Fasit: Grafen er den S-formede tredjegradskurven vist nedenfor.
Vanlig feil: Å tegne en parabel eller plassere topp- og bunnpunkt på feil side av y-aksen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktige skjæringspunkter, ekstremalpunkter og riktig endeadferd.
Del 1 · Oppgave 1dPolynomer · polynomdivisjon
Oppgave 1d
Oppgave: Polynomet
\[P(x)=x^3-3x^2-x+3\]
er gitt. Heltallige løsninger av likningen \(P(x)=0\) går opp i konstantleddet.
Bruk dette til å finne en løsning av \(P(x)=0\) og polynomdivisjon til å finne de andre løsningene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal teste heltallsfaktorene til konstantleddet 3, finne én rot og deretter dividere polynomet med den tilhørende førstegradsfaktoren.
Steg 1 — List mulige heltallsrøtter
Mulige heltallsrøtter er \(\pm1\) og \(\pm3\).
Steg 2 — Test x=1
\[P(1)=1-3-1+3=0.\] Dermed er \(x=1\) en løsning og \(x-1\) en faktor.
Steg 3 — Utfør polynomdivisjon
\[(x^3-3x^2-x+3):(x-1)=x^2-2x-3.\] Resten er 0.
Steg 4 — Faktoriser kvotienten
Vi trenger to tall med produkt \(-3\) og sum \(-2\): \(-3\) og \(1\). Derfor \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\).
Steg 5 — Skriv full faktorisering
\[P(x)=(x-1)(x-3)(x+1).\]
Steg 6 — Bruk nullproduktregelen
Løsningene er \(x=1\), \(x=3\) og \(x=-1\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Substitute[x=1,P(x)]
\(0\)
2
Division[x^3-3x^2-x+3,x-1]
\(x^2-2x-3\), rest 0
3
Factor[x^3-3x^2-x+3]
\((x-1)(x-3)(x+1)\)
Tolkning: CAS bekrefter roten, polynomdivisjonen og alle løsningene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, factor, div, solve, expand
x = symbols('x')
P = x**3 - 3*x**2 - x + 3
print("P(x) =", P)
for kandidat in [-3,-1,1,3]:
print(f"P({kandidat}) = {P.subs(x,kandidat)}")
kvotient, rest = div(P, x-1)
print("Divisjon med x-1 gir kvotient =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Kvotienten faktorisert =", factor(kvotient))
print("Full faktorisering =", factor(P))
print("Løsninger =", solve(P,x))
Vektoren går mellom to punkter på linjen og er parallell med linjen. Derfor er \([1,a]\) en retningsvektor.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Vector[(x,ax+b),(x+1,a(x+1)+b)]
\((1,a)\)
2
Slope[Line[(x,ax+b),(x+1,a(x+1)+b)]]
\(a\)
Tolkning: GeoGebra viser at vektoren har samme stigningstall som linjen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, simplify
x, a, b = symbols('x a b', real=True)
y = a*x + b
y_next = a*(x+1) + b
dx = (x+1)-x
dy = simplify(y_next-y)
print("Punkt 1: (x, ax+b)")
print("Punkt 2: (x+1, a(x+1)+b)")
print("Endring i x =", dx)
print("Endring i y =", dy)
print("Forflytningsvektor = [1, a]")
print("Vektoren er parallell med linjen og er derfor en retningsvektor.")
Utskrift fra Python:
Punkt 1: (x, ax+b)
Punkt 2: (x+1, a(x+1)+b)
Endring i x = 1
Endring i y = a
Forflytningsvektor = [1, a]
Vektoren er parallell med linjen og er derfor en retningsvektor.
Fasit: \([1,a]\) er en retningsvektor fordi en økning \(\Delta x=1\) gir \(\Delta y=a\).
Vanlig feil: Å bruke \([a,1]\); komponentrekkefølgen må være horisontal endring først og vertikal endring deretter.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en forklaring basert på to punkter eller forholdet mellom stigningstall og komponenter.
Del 1 · Oppgave 2bVektorer · ortogonalitet
Oppgave 2b
Oppgave: To rette linjer med stigningstall \(a_1\) og \(a_2\) står vinkelrett på hverandre. Vis at da er
\[a_1\cdot a_2=-1.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke retningsvektorene \([1,a_1]\) og \([1,a_2]\) og at skalarproduktet til vinkelrette vektorer er null.
Steg 1 — Skriv retningsvektorene
Fra forrige del kan vi bruke \(\vec v_1=[1,a_1]\) og \(\vec v_2=[1,a_2]\).
Steg 2 — Bruk vinkelretthetskravet
Når linjene er vinkelrette, er også retningsvektorene vinkelrette.
Steg 3 — Sett skalarproduktet lik null
\[\vec v_1\cdot\vec v_2=0.\]
Steg 4 — Regn ut skalarproduktet
\[[1,a_1]\cdot[1,a_2]=1\cdot1+a_1a_2=1+a_1a_2.\]
Steg 5 — Løs likningen
\(1+a_1a_2=0\) gir \(a_1a_2=-1\).
Steg 6 — Konkluder
Dermed er produktet av stigningstallene til to ikke-vertikale, vinkelrette linjer lik \(-1\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Dot[(1,a1),(1,a2)]
\(1+a_1a_2\)
2
Solve[1+a1 a2=0,a1 a2]
\(a_1a_2=-1\)
Tolkning: CAS bekrefter den algebraiske sammenhengen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Matrix, Eq, solve
A1, A2 = symbols('a1 a2', real=True)
v1 = Matrix([1,A1])
v2 = Matrix([1,A2])
skalar = v1.dot(v2)
print("Retningsvektor for linje 1 =", v1.T)
print("Retningsvektor for linje 2 =", v2.T)
print("Skalarprodukt =", skalar)
print("Vinkelrett betyr skalarprodukt 0:")
print("1 + a1*a2 = 0")
print("Løst for produktet: a1*a2 = -1")
print("Løst for a2 =", solve(Eq(skalar,0),A2)[0])
Utskrift fra Python:
Retningsvektor for linje 1 = Matrix([[1, a1]])
Retningsvektor for linje 2 = Matrix([[1, a2]])
Skalarprodukt = a1*a2 + 1
Vinkelrett betyr skalarprodukt 0:
1 + a1*a2 = 0
Løst for produktet: a1*a2 = -1
Løst for a2 = -1/a1
Fasit: \(a_1a_2=-1\).
Vanlig feil: Å sette skalarproduktet lik 1 i stedet for 0, eller å glemme det første produktet \(1\cdot1\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter retningsvektorer, null skalarprodukt og en fullført algebraisk konklusjon.
Del 1 · Oppgave 2cLinjer · vinkelrett linje
Oppgave 2c
Oppgave: Bestem likningen for en rett linje som står vinkelrett på \(y=2x-1\) og som skjærer y-aksen i \(y=5\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne det negative inverse stigningstallet og bruke det oppgitte skjæringspunktet med y-aksen som konstantledd.
Steg 1 — Les av stigningstallet
Linjen \(y=2x-1\) har stigningstall \(a_1=2\).
Steg 2 — Bruk vinkelretthetsregelen
For den nye linjen gjelder \(2a_2=-1\).
Steg 3 — Finn det nye stigningstallet
\[a_2=-\frac{1}{2}.\]
Steg 4 — Bruk y-akseavskjæringen
Linjen skjærer y-aksen i \(y=5\), så konstantleddet er \(b=5\).
Steg 5 — Sett inn i linjeformen
\[y=a_2x+b=-\frac{1}{2}x+5.\]
Steg 6 — Kontroller ortogonaliteten
Produktet av stigningstallene er \(2\cdot(-1/2)=-1\), så linjene er vinkelrette.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
m:=-1/2
\(-1/2\)
2
Line[(0,5),(2,4)]
\(y=-x/2+5\)
3
2*m
\(-1\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter både linjelikningen og vinkelretthetskravet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Eq, solve
m = symbols('m')
# Gitt linje har stigningstall 2
m_perp = solve(Eq(2*m,-1),m)[0]
print("Stigningstall til gitt linje = 2")
print("Vinkelretthetskrav: 2*m = -1")
print("Nytt stigningstall m =", m_perp)
print("Linjen skjærer y-aksen i 5, så konstantleddet er 5.")
print("Likning: y = -x/2 + 5")
print("Kontroll av produktet =", 2*m_perp)
Utskrift fra Python:
Stigningstall til gitt linje = 2
Vinkelretthetskrav: 2*m = -1
Nytt stigningstall m = -1/2
Linjen skjærer y-aksen i 5, så konstantleddet er 5.
Likning: y = -x/2 + 5
Kontroll av produktet = -1
Fasit: \(y=-\dfrac12x+5\).
Vanlig feil: Å bruke stigningstall \(1/2\) uten fortegnsskifte.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både korrekt stigningstall og korrekt konstantledd 5.
Del 1 · Oppgave 2dLinjer · grafisk framstilling
Oppgave 2d
Oppgave: Tegn de to linjene fra c) inn i samme koordinatsystem.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne nok punkter til hver linje, markere akseavskjæringene og kontrollere skjæringspunktet.
Steg 1 — Skriv den første linjen
Den gitte linjen er \(y=2x-1\). Den går blant annet gjennom \((0,-1)\) og \((1,1)\).
Steg 2 — Skriv den andre linjen
Den vinkelrette linjen er \(y=-x/2+5\). Den går gjennom \((0,5)\) og \((2,4)\).
Steg 3 — Tegn første linje
Marker to punkter på \(y=2x-1\) og trekk en rett linje gjennom dem.
Steg 4 — Tegn andre linje
Marker to punkter på \(y=-x/2+5\) og trekk en rett linje gjennom dem.
Steg 5 — Finn skjæringspunktet
Løsning av \(2x-1=-x/2+5\) gir \(x=12/5\) og \(y=19/5\).
Steg 6 — Kontroller vinkelen
Stigningstallproduktet er \(-1\), så grafene skal møtes i en rett vinkel.
Kontrollfigur for de to linjene i samme koordinatsystem.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
l1:y=2x-1
Linje med stigningstall 2
2
l2:y=-x/2+5
Linje med stigningstall -1/2
3
Intersect[l1,l2]
\((12/5,19/5)\)
Tolkning: GeoGebra viser de to vinkelrette linjene og deres eksakte skjæringspunkt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
løsning = solve((Eq(y,2*x-1), Eq(y,-x/2+5)),(x,y))
print("Linje 1: y = 2x - 1")
print("Linje 2: y = -x/2 + 5")
print("Skjæring finnes ved å løse likningene samtidig.")
print("Skjæringspunkt =", løsning)
print("Linje 1 skjærer y-aksen i (0,-1).")
print("Linje 2 skjærer y-aksen i (0,5).")
print("Stigningstallprodukt =", 2*(-1/2))
Utskrift fra Python:
Linje 1: y = 2x - 1
Linje 2: y = -x/2 + 5
Skjæring finnes ved å løse likningene samtidig.
Skjæringspunkt = {x: 12/5, y: 19/5}
Linje 1 skjærer y-aksen i (0,-1).
Linje 2 skjærer y-aksen i (0,5).
Stigningstallprodukt = -1.0
Fasit: Grafene er vist nedenfor og skjærer hverandre i \((12/5,19/5)\).
Vanlig feil: Å bruke samme målestokk forskjellig på aksene, slik at en rett vinkel visuelt ser skjev ut.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge korrekte linjer med riktige skjæringer og stigninger.
Del 1 · Oppgave 3aDerivasjon · tangent
Oppgave 3a
Oppgave: Skissen viser grafen til funksjonen \(f(x)=1/x\) og en tangent i punktet \((a,f(a))\).
Vis at likningen for tangenten er
\[y=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den deriverte i \(x=a\) og sette stigningstall og tangentpunkt inn i punkt-stigning-formen.
Steg 1 — Finn punktets y-koordinat
Siden \(f(a)=1/a\), er tangentpunktet \((a,1/a)\).
Steg 2 — Deriver funksjonen
\[f^{\prime}(x)=-\frac1{x^2}.\]
Steg 3 — Finn tangentens stigningstall
\[f^{\prime}(a)=-\frac1{a^2}.\]
Steg 4 — Bruk punkt-stigning-formen
\[y-\frac1a=-\frac1{a^2}(x-a).\]
Steg 5 — Multipliser ut høyresiden
\[-\frac1{a^2}(x-a)=-\frac{x}{a^2}+\frac1a.\]
Steg 6 — Isoler y
Når \(1/a\) legges til på begge sider, får vi \[y=-\frac{x}{a^2}+\frac2a.\]
Illustrasjon med a=2; den algebraiske utledningen gjelder alle a ulik 0.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
f(x):=1/x
Funksjonen registreres
2
Derivative[f]
\(-1/x^2\)
3
Tangent[(a,1/a),f]
\(y=-x/a^2+2/a\)
Tolkning: CAS bekrefter tangentlikningen symbolsk.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, diff, simplify, expand
x, a = symbols('x a', nonzero=True, real=True)
f = 1/x
m = diff(f,x).subs(x,a)
y_tangent = simplify(m*(x-a) + 1/a)
forventet = -x/a**2 + 2/a
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", diff(f,x))
print("Tangentstigning f'(a) =", m)
print("Punktet er (a, 1/a)")
print("Punkt-stigning-form = f'(a)*(x-a)+f(a)")
print("Tangentlikning =", expand(y_tangent))
print("Kontroll mot oppgitt uttrykk =", simplify(y_tangent-forventet))
Kontrollfigur for vektorene med felles startpunkt A.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
A=(-3,-2); B=(6,3); C=(2,4)
Punktene registreres
2
Angle[B,A,C]
\(21.1398^{\circ}\)
3
Dot[Vector[A,B],Vector[A,C]]
75
Tolkning: GeoGebra bekrefter både skalarproduktet og vinkelmålet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix, sqrt, acos, pi, N
A = Matrix([-3,-2])
B = Matrix([6,3])
C = Matrix([2,4])
AB = B-A
AC = C-A
dot = AB.dot(AC)
cosv = dot/(sqrt(AB.dot(AB))*sqrt(AC.dot(AC)))
vinkel = acos(cosv)*180/pi
print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("AB·AC =", dot)
print("|AB| = sqrt(106)")
print("|AC| = sqrt(61)")
print("cos(vinkel BAC) =", cosv)
print("vinkel BAC i grader =", N(vinkel,10))
Utskrift fra Python:
AB = Matrix([[9, 5]])
AC = Matrix([[5, 6]])
AB·AC = 75
|AB| = sqrt(106)
|AC| = sqrt(61)
cos(vinkel BAC) = 75*sqrt(6466)/6466
vinkel BAC i grader = 21.13982481
Fasit: \(\angle BAC\approx21{,}1^{\circ}\).
Vanlig feil: Å bruke vektorene \(\overrightarrow{BA}\) og \(\overrightarrow{AC}\), som gir supplementvinkelen. Begge vektorer må starte i A.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktige vektorer, skalarprodukt, lengder og vinkel i grader.
Del 2 · Oppgave 4bVektorer · parallellogram
Oppgave 4b
Oppgave: Bestem koordinatene til et punkt \(D\) slik at \(ABCD\) blir et parallellogram.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at motsatte sider i et parallellogram har samme vektor, altså \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Steg 1 — Finn vektor BC
\[\overrightarrow{BC}=[2-6,4-3]=[-4,1].\]
Steg 2 — Bruk parallellogramkravet
Vi krever \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=[-4,1]\).
Steg 3 — Start i A
Punktet A er \((-3,-2)\).
Steg 4 — Legg til sidevektoren
\[D=A+\overrightarrow{BC}=(-3,-2)+(-4,1).\]
Steg 5 — Regn koordinatene
\[D=(-7,-1).\]
Steg 6 — Kontroller motsatte sider
\(\overrightarrow{AB}=[9,5]\) og \(\overrightarrow{DC}=C-D=[9,5]\), så figuren er et parallellogram.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
D:=A+C-B
\((-7,-1)\)
2
Vector[A,B]
\((9,5)\)
3
Vector[D,C]
\((9,5)\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter at de motsatte sidevektorene er like.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix
A = Matrix([-3,-2])
B = Matrix([6,3])
C = Matrix([2,4])
D = A + C - B
print("For parallellogram ABCD gjelder AD = BC.")
print("BC = C-B =", (C-B).T)
print("D = A + (C-B) =", D.T)
print("Alternativt: A+C = B+D")
print("AB =", (B-A).T)
print("DC =", (C-D).T)
print("AD =", (D-A).T)
print("BC =", (C-B).T)
Utskrift fra Python:
For parallellogram ABCD gjelder AD = BC.
BC = C-B = Matrix([[-4, 1]])
D = A + (C-B) = Matrix([[-7, -1]])
Alternativt: A+C = B+D
AB = Matrix([[9, 5]])
DC = Matrix([[9, 5]])
AD = Matrix([[-4, 1]])
BC = Matrix([[-4, 1]])
Fasit: \(D=(-7,-1)\).
Vanlig feil: Å bruke \(D=B+C-A\); dette gir et annet parallellogram der punktrekkefølgen ikke er ABCD.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig punktrekkefølge og en vektorkontroll av motsatte sider.
Del 2 · Oppgave 5Analytisk geometri · sirkel
Oppgave 5
Oppgave: Punktene \(A(2,4)\) og \(B(4,2)\) ligger på en sirkel slik at \(AB\) er diameter til sirkelen.
Vis ved regning at likningen til sirkelen er
\[(x-3)^2+(y-3)^2=2.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sentrum som midtpunktet av diameteren og radiusen som halvparten av avstanden AB.
Steg 1 — Finn sentrum
Midtpunktet av A og B er \[S=\left(\frac{2+4}{2},\frac{4+2}{2}\right)=(3,3).\]
Steg 2 — Finn diametervektoren
\[\overrightarrow{AB}=[4-2,2-4]=[2,-2].\]
Steg 3 — Finn diameterlengden
\[|AB|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt8=2\sqrt2.\]
Steg 4 — Finn radiusen
Radiusen er halvparten av diameteren: \(r=\sqrt2\).
Steg 5 — Bruk standardformen
En sirkel med sentrum \((h,k)\) og radius r har likning \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\).
Steg 6 — Sett inn
Med \((h,k)=(3,3)\) og \(r^2=2\) får vi \[(x-3)^2+(y-3)^2=2.\]
Kontrollfigur for sentrum og diameter.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Midpoint[(2,4),(4,2)]
\((3,3)\)
2
Distance[(2,4),(4,2)]/2
\(\sqrt2\)
3
Circle[(3,3),sqrt(2)]
\((x-3)^2+(y-3)^2=2\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter sentrum, radius og likning.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix, sqrt, simplify, symbols
A = Matrix([2,4])
B = Matrix([4,2])
S = (A+B)/2
AB = B-A
radius = sqrt(AB.dot(AB))/2
print("A =", A.T)
print("B =", B.T)
print("Sentrum S = (A+B)/2 =", S.T)
print("AB-vektor =", AB.T)
print("Diameter |AB| =", sqrt(AB.dot(AB)))
print("Radius =", radius)
print("Radius^2 =", simplify(radius**2))
print("Sirkellikning: (x-3)^2 + (y-3)^2 = 2")
Utskrift fra Python:
A = Matrix([[2, 4]])
B = Matrix([[4, 2]])
Sentrum S = (A+B)/2 = Matrix([[3, 3]])
AB-vektor = Matrix([[2, -2]])
Diameter |AB| = 2*sqrt(2)
Radius = sqrt(2)
Radius^2 = 2
Sirkellikning: (x-3)^2 + (y-3)^2 = 2
Fasit: \((x-3)^2+(y-3)^2=2\).
Vanlig feil: Å bruke diameteren \(2\sqrt2\) som radius og dermed få høyresiden 8.
Sensorpunkt: Sensor ser etter midtpunkt, avstand, halvering av diameteren og standard sirkellikning.
Del 2 · Oppgave 6aVektorer · parameterframstilling
Oppgave 6a
Oppgave: Bestem en parameterframstilling for en rett linje \(l\) som går gjennom punktene \(E(2,4)\) og \(F(7,-1)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en retningsvektor fra E til F og bruke ett av punktene som fast punkt i parameterframstillingen.
Steg 1 — Finn retningsvektoren
\[\overrightarrow{EF}=[7-2,-1-4]=[5,-5].\]
Steg 2 — Forenkle vektoren
Vi kan dele med 5 og bruke den parallelle vektoren \([1,-1]\).
Steg 3 — Velg fast punkt
Vi bruker \(E=(2,4)\).
Steg 4 — Skriv vektorformen
\[[x,y]=[2,4]+t[1,-1].\]
Steg 5 — Skriv komponentformen
\[x=2+t,\qquad y=4-t.\]
Steg 6 — Kontroller punkt F
Når \(t=5\), får vi \((x,y)=(7,-1)=F\), så framstillingen er riktig.
Kontrollfigur for linjen og senere avstandsberegning.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Line[(2,4),(7,-1)]
\(x+y=6\)
2
Vector[(2,4),(7,-1)]
\((5,-5)\)
3
Point[(2,4)+t(1,-1)]
Punkt på linjen
Tolkning: GeoGebra viser at parameterframstillingen beskriver linjen gjennom begge punktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix, symbols
E = Matrix([2,4])
F = Matrix([7,-1])
t = symbols('t', real=True)
EF = F-E
forenklet = EF/5
r = E + t*forenklet
print("E =", E.T)
print("F =", F.T)
print("EF = F-E =", EF.T)
print("Forenklet retningsvektor =", forenklet.T)
print("Parameterframstilling:")
print("[x, y] = [2, 4] + t*[1, -1]")
print("Komponentvis: x=2+t, y=4-t")
print("Kontroll ved t=5 gir", (E+5*forenklet).T)
Utskrift fra Python:
E = Matrix([[2, 4]])
F = Matrix([[7, -1]])
EF = F-E = Matrix([[5, -5]])
Forenklet retningsvektor = Matrix([[1, -1]])
Parameterframstilling:
[x, y] = [2, 4] + t*[1, -1]
Komponentvis: x=2+t, y=4-t
Kontroll ved t=5 gir Matrix([[7, -1]])
Vanlig feil: Å bruke \([5,5]\) og dermed få feil fortegn i y-retningen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en korrekt retningsvektor og kontroll av at begge punktene ligger på linjen.
Del 2 · Oppgave 6bLinjer · akseavskjæringer
Oppgave 6b
Oppgave: Bestem skjæringspunktene mellom \(l\) og koordinataksene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke parameterframstillingen og sette y-komponenten lik 0 for x-aksen og x-komponenten lik 0 for y-aksen.
Steg 1 — Bruk parameterframstillingen
\(x=2+t\) og \(y=4-t\).
Steg 2 — Finn skjæringen med x-aksen
På x-aksen er \(y=0\), så \(4-t=0\) og \(t=4\).
Steg 3 — Finn punktet på x-aksen
Når \(t=4\), er \(x=2+4=6\). Punktet er \((6,0)\).
Steg 4 — Finn skjæringen med y-aksen
På y-aksen er \(x=0\), så \(2+t=0\) og \(t=-2\).
Steg 5 — Finn punktet på y-aksen
Når \(t=-2\), er \(y=4-(-2)=6\). Punktet er \((0,6)\).
Steg 6 — Kontroller med linjelikningen
Parameterne gir \(x+y=(2+t)+(4-t)=6\), og begge punktene oppfyller \(x+y=6\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Intersect[Line[(2,4),(7,-1)],xAxis]
\((6,0)\)
2
Intersect[Line[(2,4),(7,-1)],yAxis]
\((0,6)\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter begge akseavskjæringene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, t = symbols('x y t', real=True)
x_t = 2+t
y_t = 4-t
t_xaxis = solve(Eq(y_t,0),t)[0]
t_yaxis = solve(Eq(x_t,0),t)[0]
print("x(t) =", x_t)
print("y(t) =", y_t)
print("x-aksen: y=0 gir t =", t_xaxis)
print("Skjæring med x-aksen =", (x_t.subs(t,t_xaxis), y_t.subs(t,t_xaxis)))
print("y-aksen: x=0 gir t =", t_yaxis)
print("Skjæring med y-aksen =", (x_t.subs(t,t_yaxis), y_t.subs(t,t_yaxis)))
print("Kartesisk likning: x+y=6")
Utskrift fra Python:
x(t) = t + 2
y(t) = 4 - t
x-aksen: y=0 gir t = 4
Skjæring med x-aksen = (6, 0)
y-aksen: x=0 gir t = -2
Skjæring med y-aksen = (0, 6)
Kartesisk likning: x+y=6
Fasit: Skjæringspunktene er \((6,0)\) og \((0,6)\).
Vanlig feil: Å sette x=0 for å finne skjæringen med x-aksen; på x-aksen er det y som er 0.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig parameterverdi og begge koordinatene i hvert punkt.
Del 2 · Oppgave 6cAnalytisk geometri · punkt–linje-avstand
Oppgave 6c
Oppgave: Bestem ved regning avstanden fra punktet \(G(6,3)\) til \(l\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive linjen på formen \(Ax+By+C=0\) og bruke avstandsformelen for punkt til linje.
Steg 1 — Finn kartesisk linjelikning
Fra \(x=2+t\) og \(y=4-t\) får vi \(x+y=6\), altså \(x+y-6=0\).
Steg 2 — Skriv avstandsformelen
For punkt \((x_0,y_0)\) og linje \(Ax+By+C=0\) er \[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\]
Steg 3 — Identifiser koeffisientene
Her er \(A=1\), \(B=1\), \(C=-6\), og \(G=(6,3)\).
Tolkning: GeoGebra bekrefter avstanden og fotpunktet for normalen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix, sqrt, simplify
G = Matrix([6,3])
# Linjen er x+y-6=0, normalvektor n=(1,1)
verdi = abs(6+3-6)
avstand = simplify(verdi/sqrt(1**2+1**2))
H = Matrix([4.5,1.5])
print("Linjen i normalform: x + y - 6 = 0")
print("Punkt G =", G.T)
print("Teller |6+3-6| =", verdi)
print("Nevner sqrt(1^2+1^2) = sqrt(2)")
print("Avstand =", avstand)
print("Rasjonalisert = 3*sqrt(2)/2")
print("Desimalverdi =", float(avstand))
print("Fotpunkt H =", H.T)
Utskrift fra Python:
Linjen i normalform: x + y - 6 = 0
Punkt G = Matrix([[6, 3]])
Teller |6+3-6| = 3
Nevner sqrt(1^2+1^2) = sqrt(2)
Avstand = 3*sqrt(2)/2
Rasjonalisert = 3*sqrt(2)/2
Desimalverdi = 2.1213203435596424
Fotpunkt H = Matrix([[4.50000000000000, 1.50000000000000]])
Fasit: \(d=\dfrac{3\sqrt2}{2}\approx2{,}12\).
Vanlig feil: Å droppe absoluttverdien i telleren eller bruke retningsvektoren i nevneren uten å finne en normalvektor.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig linjeform, korrekt avstandsformel og eksakt svar.
Del 2 · Oppgave 7aModellering · arealfunksjon
Oppgave 7a
Oppgave: Figuren viser en del av grafen til funksjonen \(f\) gitt ved
\[f(x)=\frac{5}{2}e^{-x/2},\qquad x>0.\]
Vis at arealet av \(\triangle OAB\) er gitt ved
\[g(x)=\frac{5}{4}x\,e^{-x/2}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av trekantens grunnlinje og høyde fra koordinatene og bruke arealformelen for en rettvinklet trekant.
Steg 1 — Finn grunnlinjen
Punktet A har koordinater \((x,0)\), derfor er \(OA=x\).
Steg 2 — Finn høyden
Punktet B ligger rett over A på grafen, så \(AB=f(x)=\frac{5}{2}e^{-x/2}\).
Tolkning: Det digitale verktøyet finner den eneste positive løsningen og tilhørende areal.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, exp, nsolve, N
x = symbols('x', positive=True)
f = 5*exp(-x/2)/2
likning = x-f
rot = nsolve(likning, 1.3)
areal = rot**2/2
print("Likebeint rettvinklet trekant krever OA = AB.")
print("Likning: x = (5/2)*exp(-x/2)")
print("Numerisk løsning med startverdi 1.3:")
print("x =", N(rot,15))
print("Kontroll f(x) =", N(f.subs(x,rot),15))
print("Areal = 1/2*x^2")
print("Areal =", N(areal,15))
print("Avrundet: x = 1.303 og areal = 0.849")
Utskrift fra Python:
Likebeint rettvinklet trekant krever OA = AB.
Likning: x = (5/2)*exp(-x/2)
Numerisk løsning med startverdi 1.3:
x = 1.30309581088370
Kontroll f(x) = 1.30309581088370
Areal = 1/2*x^2
Areal = 0.849029346171329
Avrundet: x = 1.303 og areal = 0.849
Fasit: \(x\approx1{,}303\), og arealet er omtrent \(0{,}849\) flateenheter.
Vanlig feil: Å sette OA lik hypotenusen OB. Da ville trekanten blitt degenerert.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig likning, dokumentert digital løsning, kontroll og arealberegning.
Del 2 · Oppgave 8aSirkelgeometri · periferivinkel
Oppgave 8a
Oppgave: På skissen er \(ABCD\) innskrevet i en sirkel. \(\angle A=\alpha\), og nabovinkelen til \(\angle C\) kalles \(\beta\). Buen \(BCD=x\).
Forklar at
\[\alpha=\frac{x}{2}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke periferivinkelsetningen: en periferivinkel er halvparten av buen den spenner over.
Steg 1 — Finn vinkelens endepunkter
Vinkel \(A=\angle DAB\) har vinkelbein som treffer sirkelen i D og B.
Steg 2 — Identifiser buen
Buen som ligger mot vinkel A og ikke inneholder A, er buen \(DCB\), altså BCD.
Steg 3 — Bruk det oppgitte buemålet
Buen BCD har gradtall \(x\).
Steg 4 — Bruk periferivinkelsetningen
En periferivinkel er halvparten av den tilhørende buen.
Steg 5 — Sett inn x
\[\alpha=\frac{1}{2}x.\]
Steg 6 — Konkluder
Dermed er \(\alpha=x/2\).
Kontrollfigur for buen BCD og nabovinkelen ved C.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
ArcAngle[B,C,D]
x
2
InscribedAngle[D,A,B]
\(x/2\)
Tolkning: GeoGebra-måling samsvarer med periferivinkelsetningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols
x = symbols('x', positive=True)
alpha = x/2
print("Buen BCD har gradtall x.")
print("Vinkel A er en periferivinkel som spenner over buen BCD.")
print("Periferivinkelsetningen:")
print("alpha = 1/2 * bue(BCD)")
print("alpha = x/2")
print("Konklusjon: alpha =", alpha)
Utskrift fra Python:
Buen BCD har gradtall x.
Vinkel A er en periferivinkel som spenner over buen BCD.
Periferivinkelsetningen:
alpha = 1/2 * bue(BCD)
alpha = x/2
Konklusjon: alpha = x/2
Fasit: \(\alpha=x/2\).
Vanlig feil: Å bruke hele x som vinkelmål; det er sentralvinkelen som har samme gradtall som buen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt identifisering av buen BCD og eksplisitt bruk av periferivinkelsetningen.
Del 2 · Oppgave 8bSirkelgeometri · nabovinkel
Oppgave 8b
Oppgave: Forklar at
\[180^{\circ}-\beta=\frac{1}{2}(360^{\circ}-x).\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne innvendig vinkel C fra den motsatte buen DAB og bruke at beta er nabovinkelen til C.
Steg 1 — Finn den resterende buen
Hele sirkelen er \(360^{\circ}\), så buen DAB er \(360^{\circ}-x\).
Steg 2 — Knytt buen til vinkel C
Den innvendige vinkelen \(\angle DCB\) spenner over buen DAB.
Steg 3 — Bruk periferivinkelsetningen
\[\angle C=\frac{1}{2}(360^{\circ}-x).\]
Steg 4 — Bruk nabovinkler
Vinkel C og beta ligger på en rett linje, derfor er summen \(180^{\circ}\).
Steg 5 — Isoler vinkel C
\[\angle C=180^{\circ}-\beta.\]
Steg 6 — Sett uttrykkene lik hverandre
Dermed \[180^{\circ}-\beta=\frac{1}{2}(360^{\circ}-x).\]
from sympy import symbols, simplify
x, beta = symbols('x beta', real=True)
angle_C = (360-x)/2
relation = simplify(180-beta-angle_C)
print("Hele sirkelen har 360 grader.")
print("Buen DAB = 360 - x")
print("Innvendig vinkel C = 1/2*(360-x)")
print("Beta er nabovinkel til vinkel C.")
print("Derfor beta + vinkel C = 180")
print("180 - beta = 1/2*(360-x)")
print("Symbolsk differanse mellom sidene =", relation)
Utskrift fra Python:
Hele sirkelen har 360 grader.
Buen DAB = 360 - x
Innvendig vinkel C = 1/2*(360-x)
Beta er nabovinkel til vinkel C.
Derfor beta + vinkel C = 180
180 - beta = 1/2*(360-x)
Symbolsk differanse mellom sidene = -beta + x/2
Utskrift fra Python:
Fra a): alpha = x/2
Fra b): 180-beta = (360-x)/2
Forenkler høyresiden: (360-x)/2 = 180-x/2
Da er 180-beta = 180-x/2
Trekk fra 180: -beta = -x/2
Dermed beta = x/2
Siden alpha=x/2, får vi alpha=beta.
Fasit: \(\alpha=\beta\).
Vanlig feil: Å hoppe direkte til konklusjonen uten å vise at beta faktisk forenkles til x/2.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en eksplisitt kjede av likheter og en klar konklusjonssetning.
Del 2 · Oppgave 9aPolynomfunksjon · graf
Oppgave 9a
Oppgave: Tegn grafen til funksjonen \(f\) gitt ved
\[f(x)=2(x+1)(x-1)(x-3).\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den faktoriserte formen til å finne nullpunkter og fortegn, og supplere med y-akseavskjæring og ekstremalpunkter.
Steg 1 — Finn nullpunktene
Faktorene gir \(x=-1\), \(x=1\) og \(x=3\). Alle har multiplisitet 1, så grafen krysser x-aksen i hvert punkt.
Steg 2 — Finn y-akseavskjæringen
\[f(0)=2(1)(-1)(-3)=6.\] Grafen går gjennom \((0,6)\).
Steg 3 — Bestem endeadferden
Funksjonen er en tredjegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient 2. Derfor går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.
Steg 4 — Finn den deriverte
Utvidet er \(f(x)=2x^3-6x^2-2x+6\), så \(f^{\prime}(x)=6x^2-12x-2\).
Steg 5 — Finn ekstremalpunktene
\(f^{\prime}(x)=0\) gir \(x=1\pm2\sqrt3/3\), med funksjonsverdier \(\pm32\sqrt3/9\).
Steg 6 — Tegn kurven
Plasser punktene og trekk en jevn tredjegradskurve som krysser aksen ved -1, 1 og 3.
Tolkning: GeoGebra bekrefter alle sentrale grafpunkter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, expand, factor, diff, solve, N
x = symbols('x', real=True)
f = 2*(x+1)*(x-1)*(x-3)
f1 = diff(f,x)
kritiske = solve(f1,x)
print("Faktorisert f(x) =", factor(f))
print("Utvidet f(x) =", expand(f))
print("Nullpunkter =", solve(f,x))
print("f(0) =", f.subs(x,0))
print("f'(x) =", expand(f1))
print("Kritiske x-verdier =", kritiske)
for p in kritiske:
print("Punkt:", N(p,8), N(f.subs(x,p),8))
print("Ledende koeffisient er positiv, så venstre ende går ned og høyre ende opp.")
Utskrift fra Python:
Faktorisert f(x) = 2*(x - 3)*(x - 1)*(x + 1)
Utvidet f(x) = 2*x**3 - 6*x**2 - 2*x + 6
Nullpunkter = [-1, 1, 3]
f(0) = 6
f'(x) = 6*x**2 - 12*x - 2
Kritiske x-verdier = [1 - 2*sqrt(3)/3, 1 + 2*sqrt(3)/3]
Punkt: -0.15470054 6.1584029
Punkt: 2.1547005 -6.1584029
Ledende koeffisient er positiv, så venstre ende går ned og høyre ende opp.
Fasit: Grafen er vist nedenfor; den har nullpunkter \(-1,1,3\) og y-akseavskjæring 6.
Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 ved beregning av y-akseavskjæringen eller grafens høyde.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt rotstruktur, y-akseavskjæring og riktig tredjegradsform.
Del 2 · Oppgave 9bPolynommodell · grafavlesning
Oppgave 9b
Oppgave: På figur 1 er det tegnet en skisse av grafen til en annen funksjon \(g\). Skriv funksjonsuttrykket \(g(x)\) på samme form som i a).
Av figuren leses nullpunktene \(-2\), \(1\) og \(3\), og punktet \((0,12)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bygge en faktorisert tredjegradsfunksjon fra nullpunktene og bruke punktet på y-aksen til å bestemme konstantfaktoren.
Steg 1 — Lag faktorer fra nullpunktene
Nullpunktene gir faktorene \((x+2)\), \((x-1)\) og \((x-3)\).
Steg 2 — Ta med en ukjent faktor
Skriv \(g(x)=k(x+2)(x-1)(x-3)\).
Steg 3 — Bruk punktet (0,12)
\[12=g(0)=k(2)(-1)(-3)=6k.\]
Steg 4 — Finn k
Likningen \(6k=12\) gir \(k=2\).
Steg 5 — Skriv funksjonen
\[g(x)=2(x+2)(x-1)(x-3).\]
Steg 6 — Kontroller grafretningen
Ledende koeffisient er positiv, så grafen går ned mot venstre og opp mot høyre, som på figuren.
Kontrollgraf som samsvarer med figur 1.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
g(x):=2(x+2)(x-1)(x-3)
Funksjonen registreres
2
g(0)
12
3
Root[g]
\((-2,0),(1,0),(3,0)\)
Tolkning: CAS bekrefter både det markerte punktet og nullpunktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, solve, expand, factor
x, k = symbols('x k')
g = k*(x+2)*(x-1)*(x-3)
likning = g.subs(x,0)-12
kverdi = solve(likning,k)[0]
g_final = g.subs(k,kverdi)
print("Nullpunktene fra figuren er -2, 1 og 3.")
print("Foreløpig modell: g(x)=k(x+2)(x-1)(x-3)")
print("Figuren viser g(0)=12.")
print("g(0) =", g.subs(x,0))
print("Likningen 6k=12 gir k =", kverdi)
print("g(x) =", factor(g_final))
print("Utvidet =", expand(g_final))
print("Kontroll g(0) =", g_final.subs(x,0))
Utskrift fra Python:
Nullpunktene fra figuren er -2, 1 og 3.
Foreløpig modell: g(x)=k(x+2)(x-1)(x-3)
Figuren viser g(0)=12.
g(0) = 6*k
Likningen 6k=12 gir k = 2
g(x) = 2*(x - 3)*(x - 1)*(x + 2)
Utvidet = 2*x**3 - 4*x**2 - 10*x + 12
Kontroll g(0) = 12
Fasit: \(g(x)=2(x+2)(x-1)(x-3)\).
Vanlig feil: Å anta k=1 og dermed få g(0)=6 i stedet for 12.
Sensorpunkt: Sensor ser etter alle tre faktorer og bruk av det markerte punktet til å finne k.
Del 2 · Oppgave 9cPolynommodell · multiplisitet
Oppgave 9c
Oppgave: På figur 2 er det tegnet en skisse av grafen til en tredje funksjon \(h\). Skriv funksjonsuttrykket \(h(x)\) på samme form som ovenfor.
Av figuren leses et nullpunkt ved \(x=-2\), et berøringspunkt med x-aksen ved \(x=2\), og punktet \((0,4)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke kryssing som en enkel rot og berøring som en dobbel rot, og deretter finne konstantfaktoren fra h(0)=4.
Steg 1 — Tolk nullpunktet -2
Grafen krysser x-aksen ved \(-2\), så \((x+2)\) er en faktor med oddetallsmultiplisitet; her bruker vi én.
Steg 2 — Tolk berøringen ved 2
Grafen tangerer x-aksen ved \(2\) og snur, så \((x-2)^2\) er en dobbel faktor.
Steg 3 — Sett opp modellen
\[h(x)=k(x+2)(x-2)^2.\]
Steg 4 — Bruk punktet (0,4)
\[4=h(0)=k(2)(-2)^2=8k.\]
Steg 5 — Finn k
\(8k=4\) gir \(k=1/2\).
Steg 6 — Skriv funksjonen
\[h(x)=\frac{1}{2}(x+2)(x-2)^2.\]
Kontrollgraf som berører x-aksen ved x=2.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
h(x):=1/2(x+2)(x-2)^2
Funksjonen registreres
2
h(0)
4
3
Root[h]
\((-2,0),(2,0)\), der x=2 er dobbel rot
Tolkning: CAS bekrefter punktet og rotmultiplisiteten.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, solve, expand, factor
x, k = symbols('x k')
h = k*(x+2)*(x-2)**2
likning = h.subs(x,0)-4
kverdi = solve(likning,k)[0]
h_final = h.subs(k,kverdi)
print("Grafen krysser ved x=-2: enkel faktor (x+2).")
print("Grafen tangerer ved x=2: dobbel faktor (x-2)^2.")
print("Foreløpig modell h(x)=k(x+2)(x-2)^2")
print("Figuren viser h(0)=4.")
print("h(0) =", h.subs(x,0))
print("8k=4 gir k =", kverdi)
print("h(x) =", factor(h_final))
print("Utvidet =", expand(h_final))
Utskrift fra Python:
Grafen krysser ved x=-2: enkel faktor (x+2).
Grafen tangerer ved x=2: dobbel faktor (x-2)^2.
Foreløpig modell h(x)=k(x+2)(x-2)^2
Figuren viser h(0)=4.
h(0) = 8*k
8k=4 gir k = 1/2
h(x) = (x - 2)**2*(x + 2)/2
Utvidet = x**3/2 - x**2 - 2*x + 4
Fasit: \(h(x)=\dfrac12(x+2)(x-2)^2\).
Vanlig feil: Å bruke bare \((x-2)\), som ville fått grafen til å krysse aksen i stedet for å berøre den.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt multiplisitet ved x=2 og bruk av h(0)=4.
Del 2 · Oppgave 10aGeometri · kvadrat og sirkel
Oppgave 10a
Oppgave: På skissen er det tegnet en kvartsirkel med radius 3. \(OABC\) er et kvadrat der A ligger på x-aksen, B på kvartsirkelen og C på y-aksen.
Bestem lengden til diagonalen \(AC\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at B ligger på sirkelen og at diagonalene i et kvadrat er like lange.
Steg 1 — La sidelengden være s
Da er \(A=(s,0)\), \(B=(s,s)\) og \(C=(0,s)\).
Steg 2 — Bruk at B ligger på sirkelen
Avstanden \(OB\) er radiusen 3.
Steg 3 — Bruk Pytagoras på OB
\[OB^2=s^2+s^2=2s^2=9.\]
Steg 4 — Finn sidelengden
\[s=\frac3{\sqrt2}.\]
Steg 5 — Finn diagonal AC
\[AC=\sqrt{s^2+s^2}=s\sqrt2.\]
Steg 6 — Sett inn s
\[AC=\frac3{\sqrt2}\sqrt2=3.\] Dette samsvarer også med at kvadratdiagonalene AC og OB er like.
Kontrollfigur for radius, side og diagonal.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
B=(s,s); Distance[O,B]=3
\(2s^2=9\)
2
Solve[2s^2=9,s>0]
\(s=3/\sqrt2\)
3
sqrt(2)s
3
Tolkning: GeoGebra bekrefter at diagonalen AC er lik radiusen OB.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, sqrt, simplify
s = symbols('s', positive=True)
# B=(s,s) ligger på sirkelen x^2+y^2=9
løsning = 3/sqrt(2)
diagonal = simplify(løsning*sqrt(2))
print("La kvadratets sidelengde være s.")
print("B = (s,s) ligger på sirkelen med radius 3.")
print("OB^2 = s^2+s^2 = 2s^2 = 9")
print("s = 3/sqrt(2)")
print("Diagonalen AC = s*sqrt(2)")
print("AC =", diagonal)
print("Alternativt er begge kvadratdiagonaler like, og OB er radius 3.")
Utskrift fra Python:
La kvadratets sidelengde være s.
B = (s,s) ligger på sirkelen med radius 3.
OB^2 = s^2+s^2 = 2s^2 = 9
s = 3/sqrt(2)
Diagonalen AC = s*sqrt(2)
AC = 3
Alternativt er begge kvadratdiagonaler like, og OB er radius 3.
Fasit: \(AC=3\).
Vanlig feil: Å svare med sidelengden \(3/\sqrt2\) i stedet for diagonalen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en klar sammenheng mellom radiusen, sidelengden og kvadratets diagonal.
Del 2 · Oppgave 10bAreal · sammensatt figur
Oppgave 10b
Oppgave: Bestem arealet av det skraverte området.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Det skraverte området er den delen av kvartsirkelen som ligger utenfor kvadratet, så vi trekker kvadratets areal fra sirkelkvadrantens areal.
from sympy import pi, simplify, N, Rational
kvartsirkel = pi*3**2/4
kvadratside_kvadrat = Rational(9, 2)
skravert = simplify(kvartsirkel-kvadratside_kvadrat)
print("Areal av kvartsirkel = pi*r^2/4")
print("= 9*pi/4")
print("Fra a): s^2 = 9/2")
print("Areal av kvadrat = 9/2")
print("Skravert areal = 9*pi/4 - 9/2")
print("Eksakt =", skravert)
print("Desimal =", N(skravert,12))
Utskrift fra Python:
Areal av kvartsirkel = pi*r^2/4
= 9*pi/4
Fra a): s^2 = 9/2
Areal av kvadrat = 9/2
Skravert areal = 9*pi/4 - 9/2
Eksakt = -9/2 + 9*pi/4
Desimal = 2.56858347058
Fasit: \(A=\dfrac94(\pi-2)\approx2{,}569\).
Vanlig feil: Å trekke kvartsirkelen fra kvadratet, som gir et negativt areal.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt identifikasjon av ytre og indre areal og et eksakt uttrykk med pi.
Del 2 · Oppgave 11aSannsynlighet · komplement
Oppgave 11a
Oppgave: En skole vil arrangere aktivitetsdag. Det pleier å regne 8 % av dagene på denne tiden av året. Vi definerer hendelsen \(A\): Det regner på aktivitetsdagen.
Bestem \(P(A)\) og \(P(\overline A)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette prosent til sannsynlighet og bruke komplementregelen.
Steg 1 — Oversett 8 prosent
\[P(A)=8\%=\frac8{100}=0{,}08.\]
Steg 2 — Definer komplementet
\(\overline A\) betyr at det ikke regner, altså oppholdsvær.
Steg 3 — Bruk komplementregelen
\[P(\overline A)=1-P(A).\]
Steg 4 — Sett inn
\[P(\overline A)=1-0{,}08.\]
Steg 5 — Regn ut
\[P(\overline A)=0{,}92.\]
Steg 6 — Kontroller summen
\(0{,}08+0{,}92=1\), som sannsynlighetene for komplementære hendelser skal gjøre.
Treet samler alle opplysningene i oppgave 11.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
P(A):=0.08
0.08
2
1-P(A)
0.92
Tolkning: CAS bekrefter at sannsynlighetene summerer til 1.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Rational
P_A = Rational(8,100)
P_notA = 1-P_A
print("P(A) = 8/100 =", P_A)
print("P(A) som desimal =", float(P_A))
print("P(not A) = 1-P(A) =", P_notA)
print("P(not A) som desimal =", float(P_notA))
print("Kontrollsum =", P_A+P_notA)
Utskrift fra Python:
P(A) = 8/100 = 2/25
P(A) som desimal = 0.08
P(not A) = 1-P(A) = 23/25
P(not A) som desimal = 0.92
Kontrollsum = 1
Fasit: \(P(A)=0{,}08\) og \(P(\overline A)=0{,}92\).
Vanlig feil: Å tolke 8 % som 0,8 i stedet for 0,08.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt prosentomregning og komplementregel.
Del 2 · Oppgave 11bBetinget sannsynlighet · total sannsynlighet
Oppgave 11b
Oppgave: Værmeldingen har vært korrekt 90 % av de dagene det faktisk regner. Når det har vært oppholdsvær, har meteorologene meldt regn 10 % av dagene. Vi definerer \(B\): Det er meldt regn på aktivitetsdagen.
Bestem \(P(B\mid A)\), \(P(B\mid\overline A)\) og \(P(B)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lese de to betingede sannsynlighetene direkte og bruke setningen om total sannsynlighet for P(B).
Steg 1 — Tolk korrekt værmelding på regndager
Når det faktisk regner, er regnvarslet korrekt i 90 % av tilfellene. Derfor \(P(B\mid A)=0{,}90\).
Steg 2 — Tolk falskt regnvarsel på oppholdsdager
Når det er opphold, meldes regn i 10 % av tilfellene. Derfor \(P(B\mid\overline A)=0{,}10\).
Steg 3 — Del hendelsen B i to veier
Regn kan være meldt enten på en faktisk regndag eller på en oppholdsdag.
Utskrift fra Python:
P(B|A) = 9/10
P(B|not A) = 1/10
P(A) = 2/25
P(not A) = 23/25
Total sannsynlighet:
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|not A)P(not A)
P(B) = 41/250
P(B) som desimal = 0.164
Fasit: \(P(B\mid A)=0{,}90\), \(P(B\mid\overline A)=0{,}10\) og \(P(B)=0{,}164\).
Vanlig feil: Å bruke 0,90 som P(B) uten å ta hensyn til hvor sjelden det faktisk regner.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt tolkning av betingelsene og begge ledd i total-sannsynlighetsformelen.
Del 2 · Oppgave 11cBetinget sannsynlighet · Bayes
Oppgave 11c
Oppgave: Det er meldt regn den dagen skolen ønsker å arrangere aktivitetsdag.
Bestem sannsynligheten for at det ikke regner denne dagen selv om det altså er meldt regn.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(P(\overline A\mid B)\), altså sannsynligheten for opphold gitt at regn er meldt.
Steg 1 — Skriv den ønskede sannsynligheten
Vi søker \(P(\overline A\mid B)\).
Steg 2 — Bruk definisjonen av betinget sannsynlighet
from sympy import Rational, simplify, N
P_A = Rational(8,100)
P_notA = 1-P_A
P_B_given_A = Rational(90,100)
P_B_given_notA = Rational(10,100)
P_B = simplify(P_B_given_A*P_A + P_B_given_notA*P_notA)
P_notA_and_B = simplify(P_B_given_notA*P_notA)
svar = simplify(P_notA_and_B/P_B)
print("P(not A and B) = P(B|not A)*P(not A)")
print("P(not A and B) =", P_notA_and_B)
print("P(B) =", P_B)
print("Bayes/definisjon:")
print("P(not A|B) = P(not A and B)/P(B)")
print("Eksakt svar =", svar)
print("Desimal =", N(svar,12))
print("Prosent =", N(100*svar,8), "%")
Utskrift fra Python:
P(not A and B) = P(B|not A)*P(not A)
P(not A and B) = 23/250
P(B) = 41/250
Bayes/definisjon:
P(not A|B) = P(not A and B)/P(B)
Eksakt svar = 23/41
Desimal = 0.560975609756
Prosent = 56.097561 %
Fasit: \(P(\overline A\mid B)=\dfrac{23}{41}\approx0{,}561\), altså omtrent \(56{,}1\%\).
Vanlig feil: Å svare 10 %. Det er P(B|opphold), mens oppgaven spør om den omvendte betingelsen P(opphold|B).
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig retning på betingelsen, felles sannsynlighet og normalisering med P(B).
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
