksjonen er voksende.

Steg 1 - Bruk fartsvektoren

\[\mathbf v(t)=[2t,3t^2-1].\]

Steg 2 - Finn kvadratet av banefarten

\[|\mathbf v(t)|^2=(2t)^2+(3t^2-1)^2=9t^4-2t^2+1.\]

Steg 3 - Deriver uttrykket

\[\frac{d}{dt}|\mathbf v|^2=36t^3-4t=4t(9t^2-1).\]

Steg 4 - Finn kritiske t-verdier

\[t=0,\qquad t=\pm\frac13.\] Alle ligger i intervallet.

Steg 5 - Sammenlikn verdier

Ved \(t=0\) er fartskvadratet 1. Ved \(t=\pm1/3\) er det \(8/9\). Endepunktene gir langt større verdi.

Steg 6 - Ta kvadratroten

\[v_{\min}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}.\]

Steg 7 - Desimalverdi

\[v_{\min}\approx0{,}943.\] Minste fart oppnås for \(t=\pm1/3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
v = sp.Matrix([2*t, 3*t**2 - 1])
speed_squared = sp.expand(v.dot(v))
derivative = sp.factor(sp.diff(speed_squared, t))
critical = sp.solve(sp.Eq(derivative, 0), t)
candidates = critical + [sp.Rational(-3, 2), sp.Rational(3, 2)]
print("v(t) =", tuple(v))
print("Speed squared =", speed_squared)
print("Derivative of speed squared =", derivative)
print("Critical t-values =", critical)
for value in candidates:
    print("t =", value, ": speed squared =", sp.simplify(speed_squared.subs(t, value)))
minimum_speed = sp.sqrt(sp.Rational(8, 9))
print("Minimum speed =", minimum_speed)
print("Decimal value =", sp.N(minimum_speed, 8))

Utskrift fra Python:
v(t) = (2*t, 3*t**2 - 1)
Speed squared = 9*t**4 - 2*t**2 + 1
Derivative of speed squared = 4*t*(3*t - 1)*(3*t + 1)
Critical t-values = [-1/3, 0, 1/3]
t = -1/3 : speed squared = 8/9
t = 0 : speed squared = 1
t = 1/3 : speed squared = 8/9
t = -3/2 : speed squared = 673/16
t = 3/2 : speed squared = 673/16
Minimum speed = 2*sqrt(2)/3
Decimal value = 0.94280904

Fasit: Minste banefart er \(\dfrac{2\sqrt2}{3}\approx0{,}943\), ved \(t=\pm1/3\).

Hva spør oppgaven om? Vi finner den andre kateten med Pytagoras og beregner trekantens areal på to måter.

Steg 1 - Finn den loddrette kateten

Siden hypotenusen er 7 og den vannrette kateten er x, gir Pytagoras \[BC=\sqrt{7^2-x^2}=\sqrt{49-x^2}.\]

Steg 2 - Areal med katetene

\[T=\frac12\,AC\cdot BC=\frac12x\sqrt{49-x^2}.\]

Steg 3 - Bruk stigen som grunnlinje

Avstanden d er vinkelrett på stigen og er derfor høyden når stigen AB brukes som grunnlinje.

Steg 4 - Areal med hypotenusen

\[T=\frac12\cdot 7\cdot d.\]

Steg 5 - Sett arealene lik hverandre

\[\frac12x\sqrt{49-x^2}=\frac12\cdot7d.\]

Steg 6 - Multipliser med 2

\[x\sqrt{49-x^2}=7d.\]

Steg 7 - Isoler d

\[d=\frac{x\sqrt{49-x^2}}7.\]

Steg 8 - Definisjonsområde

I den fysiske situasjonen er \(0<x<7\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, d = sp.symbols("x d", positive=True)
vertical_leg = sp.sqrt(49 - x**2)
area_using_legs = sp.Rational(1, 2)*x*vertical_leg
area_using_ladder = sp.Rational(1, 2)*7*d
solution = sp.solve(sp.Eq(area_using_legs, area_using_ladder), d)[0]
print("Horizontal leg =", x)
print("Vertical leg =", vertical_leg)
print("Area using the legs =", area_using_legs)
print("Area using ladder and height d =", area_using_ladder)
print("Solving the area equation gives d =", solution)
print("Check after substitution =", sp.simplify(area_using_legs - area_using_ladder.subs(d, solution)))

Utskrift fra Python:
Horizontal leg = x
Vertical leg = sqrt(49 - x**2)
Area using the legs = x*sqrt(49 - x**2)/2
Area using ladder and height d = 7*d/2
Solving the area equation gives d = x*sqrt(49 - x**2)/7
Check after substitution = 0

Fasit: \(d=\dfrac{x\sqrt{49-x^2}}7\), for \(0<x<7\).

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer kvadratet av d, som har maksimum for samme x fordi d er positiv.

Steg 1 - Kvadrer uttrykket

\[d^2=\frac{x^2(49-x^2)}{49}.\]

Steg 2 - Innfør en enklere variabel

Sett \(u=x^2\). Da er \[d^2=\frac{u(49-u)}{49}.\]

Steg 3 - Se andregradsfunksjonen

Telleren \(u(49-u)=-u^2+49u\) er en nedovervendt parabel.

Steg 4 - Finn toppunktet

Toppunktets u-verdi er \[u=-\frac{49}{2(-1)}=\frac{49}{2}.\]

Steg 5 - Gå tilbake til x

\[x^2=\frac{49}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\frac7{\sqrt2}=\frac{7\sqrt2}{2}.\] Vi velger den positive løsningen.

Steg 6 - Finn den andre kateten

\[\sqrt{49-x^2}=\sqrt{49-49/2}=\frac7{\sqrt2}.\] Trekanten er altså likebeint rettvinklet.

Steg 7 - Finn maksimal d

\[d_{\max}=\frac{(7/\sqrt2)(7/\sqrt2)}7=\frac72=3{,}5.\]

Steg 8 - Konklusjon

Avstanden blir størst når stigen danner en likebeint rettvinklet trekant med veggen og bakken.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
d = x*sp.sqrt(49 - x**2)/7
d_squared = sp.expand(x**2*(49 - x**2)/49)
derivative = sp.factor(sp.diff(d_squared, x))
critical = [value for value in sp.solve(sp.Eq(derivative, 0), x) if value.is_positive]
x_max = 7/sp.sqrt(2)
d_max = sp.simplify(d.subs(x, x_max))
print("d(x) =", d)
print("d(x)**2 =", d_squared)
print("Derivative of d(x)**2 =", derivative)
print("Positive critical values =", critical)
print("x for maximum =", sp.radsimp(x_max))
print("Maximum d =", d_max)
print("Decimal values: x =", sp.N(x_max, 8), ", d =", sp.N(d_max, 8))

Utskrift fra Python:
d(x) = x*sqrt(49 - x**2)/7
d(x)**2 = -x**4/49 + x**2
Derivative of d(x)**2 = -2*x*(2*x**2 - 49)/49
Positive critical values = [7*sqrt(2)/2]
x for maximum = 7*sqrt(2)/2
Maximum d = 7/2
Decimal values: x = 4.9497475 , d = 3.5000000

Fasit: \(x=\dfrac{7\sqrt2}{2}\approx4{,}95\text{ m}\), og \(d_{\max}=\dfrac72=3{,}5\text{ m}\).

Hva spør oppgaven om? Vi tegner grafen og bruker nullpunkt, ekstremalpunkter og endeadferd som kontrollpunkter.

Steg 1 - Faktoriser så langt som mulig

\[f(x)=x(2x^2-6x+5).\] Andregradsfaktoren har diskriminant \(36-40=-4<0\), så eneste reelle nullpunkt er \(x=0\).

Steg 2 - Finn den deriverte

\[f^{\prime}(x)=6x^2-12x+5.\]

Steg 3 - Finn kritiske x-verdier

\[6x^2-12x+5=0\quad\Rightarrow\quad x=1\pm\frac{\sqrt6}{6}.\]

Steg 4 - Klassifiser punktene

Andrederiverten er \(f^{\prime\prime}(x)=12x-12\). Det venstre punktet er et lokalt toppunkt, og det høyre er et lokalt bunnpunkt.

Steg 5 - Finn vendepunktet

\(f^{\prime\prime}(x)=0\) ved \(x=1\), og \(f(1)=1\). Vendepunktet er \((1,1)\).

Steg 6 - Endeadferd

Det ledende leddet er \(2x^3\), så grafen går mot \(-\infty\) til venstre og \(+\infty\) til høyre.

Steg 7 - Tegn med passende vindu

Et vindu som viser omtrent \(-1\leq x\leq6\) gjør både formen og tangentoppgaven synlig.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = 2*x**3 - 6*x**2 + 5*x
f1 = sp.diff(f, x)
f2 = sp.diff(f, x, 2)
critical = sp.solve(sp.Eq(f1, 0), x)
print("f(x) =", f)
print("Factored f(x) =", sp.factor(f))
print("Real roots =", sp.solve(sp.Eq(f, 0), x))
print("f'(x) =", f1)
print("Critical x-values =", critical)
for value in critical:
    print("Critical point =", (value, sp.simplify(f.subs(x, value))), ", f'' =", sp.simplify(f2.subs(x, value)))
print("Inflection point =", (1, f.subs(x, 1)))

Utskrift fra Python:
f(x) = 2*x**3 - 6*x**2 + 5*x
Factored f(x) = x*(2*x**2 - 6*x + 5)
Real roots = [0]
f'(x) = 6*x**2 - 12*x + 5
Critical x-values = [1 - sqrt(6)/6, sqrt(6)/6 + 1]
Critical point = (1 - sqrt(6)/6, sqrt(6)/9 + 1) , f'' = -2*sqrt(6)
Critical point = (sqrt(6)/6 + 1, 1 - sqrt(6)/9) , f'' = 2*sqrt(6)
Inflection point = (1, 1)

Fasit: Grafen har nullpunkt \((0,0)\), vendepunkt \((1,1)\) og ekstremalpunkter ved \(x=1\pm\sqrt6/6\).

Hva spør oppgaven om? I et tangeringspunkt må stigningstallet til sekanten fra A være lik den deriverte, som er tangentens stigningstall.

Steg 1 - Kall tangeringspunktet Q

La \(Q=(x,f(x))\) være et punkt på grafen der en tangent gjennom A berører grafen.

Steg 2 - Finn stigningstallet mellom A og Q

\[m_{AQ}=\frac{f(x)-3}{x-4}.\]

Steg 3 - Finn tangentens stigningstall

Tangentens stigningstall i Q er definert som \(f^{\prime}(x)\).

Steg 4 - Bruk at A ligger på tangenten

Siden linjen gjennom A og Q er nettopp tangenten i Q, må de to stigningstallene være like.

Steg 5 - Sett dem lik hverandre

\[\frac{f(x)-3}{x-4}=f^{\prime}(x).\]

Steg 6 - Kontroller nevneren

Her er \(x\neq4\). Punktet A ligger ikke på grafen fordi \(f(4)=52\neq3\), så x=4 er uansett ikke et tangeringspunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
f = 2*x**3 - 6*x**2 + 5*x
A_x, A_y = 4, 3
secant_slope = sp.simplify((f - A_y)/(x - A_x))
tangent_slope = sp.diff(f, x)
condition = sp.together(secant_slope - tangent_slope)
print("Point on graph Q = (x, f(x))")
print("A =", (A_x, A_y))
print("Secant slope AQ =", secant_slope)
print("Tangent slope at Q =", tangent_slope)
print("Equation is secant slope = tangent slope")
print("Difference as one fraction =", sp.factor(condition))
print("f(4) =", f.subs(x, 4), "so A is not on the graph")

Utskrift fra Python:
Point on graph Q = (x, f(x))
A = (4, 3)
Secant slope AQ = (2*x**3 - 6*x**2 + 5*x - 3)/(x - 4)
Tangent slope at Q = 6*x**2 - 12*x + 5
Equation is secant slope = tangent slope
Difference as one fraction = -(2*x - 1)*(2*x**2 - 14*x + 17)/(x - 4)
f(4) = 52 so A is not on the graph

Fasit: Tangeringsverdiene må oppfylle \(\dfrac{f(x)-3}{x-4}=f^{\prime}(x)\).

Hva spør oppgaven om? Vi løser likningen fra b), finner den deriverte i hvert berøringspunkt og bruker punktet A(4,3) i tangentlikningen.

Steg 1 - Sett inn f og f'

\[\frac{2x^3-6x^2+5x-3}{x-4}=6x^2-12x+5.\]

Steg 2 - Flytt alt til én side og faktoriser

CAS gir telleren \[-(2x-1)(2x^2-14x+17)=0.\]

Steg 3 - Løs faktorene

\[x_1=\frac12,\qquad x_2=\frac{7-\sqrt{15}}2,\qquad x_3=\frac{7+\sqrt{15}}2.\]

Steg 4 - Finn første stigningstall

\[f^{\prime}(1/2)=\frac12.\] Tangenten gjennom A blir \[y-3=\frac12(x-4),\] altså \(y=\frac12x+1\).

Steg 5 - Finn andre stigningstall

For \(x_2=(7-\sqrt{15})/2\) får vi \[m_2=59-15\sqrt{15}.\]

Steg 6 - Skriv andre tangent

\[y-3=(59-15\sqrt{15})(x-4).\]

Steg 7 - Finn tredje stigningstall

For \(x_3=(7+\sqrt{15})/2\) får vi \[m_3=59+15\sqrt{15}.\]

Steg 8 - Skriv tredje tangent

\[y-3=(59+15\sqrt{15})(x-4).\]

Steg 9 - Kontroll

Alle tre linjene går gjennom A når \(x=4\), og hver linje har samme verdi og stigning som f i sitt berøringspunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, y = sp.symbols("x y", real=True)
f = 2*x**3 - 6*x**2 + 5*x
f_prime = sp.diff(f, x)
equation_numerator = sp.factor((f - 3) - f_prime*(x - 4))
roots = sp.solve(sp.Eq(equation_numerator, 0), x)
print("Tangent equation numerator =", equation_numerator)
print("Tangency x-values =", roots)
for index, value in enumerate(roots, 1):
    slope = sp.simplify(f_prime.subs(x, value))
    point_y = sp.simplify(f.subs(x, value))
    intercept = sp.simplify(point_y - slope*value)
    print("Tangent", index, ": x0 =", value)
    print("  point y =", point_y)
    print("  slope =", slope)
    print("  line y =", sp.expand(slope*x + intercept))
    print("  check at x=4 =", sp.simplify((slope*x + intercept).subs(x, 4)))

Utskrift fra Python:
Tangent equation numerator = -(2*x - 1)*(2*x**2 - 14*x + 17)
Tangency x-values = [1/2, 7/2 - sqrt(15)/2, sqrt(15)/2 + 7/2]
Tangent 1 : x0 = 1/2
  point y = 5/4
  slope = 1/2
  line y = x/2 + 1
  check at x=4 = 3
Tangent 2 : x0 = 7/2 - sqrt(15)/2
  point y = 86 - 22*sqrt(15)
  slope = 59 - 15*sqrt(15)
  line y = -15*sqrt(15)*x + 59*x - 233 + 60*sqrt(15)
  check at x=4 = 3
Tangent 3 : x0 = sqrt(15)/2 + 7/2
  point y = 22*sqrt(15) + 86
  slope = 15*sqrt(15) + 59
  line y = 15*sqrt(15)*x + 59*x - 233 - 60*sqrt(15)
  check at x=4 = 3

Fasit: Tangentene er \(y=\frac12x+1\), \(y-3=(59-15\sqrt{15})(x-4)\) og \(y-3=(59+15\sqrt{15})(x-4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi lar t være x-koordinaten til et mulig berøringspunkt og undersøker graden til likningen som t må oppfylle.

Steg 1 - Skriv tangentlinjen i parameteren t

Tangenten i \((t,f(t))\) er \[y=f(t)+f^{\prime}(t)(x-t).\]

Steg 2 - Krev at P ligger på tangenten

\[b=f(t)+f^{\prime}(t)(a-t).\]

Steg 3 - Sett inn tredjegradsfunksjonen

Her er \(f(t)=2t^3-6t^2+5t\) og \(f^{\prime}(t)=6t^2-12t+5\).

Steg 4 - Utvid likningen

Etter samling får vi en tredjegradslikning i t: \[-4t^3+(6a+6)t^2-12at+(5a-b)=0.\]

Steg 5 - Bruk graden

En tredjegradslikning kan ha høyst tre reelle løsninger.

Steg 6 - Tolk løsningene

Hver reell t-verdi gir ett berøringspunkt og dermed én tangent gjennom P.

Steg 7 - Vis at grensen kan nås

Punktet A(4,3) i c) gir tre forskjellige reelle t-verdier og dermed tre tangenter.

Steg 8 - Konklusjon

Det maksimale antallet er derfor 3.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t, a, b = sp.symbols("t a b", real=True)
f_t = 2*t**3 - 6*t**2 + 5*t
f_prime_t = sp.diff(f_t, t)
condition = sp.expand(f_t + f_prime_t*(a - t) - b)
print("f(t) =", f_t)
print("f'(t) =", f_prime_t)
print("Condition for P(a,b) on the tangent =", condition)
print("Polynomial degree in t =", sp.Poly(condition, t).degree())
example = sp.factor(condition.subs({a: 4, b: 3}))
print("For P=(4,3), polynomial =", example)
print("Roots for P=(4,3) =", sp.solve(sp.Eq(example, 0), t))
print("Therefore the maximum number of real tangents is 3")

Utskrift fra Python:
f(t) = 2*t**3 - 6*t**2 + 5*t
f'(t) = 6*t**2 - 12*t + 5
Condition for P(a,b) on the tangent = 6*a*t**2 - 12*a*t + 5*a - b - 4*t**3 + 6*t**2
Polynomial degree in t = 3
For P=(4,3), polynomial = -(2*t - 1)*(2*t**2 - 14*t + 17)
Roots for P=(4,3) = [1/2, 7/2 - sqrt(15)/2, sqrt(15)/2 + 7/2]
Therefore the maximum number of real tangents is 3

Fasit: Det maksimale antallet tangenter gjennom et punkt P er \(3\).