Vanlig feil: Å derivere bare den ytre tredje potensen og glemme faktoren \(4x\) fra den indre funksjonen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig kjerneregel med både ytre og indre derivert.
Del 1 - Oppgave 2aPolynom og restsetningen
Oppgave 2a
Oppgave: Polynomfunksjonen \(P\) er gitt ved
\[P(x)=x^3+2x^2-5x-6.\]
Vis at \((x-2)\) er en faktor i \(P(x)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke restsetningen og vise at polynomet får verdien 0 når \(x=2\).
Steg 1 - Bruk restsetningen
\(x-2\) er en faktor akkurat når \(P(2)=0\).
Steg 2 - Sett inn x lik 2
\[P(2)=2^3+2\cdot2^2-5\cdot2-6.\]
Steg 3 - Regn ut potensene
\[P(2)=8+2\cdot4-10-6.\]
Steg 4 - Summer leddene
\[P(2)=8+8-10-6=0.\]
Steg 5 - Bruk konklusjonen fra restsetningen
Siden resten er 0, er divisjonen med \(x-2\) eksakt.
Steg 6 - Formuler beviset
Dermed er \((x-2)\) en faktor i \(P(x)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Substitute[P(x),x,2]
\(0\)
2
PolynomialRemainder[P(x),x-2]
\(0\)
Tolkning: Resten 0 viser faktorforholdet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
P = x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6
print("P(x) =", P)
print("Restsetningen: x - 2 er faktor hvis P(2) = 0")
print("P(2) =", sp.expand(P.subs(x, 2)))
print("Divisjonsrest ved divisjon med x - 2 =", sp.rem(P, x - 2, domain=sp.QQ))
print("Faktorisering =", sp.factor(P))
print("Konklusjon: x - 2 er en faktor")
Utskrift fra Python:
P(x) = x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6
Restsetningen: x - 2 er faktor hvis P(2) = 0
P(2) = 0
Divisjonsrest ved divisjon med x - 2 = 0
Faktorisering = (x - 2)*(x + 1)*(x + 3)
Konklusjon: x - 2 er en faktor
Fasit: \(P(2)=0\), derfor er \((x-2)\) en faktor.
Vanlig feil: Å undersøke \(P(-2)\). Faktoren \(x-2\) har nullpunkt \(x=2\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt innsetting i P og korrekt bruk av restsetningen.
Del 1 - Oppgave 2bPolynomdivisjon og faktorisering
Oppgave 2b
Oppgave: Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere \(P(x)\) med lineære faktorer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal dividere med den kjente faktoren \(x-2\) og deretter faktorisere andregradskvotienten.
Steg 1 - Sett opp divisjonen
Vi dividerer \(x^3+2x^2-5x-6\) med \(x-2\).
Steg 2 - Første divisjonsledd
\(x^3/x=x^2\). Subtraksjonen etter første steg gir \(4x^2-5x\).
Steg 3 - Andre divisjonsledd
\(4x^2/x=4x\). Subtraksjonen gir \(3x-6\).
Steg 4 - Tredje divisjonsledd
\(3x/x=3\). Resten blir 0.
Steg 5 - Skriv kvotienten
\[P(x)=(x-2)(x^2+4x+3).\]
Steg 6 - Faktoriser andregradsuttrykket
Tallene 1 og 3 har produkt 3 og sum 4: \[x^2+4x+3=(x+1)(x+3).\]
Steg 7 - Skriv full faktorisering
\[P(x)=(x-2)(x+1)(x+3).\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Div[x^3+2x^2-5x-6,x-2]
\(x^2+4x+3\)
2
Factor[x^2+4x+3]
\((x+1)(x+3)\)
Tolkning: CAS bekrefter divisjonen og full faktorisering.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
P = x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6
q, r = sp.div(P, x - 2)
print("P(x) =", P)
print("Polynomdivisjon P(x) : (x - 2)")
print("Kvotient =", q)
print("Rest =", r)
print("Faktoriser kvotienten:", sp.factor(q))
print("Full faktorisering:", sp.factor(P))
print("Kontroll ved utvidelse:", sp.expand((x-2)*(x+1)*(x+3)))
Vanlig feil: Å lese sentrum som (-1,-2). Fortegnene i standardformen er motsatt av koordinatene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvadratkomplettering og standardform.
Del 1 - Oppgave 5aVektorer
Oppgave 5a
Oppgave: Vektoren \(\vec v=[3,4]\) er gitt. Bestem en vektor \(\vec u\) som er parallell med \(\vec v\) og motsatt rettet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et negativt skalar multiplum av vektoren.
Steg 1 - Bruk kriteriet for parallelle vektorer
To vektorer er parallelle når den ene er et skalar multiplum av den andre.
Steg 2 - Krev motsatt retning
Skalaren må være negativ for at retningen skal bli motsatt.
Steg 3 - Velg den enkleste negative skalaren
Velg skalaren \(-1\).
Steg 4 - Multipliser vektoren
\[\vec u=-1\cdot[3,4]=[-3,-4].\]
Steg 5 - Kontroller parallellitet
Komponentforholdene er \(-3/3=-1\) og \(-4/4=-1\).
Steg 6 - Kontroller retning
Skalarproduktet \(\vec v\cdot\vec u=-25<0\), så vektorene peker motsatt vei.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
u:=-1*(3,4)
\((-3,-4)\)
2
AreParallel[(3,4),u]
true
Tolkning: Valget er parallelt og motsatt rettet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
v = sp.Matrix([3, 4])
u = -v
print("v =", list(v))
print("Velg u = -v")
print("u =", list(u))
print("Kryssprodukt/determinant i planet =", v[0]*u[1]-v[1]*u[0])
print("Skalarprodukt v dot u =", v.dot(u))
print("Lengde v =", sp.sqrt(v.dot(v)))
print("Lengde u =", sp.sqrt(u.dot(u)))
print("Negativt skalarprodukt viser motsatt retning")
Utskrift fra Python:
v = [3, 4]
Velg u = -v
u = [-3, -4]
Kryssprodukt/determinant i planet = 0
Skalarprodukt v dot u = -25
Lengde v = 5
Lengde u = 5
Negativt skalarprodukt viser motsatt retning
Fasit: Et mulig svar er \(\vec u=[-3,-4]\).
Vanlig feil: Å velge [3,4], som er parallell, men har samme retning.
Sensorpunkt: Sensor godtar ethvert negativt skalar multiplum av [3,4].
Del 1 - Oppgave 5bVektorer og ortogonalitet
Oppgave 5b
Oppgave: Bestem en vektor \(\vec w\neq\vec0\) som står vinkelrett på \(\vec v\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal konstruere en ikke-null vektor med skalarprodukt 0 mot [3,4].
Steg 1 - Skriv ortogonalitetskravet
For \(\vec w=[a,b]\) må \(3a+4b=0\).
Steg 2 - Bruk standardkonstruksjonen i planet
Fra \([3,4]\) kan vi bytte komponentene og skifte fortegn på én: \([4,-3]\).
import sympy as sp
v = sp.Matrix([3, 4])
w = sp.Matrix([4, -3])
print("v =", list(v))
print("Velg w ved å bytte komponenter og skifte ett fortegn")
print("w =", list(w))
print("Skalarprodukt v dot w =", v.dot(w))
print("w er nullvektor?", w == sp.zeros(2, 1))
print("Lengde w =", sp.sqrt(w.dot(w)))
print("Konklusjon: w står vinkelrett på v")
Utskrift fra Python:
v = [3, 4]
Velg w ved å bytte komponenter og skifte ett fortegn
w = [4, -3]
Skalarprodukt v dot w = 0
w er nullvektor? False
Lengde w = 5
Konklusjon: w står vinkelrett på v
Fasit: Et mulig svar er \(\vec w=[4,-3]\).
Vanlig feil: Å velge [4,3]; skalarproduktet blir da 24, ikke 0.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en ikke-null vektor og en gyldig ortogonalitetskontroll.
Del 1 - Oppgave 5cVektorkombinasjon
Oppgave 5c
Oppgave: Bestem konstantene \(k\) og \(t\) slik at
\[\vec v=k\vec u+t\vec w,\]
med valgene \(\vec u=[-3,-4]\) og \(\vec w=[4,-3]\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse komponentlikningene som oppstår når to vektorer er like.
Steg 1 - Sett inn vektorene
\[[3,4]=k[-3,-4]+t[4,-3].\]
Steg 2 - Skriv x-komponenten
\[-3k+4t=3.\]
Steg 3 - Skriv y-komponenten
\[-4k-3t=4.\]
Steg 4 - Observer den enkle strukturen
Siden \(\vec u=-\vec v\), får vi umiddelbart \(\vec v=-1\vec u\).
Utskrift fra Python:
v = [3, 4]
|v| = 5
Enhetsvektor i v-retningen = [3/5, 4/5]
Gang enhetsvektoren med 7
x = [21/5, 28/5]
|x| = 7
Forhold x_1/v_1 = 7/5
Vanlig feil: Å glemme at \(\binom{12}{2}=66\), eller å miste minustegnet når \(x(12-x)\) utvides.
Sensorpunkt: Sensor ser etter omforming med binomialidentiteten og full løsning av andregradslikningen.
Del 1 - Oppgave 7aFunksjonsdrøfting
Oppgave 7a
Oppgave: Funksjonen er gitt ved
\[f(x)=3xe^{-x},\qquad x\in\langle-1,4\rangle.\]
Bruk \(f'(x)\) til å avgjøre hvor funksjonen vokser og avtar. Bestem x-verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den deriverte, analysere fortegnet og klassifisere det kritiske punktet på det oppgitte intervallet.
Steg 1 - Deriver med produktregelen
\[f'(x)=3e^{-x}+3x(-e^{-x}).\]
Steg 2 - Faktoriser
\[f'(x)=3e^{-x}(1-x).\]
Steg 3 - Bruk at eksponentialfaktoren er positiv
\(3e^{-x}>0\) for alle x, så fortegnet bestemmes av \(1-x\).
Steg 4 - Finn kritisk x-verdi
\[1-x=0\Rightarrow x=1.\]
Steg 5 - Lag fortegnsvurdering
For \(x<1\) er \(f'(x)>0\); for \(x>1\) er \(f'(x)<0\).
Steg 6 - Avgrens til domenet
f vokser på \(\langle-1,1\rangle\) og avtar på \(\langle1,4\rangle\).
Steg 7 - Klassifiser punktet
Fortegnet går fra pluss til minus, så grafen har toppunkt ved \(x=1\). Det finnes ikke et indre bunnpunkt.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Derivative[3x*exp(-x),x]
\(3e^{-x}(1-x)\)
2
Solve[Derivative[3x*exp(-x),x]=0,x]
\(x=1\)
Tolkning: CAS bekrefter kritisk punkt og derivert.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = 3*x*sp.exp(-x)
fp = sp.factor(sp.diff(f,x))
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("e^(-x) er alltid positiv")
print("Kritiske punkt fra f'(x)=0:", sp.solve(sp.Eq(fp,0),x))
print("Fortegn f'(0) =", sp.N(fp.subs(x,0)))
print("Fortegn f'(2) =", sp.N(fp.subs(x,2)))
print("f(1) =", sp.simplify(f.subs(x,1)), "=", sp.N(f.subs(x,1),8))
print("Grenseverdier ved de åpne endene:", sp.N(f.subs(x,-1),8), sp.N(f.subs(x,4),8))
Utskrift fra Python:
f(x) = 3*x*exp(-x)
f'(x) = -3*(x - 1)*exp(-x)
e^(-x) er alltid positiv
Kritiske punkt fra f'(x)=0: [1]
Fortegn f'(0) = 3.00000000000000
Fortegn f'(2) = -0.406005849709838
f(1) = 3*exp(-1) = 1.1036383
Grenseverdier ved de åpne endene: -8.1548455 0.21978767
Fasit: Vokser for \(-1<x<1\), avtar for \(1<x<4\), og har toppunkt ved \(x=1\).
Vanlig feil: Å sette \(e^{-x}=0\). En eksponentialfunksjon er aldri 0.
Sensorpunkt: Sensor ser etter produktregel, faktorisert derivert og korrekt fortegnsskifte.
Del 1 - Oppgave 7bAndrederivert og vendepunkt
Oppgave 7b
Oppgave: Bruk \(f''(x)\) til å bestemme x-verdien til eventuelle vendepunkter på grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere én gang til, løse f-andrederivert lik 0 og kontrollere fortegnsskifte.
Steg 1 - Start med første derivert
\[f'(x)=3e^{-x}(1-x).\]
Steg 2 - Deriver produktet
\[f''(x)=3\bigl[-e^{-x}(1-x)-e^{-x}\bigr].\]
Steg 3 - Forenkle
\[f''(x)=3e^{-x}(x-2).\]
Steg 4 - Finn kandidat
\[f''(x)=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2.\]
Steg 5 - Kontroller fortegnsskifte
For \(x<2\) er \(f''(x)<0\), mens for \(x>2\) er \(f''(x)>0\).
Steg 6 - Konkluder om vendepunkt
Krumningen skifter, så grafen har vendepunkt ved \(x=2\).
Steg 7 - Finn y-koordinaten som tillegg
\[f(2)=6e^{-2}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Derivative[3x*exp(-x),x,2]
\(3e^{-x}(x-2)\)
2
Solve[Derivative[3x*exp(-x),x,2]=0,x]
\(x=2\)
Tolkning: CAS bekrefter vendepunktkandidaten.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = 3*x*sp.exp(-x)
fp = sp.factor(sp.diff(f,x))
fpp = sp.factor(sp.diff(f,x,2))
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
print("e^(-x) er positiv")
print("Løs f''(x)=0:", sp.solve(sp.Eq(fpp,0),x))
print("f''(1) =", sp.N(fpp.subs(x,1)))
print("f''(3) =", sp.N(fpp.subs(x,3)))
print("f(2) =", sp.simplify(f.subs(x,2)), "=", sp.N(f.subs(x,2),8))
Fasit: Vendepunktets x-verdi er \(x=2\), og punktet er \((2,6e^{-2})\).
Vanlig feil: Å bare løse f-andrederivert lik 0 uten å kontrollere at fortegnet faktisk skifter.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt andrederivert og fortegnsskifte.
Del 1 - Oppgave 7cGrafskisse
Oppgave 7c
Oppgave: Lag en skisse av grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal samle nullpunkt, endepunkter, monotoni, toppunkt og vendepunkt i én konsistent grafskisse.
Steg 1 - Finn nullpunktet
\(3xe^{-x}=0\) gir \(x=0\), siden eksponentialfaktoren aldri er 0.
Steg 2 - Marker de åpne intervallendene
Grenseverdiene er \(f(-1)=-3e\approx-8{,}155\) og \(f(4)=12e^{-4}\approx0{,}220\), men punktene er ikke med fordi intervallet er åpent.
Steg 3 - Marker toppunktet
Ved \(x=1\) er \(f(1)=3/e\approx1{,}104\).
Steg 4 - Marker vendepunktet
Ved \(x=2\) er \(f(2)=6/e^2\approx0{,}812\).
Steg 5 - Tegn monotoni
Grafen stiger fra x=-1 til x=1 og synker deretter mot x=4.
Steg 6 - Tegn krumningen
Grafen er konkav ned fram til x=2 og konkav opp etter x=2.
Steg 7 - Kontroller helheten
Skissen skal krysse origo, ha én topp og flate gradvis ut mot x=4.
Grafen er kontrollert mot den deriverte og andrederiverte.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
f(x):=3x*exp(-x)
2
Extremum[f,-1,4]
\((1,3/e)\)
3
InflectionPoint[f]
\((2,6/e^2)\)
Tolkning: GeoGebra-skissen skal samsvare med de analytiske nøkkelpunktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = 3*x*sp.exp(-x)
points = [-1, 0, 1, 2, 4]
print("Nøkkelverdier for skissen:")
for p in points:
print(f"f({p}) =", sp.N(f.subs(x,p),8))
print("Nullpunkt:", sp.solve(sp.Eq(f,0),x))
print("Toppunkt x = 1, y =", sp.N(f.subs(x,1),8))
print("Vendepunkt x = 2, y =", sp.N(f.subs(x,2),8))
print("Vekst: -1 < x < 1, avtakning: 1 < x < 4")
print("Krumning ned før 2, krumning opp etter 2")
Utskrift fra Python:
Nøkkelverdier for skissen:
f(-1) = -8.1548455
f(0) = 0
f(1) = 1.1036383
f(2) = 0.81201170
f(4) = 0.21978767
Nullpunkt: [0]
Toppunkt x = 1, y = 1.1036383
Vendepunkt x = 2, y = 0.81201170
Vekst: -1 < x < 1, avtakning: 1 < x < 4
Krumning ned før 2, krumning opp etter 2
Fasit: Se den kontrollerte grafen. Nøkkelpunkter: \((0,0)\), topp ved \((1,3/e)\), vendepunkt ved \((2,6/e^2)\).
Vanlig feil: Å fylle inn punktene ved x=-1 og x=4. Domenet er åpent i begge ender, så de markeres med åpne sirkler.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig nullpunkt, topp, vendepunkt, monotoni og krumning.
Del 1 - Oppgave 8aSirkelgeometri
Oppgave 8a
Oppgave: En sirkel med sentrum \(S\) og radius \(R\) omskriver \(\triangle ABC\). Normalen fra \(S\) til siden \(AC\) har fotpunkt \(D\). Forklar at
\[\angle B=\angle DSA.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal koble periferivinkelen ved B til sentralvinkelen over samme bue og bruke symmetrien i den likebeinte trekanten ASC.
Steg 1 - Se på buen AC
Både periferivinkelen \(\angle ABC\) og sentralvinkelen \(\angle ASC\) spenner over buen AC.
Steg 2 - Bruk periferivinkelsetningen
\[\angle B=\frac12\angle ASC.\]
Steg 3 - Bruk radiusene
\(AS=CS=R\), så \(\triangle ASC\) er likebeint.
Steg 4 - Bruk normalen til korden
En normal fra sentrum til en korde halverer både korden og sentralvinkelen.
Steg 5 - Halver sentralvinkelen
\[\angle DSA=\frac12\angle ASC.\]
Steg 6 - Sammenlign
Begge vinklene er halvparten av \(\angle ASC\).
Steg 7 - Konkluder
\[\angle B=\angle DSA.\]
Normalen SD halverer korden AC og sentralvinkelen ASC.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Angle(A,B,C)
\(\tfrac12\operatorname{Angle}(A,S,C)\)
2
Angle(D,S,A)
\(\tfrac12\operatorname{Angle}(A,S,C)\)
Tolkning: Begge vinklene uttrykkes som samme halve sentralvinkel.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
B, theta = sp.symbols("B theta", real=True)
print("Sentralvinkelen over buen AC settes til theta")
print("Innsvinkelen B = theta/2")
print("I likebeint trekant ASC er AS = CS = R")
print("Normalen SD til korden AC halverer sentralvinkelen")
print("Dermed vinkel DSA = theta/2")
print("Differanse B - DSA =", sp.simplify(theta/2-theta/2))
print("Konklusjon: vinkel B = vinkel DSA")
Utskrift fra Python:
Sentralvinkelen over buen AC settes til theta
Innsvinkelen B = theta/2
I likebeint trekant ASC er AS = CS = R
Normalen SD til korden AC halverer sentralvinkelen
Dermed vinkel DSA = theta/2
Differanse B - DSA = 0
Konklusjon: vinkel B = vinkel DSA
Fasit: \(\angle B=\angle DSA\).
Vanlig feil: Å hevde likheten bare fordi vinklene ser like ut på skissen. Begrunnelsen må bruke periferivinkelsetningen og vinkelhalveringen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter koblingen til samme bue AC og halv sentralvinkel.
Del 1 - Oppgave 8bSinussetningen - ett sideforhold
Oppgave 8b
Oppgave: Vi setter \(AC=b\). Vis at
\[\frac{b}{\sin B}=2R.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den rettvinklede trekanten ASD, der hypotenusen er radiusen og AD er halve korden.
Steg 1 - Halver korden
Siden \(SD\perp AC\) og S er sentrum, halverer D korden: \(AD=b/2\).
Tolkning: CAS bekrefter algebraen i sinusforholdet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
b, R, B = sp.symbols("b R B", positive=True)
AD = b/2
print("Korden AC har lengde b")
print("Normal fra sentrum halverer korden: AD =", AD)
print("AS = R")
print("I rettvinklet trekant ASD:")
print("sin(DSA) = AD/AS =", sp.simplify(AD/R))
print("Siden DSA = B: sin(B) = b/(2R)")
result = sp.solve(sp.Eq(sp.sin(B), b/(2*R)), b)[0]
print("Løst for b:", result)
print("Dermed b/sin(B) =", sp.simplify(result/sp.sin(B)))
Utskrift fra Python:
Korden AC har lengde b
Normal fra sentrum halverer korden: AD = b/2
AS = R
I rettvinklet trekant ASD:
sin(DSA) = AD/AS = b/(2*R)
Siden DSA = B: sin(B) = b/(2R)
Løst for b: 2*R*sin(B)
Dermed b/sin(B) = 2*R
Fasit: \(\dfrac{b}{\sin B}=2R\).
Vanlig feil: Å bruke hele korden b som motstående katet i trekant ASD; kateten er AD=b/2.
Sensorpunkt: Sensor ser etter kordehalvering, rettvinklet trekant og korrekt sinusforhold.
Del 1 - Oppgave 8cUtvidet sinussetning
Oppgave 8c
Oppgave: Vi setter \(BC=a\), \(AC=b\) og \(AB=c\). Bruk tilsvarende resonnement som i b) til å vise at
\[\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjenta korde- og radiusargumentet for hver av de tre sidene.
Steg 1 - Bruk siden a
Siden \(a=BC\) står mot vinkelen A. Samme konstruksjon gir \[\sin A=\frac{a}{2R}.\]
Steg 2 - Løs første forhold
\[\frac a{\sin A}=2R.\]
Steg 3 - Bruk siden b
Fra del b har vi allerede \[\frac b{\sin B}=2R.\]
Steg 4 - Bruk siden c
Siden \(c=AB\) står mot vinkelen C, og konstruksjonen gir \[\sin C=\frac{c}{2R}.\]
Steg 5 - Løs tredje forhold
\[\frac c{\sin C}=2R.\]
Steg 6 - Sammenstill
Alle tre forholdene er lik den samme diameteren \(2R\).
Tolkning: De tre kordeformlene gir samme diameter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
a, b, c, R = sp.symbols("a b c R", positive=True)
A, B, C = sp.symbols("A B C", positive=True)
relations = [sp.Eq(a,2*R*sp.sin(A)), sp.Eq(b,2*R*sp.sin(B)), sp.Eq(c,2*R*sp.sin(C))]
print("Tilsvarende kordeformler:")
for rel in relations:
print(rel)
ratios = [sp.simplify(a/sp.sin(A)).subs(a,2*R*sp.sin(A)),
sp.simplify(b/sp.sin(B)).subs(b,2*R*sp.sin(B)),
sp.simplify(c/sp.sin(C)).subs(c,2*R*sp.sin(C))]
print("a/sin(A) =", ratios[0])
print("b/sin(B) =", ratios[1])
print("c/sin(C) =", ratios[2])
print("Alle tre er lik 2R")
Utskrift fra Python:
Tilsvarende kordeformler:
Eq(a, 2*R*sin(A))
Eq(b, 2*R*sin(B))
Eq(c, 2*R*sin(C))
a/sin(A) = 2*R
b/sin(B) = 2*R
c/sin(C) = 2*R
Alle tre er lik 2R
Vanlig feil: Å koble en side til feil motstående vinkel.
Sensorpunkt: Sensor ser etter side-vinkel-parene a-A, b-B og c-C og at alle gir 2R.
Del 1 - Oppgave 9Eksponentiallikning
Oppgave 9
Oppgave: Løs likningen
\[9^x-3^x-12=0.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre likningen om til en andregradslikning ved å sette u lik 3 opphøyd i x.
Steg 1 - Skriv 9 som en potens av 3
\[9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2.\]
Steg 2 - Gjør substitusjonen
Sett \(u=3^x\). Da er \(u>0\).
Steg 3 - Skriv andregradslikningen
\[u^2-u-12=0.\]
Steg 4 - Faktoriser
\[(u-4)(u+3)=0.\]
Steg 5 - Vurder røttene
\(u=4\) eller \(u=-3\), men \(u=3^x\) kan ikke være negativ.
Steg 6 - Gå tilbake til x
\[3^x=4.\]
Steg 7 - Bruk logaritmer
\[x=\frac{\ln4}{\ln3}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[9^x-3^x-12=0,x]
\(x=\ln(4)/\ln(3)\)
Tolkning: CAS bekrefter den eksakte logaritmeløsningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
u = sp.symbols("u", positive=True)
poly = u**2-u-12
print("Likning: 9^x - 3^x - 12 = 0")
print("Sett u = 3^x, da er 9^x = (3^x)^2 = u^2")
print("Andregradslikning:", sp.Eq(poly,0))
print("Faktorisering:", sp.factor(poly))
print("Røtter i u:", sp.solve(sp.Eq(poly,0),u))
print("Siden u = 3^x > 0, velges u = 4")
solution = sp.log(4)/sp.log(3)
print("x = ln(4)/ln(3)")
print("Desimalverdi =", sp.N(solution,12))
print("Kontroll =", sp.simplify(9**solution-3**solution-12))
Utskrift fra Python:
Likning: 9^x - 3^x - 12 = 0
Sett u = 3^x, da er 9^x = (3^x)^2 = u^2
Andregradslikning: Eq(u**2 - u - 12, 0)
Faktorisering: (u - 4)*(u + 3)
Røtter i u: [4]
Siden u = 3^x > 0, velges u = 4
x = ln(4)/ln(3)
Desimalverdi = 1.26185950714
Kontroll = 0
Fasit: \(x=\dfrac{\ln4}{\ln3}\approx1{,}2619\).
Vanlig feil: Å godta u=-3 som løsning selv om 3 opphøyd i x alltid er positiv.
Sensorpunkt: Sensor ser etter substitusjonen, forkasting av negativ u og logaritmeløsningen.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aAnalytisk geometri
Oppgave 1a
Oppgave: En sirkel har sentrum på linjen \(y=x\), sentrum ligger like langt fra origo som fra \(A(6,0)\), og både origo og A ligger på sirkelperiferien. Tegn sirkelen i et koordinatsystem.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sentrum geometrisk som skjæringspunktet mellom y=x og midtnormalen til OA, og deretter tegne sirkelen.
Steg 1 - Tegn punktene O og A
Marker \(O=(0,0)\) og \(A=(6,0)\).
Steg 2 - Finn midtpunktet av OA
Midtpunktet er \(M=(3,0)\).
Steg 3 - Finn midtnormalen
OA er horisontal, så midtnormalen er den vertikale linjen \(x=3\).
Steg 4 - Bruk sentrumslinjen
Sentrum skal samtidig ligge på \(y=x\).
Steg 5 - Finn skjæringspunktet
Linjen \(x=3\) og linjen \(y=x\) skjærer hverandre i \(S=(3,3)\).
Steg 6 - Finn radiusen for tegningen
\[SO=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2.\]
Steg 7 - Tegn sirkelen
Tegn en sirkel med sentrum S og radius \(3\sqrt2\), slik at den passerer O og A.
Sentrum er skjæringspunktet mellom y=x og midtnormalen x=3.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
O=(0,0)
2
A=(6,0)
3
S=Intersect[x=3,y=x]
\((3,3)\)
4
Circle[S,O]
sirkel gjennom O og A
Tolkning: GeoGebra-konstruksjonen viser alle tre gitte egenskapene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
h, k = sp.symbols("h k", real=True)
O = sp.Point(0,0)
A = sp.Point(6,0)
print("Sentrum S=(h,k) ligger på y=x, altså k=h")
condition = sp.Eq((h-0)**2+(k-0)**2, (h-6)**2+(k-0)**2)
print("Lik avstand til O og A gir:", condition)
print("Forenklet likning:", sp.simplify(condition.lhs-condition.rhs), "= 0")
solution_h = sp.solve(condition,h)[0]
print("h =", solution_h)
print("k = h =", solution_h)
print("Sentrum S =", (solution_h,solution_h))
r2 = solution_h**2+solution_h**2
print("r^2 =", r2)
print("r =", sp.sqrt(r2))
Utskrift fra Python:
Sentrum S=(h,k) ligger på y=x, altså k=h
Lik avstand til O og A gir: Eq(h**2 + k**2, k**2 + (h - 6)**2)
Forenklet likning: 12*h - 36 = 0
h = 3
k = h = 3
Sentrum S = (3, 3)
r^2 = 18
r = 3*sqrt(2)
Fasit: Sirkelen har sentrum \(S=(3,3)\) og går gjennom \((0,0)\) og \((6,0)\).
Vanlig feil: Å plassere sentrum i midtpunktet (3,0) uten å bruke kravet y=x.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt konstruksjon med midtnormal og linjen y=x.
Del 2 - Oppgave 1bSirkellikning
Oppgave 1b
Oppgave: Bestem en likning for sirkelen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sentrum-radius-formen med sentrum (3,3) og radius 3 rot 2.
Steg 1 - Bruk sentrum fra a
\[S=(3,3).\]
Steg 2 - Beregn radiusen
\[r^2=SO^2=(3-0)^2+(3-0)^2=18.\]
Steg 3 - Skriv standardformen
For sentrum \((a,b)\) er sirkellikningen \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Steg 4 - Sett inn verdiene
\[(x-3)^2+(y-3)^2=18.\]
Steg 5 - Kontroller origo
Venstresiden i O er \(9+9=18\).
Steg 6 - Kontroller punktet A
Venstresiden i A(6,0) er \(9+9=18\).
Steg 7 - Oppgi eventuelt utvidet form
\[x^2+y^2-6x-6y=0.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Circle[(3,3),3sqrt(2)]
\((x-3)^2+(y-3)^2=18\)
2
Expand[(x-3)^2+(y-3)^2=18]
\(x^2+y^2-6x-6y=0\)
Tolkning: CAS gir både standardform og utvidet form.
Vanlig feil: Å bruke r=18 i stedet for r i andre, slik at høyresiden feilaktig blir 324.
Sensorpunkt: Sensor ser etter sentrum-radius-form og kontroll mot begge periferi-punktene.
Del 2 - Oppgave 2aRasjonal modell og graf
Oppgave 2a
Oppgave: Antall biler per minutt er modellert ved
\[N(v)=\frac{16{,}7v}{4+0{,}25v+0{,}006v^2}.\]
Bruk graftegner til å tegne grafen til \(N\) for \(v\in[0,120]\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal registrere modellen med riktig parentesbruk og tegne den på det oppgitte intervallet.
Steg 1 - Skriv inn hele nevneren i parentes
Registrer \(N(v)=16.7v/(4+0.25v+0.006v^2)\).
Steg 2 - Sett x-intervallet
Velg vindu \(0\le v\le120\).
Steg 3 - Velg passende y-vindu
Et y-vindu fra 0 til omtrent 33 viser hele kapasitetstoppen tydelig.
Steg 4 - Kontroller startverdien
\(N(0)=0\), så grafen starter i origo.
Steg 5 - Kontroller noen tabellverdier
For eksempel er \(N(20)\approx29{,}30\) og \(N(120)\approx16{,}64\).
Steg 6 - Beskriv formen
Grafen stiger raskt, når ett maksimum og avtar deretter gradvis.
Steg 7 - Tegn og merk aksene
x-aksen er fart i km/h og y-aksen er biler per minutt.
Det grønne feltet markerer fartsintervallet der minst 25 biler passerer per minutt.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
N(v):=16.7v/(4+0.25v+0.006v^2)
2
Function[N,0,120]
graf på angitt intervall
Tolkning: Grafen viser én tydelig kapasitetstopp.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
v = sp.symbols("v", real=True)
N = sp.Rational(167,10)*v/(4+sp.Rational(1,4)*v+sp.Rational(6,1000)*v**2)
print("N(v) =", N)
print("Definisjonsintervall: 0 <= v <= 120")
print("N(0) =", N.subs(v,0))
print("N(20) =", sp.N(N.subs(v,20),8))
print("N(40) =", sp.N(N.subs(v,40),8))
print("N(80) =", sp.N(N.subs(v,80),8))
print("N(120) =", sp.N(N.subs(v,120),8))
print("Nevnerens diskriminant =", sp.discriminant(4+sp.Rational(1,4)*v+sp.Rational(6,1000)*v**2,v))
print("Nevneren er positiv på intervallet")
Utskrift fra Python:
N(v) = 167*v/(10*(3*v**2/500 + v/4 + 4))
Definisjonsintervall: 0 <= v <= 120
N(0) = 0
N(20) = 29.298246
N(40) = 28.305085
N(80) = 21.410256
N(120) = 16.644518
Nevnerens diskriminant = -67/2000
Nevneren er positiv på intervallet
Fasit: Se grafen for \(0\le v\le120\).
Vanlig feil: Å skrive 16.7v/4 + 0.25v + 0.006v^2 uten parentes rundt nevneren.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig modell, intervall og lesbar skala.
Del 2 - Oppgave 2bGrafisk ulikhet
Oppgave 2b
Oppgave: Bestem grafisk hva farten bør være for at minst 25 biler skal kunne passere stedet per minutt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæringspunktene mellom grafen til N og den horisontale linjen y=25 og lese av området over linjen.
Steg 1 - Tegn hjelpelinjen
Tegn den horisontale linjen \(y=25\).
Steg 2 - Finn første skjæring
Grafen krysser linjen ved omtrent \(v=11{,}45\).
Steg 3 - Finn andre skjæring
Den krysser på nytt ved omtrent \(v=58{,}21\).
Steg 4 - Vurder området mellom skjæringene
Mellom disse fartene ligger grafen over eller på y=25.
Steg 5 - Vurder området utenfor
Under 11,45 og over 58,21 ligger grafen under 25.
Steg 6 - Ta med endepunktene
Kravet er minst 25, så skjæringsfartene inkluderes.
Steg 7 - Skriv praktisk svar
Farten bør ligge omtrent mellom 11,5 km/h og 58,2 km/h.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Intersect[N,y=25]
\((11{,}45,25)\) og \((58{,}21,25)\)
2
Solve[N(v)>=25,v]
\(11{,}45\le v\le58{,}21\)
Tolkning: Grafen ligger over y=25 mellom de to skjæringene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
v = sp.symbols("v", real=True)
N = sp.Rational(167,10)*v/(4+sp.Rational(1,4)*v+sp.Rational(6,1000)*v**2)
solutions = sp.solve(sp.Eq(N,25),v)
print("Løs N(v) = 25")
print("Eksakte skjæringspunkter =", solutions)
print("Desimalverdier:")
for s in solutions:
print(sp.N(s,12))
print("Test mellom røttene, N(30) =", sp.N(N.subs(v,30),10))
print("Test utenfor, N(5) =", sp.N(N.subs(v,5),10))
print("Ulikheten N(v) >= 25 gjelder mellom skjæringspunktene")
Utskrift fra Python:
Løs N(v) = 25
Eksakte skjæringspunkter = [209/6 - sqrt(19681)/6, sqrt(19681)/6 + 209/6]
Desimalverdier:
11.4518354248
58.2148312418
Test mellom røttene, N(30) = 29.64497041
Test utenfor, N(5) = 15.46296296
Ulikheten N(v) >= 25 gjelder mellom skjæringspunktene
Fasit: \(11{,}45\lesssim v\lesssim58{,}21\) km/h.
Vanlig feil: Å oppgi bare den ene skjæringen eller å lese området utenfor skjæringene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge skjæringspunkter og riktig intervall.
Del 2 - Oppgave 2cMaksimum i modell
Oppgave 2c
Oppgave: Bestem grafisk hva farten må være for at flest mulig biler skal kunne passere stedet per minutt. Hvor mange biler passerer da?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av toppunktet på grafen og kontrollere det ved derivasjon.
Steg 1 - Bruk ekstremalpunkt-verktøy
Finn toppunktet på grafen innen intervallet 0 til 120.
Steg 2 - Les av x-koordinaten
Toppunktet ligger ved omtrent \(v=25{,}82\) km/h.
Steg 3 - Les av y-koordinaten
Kapasiteten der er omtrent \(N=29{,}83\) biler per minutt.
Steg 4 - Kontroller analytisk
Den deriverte har nullpunkt når \(3v^2-2000=0\), altså \(v=20\sqrt{15}/3\).
Steg 5 - Forkast negativ løsning
Den negative roten er ikke en gyldig fart.
Steg 6 - Sammenlign med endepunktene
Begge endepunktverdiene er lavere enn toppverdien.
Steg 7 - Gi praktisk svar
Optimal fart i modellen er omtrent 26 km/h, med omtrent 30 biler per minutt.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Extremum[N,0,120]
\((25{,}82,29{,}83)\)
2
Derivative[N,v]
null ved \(v=20\sqrt{15}/3\)
Tolkning: Toppunktverktøyet og den deriverte gir samme resultat.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
v = sp.symbols("v", real=True)
N = sp.Rational(167,10)*v/(4+sp.Rational(1,4)*v+sp.Rational(6,1000)*v**2)
Np = sp.factor(sp.diff(N,v))
print("N'(v) =", Np)
critical = [s for s in sp.solve(sp.Eq(Np,0),v) if s >= 0]
print("Positivt kritisk punkt =", critical)
vm = critical[0]
print("v_max eksakt =", vm)
print("v_max desimalt =", sp.N(vm,12))
print("N(v_max) eksakt =", sp.simplify(N.subs(v,vm)))
print("N(v_max) desimalt =", sp.N(N.subs(v,vm),12))
print("Endepunkt N(0) =", N.subs(v,0))
print("Endepunkt N(120) =", sp.N(N.subs(v,120),12))
import sympy as sp
vA = sp.Matrix([18, -3])
vB = sp.Matrix([10, -6])
print("Hastighetsvektor A =", list(vA))
print("Hastighetsvektor B =", list(vB))
print("Banefart A = sqrt(18^2 + (-3)^2)")
print("Banefart A eksakt =", sp.sqrt(vA.dot(vA)))
print("Banefart A desimalt =", sp.N(sp.sqrt(vA.dot(vA)),10))
print("Banefart B = sqrt(10^2 + (-6)^2)")
print("Banefart B eksakt =", sp.sqrt(vB.dot(vB)))
print("Banefart B desimalt =", sp.N(sp.sqrt(vB.dot(vB)),10))
Utskrift fra Python:
Hastighetsvektor A = [18, -3]
Hastighetsvektor B = [10, -6]
Banefart A = sqrt(18^2 + (-3)^2)
Banefart A eksakt = 3*sqrt(37)
Banefart A desimalt = 18.24828759
Banefart B = sqrt(10^2 + (-6)^2)
Banefart B eksakt = 2*sqrt(34)
Banefart B desimalt = 11.66190379
Fasit: Båt A: \(3\sqrt{37}\approx18{,}25\) km/h. Båt B: \(2\sqrt{34}\approx11{,}66\) km/h.
Vanlig feil: Å oppgi hastighetsvektorene som fart uten å ta vektorlengden.
Sensorpunkt: Sensor ser etter derivasjon og norm av begge hastighetsvektorene.
Del 2 - Oppgave 3bAvstand mellom bevegelige punkter
Oppgave 3b
Oppgave: Forklar at avstanden mellom båtene er
\[d(t)=\sqrt{(8t-8)^2+(3t-10)^2}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal trekke posisjonsvektorene fra hverandre og bruke avstandsformelen i planet.
Steg 1 - Finn x-forskjellen
\[(18t-8)-10t=8t-8.\]
Steg 2 - Finn y-forskjellen
\[(10-3t)-(20-6t)=3t-10.\]
Steg 3 - Skriv forskjellsvektoren
\[\vec r_A(t)-\vec r_B(t)=[8t-8,\,3t-10].\]
Steg 4 - Bruk vektorlengden
Avstanden er lengden av forskjellsvektoren.
Steg 5 - Sett inn komponentene
\[d(t)=\sqrt{(8t-8)^2+(3t-10)^2}.\]
Steg 6 - Kontroller fortegnene
Om vi bytter rekkefølgen på båtene, skifter begge komponenter fortegn, men kvadratene blir uendret.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Distance[(18t-8,10-3t),(10t,20-6t)]
\(\sqrt{(8t-8)^2+(3t-10)^2}\)
Tolkning: CAS gir det oppgitte avstandsuttrykket.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
rA = sp.Matrix([18*t-8, 10-3*t])
rB = sp.Matrix([10*t, 20-6*t])
diff = sp.simplify(rA-rB)
print("r_A(t) =", list(rA))
print("r_B(t) =", list(rB))
print("Forskjellsvektor r_A-r_B =", list(diff))
print("Kvadrert avstand =", sp.expand(diff.dot(diff)))
print("Faktorisert som sum av kvadrater =", (8*t-8)**2+(3*t-10)**2)
print("Avstand d(t) =", sp.sqrt(diff.dot(diff)))
print("Kontroll ved t=0: d(0) =", sp.sqrt(diff.dot(diff)).subs(t,0))
Fasit: Etter \(t=94/73\approx1{,}29\) timer er avstanden minst, omtrent \(6{,}55\) km.
Vanlig feil: Å minimere hver koordinatforskjell separat; de blir ikke nødvendigvis minst samtidig.
Sensorpunkt: Sensor ser etter én samlet avstandsfunksjon, derivert null og minimumskontroll.
Del 2 - Oppgave 4aBetingelser for polynom
Oppgave 4a
Oppgave: Funksjonen er
\[f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1.\]
Vi vet at f har nullpunkt i x=1, x=2 er x-koordinaten til et vendepunkt, og grafen går gjennom (3,4). Sett opp tre likninger.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette hver geometrisk opplysning til en algebraisk betingelse.
Steg 1 - Bruk nullpunktet
Nullpunkt ved x=1 betyr \(f(1)=0\).
Steg 2 - Sett inn x=1
\[1+a+b+c+1=0\quad\Rightarrow\quad a+b+c=-2.\]
Steg 3 - Bruk vendepunktopplysningen
Et nødvendig vilkår for vendepunkt ved x=2 er \(f''(2)=0\).
Steg 4 - Finn andrederiverten
\[f''(x)=12x^2+6ax+2b.\]
Steg 5 - Sett inn x=2
\[48+12a+2b=0.\]
Steg 6 - Bruk punktet (3,4)
\[f(3)=4\Rightarrow81+27a+9b+3c+1=4.\]
Steg 7 - Forenkle den tredje
\[27a+9b+3c=-78.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
f(1)=0
\(a+b+c=-2\)
2
f''(2)=0
\(48+12a+2b=0\)
3
f(3)=4
\(27a+9b+3c=-78\)
Tolkning: CAS-oppsettet samsvarer med de tre betingelsene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, a, b, c = sp.symbols("x a b c")
f = x**4+a*x**3+b*x**2+c*x+1
fpp = sp.diff(f,x,2)
print("f(x) =", f)
print("f''(x) =", fpp)
print("Nullpunkt x=1 gir:", sp.Eq(f.subs(x,1),0))
print("Vendepunktets x-koordinat 2 gir f''(2)=0:", sp.Eq(fpp.subs(x,2),0))
print("Punktet (3,4) gir:", sp.Eq(f.subs(x,3),4))
print("Forenklede venstresider:")
print(sp.expand(f.subs(x,1)))
print(sp.expand(fpp.subs(x,2)))
print(sp.expand(f.subs(x,3)-4))
Utskrift fra Python:
f(x) = a*x**3 + b*x**2 + c*x + x**4 + 1
f''(x) = 2*(3*a*x + b + 6*x**2)
Nullpunkt x=1 gir: Eq(a + b + c + 2, 0)
Vendepunktets x-koordinat 2 gir f''(2)=0: Eq(12*a + 2*b + 48, 0)
Punktet (3,4) gir: Eq(27*a + 9*b + 3*c + 82, 4)
Forenklede venstresider:
a + b + c + 2
12*a + 2*b + 48
27*a + 9*b + 3*c + 78
Fasit: Likningene kan skrives \(a+b+c=-2\), \(12a+2b=-48\) og \(27a+9b+3c=-78\).
Vanlig feil: Å bruke f-prime(2)=0 i stedet for f-andrederivert(2)=0. Vendepunkt gjelder krumning.
Sensorpunkt: Sensor ser etter én korrekt likning fra hver av de tre opplysningene.
Del 2 - Oppgave 4bCAS og lineært system
Oppgave 4b
Oppgave: Bruk CAS til å bestemme konstantene \(a\), \(b\) og \(c\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse de tre lineære likningene samtidig og kontrollere alle opprinnelige vilkår.
Steg 1 - Registrer systemet
\[a+b+c=-2,\quad12a+2b=-48,\quad27a+9b+3c=-78.\]
Steg 2 - Løs med CAS
CAS gir \(a=-6\), \(b=12\) og \(c=-8\).
Steg 3 - Sett inn i funksjonen
\[f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x+1.\]
Steg 4 - Kontroller nullpunktet
\[f(1)=1-6+12-8+1=0.\]
Steg 5 - Kontroller vendepunktvilkåret
\[f''(x)=12(x-1)(x-2),\quad f''(2)=0.\]
Steg 6 - Kontroller fortegnsskiftet
Faktoren x-2 skifter fortegn ved 2, mens x-1 er positiv rundt 2, så f-andrederivert skifter fortegn.
For \(a\neq0\) og \(t\neq1/(3a)\): \[Q=\left(\frac1a-2t,-\frac{2t(2at-1)^2}{a}\right).\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Factor[a*x^3-x^2-((3a*t^2-2t)x+t^2-2a*t^3)]
\((x-t)^2(ax+2at-1)\)
2
Solve[ax+2at-1=0,x]
\(x=1/a-2t\)
3
Substitute[a*x^3-x^2,x,1/a-2t]
\(-2t(2at-1)^2/a\)
Tolkning: CAS isolerer den tredje skjæringsroten og tilhørende y-verdi.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, a, t = sp.symbols("x a t", nonzero=True)
g = a*x**3-x**2
line = (3*a*t**2-2*t)*x+t**2-2*a*t**3
difference = sp.factor(g-line)
print("Skjæringslikning g(x) = tangent(x)")
print("g(x) - tangent(x) faktorisert =")
print(difference)
print("Faktoren (x-t)^2 viser tangentkontakt i P")
remaining = sp.factor(difference/(x-t)**2)
print("Gjenværende lineær faktor =", remaining)
q_x = sp.solve(sp.Eq(remaining,0),x)[0]
print("Q sin x-koordinat =", q_x)
q_y = sp.factor(g.subs(x,q_x))
print("Q sin y-koordinat =", q_y)
print("Kontroll i tangentlinjen =", sp.factor(line.subs(x,q_x)))
print("Q er forskjellig fra P når t != 1/(3a)")
Utskrift fra Python:
Skjæringslikning g(x) = tangent(x)
g(x) - tangent(x) faktorisert =
(-t + x)**2*(2*a*t + a*x - 1)
Faktoren (x-t)^2 viser tangentkontakt i P
Gjenværende lineær faktor = 2*a*t + a*x - 1
Q sin x-koordinat = -2*t + 1/a
Q sin y-koordinat = -2*t*(2*a*t - 1)**2/a
Kontroll i tangentlinjen = -2*t*(2*a*t - 1)**2/a
Q er forskjellig fra P når t != 1/(3a)
Fasit: \(Q=\left(\dfrac1a-2t,-\dfrac{2t(2at-1)^2}{a}\right)\), for den ikke-degenererte situasjonen.
Vanlig feil: Å ta x=t som det andre punktet. Roten x=t er dobbelt fordi linjen er tangent.
Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisering med (x-t) i andre og den gjenværende lineære faktoren.
Kildegrunnlag: Oppgavetekstene er transkribert fra Utdanningsdirektoratets eksamenssett REA3022 Matematikk R1 våren 2015. Løsningene, figurene og kontrollene er utarbeidet for ifingo.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
