Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av to funksjoner. Produktregelen brukes, og vi må samtidig huske at \(\ln x\) bare er definert for \(x>0\).

Steg 1 — Navngi faktorene

Sett \(u(x)=x^3\) og \(v(x)=\ln x\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver første faktor

Potensregelen gir \(u^{\prime}(x)=3x^2\).

Steg 4 — Deriver andre faktor

Logaritmeregelen gir \(v^{\prime}(x)=1/x\), siden \(x>0\).

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

Vi får \[f^{\prime}(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle

Siden \(x^3/x=x^2\), blir \[f^{\prime}(x)=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, diff, factor, simplify

x = symbols('x', positive=True)
f = x**3 * log(x)
f_derivert = diff(f, x)
f_faktorisert = factor(f_derivert)
forventet = x**2 * (3*log(x) + 1)

print("Definisjonsområde: x > 0")
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Faktorisert form =", f_faktorisert)
print("Kontroll mot x**2*(3*log(x)+1) =", simplify(f_derivert - forventet))

Utskrift fra Python:
Definisjonsområde: x > 0
f(x) = x**3*log(x)
f'(x) = 3*x**2*log(x) + x**2
Faktorisert form = x**2*(3*log(x) + 1)
Kontroll mot x**2*(3*log(x)+1) = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=x^2(3\ln x+1)\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon med et sammensatt eksponentuttrykk. Derfor bruker vi kjerneregelen.

Steg 1 — Skill mellom ytre og indre funksjon

Den ytre funksjonen er \(4e^u\), og den indre funksjonen er \(u(x)=x^2-3x\).

Steg 2 — Deriver den ytre funksjonen

Med hensyn på \(u\) er den deriverte av \(4e^u\) lik \(4e^u\).

Steg 3 — Deriver den indre funksjonen

Potensregelen gir \(u^{\prime}(x)=2x-3\).

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

Kjerneregelen gir \[g^{\prime}(x)=4e^{u(x)}\cdot u^{\prime}(x).\]

Steg 5 — Sett inn uttrykkene

Dermed får vi \[g^{\prime}(x)=4e^{x^2-3x}(2x-3).\]

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

Vi kan skrive faktorene i motsatt rekkefølge: \[g^{\prime}(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
g = 4*exp(x**2 - 3*x)
g_derivert = diff(g, x)
g_faktorisert = factor(g_derivert)
forventet = 4*(2*x - 3)*exp(x**2 - 3*x)

print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("Faktorisert form =", g_faktorisert)
print("Kontroll mot forventet uttrykk =", simplify(g_derivert - forventet))

Utskrift fra Python:
g(x) = 4*exp(x**2 - 3*x)
g'(x) = 4*(2*x - 3)*exp(x**2 - 3*x)
Faktorisert form = 4*(2*x - 3)*exp(-3*x)*exp(x**2)
Kontroll mot forventet uttrykk = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først kontrollere at \(x=2\) er et nullpunkt. Deretter deler vi polynomet på \(x-2\) og faktoriserer andregradsfaktoren.

Steg 1 — Sett inn x=2

\[P(2)=2^3-4\cdot2^2-4\cdot2+16.\]

Steg 2 — Regn ut verdien

\[P(2)=8-16-8+16=0.\] Dermed er \(x=2\) et nullpunkt.

Steg 3 — Bruk faktorteoremet

Når \(P(2)=0\), er \(x-2\) en faktor i \(P(x)\).

Steg 4 — Utfør polynomdivisjonen

Divisjonen \((x^3-4x^2-4x+16):(x-2)\) gir kvotienten \(x^2-2x-8\) og rest \(0\).

Steg 5 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi søker to tall med produkt \(-8\) og sum \(-2\): \(-4\) og \(2\). Derfor \[x^2-2x-8=(x-4)(x+2).\]

Steg 6 — Skriv full faktorisering

Dermed er \[P(x)=(x-2)(x-4)(x+2).\]

Steg 7 — Kontroller ved utvidelse

Utvider vi faktorene, får vi tilbake \(x^3-4x^2-4x+16\), så faktoriseringen er korrekt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, div, expand

x = symbols('x')
P = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16
verdi = P.subs(x, 2)
kvotient, rest = div(P, x - 2)
faktorisert = factor(P)

print("P(x) =", P)
print("P(2) =", verdi)
print("Kvotient ved divisjon med x - 2 =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Full faktorisering =", faktorisert)
print("Kontroll ved utvidelse =", expand(faktorisert))

Utskrift fra Python:
P(x) = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16
P(2) = 0
Kvotient ved divisjon med x - 2 = x**2 - 2*x - 8
Rest = 0
Full faktorisering = (x - 4)*(x - 2)*(x + 2)
Kontroll ved utvidelse = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16

Fasit: \(P(2)=0\) og \(P(x)=(x+2)(x-2)(x-4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke nullpunktene fra faktoriseringen og bestemme fortegnet til produktet på intervallene mellom nullpunktene.

Steg 1 — Bruk faktoriseringen

Fra forrige del har vi \[P(x)=(x+2)(x-2)(x-4).\]

Steg 2 — Finn kritiske punkter

Produktet er null ved \(x=-2\), \(x=2\) og \(x=4\). Disse deler tallinjen i fire intervaller.

Steg 3 — Undersøk intervallet x<-2

Velg for eksempel \(x=-3\). Faktorfortegnene er \((-)(-)(-)\), så produktet er negativt.

Steg 4 — Undersøk -2<x<2

Velg \(x=0\). Faktorfortegnene er \((+)(-)(-)\), så produktet er positivt.

Steg 5 — Undersøk 2<x<4

Velg \(x=3\). Faktorfortegnene er \((+)(+)(-)\), så produktet er negativt.

Steg 6 — Undersøk x>4

Velg \(x=5\). Alle tre faktorer er positive, så produktet er positivt.

Steg 7 — Ta med nullpunktene

Ulikheten er \(P(x)\le0\). Derfor skal også punktene der \(P(x)=0\) være med.

Steg 8 — Skriv løsningsmengden

De negative intervallene og nullpunktene gir \[x\in(-\infty,-2]\cup[2,4].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality, Interval, Union

x = symbols('x', real=True)
P = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16
losning = solve_univariate_inequality(P <= 0, x, relational=False)
prover = [-3, 0, 3, 5]

print("Faktorisert P(x) =", factor(P))
for verdi in prover:
    print(f"P({verdi}) =", P.subs(x, verdi))
print("Løsningsmengde for P(x) <= 0 =", losning)
print("Forventet mengde =", Union(Interval(-float('inf'), -2), Interval(2, 4)))

Utskrift fra Python:
Faktorisert P(x) = (x - 4)*(x - 2)*(x + 2)
P(-3) = -35
P(0) = 16
P(3) = -5
P(5) = 21
Løsningsmengde for P(x) <= 0 = Union(Interval(-oo, -2), Interval(2, 4))
Forventet mengde = Union(Interval(-oo, -2), Interval(2, 4))

Fasit: \(x\in(-\infty,-2]\cup[2,4]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre hvilken logisk retning som alltid er gyldig. Det avgjørende er at Bergen er en del av Norge, mens ikke alle steder i Norge er Bergen.

Steg 1 — Definer utsagnene

La \(B\) bety «Per er fra Bergen» og \(N\) bety «Per er fra Norge».

Steg 2 — Bruk den geografiske sammenhengen

Bergen ligger i Norge. Hvis \(B\) er sant, må derfor også \(N\) være sant.

Steg 3 — Skriv implikasjonen

Dette uttrykkes som \[B\Rightarrow N.\]

Steg 4 — Kontroller motsatt retning

Hvis Per er fra Norge, kan han være fra Oslo, Tromsø eller et annet sted. \(N\Rightarrow B\) er derfor ikke alltid sant.

Steg 5 — Avvis ekvivalens

Ekvivalens \(B\Leftrightarrow N\) krever at begge retninger er sanne. Det er de ikke.

Steg 6 — Sett inn riktig symbol

Vi skriver: «Per er fra Bergen \(\Rightarrow\) Per er fra Norge.»

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from itertools import product

print("Sannhetstabell for implikasjonen B -> N")
print("Bergen  Norge  B -> N")
for bergen, norge in product([False, True], repeat=2):
    implikasjon = (not bergen) or norge
    print(f"{str(bergen):6}  {str(norge):5}  {implikasjon}")
print("\nGeografisk premiss: Bergen ligger i Norge.")
print("Derfor kan tilfellet Bergen=True og Norge=False ikke forekomme.")

Utskrift fra Python:
Sannhetstabell for implikasjonen B -> N
Bergen  Norge  B -> N
False   False  True
False   True   True
True    False  False
True    True   True

Geografisk premiss: Bergen ligger i Norge.
Derfor kan tilfellet Bergen=True og Norge=False ikke forekomme.

Fasit: Per er fra Bergen \(\Rightarrow\) Per er fra Norge.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere vektoren med faktor 2 for lengden og bruke negativt fortegn for å snu retningen.

Steg 1 — Tolk dobbelt lengde

Dobbelt lengde betyr at absoluttverdien av skalarfaktoren skal være \(2\).

Steg 2 — Tolk motsatt retning

Motsatt retning betyr at skalarfaktoren må være negativ.

Steg 3 — Kombiner kravene

Den riktige skalarfaktoren er derfor \(-2\).

Steg 4 — Multipliser koordinatene

\[\vec b=-2\vec a=-2[3,5]=[-6,-10].\]

Steg 5 — Kontroller lengden

\(|\vec a|=\sqrt{34}\), mens \(|\vec b|=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\).

Steg 6 — Kontroller retningen

Siden \(\vec b=-2\vec a\), er vektorene parallelle og peker i motsatt retning.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, sqrt, simplify

a = Matrix([3, 5])
b = -2*a

print("a =", tuple(a))
print("b = -2*a =", tuple(b))
print("|a| =", sqrt(a.dot(a)))
print("|b| =", sqrt(b.dot(b)))
print("|b| / |a| =", simplify(sqrt(b.dot(b))/sqrt(a.dot(a))))
print("Skalarfaktor fra a til b = -2, altså motsatt retning.")

Utskrift fra Python:
a = (3, 5)
b = -2*a = (-6, -10)
|a| = sqrt(34)
|b| = 2*sqrt(34)
|b| / |a| = 2
Skalarfaktor fra a til b = -2, altså motsatt retning.

Fasit: \(\vec b=[-6,-10]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en ikke-null vektor med skalarprodukt null med \(\vec a\).

Steg 1 — Skriv en ukjent vektor

La \(\vec c=[u,v]\).

Steg 2 — Bruk kriteriet for normalitet

To vektorer står normalt når skalarproduktet er null: \[\vec a\cdot\vec c=0.\]

Steg 3 — Sett inn koordinatene

\[[3,5]\cdot[u,v]=3u+5v=0.\]

Steg 4 — Velg en enkel verdi

Velg \(u=5\). Da blir likningen \(15+5v=0\).

Steg 5 — Finn den andre koordinaten

Likningen gir \(v=-3\). Dermed kan vi velge \(\vec c=[5,-3]\).

Steg 6 — Kontroller skalarproduktet

\[[3,5]\cdot[5,-3]=3\cdot5+5\cdot(-3)=15-15=0.\]

Steg 7 — Kommenter flere løsninger

Alle ikke-null multipler av \([5,-3]\), for eksempel \([-5,3]\), er også normale på \(\vec a\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix

a = Matrix([3, 5])
c = Matrix([5, -3])
d = Matrix([-5, 3])

print("a =", tuple(a))
print("Forslag c =", tuple(c))
print("a dot c =", a.dot(c))
print("Et annet forslag d =", tuple(d))
print("a dot d =", a.dot(d))
print("Begge skalarproduktene er 0, så begge vektorene står normalt på a.")

Utskrift fra Python:
a = (3, 5)
Forslag c = (5, -3)
a dot c = 0
Et annet forslag d = (-5, 3)
a dot d = 0
Begge skalarproduktene er 0, så begge vektorene står normalt på a.

Fasit: Et mulig svar er \(\vec c=[5,-3]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere fjerdepotensen og huske at en likning av typen \(u^4=16\) har to reelle løsninger, \(u=2\) og \(u=-2\).

Steg 1 — Divider med 4

\[\left(1+\frac{x}{100}\right)^4=16.\]

Steg 2 — Innfør et hjelpeuttrykk

Sett \(u=1+x/100\). Da blir likningen \(u^4=16\).

Steg 3 — Finn de reelle fjerderøttene

Siden \(2^4=16\) og \((-2)^4=16\), får vi \(u=2\) eller \(u=-2\).

Steg 4 — Løs første likning

\[1+\frac{x}{100}=2\Rightarrow\frac{x}{100}=1\Rightarrow x=100.\]

Steg 5 — Løs andre likning

\[1+\frac{x}{100}=-2\Rightarrow\frac{x}{100}=-3\Rightarrow x=-300.\]

Steg 6 — Kontroller begge løsningene

For \(x=100\) blir faktoren \(2\), og for \(x=-300\) blir den \(-2\). I begge tilfeller er fjerdepotensen 16.

Steg 7 — Vurder eventuell praktisk tolkning

Algebraisk har likningen to løsninger. Dersom uttrykket tolkes som en positiv vekstfaktor, er bare \(x=100\) praktisk meningsfull, men en slik begrensning står ikke i oppgaven.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, factor

x = symbols('x', real=True)
likning = Eq(4*(1 + x/100)**4, 64)
losninger = solve(likning, x)

print("Likning:", likning)
print("Reelle løsninger:", losninger)
for rot in losninger:
    venstre = 4*(1 + rot/100)**4
    print(f"Kontroll for x = {rot}: venstresiden =", venstre)
print("Faktorisert nulluttrykk =", factor(4*(1+x/100)**4 - 64))

Utskrift fra Python:
Likning: Eq(4*(x/100 + 1)**4, 64)
Reelle løsninger: [-300, 100]
Kontroll for x = -300: venstresiden = 64
Kontroll for x = 100: venstresiden = 64
Faktorisert nulluttrykk = (x - 100)*(x + 300)*(x**2 + 200*x + 50000)/25000000

Fasit: De reelle løsningene er \(x=100\) og \(x=-300\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive en passer-og-linjal-konstruksjon som først lager sirkelen og korden \(AB=3r/2\), og deretter bruker den gitte vinkelen ved \(B\) til å bestemme \(C\).

Steg 1 — Konstruer sirkelen

Velg et sentrum \(S\). Bruk den oppgitte lengden \(r\) som passeråpning og tegn sirkelen med sentrum \(S\).

Steg 2 — Konstruer lengden 3r/2

Halver den oppgitte radiusen for å få \(r/2\). Legg sammen \(r+r/2\) på en hjelpelinje, slik at du får lengden \(3r/2\).

Steg 3 — Velg punkt A

Merk et vilkårlig punkt \(A\) på sirkelen.

Steg 4 — Finn punkt B

Tegn en hjelpesirkel med sentrum \(A\) og radius \(3r/2\). Skjæringspunktene med den opprinnelige sirkelen er mulige plasseringer av \(B\). Velg ett av dem.

Steg 5 — Konstruer 45 grader ved B

Konstruer først en normal på linjen \(BA\) gjennom \(B\), slik at du får en rett vinkel. Halver deretter den rette vinkelen for å få en stråle som danner \(45^{\circ}\) med \(BA\).

Steg 6 — Finn punkt C

La strålen fra \(B\) skjære den opprinnelige sirkelen på nytt. Det andre skjæringspunktet kalles \(C\).

Steg 7 — Kontroller kravene

Punktene \(A,B,C\) ligger på sirkelen, \(AB=3r/2\) fordi \(B\) ble funnet med hjelpesirkelen, og \(\angle ABC=45^{\circ}\) fordi strålen ble konstruert slik.

Steg 8 — Avslutt konstruksjonen

Trekk linjestykkene \(AC\) og \(BC\). Den speilvendte konstruksjonen gir en kongruent trekant på motsatt side.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Rational, acos, pi, simplify

r = symbols('r', positive=True)
AB = Rational(3, 2)*r
# Sentralvinkelen A-S-B følger av kordeformelen AB = 2r sin(theta/2)
theta = 2*acos(AB/(2*r))

print("Gitt radius = r")
print("Kordelengde AB =", AB)
print("AB/(2r) =", simplify(AB/(2*r)))
print("Sentralvinkel ASB = 2*acos(3/4)")
print("Numerisk sentralvinkel i grader =", float(theta*180/pi))
print("Konstruksjonen av C bruker en 45-graders stråle fra B.")

Utskrift fra Python:
Gitt radius = r
Kordelengde AB = 3*r/2
AB/(2r) = 3/4
Sentralvinkel ASB = 2*acos(3/4)
Numerisk sentralvinkel i grader = 82.81924421854171
Konstruksjonen av C bruker en 45-graders stråle fra B.

Fasit: Konstruksjonen gir en innskrevet trekant med \(AB=3r/2\) og \(\angle ABC=45^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en fortegnsanalyse av den deriverte. Fortegnet til \(f^{\prime}\) bestemmer om \(f\) vokser eller avtar.

Steg 1 — Finn nullpunktene til den deriverte

\[2(x+1)(x-3)=0\Rightarrow x=-1\quad\text{eller}\quad x=3.\]

Steg 2 — Del tallinjen i intervaller

Nullpunktene gir intervallene \(( -\infty,-1)\), \((-1,3)\) og \((3,\infty)\).

Steg 3 — Bestem fortegnet før -1

For \(x<-1\) er begge parentesene negative. Produktet og dermed \(f^{\prime}(x)\) er positivt.

Steg 4 — Bestem fortegnet mellom -1 og 3

Her er \(x+1>0\) og \(x-3<0\), så \(f^{\prime}(x)<0\).

Steg 5 — Bestem fortegnet etter 3

For \(x>3\) er begge parentesene positive, så \(f^{\prime}(x)>0\).

Steg 6 — Oversett til vekst og avtakning

Funksjonen vokser der \(f^{\prime}>0\) og avtar der \(f^{\prime}<0\). Derfor vokser den for \(x<-1\) og \(x>3\), og avtar for \(-1<x<3\).

Steg 7 — Klassifiser x=-1

Fortegnet skifter fra positivt til negativt ved \(x=-1\). Grafen har derfor et toppunkt med førstekoordinat \(-1\).

Steg 8 — Klassifiser x=3

Fortegnet skifter fra negativt til positivt ved \(x=3\). Grafen har derfor et bunnpunkt med førstekoordinat \(3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality

x = symbols('x', real=True)
f_prime = 2*(x + 1)*(x - 3)

print("f'(x) =", factor(f_prime))
print("Kritiske x-verdier =", [-1, 3])
print("f'(-2) =", f_prime.subs(x, -2))
print("f'(0) =", f_prime.subs(x, 0))
print("f'(4) =", f_prime.subs(x, 4))
print("f'(x) > 0 når", solve_univariate_inequality(f_prime > 0, x))
print("f'(x) < 0 når", solve_univariate_inequality(f_prime < 0, x))

Utskrift fra Python:
f'(x) = 2*(x - 3)*(x + 1)
Kritiske x-verdier = [-1, 3]
f'(-2) = 10
f'(0) = -6
f'(4) = 10
f'(x) > 0 når (3 < x) | (x < -1)
f'(x) < 0 når (-1 < x) & (x < 3)

Fasit: \(f\) vokser på \(( -\infty,-1)\) og \((3,\infty)\), avtar på \((-1,3)\), har toppunkt ved \(x=-1\) og bunnpunkt ved \(x=3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere \(f^{\prime}\) og finne hvor \(f^{\prime\prime}\) skifter fortegn. Et nullpunkt alene er ikke nok; fortegnsskiftet må kontrolleres.

Steg 1 — Utvid den deriverte

\[f^{\prime}(x)=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6.\]

Steg 2 — Deriver én gang til

\[f^{\prime\prime}(x)=4x-4.\]

Steg 3 — Finn kandidat til vendepunkt

\[4x-4=0\Rightarrow x=1.\]

Steg 4 — Kontroller fortegnet til venstre

For eksempel er \(f^{\prime\prime}(0)=-4<0\). Grafen er konkav ned før \(x=1\).

Steg 5 — Kontroller fortegnet til høyre

For eksempel er \(f^{\prime\prime}(2)=4>0\). Grafen er konkav opp etter \(x=1\).

Steg 6 — Konkluder om vendepunkt

Andrederiverten skifter fortegn fra negativ til positiv ved \(x=1\). Grafen har derfor et vendepunkt der.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, solve, sign

x = symbols('x', real=True)
f_prime = 2*(x + 1)*(x - 3)
f_second = diff(f_prime, x)
rot = solve(f_second, x)

print("f'(x) =", f_prime.expand())
print("f''(x) =", f_second)
print("Løsning av f''(x)=0 =", rot)
print("f''(0) =", f_second.subs(x, 0))
print("f''(2) =", f_second.subs(x, 2))
print("Fortegnet skifter fra negativt til positivt ved x = 1.")

Utskrift fra Python:
f'(x) = 2*x**2 - 4*x - 6
f''(x) = 4*x - 4
Løsning av f''(x)=0 = [1]
f''(0) = -4
f''(2) = 4
Fortegnet skifter fra negativt til positivt ved x = 1.

Fasit: Førstekoordinaten til vendepunktet er \(x=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere ekstremalpunktene fra fortegnet til \(g^{\prime}\), deretter derivere generelt og vise at den lineære andrederiverten har nøyaktig ett nullpunkt.

Steg 1 — Finn de stasjonære x-verdiene

Siden \(a>0\), er \(g^{\prime}(x)=0\) når \(x=b\) eller \(x=c\).

Steg 2 — Klassifiser b og c

For \(x<b\) er begge parentesene negative, så \(g^{\prime}>0\). Mellom \(b\) og \(c\) er \(g^{\prime}<0\), og etter \(c\) er \(g^{\prime}>0\). Dermed er \(x_{maks}=b\) og \(x_{min}=c\).

Steg 3 — Utvid g-prime

\[g^{\prime}(x)=a\bigl(x^2-(b+c)x+bc\bigr).\]

Steg 4 — Finn andrederiverten

\[g^{\prime\prime}(x)=a(2x-b-c).\]

Steg 5 — Forklar hvorfor det bare finnes ett nullpunkt

Andrederiverten er en lineær funksjon med stigningstall \(2a>0\). Den kan derfor krysse x-aksen nøyaktig én gang.

Steg 6 — Løs g-dobbelprime lik null

\[a(2x-b-c)=0.\] Siden \(a>0\), får vi \[2x-b-c=0\Rightarrow x=\frac{b+c}{2}.\]

Steg 7 — Kontroller fortegnsskiftet

Når \(x<(b+c)/2\), er \(g^{\prime\prime}<0\), og når \(x>(b+c)/2\), er \(g^{\prime\prime}>0\). Punktet er derfor et reelt vendepunkt.

Steg 8 — Knytt til ekstremalpunktene

Fordi \(x_{maks}=b\) og \(x_{min}=c\), er \[x_{vende}=\frac{x_{maks}+x_{min}}2.\] Dette er nøyaktig midtpunktet mellom dem.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, diff, solve, simplify

x, a, b, c = symbols('x a b c', positive=True)
g_prime = a*(x-b)*(x-c)
g_second = diff(g_prime, x)
x_vende = solve(g_second, x)[0]
midtpunkt = (b+c)/2

print("g'(x) =", g_prime)
print("Utvidet g'(x) =", expand(g_prime))
print("g''(x) =", expand(g_second))
print("Løsning av g''(x)=0 =", x_vende)
print("Midtpunkt mellom b og c =", midtpunkt)
print("Forskjell =", simplify(x_vende - midtpunkt))

Utskrift fra Python:
g'(x) = a*(-b + x)*(-c + x)
Utvidet g'(x) = a*b*c - a*b*x - a*c*x + a*x**2
g''(x) = -a*b - a*c + 2*a*x
Løsning av g''(x)=0 = b/2 + c/2
Midtpunkt mellom b og c = b/2 + c/2
Forskjell = 0

Fasit: Grafen har ett vendepunkt, med førstekoordinat \(x=(b+c)/2=(x_{maks}+x_{min})/2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge 5 av 12 kamper uten å ta hensyn til rekkefølgen. Derfor bruker vi en binomialkoeffisient.

Steg 1 — Identifiser type valg

Et utvalg bestemmes bare av hvilke fem kamper som velges, ikke rekkefølgen de listes i.

Steg 2 — Velg kombinasjonsformelen

Antallet er \[\binom{12}{5}=\frac{12!}{5!(12-5)!}.\]

Steg 3 — Skriv ut produktet

\[\binom{12}{5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.\]

Steg 4 — Forkort faktorer

Nevneren er \(120\), og telleren er \(95040\).

Steg 5 — Regn kvotienten

\[95040/120=792.\]

Steg 6 — Tolk svaret

Det finnes 792 forskjellige måter å velge hvilke fem kamper som skal markeres som hjemmeseire.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb

n = 12
k = 5
antall = comb(n, k)

print("Antall kamper =", n)
print("Antall som skal velges =", k)
print("Binomialkoeffisient C(12,5) =", antall)
print("Kontroll med fakulteter: 12!/(5!*7!) =", antall)

Utskrift fra Python:
Antall kamper = 12
Antall som skal velges = 5
Binomialkoeffisient C(12,5) = 792
Kontroll med fakulteter: 12!/(5!*7!) = 792

Fasit: \(\binom{12}{5}=792\) utvalg.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen. Hver av de sju uavhengige plassene har to mulige symboler.

Steg 1 — Tell de åpne plassene

Etter at fem hjemmeseire er fastsatt, gjenstår \(12-5=7\) kamper.

Steg 2 — Tell mulighetene per plass

Hver gjenværende kamp kan fylles ut med U eller B, altså 2 muligheter.

Steg 3 — Bruk produktregelen

Antallet blir \[2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^7.\]

Steg 4 — Regn potensen

\[2^7=128.\]

Steg 5 — Forklar hvorfor plassene er forskjellige

Et valg av U/B i kamp 1 og kamp 2 er forskjellig fra det omvendte valget, fordi kampene har faste posisjoner på kupongen.

Steg 6 — Tolk svaret

For hvert bestemt utvalg av fem hjemmeseire finnes det 128 mulige utfyllinger av resten.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from itertools import product

valg = list(product(['U', 'B'], repeat=7))

print("Antall resterende kamper = 7")
print("Muligheter per kamp = 2 (U eller B)")
print("Totalt antall utfyllinger = 2**7 =", 2**7)
print("Første fem mønstre =", valg[:5])
print("Siste mønster =", valg[-1])

Utskrift fra Python:
Antall resterende kamper = 7
Muligheter per kamp = 2 (U eller B)
Totalt antall utfyllinger = 2**7 = 128
Første fem mønstre = [('U', 'U', 'U', 'U', 'U', 'U', 'U'), ('U', 'U', 'U', 'U', 'U', 'U', 'B'), ('U', 'U', 'U', 'U', 'U', 'B', 'U'), ('U', 'U', 'U', 'U', 'U', 'B', 'B'), ('U', 'U', 'U', 'U', 'B', 'U', 'U')]
Siste mønster = ('B', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B')

Fasit: \(128\) måter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle gunstige rekker og dele på antallet mulige rekker. En tilfeldig utfylt rekke betyr at H, U og B behandles som like sannsynlige på hver kamp.

Steg 1 — Tell alle mulige rekker

Hver av 12 kamper har 3 muligheter. Produktregelen gir \[3^{12}=531441\] mulige rekker.

Steg 2 — Velg plassene til hjemmeseirene

De fem H-ene kan plasseres på \(\binom{12}{5}=792\) måter.

Steg 3 — Fyll ut de andre plassene

De sju resterende kampene kan hver være U eller B, så det finnes \(2^7=128\) utfyllinger.

Steg 4 — Tell gunstige rekker

\[792\cdot128=101376.\]

Steg 5 — Sett opp sannsynligheten

\[P=\frac{101376}{531441}.\]

Steg 6 — Forkort brøken

Telleren og nevneren kan forkortes med \(9\): \[P=\frac{11264}{59049}.\]

Steg 7 — Regn desimalverdi

\[P\approx0.190756.\]

Steg 8 — Tolk i prosent

Sannsynligheten er omtrent \(19.1\%\). Dette er sannsynligheten under modellen med tre like sannsynlige utfall per kamp.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
from fractions import Fraction

favorabel = comb(12, 5) * 2**7
totalt = 3**12
sannsynlighet = Fraction(favorabel, totalt)

print("Utvalg av fem H =", comb(12, 5))
print("Utfyllinger av de sju andre =", 2**7)
print("Gunstige rekker =", favorabel)
print("Alle mulige rekker =", totalt)
print("Eksakt sannsynlighet =", sannsynlighet)
print("Desimaltall =", float(sannsynlighet))
print("Prosent =", float(sannsynlighet)*100)

Utskrift fra Python:
Utvalg av fem H = 792
Utfyllinger av de sju andre = 128
Gunstige rekker = 101376
Alle mulige rekker = 531441
Eksakt sannsynlighet = 11264/59049
Desimaltall = 0.19075682907415875
Prosent = 19.075682907415874

Fasit: \(P=\frac{11264}{59049}\approx0.1908\approx19.1\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en parametrisk kurve. Det betyr at vi beregner punkter for flere t-verdier og følger retningen når t øker.

Steg 1 — Finn endepunktet ved t=-2

\[\vec r(-2)=[-8+3,-2+1]=[-5,-1].\]

Steg 2 — Finn noen mellomliggende punkter

\(\vec r(-1)=[2,0]\), \(\vec r(0)=[3,1]\) og \(\vec r(1)=[4,2]\).

Steg 3 — Finn endepunktet ved t=2

\[\vec r(2)=[8+3,2+1]=[11,3].\]

Steg 4 — Eliminer parameteren

Fra \(y=t+1\) får vi \(t=y-1\). Dermed er \[x=(y-1)^3+3.\]

Steg 5 — Beskriv kurveformen

Kurven er en sideveis kubisk kurve. Den går gjennom \((3,1)\) og er flat i x-retningen der \(t=0\).

Steg 6 — Marker bevegelsesretningen

Når \(t\) øker fra \(-2\) til \(2\), går partikkelen fra \((-5,-1)\) via \((3,1)\) til \((11,3)\).

Steg 7 — Tegn bare riktig parameterintervall

Grafen skal begrenses til punktene som svarer til \(-2\le t\le2\), ikke hele den uendelige kubiske kurven.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols

t = symbols('t', real=True)
x = t**3 + 3
y = t + 1

print("x(t) =", x)
print("y(t) =", y)
for verdi in [-2, -1, 0, 1, 2]:
    punkt = (x.subs(t, verdi), y.subs(t, verdi))
    print(f"t = {verdi:2d} -> punkt {punkt}")
print("Eliminering av parameteren: t = y - 1")
print("Dermed x = (y - 1)**3 + 3")

Utskrift fra Python:
x(t) = t**3 + 3
y(t) = t + 1
t = -2 -> punkt (-5, -1)
t = -1 -> punkt (2, 0)
t =  0 -> punkt (3, 1)
t =  1 -> punkt (4, 2)
t =  2 -> punkt (11, 3)
Eliminering av parameteren: t = y - 1
Dermed x = (y - 1)**3 + 3

Fasit: Kurven går fra \((-5,-1)\) til \((11,3)\) gjennom blant annet \((3,1)\) og \((4,2)\), i retning av økende \(t\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere posisjonsvektoren koordinatvis. Deretter beregner vi vektorene ved t=1 og plasserer dem med startpunkt i partikkelens posisjon \(\vec r(1)\).

Steg 1 — Skriv posisjonskomponentene

\(x(t)=t^3+3\) og \(y(t)=t+1\).

Steg 2 — Deriver x-komponenten

\[x^{\prime}(t)=3t^2.\]

Steg 3 — Deriver y-komponenten

\[y^{\prime}(t)=1.\]

Steg 4 — Sett sammen fartsvektoren

\[\vec v(t)=\vec r^{\prime}(t)=[3t^2,1].\]

Steg 5 — Deriver fartsvektoren

\[\vec a(t)=\vec v^{\prime}(t)=[6t,0].\]

Steg 6 — Finn posisjonen ved t=1

\[\vec r(1)=[1^3+3,1+1]=[4,2].\]

Steg 7 — Finn vektorene ved t=1

\[\vec v(1)=[3,1],\qquad \vec a(1)=[6,0].\]

Steg 8 — Forklar markeringen

Begge vektorene tegnes med startpunkt i \((4,2)\). Fartsvektoren peker tre enheter mot høyre og én opp, mens akselerasjonen peker horisontalt mot høyre.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, diff

t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([t**3 + 3, t + 1])
v = r.diff(t)
a = v.diff(t)

print("r(t) =", tuple(r))
print("v(t) = r'(t) =", tuple(v))
print("a(t) = v'(t) =", tuple(a))
print("r(1) =", tuple(r.subs(t, 1)))
print("v(1) =", tuple(v.subs(t, 1)))
print("a(1) =", tuple(a.subs(t, 1)))

Utskrift fra Python:
r(t) = (t**3 + 3, t + 1)
v(t) = r'(t) = (3*t**2, 1)
a(t) = v'(t) = (6*t, 0)
r(1) = (4, 2)
v(1) = (3, 1)
a(1) = (6, 0)

Fasit: \(\vec v(t)=[3t^2,1]\), \(\vec a(t)=[6t,0]\), \(\vec v(1)=[3,1]\) og \(\vec a(1)=[6,0]\).

Hva spør oppgaven om? En vektor er parallell med y-aksen når x-komponenten er null og y-komponenten ikke er null. Vi bruker dette på \(\vec v(t)=[3t^2,1]\).

Steg 1 — Skriv fartsvektoren

Fra forrige del har vi \[\vec v(t)=[3t^2,1].\]

Steg 2 — Formuler parallellitetskravet

For å være parallell med y-aksen må den horisontale komponenten være null: \[3t^2=0.\]

Steg 3 — Løs likningen

\[t^2=0\Rightarrow t=0.\]

Steg 4 — Kontroller at vektoren ikke er null

\[\vec v(0)=[0,1].\] Den peker rett opp og er derfor parallell med y-aksen.

Steg 5 — Finn punktet på kurven

\[\vec r(0)=[0^3+3,0+1]=[3,1].\]

Steg 6 — Konkluder entydig

Det finnes bare én løsning av \(3t^2=0\), så kurven har bare ett slikt punkt i det aktuelle parameterintervallet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, solve

t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([t**3 + 3, t + 1])
v = r.diff(t)
losning = solve(v[0], t)

print("v(t) =", tuple(v))
print("Krav for parallellitet med y-aksen: x-komponenten i v er 0")
print("Løsning av 3*t**2 = 0:", losning)
for verdi in losning:
    print("t =", verdi)
    print("v(t) =", tuple(v.subs(t, verdi)))
    print("r(t) =", tuple(r.subs(t, verdi)))

Utskrift fra Python:
v(t) = (3*t**2, 1)
Krav for parallellitet med y-aksen: x-komponenten i v er 0
Løsning av 3*t**2 = 0: [0]
t = 0
v(t) = (0, 1)
r(t) = (3, 1)

Fasit: Punktet er \((3,1)\), og der er \(\vec v(0)=[0,1]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tangentens stigningstall ved å derivere, og deretter bruke ettpunktsformelen for en rett linje gjennom P.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f^{\prime}(x)=3x^2.\]

Steg 2 — Finn stigningstallet ved x=1

\[f^{\prime}(1)=3\cdot1^2=3.\]

Steg 3 — Bruk punktet P

Tangenten går gjennom \((1,1)\) og har stigningstall 3.

Steg 4 — Skriv ettpunktsformelen

\[y-1=3(x-1).\]

Steg 5 — Multipliser ut

\[y-1=3x-3.\]

Steg 6 — Isoler y

\[y=3x-2.\]

Steg 7 — Kontroller punktet

Setter vi \(x=1\), får vi \(y=3-2=1\), så linjen går gjennom P.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = x**3
x0 = 1
y0 = f.subs(x, x0)
stigning = diff(f, x).subs(x, x0)
tangent = simplify(y0 + stigning*(x-x0))

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", diff(f, x))
print("P =", (x0, y0))
print("Stigningstall f'(1) =", stigning)
print("Tangentlikning y =", tangent)
print("Kontroll ved x=1: y =", tangent.subs(x, 1))

Utskrift fra Python:
f(x) = x**3
f'(x) = 3*x**2
P = (1, 1)
Stigningstall f'(1) = 3
Tangentlikning y = 3*x - 2
Kontroll ved x=1: y = 1

Fasit: \(T_1:y=3x-2\).

Hva spør oppgaven om? Fellespunkter oppfyller både \(y=x^3\) og \(y=3x-2\). Vi setter uttrykkene lik hverandre og bruker at x=1 allerede er et kjent tangentpunkt.

Steg 1 — Sett funksjonsverdiene lik hverandre

I et fellespunkt er \[x^3=3x-2.\]

Steg 2 — Samle alt på én side

\[x^3-3x+2=0.\] Derfor må x-koordinaten til Q løse denne likningen.

Steg 3 — Bruk det kjente nullpunktet

Punktet P har \(x=1\), og \(1-3+2=0\). Dermed er \(x-1\) en faktor.

Steg 4 — Utfør polynomdivisjon

\[(x^3-3x+2):(x-1)=x^2+x-2.\]

Steg 5 — Faktoriser kvotienten

\[x^2+x-2=(x-1)(x+2).\]

Steg 6 — Skriv full faktorisering

\[x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2).\]

Steg 7 — Finn det andre x-punktet

Løsningene er \(x=1\) (dobbelt rot fordi linjen er tangent) og \(x=-2\). Q er det andre punktet, så \(x_Q=-2\).

Steg 8 — Finn y-koordinaten

\[y_Q=f(-2)=(-2)^3=-8.\] Dermed er \(Q=(-2,-8)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, div, solve

x = symbols('x', real=True)
polynom = x**3 - 3*x + 2
kvotient, rest = div(polynom, x-1)
rotter = solve(polynom, x)

print("Skjæringslikning: x**3 = 3*x - 2")
print("Nulluttrykk =", polynom)
print("Divisjon med x - 1 gir kvotient =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Faktorisert uttrykk =", factor(polynom))
print("Løsninger med multiplisitet =", rotter)
print("Andre skjæringspunkt Q =", (-2, (-2)**3))

Utskrift fra Python:
Skjæringslikning: x**3 = 3*x - 2
Nulluttrykk = x**3 - 3*x + 2
Divisjon med x - 1 gir kvotient = x**2 + x - 2
Rest = 0
Faktorisert uttrykk = (x - 1)**2*(x + 2)
Løsninger med multiplisitet = [-2, 1]
Andre skjæringspunkt Q = (-2, -8)

Fasit: \(Q=(-2,-8)\).

Hva spør oppgaven om? Parallelle linjer har samme stigningstall. Vi setter derfor den deriverte til f lik stigningstallet 3 og velger løsningen som ikke er det kjente punktet P.

Steg 1 — Finn stigningstallet til T1

Fra del a er stigningstallet \(3\).

Steg 2 — Skriv den deriverte

\[f^{\prime}(x)=3x^2.\]

Steg 3 — Sett opp parallellitetskravet

\[3x^2=3.\]

Steg 4 — Løs likningen

\[x^2=1\Rightarrow x=1\quad\text{eller}\quad x=-1.\]

Steg 5 — Fjern det kjente punktet

\(x=1\) gir P og tangenten \(T_1\). Det nye tangeringspunktet må derfor ha \(x=-1\).

Steg 6 — Finn y-koordinaten

\[f(-1)=(-1)^3=-1.\]

Steg 7 — Oppgi punktet

Dermed er \[R=(-1,-1).\]

Steg 8 — Ekstra kontroll av tangenten

Linjen gjennom R med stigningstall 3 er \(y+1=3(x+1)\), altså \(T_2:y=3x+2\), parallell med \(T_1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, solve, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = x**3
f_prime = diff(f, x)
k = 3
losninger = solve(f_prime-k, x)

print("f'(x) =", f_prime)
print("Krav for parallell tangent: f'(x) =", k)
print("Løsninger =", losninger)
for rot in losninger:
    print(f"Punkt ved x={rot}:", (rot, f.subs(x, rot)))
print("Det nye tangeringspunktet R =", (-1, -1))
print("Tangent T2: y = 3*x + 2")

Utskrift fra Python:
f'(x) = 3*x**2
Krav for parallell tangent: f'(x) = 3
Løsninger = [-1, 1]
Punkt ved x=-1: (-1, -1)
Punkt ved x=1: (1, 1)
Det nye tangeringspunktet R = (-1, -1)
Tangent T2: y = 3*x + 2

Fasit: \(R=(-1,-1)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal gå fra ledningslengde til omkrets, deretter til sidelengde og til slutt til areal.

Steg 1 — Finn ledningen til kvadratet

Totallengden er 10 m, og x m går til trekanten. Kvadratet får derfor \(10-x\) meter ledning.

Steg 2 — Tolk lengden som omkrets

Ledningsdelen danner de fire sidene i kvadratet, så omkretsen er \(10-x\).

Steg 3 — Finn sidelengden

Alle fire sider er like lange: \[s=\frac{10-x}{4}.\]

Steg 4 — Bruk arealformelen

Arealet av et kvadrat er \(s^2\).

Steg 5 — Sett inn s

\[F_1(x)=\left(\frac{10-x}{4}\right)^2.\]

Steg 6 — Forenkle

\[F_1(x)=\frac{(10-x)^2}{16}=\frac1{16}(10-x)^2.\]

Steg 7 — Angi domenet

Fordi begge ledningsdelene skal ha ikke-negativ lengde, er \(0\le x\le10\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand

x = symbols('x', real=True)
kvadrat_omkrets = 10-x
side = kvadrat_omkrets/4
F1 = side**2

print("Ledning til kvadratet =", kvadrat_omkrets)
print("Sidelengde i kvadratet =", side)
print("Areal F1(x) =", F1)
print("Utvidet form =", expand(F1))

Utskrift fra Python:
Ledning til kvadratet = 10 - x
Sidelengde i kvadratet = 5/2 - x/4
Areal F1(x) = (5/2 - x/4)**2
Utvidet form = x**2/16 - 5*x/4 + 25/4

Fasit: \(F_1(x)=\frac1{16}(10-x)^2\), for \(0\le x\le10\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sidelengden fra omkretsen x og bruke arealformelen for en likesidet trekant.

Steg 1 — Tolk x som omkrets

Hele den x meter lange ledningsdelen danner trekantens tre like sider.

Steg 2 — Finn sidelengden

\[s=\frac{x}{3}.\]

Steg 3 — Bruk arealformelen

En likesidet trekant med side s har areal \[A=\frac{\sqrt3}{4}s^2.\]

Steg 4 — Sett inn s=x/3

\[F_2(x)=\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{x}{3}\right)^2.\]

Steg 5 — Kvadrer brøken

\[\left(\frac{x}{3}\right)^2=\frac{x^2}{9}.\]

Steg 6 — Forenkle

\[F_2(x)=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{x^2}{9}=\frac{\sqrt3}{36}x^2.\]

Steg 7 — Kontroller med høydeformelen

Høyden er \(s\sqrt3/2\), og \(A=sh/2\) gir det samme uttrykket.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, simplify

x = symbols('x', nonnegative=True)
side = x/3
hoyde = sqrt(3)*side/2
F2_via_grunnlinje_hoyde = side*hoyde/2
F2_standard = sqrt(3)*side**2/4

print("Trekantens omkrets = x")
print("Sidelengde =", side)
print("Høyde =", hoyde)
print("Areal via grunnlinje*høyde/2 =", simplify(F2_via_grunnlinje_hoyde))
print("Areal via standardformel =", simplify(F2_standard))
print("Forskjell mellom uttrykkene =", simplify(F2_via_grunnlinje_hoyde-F2_standard))

Utskrift fra Python:
Trekantens omkrets = x
Sidelengde = x/3
Høyde = sqrt(3)*x/6
Areal via grunnlinje*høyde/2 = sqrt(3)*x**2/36
Areal via standardformel = sqrt(3)*x**2/36
Forskjell mellom uttrykkene = 0

Fasit: \(F_2(x)=\frac{\sqrt3}{36}x^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal minimere den samlede arealfunksjonen på domenet \(0\le x\le10\). Vi finner et kritisk punkt med den deriverte og bruker andrederiverten til å bevise minimum.

Steg 1 — Sett opp totalfunksjonen

\[F(x)=\frac{(10-x)^2}{16}+\frac{\sqrt3}{36}x^2.\]

Steg 2 — Deriver første ledd

\[\frac{d}{dx}\frac{(10-x)^2}{16}=\frac{x-10}{8}.\]

Steg 3 — Deriver andre ledd

\[\frac{d}{dx}\frac{\sqrt3}{36}x^2=\frac{\sqrt3}{18}x.\]

Steg 4 — Sett den deriverte lik null

\[F^{\prime}(x)=\frac{x-10}{8}+\frac{\sqrt3}{18}x=0.\]

Steg 5 — Fjern nevnerne

Multiplikasjon med 72 gir \[9(x-10)+4\sqrt3x=0.\]

Steg 6 — Løs for x

\[x(9+4\sqrt3)=90\Rightarrow x=\frac{90}{9+4\sqrt3}.\]

Steg 7 — Finn numerisk verdi

\[x\approx5.6506\text{ m}.\] Da brukes \(10-x\approx4.3494\) m til kvadratet.

Steg 8 — Bevis at punktet er et minimum

\[F^{\prime\prime}(x)=\frac18+\frac{\sqrt3}{18}>0.\] Funksjonen er strengt konveks, så det kritiske punktet er det entydige globale minimumet på intervallet.

Steg 9 — Oppgi eventuelt minste areal

\[F_{min}=\frac{25\sqrt3}{9+4\sqrt3}\approx2.7185\text{ m}^2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, solve, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
F1 = (10-x)**2/16
F2 = sqrt(3)*x**2/36
F = simplify(F1+F2)
F_prime = simplify(diff(F,x))
F_second = simplify(diff(F_prime,x))
x_min = simplify(solve(F_prime,x)[0])
F_min = simplify(F.subs(x,x_min))

print("F1(x) =", F1)
print("F2(x) =", F2)
print("F(x) =", F)
print("F'(x) =", F_prime)
print("F''(x) =", F_second)
print("Kritisk punkt x =", x_min)
print("x numerisk =", N(x_min,10))
print("Lengde til kvadratet 10-x =", N(10-x_min,10))
print("Minste samlet areal =", F_min)
print("Minste areal numerisk =", N(F_min,10))

Utskrift fra Python:
F1(x) = (10 - x)**2/16
F2(x) = sqrt(3)*x**2/36
F(x) = sqrt(3)*x**2/36 + (x - 10)**2/16
F'(x) = sqrt(3)*x/18 + x/8 - 5/4
F''(x) = sqrt(3)/18 + 1/8
Kritisk punkt x = 270/11 - 120*sqrt(3)/11
x numerisk = 5.650354827
Lengde til kvadratet 10-x = 4.349645173
Minste samlet areal = -100/11 + 75*sqrt(3)/11
Minste areal numerisk = 2.718528233

Fasit: Ledningen kuttes slik at trekanten får \(x=\frac{90}{9+4\sqrt3}\approx5.651\) m og kvadratet får ca. \(4.349\) m. Minste areal er ca. \(2.718\text{ m}^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at D ligger på sirkelen, slik at SD er en radius. Sammen med det gitte AD=r får vi en likebeint trekant.

Steg 1 — Bruk det gitte

Oppgaven gir \(AD=r\).

Steg 2 — Bruk radiusen

D ligger på sirkelen med sentrum S, så \(SD=r\).

Steg 3 — Sammenlign sidene

Dermed er \(AD=SD\).

Steg 4 — Klassifiser trekanten

Trekant \(ASD\) er likebeint med de like sidene \(AD\) og \(SD\). Grunnlinjen er \(AS\).

Steg 5 — Bruk grunnvinkelsetningen

Vinklene som ligger mot de like sidene, altså vinklene ved A og S, er like.

Steg 6 — Sett inn definisjonen av x

Siden \(x=\angle SAD\), får vi \[\angle ASD=\angle SAD=x.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq

r, x = symbols('r x', positive=True)

print("Gitt AD = r")
print("D ligger på sirkelen med sentrum S, derfor SD = r")
print("Dermed AD = SD")
print("Trekant ASD er likebeint med grunnlinje AS")
print("Grunnvinklene er like: vinkel SAD = vinkel ASD = x")

Utskrift fra Python:
Gitt AD = r
D ligger på sirkelen med sentrum S, derfor SD = r
Dermed AD = SD
Trekant ASD er likebeint med grunnlinje AS
Grunnvinklene er like: vinkel SAD = vinkel ASD = x

Fasit: \(\angle ASD=x\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne den tredje vinkelen i trekant ASD, bruke at A-D-C er en rett linje, og til slutt bruke at SD og SC er radier.

Steg 1 — Bruk resultatet fra a

I trekant ASD er \(\angle SAD=x\) og \(\angle ASD=x\).

Steg 2 — Finn vinkelen ved D i trekant ASD

Vinkelsummen gir \[\angle ADS=180^{\circ}-x-x=180^{\circ}-2x.\]

Steg 3 — Bruk den rette linjen A-D-C

Strålene DA og DC er motsatte. Derfor er \(\angle ADS\) og \(\angle SDC\) supplementvinkler.

Steg 4 — Finn vinkelen SDC

\[\angle SDC=180^{\circ}-(180^{\circ}-2x)=2x.\]

Steg 5 — Bruk radiusene

D og C ligger på sirkelen, så \(SD=SC=r\).

Steg 6 — Klassifiser trekant SDC

Trekant SDC er likebeint med grunnlinje DC. Derfor er grunnvinklene ved D og C like.

Steg 7 — Konkluder

\[\angle SDC=\angle SCD=2x.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify

x = symbols('x', real=True)
vinkel_ADS = 180 - 2*x
vinkel_SDC = 180 - vinkel_ADS

print("I trekant ASD er vinklene ved A og S begge x.")
print("Vinkel ADS =", vinkel_ADS)
print("A, D og C ligger på en rett linje.")
print("Vinkel SDC = 180 - vinkel ADS =", simplify(vinkel_SDC))
print("SD = SC = r, så trekant SDC er likebeint.")
print("Derfor vinkel SCD =", simplify(vinkel_SDC))

Utskrift fra Python:
I trekant ASD er vinklene ved A og S begge x.
Vinkel ADS = 180 - 2*x
A, D og C ligger på en rett linje.
Vinkel SDC = 180 - vinkel ADS = 2*x
SD = SC = r, så trekant SDC er likebeint.
Derfor vinkel SCD = 2*x

Fasit: \(\angle SDC=\angle SCD=2x\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere vinklene fra de to trekantene og bruke at A, S og B ligger på en rett linje. Det er viktig å ta med vinkelen x mellom SA og SD.

Steg 1 — Bruk resultatet fra b

I trekant SDC er vinklene ved D og C begge \(2x\).

Steg 2 — Finn vinkelen ved S i trekant SDC

\[\angle DSC=180^{\circ}-2x-2x=180^{\circ}-4x.\]

Steg 3 — Finn hele vinkelen ASC

Vinkelen fra SA til SC består av \(\angle ASD\) og \(\angle DSC\): \[\angle ASC=x+(180^{\circ}-4x)=180^{\circ}-3x.\]

Steg 4 — Bruk den rette linjen A-S-B

Strålene SA og SB er motsatte. Derfor er \(\angle ASC\) og \(\angle BSC\) supplementvinkler.

Steg 5 — Sett inn definisjonen av y

Siden \(y=\angle BSC\), får vi \[y=180^{\circ}-\angle ASC.\]

Steg 6 — Forenkle

\[y=180^{\circ}-(180^{\circ}-3x)=3x.\]

Steg 7 — Konkluder eksplisitt

Sammenhengen mellom de markerte vinklene er dermed \(y=3x\), som skulle vises.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify

x = symbols('x', real=True)
vinkel_DSC = 180 - 4*x
vinkel_ASC = x + vinkel_DSC
y = 180 - vinkel_ASC

print("Vinkel SDC = vinkel SCD = 2*x")
print("Vinkel DSC = 180 - 2*x - 2*x =", vinkel_DSC)
print("Vinkel ASC = vinkel ASD + vinkel DSC =", simplify(vinkel_ASC))
print("A, S og B ligger på en rett linje.")
print("y = vinkel BSC = 180 - vinkel ASC =", simplify(y))

Utskrift fra Python:
Vinkel SDC = vinkel SCD = 2*x
Vinkel DSC = 180 - 2*x - 2*x = 180 - 4*x
Vinkel ASC = vinkel ASD + vinkel DSC = 180 - 3*x
A, S og B ligger på en rett linje.
y = vinkel BSC = 180 - vinkel ASC = 3*x

Fasit: \(y=3x\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette inn de fire n-verdiene og vise at hvert resultat kan skrives som 3 ganger et helt tall.

Steg 1 — Sett inn n=1

\[4^1-1=3=3\cdot1.\]

Steg 2 — Sett inn n=2

\[4^2-1=16-1=15=3\cdot5.\]

Steg 3 — Sett inn n=3

\[4^3-1=64-1=63=3\cdot21.\]

Steg 4 — Sett inn n=4

\[4^4-1=256-1=255=3\cdot85.\]

Steg 5 — Kontroller restene

Ved divisjon på 3 er resten 0 i alle fire tilfeller.

Steg 6 — Avgrens konklusjonen

Kontrollen viser påstanden for \(n=1,2,3,4\), men er ikke alene et bevis for alle naturlige n.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

for n in range(1, 5):
    verdi = 4**n - 1
    kvotient, rest = divmod(verdi, 3)
    print(f"n = {n}: 4**n - 1 = {verdi} = 3*{kvotient} + {rest}")

Utskrift fra Python:
n = 1: 4**n - 1 = 3 = 3*1 + 0
n = 2: 4**n - 1 = 15 = 3*5 + 0
n = 3: 4**n - 1 = 63 = 3*21 + 0
n = 4: 4**n - 1 = 255 = 3*85 + 0

Fasit: Verdiene er 3, 15, 63 og 255; alle er delelige med 3.

Hva spør oppgaven om? Vi skal omskrive 4^n som et kvadrat og bruke forskjellen av to kvadrater.

Steg 1 — Omskriv grunntallet 4

Siden \(4=2^2\), har vi \[4^n=(2^2)^n=2^{2n}.\]

Steg 2 — Skriv som et kvadrat

\[2^{2n}=(2^n)^2.\]

Steg 3 — Sett inn i uttrykket

\[4^n-1=(2^n)^2-1^2.\]

Steg 4 — Bruk konjugatsetningen

Forskjellen av to kvadrater er \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Steg 5 — Velg a og b

Sett \(a=2^n\) og \(b=1\).

Steg 6 — Faktoriser

\[(2^n)^2-1^2=(2^n-1)(2^n+1).\]

Steg 7 — Konkluder

Dermed er \[4^n-1=(2^n-1)(2^n+1),\] som skulle vises.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, simplify

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
venstre = 4**n - 1
hoyre = (2**n - 1)*(2**n + 1)

print("Venstreside = 4**n - 1")
print("Skriv 4**n som (2**n)**2")
print("Høyreside = (2**n - 1)*(2**n + 1)")
print("Utvidet høyreside =", expand(hoyre))
print("Symbolsk forskjell =", simplify(venstre-hoyre))

Utskrift fra Python:
Venstreside = 4**n - 1
Skriv 4**n som (2**n)**2
Høyreside = (2**n - 1)*(2**n + 1)
Utvidet høyreside = 2**(2*n) - 1
Symbolsk forskjell = 0

Fasit: \(4^n-1=(2^n-1)(2^n+1)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke avstanden mellom tallene og egenskapen at blant tre påfølgende heltall er nøyaktig ett delelig med 3. Deretter utelukker vi midttallet.

Steg 1 — Vis at tallene er hele

Når \(n\) er et naturlig tall, er \(2^n\) et helt tall. Dermed er også \(2^n-1\) og \(2^n+1\) hele tall.

Steg 2 — Sammenlign første og andre tall

\[2^n-(2^n-1)=1.\] De ligger ved siden av hverandre.

Steg 3 — Sammenlign andre og tredje tall

\[(2^n+1)-2^n=1.\] Også disse ligger ved siden av hverandre.

Steg 4 — Konkluder om rekkefølgen

Tallene \(2^n-1,2^n,2^n+1\) er derfor tre påfølgende heltall.

Steg 5 — Bruk restklassene modulo 3

Tre påfølgende heltall har rester 0, 1 og 2 i en eller annen rekkefølge ved divisjon med 3. Nøyaktig ett er derfor delelig med 3.

Steg 6 — Undersøk midttallet

Tallet \(2^n\) er et produkt av bare faktoren 2. Det har ingen faktor 3 og kan derfor ikke være delelig med 3.

Steg 7 — Finn hvor 3-faktoren må ligge

Dermed må ett av tallene \(2^n-1\) eller \(2^n+1\) være delelig med 3.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

for n in range(1, 9):
    tall = (2**n - 1, 2**n, 2**n + 1)
    rester = tuple(v % 3 for v in tall)
    print(f"n={n}: tall={tall}, rester modulo 3={rester}")
print("\n2**n har bare primfaktoren 2 og kan derfor aldri være delelig med 3.")

Utskrift fra Python:
n=1: tall=(1, 2, 3), rester modulo 3=(1, 2, 0)
n=2: tall=(3, 4, 5), rester modulo 3=(0, 1, 2)
n=3: tall=(7, 8, 9), rester modulo 3=(1, 2, 0)
n=4: tall=(15, 16, 17), rester modulo 3=(0, 1, 2)
n=5: tall=(31, 32, 33), rester modulo 3=(1, 2, 0)
n=6: tall=(63, 64, 65), rester modulo 3=(0, 1, 2)
n=7: tall=(127, 128, 129), rester modulo 3=(1, 2, 0)
n=8: tall=(255, 256, 257), rester modulo 3=(0, 1, 2)

2**n har bare primfaktoren 2 og kan derfor aldri være delelig med 3.

Fasit: \(2^n\) kan ikke være delelig med 3; derfor er ett av \(2^n-1\) og \(2^n+1\) delelig med 3.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette sammen faktoriseringen fra b og divisibilitetsargumentet fra c. Beviset må gjelde et vilkårlig naturlig tall n, ikke bare enkelte eksempler.

Steg 1 — Velg et vilkårlig naturlig tall

La \(n\) være et vilkårlig naturlig tall. Da er argumentet ikke bundet til en bestemt verdi av n.

Steg 2 — Bruk faktoriseringen fra b

\[4^n-1=(2^n-1)(2^n+1).\]

Steg 3 — Bruk de tre påfølgende heltallene

Tallene \(2^n-1\), \(2^n\) og \(2^n+1\) er tre påfølgende heltall. Ett av dem er derfor delelig med 3.

Steg 4 — Utelukk midttallet

\(2^n\) er ikke delelig med 3 fordi det bare har primfaktoren 2.

Steg 5 — Plasser faktoren 3

Dermed må enten \(2^n-1\) eller \(2^n+1\) være delelig med 3.

Steg 6 — Bruk produktregelen for divisibilitet

Når én av faktorene i \((2^n-1)(2^n+1)\) er delelig med 3, er hele produktet delelig med 3.

Steg 7 — Knytt produktet tilbake til uttrykket

Produktet er lik \(4^n-1\). Derfor er \(4^n-1\) delelig med 3.

Steg 8 — Avslutt beviset

Siden n var vilkårlig, gjelder resultatet for alle naturlige tall \(n\). Dette fullfører beviset.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

for n in range(1, 13):
    venstre = 4**n - 1
    faktor1 = 2**n - 1
    faktor2 = 2**n + 1
    assert venstre == faktor1*faktor2
    assert venstre % 3 == 0
    print(f"n={n:2d}: 4**n-1={venstre:8d}, faktorer=({faktor1},{faktor2}), rest={venstre%3}")
print("\nKontrollene illustrerer beviset; det generelle beviset følger av faktoriseringen og modulo-3-argumentet.")

Utskrift fra Python:
n= 1: 4**n-1=       3, faktorer=(1,3), rest=0
n= 2: 4**n-1=      15, faktorer=(3,5), rest=0
n= 3: 4**n-1=      63, faktorer=(7,9), rest=0
n= 4: 4**n-1=     255, faktorer=(15,17), rest=0
n= 5: 4**n-1=    1023, faktorer=(31,33), rest=0
n= 6: 4**n-1=    4095, faktorer=(63,65), rest=0
n= 7: 4**n-1=   16383, faktorer=(127,129), rest=0
n= 8: 4**n-1=   65535, faktorer=(255,257), rest=0
n= 9: 4**n-1=  262143, faktorer=(511,513), rest=0
n=10: 4**n-1= 1048575, faktorer=(1023,1025), rest=0
n=11: 4**n-1= 4194303, faktorer=(2047,2049), rest=0
n=12: 4**n-1=16777215, faktorer=(4095,4097), rest=0

Kontrollene illustrerer beviset; det generelle beviset følger av faktoriseringen og modulo-3-argumentet.

Fasit: \(3\mid(4^n-1)\) for alle naturlige tall \(n\).