Vanlig feil: Å bruke produktregelen uten kjerneregelen, eller å derivere \(e^{x^2}\) som bare \(e^{x^2}\).
Sensorpunkt: Full uttelling krever både produktregel og indre derivert \(2x\).
Del 1 · Oppgave 1c.1Polynomer · faktorisering
Oppgave 1c.1
Oppgave: Vi har gitt polynomfunksjonen
\[f(x)=x^3-3x^2-13x+15.\]
Vis at \(f(1)=0\). Bruk polynomdivisjon til å faktorisere \(f(x)\) i førstegradsfaktorer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal først vise at \(x=1\) er et nullpunkt. Da er \(x-1\) en faktor, og resten finnes med polynomdivisjon.
Steg 1 — Sett inn x=1
\[f(1)=1^3-3\cdot1^2-13\cdot1+15=1-3-13+15=0.\]
Steg 2 — Bruk faktorteoremet
Siden \(f(1)=0\), er \(x-1\) en faktor i \(f(x)\).
Steg 3 — Utfør polynomdivisjonen
\[(x^3-3x^2-13x+15):(x-1)=x^2-2x-15.\] Resten er 0.
Steg 4 — Faktoriser andregradsuttrykket
Vi søker to tall med produkt \(-15\) og sum \(-2\): \(-5\) og \(3\).
Steg 5 — Skriv andregradsfaktoren
\[x^2-2x-15=(x-5)(x+3).\]
Steg 6 — Sett sammen alle faktorene
Dermed er \[f(x)=(x-1)(x-5)(x+3).\] En utvidelse gir tilbake det opprinnelige polynomet.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Substitute[x=1, x^3-3x^2-13x+15]
\(0\)
2
Division[x^3-3x^2-13x+15, x-1]
\(x^2-2x-15\), rest \(0\)
3
Factor[x^3-3x^2-13x+15]
\((x+3)(x-1)(x-5)\)
Tolkning: CAS bekrefter nullpunktet, kvotienten og alle tre førstegradsfaktorene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, factor, div, expand
x = symbols('x')
f = x**3-3*x**2-13*x+15
verdi = f.subs(x,1)
kvotient, rest = div(f, x-1)
faktorisert = factor(f)
print("f(1) =", verdi)
print("Polynomdivisjon med x-1:")
print("Kvotient =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Kvotienten faktorisert =", factor(kvotient))
print("Hele polynomet =", faktorisert)
print("Utvidelseskontroll =", expand(faktorisert))
Vanlig feil: Å glemme at nullpunktene skal være med når ulikhetstegnet er \(\le\), eller å bytte fortegn på feil intervall.
Sensorpunkt: Sensor ser etter et tydelig fortegnsskjema eller tilsvarende begrunnet intervallanalyse.
Del 1 · Oppgave 1dFunksjonstolkning · ekstremalpunkt
Oppgave 1d
Oppgave: Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk \(f(t)\). Funksjonsverdiene er målt i tonn, og \(t\) er antall timer etter begynnelsen av utbruddet.
Du får vite at \(f(0)=300\), \(f^{\prime}(10)=0\) og \(f^{\prime\prime}(10)=-10\).
Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke funksjonsverdi, første derivert og andre derivert i den konkrete situasjonen.
Steg 1 — Tolk f(0)
\(f(0)=300\) betyr at ved starten spruter det ut omtrent 300 tonn lava per time.
Steg 2 — Tolk f′(10)
\(f^{\prime}(10)=0\) betyr at endringsfarten til lavautslippet er null etter 10 timer. Grafen har en horisontal tangent der.
Steg 3 — Bruk den andrederiverte
\(f^{\prime\prime}(10)=-10<0\) betyr at grafen er konkav ned ved \(t=10\).
Steg 4 — Klassifiser punktet
Et stasjonært punkt med negativ andrederivert er et lokalt toppunkt.
Steg 5 — Tolk toppunktet fysisk
Lavamengden per time er derfor størst, lokalt sett, omtrent 10 timer etter starten.
Steg 6 — Presiser hva vi ikke vet
Opplysningene gir ikke selve maksimumsmengden \(f(10)\), og de beviser heller ikke uten mer informasjon at dette er et globalt maksimum for hele utbruddet.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
f(0)
\(300\)
2
f'(10)
\(0\)
3
f''(10)
\(-10<0\)
Tolkning: Den andrederiverte testen klassifiserer punktet ved t=10 som et lokalt maksimum.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, diff
# En lokal modell som oppfyller de tre opplysningene:
t = symbols('t', real=True)
f = 300 + 100*t - 5*t**2
f1 = diff(f,t)
f2 = diff(f1,t)
print("Eksempelmodell f(t) =", f)
print("f(0) =", f.subs(t,0))
print("f'(10) =", f1.subs(t,10))
print("f''(10) =", f2.subs(t,10))
print("Siden f''(10) < 0, er t=10 et lokalt maksimum.")
Utskrift fra Python:
Eksempelmodell f(t) = -5*t**2 + 100*t + 300
f(0) = 300
f'(10) = 0
f''(10) = -10
Siden f''(10) < 0, er t=10 et lokalt maksimum.
Fasit: Ved starten er utslippsraten 300 tonn/time. Etter 10 timer har utslippsraten et lokalt maksimum.
Vanlig feil: Å si at \(f^{\prime}(10)=0\) alene beviser et maksimum. Fortegnet til \(f^{\prime\prime}(10)\) er avgjørende.
Sensorpunkt: Sensor belønner korrekt enhet, korrekt ekstremalpunktstest og en presis tolkning uten å påstå mer enn dataene viser.
Del 1 · Oppgave 1eLogaritmer · regneregler
Oppgave 1e
Oppgave: Skriv så enkelt som mulig
\[\lg(a^2b)+\lg(ab^2)+\lg\left(\frac{a}{b^3}\right).\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen for logaritmer og samle alle faktorene i ett logaritmeargument.
Steg 1 — Kontroller forutsetningene
Alle tre logaritmeargumentene må være positive. Det er naturlig å anta \(a>0\) og \(b>0\).
Steg 2 — Bruk summeregelen
\(\lg u+\lg v+\lg w=\lg(uvw)\).
Steg 3 — Multipliser argumentene
\[a^2b\cdot ab^2\cdot\frac{a}{b^3}.\]
Steg 4 — Samle a-potensene
Eksponentene for \(a\) blir \(2+1+1=4\), altså \(a^4\).
Steg 5 — Samle b-potensene
Eksponentene for \(b\) blir \(1+2-3=0\), så \(b^0=1\).
Steg 6 — Bruk potensregelen
Uttrykket blir \(\lg(a^4)=4\lg a\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Simplify[(a^2 b)(a b^2)(a/b^3)]
\(a^4\)
2
Expand[lg(a^4)]
\(4\lg a\)
Tolkning: CAS bekrefter at alle b-faktorene kansellerer.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, log, expand_log, simplify
# positive=True svarer til kravene for logaritmene
a, b = symbols('a b', positive=True)
uttrykk = log(a**2*b,10) + log(a*b**2,10) + log(a/b**3,10)
produkt = (a**2*b)*(a*b**2)*(a/b**3)
print("Produktet inni én logaritme =", simplify(produkt))
print("Opprinnelig uttrykk =", uttrykk)
print("Utvidet med logaritmeregler =", expand_log(uttrykk, force=True))
print("Forenklet svar =", 4*log(a,10))
Utskrift fra Python:
Produktet inni én logaritme = a**4
Opprinnelig uttrykk = log(a/b**3)/log(10) + log(a*b**2)/log(10) + log(a**2*b)/log(10)
Utvidet med logaritmeregler = (log(a) - 3*log(b))/log(10) + (log(a) + 2*log(b))/log(10) + (2*log(a) + log(b))/log(10)
Forenklet svar = 4*log(a)/log(10)
Fasit: \(4\lg a\), for \(a>0\) og \(b>0\).
Vanlig feil: Å bruke \(\lg(u+v)=\lg u+\lg v\), som ikke er en gyldig regel, eller å glemme at b-eksponentene summerer til 0.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt bruk av produkt- og potensregelen og nødvendige positivbetingelser.
Del 1 · Oppgave 1fAlgebra · rasjonale uttrykk
Oppgave 1f
Oppgave: Skriv så enkelt som mulig
\[\frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}-\frac{2}{x-5}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere og forkorte første brøk. Da oppstår et ledd som kansellerer det siste leddet.
Steg 1 — Faktoriser telleren
\(2x+10=2(x+5)\).
Steg 2 — Faktoriser nevneren
\(x^2-25=(x-5)(x+5)\) ved konjugatsetningen.
Steg 3 — Forkort første brøk
For \(x\neq-5\) blir \[\frac{2(x+5)}{(x-5)(x+5)}=\frac2{x-5}.\]
Steg 4 — Sett inn i hele uttrykket
Vi får \[\frac2{x-5}+\frac{x}{x+5}-\frac2{x-5}.\]
Steg 5 — Kanseller like ledd
Første og siste ledd er motsatte og summerer til 0.
Steg 6 — Behold opprinnelig definisjonsområde
Svaret er \(x/(x+5)\), men det opprinnelige uttrykket var ikke definert for \(x=\pm5\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Factor[2x+10]
\(2(x+5)\)
2
Factor[x^2-25]
\((x-5)(x+5)\)
3
Simplify[(2x+10)/(x^2-25)+x/(x+5)-2/(x-5)]
\(x/(x+5)\)
Tolkning: CAS bekrefter forenklingen; definisjonsområdet må likevel hentes fra originaluttrykket.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, factor, cancel, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = (2*x+10)/(x**2-25) + x/(x+5) - 2/(x-5)
print("Opprinnelig uttrykk =", uttrykk)
print("Faktorisert første teller =", factor(2*x+10))
print("Faktorisert første nevner =", factor(x**2-25))
print("Samlet og forkortet =", cancel(uttrykk))
print("Kontroll mot x/(x+5) =", simplify(uttrykk-x/(x+5)))
print("Opprinnelig definisjonsområde: x != -5 og x != 5")
Utskrift fra Python:
Opprinnelig uttrykk = x/(x + 5) + (2*x + 10)/(x**2 - 25) - 2/(x - 5)
Faktorisert første teller = 2*(x + 5)
Faktorisert første nevner = (x - 5)*(x + 5)
Samlet og forkortet = x/(x + 5)
Kontroll mot x/(x+5) = 0
Opprinnelig definisjonsområde: x != -5 og x != 5
Fasit: \(\dfrac{x}{x+5}\), med \(x\neq-5\) og \(x\neq5\).
Vanlig feil: Å glemme at \(x=5\) fortsatt er utelukket selv om faktoren forsvinner under forenklingen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt faktorisering, lovlig forkorting og angitt definisjonsområde.
Del 1 · Oppgave 1gVektorer · punkt–linje-avstand
Oppgave 1g
Oppgave: En linje \(l\) har parameterframstillingen
\[l:\begin{cases}x=1+2t\\y=2+t\end{cases}\]
Et punkt \(P(4,1)\) ligger utenfor linjen. Regn ut avstanden fra \(P\) til linjen \(l\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den korteste avstanden, altså lengden av normalen fra P til linjen. Dette kan gjøres med determinantformelen eller projeksjon.
Steg 1 — Les av et punkt og en retning
Linjen går gjennom \(A=(1,2)\) og har retningsvektor \(\vec v=(2,1)\).
\(5/\sqrt5=\sqrt5\). Dette er lengden av det vinkelrette linjestykket fra P til l.
Fotpunktet H gir den korteste avstanden fra P til l.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Line[(1,2),(3,3)]
linjen l
2
Distance[(4,1), Line[(1,2),(3,3)]]
\(\sqrt5\)
Tolkning: GeoGebra finner den korteste avstanden til den uendelige linjen, ikke bare til ett valgt punkt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix, sqrt, simplify
A = Matrix([1,2])
P = Matrix([4,1])
v = Matrix([2,1])
AP = P-A
areal = abs(AP[0]*v[1]-AP[1]*v[0])
avstand = simplify(areal/sqrt(v.dot(v)))
t_proj = simplify(AP.dot(v)/v.dot(v))
H = A+t_proj*v
print("Punkt på linjen A =", tuple(A))
print("Retningsvektor v =", tuple(v))
print("AP =", tuple(AP))
print("Projeksjonsparameter t =", t_proj)
print("Fotpunkt H =", tuple(H))
print("Avstand =", avstand)
print("Kontroll PH^2 =", simplify((P-H).dot(P-H)))
Utskrift fra Python:
Punkt på linjen A = (1, 2)
Retningsvektor v = (2, 1)
AP = (3, -1)
Projeksjonsparameter t = 1
Fotpunkt H = (3, 3)
Avstand = sqrt(5)
Kontroll PH^2 = 5
Fasit: Avstanden er \(\sqrt5\approx2{,}24\).
Vanlig feil: Å bruke avstanden fra P til startpunktet A i stedet for den vinkelrette avstanden til hele linjen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt retningsvektor, determinant/projeksjon og en lengde som er positiv.
Del 1 · Oppgave 1hGeometri · konstruksjon
Oppgave 1h
Oppgave: Et linjestykke \(AB\) har lengde 10 cm. Konstruer en \(\triangle ABC\) der \(\angle C=90^{\circ}\) og \(AC=7\) cm.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke Tales’ setning: alle punkter på halvsirkelen med diameter AB gir rett vinkel ved C. Kravet AC=7 bestemmes med en sirkel rundt A.
Steg 1 — Tegn det gitte linjestykket
Konstruer \(AB=10\) cm.
Steg 2 — Finn midtpunktet
Konstruer midtpunktet \(M\) på AB. Da er \(AM=BM=5\) cm.
Steg 3 — Tegn Tales-sirkelen
Tegn sirkelen med sentrum M og radius 5 cm, eventuelt bare halvsirkelen over AB.
Steg 4 — Tegn avstandssirkelen
Tegn en sirkel med sentrum A og radius 7 cm.
Steg 5 — Bestem punktet C
La et skjæringspunkt mellom sirklene være C. Det finnes to speilvendte muligheter, én på hver side av AB.
Steg 6 — Begrunn konstruksjonen
C ligger på Tales-sirkelen, så \(\angle ACB=90^{\circ}\). C ligger også på sirkelen med sentrum A og radius 7, så \(AC=7\) cm.
De to sirklene bestemmer C; speilpunktet under AB er også en gyldig løsning.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
A=(0,0), B=(10,0)
grunnlinje
2
M=Midpoint[A,B]
M=(5,0)
3
c=Circle[M,5]
Tales-sirkel
4
d=Circle[A,7]
avstandssirkel
5
Intersect[c,d]
to mulige punkter C
Tolkning: Skjæringspunktene oppfyller begge krav samtidig.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Rational, sqrt, simplify
AB = Rational(10)
AC = Rational(7)
# C=(u,v), u^2+v^2=49 og (u-5)^2+v^2=25
u = simplify(AC**2/AB)
v = simplify(sqrt(AC**2-u**2))
BC = simplify(sqrt(AB**2-AC**2))
print("AB =", AB)
print("AC =", AC)
print("Projeksjonen fra A til C: u =", u)
print("Høyden til C: v =", v)
print("BC =", BC)
print("Pythagoras-kontroll =", simplify(AC**2+BC**2-AB**2))
Utskrift fra Python:
AB = 10
AC = 7
Projeksjonen fra A til C: u = 49/10
Høyden til C: v = 7*sqrt(51)/10
BC = sqrt(51)
Pythagoras-kontroll = 0
Fasit: Konstruer C som skjæringspunkt mellom Tales-sirkelen over AB og sirkelen med sentrum A og radius 7 cm.
Vanlig feil: Å tegne en sirkel med radius 10 rundt A, eller å anta at C ligger midt over AB.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både konstruksjonstrinn og en begrunnelse med Tales’ setning.
Del 1 · Oppgave 2aGeometri · vinkler
Oppgave 2a
Oppgave: I en \(\triangle ABC\) er \(\angle A=90^{\circ}\). En sirkel med sentrum i S er innskrevet i trekanten. Sidene AC og BC tangerer sirkelen i D og E. Du får oppgitt at \(DC=EC\). Vi setter \(\angle ABC=v\), \(\angle BCA=u\) og \(\angle BFE=x\).
Forklar at \(u+v=90^{\circ}\) og at
\[\angle DEC=90^{\circ}-\frac u2.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke vinkelsummen i trekant ABC og at trekant DCE er likebeint.
Steg 1 — Bruk vinkelsummen i ABC
\(90^{\circ}+u+v=180^{\circ}\), fordi \(\angle A=90^{\circ}\).
Steg 2 — Isoler u+v
Dermed er \(u+v=90^{\circ}\).
Steg 3 — Les av vinkelen ved C
D ligger på AC og E ligger på BC, så \(\angle DCE=\angle ACB=u\).
Steg 4 — Bruk DC=EC
Trekant DCE er likebeint med toppvinkel u ved C. Derfor er grunnvinklene ved D og E like.
Steg 5 — Bruk vinkelsummen i DCE
\[\angle DEC=\frac{180^{\circ}-u}{2}.\]
Steg 6 — Forenkle
\((180^{\circ}-u)/2=90^{\circ}-u/2\).
Skissen viser punktene og linjene som brukes i vinkelbeviset.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Simplify[90+u+v=180]
\(u+v=90^{\circ}\)
2
Simplify[(180-u)/2]
\(90^{\circ}-u/2\)
Tolkning: CAS forenkler vinkeluttrykkene; geometrien begrunner hvorfor de gjelder.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, simplify
u, v = symbols('u v', real=True)
# I en rettvinklet trekant er u+v=90
basevinkel = simplify((180-u)/2)
print("Fra trekant ABC: u + v = 90 grader")
print("Vinkel DCE = u")
print("DC = EC, derfor er trekant DCE likebeint")
print("Vinkel DEC = (180-u)/2 =", basevinkel)
print("Dette er 90 - u/2 grader")
Utskrift fra Python:
Fra trekant ABC: u + v = 90 grader
Vinkel DCE = u
DC = EC, derfor er trekant DCE likebeint
Vinkel DEC = (180-u)/2 = 90 - u/2
Dette er 90 - u/2 grader
Fasit: \(u+v=90^{\circ}\) og \(\angle DEC=90^{\circ}-u/2\).
Vanlig feil: Å bruke 90° som vinkelsum i trekant DCE, eller å plassere toppvinkelen ved E.
Sensorpunkt: Sensor ser etter to separate begrunnelser: rettvinklet trekant og likebeint trekant.
Del 1 · Oppgave 2bGeometri · vinkelhalvering
Oppgave 2b
Oppgave: Forklar at
\[\angle FBE=\frac v2\quad\text{og}\quad\angle BEF=90^{\circ}+\frac u2.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at sentrum i en innskrevet sirkel ligger på vinkelhalveringslinjene, og at nabovinkler på en rett linje summerer til 180°.
Steg 1 — Bruk egenskapen til innsentrum
S er sentrum i den innskrevne sirkelen, derfor ligger BS på vinkelhalveringslinjen til \(\angle ABC=v\).
Steg 2 — Finn vinkelen ved B
F ligger på BS og E ligger på BC, så \(\angle FBE=v/2\).
Steg 3 — Bruk resultatet fra del a
Vi har \(\angle DEC=90^{\circ}-u/2\).
Steg 4 — Identifiser en rett linje ved E
B, E og C ligger på samme linje. Strålene EB og EC peker motsatt vei.
Tolkning: GeoGebra kan konstruere vinkelhalvereren; CAS bekrefter supplementutregningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, simplify
u, v = symbols('u v', real=True)
FBE = v/2
DEC = 90-u/2
BEF = simplify(180-DEC)
print("BS er vinkelhalveringslinje i B")
print("Vinkel FBE =", FBE)
print("Vinkel DEC =", DEC)
print("EB og EC er motsatte stråler")
print("Vinkel BEF = 180 - vinkel DEC =", BEF)
Utskrift fra Python:
BS er vinkelhalveringslinje i B
Vinkel FBE = v/2
Vinkel DEC = 90 - u/2
EB og EC er motsatte stråler
Vinkel BEF = 180 - vinkel DEC = u/2 + 90
Fasit: \(\angle FBE=v/2\) og \(\angle BEF=90^{\circ}+u/2\).
Vanlig feil: Å halvere feil vinkel ved B, eller å tro at BEF og CED er like i stedet for supplementvinkler.
Sensorpunkt: Sensor ser etter innsentrumsegenskapen og den rette linjen B–E–C.
Del 1 · Oppgave 2cGeometri · bevis
Oppgave 2c
Oppgave: Vis at \(x=45^{\circ}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke vinkelsummen i trekant BFE og erstatte u+v med 90° fra del a.
Steg 1 — Skriv vinkelsummen
I trekant BFE er \[x+\angle FBE+\angle BEF=180^{\circ}.\]
Steg 2 — Sett inn uttrykkene fra del b
\[x+\frac v2+90^{\circ}+\frac u2=180^{\circ}.\]
Steg 3 — Samle u og v
\[x+90^{\circ}+\frac{u+v}{2}=180^{\circ}.\]
Steg 4 — Bruk u+v=90°
Da blir \((u+v)/2=45^{\circ}\).
Steg 5 — Løs likningen
\[x+90^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}.\]
Steg 6 — Konkluder
\[x=45^{\circ}.\] Dette er uavhengig av formen på den opprinnelige rettvinklede trekanten.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Solve[x+v/2+90+u/2=180,x]
\(x=90^{\circ}-(u+v)/2\)
2
Substitute[u+v=90]
\(x=45^{\circ}\)
Tolkning: CAS viser at x blir konstant når den rettvinklede trekantens vinkelrelasjon brukes.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, simplify
u, v = symbols('u v', real=True)
x = simplify(180 - v/2 - (90+u/2))
x_med_rel = simplify(x.subs(v,90-u))
print("Vinkelsum i trekant BFE:")
print("x + v/2 + (90 + u/2) = 180")
print("x =", x)
print("Bruk v = 90-u")
print("x =", x_med_rel, "grader")
Utskrift fra Python:
Vinkelsum i trekant BFE:
x + v/2 + (90 + u/2) = 180
x = -u/2 - v/2 + 90
Bruk v = 90-u
x = 45 grader
Fasit: \(x=45^{\circ}\).
Vanlig feil: Å bruke vinkelsummen før alle tre vinklene er identifisert, eller å glemme å halvere summen u+v.
Sensorpunkt: Et fullstendig bevis skal eksplisitt vise innsetting, bruk av u+v=90° og konklusjonen.
Del 2 – med hjelpemidler
Del 2 · Oppgave 3aModellering · volum
Oppgave 3a
Oppgave: Vi har et rett prisme der lengden av grunnflaten er fire ganger så stor som bredden. Volumet er \(200\text{ cm}^3\). Vi setter bredden lik \(x\) cm. Vis at
\[h=\frac{50}{x^2}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette lengde, bredde og høyde inn i volumformelen og løse likningen med hensyn på h.
Steg 1 — Skriv dimensjonene
Bredde er \(x\), lengde er \(4x\), og høyde er \(h\).
Steg 2 — Bruk volumformelen
For et rett prisme er \(V=lbh\).
Steg 3 — Sett inn dimensjonene
\[200=(4x)\cdot x\cdot h=4x^2h.\]
Steg 4 — Del på 4x²
Siden \(x>0\), kan vi dele begge sider på \(4x^2\).
Steg 5 — Forenkle brøken
\[h=\frac{200}{4x^2}=\frac{50}{x^2}.\]
Steg 6 — Kontroller enheten
\(50/x^2\) har enhet cm fordi 50 representerer cm³ og nevneren cm².
Vanlig feil: Å telle bare fire sideflater og glemme topp og bunn, eller å bruke \(h=50/x\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter alle seks flater og et korrekt definisjonsområde.
Del 2 · Oppgave 3cOptimering · derivasjon
Oppgave 3c
Oppgave: I oppgave 1a i Del 1 viste du at
\[O^{\prime}(x)=\frac{-500+16x^3}{x^2}.\]
Bruk den deriverte til å finne den minste overflaten O som prismet kan ha. Hva er lengden, bredden og høyden nå?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et kritisk punkt for x>0, kontrollere at det gir et minimum, og beregne alle dimensjonene.
Steg 1 — Sett den deriverte lik null
For \(x>0\) er nevneren positiv, så \(O^{\prime}(x)=0\) når telleren er null.
Fasit: Minste overflate er omtrent \(238{,}11\text{ cm}^2\). Bredde \(\approx3{,}15\) cm, lengde \(\approx12{,}60\) cm og høyde \(\approx5{,}04\) cm.
Vanlig feil: Å løse \(O^{\prime}(x)=0\) uten å begrunne at punktet er et minimum, eller å rapportere x som lengden i stedet for bredden.
Sensorpunkt: Sensor ser etter kritisk punkt, minimumsbegrunnelse, dimensjoner og enhet.
Del 2 · Oppgave 3dOptimering · ny modell
Oppgave 3d
Oppgave: Vi har et annet rett prisme der lengden av grunnflaten er tre ganger så stor som bredden. Volumet er \(200\text{ cm}^3\). Finn den minste overflaten som dette prismet kan ha.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi må bygge en ny høyde- og overflatemodell fordi lengden nå er 3x, og deretter optimere den.
Steg 1 — Finn høyden fra volumet
\(3x\cdot x\cdot h=200\), så \(h=200/(3x^2)\).
Steg 2 — Skriv overflaten
\[O=2(3x^2+3xh+xh).\]
Steg 3 — Sett inn h og forenkle
\[O(x)=6x^2+\frac{1600}{3x}.\]
Steg 4 — Deriver
\[O^{\prime}(x)=12x-\frac{1600}{3x^2}.\]
Steg 5 — Finn kritisk punkt
\(O^{\prime}(x)=0\) gir \(36x^3=1600\), altså \(x=\sqrt[3]{400/9}\approx3{,}5422\) cm.
Steg 6 — Beregn og klassifiser minimum
O′ er negativ før og positiv etter punktet. Derfor er \[O_{\min}\approx225{,}8486\text{ cm}^2.\] Eksakt er \(40\sqrt[3]{180}\text{ cm}^2\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
h=Solve[3x^2 h=200,h]
\(200/(3x^2)\)
2
O=Simplify[2(3x^2+3xh+xh)]
\(6x^2+1600/(3x)\)
3
Solve[O'(x)=0,x]
\(x\approx3.542195231\)
4
O(x)
\(225.8486469\) ved minimum
Tolkning: Det andre prismet får en mindre minimal overflate enn prismet med lengde 4x.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, diff, solve, simplify, N
x = symbols('x', positive=True)
h = 200/(3*x**2)
O = 2*(3*x*x + 3*x*h + x*h)
O = simplify(O)
O1 = diff(O,x)
xmin = solve(O1,x)[0]
Omin = simplify(O.subs(x,xmin))
print("h(x) =", h)
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", O1)
print("Optimal bredde =", N(xmin,10))
print("Minste overflate =", N(Omin,10))
print("Eksakt minste overflate =", Omin)
print("Fortegn: O' går fra negativ til positiv ved xmin")
Utskrift fra Python:
h(x) = 200/(3*x**2)
O(x) = 2*(9*x**3 + 800)/(3*x)
O'(x) = 18*x - 2*(9*x**3 + 800)/(3*x**2)
Optimal bredde = 3.542195231
Minste overflate = 225.8486469
Eksakt minste overflate = 40*180**(1/3)
Fortegn: O' går fra negativ til positiv ved xmin
Fasit: Minste overflate er omtrent \(225{,}85\text{ cm}^2\).
Vanlig feil: Å gjenbruke modellen \(500/x+8x^2\) fra prismet med lengde 4x.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en ny modell, korrekt derivasjon og minimumsklassifisering.
Del 2 · Oppgave 4aSannsynlighet · snitt
Oppgave 4a
Oppgave: På en skole er det 350 elever. 150 av disse er gutter. 100 gutter og 180 jenter har med seg matpakke hver dag. Én elev trekkes tilfeldig. La A være hendelsen «Eleven er en gutt» og B hendelsen «Eleven har med matpakke hver dag».
Forklar med ord hva vi mener med \(P(A\cap B)\). Finn denne sannsynligheten.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke snittet av hendelsene og dele antall elever som oppfyller begge vilkår på totalt antall elever.
Steg 1 — Tolk A∩B
\(A\cap B\) betyr at den valgte eleven både er gutt og har med matpakke hver dag.
Steg 2 — Finn antall gunstige
Oppgaven oppgir at 100 gutter har med matpakke, så det er 100 gunstige elever.
Steg 3 — Finn totalt antall mulige
Alle 350 elever er like mulige å trekke.
Steg 4 — Sett opp sannsynligheten
\[P(A\cap B)=\frac{100}{350}.\]
Steg 5 — Forkort brøken
Del teller og nevner på 50: \(100/350=2/7\).
Steg 6 — Skriv desimal ved behov
\(2/7\approx0{,}286\), altså omtrent 28,6 %.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
100/350
\(2/7\approx0.285714\)
Tolkning: CAS forkorter sannsynligheten til 2/7.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from fractions import Fraction
antall = 350
gutter_med_mat = 100
sannsynlighet = Fraction(gutter_med_mat, antall)
print("A snitt B betyr: gutt og matpakke")
print("Gunstige elever =", gutter_med_mat)
print("Mulige elever =", antall)
print("P(A snitt B) =", sannsynlighet)
print("Desimaltall =", float(sannsynlighet))
Utskrift fra Python:
A snitt B betyr: gutt og matpakke
Gunstige elever = 100
Mulige elever = 350
P(A snitt B) = 2/7
Desimaltall = 0.2857142857142857
Fasit: \(P(A\cap B)=2/7\approx0{,}286\).
Vanlig feil: Å tolke snitt som «gutt eller matpakke». Snitt betyr at begge hendelser skjer.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt verbal tolkning og riktig nevner 350.
Del 2 · Oppgave 4bSannsynlighet · betinget og uavhengighet
Oppgave 4b
Oppgave: Finn sannsynlighetene \(P(B)\) og \(P(B\mid A)\). Er de to hendelsene A og B uavhengige?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne total matpakkesannsynlighet og matpakkesannsynlighet blant guttene, og sammenligne dem.
Steg 1 — Finn totalt antall med matpakke
100 gutter og 180 jenter gir \(100+180=280\) elever.
Skalarprodukt 0 betyr at AC og BC står vinkelrett på hverandre. Dermed er \(\angle ACB=90^{\circ}\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Vector[B,C]
\((-4,-2)\)
2
Dot[(-1,2),(-4,-2)]
\(0\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter ortogonaliteten.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix
A = Matrix([2,-1])
B = Matrix([5,3])
C = Matrix([1,1])
AC = C-A
BC = C-B
skalarprodukt = AC.dot(BC)
print("AC =", tuple(AC))
print("BC =", tuple(BC))
print("AC dot BC =", skalarprodukt)
print("Siden skalarproduktet er 0, er vektorene ortogonale.")
print("Dermed er vinkel ACB = 90 grader.")
Utskrift fra Python:
AC = (-1, 2)
BC = (-4, -2)
AC dot BC = 0
Siden skalarproduktet er 0, er vektorene ortogonale.
Dermed er vinkel ACB = 90 grader.
Fasit: \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\). Vektorene er ortogonale.
Vanlig feil: Å bruke CB i stedet for BC uten å være oppmerksom på fortegnet. I denne testen blir også CB ortogonal, men vektoren skal likevel beregnes korrekt.
Sensorpunkt: Sensor ser etter komponentvis produkt og den geometriske tolkningen.
Del 2 · Oppgave 5dVektorer · parameterframstilling
Oppgave 5d
Oppgave: En rett linje l går gjennom punktet \(P(3,-4)\) og er parallell med \(\overrightarrow{AC}\). Finn en parameterframstilling for linjen l.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke P som fast punkt og AC som retningsvektor.
Steg 1 — Velg punkt på linjen
Linjen skal gå gjennom \(P=(3,-4)\).
Steg 2 — Velg retningsvektor
Siden l er parallell med AC, kan vi bruke \(\vec v=(-1,2)\).
Steg 3 — Skriv vektorformen
\[(x,y)=(3,-4)+t(-1,2).\]
Steg 4 — Les av x-likningen
\(x=3-t\).
Steg 5 — Les av y-likningen
\(y=-4+2t\).
Steg 6 — Kontroller punktet
Når \(t=0\), får vi \((x,y)=(3,-4)=P\), og retningsvektoren er parallell med AC.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Line[(3,-4), Vector[(-1,2)]]
linjen l
2
ParametricEquation
x=3-t, y=-4+2t
Tolkning: GeoGebra konstruerer linjen gjennom P med den oppgitte retningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Matrix
t = symbols('t', real=True)
P = Matrix([3,-4])
v = Matrix([-1,2])
R = P+t*v
print("P =", tuple(P))
print("Retningsvektor =", tuple(v))
print("P + t*v =", tuple(R))
print("Parameterframstilling:")
print("x = 3 - t")
print("y = -4 + 2*t")
Utskrift fra Python:
P = (3, -4)
Retningsvektor = (-1, 2)
P + t*v = (3 - t, 2*t - 4)
Parameterframstilling:
x = 3 - t
y = -4 + 2*t
Vanlig feil: Å bruke punktet A i stedet for P, eller å bruke en vektor som ikke er parallell med AC.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både riktig punkt og riktig retning.
Del 2 · Oppgave 5eVektorer · aksekryss
Oppgave 5e
Oppgave: Finn koordinatene til punktet der l skjærer y-aksen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? På y-aksen er x-koordinaten 0. Vi setter derfor x=0 i parameterframstillingen og finner tilhørende y-verdi.
Steg 1 — Bruk parameterframstillingen
Linjen er \(x=3-t\), \(y=-4+2t\).
Steg 2 — Bruk kjennetegnet på y-aksen
Alle punkter på y-aksen har \(x=0\).
Steg 3 — Sett x=0
\[3-t=0.\]
Steg 4 — Løs for parameteren
Likningen gir \(t=3\).
Steg 5 — Finn y-koordinaten
\[y=-4+2\cdot3=2.\]
Steg 6 — Skriv punktet
Skjæringspunktet er \((0,2)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Intersect[Line[(3,-4),(-1,2)], yAxis]
\((0,2)\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter skjæringspunktet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, solve
t = symbols('t', real=True)
x = 3-t
y = -4+2*t
t_verdi = solve(x,t)[0]
y_verdi = y.subs(t,t_verdi)
print("For skjæring med y-aksen setter vi x=0")
print("Løsning av 3-t=0 gir t =", t_verdi)
print("y = -4+2*t =", y_verdi)
print("Skjæringspunkt =", (0,y_verdi))
Utskrift fra Python:
For skjæring med y-aksen setter vi x=0
Løsning av 3-t=0 gir t = 3
y = -4+2*t = 2
Skjæringspunkt = (0, 2)
Fasit: Linjen skjærer y-aksen i \((0,2)\).
Vanlig feil: Å sette y=0; det finner skjæringen med x-aksen, ikke y-aksen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig aksebetingelse og innsetting i begge parameterlikningene.
Del 2 · Oppgave 5fVektorer · avstandslikning
Oppgave 5f
Oppgave: Punktet \(Q(8,6)\) er gitt. En vektor \(\overrightarrow{QR}\) har lengden 10, og R er et punkt på linjen l. Bestem koordinatene til R.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke R med parameteren t og bruke at avstanden fra Q til R er 10. En sirkel kan skjære linjen i to punkter, så vi må beholde begge løsninger.
Steg 1 — Skriv et vilkårlig punkt på l
Fra linjen får vi \(R=(3-t,-4+2t)\).
Steg 2 — Finn QR
\[\overrightarrow{QR}=R-Q=(-5-t,-10+2t).\]
Steg 3 — Bruk lengdevilkåret
\[(-5-t)^2+(-10+2t)^2=10^2.\]
Steg 4 — Utvid og samle
Dette gir \(5t^2-30t+25=0\), eller \(t^2-6t+5=0\).
Steg 5 — Løs andregradslikningen
\[(t-1)(t-5)=0\Rightarrow t=1\text{ eller }t=5.\]
Steg 6 — Finn begge punktene
For \(t=1\): \(R=(2,-2)\). For \(t=5\): \(R=(-2,6)\). Begge har avstand 10 fra Q.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
c=Circle[(8,6),10]
sirkel med sentrum Q
2
l=Line[(3,-4),(-1,2)]
linjen l
3
Intersect[c,l]
\((2,-2)\) og \((-2,6)\)
Tolkning: GeoGebra viser de to skjæringspunktene mellom linjen og sirkelen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, solve, expand, sqrt
t = symbols('t', real=True)
R = (3-t, -4+2*t)
Q = (8,6)
likning = (R[0]-Q[0])**2 + (R[1]-Q[1])**2 - 100
løsninger = solve(likning,t)
print("R(t) =", R)
print("Q =", Q)
print("Avstandslikning |QR|^2=100:")
print("Utvidet venstreside minus 100 =", expand(likning))
print("Parameterløsninger =", løsninger)
for verdi in løsninger:
punkt = (R[0].subs(t,verdi), R[1].subs(t,verdi))
kontroll = sqrt((punkt[0]-8)**2+(punkt[1]-6)**2)
print(f"t={verdi}: R={punkt}, |QR|={kontroll}")
Vanlig feil: Å gi bare ett punkt. Linjen skjærer sirkelen med sentrum Q og radius 10 i to punkter.
Sensorpunkt: Sensor ser etter avstandslikningen, begge parameterverdier og kontroll av begge punktene.
Del 2 · Oppgave 6Funksjoner · kontinuitet og deriverbarhet
Oppgave 6
Oppgave: Du får oppgitt at en funksjon f er definert for \(x\in[0,10]\). Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i \(x=2\), og ikke kontinuerlig i \(x=5\). Tegn en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage én mulig graf med en knekk ved x=2 og et sprang ved x=5. Mange forskjellige skisser kan være riktige.
Steg 1 — Lag en knekk ved x=2
Funksjonen \(|x-2|\) er kontinuerlig, men har venstrederivert −1 og høyrederivert 1 ved \(x=2\).
Steg 2 — Behold kontinuiteten fram til 5
Bruk \(f(x)=|x-2|\) for \(0\le x<5\).
Steg 3 — Lag et sprang ved x=5
For \(5\le x\le10\) kan vi bruke \(f(x)=|x-2|+2\).
Steg 4 — Kontroller venstregrensen
Når \(x\to5^-\), nærmer funksjonen seg \(|5-2|=3\).
Steg 5 — Kontroller verdien ved 5
Med andre gren er \(f(5)=|5-2|+2=5\), som ikke er lik venstregrensen.
Steg 6 — Beskriv markeringene
Tegn en åpen sirkel i \((5,3)\) og en fylt sirkel i \((5,5)\). Ved \((2,0)\) skal grafen ha en tydelig knekk.
Knekken ved x=2 ødelegger deriverbarheten; spranget ved x=5 ødelegger kontinuiteten.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
f(x)=If[x<5,Abs(x-2),Abs(x-2)+2]
stykkevis funksjon
2
LeftLimit[f,5]
\(3\)
3
f(5)
\(5\)
Tolkning: Grafen oppfyller begge kravene samtidig.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, Abs, limit, diff
x = symbols('x', real=True)
f_venstre = Abs(x-2)
f_høyre = Abs(x-2)+2
print("Eksempelfunksjon:")
print("f(x)=|x-2| for 0 <= x < 5")
print("f(x)=|x-2|+2 for 5 <= x <= 10")
print("Venstregrense ved 5 =", limit(f_venstre,x,5,dir='-'))
print("Funksjonsverdi/høyregrense ved 5 =", f_høyre.subs(x,5))
print("Venstrederivert ved 2 = -1")
print("Høyrederivert ved 2 = 1")
print("Dermed er grafen ikke deriverbar i x=2 og ikke kontinuerlig i x=5.")
Utskrift fra Python:
Eksempelfunksjon:
f(x)=|x-2| for 0 <= x < 5
f(x)=|x-2|+2 for 5 <= x <= 10
Venstregrense ved 5 = 3
Funksjonsverdi/høyregrense ved 5 = 5
Venstrederivert ved 2 = -1
Høyrederivert ved 2 = 1
Dermed er grafen ikke deriverbar i x=2 og ikke kontinuerlig i x=5.
Fasit: En mulig funksjon er \(f(x)=|x-2|\) for \(0\le x<5\), og \(f(x)=|x-2|+2\) for \(5\le x\le10\).
Vanlig feil: Å tegne et hull ved x=2; funksjonen skal være kontinuerlig der, bare ikke deriverbar.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en kontinuerlig knekk ved 2 og en reell diskontinuitet ved 5.
Del 2 · Oppgave 7aTallteori · mønster
Oppgave 7a
Oppgave: Undersøk påstanden: «Alle primtall som er større enn 2, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.» Skriv av og fyll ut tabellen for primtallene 3, 5, 7, 11, 13, 17 og 19, der \(n_1+n_2=p\) og \(n_1-n_2=1\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge to påfølgende naturlige tall som har sum p, og kontrollere differansen mellom kvadratene.
Steg 1 — Se mønsteret i de ferdige radene
For hvert oddetall p brukes to påfølgende tall rundt p/2.
Steg 2 — Finn tallene for p=13
\(n_1=7\) og \(n_2=6\), fordi summen er 13 og differansen er 1.
Steg 3 — Beregn kvadratene for 13
\(7^2=49\), \(6^2=36\), og \(49-36=13\).
Steg 4 — Finn tallene for p=17
\(n_1=9\), \(n_2=8\). Da er \(81-64=17\).
Steg 5 — Finn tallene for p=19
\(n_1=10\), \(n_2=9\). Da er \(100-81=19\).
Steg 6 — Observer mønsteret
Alle radene gir \(n_1^2-n_2^2=p\). Tabellen gir støtte til påstanden, men et generelt bevis kommer i del c.
Utskrift fra Python:
Likningssystem:
n1+n2 = p
n1-n2 = 1
Løsning = {n1: p/2 + 1/2, n2: p/2 - 1/2}
Kontroll sum = p
Kontroll differanse = 1
Fasit: \(n_1=(p+1)/2\) og \(n_2=(p-1)/2\).
Vanlig feil: Å få p−1 i uttrykket for n₁ fordi likningene subtraheres i feil rekkefølge.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en eksplisitt eliminasjonsmetode og kontroll av begge uttrykk.
Del 2 · Oppgave 7cTallteori · bevis
Oppgave 7c
Oppgave: Bevis at alle primtall som er større enn 2, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal føre et generelt bevis for et vilkårlig primtall p>2. Først må vi sikre at n₁ og n₂ er naturlige tall, deretter bruker vi konjugatsetningen.
Steg 1 — Velg et vilkårlig primtall
La \(p>2\) være et vilkårlig primtall.
Steg 2 — Vis at p er oddetall
Det eneste partallsprimtallet er 2. Derfor er p oddetall.
Steg 3 — Definer naturlige tall
Sett \(n_1=(p+1)/2\) og \(n_2=(p-1)/2\). Siden p er oddetall, er p±1 partall, så n₁ og n₂ er naturlige tall.
Steg 4 — Bruk differanse av kvadrater
\[n_1^2-n_2^2=(n_1-n_2)(n_1+n_2).\]
Steg 5 — Sett inn sum og differanse
Fra definisjonene er \(n_1-n_2=1\) og \(n_1+n_2=p\).
Steg 6 — Konkluder
Dermed er \[n_1^2-n_2^2=1\cdot p=p.\] Siden p var et vilkårlig primtall større enn 2, gjelder påstanden for alle slike primtall.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Simplify[((p+1)/2)^2-((p-1)/2)^2]
\(p\)
Tolkning: CAS verifiserer identiteten; beviset forklarer hvorfor tallene er naturlige for primtall p>2.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, simplify, factor
p = symbols('p', integer=True, positive=True)
n1 = (p+1)/2
n2 = (p-1)/2
differanse = simplify(n1**2-n2**2)
print("n1 =", n1)
print("n2 =", n2)
print("Faktorisering:")
print("n1^2-n2^2 = (n1-n2)(n1+n2)")
print("Symbolsk differanse =", differanse)
print("For oddetall p er p+1 og p-1 partall, så n1 og n2 er heltall.")
Utskrift fra Python:
n1 = p/2 + 1/2
n2 = p/2 - 1/2
Faktorisering:
n1^2-n2^2 = (n1-n2)(n1+n2)
Symbolsk differanse = p
For oddetall p er p+1 og p-1 partall, så n1 og n2 er heltall.
Fasit: Påstanden er bevist: \(p=((p+1)/2)^2-((p-1)/2)^2\) for hvert primtall \(p>2\).
Vanlig feil: Å vise bare algebraen uten å begrunne at n₁ og n₂ faktisk er naturlige tall.
Sensorpunkt: For full uttelling må beviset ha vilkårlig p, oddetallsargument, heltallsargument, faktorisering og en klar konklusjon.
Del 2 · Oppgave 8aGeometri · buelengde
Oppgave 8a
Oppgave: De indre halvsirklene har radius R og r. Vis at lengden av sirkelbuen AB er lik summen av lengdene av de to sirkelbuene AC og CB.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at buelengden til en halvsirkel med radius q er πq, og at den ytre radiusen er R+r.
Steg 1 — Finn diameterne
\(AC=2R\) og \(CB=2r\).
Steg 2 — Finn den ytre diameteren
\(AB=AC+CB=2R+2r=2(R+r)\).
Steg 3 — Finn ytre radius
Den ytre halvsirkelen har radius \(R+r\).
Steg 4 — Beregn ytre buelengde
Halv omkrets er \(\pi\) ganger radius, så buen AB har lengde \(\pi(R+r)\).
Steg 5 — Beregn indre buelengder
Buen AC har lengde \(\pi R\), og buen CB har lengde \(\pi r\).
Steg 6 — Sammenlign
\(\pi R+\pi r=\pi(R+r)\), som er lik lengden av buen AB.
Den ytre diameteren er summen av de to indre diameterne.
Utskrift fra Python:
Ytre radius = R+r
Buelengde AB = pi*(R + r)
Buelengde AC = pi*R
Buelengde CB = pi*r
Sum indre buer = pi*R + pi*r
Differanse = 0
Fasit: \(L_{AB}=L_{AC}+L_{CB}=\pi(R+r)\).
Vanlig feil: Å bruke full sirkelomkrets 2πr for en halvsirkelbue.
Sensorpunkt: Sensor ser etter sammenhengen AB=2(R+r) og riktig halvsirkelbuelengde.
Del 2 · Oppgave 8bGeometri · formlikhet
Oppgave 8b
Oppgave: På figuren er \(CH\perp AB\). Forklar at \(\triangle ACH\) er formlik med \(\triangle HCB\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to par like vinkler. Begge trekanter er rettvinklede ved C, og et nytt vinkelpar følger av at H ligger på halvsirkelen med diameter AB.
Steg 1 — Bruk CH⊥AB
\(\angle ACH=90^{\circ}\) og \(\angle HCB=90^{\circ}\).
Steg 2 — Bruk Tales’ setning
H ligger på halvsirkelen med diameter AB, derfor er \(\angle AHB=90^{\circ}\).
Steg 3 — Se på den store trekanten
I rettvinklet trekant AHB er de spisse vinklene ved A og B komplementære.
Steg 4 — Sammenlign en spiss vinkel
\(\angle CAH=\angle BAH\), fordi A, C og B ligger på samme linje.
Steg 5 — Finn tilsvarende vinkel
I trekant HCB er \(\angle CHB=90^{\circ}-\angle HBC=90^{\circ}-\angle HBA=\angle BAH\).
Steg 6 — Bruk AA-kriteriet
Vi har to like vinkelpar, så \(\triangle ACH\sim\triangle HCB\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Angle[A,C,H]
\(90^{\circ}\)
2
Angle[H,C,B]
\(90^{\circ}\)
3
Angle[C,A,H]=Angle[C,H,B]
true
Tolkning: Vinkelmålingene i en konstruert figur bekrefter AA-kriteriet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols
alpha, beta = symbols('alpha beta', positive=True)
print("I trekant AHB er vinkel AHB = 90 grader (Tales).")
print("CH står vinkelrett på AB, så begge små trekanter er rettvinklede ved C.")
print("Vinkel CAH = vinkel BAH = alpha")
print("Vinkel CHB = 90 - vinkel HBC")
print("Siden vinkel HBC = beta og alpha+beta=90, er vinkel CHB=alpha.")
print("Dermed er trekant ACH og HCB formlike ved AA.")
Utskrift fra Python:
I trekant AHB er vinkel AHB = 90 grader (Tales).
CH står vinkelrett på AB, så begge små trekanter er rettvinklede ved C.
Vinkel CAH = vinkel BAH = alpha
Vinkel CHB = 90 - vinkel HBC
Siden vinkel HBC = beta og alpha+beta=90, er vinkel CHB=alpha.
Dermed er trekant ACH og HCB formlike ved AA.
Fasit: \(\triangle ACH\sim\triangle HCB\) ved AA-kriteriet.
Vanlig feil: Å hevde formlikhet bare fordi begge trekanter er rettvinklede. Det trengs ett vinkelpar til.
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt vinkelkorrespondanse og korrekt AA-begrunnelse.
Del 2 · Oppgave 8cGeometri · høyden på hypotenusen
Oppgave 8c
Oppgave: Bruk formlikheten til å vise at
\[CH=2\sqrt{Rr}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke forholdet mellom samsvarende sider i de formlike trekantene og deretter sette inn AC=2R og CB=2r.
Steg 1 — Skriv sidekorrespondansen
I formlikheten svarer AC til CH, og CH svarer til CB.
Steg 2 — Sett opp proporsjonen
\[\frac{AC}{CH}=\frac{CH}{CB}.\]
Steg 3 — Kryssmultipliser
\[CH^2=AC\cdot CB.\]
Steg 4 — Sett inn diameterne
\[CH^2=(2R)(2r)=4Rr.\]
Steg 5 — Ta positiv kvadratrot
Lengder er positive, derfor \(CH=\sqrt{4Rr}\).
Steg 6 — Forenkle roten
\[CH=2\sqrt{Rr}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Solve[CH^2=(2R)(2r),CH]
\(CH=2\sqrt{Rr}\) for \(CH>0\)
Tolkning: CAS bekrefter den positive lengdeløsningen.
Utskrift fra Python:
Fra formlikhet: AC/CH = CH/CB
Dermed CH^2 = AC*CB
AC = 2*R
CB = 2*r
CH = sqrt(AC*CB) = 2*sqrt(R)*sqrt(r)
Kontroll CH^2 = 4*R*r
Fasit: \(CH=2\sqrt{Rr}\).
Vanlig feil: Å skrive CH=4Rr etter kryssmultiplikasjon; det er CH² som er lik produktet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig samsvar mellom sidene og positiv kvadratrot.
Del 2 · Oppgave 8dGeometri · arealbevis
Oppgave 8d
Oppgave: Vis at arealet av en sirkel med diameter CH er lik arealet av skomakerkniven.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne skomakerknivens areal som ytre halvsirkel minus de to indre, og sammenligne med sirkelarealet når diameteren er CH.
Steg 1 — Finn ytre halvsirkelareal
Ytre radius er \(R+r\), så arealet er \(\frac\pi2(R+r)^2\).
Steg 2 — Finn indre arealer
De to indre halvsirklene har samlet areal \(\frac\pi2R^2+\frac\pi2r^2\).
Steg 3 — Trekk fra
\[A_{sko}=\frac\pi2\big((R+r)^2-R^2-r^2\big).\]
Steg 4 — Utvid og forenkle
\((R+r)^2-R^2-r^2=2Rr\), derfor \(A_{sko}=\pi Rr\).
Steg 5 — Finn radius til den nye sirkelen
Diameteren er \(CH=2\sqrt{Rr}\), så radiusen er \(CH/2=\sqrt{Rr}\).
Steg 6 — Beregn og konkluder
Sirkelarealet er \(\pi(\sqrt{Rr})^2=\pi Rr=A_{sko}\). Dermed er arealene like.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Simplify[pi/2*((R+r)^2-R^2-r^2)]
\(\pi Rr\)
2
pi*(2sqrt(Rr)/2)^2
\(\pi Rr\)
Tolkning: CAS bekrefter at begge arealuttrykk forenkles til samme verdi.
