Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt funksjon. Ytre funksjon er fjerde potens, mens den indre funksjonen er \(x^2+1\), så kjerneregelen er nødvendig.

Steg 1 — Identifiser ytre og indre funksjon

Skriv \(f(x)=u(x)^4\), der \(u(x)=x^2+1\). Dette gjør kjernestrukturen tydelig.

Steg 2 — Deriver den ytre funksjonen

Når \(u\) behandles som én størrelse, er \(\frac{d}{du}(u^4)=4u^3\).

Steg 3 — Deriver den indre funksjonen

Potensregelen gir \(u^{\prime}(x)=2x\).

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

Kjerneregelen sier \[f^{\prime}(x)=4u(x)^3\cdot u^{\prime}(x).\]

Steg 5 — Sett inn uttrykkene

Dermed får vi \[f^{\prime}(x)=4(x^2+1)^3\cdot 2x.\]

Steg 6 — Forenkle

Multipliser konstantene: \[f^{\prime}(x)=8x(x^2+1)^3.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = (x**2 + 1)**4
f_derivert = diff(f, x)
f_faktorisert = factor(f_derivert)
forventet = 8*x*(x**2 + 1)**3

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Faktorisert form =", f_faktorisert)
print("Kontroll mot 8*x*(x**2 + 1)**3 =", simplify(f_derivert - forventet))

Utskrift fra Python:
f(x) = (x**2 + 1)**4
f'(x) = 8*x*(x**2 + 1)**3
Faktorisert form = 8*x*(x**2 + 1)**3
Kontroll mot 8*x*(x**2 + 1)**3 = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=8x(x^2+1)^3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt. I tillegg må eksponentialfunksjonen \(e^{2x}\) deriveres med kjerneregelen.

Steg 1 — Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=e^{2x}\). Da er \(g(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver første faktor

Vi har \(u^{\prime}(x)=1\).

Steg 4 — Deriver eksponentialfaktoren

Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=2e^{2x},\] fordi den indre funksjonen \(2x\) har derivert \(2\).

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

Da blir \[g^{\prime}(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}.\]

Steg 6 — Faktoriser

Trekk ut felles faktor \(e^{2x}\): \[g^{\prime}(x)=e^{2x}(1+2x).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
g = x*exp(2*x)
g_derivert = diff(g, x)
g_faktorisert = factor(g_derivert)
forventet = exp(2*x)*(1 + 2*x)

print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("Faktorisert form =", g_faktorisert)
print("Kontroll mot exp(2*x)*(1 + 2*x) =", simplify(g_derivert - forventet))

Utskrift fra Python:
g(x) = x*exp(2*x)
g'(x) = 2*x*exp(2*x) + exp(2*x)
Faktorisert form = (2*x + 1)*exp(2*x)
Kontroll mot exp(2*x)*(1 + 2*x) = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=e^{2x}(1+2x)\).

Hva spør oppgaven om? Direkte innsetting gir \(0/0\), som er en ubestemt form. Vi må faktorisere og forkorte før grenseverdien beregnes.

Steg 1 — Prøv direkte innsetting

For \(x=2\) blir både teller og nevner lik null. Uttrykket er derfor ikke definert i selve punktet.

Steg 2 — Faktoriser telleren

Trekk ut \(x\): \[x^2-2x=x(x-2).\]

Steg 3 — Skriv om brøken

For \(x\neq 2\) har vi \[\frac{x(x-2)}{x-2}.\]

Steg 4 — Forkort felles faktor

Faktoren \(x-2\) kan forkortes når \(x\neq 2\), og uttrykket blir \(x\).

Steg 5 — Beregn grenseverdien

Når \(x\) nærmer seg \(2\), nærmer det forkortede uttrykket \(x\) seg \(2\).

Steg 6 — Skille funksjonsverdi og grenseverdi

Den opprinnelige brøken har et hull ved \(x=2\), men grenseverdien eksisterer fordi verdiene rundt hullet nærmer seg samme tall.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, limit, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
teller = x**2 - 2*x
nevner = x - 2
forkortet = factor(teller) / nevner
verdi = limit(teller/nevner, x, 2)

print("Faktorisert teller =", factor(teller))
print("Uttrykket for x != 2 =", simplify(forkortet))
print("Grenseverdien når x går mot 2 =", verdi)
print("Kontroll: verdi minus 2 =", simplify(verdi - 2))

Utskrift fra Python:
Faktorisert teller = x*(x - 2)
Uttrykket for x != 2 = x
Grenseverdien når x går mot 2 = 2
Kontroll: verdi minus 2 = 0

Fasit: Grenseverdien er \(2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fellesnevner, samle tellerne og forkorte. Først må alle nevnerne faktoriseres og de utelukkede x-verdiene registreres.

Steg 1 — Faktoriser nevnerne

Vi har \(x^2+2x=x(x+2)\), \(x^2-2x=x(x-2)\) og \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

Steg 2 — Finn definisjonsbegrensningene

Nevnerne kan ikke være null, så \(x\neq -2,0,2\). Disse begrensningene gjelder også etter eventuell forkorting.

Steg 3 — Velg fellesnevner

En minste fellesnevner er \[x(x-2)(x+2).\]

Steg 4 — Utvid hver brøk

Tellerne blir henholdsvis \((x-2)^2\), \(-(x+2)^2\) og \(-4x^2\).

Steg 5 — Samle og utvikle telleren

Vi får \[(x-2)^2-(x+2)^2-4x^2=-4x(x+2).\]

Steg 6 — Forkort felles faktorer

Dermed er brøken \[\frac{-4x(x+2)}{x(x-2)(x+2)}=-\frac4{x-2}.\]

Steg 7 — Behold de opprinnelige restriksjonene

Selv om \(x\) og \(x+2\) er forkortet bort, er \(x=0\) og \(x=-2\) fortsatt ikke tillatt i det opprinnelige uttrykket.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, together, simplify

x = symbols('x', real=True)
uttrykk = (x - 2)/(x**2 + 2*x) - (x + 2)/(x**2 - 2*x) - 4*x/(x**2 - 4)
samlet = together(uttrykk)
forenklet = factor(simplify(uttrykk))

print("Felles brøk =", samlet)
print("Faktorisert og forenklet =", forenklet)
print("Opprinnelige restriksjoner: x != -2, 0, 2")
print("Kontroll mot -4/(x - 2) =", simplify(uttrykk + 4/(x - 2)))

Utskrift fra Python:
Felles brøk = (-4*x**2*(x - 2)*(x + 2) + (x - 2)**2*(x**2 - 4) - (x + 2)**2*(x**2 - 4))/(x*(x - 2)*(x + 2)*(x**2 - 4))
Faktorisert og forenklet = -4/(x - 2)
Opprinnelige restriksjoner: x != -2, 0, 2
Kontroll mot -4/(x - 2) = 0

Fasit: \(-\dfrac4{x-2}\), med \(x\neq -2,0,2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vektorene ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til endepunktet.

Steg 1 — Bruk vektorregelen

For punkter \(P(x_1,y_1)\) og \(Q(x_2,y_2)\) er \(\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\).

Steg 2 — Beregn AB

\[\overrightarrow{AB}=(5-(-2),4-(-1))=(7,5).\]

Steg 3 — Beregn AC

\[\overrightarrow{AC}=(4-(-2),7-(-1))=(6,8).\]

Steg 4 — Beregn BC

\[\overrightarrow{BC}=(4-5,7-4)=(-1,3).\]

Steg 5 — Kontroller retningene

Vektoren \(\overrightarrow{BC}\) peker én enhet mot venstre og tre enheter opp, som stemmer med koordinatene.

Steg 6 — Bruk trekantregelen som kontroll

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(7,5)+(-1,3)=(6,8)=\overrightarrow{AC}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix

A = Matrix([-2, -1])
B = Matrix([5, 4])
C = Matrix([4, 7])
AB = B - A
AC = C - A
BC = C - B

print("AB =", tuple(AB))
print("AC =", tuple(AC))
print("BC =", tuple(BC))
print("Kontroll: AB + BC =", tuple(AB + BC))
print("Dette skal være lik AC =", tuple(AC))

Utskrift fra Python:
AB = (7, 5)
AC = (6, 8)
BC = (-1, 3)
Kontroll: AB + BC = (6, 8)
Dette skal være lik AC = (6, 8)

Fasit: \(\overrightarrow{AB}=(7,5)\), \(\overrightarrow{AC}=(6,8)\), \(\overrightarrow{BC}=(-1,3)\).

Hva spør oppgaven om? To ikke-null vektorer står vinkelrett på hverandre akkurat når skalarproduktet er null. Vi må derfor teste alle tre par.

Steg 1 — Skriv vektorene

Fra forrige del har vi \(\overrightarrow{AB}=(7,5)\), \(\overrightarrow{AC}=(6,8)\) og \(\overrightarrow{BC}=(-1,3)\).

Steg 2 — Test AB og AC

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=7\cdot6+5\cdot8=42+40=82.\]

Steg 3 — Test AB og BC

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=7\cdot(-1)+5\cdot3=-7+15=8.\]

Steg 4 — Test AC og BC

\[\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot(-1)+8\cdot3=-6+24=18.\]

Steg 5 — Sammenlikn med null

Ingen av skalarproduktene er null.

Steg 6 — Trekk konklusjonen

Dermed er ingen av de tre oppgitte vektorparene ortogonale.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix

AB = Matrix([7, 5])
AC = Matrix([6, 8])
BC = Matrix([-1, 3])

products = {
    "AB dot AC": AB.dot(AC),
    "AB dot BC": AB.dot(BC),
    "AC dot BC": AC.dot(BC),
}
for navn, verdi in products.items():
    print(navn, "=", verdi)
print("Antall skalarprodukter som er 0 =", sum(verdi == 0 for verdi in products.values()))

Utskrift fra Python:
AB dot AC = 82
AB dot BC = 8
AC dot BC = 18
Antall skalarprodukter som er 0 = 0

Fasit: Ingen av vektorene står vinkelrett på hverandre.

Hva spør oppgaven om? Vi skal først teste om \(x=1\) er et nullpunkt. Deretter bruker vi faktorteoremet og polynomdivisjon for å faktorisere hele tredjegradspolynomet.

Steg 1 — Beregn funksjonsverdien

\[f(1)=2+8+2-12=0.\]

Steg 2 — Bruk faktorteoremet

Siden \(f(1)=0\), er \(x-1\) en faktor i \(f(x)\).

Steg 3 — Trekk ut konstant faktor

Alle ledd er delelige med \(2\): \[f(x)=2(x^3+4x^2+x-6).\]

Steg 4 — Divider med x minus 1

Polynomdivisjon gir \[x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x^2+5x+6).\]

Steg 5 — Faktoriser andregradsuttrykket

Tallene \(2\) og \(3\) har sum \(5\) og produkt \(6\), derfor \[x^2+5x+6=(x+2)(x+3).\]

Steg 6 — Skriv full faktorisering

\[f(x)=2(x-1)(x+2)(x+3).\]

Steg 7 — Kontroller ved utvidelse

Utvidelse av produktet gir tilbake \(2x^3+8x^2+2x-12\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, expand

x = symbols('x', real=True)
f = 2*x**3 + 8*x**2 + 2*x - 12
verdi = f.subs(x, 1)
faktorisert = factor(f)

print("f(1) =", verdi)
print("f(x) faktorisert =", faktorisert)
print("Utvidet kontroll =", expand(faktorisert))
print("Kontroll mot opprinnelig polynom =", expand(faktorisert - f))

Utskrift fra Python:
f(1) = 0
f(x) faktorisert = 2*(x - 1)*(x + 2)*(x + 3)
Utvidet kontroll = 2*x**3 + 8*x**2 + 2*x - 12
Kontroll mot opprinnelig polynom = 0

Fasit: \(f(1)=0\) og \(f(x)=2(x-1)(x+2)(x+3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker faktoriseringen fra forrige del og lager et fortegnsskjema rundt nullpunktene \(-3\), \(-2\) og \(1\).

Steg 1 — Bruk faktorisert form

\[f(x)=2(x-1)(x+2)(x+3).\] Faktoren \(2\) er alltid positiv og endrer ikke fortegnet.

Steg 2 — Finn kritiske verdier

Nullpunktene er \(x=-3\), \(x=-2\) og \(x=1\). De deler tallinja i fire intervaller.

Steg 3 — Test intervallet til venstre

For \(x<-3\) er alle tre lineære faktorer negative. Produktet av tre negative faktorer er negativt.

Steg 4 — Test mellom minus 3 og minus 2

Her er fortegnene \((-)(-)(+)\) når faktorene ordnes som \((x-1)(x+2)(x+3)\), og produktet er positivt.

Steg 5 — Test mellom minus 2 og 1

Fortegnene blir \((-)(+)(+)\), så produktet er negativt.

Steg 6 — Test til høyre for 1

Alle faktorene er positive, og produktet er positivt.

Steg 7 — Ta med nullpunktene

Ulikheten er \(\le0\), derfor skal punktene der produktet er null inkluderes.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality

x = symbols('x', real=True)
f = 2*x**3 + 8*x**2 + 2*x - 12
faktorisert = factor(f)
losning = solve_univariate_inequality(f <= 0, x)

testpunkter = [-4, -2.5, 0, 2]
print("f(x) =", faktorisert)
for punkt in testpunkter:
    print(f"f({punkt}) =", f.subs(x, punkt))
print("Løsning av f(x) <= 0:", losning)

Utskrift fra Python:
f(x) = 2*(x - 1)*(x + 2)*(x + 3)
f(-4) = -20
f(-2.5) = 1.75000000000000
f(0) = -12
f(2) = 40
Løsning av f(x) <= 0: (x <= -3) | ((-2 <= x) & (x <= 1))

Fasit: \(x\in(-\infty,-3]\cup[-2,1]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregelen og produktregelen for logaritmer. Definisjonskravet er \(a>0\).

Steg 1 — Skriv brøken som potens

\[\frac1{a^2}=a^{-2}.\]

Steg 2 — Bruk potensregelen på første ledd

\[\lg(a^{-2})=-2\lg a.\]

Steg 3 — Behold det andre leddet

Uttrykket blir \[-2\lg a+3\lg a.\]

Steg 4 — Trekk sammen like ledd

\[(-2+3)\lg a=\lg a.\]

Steg 5 — Alternativ produktkontroll

Uttrykket kan også skrives \[\lg(a^{-2})+\lg(a^3)=\lg(a^{-2}a^3)=\lg a.\]

Steg 6 — Oppgi definisjonskravet

Fordi \(\lg a\) forekommer, må \(a>0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, expand_log, simplify

a = symbols('a', positive=True)
uttrykk = log(1/a**2, 10) + 3*log(a, 10)
forenklet = simplify(expand_log(uttrykk, force=True))

print("Forutsetning: a > 0")
print("lg(1/a^2) + 3*lg(a) =", uttrykk)
print("Etter logaritmereglene =", forenklet)
print("Kontroll mot lg(a) =", simplify(forenklet - log(a, 10)))

Utskrift fra Python:
Forutsetning: a > 0
lg(1/a^2) + 3*lg(a) = log(a**(-2))/log(10) + 3*log(a)/log(10)
Etter logaritmereglene = log(a)/log(10)
Kontroll mot lg(a) = 0

Fasit: \(\lg a\), for \(a>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bevise formlikhet ved å sammenlikne vinklene. Høyden gir en rett vinkel i begge de små trekantene.

Steg 1 — Registrer den rette vinkelen i den store trekanten

I \(\triangle ABC\) er \(\angle ACB=90^{\circ}\).

Steg 2 — Bruk at CD er en høyde

Siden \(CD\perp AB\), er både \(\angle ADC\) og \(\angle CDB\) lik \(90^{\circ}\).

Steg 3 — Sammenlikn ABC og ACD

De har samme vinkel ved \(A\), og begge har én rett vinkel. Dermed er også den tredje vinkelen lik.

Steg 4 — Konkluder første formlikhet

Ved VV-kriteriet er \(\triangle ABC\sim\triangle ACD\).

Steg 5 — Sammenlikn ABC og CBD

De har samme vinkel ved \(B\), og begge har én rett vinkel.

Steg 6 — Konkluder andre formlikhet

Ved VV-kriteriet er \(\triangle ABC\sim\triangle CBD\).

Steg 7 — Samle konklusjonen

Fordi begge de små trekantene er formlike med den store, er alle tre trekantene parvis formlike.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq

A, B = symbols('A B', positive=True)
# Vinkelsummer: stor trekant har A + B = 90 grader.
# I trekant ACD er vinkel D 90 grader, så vinkelen ved C er B.
# I trekant CBD er vinkel D 90 grader, så vinkelen ved C er A.

print("I trekant ABC: A + B = 90 grader")
print("Trekant ACD har vinklene A, B og 90 grader")
print("Trekant CBD har vinklene B, A og 90 grader")
print("Alle tre trekanter har derfor samme tre vinkler")
print("Konklusjon: trekantene er formlike etter VV-kriteriet")

Utskrift fra Python:
I trekant ABC: A + B = 90 grader
Trekant ACD har vinklene A, B og 90 grader
Trekant CBD har vinklene B, A og 90 grader
Alle tre trekanter har derfor samme tre vinkler
Konklusjon: trekantene er formlike etter VV-kriteriet

Fasit: \(\triangle ABC\sim\triangle ACD\sim\triangle CBD\) ved VV-kriteriet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge samsvarende sider fra de formlike trekantene og kryssmultiplisere de resulterende proporsjonene.

Steg 1 — Finn samsvarende sider for AC

I \(\triangle ABC\sim\triangle ACD\) svarer hypotenusen \(AB\) til hypotenusen \(AC\), mens siden \(AC\) i den store trekanten svarer til \(AD\) i den lille.

Steg 2 — Sett opp første proporsjon

Dermed er \[\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}.\]

Steg 3 — Kryssmultipliser

Multiplikasjon med \(AB\cdot AC\) gir \[AC^2=AB\cdot AD.\]

Steg 4 — Finn samsvarende sider for BC

I \(\triangle ABC\sim\triangle CBD\) svarer \(AB\) til \(BC\), og \(BC\) svarer til \(DB\).

Steg 5 — Sett opp andre proporsjon

Da får vi \[\frac{BC}{AB}=\frac{DB}{BC}.\]

Steg 6 — Kryssmultipliser på nytt

Multiplikasjon med \(AB\cdot BC\) gir \[BC^2=AB\cdot DB.\]

Steg 7 — Konkluder

Begge katetkvadratene er uttrykt som hypotenusen multiplisert med den tilhørende hypotenusdelen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify

AB, AD, DB = symbols('AB AD DB', positive=True)
AC2 = AB*AD
BC2 = AB*DB

print("Fra formlikhet: AC/AB = AD/AC")
print("Kryssmultiplikasjon gir AC^2 = AB*AD")
print("Fra formlikhet: BC/AB = DB/BC")
print("Kryssmultiplikasjon gir BC^2 = AB*DB")
print("Symbolsk venstreside for neste del =", simplify(AC2 + BC2))

Utskrift fra Python:
Fra formlikhet: AC/AB = AD/AC
Kryssmultiplikasjon gir AC^2 = AB*AD
Fra formlikhet: BC/AB = DB/BC
Kryssmultiplikasjon gir BC^2 = AB*DB
Symbolsk venstreside for neste del = AB*(AD + DB)

Fasit: \(AC^2=AB\cdot AD\) og \(BC^2=AB\cdot DB\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal addere de to identitetene fra b), faktorisere og bruke at \(D\) deler hypotenusen \(AB\) i delene \(AD\) og \(DB\).

Steg 1 — Start med summen av katetkvadratene

Fra b) har vi \(AC^2=AB\cdot AD\) og \(BC^2=AB\cdot DB\).

Steg 2 — Adder likhetene

\[AC^2+BC^2=AB\cdot AD+AB\cdot DB.\]

Steg 3 — Trekk ut felles faktor

Begge leddene på høyre side inneholder \(AB\): \[AC^2+BC^2=AB(AD+DB).\]

Steg 4 — Bruk oppdelingen av hypotenusen

Punktet \(D\) ligger på \(AB\), derfor er \[AD+DB=AB.\]

Steg 5 — Sett inn

Da får vi \[AC^2+BC^2=AB\cdot AB.\]

Steg 6 — Forenkle produktet

\[AC^2+BC^2=AB^2.\]

Steg 7 — Konklusjon

Kvadratet av hypotenusen er lik summen av kvadratene av katetene. Dette er Pytagoras’ setning.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, simplify

AB, AD, DB = symbols('AB AD DB', positive=True)
AC2 = AB*AD
BC2 = AB*DB
sum_kateter = simplify(AC2 + BC2)
pythagoras = simplify(sum_kateter.subs(AD + DB, AB))

print("AC^2 + BC^2 =", sum_kateter)
print("Faktorisert =", factor(sum_kateter))
print("Siden AD + DB = AB, får vi = AB^2")
print("Kontroll av differansen =", simplify(AB*(AD + DB) - AB**2).subs(AD + DB, AB))

Utskrift fra Python:
AC^2 + BC^2 = AB*(AD + DB)
Faktorisert = AB*(AD + DB)
Siden AD + DB = AB, får vi = AB^2
Kontroll av differansen = 0

Fasit: \(AC^2+BC^2=AB^2\). Pytagoras’ setning er bevist.

Hva spør oppgaven om? Vi skal konstruere en rettvinklet trekant der hypotenusen og én katet er kjent. Konstruksjonen bestemmes av en vinkelrett linje og en sirkel.

Steg 1 — Tegn den kjente kateten

Tegn linjestykket \(AC=7\text{ cm}\).

Steg 2 — Konstruer den rette vinkelen

Opprett en linje gjennom \(C\) som står vinkelrett på \(AC\). Punktet \(B\) må ligge på denne linjen fordi \(\angle C=90^{\circ}\).

Steg 3 — Bruk hypotenuslengden

Tegn en sirkel med sentrum \(A\) og radius \(10\text{ cm}\). Alle punkter på sirkelen har avstand \(10\text{ cm}\) fra \(A\).

Steg 4 — Bestem punkt B

La \(B\) være skjæringspunktet mellom sirkelen og den vinkelrette linjen gjennom \(C\).

Steg 5 — Fullfør trekanten

Tegn linjestykkene \(AB\) og \(BC\). Da er alle kravene oppfylt.

Steg 6 — Kontroller den ukjente kateten

Pytagoras gir \[BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{100-49}=\sqrt{51}\text{ cm}.\]

Steg 7 — Verifiser konstruksjonen

Mål i det dynamiske verktøyet: \(AB=10\), \(AC=7\) og vinkelen ved \(C\) skal være \(90^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import sqrt, simplify

AB = 10
AC = 7
BC = sqrt(AB**2 - AC**2)
r = simplify((AC + BC - AB)/2)

print("AB =", AB)
print("AC =", AC)
print("BC = sqrt(AB^2 - AC^2) =", BC)
print("Kontroll: AC^2 + BC^2 =", simplify(AC**2 + BC**2))
print("Innradius r = (AC + BC - AB)/2 =", r)
print("Numerisk BC =", float(BC.evalf()))
print("Numerisk r =", float(r.evalf()))

Utskrift fra Python:
AB = 10
AC = 7
BC = sqrt(AB^2 - AC^2) = sqrt(51)
Kontroll: AC^2 + BC^2 = 100
Innradius r = (AC + BC - AB)/2 = -3/2 + sqrt(51)/2
Numerisk BC = 7.14142842854285
Numerisk r = 2.070714214271425

Fasit: Konstruksjonen fås ved skjæringen mellom normalen i \(C\) og sirkelen med sentrum \(A\), radius \(10\text{ cm}\). \(BC=\sqrt{51}\text{ cm}\).

Hva spør oppgaven om? Den innskrevne sirkelen har sentrum i skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene. Radiusen er den vinkelrette avstanden fra dette punktet til en side.

Steg 1 — Konstruer en vinkelhalveringslinje

Halver for eksempel \(\angle A\) med passer og linjal eller kommandoen AngleBisector i GeoGebra.

Steg 2 — Konstruer en ny vinkelhalveringslinje

Halver \(\angle B\). De to vinkelhalveringslinjene skjærer hverandre i innsentrum \(I\).

Steg 3 — Begrunn sentrumspunktet

Et punkt på en vinkelhalveringslinje har lik avstand til vinkelens to sider. Derfor har \(I\) lik avstand til alle tre sidene.

Steg 4 — Konstruer radiusen

Trekk normalen fra \(I\) til en av sidene, for eksempel \(AC\). La fotpunktet være \(T\). Da er \(IT\) radius.

Steg 5 — Tegn sirkelen

Tegn sirkelen med sentrum \(I\) og radius \(IT\). Sirkelen tangerer alle tre sidene.

Steg 6 — Kontroller med formel

For en rettvinklet trekant er \[r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{\sqrt{51}-3}{2}\text{ cm}.\]

Steg 7 — Tolk resultatet

Numerisk er radiusen omtrent \(2.07\text{ cm}\), noe som passer visuelt i trekanten.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import sqrt, simplify

AC = 7
BC = sqrt(51)
AB = 10
r = simplify((AC + BC - AB)/2)
I = (r, r)

print("Sidelengder: AC = 7, BC = sqrt(51), AB = 10")
print("Halvperimeter s =", simplify((AC + BC + AB)/2))
print("Innradius r =", r)
print("Hvis C legges i origo langs koordinataksene, er innsentrum I =", I)
print("Numerisk innradius =", float(r.evalf()))

Utskrift fra Python:
Sidelengder: AC = 7, BC = sqrt(51), AB = 10
Halvperimeter s = sqrt(51)/2 + 17/2
Innradius r = -3/2 + sqrt(51)/2
Hvis C legges i origo langs koordinataksene, er innsentrum I = (-3/2 + sqrt(51)/2, -3/2 + sqrt(51)/2)
Numerisk innradius = 2.070714214271425

Fasit: Innsentrum er skjæringen mellom vinkelhalveringslinjene, og innradiusen er \(r=(\sqrt{51}-3)/2\text{ cm}\approx2.07\text{ cm}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke logaritmeregelen \(\ln(x^2)=2\ln x\) på definisjonsområdet \(x>0\), og deretter løse en andregradslikning i \(\ln x\).

Steg 1 — Fastsett definisjonsområdet

Fordi \(\ln x\) forekommer, må \(x>0\).

Steg 2 — Forenkle den andre logaritmen

Når \(x>0\), er \[\ln x^2=2\ln x.\]

Steg 3 — Skriv om likningen

Da får vi \[(\ln x)^2+2\ln x-3=0.\]

Steg 4 — Substituer

Sett \(u=\ln x\). Likningen blir \[u^2+2u-3=0.\]

Steg 5 — Faktoriser andregradslikningen

\[u^2+2u-3=(u+3)(u-1)=0.\]

Steg 6 — Løs for u

Dermed er \(u=-3\) eller \(u=1\).

Steg 7 — Gå tilbake til x

\(\ln x=-3\) gir \(x=e^{-3}\), og \(\ln x=1\) gir \(x=e\). Begge er positive og tillatte.

Steg 8 — Kontroller løsningene

Innsetting gir henholdsvis \(9-6=3\) og \(1+2=3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, solve, exp, simplify

x = symbols('x', positive=True)
u = symbols('u', real=True)
likning_i_u = u**2 + 2*u - 3
u_losninger = solve(likning_i_u, u)
x_losninger = [exp(verdi) for verdi in u_losninger]

print("Definisjonsområde: x > 0")
print("ln(x^2) = 2*ln(x) når x > 0")
print("Likning i u = ln(x):", likning_i_u, "= 0")
print("Løsninger for u:", u_losninger)
print("Eksakte løsninger for x:", x_losninger)
for verdi in x_losninger:
    kontroll = simplify(log(verdi)**2 + log(verdi**2) - 3)
    print("Kontroll for x =", verdi, ":", kontroll)

Utskrift fra Python:
Definisjonsområde: x > 0
ln(x^2) = 2*ln(x) når x > 0
Likning i u = ln(x): u**2 + 2*u - 3 = 0
Løsninger for u: [-3, 1]
Eksakte løsninger for x: [exp(-3), E]
Kontroll for x = exp(-3) : 0
Kontroll for x = E : 0

Fasit: \(x=e^{-3}\) eller \(x=e\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke loven om total sannsynlighet ved å legge sammen feilbidraget fra de to avdelingene.

Steg 1 — Definer hendelsene

La \(F\) bety at telefonen har feil. Vi kjenner \(P(A)=0.70\), \(P(B)=0.30\), \(P(F\mid A)=0.05\) og \(P(F\mid B)=0.10\).

Steg 2 — Beregn feil fra A

\[P(A\cap F)=P(A)P(F\mid A)=0.70\cdot0.05=0.035.\]

Steg 3 — Beregn feil fra B

\[P(B\cap F)=0.30\cdot0.10=0.030.\]

Steg 4 — Bruk at avdelingene dekker all produksjon

En feiltelefon kommer enten fra A eller B, og hendelsene er disjunkte.

Steg 5 — Legg sammen bidragene

\[P(F)=0.035+0.030=0.065.\]

Steg 6 — Skriv som prosent

\[0.065=6.5\%.\]

Steg 7 — Rimelighetskontroll

Svaret ligger mellom 5 % og 10 %, som det må gjøre fordi totalen er et vektet gjennomsnitt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

p_A = Fraction(70, 100)
p_B = Fraction(30, 100)
p_feil_A = Fraction(5, 100)
p_feil_B = Fraction(10, 100)

bidrag_A = p_A*p_feil_A
bidrag_B = p_B*p_feil_B
p_feil = bidrag_A + bidrag_B

print("P(A og feil) =", bidrag_A, "=", float(bidrag_A))
print("P(B og feil) =", bidrag_B, "=", float(bidrag_B))
print("P(feil) =", p_feil, "=", float(p_feil))
print("I prosent =", float(p_feil*100), "%")

Utskrift fra Python:
P(A og feil) = 7/200 = 0.035
P(B og feil) = 3/100 = 0.03
P(feil) = 13/200 = 0.065
I prosent = 6.5 %

Fasit: Sannsynligheten er \(0.065=6.5\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en betinget sannsynlighet. Blant alle feiltelefoner skal vi bestemme andelen som kommer fra A.

Steg 1 — Skriv ønsket sannsynlighet

Vi søker \(P(A\mid F)\).

Steg 2 — Bruk definisjonen

\[P(A\mid F)=\frac{P(A\cap F)}{P(F)}.\]

Steg 3 — Sett inn telleren

Fra forrige del er \(P(A\cap F)=0.70\cdot0.05=0.035\).

Steg 4 — Sett inn nevneren

Den totale feilsannsynligheten er \(P(F)=0.065\).

Steg 5 — Divider

\[P(A\mid F)=\frac{0.035}{0.065}=\frac{35}{65}=\frac7{13}.\]

Steg 6 — Skriv som prosent

\[\frac7{13}\approx0.5385=53.85\%.\]

Steg 7 — Tolk

Selv om A har lavere feilrate, produserer A så mange flere telefoner at litt over halvparten av feiltelefonene kommer derfra.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

p_A_og_feil = Fraction(70,100)*Fraction(5,100)
p_feil = p_A_og_feil + Fraction(30,100)*Fraction(10,100)
p_A_gitt_feil = p_A_og_feil / p_feil

print("P(A og feil) =", p_A_og_feil)
print("P(feil) =", p_feil)
print("P(A | feil) = P(A og feil)/P(feil) =", p_A_gitt_feil)
print("Desimaltall =", float(p_A_gitt_feil))
print("Prosent =", float(p_A_gitt_feil*100), "%")

Utskrift fra Python:
P(A og feil) = 7/200
P(feil) = 13/200
P(A | feil) = P(A og feil)/P(feil) = 7/13
Desimaltall = 0.5384615384615384
Prosent = 53.84615384615385 %

Fasit: \(P(A\mid F)=\frac7{13}\approx53.85\%\).

Hva spør oppgaven om? Et bunnpunkt gir to betingelser: Punktet ligger på grafen, og den deriverte er null der. Disse gir et likningssystem for a og b.

Steg 1 — Bruk at punktet ligger på grafen

\[f(-1)=-16.\] Innsetting gir \[1+a-b-11=-16,\] altså \[a-b=-6.\]

Steg 2 — Deriver funksjonen

\[f^{\prime}(x)=-3x^2+2ax+b.\]

Steg 3 — Bruk at tangenten er horisontal

I et bunnpunkt er \(f^{\prime}(-1)=0\). Dermed \[-3-2a+b=0.\]

Steg 4 — Skriv andre likning enkelt

Den andre likningen kan skrives \[b=2a+3.\]

Steg 5 — Sett inn i første likning

\[a-(2a+3)=-6.\]

Steg 6 — Løs for a

\[-a-3=-6\Rightarrow a=3.\]

Steg 7 — Finn b

\[b=2\cdot3+3=9.\]

Steg 8 — Kontroller

Med \(a=3,b=9\) får vi både \(f(-1)=-16\) og \(f^{\prime}(-1)=0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, diff

x, a, b = symbols('x a b', real=True)
f = -x**3 + a*x**2 + b*x - 11
betingelser = [Eq(f.subs(x,-1), -16), Eq(diff(f,x).subs(x,-1), 0)]
losning = solve(betingelser, (a,b))

print("f(-1) =", f.subs(x,-1))
print("f'(-1) =", diff(f,x).subs(x,-1))
print("Likningssystem:")
for likning in betingelser:
    print(" ", likning)
print("Løsning:", losning)
print("Kontroll av punktet =", f.subs(losning).subs(x,-1))
print("Kontroll av horisontal tangent =", diff(f,x).subs(losning).subs(x,-1))

Utskrift fra Python:
f(-1) = a - b - 10
f'(-1) = -2*a + b - 3
Likningssystem:
  Eq(a - b - 10, -16)
  Eq(-2*a + b - 3, 0)
Løsning: {a: 3, b: 9}
Kontroll av punktet = -16
Kontroll av horisontal tangent = 0

Fasit: \(a=3\) og \(b=9\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere den deriverte, analysere fortegn på intervallene og bruke funksjonsverdier til å klassifisere ekstremalpunktene.

Steg 1 — Deriver

\[f^{\prime}(x)=-3x^2+6x+9.\]

Steg 2 — Faktoriser

\[f^{\prime}(x)=-3(x+1)(x-3).\]

Steg 3 — Finn nullpunktene til den deriverte

\[f^{\prime}(x)=0\Rightarrow x=-1\text{ eller }x=3.\]

Steg 4 — Analyser første intervall

For \(x<-1\) er \((x+1)(x-3)>0\), og faktoren \(-3\) gjør \(f^{\prime}(x)<0\). Grafen synker.

Steg 5 — Analyser midtintervallet

For \(-1<x<3\) er produktet negativt, derfor er \(f^{\prime}(x)>0\). Grafen stiger.

Steg 6 — Analyser siste intervall

For \(x>3\) er produktet positivt, derfor er \(f^{\prime}(x)<0\). Grafen synker.

Steg 7 — Klassifiser toppunktet

Ved \(x=3\) skifter den deriverte fra pluss til minus, så punktet er et toppunkt.

Steg 8 — Finn y-koordinaten

\[f(3)=-27+27+27-11=16.\] Toppunktet er \((3,16)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve

x = symbols('x', real=True)
f = -x**3 + 3*x**2 + 9*x - 11
fp = factor(diff(f,x))
kritiske = solve(fp, x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("Kritiske x-verdier =", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("f(", verdi, ") =", f.subs(x,verdi))
for test in [-2,0,4]:
    print("f'(", test, ") =", fp.subs(x,test))

Utskrift fra Python:
f(x) = -x**3 + 3*x**2 + 9*x - 11
f'(x) = -3*(x - 3)*(x + 1)
Kritiske x-verdier = [-1, 3]
f( -1 ) = -16
f( 3 ) = 16
f'( -2 ) = -15
f'( 0 ) = 9
f'( 4 ) = -15

Fasit: Grafen synker på \(( -\infty,-1)\), stiger på \((-1,3)\) og synker på \((3,\infty)\). Toppunkt: \((3,16)\).

Hva spør oppgaven om? Et vendepunkt krever at den andrederiverte skifter fortegn. Vi finner nullpunktet til \(f^{\prime\prime}\) og kontrollerer fortegn på begge sider.

Steg 1 — Deriver den deriverte

Fra \(f^{\prime}(x)=-3x^2+6x+9\) får vi \[f^{\prime\prime}(x)=-6x+6.\]

Steg 2 — Faktoriser

\[f^{\prime\prime}(x)=6(1-x).\]

Steg 3 — Finn kandidaten

\[6(1-x)=0\Rightarrow x=1.\]

Steg 4 — Kontroller venstre side

For \(x<1\) er \(1-x>0\), derfor er \(f^{\prime\prime}(x)>0\). Grafen er konkav opp.

Steg 5 — Kontroller høyre side

For \(x>1\) er \(1-x<0\), derfor er \(f^{\prime\prime}(x)<0\). Grafen er konkav ned.

Steg 6 — Bekreft fortegnsskifte

Den andrederiverte skifter fra pluss til minus ved \(x=1\), så grafen har et vendepunkt der.

Steg 7 — Finn y-koordinaten

\[f(1)=-1+3+9-11=0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, solve

x = symbols('x', real=True)
f = -x**3 + 3*x**2 + 9*x - 11
fpp = diff(f,x,2)
rot = solve(fpp,x)[0]

print("f''(x) =", fpp)
print("f''(x) = 0 gir x =", rot)
print("f(1) =", f.subs(x,rot))
print("f''(0) =", fpp.subs(x,0), "(positiv)")
print("f''(2) =", fpp.subs(x,2), "(negativ)")

Utskrift fra Python:
f''(x) = 6*(1 - x)
f''(x) = 0 gir x = 1
f(1) = 0
f''(0) = 6 (positiv)
f''(2) = -6 (negativ)

Fasit: Vendepunktet er \((1,0)\).

Hva spør oppgaven om? Tangentens stigningstall i \(x=x_0\) er \(f^{\prime}(x_0)\). Vi løser derfor \(f^{\prime}(x)=9\) og finner tangentlikningen i hvert punkt.

Steg 1 — Sett den deriverte lik 9

\[-3x^2+6x+9=9.\]

Steg 2 — Forenkle likningen

\[-3x^2+6x=0.\]

Steg 3 — Faktoriser

\[-3x(x-2)=0.\]

Steg 4 — Finn tangeringsstedene

Dermed er \(x=0\) eller \(x=2\).

Steg 5 — Finn første punkt

\[f(0)=-11.\] Tangenten gjennom \((0,-11)\) med stigning 9 er \[y=9x-11.\]

Steg 6 — Finn andre punkt

\[f(2)=-8+12+18-11=11.\] Punktet er \((2,11)\).

Steg 7 — Bruk punkt-stigning-formen

\[y-11=9(x-2)\Rightarrow y=9x-7.\]

Steg 8 — Kontroller

Begge linjene har stigningstall 9 og går gjennom sine respektive punkter på grafen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, solve, expand

x = symbols('x', real=True)
f = -x**3 + 3*x**2 + 9*x - 11
fp = diff(f,x)
punkter = solve(fp - 9, x)

print("f'(x) =", fp)
print("Løsninger av f'(x) = 9:", punkter)
for x0 in punkter:
    y0 = f.subs(x,x0)
    konstant = expand(y0 - 9*x0)
    print("Tangeringspunkt:", (x0,y0))
    print("Tangent: y = 9*x +", konstant)

Utskrift fra Python:
f'(x) = -3*x**2 + 6*x + 9
Løsninger av f'(x) = 9: [0, 2]
Tangeringspunkt: (0, -11)
Tangent: y = 9*x + -11
Tangeringspunkt: (2, 11)
Tangent: y = 9*x + -7

Fasit: Tangentene er \(y=9x-11\) og \(y=9x-7\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke når en linje med fast stigningstall 9 skjærer kubikkgrafen tre ganger. Grenseverdiene oppstår når linjen er tangent.

Steg 1 — Skriv skjæringslikningen

\[f(x)=9x+b\iff f(x)-9x=b.\]

Steg 2 — Definer hjelpefunksjonen

\[h(x)=f(x)-9x=-x^3+3x^2-11.\] Antall løsninger svarer til antall skjæringer mellom grafen til h og den horisontale linjen \(y=b\).

Steg 3 — Finn ekstremalverdiene til h

\[h^{\prime}(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2),\] så de kritiske punktene er \(x=0\) og \(x=2\).

Steg 4 — Beregn nedre grense

\[h(0)=-11.\] Dette svarer til tangenten \(y=9x-11\).

Steg 5 — Beregn øvre grense

\[h(2)=-8+12-11=-7.\] Dette svarer til tangenten \(y=9x-7\).

Steg 6 — Avgjør når det blir tre skjæringer

En horisontal linje mellom lokalt minimum og lokalt maksimum skjærer kubikkgrafen i tre forskjellige punkter.

Steg 7 — Utelukk endepunktene

Ved \(b=-11\) eller \(b=-7\) er én løsning dobbelt fordi linjen tangerer grafen. Da er det ikke tre forskjellige løsninger.

Steg 8 — Konkluder

Derfor må konstantleddet ligge strengt mellom de to tangentverdiene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, solve

x, b = symbols('x b', real=True)
f = -x**3 + 3*x**2 + 9*x - 11
h = f - 9*x
hp = diff(h,x)
kritiske = solve(hp,x)

print("f(x) - 9*x =", h)
print("Den deriverte til h =", hp)
print("Kritiske x-verdier =", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("h(", verdi, ") =", h.subs(x,verdi))
print("Tre ulike skjæringer krever: -11 < b < -7")

Utskrift fra Python:
f(x) - 9*x = -x**3 + 3*x**2 - 11
Den deriverte til h = -3*x**2 + 6*x
Kritiske x-verdier = [0, 2]
h( 0 ) = -11
h( 2 ) = -7
Tre ulike skjæringer krever: -11 < b < -7

Fasit: Likningen har tre forskjellige løsninger når \(-11<b<-7\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sentrale grafegenskaper og bruke digitalt verktøy til å tegne en kontrollert graf med passende vindu.

Steg 1 — Faktoriser funksjonen

\[f(x)=\frac{x^2}{12}(x^2-2x-12).\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Vi får \(x=0\) som dobbelt nullpunkt og \(x=1\pm\sqrt{13}\) fra \(x^2-2x-12=0\).

Steg 3 — Tolk dobbeltroten

Ved \(x=0\) tangerer grafen x-aksen i stedet for å krysse den.

Steg 4 — Se på endeatferden

Ledende ledd er \(x^4/12\) med positiv koeffisient, så \(f(x)\to\infty\) når \(x\to\pm\infty\).

Steg 5 — Finn kritiske punkter digitalt

Den deriverte kan brukes til å finne topp- og bunnpunkter slik at grafvinduet blir korrekt.

Steg 6 — Velg grafvindu

Et vindu omtrent \(-4.5\le x\le5.5\) viser alle nullpunkter og den viktigste formen.

Steg 7 — Tegn og kontroller

Grafen skal være en fjerdegradsform med to vendepunkter, et tangentpunkt i origo og stigende ender.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, diff, solve, N

x = symbols('x', real=True)
f = (x**4 - 2*x**3 - 12*x**2)/12
nullpunkter = solve(f,x)
kritiske = solve(diff(f,x),x)

print("f(x) =", factor(f))
print("Nullpunkter =", nullpunkter)
print("Kritiske x-verdier =", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("f(", verdi, ") =", f.subs(x,verdi), "≈", N(f.subs(x,verdi),6))
print("Ledende ledd er x^4/12, så grafen går mot +uendelig i begge ender")

Utskrift fra Python:
f(x) = x**2*(x**2 - 2*x - 12)/12
Nullpunkter = [0, 1 - sqrt(13), 1 + sqrt(13)]
Kritiske x-verdier = [0, 3/4 - sqrt(105)/4, 3/4 + sqrt(105)/4]
f( 0 ) = 0 ≈ 0
f( 3/4 - sqrt(105)/4 ) = -(3/4 - sqrt(105)/4)**2 + (3/4 - sqrt(105)/4)**4/12 - (3/4 - sqrt(105)/4)**3/6 ≈ -1.39341
f( 3/4 + sqrt(105)/4 ) = -(3/4 + sqrt(105)/4)**2 - (3/4 + sqrt(105)/4)**3/6 + (3/4 + sqrt(105)/4)**4/12 ≈ -6.99721
Ledende ledd er x^4/12, så grafen går mot +uendelig i begge ender

Fasit: Grafen er tegnet med nullpunkter \(x=0\) og \(x=1\pm\sqrt{13}\).

Hva spør oppgaven om? Vi finner den andrederiverte, faktoriserer den og kontrollerer fortegnsskifte ved begge nullpunktene.

Steg 1 — Deriver én gang

\[f^{\prime}(x)=\frac{4x^3-6x^2-24x}{12}.\]

Steg 2 — Deriver en gang til

\[f^{\prime\prime}(x)=x^2-x-2.\]

Steg 3 — Faktoriser andrederiverten

\[f^{\prime\prime}(x)=(x+1)(x-2).\]

Steg 4 — Finn kandidater

Nullpunktene er \(x=-1\) og \(x=2\).

Steg 5 — Lag fortegnslinjen

Produktet er positivt for \(x<-1\), negativt for \(-1<x<2\) og positivt for \(x>2\). Dermed skifter fortegnet ved begge punkter.

Steg 6 — Finn S

\[f(-1)=\frac{1+2-12}{12}=-\frac34.\] Derfor er \(S=(-1,-3/4)\).

Steg 7 — Finn T

\[f(2)=\frac{16-16-48}{12}=-4.\] Derfor er \(T=(2,-4)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve

x = symbols('x', real=True)
f = (x**4 - 2*x**3 - 12*x**2)/12
fpp = factor(diff(f,x,2))
røtter = solve(fpp,x)

print("f''(x) =", fpp)
print("Nullpunkter til f'' =", røtter)
for verdi in røtter:
    print("Punkt:", (verdi, f.subs(x,verdi)))
for test in [-2,0,3]:
    print("f''(", test, ") =", fpp.subs(x,test))

Utskrift fra Python:
f''(x) = (x - 2)*(x + 1)
Nullpunkter til f'' = [-1, 2]
Punkt: (-1, -3/4)
Punkt: (2, -4)
f''( -2 ) = 4
f''( 0 ) = -2
f''( 3 ) = 4

Fasit: \(f^{\prime\prime}(x)=(x+1)(x-2)\), \(S=(-1,-3/4)\), \(T=(2,-4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi finner først linjens stigningstall fra vendepunktene. Deretter løser vi fjerdegradslikningen \(f(x)=\ell(x)\), der to røtter allerede er kjent.

Steg 1 — Beregn stigningstallet

\[m=\frac{-4-(-3/4)}{2-(-1)}=\frac{-13/4}{3}=-\frac{13}{12}.\]

Steg 2 — Finn konstantleddet

Bruk \(S=(-1,-3/4)\): \[-\frac34=-\frac{13}{12}(-1)+b\Rightarrow b=-\frac{11}{6}.\]

Steg 3 — Skriv linjen

\[\ell(x)=-\frac{13}{12}x-\frac{11}{6}.\]

Steg 4 — Sett graf og linje lik hverandre

Vi løser \[\frac{x^4-2x^3-12x^2}{12}=-\frac{13}{12}x-\frac{11}{6}.\]

Steg 5 — Samle og faktoriser

Likningen faktoriseres til \[(x+1)(x-2)(x^2-x-11)=0.\] De to første røttene gir S og T.

Steg 6 — Finn de nye x-koordinatene

\[x^2-x-11=0\Rightarrow x=\frac{1\pm3\sqrt5}{2}.\]

Steg 7 — Finn y-koordinatene

Innsetting i linjen gir \[P=\left(\frac{1-3\sqrt5}{2},\frac{-19+13\sqrt5}{8}\right)\] og \[Q=\left(\frac{1+3\sqrt5}{2},-\frac{19+13\sqrt5}{8}\right).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Rational, sqrt, factor, solve, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = (x**4 - 2*x**3 - 12*x**2)/12
m = Rational(-13,12)
b = Rational(-11,6)
linje = m*x + b
faktor = factor(f-linje)
røtter = solve(f-linje,x)

print("Linja gjennom S og T: y =", linje)
print("f(x) - linja =", faktor)
print("Alle skjærings-x =", røtter)
for verdi in røtter:
    print("Skjæringspunkt:", (verdi, simplify(linje.subs(x,verdi))))

Utskrift fra Python:
Linja gjennom S og T: y = -13*x/12 - 11/6
f(x) - linja = (x - 2)*(x + 1)*(x**2 - x - 11)/12
Alle skjærings-x = [-1, 2, 1/2 - 3*sqrt(5)/2, 1/2 + 3*sqrt(5)/2]
Skjæringspunkt: (-1, -3/4)
Skjæringspunkt: (2, -4)
Skjæringspunkt: (1/2 - 3*sqrt(5)/2, -19/8 + 13*sqrt(5)/8)
Skjæringspunkt: (1/2 + 3*sqrt(5)/2, -13*sqrt(5)/8 - 19/8)

Fasit: Linja er \(y=-13x/12-11/6\). De andre skjæringspunktene er \(P((1-3\sqrt5)/2,(-19+13\sqrt5)/8)\) og \(Q((1+3\sqrt5)/2,-(19+13\sqrt5)/8)\).

Hva spør oppgaven om? Alle punktene ligger på samme rette linje. Derfor har avstandene samme skaleringsfaktor i forhold til forskjellen i x-koordinater, og denne faktoren kanselleres i forholdet.

Steg 1 — Skriv x-koordinatene

\[x_S=-1,\qquad x_T=2,\qquad x_Q=\frac{1+3\sqrt5}{2}.\]

Steg 2 — Begrunn bruk av x-forskjeller

For en linje med stigning \(m\) er avstanden mellom to punkter \(|\Delta x|\sqrt{1+m^2}\). Faktoren \(\sqrt{1+m^2}\) er den samme for begge segmentene.

Steg 3 — Finn x-lengden ST

\[x_T-x_S=2-(-1)=3.\]

Steg 4 — Finn x-lengden TQ

\[x_Q-x_T=\frac{1+3\sqrt5}{2}-2=\frac{3(\sqrt5-1)}{2}.\]

Steg 5 — Sett opp forholdet

\[\frac{ST}{TQ}=\frac{3}{3(\sqrt5-1)/2}=\frac{2}{\sqrt5-1}.\]

Steg 6 — Rasjonaliser

\[\frac{2}{\sqrt5-1}\cdot\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}=\frac{\sqrt5+1}{2}.\]

Steg 7 — Tolk

Verdien er omtrent \(1.618\), altså det gylne snitt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import sqrt, simplify

x_S = -1
x_T = 2
x_Q = (1 + 3*sqrt(5))/2
forhold = simplify((x_T - x_S)/(x_Q - x_T))

print("x_S =", x_S)
print("x_T =", x_T)
print("x_Q =", x_Q)
print("ST/TQ =", forhold)
print("Desimaltall =", float(forhold.evalf()))
print("Kontroll mot det gylne snitt =", simplify(forhold - (1+sqrt(5))/2))

Utskrift fra Python:
x_S = -1
x_T = 2
x_Q = 1/2 + 3*sqrt(5)/2
ST/TQ = 1/2 + sqrt(5)/2
Desimaltall = 1.618033988749895
Kontroll mot det gylne snitt = 0

Fasit: \(ST/TQ=(1+\sqrt5)/2\approx1.618\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktorisering, symmetri og kritiske punkter til å tegne en presis graf.

Steg 1 — Se etter symmetri

\[g(-x)=(-x)^4-6(-x)^2=x^4-6x^2=g(x).\] Funksjonen er jevn og grafen er symmetrisk om y-aksen.

Steg 2 — Faktoriser

\[g(x)=x^2(x^2-6).\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

Nullpunktene er \(x=0\) (dobbelt) og \(x=\pm\sqrt6\).

Steg 4 — Finn kritiske punkter

\[g^{\prime}(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3),\] så \(x=0,\pm\sqrt3\).

Steg 5 — Finn funksjonsverdiene

\[g(0)=0,\qquad g(\pm\sqrt3)=9-18=-9.\]

Steg 6 — Tolk formen

Grafen har et lokalt toppunkt i origo og to symmetriske bunnpunkter ved \((\pm\sqrt3,-9)\).

Steg 7 — Tegn digitalt

Bruk et vindu som viser minst \(-3\le x\le3\) og \(-10\le y\le30\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve, diff

x = symbols('x', real=True)
g = x**4 - 6*x**2

print("g(x) =", factor(g))
print("Nullpunkter =", solve(g,x))
print("Kritiske x-verdier =", solve(diff(g,x),x))
for verdi in solve(diff(g,x),x):
    print("g(", verdi, ") =", g.subs(x,verdi))
print("g er en jevn funksjon:", g.subs(x,-x) == g)

Utskrift fra Python:
g(x) = x**2*(x**2 - 6)
Nullpunkter = [0, -sqrt(6), sqrt(6)]
Kritiske x-verdier = [0, -sqrt(3), sqrt(3)]
g( 0 ) = 0
g( -sqrt(3) ) = -9
g( sqrt(3) ) = -9
g er en jevn funksjon: True

Fasit: Grafen er symmetrisk om y-aksen, har nullpunkter \(0,\pm\sqrt6\), toppunkt \((0,0)\) og bunnpunkter \((\pm\sqrt3,-9)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor krumningen skifter ved å analysere den faktoriserte andrederiverten.

Steg 1 — Deriver første gang

\[g^{\prime}(x)=4x^3-12x.\]

Steg 2 — Deriver andre gang

\[g^{\prime\prime}(x)=12x^2-12.\]

Steg 3 — Faktoriser

\[g^{\prime\prime}(x)=12(x-1)(x+1).\]

Steg 4 — Finn nullpunktene

\[x=-1\quad\text{eller}\quad x=1.\]

Steg 5 — Lag fortegnslinja

Andrederiverten er positiv utenfor intervallet \([-1,1]\) og negativ innenfor. Den skifter fortegn ved begge punkter.

Steg 6 — Finn funksjonsverdiene

\[g(-1)=1-6=-5,\qquad g(1)=1-6=-5.\]

Steg 7 — Navngi punktene

Punktet lengst til venstre er \(S_1=(-1,-5)\), og det andre er \(T_1=(1,-5)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve

x = symbols('x', real=True)
g = x**4 - 6*x**2
gpp = factor(diff(g,x,2))
røtter = solve(gpp,x)

print("g''(x) =", gpp)
print("Nullpunkter til g'' =", røtter)
for verdi in røtter:
    print("Vendepunkt:", (verdi, g.subs(x,verdi)))
for test in [-2,0,2]:
    print("g''(", test, ") =", gpp.subs(x,test))

Utskrift fra Python:
g''(x) = 12*(x - 1)*(x + 1)
Nullpunkter til g'' = [-1, 1]
Vendepunkt: (-1, -5)
Vendepunkt: (1, -5)
g''( -2 ) = 36
g''( 0 ) = -12
g''( 2 ) = 36

Fasit: \(g^{\prime\prime}(x)=12(x-1)(x+1)\), \(S_1=(-1,-5)\), \(T_1=(1,-5)\).

Hva spør oppgaven om? Vendepunktene har samme y-koordinat, så linjen er horisontal. Deretter løser vi \(g(x)=-5\).

Steg 1 — Bestem linjens stigning

Punktene \((-1,-5)\) og \((1,-5)\) har samme y-verdi, derfor er stigningstallet \(0\).

Steg 2 — Skriv linjelikningen

Linja er \[y=-5.\]

Steg 3 — Sett graf og linje lik hverandre

\[x^4-6x^2=-5.\]

Steg 4 — Samle på én side

\[x^4-6x^2+5=0.\]

Steg 5 — Faktoriser som andregrad i x²

\[(x^2-1)(x^2-5)=0.\]

Steg 6 — Finn alle røttene

\[x=\pm1\quad\text{eller}\quad x=\pm\sqrt5.\]

Steg 7 — Identifiser de nye punktene

Røttene \(\pm1\) gir vendepunktene. De andre skjæringene er \[P_1=(-\sqrt5,-5),\qquad Q_1=(\sqrt5,-5).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve, sqrt

x = symbols('x', real=True)
g = x**4 - 6*x**2
linje = -5
faktor = factor(g-linje)
røtter = solve(g-linje,x)

print("Linja gjennom S1 og T1: y = -5")
print("g(x) + 5 =", faktor)
print("Alle skjærings-x =", røtter)
for verdi in røtter:
    print("Skjæringspunkt:", (verdi, -5))

Utskrift fra Python:
Linja gjennom S1 og T1: y = -5
g(x) + 5 = (x - 1)*(x + 1)*(x**2 - 5)
Alle skjærings-x = [-1, 1, -sqrt(5), sqrt(5)]
Skjæringspunkt: (-1, -5)
Skjæringspunkt: (1, -5)
Skjæringspunkt: (-sqrt(5), -5)
Skjæringspunkt: (sqrt(5), -5)

Fasit: Linja er \(y=-5\). De andre skjæringspunktene er \((-\sqrt5,-5)\) og \((\sqrt5,-5)\).

Hva spør oppgaven om? Alle punktene ligger på den horisontale linjen \(y=-5\), så lengdene er direkte lik forskjellene i x-koordinatene.

Steg 1 — Finn S1T1

\[S_1T_1=1-(-1)=2.\]

Steg 2 — Finn T1Q1

\[T_1Q_1=\sqrt5-1.\]

Steg 3 — Sett opp forholdet

\[\frac{S_1T_1}{T_1Q_1}=\frac2{\sqrt5-1}.\]

Steg 4 — Rasjonaliser

\[\frac2{\sqrt5-1}\cdot\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}=\frac{2(\sqrt5+1)}{4}.\]

Steg 5 — Forenkle

\[\frac{S_1T_1}{T_1Q_1}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]

Steg 6 — Sammenlikn med del d

Dette er nøyaktig samme verdi som \(ST/TQ\) for den første fjerdegradsfunksjonen.

Steg 7 — Kommenter

Begge forholdene er det gylne snitt, omtrent \(1.618\). Resultatet tyder på en felles geometrisk egenskap for disse to konfigurasjonene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import sqrt, simplify

x_S1 = -1
x_T1 = 1
x_Q1 = sqrt(5)
forhold = simplify((x_T1 - x_S1)/(x_Q1 - x_T1))

print("S1T1 = 2")
print("T1Q1 = sqrt(5) - 1")
print("S1T1/T1Q1 =", forhold)
print("Desimaltall =", float(forhold.evalf()))
print("Samme som i del d:", simplify(forhold - (1+sqrt(5))/2) == 0)

Utskrift fra Python:
S1T1 = 2
T1Q1 = sqrt(5) - 1
S1T1/T1Q1 = 1/2 + sqrt(5)/2
Desimaltall = 1.618033988749895
Samme som i del d: True

Fasit: \(S_1T_1/T_1Q_1=(1+\sqrt5)/2\approx1.618\), samme resultat som i d).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke midtpunktsformelen på hver av trekantens sider og knytte riktig midtpunkt til riktig median.

Steg 1 — Skriv midtpunktsformelen

Midtpunktet mellom \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) er \[\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).\]

Steg 2 — Finn M1 på AB

\[M_1=\left(\frac{a+b}{2},\frac{0+c}{2}\right)=\left(\frac{a+b}{2},\frac c2\right).\]

Steg 3 — Finn M2 på OB

\[M_2=\left(\frac{0+b}{2},\frac{0+c}{2}\right)=\left(\frac b2,\frac c2\right).\]

Steg 4 — Finn M3 på OA

\[M_3=\left(\frac{0+a}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac a2,0\right).\]

Steg 5 — Kontroller M1

Vektorene fra \(M_1\) til \(A\) og \(B\) er motsatte og like lange, så punktet ligger midt på \(AB\).

Steg 6 — Knytt til medianene

Dermed går medianene fra hvert hjørne til de oppgitte punktene på motstående side.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, simplify

a, b, c = symbols('a b c', real=True)
O = Matrix([0,0])
A = Matrix([a,0])
B = Matrix([b,c])
M1 = simplify((A+B)/2)
M2 = simplify((O+B)/2)
M3 = simplify((O+A)/2)

print("M1, midtpunkt på AB =", tuple(M1))
print("M2, midtpunkt på OB =", tuple(M2))
print("M3, midtpunkt på OA =", tuple(M3))
print("Kontroll: 2*M1 - A =", tuple(simplify(2*M1-A)), "som er B")

Utskrift fra Python:
M1, midtpunkt på AB = (a/2 + b/2, c/2)
M2, midtpunkt på OB = (b/2, c/2)
M3, midtpunkt på OA = (a/2, 0)
Kontroll: 2*M1 - A = (b, c) som er B

Fasit: Midtpunktene har koordinatene som oppgitt.

Hva spør oppgaven om? Punktet S ligger på begge medianene. Et punkt på en linje kan beskrives ved et startpunkt pluss en skalar multiplisert med en retningsvektor.

Steg 1 — Bruk medianen fra O

S ligger på linjestykket \(OM_1\). Derfor er vektoren fra O til S parallell med \(\overrightarrow{OM_1}\).

Steg 2 — Introduser parameteren x

Det finnes derfor et reelt tall \(x\) slik at \[\overrightarrow{OS}=x\overrightarrow{OM_1}.\]

Steg 3 — Bruk medianen fra A

S ligger også på linjestykket \(AM_2\). Fra A kan vi nå S ved å gå en viss andel av vektoren \(\overrightarrow{AM_2}\).

Steg 4 — Introduser parameteren y

Det finnes et reelt tall \(y\) slik at \[\overrightarrow{AS}=y\overrightarrow{AM_2}.\]

Steg 5 — Bruk vektoraddisjon

Trekantregelen gir \[\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AS}.\]

Steg 6 — Sett inn parameterframstillingen

Dermed \[\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{AM_2}.\]

Steg 7 — Tolk parametrene

Siden S ligger mellom hjørnet og midtpunktet på begge medianene, forventer vi \(0<x<1\) og \(0<y<1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix

x, y, a, b, c = symbols('x y a b c', real=True)
O = Matrix([0,0])
A = Matrix([a,0])
M1 = Matrix([(a+b)/2,c/2])
M2 = Matrix([b/2,c/2])
OM1 = M1 - O
AM2 = M2 - A

print("OM1 =", tuple(OM1))
print("AM2 =", tuple(AM2))
print("Et punkt på OM1 kan skrives OS = x*OM1")
print("Et punkt på medianen fra A kan skrives OS = OA + y*AM2")
print("Dette gir to parameterframstillinger av samme punkt S")

Utskrift fra Python:
OM1 = (a/2 + b/2, c/2)
AM2 = (-a + b/2, c/2)
Et punkt på OM1 kan skrives OS = x*OM1
Et punkt på medianen fra A kan skrives OS = OA + y*AM2
Dette gir to parameterframstillinger av samme punkt S

Fasit: De to uttrykkene er parameterframstillinger av de to medianene gjennom S.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive begge parameterframstillingene i koordinatform, sammenlikne komponentene og løse likningssystemet.

Steg 1 — Finn vektoren OM1

\[\overrightarrow{OM_1}=\left(\frac{a+b}{2},\frac c2\right).\] Dermed er \[x\overrightarrow{OM_1}=\left(x\frac{a+b}{2},x\frac c2\right).\]

Steg 2 — Finn vektoren AM2

\[\overrightarrow{AM_2}=M_2-A=\left(\frac b2-a,\frac c2\right).\]

Steg 3 — Skriv den andre framstillingen

\[\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{AM_2}=\left(a+y\left(\frac b2-a\right),y\frac c2\right).\]

Steg 4 — Sammenlikn komponentene

Like vektorer har like koordinater, og vi får nøyaktig de to oppgitte likningene.

Steg 5 — Bruk andre likning

Siden trekanten er ikke-degenerert, er \(c\neq0\). Da gir \(x c/2=y c/2\) at \(x=y\).

Steg 6 — Sett y=x i første likning

\[x\frac{a+b}{2}=a+x\left(\frac b2-a\right).\]

Steg 7 — Løs algebraisk

Gang med 2 og samle x-leddene: \[x(a+b)=2a+x(b-2a)\Rightarrow3ax=2a.\] Siden \(a\neq0\), får vi \(x=2/3\).

Steg 8 — Finn y

Fordi \(x=y\), er også \(y=2/3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify, Rational

a, b, c, x, y = symbols('a b c x y', real=True, nonzero=True)
likning_x = Eq(x*(a+b)/2, a + y*(b/2-a))
likning_y = Eq(x*c/2, y*c/2)
losning = solve([likning_x, likning_y], (x,y), dict=True)

print("Første koordinatlikning:", likning_x)
print("Andre koordinatlikning:", likning_y)
print("Løsning:", losning)
print("Kontroll x - 2/3 =", simplify(losning[0][x] - Rational(2,3)))
print("Kontroll y - 2/3 =", simplify(losning[0][y] - Rational(2,3)))

Utskrift fra Python:
Første koordinatlikning: Eq(x*(a + b)/2, a + y*(-a + b/2))
Andre koordinatlikning: Eq(c*x/2, c*y/2)
Løsning: [{x: 2/3, y: 2/3}]
Kontroll x - 2/3 = 0
Kontroll y - 2/3 = 0

Fasit: \(x=y=2/3\).

Hva spør oppgaven om? Fra forrige del vet vi at S ligger \(2/3\) av veien fra O til \(M_1\). Vi bruker dette direkte på koordinatene til \(M_1\).

Steg 1 — Bruk parameterverdien

Fra c) er \(x=2/3\), og \(\overrightarrow{OS}=x\overrightarrow{OM_1}\).

Steg 2 — Sett inn vektoren OM1

\[\overrightarrow{OM_1}=\left(\frac{a+b}{2},\frac c2\right).\]

Steg 3 — Multipliser første koordinat

\[\frac23\cdot\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{3}.\]

Steg 4 — Multipliser andre koordinat

\[\frac23\cdot\frac c2=\frac c3.\]

Steg 5 — Bruk at O er origo

Siden \(O=(0,0)\), er koordinatene til S de samme som komponentene i \(\overrightarrow{OS}\).

Steg 6 — Konkluder

\[S=\left(\frac{a+b}{3},\frac c3\right).\]

Steg 7 — Alternativ kontroll

Koordinatene er også gjennomsnittet av de tre hjørnekoordinatene: \(((0+a+b)/3,(0+0+c)/3)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, Rational, simplify

a, b, c = symbols('a b c', real=True)
M1 = Matrix([(a+b)/2,c/2])
S = simplify(Rational(2,3)*M1)

print("M1 =", tuple(M1))
print("x = 2/3")
print("S = (2/3)*M1 =", tuple(S))
print("Forventet =", ((a+b)/3,c/3))

Utskrift fra Python:
M1 = (a/2 + b/2, c/2)
x = 2/3
S = (2/3)*M1 = (a/3 + b/3, c/3)
Forventet = (a/3 + b/3, c/3)

Fasit: \(S((a+b)/3,c/3)\).

Hva spør oppgaven om? Parameterne fra tidligere deler angir direkte hvor stor del av hver median som ligger mellom hjørnet og tyngdepunktet.

Steg 1 — Bruk forholdet på OM1

Fra \(\overrightarrow{OS}=(2/3)\overrightarrow{OM_1}\) følger det at \[|\overrightarrow{OS}|=\frac23|\overrightarrow{OM_1}|.\]

Steg 2 — Beregn første forhold

\[\frac{|\overrightarrow{OS}|}{|\overrightarrow{OM_1}|}=\frac23.\]

Steg 3 — Bruk forholdet på AM2

Fra \(\overrightarrow{AS}=(2/3)\overrightarrow{AM_2}\) får vi tilsvarende \[\frac{|\overrightarrow{AS}|}{|\overrightarrow{AM_2}|}=\frac23.\]

Steg 4 — Bruk symmetri for tredje median

Samme argument kan gjennomføres med medianen fra B. Alle medianene møtes i samme punkt.

Steg 5 — Beregn tredje forhold

\[\frac{|\overrightarrow{BS}|}{|\overrightarrow{BM_3}|}=\frac23.\]

Steg 6 — Beskriv delingen

Tyngdepunktet ligger altså to tredeler av medianens lengde fra hvert hjørne.

Steg 7 — Kommenter reststykket

Fra tyngdepunktet til sidens midtpunkt gjenstår én tredel. Derfor deles hver median i forholdet \(2:1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational

forhold_OS = Rational(2,3)
forhold_AS = Rational(2,3)
forhold_BS = Rational(2,3)

print("|OS|/|OM1| =", forhold_OS)
print("|AS|/|AM2| =", forhold_AS)
print("|BS|/|BM3| =", forhold_BS)
print("Kommentar: tyngdepunktet ligger 2/3 fra hvert hjørne")
print("Resterende del fra S til midtpunktet er 1/3 av medianen")

Utskrift fra Python:
|OS|/|OM1| = 2/3
|AS|/|AM2| = 2/3
|BS|/|BM3| = 2/3
Kommentar: tyngdepunktet ligger 2/3 fra hvert hjørne
Resterende del fra S til midtpunktet er 1/3 av medianen

Fasit: Alle tre forholdene er \(2/3\). Tyngdepunktet deler hver median i forholdet \(2:1\) regnet fra hjørnet.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker den generelle formelen for tyngdepunktet og løser de to koordinatlikningene for b og c.

Steg 1 — Sett a lik 6

Formelen fra d) er \[S=\left(\frac{a+b}{3},\frac c3\right).\] Med \(a=6\) blir den \[S=\left(\frac{6+b}{3},\frac c3\right).\]

Steg 2 — Sammenlikn x-koordinatene

Siden \(S_x=1\), får vi \[\frac{6+b}{3}=1.\]

Steg 3 — Løs for b

\[6+b=3\Rightarrow b=-3.\]

Steg 4 — Sammenlikn y-koordinatene

Siden \(S_y=4\), får vi \[\frac c3=4.\]

Steg 5 — Løs for c

\[c=12.\]

Steg 6 — Skriv punktet

Dermed er \[B=(-3,12).\]

Steg 7 — Kontroller med gjennomsnitt

Gjennomsnittet av hjørnene er \[((0+6-3)/3,(0+0+12)/3)=(1,4),\] som stemmer med S.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve

b, c = symbols('b c', real=True)
a = 6
Sx = (a+b)/3
Sy = c/3
losning = solve([Eq(Sx,1),Eq(Sy,4)],(b,c))

print("S_x = (6 + b)/3 = 1")
print("S_y = c/3 = 4")
print("Løsning:", losning)
print("B =", (losning[b],losning[c]))
print("Kontroll av tyngdepunkt =", ((a+losning[b])/3,losning[c]/3))

Utskrift fra Python:
S_x = (6 + b)/3 = 1
S_y = c/3 = 4
Løsning: {b: -3, c: 12}
B = (-3, 12)
Kontroll av tyngdepunkt = (1, 4)

Fasit: \(B=(-3,12)\).