Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere to potensfunksjoner med hensyn på radiusen og beholde konstantfaktorene.

Steg 1 - Identifiser konstantene

Både \(\pi\) og \(4\pi/3\) er konstante når vi deriverer med hensyn på \(r\).

Steg 2 - Bruk potensregelen på arealet

\[A^{\prime}(r)=\pi\cdot 2r^{2-1}=2\pi r.\]

Steg 3 - Skriv volumet med konstantfaktor

\[V(r)=\frac{4\pi}{3}r^3.\]

Steg 4 - Bruk potensregelen på volumet

\[V^{\prime}(r)=\frac{4\pi}{3}\cdot 3r^{3-1}.\]

Steg 5 - Forkort faktoren 3

\[V^{\prime}(r)=4\pi r^2.\]

Steg 6 - Tolk kontrollen

Uttrykket \(4\pi r^2\) er overflatearealet av en kule. Dermed er den momentane volumveksten lik kuleoverflaten.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, pi, diff
r = symbols('r', positive=True)
A = pi*r**2
V = 4*pi*r**3/3
print("A(r) =", A)
print("V(r) =", V)
print("A'(r) =", diff(A,r))
print("V'(r) =", diff(V,r))
print("Forholdet V'(r)/A(r) =", diff(V,r)/A)

Utskrift fra Python:
A(r) = pi*r**2
V(r) = 4*pi*r**3/3
A'(r) = 2*pi*r
V'(r) = 4*pi*r**2
Forholdet V'(r)/A(r) = 4

Fasit: \(A^{\prime}(r)=2\pi r\) og \(V^{\prime}(r)=4\pi r^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en logaritme med en andregradsfunksjon inni. Kjerneregelen må brukes.

Steg 1 - Finn definisjonskravet

Logaritmen krever \(x^2-1>0\), altså \(x<-1\) eller \(x>1\).

Steg 2 - Velg indre funksjon

Sett \(u(x)=x^2-1\). Da er \(g(x)=3\ln u(x)\).

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u^{\prime}(x)=2x.\]

Steg 4 - Deriver den ytre logaritmen

Den deriverte av \(\ln u\) er \(1/u\).

Steg 5 - Bruk kjerneregelen

\[g^{\prime}(x)=3\cdot\frac{1}{x^2-1}\cdot 2x.\]

Steg 6 - Forenkle

\[g^{\prime}(x)=\frac{6x}{x^2-1}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, diff, simplify
x=symbols('x', real=True)
g=3*log(x**2-1)
print("g(x) =", g)
print("Indre funksjon u(x) = x^2-1")
print("u'(x) =", diff(x**2-1,x))
print("g'(x) =", simplify(diff(g,x)))
print("Definisjonskrav: x^2-1 > 0, altsa x<-1 eller x>1")

Utskrift fra Python:
g(x) = 3*log(x**2 - 1)
Indre funksjon u(x) = x^2-1
u'(x) = 2*x
g'(x) = 6*x/(x**2 - 1)
Definisjonskrav: x^2-1 > 0, altsa x<-1 eller x>1

Fasit: \(g^{\prime}(x)=\dfrac{6x}{x^2-1}\), for \(x<-1\) eller \(x>1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal omskrive brøken til et produkt og bruke produktregelen sammen med kjerneregelen.

Steg 1 - Omskriv nevneren

Siden \(1/e^x=e^{-x}\), kan vi skrive \[h(x)=2x^2e^{-x}.\]

Steg 2 - Del i to faktorer

La \(u(x)=2x^2\) og \(v(x)=e^{-x}\).

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u^{\prime}(x)=4x,\qquad v^{\prime}(x)=-e^{-x}.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h^{\prime}(x)=4xe^{-x}+2x^2(-e^{-x}).\]

Steg 5 - Trekk ut felles faktor

\[h^{\prime}(x)=2xe^{-x}(2-x).\]

Steg 6 - Skriv som brøk

\[h^{\prime}(x)=\frac{2x(2-x)}{e^x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify
x=symbols('x')
h=2*x**2/exp(x)
print("h(x) =", h)
print("Omskriving: h(x) = 2*x^2*exp(-x)")
print("Produktregelen gir 4*x*exp(-x)-2*x^2*exp(-x)")
print("h'(x) =", factor(diff(h,x)))
print("Kontroll =", simplify(diff(h,x)-2*x*(2-x)/exp(x)))

Utskrift fra Python:
h(x) = 2*x**2*exp(-x)
Omskriving: h(x) = 2*x^2*exp(-x)
Produktregelen gir 4*x*exp(-x)-2*x^2*exp(-x)
h'(x) = -2*x*(x - 2)*exp(-x)
Kontroll = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=2x(2-x)e^{-x}=\dfrac{2x(2-x)}{e^x}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(x=1\) inn i polynomet og regne ut hvert ledd eksplisitt.

Steg 1 - Sett inn x=1

\[P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6.\]

Steg 2 - Regn potensene

\[1^3=1\quad\text{og}\quad 1^2=1.\]

Steg 3 - Multipliser

\[P(1)=1-6+11-6.\]

Steg 4 - Summer de første leddene

\[1-6=-5,\qquad -5+11=6.\]

Steg 5 - Trekk fra siste ledd

\[6-6=0.\]

Steg 6 - Knytt til faktorsetningen

Dermed er \(P(1)=0\), og \(x-1\) er en faktor i \(P(x)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols
x=symbols('x')
P=x**3-6*x**2+11*x-6
print("P(x) =", P)
print("P(1) = 1^3-6*1^2+11*1-6")
print("P(1) =", P.subs(x,1))
print("Konklusjon: x-1 er faktor etter faktorsetningen")

Utskrift fra Python:
P(x) = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6
P(1) = 1^3-6*1^2+11*1-6
P(1) = 0
Konklusjon: x-1 er faktor etter faktorsetningen

Fasit: \(P(1)=0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal dividere med den kjente faktoren \(x-1\), faktorisere andregradskvotienten og kontrollere produktet.

Steg 1 - Start polynomdivisjonen

Første ledd er \(x^3:x=x^2\). Multipliser: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\).

Steg 2 - Trekk fra

Da står vi igjen med \(-5x^2+11x-6\).

Steg 3 - Finn neste ledd

\(-5x^2:x=-5x\). Etter ny multiplikasjon og subtraksjon står vi igjen med \(6x-6\).

Steg 4 - Fullfør divisjonen

\((6x):x=6\), og resten blir 0. Kvotienten er \[x^2-5x+6.\]

Steg 5 - Faktoriser andregradsuttrykket

To tall med sum \(-5\) og produkt 6 er \(-2\) og \(-3\): \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]

Steg 6 - Skriv full faktorisering

\[P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, div, factor, expand
x=symbols('x')
P=x**3-6*x**2+11*x-6
q,r=div(P,x-1)
print("Polynomdivisjon P(x):(x-1)")
print("Kvotient =", q)
print("Rest =", r)
print("Kvotienten faktoriseres som", factor(q))
print("P(x) =", factor(P))
print("Utvidelseskontroll =", expand((x-1)*(x-2)*(x-3)))

Utskrift fra Python:
Polynomdivisjon P(x):(x-1)
Kvotient = x**2 - 5*x + 6
Rest = 0
Kvotienten faktoriseres som (x - 3)*(x - 2)
P(x) = (x - 3)*(x - 2)*(x - 1)
Utvidelseskontroll = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6

Fasit: \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktoriseringen, dele tallinjen ved nullpunktene og ta med intervallene der produktet er negativt eller null.

Steg 1 - Bruk faktoriseringen

\[P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).\]

Steg 2 - Finn nullpunktene

Produktet er 0 for \(x=1\), \(x=2\) og \(x=3\).

Steg 3 - Del tallinjen

Nullpunktene gir intervallene \(( -\infty,1)\), \((1,2)\), \((2,3)\) og \((3,\infty)\).

Steg 4 - Bestem fortegn

Med positivt ledende ledd er fortegnene vekselvis \(-,+,-,+\) fra venstre mot høyre.

Steg 5 - Velg negative intervaller

Kravet \(P(x)<0\) er oppfylt for \(x<1\) og \(2<x<3\).

Steg 6 - Ta med nullpunktene

Siden ulikheten er \(\le0\), inkluderer vi 1, 2 og 3: \[x\in(-\infty,1]\cup[2,3].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality, factor
x=symbols('x', real=True)
P=(x-1)*(x-2)*(x-3)
print("P(x) =", factor(P))
for test in [0,1.5,2.5,4]:
    print(f"Test x={test}: P(x)={float(P.subs(x,test))}")
print("Losning av P(x)<=0:", solve_univariate_inequality(P<=0,x))

Utskrift fra Python:
P(x) = (x - 3)*(x - 2)*(x - 1)
Test x=0: P(x)=-6.0
Test x=1.5: P(x)=0.375
Test x=2.5: P(x)=-0.375
Test x=4: P(x)=6.0
Losning av P(x)<=0: (x <= 1) | ((2 <= x) & (x <= 3))

Fasit: \(x\in(-\infty,1]\cup[2,3]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen, potensregelen og regelen for logaritmen av en brøk.

Steg 1 - Les av forutsetningene

Logaritmene krever \(a>0\) og \(b>0\).

Steg 2 - Utvid første logaritme

\[\ln(a^2b)=\ln(a^2)+\ln b=2\ln a+\ln b.\]

Steg 3 - Sett inn i uttrykket

\[2\ln a+\ln b-2\ln a-\ln(1/b).\]

Steg 4 - Forenkle de første leddene

\[2\ln a-2\ln a=0.\]

Steg 5 - Forenkle siste logaritme

\[\ln(1/b)=\ln1-\ln b=-\ln b.\] Derfor gir minus foran parentesen \(+\ln b\).

Steg 6 - Samle

\[\ln b+\ln b=2\ln b=\ln(b^2).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, expand_log, simplify
a,b=symbols('a b', positive=True)
E=log(a**2*b)-2*log(a)-log(1/b)
print("Forutsetning: a>0 og b>0")
print("Uttrykk =", E)
print("ln(a^2*b) = 2ln(a)+ln(b)")
print("ln(1/b) = -ln(b)")
print("Forenklet =", expand_log(E,force=True))
print("Kontroll mot 2ln(b) =", simplify(E-2*log(b)))

Utskrift fra Python:
Forutsetning: a>0 og b>0
Uttrykk = -2*log(a) - log(1/b) + log(a**2*b)
ln(a^2*b) = 2ln(a)+ln(b)
ln(1/b) = -ln(b)
Forenklet = 2*log(b)
Kontroll mot 2ln(b) = 0

Fasit: \(2\ln b\), eventuelt \(\ln(b^2)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal se etter brudd i grafen og etter punkter med knekk, spiss eller vertikal tangent.

Steg 1 - Les av definisjonsmengden

\(D_f=\langle-1,4\rangle\) er det åpne intervallet \((-1,4)\). Endepunktene er ikke med.

Steg 2 - Undersøk grafen for brudd

Grafen er sammenhengende uten hull eller sprang gjennom hele intervallet.

Steg 3 - Vurder punktet x=2

De to grafdelene møtes i \((2,2)\), så venstre og høyre grenseverdi er lik funksjonsverdien.

Steg 4 - Konkluder om kontinuitet

Funksjonen er kontinuerlig for alle \(x\in(-1,4)\).

Steg 5 - Undersøk stigning ved x=2

Grafen har et tydelig knekkpunkt. Venstre tangenthelling er negativ, mens høyre tangenthelling er 1.

Steg 6 - Konkluder om deriverbarhet

Funksjonen er deriverbar på \((-1,2)\cup(2,4)\), men ikke ved \(x=2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Piecewise, diff, limit
x=symbols('x', real=True)
f1=-x**2+2*x+2
f2=x
print("Venstre del f1(x) =", f1)
print("Hoyre del f2(x) =", f2)
print("Venstre grense ved 2 =", limit(f1,x,2,dir='-'))
print("Hoyre grense ved 2 =", limit(f2,x,2,dir='+'))
print("f(2) = 2")
print("Venstrederivert ved 2 =", diff(f1,x).subs(x,2))
print("Hoyrederivert ved 2 =", diff(f2,x).subs(x,2))
print("Konklusjon: kontinuerlig ved 2, men ikke deriverbar")

Utskrift fra Python:
Venstre del f1(x) = -x**2 + 2*x + 2
Hoyre del f2(x) = x
Venstre grense ved 2 = 2
Hoyre grense ved 2 = 2
f(2) = 2
Venstrederivert ved 2 = -2
Hoyrederivert ved 2 = 1
Konklusjon: kontinuerlig ved 2, men ikke deriverbar

Fasit: Kontinuerlig for \(x\in(-1,4)\). Deriverbar for \(x\in(-1,2)\cup(2,4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at andrederiverten skifter fortegn ved x=-2 og deretter finne tangentlikningen fra punkt og stigningstall.

Steg 1 - Finn førstederiverten

\[f^{\prime}(x)=3x^2+12x.\]

Steg 2 - Finn andrederiverten

\[f^{\prime\prime}(x)=6x+12=6(x+2).\]

Steg 3 - Vis fortegnsskifte

For \(x<-2\) er \(f^{\prime\prime}(x)<0\), og for \(x>-2\) er \(f^{\prime\prime}(x)>0\). Dermed er x=-2 en vendepunktverdi.

Steg 4 - Finn punktet

\[f(-2)=(-2)^3+6(-2)^2-2=-8+24-2=14.\] Punktet er \((-2,14)\).

Steg 5 - Finn tangentens stigning

\[f^{\prime}(-2)=3\cdot4+12(-2)=12-24=-12.\]

Steg 6 - Finn tangentlikningen

\[y-14=-12(x+2)\Rightarrow y=-12x-10.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, simplify
x=symbols('x')
f=x**3+6*x**2-2
f1=diff(f,x); f2=diff(f,x,2)
x0=-2; y0=f.subs(x,x0); m=f1.subs(x,x0)
tangent=simplify(m*(x-x0)+y0)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
print("f''(-2) =", f2.subs(x,x0))
print("f(-2) =", y0)
print("f'(-2) =", m)
print("Tangent y =", tangent)
print("f'' skifter fra negativ til positiv rundt x=-2")

Utskrift fra Python:
f(x) = x**3 + 6*x**2 - 2
f'(x) = 3*x**2 + 12*x
f''(x) = 6*(x + 2)
f''(-2) = 0
f(-2) = 14
f'(-2) = -12
Tangent y = -12*x - 10
f'' skifter fra negativ til positiv rundt x=-2

Fasit: Vendepunktet er \((-2,14)\), og vendetangenten er \(y=-12x-10\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne skalarproduktet. To ikke-nullvektorer er ortogonale akkurat når skalarproduktet er 0.

Steg 1 - Skriv skalarproduktet

\[\vec a\cdot\vec b=2\cdot(-6)+3\cdot4.\]

Steg 2 - Regn første produkt

\[2\cdot(-6)=-12.\]

Steg 3 - Regn andre produkt

\[3\cdot4=12.\]

Steg 4 - Summer

\[-12+12=0.\]

Steg 5 - Bruk kriteriet

Siden skalarproduktet er 0 og begge vektorene er ikke-null, er de ortogonale.

Steg 6 - Konkluder med symbol

\[\vec a\perp\vec b.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix
a=Matrix([2,3]); b=Matrix([-6,4])
print("a =", list(a))
print("b =", list(b))
print("a dot b = 2*(-6)+3*4 =", a.dot(b))
print("Kriterium: skalarprodukt 0 betyr ortogonale vektorer")
print("Er a og b ortogonale?", a.dot(b)==0)

Utskrift fra Python:
a = [2, 3]
b = [-6, 4]
a dot b = 2*(-6)+3*4 = 0
Kriterium: skalarprodukt 0 betyr ortogonale vektorer
Er a og b ortogonale? True

Fasit: \(\vec a\cdot\vec b=0\), så \(\vec a\perp\vec b\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne komponentene og løse et lineært likningssystem med to ukjente.

Steg 1 - Sett inn vektorene

\[[3,11]=k[2,3]+t[-6,4].\]

Steg 2 - Skriv komponentlikningene

\[2k-6t=3\qquad\text{og}\qquad 3k+4t=11.\]

Steg 3 - Forenkle første likning

Divider med 2: \[k-3t=\frac32\Rightarrow k=\frac32+3t.\]

Steg 4 - Sett inn i andre likning

\[3\left(\frac32+3t\right)+4t=11.\]

Steg 5 - Løs for t

\[\frac92+13t=11\Rightarrow 13t=\frac{13}{2}\Rightarrow t=\frac12.\]

Steg 6 - Finn k og kontroller

\[k=\frac32+3\cdot\frac12=3.\] Da er \(3\vec a+\frac12\vec b=[3,11]=\vec c\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve
k,t=symbols('k t')
sol=solve([Eq(2*k-6*t,3),Eq(3*k+4*t,11)],[k,t])
print("Komponentlikninger:")
print("2k-6t=3")
print("3k+4t=11")
print("Losning =", sol)
print("Kontroll forste komponent =", 2*sol[k]-6*sol[t])
print("Kontroll andre komponent =", 3*sol[k]+4*sol[t])

Utskrift fra Python:
Komponentlikninger:
2k-6t=3
3k+4t=11
Losning = {k: 3, t: 1/2}
Kontroll forste komponent = 3
Kontroll andre komponent = 11

Fasit: \(k=3\) og \(t=\dfrac12\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal konstruere den store halvsirkelen, finne toppunktet C og deretter konstruere halvsirkelen med AC som diameter.

Steg 1 - Tegn diameteren

Tegn \(AB=2r=10{,}0\text{ cm}\).

Steg 2 - Finn sentrum O

Konstruer midtpunktet O på AB. Da er \(AO=OB=5{,}0 ext{ cm}\).

Steg 3 - Tegn den store halvsirkelen

Tegn halvsirkelen med sentrum O og radius 5,0 cm over AB.

Steg 4 - Konstruer C

Reis en normal på AB gjennom O. Skjæringspunktet med halvsirkelen er C. Da er \(OC=5{,}0 ext{ cm}\).

Steg 5 - Finn D

Trekk linjestykket AC og konstruer midtpunktet D på AC.

Steg 6 - Tegn den lille halvsirkelen

Tegn halvsirkelen med sentrum D og radius \(DA=DC=AC/2=5\sqrt2/2 ext{ cm}\), på utsiden av den store halvsirkelen.

Steg 7 - Kontroller vinklene

Siden C ligger på halvsirkelen med AB som diameter, er \(\angle ACB=90^{\circ}\). Symmetrien gir \(45^{\circ}\) ved A og B.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
r=sp.Rational(5,1)
A=sp.Point(-r,0); B=sp.Point(r,0); O=sp.Point(0,0); C=sp.Point(0,r)
D=sp.Segment(A,C).midpoint
print("A =", A, "B =", B, "O =", O, "C =", C)
print("AB =", A.distance(B))
print("AC =", sp.simplify(A.distance(C)))
print("D, midtpunkt pa AC =", D)
print("Radius i halvsirkelen AEC = AC/2 =", sp.simplify(A.distance(C)/2))
print("Vinkel ACB er 90 grader etter Thales")

Utskrift fra Python:
A = Point2D(-5, 0) B = Point2D(5, 0) O = Point2D(0, 0) C = Point2D(0, 5)
AB = 10
AC = 5*sqrt(2)
D, midtpunkt pa AC = Point2D(-5/2, 5/2)
Radius i halvsirkelen AEC = AC/2 = 5*sqrt(2)/2
Vinkel ACB er 90 grader etter Thales

Fasit: Konstruksjonen fås ved AB=10 cm, midtpunkt O, normal gjennom O til C, midtpunkt D på AC og halvsirkel med diameter AC.

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke månearealet som arealet av den lille halvsirkelen minus sirkelsegmentet mellom buen AC og korden AC.

Steg 1 - Finn lengden AC

Trekanten AOC er rettvinklet med kateter \(AO=OC=r\). Pytagoras gir \[AC=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt2.\]

Steg 2 - Finn arealet av den lille halvsirkelen

Radiusen er \(AC/2=r/\sqrt2\). Derfor \[A_{AEC}=\frac12\pi\left(\frac{r}{\sqrt2}\right)^2=\frac{\pi r^2}{4}.\]

Steg 3 - Finn arealet av sektoren AOC

Sentralvinkelen \(\angle AOC=90^{\circ}\), så sektoren er en firedel av sirkelen: \[A_{\text{sektor}}=\frac{\pi r^2}{4}.\]

Steg 4 - Finn arealet av trekanten AOC

\[A_{\triangle AOC}=\frac12\cdot r\cdot r=\frac{r^2}{2}.\]

Steg 5 - Finn sirkelsegmentet

Arealet mellom buen AC og korden AC er sektor minus trekant: \[A_{\text{segment}}=\frac{\pi r^2}{4}-\frac{r^2}{2}.\]

Steg 6 - Trekk segmentet fra halvsirkelen

\[A_{\text{måne}}=\frac{\pi r^2}{4}-\left(\frac{\pi r^2}{4}-\frac{r^2}{2}\right)=\frac{r^2}{2}.\]

Steg 7 - Konkluder

Siden begge arealene er \(r^2/2\), er arealet av Hippokrates-månen lik arealet av \(\triangle AOC\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, pi, sqrt, simplify
r=symbols('r', positive=True)
AC=r*sqrt(2)
r_liten=AC/2
A_liten=pi*r_liten**2/2
A_sektor=pi*r**2/4
A_trekant=r**2/2
A_segment=A_sektor-A_trekant
A_mane=simplify(A_liten-A_segment)
print("AC =", AC)
print("Radius liten halvsirkel =", r_liten)
print("Areal liten halvsirkel =", simplify(A_liten))
print("Areal sektor AOC =", A_sektor)
print("Areal trekant AOC =", A_trekant)
print("Areal sirkelsegment =", simplify(A_segment))
print("Areal Hippokrates-mane =", A_mane)
print("Differanse mot trekantarealet =", simplify(A_mane-A_trekant))

Utskrift fra Python:
AC = sqrt(2)*r
Radius liten halvsirkel = sqrt(2)*r/2
Areal liten halvsirkel = pi*r**2/4
Areal sektor AOC = pi*r**2/4
Areal trekant AOC = r**2/2
Areal sirkelsegment = r**2*(-2 + pi)/4
Areal Hippokrates-mane = r**2/2
Differanse mot trekantarealet = 0

Fasit: \(A_{\text{måne}}=A_{\triangle AOC}=\dfrac{r^2}{2}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke de tre avleste nullpunktene, samle to av faktorene og bestemme skaleringskonstanten fra punktet (0,12).

Steg 1 - Les av nullpunktene

Grafen skjærer x-aksen ved \(x=-1\), \(x=1\) og \(x=3\).

Steg 2 - Bruk faktorsetningen

Dermed er \(x+1\), \(x-1\) og \(x-3\) faktorer i \(f(x)\).

Steg 3 - Skriv nullpunktsformen

\[f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3).\]

Steg 4 - Samle konjugatfaktorene

\[(x+1)(x-1)=x^2-1,\] så \[f(x)=a(x^2-1)(x-3).\]

Steg 5 - Bruk punktet (0,12)

\[12=f(0)=a(0^2-1)(0-3)=3a.\]

Steg 6 - Løs for a

\[a=4.\] Dermed \[f(x)=4(x^2-1)(x-3).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, solve, Eq, factor
x,a=symbols('x a')
f=a*(x**2-1)*(x-3)
sol=solve(Eq(f.subs(x,0),12),a)[0]
print("Nullpunkter: -1, 1 og 3")
print("Generell form f(x)=a(x^2-1)(x-3)")
print("f(0)=", f.subs(x,0))
print("Likning 3a=12 gir a=", sol)
print("f(x) =", factor(f.subs(a,sol)))
print("Utvidet f(x) =", expand(f.subs(a,sol)))

Utskrift fra Python:
Nullpunkter: -1, 1 og 3
Generell form f(x)=a(x^2-1)(x-3)
f(0)= 3*a
Likning 3a=12 gir a= 4
f(x) = 4*(x - 3)*(x - 1)*(x + 1)
Utvidet f(x) = 4*x**3 - 12*x**2 - 4*x + 12

Fasit: \(a=4\), og \(f(x)=4(x^2-1)(x-3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere funksjonen, finne stigningstallet ved x=0 og bruke punkt-stigning-formen.

Steg 1 - Bruk funksjonen fra a

\[f(x)=4(x^2-1)(x-3)=4x^3-12x^2-4x+12.\]

Steg 2 - Deriver

\[f^{\prime}(x)=12x^2-24x-4.\]

Steg 3 - Finn stigningstallet

\[m=f^{\prime}(0)=-4.\]

Steg 4 - Bruk tangentpunktet

Tangenten går gjennom \((x_0,y_0)=(0,12)\).

Steg 5 - Sett inn i punkt-stigning-formen

\[y-12=-4(x-0).\]

Steg 6 - Forenkle

\[y=-4x+12.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, diff
x=symbols('x')
f=4*(x**2-1)*(x-3)
f1=diff(f,x)
y0=f.subs(x,0); m=f1.subs(x,0)
print("f(x) utvidet =", expand(f))
print("f'(x) =", expand(f1))
print("f(0) =", y0)
print("f'(0) =", m)
print("Tangent: y-12=-4(x-0)")
print("Tangent: y=-4x+12")

Utskrift fra Python:
f(x) utvidet = 4*x**3 - 12*x**2 - 4*x + 12
f'(x) = 12*x**2 - 24*x - 4
f(0) = 12
f'(0) = -4
Tangent: y-12=-4(x-0)
Tangent: y=-4x+12

Fasit: Tangenten er \(y=-4x+12\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette funksjonsuttrykket lik tangentuttrykket, faktorisere likningen og skille tangentpunktet fra det andre skjæringspunktet.

Steg 1 - Sett uttrykkene lik

\[4(x^2-1)(x-3)=-4x+12.\]

Steg 2 - Utvid venstresiden

\[4x^3-12x^2-4x+12=-4x+12.\]

Steg 3 - Flytt alt til venstre

\[4x^3-12x^2=0.\]

Steg 4 - Faktoriser

\[4x^2(x-3)=0.\]

Steg 5 - Finn x-verdiene

\[x=0\quad\text{eller}\quad x=3.\] Verdien x=0 er tangentpunktet og forekommer som dobbelt rot.

Steg 6 - Finn det andre punktet

For \(x=3\) er \(y=-4\cdot3+12=0\). Punktet er \((3,0)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, expand
x=symbols('x')
f=4*(x**2-1)*(x-3)
t=-4*x+12
eq=expand(f-t)
print("f(x)-t(x) =", eq)
print("Faktorisert =", factor(eq))
print("Skjaerings-x =", solve(Eq(f,t),x))
for xv in solve(Eq(f,t),x): print("Punkt:", (xv,t.subs(x,xv)))
print("x=0 er dobbelt rot fordi linjen er tangent")

Utskrift fra Python:
f(x)-t(x) = 4*x**3 - 12*x**2
Faktorisert = 4*x**2*(x - 3)
Skjaerings-x = [0, 3]
Punkt: (0, 12)
Punkt: (3, 0)
x=0 er dobbelt rot fordi linjen er tangent

Fasit: Det andre skjæringspunktet er \((3,0)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke midtpunktformelen koordinatvis på AB, BC og AC.

Steg 1 - Skriv midtpunktformelen

Mellom \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) er midtpunktet \(\left((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2\right)\).

Steg 2 - Finn M1

\[M_1=\left(\frac{1+5}{2},\frac{1+2}{2}\right)=\left(3,\frac32\right).\]

Steg 3 - Finn M2 på BC

\[M_2=\left(\frac{5+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(4,3).\]

Steg 4 - Finn M3 på AC

\[M_3=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+4}{2}\right)=\left(2,\frac52\right).\]

Steg 5 - Kontroller plasseringen

Alle midtpunktene ligger mellom endepunktene både i x- og y-retning.

Steg 6 - Oppsummer

\[M_1=\left(3,\frac32\right),\quad M_2=(4,3),\quad M_3=\left(2,\frac52\right).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Point
A=Point(1,1); B=Point(5,2); C=Point(3,4)
M1=Point((A.x+B.x)/2,(A.y+B.y)/2)
M2=Point((B.x+C.x)/2,(B.y+C.y)/2)
M3=Point((A.x+C.x)/2,(A.y+C.y)/2)
print("A =", A, "B =", B, "C =", C)
print("M1, midtpunkt AB =", M1)
print("M2, midtpunkt BC =", M2)
print("M3, midtpunkt AC =", M3)

Utskrift fra Python:
A = Point2D(1, 1) B = Point2D(5, 2) C = Point2D(3, 4)
M1, midtpunkt AB = Point2D(3, 3/2)
M2, midtpunkt BC = Point2D(4, 3)
M3, midtpunkt AC = Point2D(2, 5/2)

Fasit: \(M_1=(3,3/2)\), \(M_2=(4,3)\), \(M_3=(2,5/2)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en retningsvektor som differansen mellom to punkter og bruke punkt pluss parameter ganger retningsvektor.

Steg 1 - Finn retningen A til M2

\[\overrightarrow{AM_2}=[4-1,3-1]=[3,2].\]

Steg 2 - Skriv linjen gjennom A

\[\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix},\quad s\in\mathbb R.\]

Steg 3 - Finn retningen C til M1

\[\overrightarrow{CM_1}=\left[3-3,\frac32-4\right]=\left[0,-\frac52\right].\]

Steg 4 - Skriv linjen gjennom C

\[\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}0\\-5/2\end{bmatrix},\quad t\in\mathbb R.\]

Steg 5 - Kontroller M2

Setter vi \(s=1\), får vi \((4,3)=M_2\).

Steg 6 - Kontroller M1

Setter vi \(t=1\), får vi \((3,3/2)=M_1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, symbols
A=Matrix([1,1]); M2=Matrix([4,3]); C=Matrix([3,4]); M1=Matrix([3,1.5])
d1=M2-A; d2=M1-C
print("Retningsvektor A til M2 =", list(d1))
print("Linje AM2: (x,y)=(1,1)+s(3,2)")
print("Retningsvektor C til M1 =", list(d2))
print("Linje CM1: (x,y)=(3,4)+t(0,-5/2)")

Utskrift fra Python:
Retningsvektor A til M2 = [3, 2]
Linje AM2: (x,y)=(1,1)+s(3,2)
Retningsvektor C til M1 = [0, -2.50000000000000]
Linje CM1: (x,y)=(3,4)+t(0,-5/2)

Fasit: \((x,y)=(1,1)+s(3,2)\) og \((x,y)=(3,4)+t(0,-5/2)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæringspunktet mellom de to parameterlinjene fra b og kontrollere med tyngdepunktformelen.

Steg 1 - Bruk linjen CM1

Denne linjen er vertikal, så alle punkter på den har \(x=3\).

Steg 2 - Sett x=3 på AM2

\[1+3s=3\Rightarrow 3s=2\Rightarrow s=\frac23.\]

Steg 3 - Finn y-koordinaten

\[y=1+2s=1+\frac43=\frac73.\]

Steg 4 - Skriv skjæringspunktet

\[T=\left(3,\frac73\right).\]

Steg 5 - Kontroller på den andre medianen

\(4-(5/2)t=7/3\) har løsningen \(t=2/3\), så punktet ligger også på CM1.

Steg 6 - Kontroller med tyngdepunktformelen

Gjennomsnittet av hjørnene er \(\left((1+5+3)/3,(1+2+4)/3\right)=(3,7/3)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve
s,t=symbols('s t')
sol=solve([Eq(1+3*s,3),Eq(1+2*s,4-5*t/2)],[s,t])
print("AM2: x=1+3s, y=1+2s")
print("CM1: x=3, y=4-(5/2)t")
print("Skjaering gir", sol)
print("T =", (1+3*sol[s],1+2*sol[s]))
print("Kontroll med gjennomsnitt av hjornene:", ((1+5+3)/3,(1+2+4)/3))

Utskrift fra Python:
AM2: x=1+3s, y=1+2s
CM1: x=3, y=4-(5/2)t
Skjaering gir {s: 2/3, t: 2/3}
T = (3, 7/3)
Kontroll med gjennomsnitt av hjornene: (3.0, 2.3333333333333335)

Fasit: \(T=\left(3,\dfrac73\right)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette henholdsvis x- og y-komponenten lik 0 og ta hensyn til at t må være positiv.

Steg 1 - Skriv komponentene

\[x(t)=\ln t,\qquad y(t)=t^2-4t.\]

Steg 2 - Finn skjæring med y-aksen

På y-aksen er \(x=0\): \(\ln t=0\Rightarrow t=1\).

Steg 3 - Finn y-koordinaten der

\[y(1)=1-4=-3.\] Punktet er \((0,-3)\).

Steg 4 - Finn skjæring med x-aksen

På x-aksen er \(y=0\): \[t^2-4t=t(t-4)=0.\]

Steg 5 - Bruk parameterkravet

Løsningene er t=0 og t=4, men t=0 er ikke tillatt. Dermed t=4.

Steg 6 - Finn x-koordinaten

\[x(4)=\ln4.\] Punktet er \((\ln4,0)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, solve, Eq
t=symbols('t', positive=True)
x=log(t); y=t**2-4*t
print("x(t)=ln(t), y(t)=t^2-4t, t>0")
print("Skjaering y-aksen: ln(t)=0 ->", solve(Eq(log(t),0),t))
print("Punkt pa y-aksen: (0,", y.subs(t,1), ")")
print("Skjaering x-aksen: t^2-4t=0")
print("Med t>0 blir t=4")
print("Punkt pa x-aksen: (ln(4),0)")

Utskrift fra Python:
x(t)=ln(t), y(t)=t^2-4t, t>0
Skjaering y-aksen: ln(t)=0 -> [1]
Punkt pa y-aksen: (0, -3 )
Skjaering x-aksen: t^2-4t=0
Med t>0 blir t=4
Punkt pa x-aksen: (ln(4),0)

Fasit: Aksekryssene er \((0,-3)\) og \((\ln4,0)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere begge koordinatfunksjonene. Siden x-komponenten er strengt voksende, får kurven horisontal tangent når y-komponenten til farten er 0.

Steg 1 - Deriver x-komponenten

\[x^{\prime}(t)=\frac1t.\]

Steg 2 - Deriver y-komponenten

\[y^{\prime}(t)=2t-4.\] Dermed \[\vec v(t)=\left[\frac1t,2t-4\right].\]

Steg 3 - Finn horisontal tangent

\[2t-4=0\Rightarrow t=2.\]

Steg 4 - Finn punktet

\[x(2)=\ln2,\qquad y(2)=4-8=-4.\] Punktet er \((\ln2,-4)\).

Steg 5 - Klassifiser punktet

\(y^{\prime\prime}(t)=2>0\), og y avtar før t=2 og øker etterpå. Punktet er et bunnpunkt. Det finnes ikke noe toppunkt.

Steg 6 - Finn v(1)

\[\vec v(1)=[1,-2].\] Vektoren tegnes med start i \(\vec r(1)=(0,-3)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, diff, solve
t=symbols('t', positive=True)
x=log(t); y=t**2-4*t
v=(diff(x,t),diff(y,t))
print("r(t) = [ln(t), t^2-4t]")
print("v(t) = r'(t) =", v)
print("Horisontal tangent nar dy/dt=0")
print("Losning 2t-4=0:", solve(2*t-4,t))
print("Punkt ved t=2 =", (x.subs(t,2),y.subs(t,2)))
print("Andrederivert av y er", diff(y,t,2), ">0, altsa bunnpunkt")
print("v(1) =", (v[0].subs(t,1),v[1].subs(t,1)))

Utskrift fra Python:
r(t) = [ln(t), t^2-4t]
v(t) = r'(t) = (1/t, 2*t - 4)
Horisontal tangent nar dy/dt=0
Losning 2t-4=0: [2]
Punkt ved t=2 = (log(2), -4)
Andrederivert av y er 2 >0, altsa bunnpunkt
v(1) = (1, -2)

Fasit: \(\vec v(t)=[1/t,2t-4]\). Bunnpunkt \((\ln2,-4)\), ingen toppunkt, og \(\vec v(1)=[1,-2]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere fartsvektoren komponentvis og ta grenseverdien av hver komponent.

Steg 1 - Bruk fartsvektoren

\[\vec v(t)=\left[\frac1t,2t-4\right].\]

Steg 2 - Deriver første komponent

\[\left(t^{-1}\right)^{\prime}=-t^{-2}=-\frac1{t^2}.\]

Steg 3 - Deriver andre komponent

\[(2t-4)^{\prime}=2.\]

Steg 4 - Skriv akselerasjonen

\[\vec a(t)=\left[-\frac1{t^2},2\right].\]

Steg 5 - Ta grensen komponentvis

\[\lim_{t\to\infty}-\frac1{t^2}=0,\qquad \lim_{t\to\infty}2=2.\]

Steg 6 - Tolk svaret

\[\vec a(t)\to[0,2].\] Den horisontale akselerasjonen går mot 0, mens den vertikale akselerasjonen er konstant lik 2.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, limit, oo, Matrix
t=symbols('t', positive=True)
r=Matrix([__import__('sympy').log(t),t**2-4*t])
v=r.diff(t); a=v.diff(t)
print("r(t) =", list(r))
print("v(t) =", list(v))
print("a(t) =", list(a))
print("Grense for ax nar t->oo =", limit(a[0],t,oo))
print("Grense for ay nar t->oo =", limit(a[1],t,oo))
print("Grensevektor = [0, 2]")

Utskrift fra Python:
r(t) = [log(t), t**2 - 4*t]
v(t) = [1/t, 2*t - 4]
a(t) = [-1/t**2, 2]
Grense for ax nar t->oo = 0
Grense for ay nar t->oo = 2
Grensevektor = [0, 2]

Fasit: \(\vec a(t)=[-1/t^2,2]\) og \(\lim_{t\to\infty}\vec a(t)=[0,2]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at rektangelets diagonal er sirkelens diameter, anvende Pytagoras og sette inn i arealformelen.

Steg 1 - Identifiser den rettvinklede trekanten

Sidene x og y er kateter, mens diagonalen AB=5 er hypotenus.

Steg 2 - Bruk Pytagoras

\[x^2+y^2=5^2=25.\]

Steg 3 - Isoler y

\[y^2=25-x^2\Rightarrow y=\sqrt{25-x^2}.\] Vi velger positiv rot fordi y er en sidelengde.

Steg 4 - Bruk arealformelen

\[T=xy.\]

Steg 5 - Sett inn y

\[T(x)=x\sqrt{25-x^2}.\]

Steg 6 - Bestem x-verdiene

For et reelt uttrykk må \(0\le x\le5\). For et ekte, ikke-degenerert rektangel må begge sider være positive, altså \(0<x<5\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, simplify
x=symbols('x', positive=True)
y=sqrt(25-x**2)
T=x*y
print("Pytagoras: x^2+y^2=25")
print("y =", y)
print("T(x)=x*y =", T)
print("Kontroll T(x)-x*sqrt(25-x^2) =", simplify(T-x*sqrt(25-x**2)))
print("For et ikke-degenerert rektangel: 0<x<5")

Utskrift fra Python:
Pytagoras: x^2+y^2=25
y = sqrt(25 - x**2)
T(x)=x*y = x*sqrt(25 - x**2)
Kontroll T(x)-x*sqrt(25-x^2) = 0
For et ikke-degenerert rektangel: 0<x<5

Fasit: \(T(x)=x\sqrt{25-x^2}\), med \(0<x<5\) for et ikke-degenerert rektangel.

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere arealfunksjonen, finne det indre kritiske punktet og kontrollere at det gir maksimum.

Steg 1 - Deriver produktet

\[T^{\prime}(x)=\sqrt{25-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}.\]

Steg 2 - Samle over felles nevner

\[T^{\prime}(x)=\frac{25-2x^2}{\sqrt{25-x^2}}.\]

Steg 3 - Sett den deriverte lik 0

Nevneren er positiv for \(0<x<5\), så \[25-2x^2=0.\]

Steg 4 - Løs for x

\[x^2=\frac{25}{2}\Rightarrow x=\frac5{\sqrt2}.\] Positiv rot brukes.

Steg 5 - Finn y

\[y=\sqrt{25-\frac{25}{2}}=\frac5{\sqrt2}.\]

Steg 6 - Kontroller og kommenter

T' skifter fra positiv til negativ, så punktet gir maksimum. Rektangelet er et kvadrat, og \(T_{\max}=25/2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, solve, simplify
x=symbols('x', positive=True)
T=x*sqrt(25-x**2)
T1=simplify(diff(T,x))
crit=solve(T1,x)
print("T(x) =", T)
print("T'(x) =", T1)
print("Kritiske positive x-verdier =", crit)
xm=5/sqrt(2); ym=sqrt(25-xm**2)
print("x =", xm)
print("y =", simplify(ym))
print("Maksimalt areal =", simplify(T.subs(x,xm)))

Utskrift fra Python:
T(x) = x*sqrt(25 - x**2)
T'(x) = (25 - 2*x**2)/sqrt(25 - x**2)
Kritiske positive x-verdier = [5*sqrt(2)/2]
x = 5*sqrt(2)/2
y = 5*sqrt(2)/2
Maksimalt areal = 25/2

Fasit: \(x=y=5/\sqrt2=5\sqrt2/2\), og maksimalarealet er \(25/2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette y-uttrykket inn i omkretsformelen, derivere og finne maksimum på intervallet.

Steg 1 - Skriv omkretsformelen

\[O=2x+2y.\]

Steg 2 - Sett inn y

\[O(x)=2x+2\sqrt{25-x^2}.\]

Steg 3 - Deriver

\[O^{\prime}(x)=2-\frac{2x}{\sqrt{25-x^2}}.\]

Steg 4 - Sett O-prime lik 0

\[2=\frac{2x}{\sqrt{25-x^2}}\Rightarrow \sqrt{25-x^2}=x.\]

Steg 5 - Løs likningen

Kvadrering gir \(25-x^2=x^2\), så \[x=\frac5{\sqrt2}.\]

Steg 6 - Kommenter maksimumet

Da er også \(y=5/\sqrt2\). Omkretsen er størst for et kvadrat og er \(O_{\max}=10\sqrt2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, solve, simplify
x=symbols('x', positive=True)
O=2*sqrt(25-x**2)+2*x
O1=simplify(diff(O,x))
crit=solve(O1,x)
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", O1)
print("Kritiske positive x-verdier =", crit)
xm=5/sqrt(2)
print("x =", xm)
print("y =", simplify(sqrt(25-xm**2)))
print("Maksimal omkrets =", simplify(O.subs(x,xm)))

Utskrift fra Python:
O(x) = 2*x + 2*sqrt(25 - x**2)
O'(x) = -2*x/sqrt(25 - x**2) + 2
Kritiske positive x-verdier = [5*sqrt(2)/2]
x = 5*sqrt(2)/2
y = 5*sqrt(2)/2
Maksimal omkrets = 10*sqrt(2)

Fasit: \(x=5/\sqrt2\), \(y=5/\sqrt2\), og \(O_{\max}=10\sqrt2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere de to gjensidig utelukkende rekkefølgene rød-svart og svart-rød.

Steg 1 - Finn sannsynligheten for rød så svart

\[P(RS)=\frac6{10}\cdot\frac4{9}=\frac{24}{90}.\]

Steg 2 - Forklar nevneren 9

Etter første trekk er det 9 kuler igjen fordi det ikke er tilbakelegging.

Steg 3 - Finn sannsynligheten for svart så rød

\[P(SR)=\frac4{10}\cdot\frac6{9}=\frac{24}{90}.\]

Steg 4 - Summer grenene

\[P(A)=P(RS)+P(SR)=\frac{48}{90}.\]

Steg 5 - Forkort brøken

\[\frac{48}{90}=\frac8{15}.\]

Steg 6 - Kontroller kombinatorisk

Det finnes \(6\cdot4=24\) par med ulik farge av totalt \(\binom{10}{2}=45\), og \(24/45=8/15\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction
p_RS=Fraction(6,10)*Fraction(4,9)
p_SR=Fraction(4,10)*Fraction(6,9)
pA=p_RS+p_SR
print("P(R sa S) = 6/10 * 4/9 =", p_RS)
print("P(S sa R) = 4/10 * 6/9 =", p_SR)
print("P(A) =", pA)
print("Desimaltall =", float(pA))
print("Kombinatorisk kontroll: 6*4 / C(10,2) = 24/45 =", Fraction(24,45))

Utskrift fra Python:
P(R sa S) = 6/10 * 4/9 = 4/15
P(S sa R) = 4/10 * 6/9 = 4/15
P(A) = 8/15
Desimaltall = 0.5333333333333333
Kombinatorisk kontroll: 6*4 / C(10,2) = 24/45 = 8/15

Fasit: \(P(A)=\dfrac8{15}\).

Hva spør oppgaven om? Vi kan enten summere sannsynlighetene for to røde og to svarte eller bruke at B er komplementet til A.

Steg 1 - Finn P(RR)

\[P(RR)=\frac6{10}\cdot\frac5{9}=\frac{30}{90}.\]

Steg 2 - Finn P(SS)

\[P(SS)=\frac4{10}\cdot\frac3{9}=\frac{12}{90}.\]

Steg 3 - Summer

\[P(B)=\frac{30}{90}+\frac{12}{90}=\frac{42}{90}.\]

Steg 4 - Forkort

\[\frac{42}{90}=\frac7{15}.\]

Steg 5 - Bruk komplementet som kontroll

A og B dekker alle muligheter og er disjunkte, så \[P(B)=1-P(A)=1-\frac8{15}=\frac7{15}.\]

Steg 6 - Konkluder

Begge metodene gir samme svar.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction
p_RR=Fraction(6,10)*Fraction(5,9)
p_SS=Fraction(4,10)*Fraction(3,9)
pB=p_RR+p_SS
print("P(RR) = 6/10 * 5/9 =", p_RR)
print("P(SS) = 4/10 * 3/9 =", p_SS)
print("P(B) =", pB)
print("Komplementkontroll 1-8/15 =", 1-Fraction(8,15))
print("Desimaltall =", float(pB))

Utskrift fra Python:
P(RR) = 6/10 * 5/9 = 1/3
P(SS) = 4/10 * 3/9 = 2/15
P(B) = 7/15
Komplementkontroll 1-8/15 = 7/15
Desimaltall = 0.4666666666666667

Fasit: \(P(B)=\dfrac7{15}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal la antallet svarte være b, uttrykke begge sannsynlighetene med samme nevner og løse en andregradslikning.

Steg 1 - Definer antallet svarte

La \(b\in\mathbb N\) være antallet svarte kuler. Totalt er det \(b+6\) kuler.

Steg 2 - Finn telleren for ulik farge

To rekkefølger gir \[P(A)=\frac{6b+b6}{(b+6)(b+5)}=\frac{12b}{(b+6)(b+5)}.\]

Steg 3 - Finn telleren for samme farge

\[P(B)=\frac{6\cdot5+b(b-1)}{(b+6)(b+5)}.\]

Steg 4 - Sett sannsynlighetene lik

Nevnerne er like og positive, derfor \[12b=30+b(b-1).\]

Steg 5 - Løs andregradslikningen

\[b^2-13b+30=0\Rightarrow(b-3)(b-10)=0.\]

Steg 6 - Vurder løsningene

\[b=3\quad\text{eller}\quad b=10.\] Begge er positive heltall og oppfyller kravet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, factor
b=symbols('b', integer=True, positive=True)
# Felles nevner (b+6)(b+5) kanselleres
ulik=12*b
samme=6*5+b*(b-1)
eq=ulik-samme
print("Antall svarte = b")
print("Teller for ulik farge = 12b")
print("Teller for samme farge = 30+b(b-1)")
print("Likning 12b = 30+b(b-1)")
print("Flyttet til en side:", factor(eq), "= 0")
print("Losninger =", solve(Eq(eq,0),b))
for bv in [3,10]:
    den=(bv+6)*(bv+5)
    print(f"b={bv}: P(A)={12*bv}/{den}, P(B)={30+bv*(bv-1)}/{den}")

Utskrift fra Python:
Antall svarte = b
Teller for ulik farge = 12b
Teller for samme farge = 30+b(b-1)
Likning 12b = 30+b(b-1)
Flyttet til en side: -(b - 10)*(b - 3) = 0
Losninger = [3, 10]
b=3: P(A)=36/72, P(B)=36/72
b=10: P(A)=120/240, P(B)=120/240

Fasit: Det kan være 3 eller 10 svarte kuler.

Hva spør oppgaven om? Vi skal merke at x må være positiv, ta 10-logaritmen av begge sider og faktorisere en andregradslikning i \(\lg x\).

Steg 1 - Fastsett domenet

Siden \(\lg x\) inngår, må \(x>0\). Videre er \(n>0\) fordi \(n\in\mathbb N\).

Steg 2 - Ta lg på begge sider

\[2\lg n+\lg x\cdot\lg\left(\frac xn\right)=2\lg x.\]

Steg 3 - Bruk brøkregelen

\[\lg\left(\frac xn\right)=\lg x-\lg n.\]

Steg 4 - Innfør kortnavn

Sett \(u=\lg x\) og \(v=\lg n\). Da blir likningen \[2v+u(u-v)=2u.\]

Steg 5 - Faktoriser

\[u^2-(v+2)u+2v=0\Rightarrow(u-2)(u-v)=0.\]

Steg 6 - Løs de to tilfellene

\(u=2\Rightarrow\lg x=2\Rightarrow x=100\). Videre \(u=v\Rightarrow\lg x=\lg n\Rightarrow x=n\).

Steg 7 - Vurder sammenfall

Hvis \(n=100\), er de to løsningene like og oppgis bare én gang.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor
Lx,Ln=symbols('Lx Ln', real=True)
expr=2*Ln+Lx*(Lx-Ln)-2*Lx
print("Forutsetning: x>0 og n er positivt heltall")
print("Etter lg pa begge sider:")
print("2 lg(n) + lg(x)(lg(x)-lg(n)) = 2 lg(x)")
print("Sett Lx=lg(x), Ln=lg(n)")
print("Uttrykk pa venstre side =", expr)
print("Faktorisert =", factor(expr))
print("Dermed Lx=2 eller Lx=Ln")
print("Losninger: x=100 eller x=n")
for nv in [2,25,100]:
    for xv in sorted(set([100,nv])):
        import math
        lhs=nv**2*(xv/nv)**(math.log10(xv))
        rhs=xv**2
        print(f"Kontroll n={nv}, x={xv}: LHS={lhs:.10g}, RHS={rhs:.10g}")

Utskrift fra Python:
Forutsetning: x>0 og n er positivt heltall
Etter lg pa begge sider:
2 lg(n) + lg(x)(lg(x)-lg(n)) = 2 lg(x)
Sett Lx=lg(x), Ln=lg(n)
Uttrykk pa venstre side = 2*Ln + Lx*(-Ln + Lx) - 2*Lx
Faktorisert = -(Ln - Lx)*(Lx - 2)
Dermed Lx=2 eller Lx=Ln
Losninger: x=100 eller x=n
Kontroll n=2, x=2: LHS=4, RHS=4
Kontroll n=2, x=100: LHS=10000, RHS=10000
Kontroll n=25, x=25: LHS=625, RHS=625
Kontroll n=25, x=100: LHS=10000, RHS=10000
Kontroll n=100, x=100: LHS=10000, RHS=10000

Fasit: \(x=100\) eller \(x=n\). For \(n=100\) sammenfaller løsningene.