Vanlig feil: Å glemme faktoren \(-2x\) fra kjerneregelen.
Sensorpunkt: Både produktregelen og kjerneregelen må være synlige.
Del 1 - Oppgave 3bEkstremalpunkter
Oppgave 3b
Oppgave: Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til \(f(x)=x^2e^{1-x^2}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse \(f'(x)=0\) og klassifisere de stasjonære punktene.
Steg 1 - Bruk den deriverte
\(f'(x)=2x(1-x^2)e^{1-x^2}\).
Steg 2 - Utnytt at eksponentialleddet er positivt
\(e^{1-x^2}>0\) for alle reelle \(x\).
Steg 3 - Løs de øvrige faktorene
\(2x(1-x^2)=0\) gir \(x=-1,0,1\).
Steg 4 - Finn funksjonsverdiene
\(f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\).
Steg 5 - Klassifiser med fortegn
\(f'\) skifter fra positiv til negativ ved \(x=-1\) og \(x=1\), og fra negativ til positiv ved \(x=0\).
Steg 6 - Oppgi punktene
Toppunktene er \((-1,1)\) og \((1,1)\), mens bunnpunktet er \((0,0)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[2x(1-x^2) exp(1-x^2)=0,x]
\(x=-1,0,1\)
2
Substitute[x^2 exp(1-x^2),x,{-1,0,1}]
\(1,0,1\)
Tolkning: CAS finner stasjonære x-verdier og tilhørende y-verdier.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**2*sp.exp(1 - x**2)
df = sp.factor(sp.diff(f, x))
critical = sp.solve(sp.Eq(df, 0), x)
print("f'(x) =", df)
print("Stasjonære x-verdier =", critical)
for c in critical:
print("Punkt ved x =", c, "er (", c, ",", sp.simplify(f.subs(x, c)), ")")
print("Fortegn f'(-2), f'(-1/2), f'(1/2), f'(2) =")
print([sp.N(df.subs(x, q)) for q in [-2, -sp.Rational(1,2), sp.Rational(1,2), 2]])
Utskrift fra Python:
f'(x) = -2*E*x*(x - 1)*(x + 1)*exp(-x**2)
Stasjonære x-verdier = [-1, 0, 1]
Punkt ved x = -1 er ( -1 , 1 )
Punkt ved x = 0 er ( 0 , 0 )
Punkt ved x = 1 er ( 1 , 1 )
Fortegn f'(-2), f'(-1/2), f'(1/2), f'(2) =
[0.597444820414367, -1.58775001245951, 1.58775001245951, -0.597444820414367]
Fasit: Toppunkt: \((-1,1)\) og \((1,1)\). Bunnpunkt: \((0,0)\).
Vanlig feil: Å bare løse \(f'=0\) uten å klassifisere punktene.
Sensorpunkt: Koordinater og korrekt fortegnsskifte for hvert punkt.
Del 1 - Oppgave 3cGrafskisse
Oppgave 3c
Oppgave: Lag en skisse av grafen til \(f\), når du får vite at \(f(x)\to0\) når \(x\to\pm\infty\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere symmetri, ekstremalpunkter og grenseverdier til en korrekt skisse.
Steg 1 - Se på symmetrien
Både \(x^2\) og \(e^{1-x^2}\) er like funksjoner, så \(f(-x)=f(x)\).
Steg 2 - Plasser bunnpunktet
Grafen går gjennom \((0,0)\) og har lokalt bunnpunkt der.
Steg 3 - Plasser toppunktene
Grafen har topper i \((-1,1)\) og \((1,1)\).
Steg 4 - Bruk grenseverdiene
Grafen nærmer seg x-aksen ovenfra når \(x\to\pm\infty\).
Steg 5 - Tegn monotoni
Grafen stiger mot venstre topp, synker til origo, stiger til høyre topp og synker deretter mot 0.
Steg 6 - Kontroller at grafen er ikke-negativ
Fordi \(x^2\ge0\) og eksponentialleddet er positivt, ligger grafen aldri under x-aksen.
Kontrollskisse av funksjonen med ekstrem- og vendepunkter.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
f(x)=x^2 exp(1-x^2)
Symmetrisk graf med topper i \((\pm1,1)\) og bunn i \((0,0)\)
Tolkning: Graftegneren skal vise samme symmetri og endeadferd.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**2*sp.exp(1 - x**2)
print("f(-x) - f(x) =", sp.simplify(f.subs(x, -x) - f))
print("f(0) =", f.subs(x, 0))
print("f(-1) =", f.subs(x, -1), "og f(1) =", f.subs(x, 1))
print("Grense x -> +uendelig =", sp.limit(f, x, sp.oo))
print("Grense x -> -uendelig =", sp.limit(f, x, -sp.oo))
print("f(x) er ikke-negativ fordi x^2 >= 0 og exp(...) > 0")
Utskrift fra Python:
f(-x) - f(x) = 0
f(0) = 0
f(-1) = 1 og f(1) = 1
Grense x -> +uendelig = 0
Grense x -> -uendelig = 0
f(x) er ikke-negativ fordi x^2 >= 0 og exp(...) > 0
Fasit: En symmetrisk, ikke-negativ graf med topper i \((\pm1,1)\), bunn i \((0,0)\) og horisontal asymptotisk tilnærming til \(y=0\).
Vanlig feil: Å tegne grafen under x-aksen eller uten symmetri.
Sensorpunkt: Skissen må vise ekstremalpunkter, symmetri og riktig endeadferd.
Del 1 - Oppgave 3dVendepunkter
Oppgave 3d
Oppgave: Bruk skissen til å avgjøre hvor mange vendepunkt grafen til \(f\) har. Marker vendepunktene på skissen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal telle krumningsskiftene; en symbolsk kontroll gir også de omtrentlige koordinatene.
Steg 1 - Observer grafens krumning
På hver side av origo endrer grafen krumning to ganger.
Steg 2 - Bruk symmetrien
Krumningsskiftene kommer parvis fordi grafen er symmetrisk om y-aksen.
Steg 3 - Konkluder antallet
Det er derfor totalt fire vendepunkter.
Steg 4 - Symbolsk kontroll
\[f''(x)=2e^{1-x^2}(2x^4-5x^2+1).\]
Steg 5 - Løs andrederivert lik null
\(x^2=\frac{5\pm\sqrt{17}}4\), altså fire reelle x-verdier.
Steg 6 - Oppgi omtrentlige punkter
\(x\approx\pm0.468\) gir \(y\approx0.479\), og \(x\approx\pm1.510\) gir \(y\approx0.634\).
Tolkning: CAS bekrefter fire reelle krumningsskifter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**2*sp.exp(1 - x**2)
d2 = sp.factor(sp.diff(f, x, 2))
poly = sp.factor(d2/sp.exp(1 - x**2)/2)
roots = sp.solve(sp.Eq(poly, 0), x)
print("f''(x) =", d2)
print("Polynomfaktoren =", poly)
print("Vendepunktenes x-verdier:")
for r in roots:
print("x =", r, "≈", float(sp.N(r, 8)), ", y ≈", float(sp.N(f.subs(x, r), 8)))
print("Antall reelle vendepunkter =", len(roots))
Utskrift fra Python:
f''(x) = 2*E*(2*x**4 - 5*x**2 + 1)*exp(-x**2)
Polynomfaktoren = 2*x**4 - 5*x**2 + 1
Vendepunktenes x-verdier:
x = -sqrt(5/4 - sqrt(17)/4) ≈ -0.46821319265291095 , y ≈ 0.4786016345024109
x = sqrt(5/4 - sqrt(17)/4) ≈ 0.46821319265291095 , y ≈ 0.4786016345024109
x = -sqrt(sqrt(17)/4 + 5/4) ≈ -1.5102239586412907 , y ≈ 0.6336487550288439
x = sqrt(sqrt(17)/4 + 5/4) ≈ 1.5102239586412907 , y ≈ 0.6336487550288439
Antall reelle vendepunkter = 4
Fasit: Grafen har \(4\) vendepunkter.
Vanlig feil: Å telle topp- og bunnpunkter som vendepunkter.
Sensorpunkt: Et vendepunkt krever skifte i krumning; fire punkter skal markeres.
Del 1 - Oppgave 4aGeometri og Pytagoras
Oppgave 4a
Oppgave: En likesidet \(\triangle ABC\) har side 6 cm. \(BEDC\) er et kvadrat, og sirkelbuen har sentrum i \(C\) og radius \(CE\). Bestem \(CH\), \(CF\) og \(HF\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke høyden i en likesidet trekant, diagonalen i et kvadrat og Pytagoras.
Steg 1 - Finn halvparten av grunnlinjen
Høyden i en likesidet trekant halverer grunnlinjen, så \(AH=HB=3\).
Vanlig feil: Å bruke \(BF\) i stedet for \(HF\) i summen for AF.
Sensorpunkt: En tydelig lengdesum og korrekt forkorting.
Del 1 - Oppgave 5aVektorregning
Oppgave 5a
Oppgave: Punktene \(A(1,1)\), \(B(5,2)\) og \(C(3,5)\) er gitt. Bruk vektorregning til å avgjøre om punktene ligger på en rett linje.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne retningsvektorene fra A.
Steg 1 - Finn AB
\(\overrightarrow{AB}=(5-1,2-1)=(4,1)\).
Steg 2 - Finn AC
\(\overrightarrow{AC}=(3-1,5-1)=(2,4)\).
Steg 3 - Test proporsjonalitet
Hvis punktene er kollineære, må vektorene være parallelle.
Steg 4 - Sammenlign komponentforhold
\(2/4=1/2\), mens \(4/1=4\); samme skalar finnes ikke.
Steg 5 - Bruk determinant som kontroll
\(4\cdot4-1\cdot2=14\ne0\).
Steg 6 - Konkluder
Vektorene er ikke parallelle, så punktene ligger ikke på én rett linje.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Determinant[{{4,1},{2,4}}]
\(14\)
Tolkning: En ikke-null determinant betyr ikke-parallelle vektorer.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
A = sp.Matrix([1, 1])
B = sp.Matrix([5, 2])
C = sp.Matrix([3, 5])
AB = B - A
AC = C - A
determinant = sp.det(sp.Matrix.hstack(AB, AC))
print("AB =", tuple(AB))
print("AC =", tuple(AC))
print("Determinant[AB, AC] =", determinant)
print("Parallelle?", determinant == 0)
print("Konklusjon: Punktene er ikke kollineære.")
Utskrift fra Python:
AB = (4, 1)
AC = (2, 4)
Determinant[AB, AC] = 14
Parallelle? False
Konklusjon: Punktene er ikke kollineære.
Fasit: Punktene ligger ikke på en rett linje.
Vanlig feil: Å sammenligne bare én komponent i vektorene.
Sensorpunkt: To retningsvektorer og en klar parallellitetstest.
Del 1 - Oppgave 5bSkalarprodukt
Oppgave 5b
Oppgave: Punktet \(D\) er gitt ved \(D(0,t)\). Bestem eventuelle verdier av \(t\) slik at \(\angle CDA=90^{\circ}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kreve at vektorene fra D til C og A har skalarprodukt 0.
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
DC = sp.Matrix([3, 5 - t])
DA = sp.Matrix([1, 1 - t])
dot = sp.expand(DC.dot(DA))
solutions = sp.solve(sp.Eq(dot, 0), t)
print("DC =", tuple(DC))
print("DA =", tuple(DA))
print("DC · DA =", dot)
print("Faktorisert likning =", sp.factor(dot))
print("Løsninger for t =", solutions)
for value in solutions:
print("Kontroll ved t =", value, ":", dot.subs(t, value))
Utskrift fra Python:
DC = (3, 5 - t)
DA = (1, 1 - t)
DC · DA = t**2 - 6*t + 8
Faktorisert likning = (t - 4)*(t - 2)
Løsninger for t = [2, 4]
Kontroll ved t = 2 : 0
Kontroll ved t = 4 : 0
Fasit: \(t=2\) eller \(t=4\).
Vanlig feil: Å bruke vektorer med forskjellige startpunkter i vinkelberegningen.
Sensorpunkt: Begge vektorer skal starte i D, og skalarproduktet skal settes lik 0.
Del 1 - Oppgave 5cParallelle sider
Oppgave 5c
Oppgave: Bestem eventuelle verdier av \(t\) slik at \(ABCD\) blir et trapes.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke begge mulige par av motstående sider.
\(\overrightarrow{BC}=(-2,3)\), \(\overrightarrow{AD}=(-1,t-1)\). Determinanten gir \(-2(t-1)+3=0\).
Steg 6 - Løs og samle
Den andre verdien er \(t=5/2\). Dermed finnes to muligheter.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[4(5-t)-3=0,t]
\(t=\frac{17}{4}\)
2
Solve[-2(t-1)+3=0,t]
\(t=\frac52\)
Tolkning: CAS kontrollerer begge parallelle sidepar.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
AB = sp.Matrix([4, 1])
DC = sp.Matrix([3, 5 - t])
BC = sp.Matrix([-2, 3])
AD = sp.Matrix([-1, t - 1])
det1 = sp.det(sp.Matrix.hstack(AB, DC))
det2 = sp.det(sp.Matrix.hstack(BC, AD))
print("det(AB, DC) =", sp.expand(det1))
print("AB parallell CD gir t =", sp.solve(sp.Eq(det1, 0), t))
print("det(BC, AD) =", sp.expand(det2))
print("BC parallell AD gir t =", sp.solve(sp.Eq(det2, 0), t))
print("Samlet: t = 17/4 eller t = 5/2")
Utskrift fra Python:
det(AB, DC) = 17 - 4*t
AB parallell CD gir t = [17/4]
det(BC, AD) = 5 - 2*t
BC parallell AD gir t = [5/2]
Samlet: t = 17/4 eller t = 5/2
Fasit: \(t=\dfrac{17}{4}\) eller \(t=\dfrac52\).
Vanlig feil: Å undersøke bare ett av de to parene med motstående sider.
Sensorpunkt: Begge mulige parallelle sidepar må testes.
Del 1 - Oppgave 6aKombinatorikk
Oppgave 6a
Oppgave: Skolen tilbyr fem realfag og åtte andre fag. Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom Camilla skal ha to realfag og to andre fag?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge uordnet uten tilbakelegging fra to separate faggrupper.
Steg 1 - Velg realfag
Antall måter å velge 2 av 5 er \(\binom52\).
Steg 2 - Regn ut realfagsvalget
\(\binom52=10\).
Steg 3 - Velg andre fag
Antall måter å velge 2 av 8 er \(\binom82\).
Steg 4 - Regn ut det andre valget
\(\binom82=28\).
Steg 5 - Bruk produktregelen
De to valgene kan kombineres uavhengig: \(10\cdot28\).
Steg 6 - Beregn
\[10\cdot28=280.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Binomial[5,2] Binomial[8,2]
\(280\)
Tolkning: CAS bruker kombinasjoner og produktregelen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import math
real_choices = math.comb(5, 2)
other_choices = math.comb(8, 2)
total = real_choices * other_choices
print("Velg 2 realfag av 5:", real_choices)
print("Velg 2 andre fag av 8:", other_choices)
print("Produktregelen:", real_choices, "*", other_choices)
print("Antall fagkombinasjoner =", total)
Utskrift fra Python:
Velg 2 realfag av 5: 10
Velg 2 andre fag av 8: 28
Produktregelen: 10 * 28
Antall fagkombinasjoner = 280
Fasit: \(280\) fagkombinasjoner.
Vanlig feil: Å bruke permutasjoner selv om rekkefølgen på fagene ikke betyr noe.
Sensorpunkt: Riktig binomialkoeffisient for hver gruppe og produktregelen.
Del 1 - Oppgave 6bKombinatorikk med tilfeller
Oppgave 6b
Oppgave: Camilla skal velge fire fag. Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom minst to av fagene skal være realfag?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal summere de tre mulige tilfellene: 2, 3 eller 4 realfag.
Steg 1 - Tilfelle 2 realfag
\(\binom52\binom82=10\cdot28=280\).
Steg 2 - Tilfelle 3 realfag
\(\binom53\binom81=10\cdot8=80\).
Steg 3 - Tilfelle 4 realfag
\(\binom54\binom80=5\cdot1=5\).
Steg 4 - Bruk addisjonsregelen
Tilfellene er gjensidig utelukkende og skal summeres.
Steg 5 - Summer
\[280+80+5=365.\]
Steg 6 - Kontroller maksimum
Fem tilgjengelige realfag gjør alle tre tilfellene mulige.
Tolkning: CAS summerer alle tillatte realfagsantall.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import math
case_2 = math.comb(5, 2)*math.comb(8, 2)
case_3 = math.comb(5, 3)*math.comb(8, 1)
case_4 = math.comb(5, 4)*math.comb(8, 0)
print("2 realfag og 2 andre =", case_2)
print("3 realfag og 1 annet =", case_3)
print("4 realfag og 0 andre =", case_4)
print("Sum =", case_2, "+", case_3, "+", case_4)
print("Antall kombinasjoner med minst 2 realfag =", case_2 + case_3 + case_4)
Utskrift fra Python:
2 realfag og 2 andre = 280
3 realfag og 1 annet = 80
4 realfag og 0 andre = 5
Sum = 280 + 80 + 5
Antall kombinasjoner med minst 2 realfag = 365
Fasit: \(365\) fagkombinasjoner.
Vanlig feil: Å tolke «minst to» som nøyaktig to.
Sensorpunkt: Alle tilfellene 2, 3 og 4 realfag må inkluderes.
Del 1 - Oppgave 7aGeometrisk nullpunktkonstruksjon
Oppgave 7a
Oppgave: Bruk konstruksjonen med \(A(0,1)\) og \(B(-p,q)\) når \[f(x)=x^2-2x-8.\] Hva er nullpunktene ifølge konstruksjonen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne A og B, konstruere diameter-sirkelen og lese av skjæringene med x-aksen.
Steg 1 - Finn p og q
Her er \(p=-2\) og \(q=-8\).
Steg 2 - Plasser punktene
\(A=(0,1)\) og \(B=(-p,q)=(2,-8)\).
Steg 3 - Finn sentrum
Midtpunktet er \(S=(1,-7/2)\).
Steg 4 - Finn radius
\(r=AB/2=\sqrt{85}/2\).
Steg 5 - Finn skjæring med x-aksen
Sett \(y=0\) i sirkelens likning; da får vi \((x-1)^2=9\).
Steg 6 - Les av nullpunktene
\(x=1\pm3\), altså \(x=-2\) og \(x=4\).
Konstruksjon av diameter-sirkelen for p = -2 og q = -8.
Tolkning: Skjæringspunktene gir funksjonens nullpunkter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, y = sp.symbols("x y", real=True)
A = sp.Point(0, 1)
B = sp.Point(2, -8)
S = sp.Segment(A, B).midpoint
r = A.distance(B)/2
circle_eq = sp.expand((x-S.x)**2 + (y-S.y)**2 - r**2)
roots = sp.solve(sp.Eq(circle_eq.subs(y, 0), 0), x)
print("A =", A, "og B =", B)
print("Sentrum S =", S)
print("Radius r =", sp.simplify(r))
print("Sirkelens venstreside =", circle_eq)
print("Skjæring med x-aksen gir x =", roots)
print("Kontroll i f(x)=x^2-2x-8:", [z**2-2*z-8 for z in roots])
Utskrift fra Python:
A = Point2D(0, 1) og B = Point2D(2, -8)
Sentrum S = Point2D(1, -7/2)
Radius r = sqrt(85)/2
Sirkelens venstreside = x**2 - 2*x + y**2 + 7*y - 8
Skjæring med x-aksen gir x = [-2, 4]
Kontroll i f(x)=x^2-2x-8: [0, 0]
Fasit: Nullpunktene er \(x=-2\) og \(x=4\).
Vanlig feil: Å bruke \(B=(p,q)\) i stedet for \(B=(-p,q)\).
Sensorpunkt: Korrekte punktkoordinater og x-akseskjæringer.
Del 1 - Oppgave 7bSirkelgeometri
Oppgave 7b
Oppgave: Vis at sentrum \(S\) og radien \(r\) er gitt ved \[S\left(-\frac p2,\frac{q+1}{2}\right),\qquad r=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke midtpunktformelen og halvparten av avstanden AB.
Dette er akkurat likningen \(f(x)=0\), så skjæringspunktenes x-koordinater er funksjonens nullpunkter.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Expand[(x+p/2)^2+(y-(q+1)/2)^2-(p^2+(q-1)^2)/4]
\(x^2+px+y^2-(q+1)y+q\)
2
Substitute[%,y,0]
\(x^2+px+q\)
Tolkning: Når y settes lik 0, blir sirkelbetingelsen identisk med f(x)=0.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, y, p, q = sp.symbols("x y p q", real=True)
left = (x + p/2)**2 + (y - (q + 1)/2)**2
right = (p**2 + (q - 1)**2)/4
standard = sp.expand(left - right)
on_x_axis = sp.factor(standard.subs(y, 0))
print("Sirkel: (x+p/2)^2 + (y-(q+1)/2)^2 = [p^2+(q-1)^2]/4")
print("Alt samlet på venstre side =", standard)
print("Sett y = 0:", on_x_axis)
print("Funksjonen f(x) =", x**2 + p*x + q)
print("Forskjell =", sp.simplify(on_x_axis - (x**2+p*x+q)))
Utskrift fra Python:
Sirkel: (x+p/2)^2 + (y-(q+1)/2)^2 = [p^2+(q-1)^2]/4
Alt samlet på venstre side = p*x - q*y + q + x**2 + y**2 - y
Sett y = 0: p*x + q + x**2
Funksjonen f(x) = p*x + q + x**2
Forskjell = 0
Fasit: \(\left(x+\frac p2\right)^2+\left(y-\frac{q+1}{2}\right)^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}\), og ved \(y=0\) fås \(x^2+px+q=0\).
Vanlig feil: Å sette \(x=0\) når man skal finne skjæring med x-aksen.
Sensorpunkt: Korrekt sirkellikning og tydelig algebraisk reduksjon til f(x)=0.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aBetinget sannsynlighet
Oppgave 1a
Oppgave: I bunke A er det 5 røde og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 røde og 4 svarte kort. Vi velger tilfeldig én bunke og trekker 2 kort. Bestem \(P(F)\), \(P(\overline F)\), \(P(R\mid F)\) og \(P(R\mid\overline F)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere lik bunke-sannsynlighet med hypergeometriske sannsynligheter.
Fasit: Maksimum oppnås ved \(x=2\), og arealet er \(10/e\approx3.68\).
Vanlig feil: Å oppgi x-verdien som selve arealet.
Sensorpunkt: Derivasjon, maksimumsklassifisering og både eksakt og numerisk areal.
Del 2 - Oppgave 3aParameterframstilling
Oppgave 3a
Oppgave: Gitt \(A(1,3)\), \(B(4,0)\) og \(C(5,5)\). Bestem en parameterframstilling for linjen \(\ell\) gjennom B og C.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke B som startpunkt og \(\overrightarrow{BC}\) som retningsvektor.
Steg 1 - Finn retningsvektoren
\(\overrightarrow{BC}=(5-4,5-0)=(1,5)\).
Steg 2 - Velg startpunkt
Punktet B er \((4,0)\).
Steg 3 - Skriv vektorformen
\[(x,y)=(4,0)+t(1,5).\]
Steg 4 - Skriv komponentvis
\[x=4+t,\qquad y=5t.\]
Steg 5 - Kontroller B
Når \(t=0\), får vi \((4,0)=B\).
Steg 6 - Kontroller C
Når \(t=1\), får vi \((5,5)=C\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Line[(4,0),(5,5)]
\(x-\frac15y=4\)
2
ParametricCurve[4+t,5t,t]
\((x,y)=(4+t,5t)\)
Tolkning: Begge representasjonene beskriver samme linje.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
B = sp.Matrix([4, 0])
C = sp.Matrix([5, 5])
direction = C - B
P = B + t*direction
print("B =", tuple(B), "og C =", tuple(C))
print("Retningsvektor BC =", tuple(direction))
print("Parameterpunkt P(t) =", tuple(P))
print("P(0) =", tuple(P.subs(t, 0)))
print("P(1) =", tuple(P.subs(t, 1)))
print("Komponentform: x = 4 + t, y = 5t")
Utskrift fra Python:
B = (4, 0) og C = (5, 5)
Retningsvektor BC = (1, 5)
Parameterpunkt P(t) = (t + 4, 5*t)
P(0) = (4, 0)
P(1) = (5, 5)
Komponentform: x = 4 + t, y = 5t
Tolkning: CAS løser den kvadrerte vinkelbetingelsen; fortegnet kontrolleres etterpå.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
AB = sp.Matrix([3, -3])
AP = sp.Matrix([3 + t, -3 + 5*t])
dot = sp.expand(AB.dot(AP))
eq = sp.factor(dot**2 - sp.Rational(1,2)*(AB.dot(AB))*(AP.dot(AP)))
solutions = sp.solve(sp.Eq(eq, 0), t)
print("AB · AP =", dot)
print("Kvadrert vinkellikning, samlet =", eq)
print("Parameterløsninger =", solutions)
for value in solutions:
P = sp.Matrix([4+t, 5*t]).subs(t, value)
print("t =", value, "gir P =", tuple(P), "og skalarprodukt =", dot.subs(t, value))
print("Begge skalarproduktene er positive, så vinkelen er 45 grader.")
Utskrift fra Python:
AB · AP = 18 - 12*t
Kvadrert vinkellikning, samlet = -18*(t + 3)*(5*t - 3)
Parameterløsninger = [-3, 3/5]
t = -3 gir P = (1, -15) og skalarprodukt = 54
t = 3/5 gir P = (23/5, 3) og skalarprodukt = 54/5
Begge skalarproduktene er positive, så vinkelen er 45 grader.
Fasit: \(P=(1,-15)\) eller \(P=(23/5,3)\).
Vanlig feil: Å akseptere løsninger fra den kvadrerte likningen uten å kontrollere om vinkelen er 45 eller 135 grader.
Sensorpunkt: CAS-likning, begge punkter og fortegnskontroll av skalarproduktet.
Del 2 - Oppgave 4aNormaler til hyperbel
Oppgave 4a
Oppgave: Funksjonen er \(f(x)=1/x\). A, B og C ligger på grafen med \(A(r,1/r)\), \(B(s,1/s)\), \(C(t,1/t)\). Vis at normalen \(\ell_1\) gjennom A på linjen BC er \[y=st(x-r)+\frac1r.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstallet til BC og bruke at normale linjer har produkt av stigningstall lik -1.
Steg 1 - Finn stigningstallet til BC
\[m_{BC}=\frac{1/t-1/s}{t-s}.\]
Steg 2 - Samle brøken i telleren
\(1/t-1/s=(s-t)/(st)\).
Steg 3 - Forkort
\[m_{BC}=\frac{s-t}{st(t-s)}=-\frac1{st}.\]
Steg 4 - Finn normalens stigningstall
\(m_{\ell_1}=-1/m_{BC}=st\).
Steg 5 - Bruk punktet A
Punkt-stigning-formen gir \(y-1/r=st(x-r)\).
Steg 6 - Løs for y
\[y=st(x-r)+\frac1r.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Simplify[(1/t-1/s)/(t-s)]
\(-\frac1{st}\)
2
Normal[(r,1/r),Line[(s,1/s),(t,1/t)]]
\(y=st(x-r)+\frac1r\)
Tolkning: CAS bekrefter stigningstallet og normalens likning.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
r, s, t, x = sp.symbols("r s t x", nonzero=True)
slope_BC = sp.simplify((1/t - 1/s)/(t - s))
slope_normal = sp.simplify(-1/slope_BC)
y_line = sp.expand(slope_normal*(x-r) + 1/r)
print("m_BC = (1/t - 1/s)/(t - s) =", slope_BC)
print("Normalens stigningstall = -1/m_BC =", slope_normal)
print("Punkt A = (r, 1/r)")
print("Linjen i punkt-stigning-form: y - 1/r = st(x-r)")
print("Høyresiden for y =", y_line)
print("Kontroll ved x = r:", sp.simplify(y_line.subs(x, r)))
Utskrift fra Python:
m_BC = (1/t - 1/s)/(t - s) = -1/(s*t)
Normalens stigningstall = -1/m_BC = s*t
Punkt A = (r, 1/r)
Linjen i punkt-stigning-form: y - 1/r = st(x-r)
Høyresiden for y = -r*s*t + s*t*x + 1/r
Kontroll ved x = r: 1/r
Fasit: \(\ell_1:y=st(x-r)+1/r\).
Vanlig feil: Å bruke den samme stigningen som BC i stedet for den negative inverse.
Sensorpunkt: Stigningstall for BC, normalbetingelse og punkt-stigning-form.
Del 2 - Oppgave 4bOrtosenter på hyperbel
Oppgave 4b
Oppgave: Linjen \(\ell_2\) gjennom B normalt på AC er \[y=rt(x-s)+\frac1s.\] Linjene \(\ell_1\) og \(\ell_2\) skjærer hverandre i P. Bruk CAS til å vise at P alltid ligger på grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse de to lineære likningene symbolsk og kontrollere at koordinatproduktet er 1.
Steg 1 - Sett linjene lik hverandre
\[st(x-r)+\frac1r=rt(x-s)+\frac1s.\]
Steg 2 - Utvid begge sider
Leddene \(-rst\) forekommer på begge sider og kanselleres.
Steg 3 - Løs for x
\[t(s-r)x=\frac1s-\frac1r=-\frac{s-r}{rs},\] så \[x_P=-\frac1{rst}.\]
Steg 4 - Finn y
Sett inn i \(\ell_1\): \[y_P=st\left(-\frac1{rst}-r\right)+\frac1r=-rst.\]
Steg 5 - Kontroller hyperbellikningen
\[x_Py_P=\left(-\frac1{rst}\right)(-rst)=1.\]
Steg 6 - Konkluder
Dermed er \(y_P=1/x_P\), så P ligger alltid på grafen til \(f(x)=1/x\).
Eksempel som viser at ortosenteret P ligger på hyperbelen.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[{y=st(x-r)+1/r,y=rt(x-s)+1/s},{x,y}]
\(x=-\frac1{rst},\;y=-rst\)
2
Simplify[x*y /. %]
\(1\)
Tolkning: CAS finner skjæringspunktet og bekrefter hyperbellikningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
r, s, t, x, y = sp.symbols("r s t x y", nonzero=True)
ell1 = sp.Eq(y, s*t*(x-r) + 1/r)
ell2 = sp.Eq(y, r*t*(x-s) + 1/s)
solution = sp.solve((ell1, ell2), (x, y), dict=True)[0]
xP = sp.simplify(solution[x])
yP = sp.simplify(solution[y])
print("Skjæringspunktets x-koordinat =", xP)
print("Skjæringspunktets y-koordinat =", yP)
print("x_P * y_P =", sp.simplify(xP*yP))
print("1/x_P =", sp.simplify(1/xP))
print("y_P - 1/x_P =", sp.simplify(yP - 1/xP))
print("Dermed ligger P på y = 1/x.")
Utskrift fra Python:
Skjæringspunktets x-koordinat = -1/(r*s*t)
Skjæringspunktets y-koordinat = -r*s*t
x_P * y_P = 1
1/x_P = -r*s*t
y_P - 1/x_P = 0
Dermed ligger P på y = 1/x.
Fasit: \(P=(-1/(rst),-rst)\), og siden \(x_Py_P=1\), ligger P på \(y=1/x\).
Vanlig feil: Å stoppe etter å ha funnet P uten å kontrollere grafbetingelsen.
Sensorpunkt: Symbolsk skjæringspunkt og eksplisitt verifikasjon av \(y=1/x\).
Kildegrunnlag: Utdanningsdirektoratets eksamenssett REA3022 Matematikk R1, våren 2016. Løsningene, forklaringene, figurene og kontrollkodene er originalt utarbeidet for ifingo.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
