Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av funksjonene \(x^2\) og \(\ln x\). Produktregelen må brukes, og definisjonsområdet \(x>0\) skal beholdes.

Steg 1 — Identifiser faktorene

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\ln x\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver første faktor

Potensregelen gir \[u^{\prime}(x)=2x.\]

Steg 4 — Deriver andre faktor

For \(x>0\) er \[v^{\prime}(x)=\frac1x.\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[f^{\prime}(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle algebraen

Siden \(x^2/x=x\), får vi \[f^{\prime}(x)=2x\ln x+x.\]

Steg 7 — Faktoriser ved behov

Et likeverdig uttrykk er \[f^{\prime}(x)=x(2\ln x+1).\] Dette er ofte nyttig ved likningsløsning og fortegnsdrøfting.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, diff, factor, simplify

x = symbols('x', positive=True)
f = x**2 * log(x)
f_derivert = diff(f, x)
f_faktorisert = factor(f_derivert)

print("Definisjonsområde: x > 0")
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Faktorisert form =", f_faktorisert)
print("Kontroll mot x*(2*log(x) + 1):", simplify(f_derivert - x*(2*log(x) + 1)))

Utskrift fra Python:
Definisjonsområde: x > 0
f(x) = x**2*log(x)
f'(x) = 2*x*log(x) + x
Faktorisert form = x*(2*log(x) + 1)
Kontroll mot x*(2*log(x) + 1): 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele et tredjegradspolynom med et førstegradspolynom. Hvert ledd i kvotienten bestemmes ved å dele høyeste grad i resten på høyeste grad i divisoren.

Steg 1 — Finn første ledd i kvotienten

\(x^3/x=x^2\). Derfor begynner kvotienten med \(x^2\).

Steg 2 — Multipliser tilbake

\[x^2(x-2)=x^3-2x^2.\]

Steg 3 — Trekk fra

\[(x^3-4x^2+x+6)-(x^3-2x^2)=-2x^2+x+6.\]

Steg 4 — Finn neste ledd

\((-2x^2)/x=-2x\). Vi legger derfor \(-2x\) til kvotienten.

Steg 5 — Multipliser og trekk fra igjen

\[-2x(x-2)=-2x^2+4x,\] og \[(-2x^2+x+6)-(-2x^2+4x)=-3x+6.\]

Steg 6 — Finn siste ledd

\((-3x)/x=-3\). Da får vi \[-3(x-2)=-3x+6.\]

Steg 7 — Bestem resten og kontroller

Etter siste subtraksjon er resten \(0\). Dermed er \[x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, div, expand, factor

x = symbols('x')
teller = x**3 - 4*x**2 + x + 6
nevner = x - 2
kvotient, rest = div(teller, nevner)

print("Dividend =", teller)
print("Divisor =", nevner)
print("Kvotient =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Kontroll: divisor*kvotient + rest =", expand(nevner*kvotient + rest))
print("Faktorisering av dividend =", factor(teller))

Utskrift fra Python:
Dividend = x**3 - 4*x**2 + x + 6
Divisor = x - 2
Kvotient = x**2 - 2*x - 3
Rest = 0
Kontroll: divisor*kvotient + rest = x**3 - 4*x**2 + x + 6
Faktorisering av dividend = (x - 3)*(x - 2)*(x + 1)

Fasit: Kvotienten er \(x^2-2x-3\), og resten er \(0\).

Hva spør oppgaven om? Direkte innsetting gir det ubestemte uttrykket \(0/0\). Vi må faktorisere og forkorte den felles faktoren før vi tar grensen.

Steg 1 — Prøv direkte innsetting

Når \(x=8\), blir både teller og nevner \(0\). Derfor kan vi ikke stoppe ved direkte innsetting.

Steg 2 — Faktoriser telleren

Differansen av to kvadrater gir \[x^2-64=(x-8)(x+8).\]

Steg 3 — Faktoriser nevneren

\[2x-16=2(x-8).\]

Steg 4 — Skriv brøken med faktorene

\[\frac{x^2-64}{2x-16}=\frac{(x-8)(x+8)}{2(x-8)}.\]

Steg 5 — Forkort den felles faktoren

For \(x\ne8\) kan \(x-8\) forkortes: \[\frac{(x-8)(x+8)}{2(x-8)}=\frac{x+8}{2}.\]

Steg 6 — Ta grensen

Nå er uttrykket kontinuerlig ved \(x=8\), så \[\lim_{x\to8}\frac{x+8}{2}=\frac{8+8}{2}.\]

Steg 7 — Regn ut

\[\frac{16}{2}=8.\] Hullet i originaluttrykket påvirker ikke grenseverdien.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, limit, factor, cancel

x = symbols('x')
uttrykk = (x**2 - 64)/(2*x - 16)
faktorisert_teller = factor(x**2 - 64)
forkortet = cancel(uttrykk)
grenserverdi = limit(uttrykk, x, 8)

print("Opprinnelig uttrykk =", uttrykk)
print("Faktorisert teller =", faktorisert_teller)
print("Forkortet uttrykk for x != 8 =", forkortet)
print("Grenseverdi når x går mot 8 =", grenserverdi)
print("Kontroll ved innsetting i forkortet uttrykk =", forkortet.subs(x, 8))

Utskrift fra Python:
Opprinnelig uttrykk = (x**2 - 64)/(2*x - 16)
Faktorisert teller = (x - 8)*(x + 8)
Forkortet uttrykk for x != 8 = x/2 + 4
Grenseverdi når x går mot 8 = 8
Kontroll ved innsetting i forkortet uttrykk = 8

Fasit: Grenseverdien er \(8\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen, kvotientregelen og potensregelen for logaritmer. Siden logaritmene må være definerte, forutsetter vi \(x>0\) og \(y>0\).

Steg 1 — Utvid første logaritme

\[\lg(xy^2)=\lg x+\lg(y^2)=\lg x+2\lg y.\]

Steg 2 — Utvid siste logaritme

\[\lg\left(\frac{x}{y^2}\right)=\lg x-\lg(y^2)=\lg x-2\lg y.\]

Steg 3 — Sett alt inn

Uttrykket blir \[\lg x+2\lg y-2\lg y+\lg x-2\lg y.\]

Steg 4 — Samle x-leddene

\[\lg x+\lg x=2\lg x.\]

Steg 5 — Samle y-leddene

\[2\lg y-2\lg y-2\lg y=-2\lg y.\]

Steg 6 — Bruk kvotientregelen

\[2\lg x-2\lg y=2(\lg x-\lg y)=2\lg\left(\frac{x}{y}\right).\]

Steg 7 — Skriv eventuelt som én logaritme

Potensregelen gir \[2\lg\left(\frac{x}{y}\right)=\lg\left(\frac{x^2}{y^2}\right).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, expand_log, simplify, logcombine

x, y = symbols('x y', positive=True)
uttrykk = log(x*y**2, 10) - 2*log(y, 10) + log(x/y**2, 10)
forenklet = simplify(expand_log(uttrykk, force=True))
samlet = logcombine(forenklet, force=True)

print("Forutsetning: x > 0 og y > 0")
print("Utvidet logaritmeuttrykk =", expand_log(uttrykk, force=True))
print("Forenklet uttrykk =", forenklet)
print("Samlet til én logaritme =", samlet)
print("Kontroll mot 2*log(x/y,10):", simplify(forenklet - 2*log(x/y,10)))

Utskrift fra Python:
Forutsetning: x > 0 og y > 0
Utvidet logaritmeuttrykk = (log(x) - 2*log(y))/log(10) + (log(x) + 2*log(y))/log(10) - 2*log(y)/log(10)
Forenklet uttrykk = log((x/y)**(2/log(10)))
Samlet til én logaritme = log((x/y)**(2/log(10)))
Kontroll mot 2*log(x/y,10): 0

Fasit: \(2\lg(x/y)\), eventuelt \(\lg(x^2/y^2)\), for \(x>0\) og \(y>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først derivere produktet med produktregelen og kjerneregelen. Deretter løser vi \(f^{\prime}(x)=0\) og bruker fortegnsskifte til å klassifisere punktet.

Steg 1 — Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=e^{-x}\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Deriver faktorene

Vi har \(u^{\prime}(x)=1\). Med kjerneregelen får vi \[v^{\prime}(x)=-e^{-x}.\]

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[f^{\prime}(x)=u^{\prime}v+uv^{\prime}=1\cdot e^{-x}+x(-e^{-x}).\]

Steg 4 — Faktoriser

\[f^{\prime}(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}.\] Dermed er uttrykket vist.

Steg 5 — Finn kritiske punkter

Vi løser \[(1-x)e^{-x}=0.\] Eksponentialfaktoren er alltid positiv og aldri null, så \(1-x=0\), altså \(x=1\).

Steg 6 — Lag fortegnsdrøfting

For \(x<1\) er \(1-x>0\), så \(f^{\prime}(x)>0\). For \(x>1\) er \(1-x<0\), så \(f^{\prime}(x)<0\). Funksjonen går derfor fra å vokse til å avta.

Steg 7 — Finn y-koordinaten og konkluder

\[f(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}\approx0{,}37.\] Punktet er et toppunkt. Det finnes ikke noe bunnpunkt, fordi den deriverte ikke skifter fra negativ til positiv noe sted.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, solve, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
f = x*exp(-x)
f_derivert = diff(f, x)
kritiske = solve(f_derivert, x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert.factor())
print("Kritiske x-verdier =", kritiske)
for xverdi in kritiske:
    print("f(", xverdi, ") =", simplify(f.subs(x, xverdi)), "≈", N(f.subs(x, xverdi), 6))
print("f'(0) =", f_derivert.subs(x, 0))
print("f'(2) =", simplify(f_derivert.subs(x, 2)))
print("Fortegn: positiv før x=1 og negativ etter x=1")

Utskrift fra Python:
f(x) = x*exp(-x)
f'(x) = -(x - 1)*exp(-x)
Kritiske x-verdier = [1]
f( 1 ) = exp(-1) ≈ 0.367879
f'(0) = 1
f'(2) = -exp(-2)
Fortegn: positiv før x=1 og negativ etter x=1

Fasit: Toppunkt \(T=(1,e^{-1})\approx(1,0{,}37)\). Ingen bunnpunkter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere \(f^{\prime}(x)=(1-x)e^{-x}\) én gang til. En løsning av \(f^{\prime\prime}(x)=0\) er bare et vendepunkt dersom krumningen faktisk skifter fortegn.

Steg 1 — Start med den deriverte

\[f^{\prime}(x)=(1-x)e^{-x}.\] Dette er igjen et produkt.

Steg 2 — Deriver første faktor

\[(1-x)^{\prime}=-1.\]

Steg 3 — Deriver eksponentialfaktoren

Med kjerneregelen er \[(e^{-x})^{\prime}=-e^{-x}.\]

Steg 4 — Bruk produktregelen

\[f^{\prime\prime}(x)=(-1)e^{-x}+(1-x)(-e^{-x}).\]

Steg 5 — Forenkle og faktoriser

\[f^{\prime\prime}(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}.\]

Steg 6 — Finn kandidat til vendepunkt

\[(x-2)e^{-x}=0.\] Siden \(e^{-x}>0\), må \(x-2=0\), så \(x=2\).

Steg 7 — Kontroller fortegnsskifte

For \(x<2\) er \(f^{\prime\prime}(x)<0\), mens for \(x>2\) er \(f^{\prime\prime}(x)>0\). Krumningen skifter derfor fra konkav ned til konkav opp.

Steg 8 — Finn y-koordinaten

\[f(2)=2e^{-2}\approx2\cdot0{,}14=0{,}28.\] Dermed er vendepunktet \(V=(2,2e^{-2})\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, solve, factor, N

x = symbols('x', real=True)
f = x*exp(-x)
f_forste = diff(f, x)
f_andre = factor(diff(f_forste, x))
vendekandidater = solve(f_andre, x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", factor(f_forste))
print("f''(x) =", f_andre)
print("Løsninger av f''(x)=0 =", vendekandidater)
for xverdi in vendekandidater:
    print("f(", xverdi, ") =", f.subs(x, xverdi), "≈", N(f.subs(x, xverdi), 6))
print("f''(1) =", f_andre.subs(x, 1))
print("f''(3) =", f_andre.subs(x, 3))
print("Fortegnsskifte: negativ før x=2, positiv etter x=2")

Utskrift fra Python:
f(x) = x*exp(-x)
f'(x) = -(x - 1)*exp(-x)
f''(x) = (x - 2)*exp(-x)
Løsninger av f''(x)=0 = [2]
f( 2 ) = 2*exp(-2) ≈ 0.270671
f''(1) = -exp(-1)
f''(3) = exp(-3)
Fortegnsskifte: negativ før x=2, positiv etter x=2

Fasit: Vendepunkt \(V=(2,2e^{-2})\approx(2,0{,}27)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kriteriet for ortogonale vektorer: To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er null.

Steg 1 — Skriv skalarproduktet

For \([u_1,u_2]\) og \([v_1,v_2]\) er skalarproduktet \(u_1v_1+u_2v_2\).

Steg 2 — Sett inn komponentene

\[\vec u\cdot\vec v=a(-b)+b(a).\]

Steg 3 — Multipliser

\[a(-b)=-ab\quad\text{og}\quad b(a)=ab.\]

Steg 4 — Legg sammen

\[\vec u\cdot\vec v=-ab+ab=0.\]

Steg 5 — Bruk ortogonalitetskriteriet

Et skalarprodukt lik null betyr at vektorene er ortogonale, så lenge de ikke begge er nullvektorer.

Steg 6 — Ta med randtilfellet

Hvis \(a=b=0\), er begge nullvektorer og vinkelen er ikke definert. For alle andre valg av \(a\) og \(b\) står vektorene vinkelrett.

Steg 7 — Konkluder

Dermed er \(\vec v=[-b,a]\) en 90-graders rotasjon av \(\vec u=[a,b]\), og vektorene er vinkelrette.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, simplify

a, b = symbols('a b', real=True)
u = Matrix([a, b])
v = Matrix([-b, a])
skalarprodukt = simplify(u.dot(v))

print("u =", u.T)
print("v =", v.T)
print("u · v =", skalarprodukt)
print("Utregning: a*(-b) + b*a =", simplify(-a*b + a*b))
print("Konklusjon: Skalarproduktet er 0 for alle reelle a og b.")

Utskrift fra Python:
u = Matrix([[a, b]])
v = Matrix([[-b, a]])
u · v = 0
Utregning: a*(-b) + b*a = 0
Konklusjon: Skalarproduktet er 0 for alle reelle a og b.

Fasit: \(\vec u\cdot\vec v=0\), altså \(\vec u\perp\vec v\) for \((a,b)\ne(0,0)\).

Hva spør oppgaven om? Linjen \(CF_3\) er høyden fra C til siden AB. Vi må vise både at parameterframstillingen går gjennom C, og at retningsvektoren er vinkelrett på AB.

Steg 1 — Les av punkt og retningsvektor

Parameterframstillingen kan skrives \[(x,y)=(3,4)+t(-1,4).\] Fastpunktet er C, og retningsvektoren er \([-1,4]\).

Steg 2 — Kontroller at linjen går gjennom C

Når \(t=0\), får vi \[(x,y)=(3,4)=C.\]

Steg 3 — Finn en retningsvektor for AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(5-1,1-0)=(4,1).\]

Steg 4 — Kontroller vinkelretthet

\[(4,1)\cdot(-1,4)=4(-1)+1\cdot4=-4+4=0.\]

Steg 5 — Tolk skalarproduktet

Siden skalarproduktet er null, er retningen \([-1,4]\) vinkelrett på siden AB.

Steg 6 — Knytt dette til fotpunktet

Høyden fra C er nettopp linjen gjennom C som står vinkelrett på AB. Den vil derfor treffe AB i fotpunktet \(F_3\).

Steg 7 — Konkluder

Linjen går gjennom C og har riktig ortogonal retning. Dermed er den en parameterframstilling for linjen \(CF_3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, symbols

t = symbols('t', real=True)
C = Matrix([3, 4])
B = Matrix([5, 1])
A = Matrix([1, 0])
AB = B - A
retning = Matrix([-1, 4])
punkt = C + t*retning

print("A =", A.T)
print("B =", B.T)
print("C =", C.T)
print("Retningsvektor for AB =", AB.T)
print("Foreslått retning for høyden =", retning.T)
print("Skalarprodukt AB · retning =", AB.dot(retning))
print("Parameterpunkt =", punkt.T)
print("Kontroll ved t=0 =", punkt.subs(t, 0).T)

Utskrift fra Python:
A = Matrix([[1, 0]])
B = Matrix([[5, 1]])
C = Matrix([[3, 4]])
Retningsvektor for AB = Matrix([[4, 1]])
Foreslått retning for høyden = Matrix([[-1, 4]])
Skalarprodukt AB · retning = 0
Parameterpunkt = Matrix([[3 - t, 4*t + 4]])
Kontroll ved t=0 = Matrix([[3, 4]])

Fasit: Framstillingen beskriver høyden gjennom C fordi den går gjennom \(C(3,4)\) og har retning \([-1,4]\perp[4,1]\).

Hva spør oppgaven om? Linjen \(AF_1\) er høyden fra A til siden BC. Vi finner derfor en retningsvektor som er vinkelrett på \(\overrightarrow{BC}\), og bruker A som fastpunkt.

Steg 1 — Finn retningen til BC

\[\overrightarrow{BC}=C-B=(3-5,4-1)=(-2,3).\]

Steg 2 — Finn en vinkelrett retning

En vektor \([p,q]\) må oppfylle \((-2)p+3q=0\). Valget \([3,2]\) virker fordi \(-6+6=0\).

Steg 3 — Kontroller skalarproduktet

\[(-2,3)\cdot(3,2)=-2\cdot3+3\cdot2=0.\]

Steg 4 — Bruk punkt–retningsform

Linjen gjennom \(A=(1,0)\) med retning \([3,2]\) er \[(x,y)=(1,0)+s(3,2).\]

Steg 5 — Skriv koordinatvis

\[x=1+3s,\qquad y=2s,\qquad s\in\mathbb R.\]

Steg 6 — Kontroller startpunktet

Når \(s=0\), får vi \((x,y)=(1,0)=A\).

Steg 7 — Konkluder

Framstillingen går gjennom A og står vinkelrett på BC, og beskriver derfor høyden \(AF_1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, symbols

s = symbols('s', real=True)
A = Matrix([1, 0])
B = Matrix([5, 1])
C = Matrix([3, 4])
BC = C - B
retning = Matrix([3, 2])
punkt = A + s*retning

print("Retningsvektor for BC =", BC.T)
print("Valgt retning for høyden fra A =", retning.T)
print("Skalarprodukt BC · retning =", BC.dot(retning))
print("Parameterframstilling =", punkt.T)
print("Når s=0 får vi =", punkt.subs(s, 0).T)
print("Koordinatvis: x =", punkt[0], ", y =", punkt[1])

Utskrift fra Python:
Retningsvektor for BC = Matrix([[-2, 3]])
Valgt retning for høyden fra A = Matrix([[3, 2]])
Skalarprodukt BC · retning = 0
Parameterframstilling = Matrix([[3*s + 1, 2*s]])
Når s=0 får vi = Matrix([[1, 0]])
Koordinatvis: x = 3*s + 1 , y = 2*s

Fasit: \(AF_1:\ (x,y)=(1,0)+s(3,2)\), \(s\in\mathbb R\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter de to parameterframstillingene lik hverandre og løser et lineært likningssystem for parameterne.

Steg 1 — Skriv linjene

\[CF_3:(x,y)=(3-t,4+4t),\] \[AF_1:(x,y)=(1+3s,2s).\]

Steg 2 — Sett x-koordinatene like

\[3-t=1+3s\quad\Longrightarrow\quad t+3s=2.\]

Steg 3 — Sett y-koordinatene like

\[4+4t=2s\quad\Longrightarrow\quad s=2+2t.\]

Steg 4 — Sett inn for s

\[t+3(2+2t)=2.\]

Steg 5 — Løs for t

\[t+6+6t=2\quad\Longrightarrow\quad7t=-4\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac47.\]

Steg 6 — Finn s

\[s=2+2\left(-\frac47\right)=\frac{14}{7}-\frac87=\frac67.\]

Steg 7 — Finn koordinatene

På \(CF_3\) får vi \[x=3-\left(-\frac47\right)=\frac{25}{7},\] \[y=4+4\left(-\frac47\right)=\frac{12}{7}.\]

Steg 8 — Kontroller på den andre linjen

\[1+3\cdot\frac67=\frac{25}{7},\qquad2\cdot\frac67=\frac{12}{7}.\] Begge linjene gir samme punkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, Rational

t, s = symbols('t s', real=True)
likninger = [
    3 - t - (1 + 3*s),
    4 + 4*t - 2*s
]
losning = solve(likninger, (t, s), dict=True)[0]
xH = 3 - t
yH = 4 + 4*t

print("Likningssystem:")
print("3 - t = 1 + 3s")
print("4 + 4t = 2s")
print("Løsning for parameterne =", losning)
print("Skjæringspunktets x-koordinat =", xH.subs(losning))
print("Skjæringspunktets y-koordinat =", yH.subs(losning))
print("Kontroll på AF1, x =", (1+3*s).subs(losning), ", y =", (2*s).subs(losning))

Utskrift fra Python:
Likningssystem:
3 - t = 1 + 3s
4 + 4t = 2s
Løsning for parameterne = {s: 6/7, t: -4/7}
Skjæringspunktets x-koordinat = 25/7
Skjæringspunktets y-koordinat = 12/7
Kontroll på AF1, x = 25/7 , y = 12/7

Fasit: Skjæringspunktet er \(H=(25/7,12/7)\).

Hva spør oppgaven om? Linjen \(BF_2\) er høyden fra B og står vinkelrett på AC. Vi viser at vektoren fra B til skjæringspunktet er vinkelrett på AC.

Steg 1 — Bruk skjæringspunktet

Fra d) har vi \[H=\left(\frac{25}{7},\frac{12}{7}\right).\]

Steg 2 — Finn en retningsvektor for AC

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,4-0)=(2,4).\]

Steg 3 — Finn vektoren fra B til H

\[\overrightarrow{BH}=H-B=\left(\frac{25}{7}-5,\frac{12}{7}-1\right)=\left(-\frac{10}{7},\frac57\right).\]

Steg 4 — Regn skalarproduktet

\[\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BH}=2\left(-\frac{10}{7}\right)+4\left(\frac57\right).\]

Steg 5 — Forenkle

\[\frac{-20}{7}+\frac{20}{7}=0.\]

Steg 6 — Tolk resultatet

Siden skalarproduktet er null, er \(BH\perp AC\). Linjen gjennom B og H er dermed høyden fra B, altså linjen \(BF_2\).

Steg 7 — Identifiser den geometriske setningen

Dette illustrerer setningen om at de tre høydene i en trekant går gjennom ett felles punkt.

Steg 8 — Navngi punktet

Det felles skjæringspunktet kalles trekantens ortosenter. Her er ortosenteret \(H=(25/7,12/7)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, Rational, simplify

A = Matrix([1, 0])
B = Matrix([5, 1])
C = Matrix([3, 4])
H = Matrix([Rational(25,7), Rational(12,7)])
AC = C - A
BH = H - B

print("Retningsvektor AC =", AC.T)
print("Vektor BH =", BH.T)
print("Skalarprodukt AC · BH =", simplify(AC.dot(BH)))
print("BH som multiplum av (-2,1):", simplify(BH[0]/(-2)), simplify(BH[1]/1))
print("Punkt H =", H.T)
print("Konklusjon: H ligger på høyden fra B.")

Utskrift fra Python:
Retningsvektor AC = Matrix([[2, 4]])
Vektor BH = Matrix([[-10/7, 5/7]])
Skalarprodukt AC · BH = 0
BH som multiplum av (-2,1): 5/7 5/7
Punkt H = Matrix([[25/7, 12/7]])
Konklusjon: H ligger på høyden fra B.

Fasit: Punktet ligger på \(BF_2\), og det er et eksempel på at trekantens tre høyder er konkurrente og møtes i ortosenteret.

Hva spør oppgaven om? Rekkefølgen på kortene i en hånd spiller ingen rolle. Vi skal derfor bruke kombinasjoner, ikke permutasjoner.

Steg 1 — Identifiser utvalgsformen

Vi velger 5 forskjellige kort blant 52, uten tilbakelegging og uten å ta hensyn til rekkefølge.

Steg 2 — Velg kombinasjonsformelen

Antall utvalg er \[\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!47!}.\]

Steg 3 — Forkort fakultetene

\[\binom{52}{5}=\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.\]

Steg 4 — Regn telleren strukturert

Vi kan forkorte faktorer før multiplikasjon for å unngå unødvendig store mellomtall.

Steg 5 — Utfør beregningen

\[\binom{52}{5}=2\,598\,960.\]

Steg 6 — Forklar hvorfor rekkefølgen ikke teller

En hånd med de samme fem kortene er den samme hånden uansett hvilken rekkefølge kortene ble trukket i.

Steg 7 — Konkluder

Det finnes dermed litt over 2,5 millioner forskjellige femkortshender.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb

antall_kort = 52
kort_i_hand = 5
antall_hender = comb(antall_kort, kort_i_hand)

print("Antall kort i kortstokken =", antall_kort)
print("Antall kort i en hånd =", kort_i_hand)
print("Kombinasjon C(52,5) =", antall_hender)
print("Kontroll med formelen:")
print("52*51*50*49*48 / (5*4*3*2*1) =", 52*51*50*49*48 // (5*4*3*2*1))

Utskrift fra Python:
Antall kort i kortstokken = 52
Antall kort i en hånd = 5
Kombinasjon C(52,5) = 2598960
Kontroll med formelen:
52*51*50*49*48 / (5*4*3*2*1) = 2598960

Fasit: Det finnes \(2\,598\,960\) mulige korthender.

Hva spør oppgaven om? Alle femkortshender er like sannsynlige. Sannsynligheten finnes derfor som antall gunstige hender dividert på totalt antall hender.

Steg 1 — Bruk totalantallet fra a

Utvalgsrommet har \[\binom{52}{5}=2\,598\,960\] hender.

Steg 2 — Tell gunstige hender for A

For hendelsen A skal alle fem kort velges blant de 13 sparkortene: \[|A|=\binom{13}{5}=1287.\]

Steg 3 — Beregn sannsynligheten for A

\[P(A)=\frac{\binom{13}{5}}{\binom{52}{5}}=\frac{1287}{2\,598\,960}.\]

Steg 4 — Forkort og gi desimaltall

\[P(A)=\frac{33}{66\,640}\approx0{,}000495.\] Det tilsvarer omtrent \(0{,}0495\%\).

Steg 5 — Tell gunstige hender for B

Det finnes 26 svarte kort, så \[|B|=\binom{26}{5}=65\,780.\]

Steg 6 — Beregn sannsynligheten for B

\[P(B)=\frac{\binom{26}{5}}{\binom{52}{5}}=\frac{65\,780}{2\,598\,960}.\]

Steg 7 — Forkort og tolk

\[P(B)=\frac{253}{9996}\approx0{,}02531.\] Det tilsvarer omtrent \(2{,}531\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
from fractions import Fraction

alle = comb(52, 5)
antall_A = comb(13, 5)
antall_B = comb(26, 5)
P_A = Fraction(antall_A, alle)
P_B = Fraction(antall_B, alle)

print("Totalt antall hender =", alle)
print("Antall hender med 5 spar =", antall_A)
print("Antall hender med 5 svarte kort =", antall_B)
print("P(A) =", P_A, "≈", float(P_A))
print("P(B) =", P_B, "≈", float(P_B))
print("Kontroll: 13 spar og 26 svarte kort er brukt i tellerne.")

Utskrift fra Python:
Totalt antall hender = 2598960
Antall hender med 5 spar = 1287
Antall hender med 5 svarte kort = 65780
P(A) = 33/66640 ≈ 0.0004951980792316927
P(B) = 253/9996 ≈ 0.025310124049619846
Kontroll: 13 spar og 26 svarte kort er brukt i tellerne.

Fasit: \(P(A)=33/66\,640\approx0{,}000495\) og \(P(B)=253/9996\approx0{,}02531\).

Hva spør oppgaven om? Når vi vet at alle fem kortene er svarte, er utvalgsrommet redusert til hender valgt blant de 26 svarte kortene. Deretter sammenligner vi \(P(A\mid B)\) med \(P(A)\).

Steg 1 — Se sammenhengen mellom hendelsene

Alle sparkort er svarte. Derfor innebærer A automatisk B, altså \(A\subseteq B\).

Steg 2 — Bruk definisjonen av betinget sannsynlighet

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\] Siden \(A\cap B=A\), blir dette \(P(A)/P(B)\).

Steg 3 — Tell direkte i det reduserte utvalgsrommet

Blant svarte hender finnes \(\binom{26}{5}\) muligheter, og \(\binom{13}{5}\) av dem er rene sparhender.

Steg 4 — Sett opp brøken

\[P(A\mid B)=\frac{\binom{13}{5}}{\binom{26}{5}}=\frac{1287}{65\,780}.\]

Steg 5 — Forkort og regn desimalt

\[P(A\mid B)=\frac9{460}\approx0{,}01957.\]

Steg 6 — Test uavhengighet

Hendelser er uavhengige dersom \(P(A\mid B)=P(A)\), forutsatt \(P(B)>0\).

Steg 7 — Sammenlign

\[P(A\mid B)\approx0{,}01957\ne0{,}000495\approx P(A).\]

Steg 8 — Konkluder og tolk

Hendelsene er ikke uavhengige. Informasjonen om at hånden er svart gjør en ren sparhånd langt mer sannsynlig enn den var på forhånd.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
from fractions import Fraction

alle = comb(52, 5)
antall_A = comb(13, 5)
antall_B = comb(26, 5)
P_A = Fraction(antall_A, alle)
P_B = Fraction(antall_B, alle)
P_A_gitt_B = Fraction(antall_A, antall_B)
produkt = P_A * P_B

print("A er en delmengde av B: A ⊂ B")
print("P(A|B) = |A|/|B| =", P_A_gitt_B, "≈", float(P_A_gitt_B))
print("P(A) =", P_A, "≈", float(P_A))
print("P(B) =", P_B, "≈", float(P_B))
print("P(A)*P(B) =", produkt, "≈", float(produkt))
print("P(A|B) == P(A):", P_A_gitt_B == P_A)
print("Konklusjon: Hendelsene er ikke uavhengige.")

Utskrift fra Python:
A er en delmengde av B: A ⊂ B
P(A|B) = |A|/|B| = 9/460 ≈ 0.01956521739130435
P(A) = 33/66640 ≈ 0.0004951980792316927
P(B) = 253/9996 ≈ 0.025310124049619846
P(A)*P(B) = 2783/222044480 ≈ 1.2533524814487619e-05
P(A|B) == P(A): False
Konklusjon: Hendelsene er ikke uavhengige.

Fasit: \(P(A\mid B)=9/460\approx0{,}01957\). Hendelsene A og B er ikke uavhengige.

Hva spør oppgaven om? Vi leser fortegnet til \(f^{\prime}\) fra grafen. Funksjonen vokser der den deriverte ligger over x-aksen og avtar der den ligger under.

Steg 1 — Finn nullpunktene til den deriverte

Grafen til \(f^{\prime}\) skjærer x-aksen ved \(x=1\) og \(x=3\). Disse verdiene deler tallinjen i tre intervaller.

Steg 2 — Undersøk intervallet før x=1

For \(x<1\) ligger grafen til \(f^{\prime}\) under x-aksen. Dermed er \(f^{\prime}(x)<0\).

Steg 3 — Tolk første intervall

Når den deriverte er negativ, avtar originalfunksjonen. Derfor avtar \(f\) for \(x<1\).

Steg 4 — Undersøk intervallet mellom nullpunktene

For \(1<x<3\) ligger grafen over x-aksen, så \(f^{\prime}(x)>0\).

Steg 5 — Tolk midtintervallet

Positiv derivert betyr at \(f\) vokser. Derfor vokser \(f\) for \(1<x<3\).

Steg 6 — Undersøk intervallet etter x=3

For \(x>3\) ligger grafen igjen under x-aksen, så \(f^{\prime}(x)<0\).

Steg 7 — Konkluder med intervallene

Funksjonen avtar på \(( -\infty,1)\), vokser på \((1,3)\) og avtar på \((3,\infty)\). Ved \(x=1\) og \(x=3\) er den deriverte null.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality, Interval

x = symbols('x', real=True)
f_derivert = -(x-1)*(x-3)

print("f'(x) =", factor(f_derivert))
print("Nullpunkter for f' =", [1, 3])
print("f'(0) =", f_derivert.subs(x, 0))
print("f'(2) =", f_derivert.subs(x, 2))
print("f'(4) =", f_derivert.subs(x, 4))
print("Vokser når 1 < x < 3")
print("Avtar når x < 1 eller x > 3")

Utskrift fra Python:
f'(x) = -(x - 3)*(x - 1)
Nullpunkter for f' = [1, 3]
f'(0) = -3
f'(2) = 1
f'(4) = -3
Vokser når 1 < x < 3
Avtar når x < 1 eller x > 3

Fasit: \(f\) vokser for \(1<x<3\) og avtar for \(x<1\) og \(x>3\).

Hva spør oppgaven om? Ekstremalpunkter finnes der \(f^{\prime}\) skifter fortegn. Vendepunktet til en tredjegradsfunksjon finnes der \(f^{\prime}\) har topp- eller bunnpunkt, fordi \(f^{\prime\prime}=0\) der.

Steg 1 — Undersøk x=1

Ved \(x=1\) går \(f^{\prime}\) fra negativ til positiv.

Steg 2 — Klassifiser x=1

Originalfunksjonen går fra å avta til å vokse. Derfor har \(f\) et bunnpunkt med førstekoordinat \(x=1\).

Steg 3 — Undersøk x=3

Ved \(x=3\) går \(f^{\prime}\) fra positiv til negativ.

Steg 4 — Klassifiser x=3

Originalfunksjonen går fra å vokse til å avta. Derfor har \(f\) et toppunkt med førstekoordinat \(x=3\).

Steg 5 — Finn ekstremalpunktet til f prim

Grafen til \(f^{\prime}\) er en nedovervendt parabel med toppunkt ved \(x=2\). Der er stigningstallet til \(f^{\prime}\), altså \(f^{\prime\prime}\), lik null.

Steg 6 — Kontroller krumningsskifte

Før \(x=2\) stiger \(f^{\prime}\), så \(f^{\prime\prime}>0\). Etter \(x=2\) synker \(f^{\prime}\), så \(f^{\prime\prime}<0\).

Steg 7 — Klassifiser x=2

Andrederiverten skifter fortegn ved \(x=2\), så \(f\) har et vendepunkt med førstekoordinat \(x=2\).

Steg 8 — Oppsummer

Førstekoordinatene er derfor 1 for bunnpunktet, 3 for toppunktet og 2 for vendepunktet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, solve, factor

x = symbols('x', real=True)
f_derivert = -(x-1)*(x-3)
f_andre = diff(f_derivert, x)

print("f'(x) =", factor(f_derivert))
print("f''(x) =", f_andre)
print("Kritiske x-verdier fra f'(x)=0 =", solve(f_derivert, x))
print("Kandidat til vendepunkt fra f''(x)=0 =", solve(f_andre, x))
print("Fortegn rundt x=1: f'(0) =", f_derivert.subs(x,0), ", f'(2) =", f_derivert.subs(x,2))
print("Fortegn rundt x=3: f'(2) =", f_derivert.subs(x,2), ", f'(4) =", f_derivert.subs(x,4))
print("Bunn ved x=1, topp ved x=3, vende ved x=2")

Utskrift fra Python:
f'(x) = -(x - 3)*(x - 1)
f''(x) = 4 - 2*x
Kritiske x-verdier fra f'(x)=0 = [1, 3]
Kandidat til vendepunkt fra f''(x)=0 = [2]
Fortegn rundt x=1: f'(0) = -3 , f'(2) = 1
Fortegn rundt x=3: f'(2) = 1 , f'(4) = -3
Bunn ved x=1, topp ved x=3, vende ved x=2

Fasit: Bunnpunkt: \(x=1\). Vendepunkt: \(x=2\). Toppunkt: \(x=3\).

Hva spør oppgaven om? Grafen er en parabel med kjente nullpunkter og et kjent toppunkt. Vi bruker faktorformen med en ukjent konstant og bestemmer konstanten fra punktet \((2,1)\).

Steg 1 — Bruk nullpunktene

Siden grafen skjærer x-aksen ved 1 og 3, må uttrykket ha faktorene \((x-1)\) og \((x-3)\).

Steg 2 — Skriv generell faktorform

\[f^{\prime}(x)=a(x-1)(x-3).\]

Steg 3 — Bruk toppunktets koordinat

Grafen går gjennom \((2,1)\), så \[1=a(2-1)(2-3).\]

Steg 4 — Regn ut konstanten

\[1=a\cdot1\cdot(-1)=-a\quad\Longrightarrow\quad a=-1.\]

Steg 5 — Sett inn a

\[f^{\prime}(x)=-(x-1)(x-3).\]

Steg 6 — Utvid produktet

\[(x-1)(x-3)=x^2-4x+3.\] Derfor \[f^{\prime}(x)=-x^2+4x-3.\]

Steg 7 — Kontroller mot grafen

\(f^{\prime}(1)=0\), \(f^{\prime}(2)=1\) og \(f^{\prime}(3)=0\). Dessuten er koeffisienten foran \(x^2\) negativ, så parabelen vender nedover.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, interpolate, expand, factor, simplify, solve

x = symbols('x', real=True)
# Grafen viser nullpunktene 1 og 3 og toppunktet (2,1).
a = symbols('a')
f_derivert_generell = a*(x-1)*(x-3)
a_verdi = solve(f_derivert_generell.subs(x,2)-1, a)[0]
f_derivert = expand(f_derivert_generell.subs(a,a_verdi))

print("Generell faktorform = a*(x - 1)*(x - 3)")
print("Krav fra punktet (2,1): a*(2-1)*(2-3) = 1")
print("a =", a_verdi)
print("f'(x) i faktorform =", factor(f_derivert))
print("f'(x) utvidet =", f_derivert)
print("Kontroll f'(1), f'(2), f'(3) =", f_derivert.subs(x,1), f_derivert.subs(x,2), f_derivert.subs(x,3))

Utskrift fra Python:
Generell faktorform = a*(x - 1)*(x - 3)
Krav fra punktet (2,1): a*(2-1)*(2-3) = 1
a = -1
f'(x) i faktorform = -(x - 3)*(x - 1)
f'(x) utvidet = -x**2 + 4*x - 3
Kontroll f'(1), f'(2), f'(3) = 0 1 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3\).

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner den deriverte og skal finne originalfunksjonen ved antiderivasjon. Integrasjonskonstanten bestemmes av at grafen går gjennom origo.

Steg 1 — Start med uttrykket for den deriverte

Fra c) har vi \[f^{\prime}(x)=-x^2+4x-3.\]

Steg 2 — Integrer ledd for ledd

\[f(x)=\int(-x^2+4x-3)\,dx.\]

Steg 3 — Antideriver første ledd

\[\int -x^2\,dx=-\frac13x^3.\]

Steg 4 — Antideriver de øvrige leddene

\[\int4x\,dx=2x^2,\qquad\int(-3)\,dx=-3x.\]

Steg 5 — Ta med integrasjonskonstanten

\[f(x)=-\frac13x^3+2x^2-3x+C.\]

Steg 6 — Bruk at grafen går gjennom origo

\[f(0)=0\quad\Longrightarrow\quad C=0.\] Dermed er uttrykket i oppgaven forklart.

Steg 7 — Finn sentrale punkter for tegningen

\[f(0)=0,\quad f(1)=-\frac43,\quad f(2)=-\frac23,\quad f(3)=0,\quad f(4)=-\frac43.\]

Steg 8 — Bruk drøftingen i grafen

Grafen avtar til bunnpunktet ved \(x=1\), vokser gjennom vendepunktet ved \(x=2\) til toppunktet ved \(x=3\), og avtar deretter til \(x=4\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, integrate, diff, simplify, Rational, solve

x, C = symbols('x C', real=True)
f_derivert = -x**2 + 4*x - 3
f_generell = integrate(f_derivert, x) + C
C_verdi = solve(f_generell.subs(x,0), C)[0]
f = simplify(f_generell.subs(C,C_verdi))

print("f'(x) =", f_derivert)
print("Ubestemt integral =", f_generell)
print("Kravet f(0)=0 gir C =", C_verdi)
print("f(x) =", f)
print("Kontroll: derivert av f =", diff(f,x))
for verdi in [0,1,2,3,4]:
    print(f"f({verdi}) =", f.subs(x,verdi))

Utskrift fra Python:
f'(x) = -x**2 + 4*x - 3
Ubestemt integral = C - x**3/3 + 2*x**2 - 3*x
Kravet f(0)=0 gir C = 0
f(x) = x*(-x**2 + 6*x - 9)/3
Kontroll: derivert av f = -x**2/3 + x*(6 - 2*x)/3 + 2*x - 3
f(0) = 0
f(1) = -4/3
f(2) = -2/3
f(3) = 0
f(4) = -4/3

Fasit: \(f(x)=-x^3/3+2x^2-3x\). På \([0,4]\) har grafen bunn ved \(x=1\), vende ved \(x=2\) og topp ved \(x=3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke både grunnlinjen AB og høyden CD ved hjelp av x. Symmetrien i den likebeinte trekanten og Pytagoras i den rettvinklede trekanten SDB er hovedverktøyene.

Steg 1 — Bruk symmetrien

I en likebeint trekant går høyden fra toppunktet gjennom midtpunktet av grunnlinjen. Derfor er \(AD=DB\), og \(AB=2DB\).

Steg 2 — Bruk sirkelradiusen

Punktet B ligger på sirkelen, så \(SB=1\). Dessuten er \(SD=x\).

Steg 3 — Bruk Pytagoras i trekant SDB

Trekanten SDB er rettvinklet i D. Dermed \[DB^2+SD^2=SB^2.\]

Steg 4 — Finn halve grunnlinjen

\[DB^2+x^2=1\quad\Longrightarrow\quad DB=\sqrt{1-x^2}.\] Vi velger positiv rot fordi DB er en lengde.

Steg 5 — Finn hele grunnlinjen

\[AB=2DB=2\sqrt{1-x^2}.\]

Steg 6 — Finn høyden

Punktene C, S og D ligger på samme linje, og \(CS=1\). Derfor \[CD=CS+SD=1+x.\]

Steg 7 — Sett inn i arealformelen

\[F(x)=\frac12\cdot AB\cdot CD=\frac12\cdot2\sqrt{1-x^2}\cdot(1+x).\]

Steg 8 — Forenkle

\[F(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}.\] I den viste geometrien er \(0\le x\le1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, simplify

x = symbols('x', real=True)
AD = sqrt(1 - x**2)
AB = 2*AD
CD = 1 + x
F = simplify(AB*CD/2)

print("SD = x")
print("SB = 1")
print("DB = sqrt(1 - x^2) =", AD)
print("AB = 2*DB =", AB)
print("CD = CS + SD =", CD)
print("Areal F(x) = AB*CD/2 =", F)
print("Kontroll mot (1+x)*sqrt(1-x^2):", simplify(F - (1+x)*sqrt(1-x**2)))

Utskrift fra Python:
SD = x
SB = 1
DB = sqrt(1 - x^2) = sqrt(1 - x**2)
AB = 2*DB = 2*sqrt(1 - x**2)
CD = CS + SD = x + 1
Areal F(x) = AB*CD/2 = sqrt(1 - x**2)*(x + 1)
Kontroll mot (1+x)*sqrt(1-x^2): 0

Fasit: \(F(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}\), for \(0\le x\le1\).

Hva spør oppgaven om? Vi tegner arealfunksjonen på det geometriske definisjonsområdet \([0,1]\). Maksimum kan avleses grafisk og kontrolleres ved å sammenligne endepunkter og kritisk punkt.

Steg 1 — Fastsett definisjonsområdet

Lengden \(SD=x\) kan variere fra 0 til sirkelradiusen 1. Derfor bruker vi \(0\le x\le1\).

Steg 2 — Skriv funksjonen

\[F(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}.\]

Steg 3 — Tegn grafen digitalt

I GeoGebra kan vi skrive \(F(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}\) og avgrense visningen til intervallet \([0,1]\).

Steg 4 — Avles maksimumspunktet

Grafen stiger fra \(x=0\), når et toppunkt ved omtrent \(x=0{,}5\), og synker deretter til 0 ved \(x=1\).

Steg 5 — Beregn funksjonsverdien i toppunktet

\[F\left(\frac12\right)=\left(1+\frac12\right)\sqrt{1-\frac14}.\]

Steg 6 — Forenkle eksakt

\[F\left(\frac12\right)=\frac32\sqrt{\frac34}=\frac32\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}.\]

Steg 7 — Gi desimalverdi

\[\frac{3\sqrt3}{4}\approx1{,}299.\] Arealenheten er kvadratenheten til radiusen.

Steg 8 — Kontroller endepunktene

\(F(0)=1\) og \(F(1)=0\), så den avleste indre toppverdien er større enn begge endepunktsverdiene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, solve, simplify, N, Rational

x = symbols('x', real=True)
F = (1+x)*sqrt(1-x**2)
F_derivert = simplify(diff(F, x))
kritiske = solve(F_derivert, x)

print("F(x) =", F)
print("F'(x) =", F_derivert)
print("Løsninger av F'(x)=0 =", kritiske)
print("Gyldig indre løsning på [0,1] = 1/2")
xm = Rational(1, 2)
F_maks = simplify(F.subs(x, xm))
print("F(1/2) =", F_maks, "≈", N(F_maks, 8))
print("F(0) =", F.subs(x,0))
print("F(1) =", F.subs(x,1))
print("Maksimalt areal =", F_maks)

Utskrift fra Python:
F(x) = sqrt(1 - x**2)*(x + 1)
F'(x) = (-2*x**2 - x + 1)/sqrt(1 - x**2)
Løsninger av F'(x)=0 = [1/2]
Gyldig indre løsning på [0,1] = 1/2
F(1/2) = 3*sqrt(3)/4 ≈ 1.2990381
F(0) = 1
F(1) = 0
Maksimalt areal = 3*sqrt(3)/4

Fasit: Det største arealet er \(3\sqrt3/4\approx1{,}30\), og oppnås når \(x=1/2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere produktet \((1+x)\sqrt{1-x^2}\), sette inn \(x=1/2\) og deretter tolke fortegnsskiftet i den geometriske situasjonen.

Steg 1 — Skriv funksjonen som produkt

\[F(x)=(1+x)(1-x^2)^{1/2}.\]

Steg 2 — Deriver første faktor

\[(1+x)^{\prime}=1.\]

Steg 3 — Deriver rotfaktoren med kjerneregel

\[\left((1-x^2)^{1/2}\right)^{\prime}=\frac12(1-x^2)^{-1/2}(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Steg 4 — Bruk produktregelen

\[F^{\prime}(x)=\sqrt{1-x^2}-(1+x)\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Steg 5 — Skriv over felles nevner

\[F^{\prime}(x)=\frac{1-x^2-x(1+x)}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-x-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Steg 6 — Faktoriser telleren

\[1-x-2x^2=-(2x-1)(x+1).\] Dermed \[F^{\prime}(x)=-\frac{(2x-1)(x+1)}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Steg 7 — Sett inn x lik en halv

Faktoren \(2x-1\) blir null når \(x=1/2\), mens nevneren er positiv. Derfor \[F^{\prime}(1/2)=0.\]

Steg 8 — Kommenter løsningen

På \((0,1)\) er \(x+1>0\) og nevneren positiv. Den deriverte er positiv før \(1/2\) og negativ etter \(1/2\). Derfor gir løsningen et maksimum, i samsvar med grafen i b).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify, factor, Rational

x = symbols('x', real=True)
F = (1+x)*sqrt(1-x**2)
F_derivert = factor(simplify(diff(F, x)))
verdi = simplify(F_derivert.subs(x, Rational(1,2)))

print("F(x) =", F)
print("F'(x) =", F_derivert)
print("F'(1/2) =", verdi)
print("Telleren kan skrives som -(x + 1)*(2*x - 1)")
print("På intervallet 0 < x < 1 er nevneren positiv.")
print("Fortegn før 1/2, for eksempel F'(1/4) =", simplify(F_derivert.subs(x,Rational(1,4))))
print("Fortegn etter 1/2, for eksempel F'(3/4) =", simplify(F_derivert.subs(x,Rational(3,4))))

Utskrift fra Python:
F(x) = sqrt(1 - x**2)*(x + 1)
F'(x) = -(x + 1)*(2*x - 1)/sqrt(-(x - 1)*(x + 1))
F'(1/2) = 0
Telleren kan skrives som -(x + 1)*(2*x - 1)
På intervallet 0 < x < 1 er nevneren positiv.
Fortegn før 1/2, for eksempel F'(1/4) = sqrt(15)/6
Fortegn etter 1/2, for eksempel F'(3/4) = -sqrt(7)/2

Fasit: \(F^{\prime}(1/2)=0\), og fortegnsskiftet viser at \(x=1/2\) gir maksimalt areal.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker de samme rettvinklede trekantene som i a). Først finner vi grunnlinjen og høyden, deretter bruker vi Pytagoras for de to like sidene.

Steg 1 — Sett inn x-verdien

\[SD=x=\frac12.\]

Steg 2 — Finn høyden CD

\[CD=CS+SD=1+\frac12=\frac32.\]

Steg 3 — Finn halve grunnlinjen

\[DB=\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\frac14}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}.\]

Steg 4 — Finn hele grunnlinjen

\[AB=2DB=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.\]

Steg 5 — Finn siden BC

I den rettvinklede trekanten CDB får vi \[BC^2=CD^2+DB^2.\]

Steg 6 — Sett inn lengdene

\[BC^2=\left(\frac32\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac94+\frac34=3.\] Dermed \(BC=\sqrt3\).

Steg 7 — Bruk likebeintheten

Siden trekanten er likebeint, er \(AC=BC=\sqrt3\).

Steg 8 — Kommenter

Vi har fått \(AB=AC=BC=\sqrt3\). Trekanten med størst areal er altså likesidet, noe som er et klassisk maksimalarealresultat for trekanter innskrevet i en gitt sirkel.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational, sqrt, simplify

x = Rational(1,2)
SD = x
CS = 1
CD = CS + SD
DB = sqrt(1 - x**2)
AB = 2*DB
AC = sqrt(DB**2 + CD**2)
BC = AC

print("x =", x)
print("SD =", SD)
print("CD = 1 + x =", CD)
print("DB = sqrt(1 - x^2) =", DB)
print("AB = 2*DB =", simplify(AB))
print("AC = sqrt(DB^2 + CD^2) =", simplify(AC))
print("BC =", simplify(BC))
print("Alle tre sider er like:", simplify(AB-AC), simplify(AC-BC))

Utskrift fra Python:
x = 1/2
SD = 1/2
CD = 1 + x = 3/2
DB = sqrt(1 - x^2) = sqrt(3)/2
AB = 2*DB = sqrt(3)
AC = sqrt(DB^2 + CD^2) = sqrt(3)
BC = sqrt(3)
Alle tre sider er like: 0 0

Fasit: \(AB=AC=BC=\sqrt3\). Trekanten er likesidet.

Hva spør oppgaven om? Når to sirkler tangerer hverandre utvendig, ligger sentrene og tangeringspunktet på samme rette linje. Avstanden mellom sentrene er derfor summen av radiene.

Steg 1 — Se på sirkel 1 og 2

La tangeringspunktet mellom disse sirklene ligge på linjestykket \(S_1S_2\).

Steg 2 — Del sentrumavstanden i to radiusstykker

Fra \(S_1\) til tangeringspunktet er avstanden \(a\), og derfra til \(S_2\) er avstanden \(b\).

Steg 3 — Legg lengdene sammen

\[S_1S_2=a+b.\]

Steg 4 — Bruk samme argument for sirkel 1 og 3

Disse sirklene har radier \(a\) og \(c\), så \[S_1S_3=a+c.\]

Steg 5 — Bruk samme argument for sirkel 2 og 3

Disse sirklene har radier \(b\) og \(c\), så \[S_2S_3=b+c.\]

Steg 6 — Kontroller at det er ytre tangering

Ved indre tangering ville sentrumavstanden vært differansen mellom radiene. Figuren viser ytre tangering, så summen er riktig.

Steg 7 — Konkluder

Alle tre sentrumavstandene fås ved å summere radiene til de to aktuelle sirklene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols

a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
S1S2 = a + b
S1S3 = a + c
S2S3 = b + c

print("Radius i sirkel 1 =", a)
print("Radius i sirkel 2 =", b)
print("Radius i sirkel 3 =", c)
print("S1S2 = a + b =", S1S2)
print("S1S3 = a + c =", S1S3)
print("S2S3 = b + c =", S2S3)
print("Begrunnelse: Ved ytre tangering ligger tangeringspunktet på linjen mellom sentrene.")

Utskrift fra Python:
Radius i sirkel 1 = a
Radius i sirkel 2 = b
Radius i sirkel 3 = c
S1S2 = a + b = a + b
S1S3 = a + c = a + c
S2S3 = b + c = b + c
Begrunnelse: Ved ytre tangering ligger tangeringspunktet på linjen mellom sentrene.

Fasit: \(S_1S_2=a+b\), \(S_1S_3=a+c\) og \(S_2S_3=b+c\).

Hva spør oppgaven om? Sentrene \(S_1\) og \(S_2\) ligger henholdsvis a og b over linjen. Sammen med den horisontale avstanden AC danner høydeforskjellen og sentrumavstanden en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Finn hypotenusen

Fra a) vet vi at \[S_1S_2=a+b.\]

Steg 2 — Finn den vertikale kateten

Sentrum \(S_1\) ligger \(a\) over linjen og \(S_2\) ligger \(b\) over linjen. Høydeforskjellen er derfor \(|a-b|\). Når vi kvadrerer, blir dette \((a-b)^2\).

Steg 3 — Identifiser den horisontale kateten

Den horisontale avstanden mellom loddlinjene gjennom sentrene er den samme som avstanden mellom tangeringspunktene A og C, altså AC.

Steg 4 — Bruk Pytagoras

\[AC^2+(a-b)^2=(a+b)^2.\]

Steg 5 — Flytt ledd

\[AC^2=(a+b)^2-(a-b)^2.\]

Steg 6 — Utvid kvadratene

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\]

Steg 7 — Trekk fra

\[AC^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab.\]

Steg 8 — Ta positiv kvadratrot

Fordi AC er en lengde, velger vi positiv rot: \[AC=\sqrt{4ab}=2\sqrt{ab}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt, expand, simplify

a, b, AC = symbols('a b AC', positive=True)
likning = Eq(AC**2 + (a-b)**2, (a+b)**2)
losning = solve(likning, AC)

print("Pytagoras-likning:", likning)
print("Utvidet venstreside =", expand(AC**2 + (a-b)**2))
print("Utvidet høyreside =", expand((a+b)**2))
print("Etter forkorting: AC^2 =", simplify((a+b)**2 - (a-b)**2))
print("Løsninger for AC =", losning)
print("Siden AC er en lengde, velges den positive roten:")
print("AC =", 2*sqrt(a*b))

Utskrift fra Python:
Pytagoras-likning: Eq(AC**2 + (a - b)**2, (a + b)**2)
Utvidet venstreside = AC**2 + a**2 - 2*a*b + b**2
Utvidet høyreside = a**2 + 2*a*b + b**2
Etter forkorting: AC^2 = 4*a*b
Løsninger for AC = [2*sqrt(a)*sqrt(b)]
Siden AC er en lengde, velges den positive roten:
AC = 2*sqrt(a)*sqrt(b)

Fasit: \(AC=2\sqrt{ab}\).

Hva spør oppgaven om? Vi gjentar Pytagoras-argumentet fra b) for de to sirkelparene som inneholder den lille sirkelen med radius c.

Steg 1 — Se på sirkel 1 og 3

Sentrumavstanden er \(S_1S_3=a+c\), og høydeforskjellen mellom sentrene er \(|a-c|\). Den horisontale avstanden er AB.

Steg 2 — Skriv Pytagoras for AB

\[AB^2+(a-c)^2=(a+c)^2.\]

Steg 3 — Isoler og forenkle

\[AB^2=(a+c)^2-(a-c)^2=4ac.\]

Steg 4 — Ta positiv rot

\[AB=2\sqrt{ac}.\]

Steg 5 — Se på sirkel 2 og 3

Sentrumavstanden er \(S_2S_3=b+c\), høydeforskjellen er \(|b-c|\), og den horisontale avstanden er BC.

Steg 6 — Skriv Pytagoras for BC

\[BC^2+(b-c)^2=(b+c)^2.\]

Steg 7 — Forenkle

\[BC^2=(b+c)^2-(b-c)^2=4bc.\]

Steg 8 — Ta positiv rot og konkluder

\[BC=2\sqrt{bc}.\] Begge resultatene har samme struktur som formelen i b).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, simplify

a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
AB = 2*sqrt(a*c)
BC = 2*sqrt(b*c)

kontroll_AB = simplify((a+c)**2 - (a-c)**2)
kontroll_BC = simplify((b+c)**2 - (b-c)**2)

print("For sirkel 1 og 3:")
print("AB^2 = (a+c)^2 - (a-c)^2 =", kontroll_AB)
print("AB =", AB)
print("For sirkel 2 og 3:")
print("BC^2 = (b+c)^2 - (b-c)^2 =", kontroll_BC)
print("BC =", BC)
print("Begge lengdene er valgt som positive røtter.")

Utskrift fra Python:
For sirkel 1 og 3:
AB^2 = (a+c)^2 - (a-c)^2 = 4*a*c
AB = 2*sqrt(a)*sqrt(c)
For sirkel 2 og 3:
BC^2 = (b+c)^2 - (b-c)^2 = 4*b*c
BC = 2*sqrt(b)*sqrt(c)
Begge lengdene er valgt som positive røtter.

Fasit: \(AB=2\sqrt{ac}\) og \(BC=2\sqrt{bc}\).

Hva spør oppgaven om? Punktene A, B og C ligger i denne rekkefølgen på den rette linjen. Derfor er den lange avstanden AC summen av AB og BC. Vi setter inn lengdeformlene og normaliserer.

Steg 1 — Bruk addisjon av linjestykker

Fordi B ligger mellom A og C, har vi \[AC=AB+BC.\]

Steg 2 — Sett inn uttrykkene fra b og c

\[2\sqrt{ab}=2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}.\]

Steg 3 — Divider med 2

\[\sqrt{ab}=\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\]

Steg 4 — Velg en felles positiv divisor

Siden radiene er positive, er \(\sqrt{abc}>0\). Vi kan derfor dividere hele likningen med \(\sqrt{abc}\).

Steg 5 — Forenkle venstresiden

\[\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{abc}}=\frac1{\sqrt c}.\]

Steg 6 — Forenkle første ledd på høyresiden

\[\frac{\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}}=\frac1{\sqrt b}.\]

Steg 7 — Forenkle andre ledd på høyresiden

\[\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}}=\frac1{\sqrt a}.\]

Steg 8 — Konkluder

Dermed får vi \[\frac1{\sqrt c}=\frac1{\sqrt b}+\frac1{\sqrt a}=\frac1{\sqrt a}+\frac1{\sqrt b}.\] Dette er den ønskede sammenhengen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, simplify

a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
AC = 2*sqrt(a*b)
AB = 2*sqrt(a*c)
BC = 2*sqrt(b*c)
startlikning = simplify(AC - AB - BC)
normalisert = simplify((sqrt(a*b) - sqrt(a*c) - sqrt(b*c))/sqrt(a*b*c))

print("Siden B ligger mellom A og C, er AC = AB + BC")
print("2*sqrt(a*b) = 2*sqrt(a*c) + 2*sqrt(b*c)")
print("Etter divisjon med 2:")
print("sqrt(a*b) = sqrt(a*c) + sqrt(b*c)")
print("Etter divisjon med sqrt(a*b*c) blir venstreside minus høyreside =")
print(normalisert)
print("Dermed: 1/sqrt(c) = 1/sqrt(b) + 1/sqrt(a)")

Utskrift fra Python:
Siden B ligger mellom A og C, er AC = AB + BC
2*sqrt(a*b) = 2*sqrt(a*c) + 2*sqrt(b*c)
Etter divisjon med 2:
sqrt(a*b) = sqrt(a*c) + sqrt(b*c)
Etter divisjon med sqrt(a*b*c) blir venstreside minus høyreside =
1/sqrt(c) - 1/sqrt(b) - 1/sqrt(a)
Dermed: 1/sqrt(c) = 1/sqrt(b) + 1/sqrt(a)

Fasit: \(1/\sqrt c=1/\sqrt a+1/\sqrt b\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter de like radiene inn i sammenhengen fra d) og løser likningen for den lille radiusen c.

Steg 1 — Start med sammenhengen

\[\frac1{\sqrt c}=\frac1{\sqrt a}+\frac1{\sqrt b}.\]

Steg 2 — Sett inn a og b

Når \(a=b=r\), får vi \[\frac1{\sqrt c}=\frac1{\sqrt r}+\frac1{\sqrt r}.\]

Steg 3 — Legg sammen høyresiden

\[\frac1{\sqrt c}=\frac2{\sqrt r}.\]

Steg 4 — Ta de resiproke verdiene

Begge sider er positive, så \[\sqrt c=\frac{\sqrt r}{2}.\]

Steg 5 — Kvadrer begge sider

\[c=\left(\frac{\sqrt r}{2}\right)^2.\]

Steg 6 — Forenkle

\[c=\frac{r}{4}.\]

Steg 7 — Tolk resultatet

Når de to store sirklene har samme radius r, har sirkelen mellom dem og linjen en radius som er en firedel av r.

Steg 8 — Kontroller

\[\frac1{\sqrt{r/4}}=\frac1{\sqrt r/2}=\frac2{\sqrt r},\] som er nøyaktig høyresiden.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, solve, simplify

r, c = symbols('r c', positive=True)
likning = 1/sqrt(c) - 2/sqrt(r)
losning = solve(likning, c)

print("Når a=b=r, blir sammenhengen:")
print("1/sqrt(c) = 1/sqrt(r) + 1/sqrt(r) = 2/sqrt(r)")
print("Løsninger for c =", losning)
print("Forenklet kontroll av c=r/4:")
print("Venstreside =", simplify((1/sqrt(c)).subs(c,r/4)))
print("Høyreside =", simplify(2/sqrt(r)))
print("Differanse =", simplify((1/sqrt(c)-2/sqrt(r)).subs(c,r/4)))

Utskrift fra Python:
Når a=b=r, blir sammenhengen:
1/sqrt(c) = 1/sqrt(r) + 1/sqrt(r) = 2/sqrt(r)
Løsninger for c = [r/4]
Forenklet kontroll av c=r/4:
Venstreside = 2/sqrt(r)
Høyreside = 2/sqrt(r)
Differanse = 0

Fasit: \(c=r/4\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker resultatet \(c=r/4\) og symmetrien når de to store sirklene er like. Deretter beskriver vi en presis GeoGebra-konstruksjon som kan kontrolleres med avstander.

Steg 1 — Finn den lille radiusen

Fra e) er \[c=\frac r4=\frac44=1\text{ cm}.\]

Steg 2 — Tegn tangentlinjen og velg første tangeringspunkt

Tegn en horisontal linje \(l\). Velg punktet \(A\) på linjen, og konstruer normalen til \(l\) gjennom A.

Steg 3 — Plasser første store sentrum

Avsett \(AS_1=4\text{ cm}\) på normalen. Tegn sirkelen med sentrum \(S_1\) og radius 4 cm.

Steg 4 — Plasser den andre store sirkelen

De like sirklene skal tangere hverandre, så sentrumavstanden er \(S_1S_2=8\text{ cm}\). Legg derfor \(C\) 8 cm fra A på linjen, og plasser \(S_2\) 4 cm over C. Tegn sirkelen med sentrum \(S_2\) og radius 4 cm.

Steg 5 — Finn tangeringspunktet for den lille sirkelen

På grunn av symmetrien ligger B midt mellom A og C. Dermed er \(AB=BC=4\text{ cm}\).

Steg 6 — Plasser det lille sentrum

Konstruer normalen gjennom B og avsett \(BS_3=1\text{ cm}\). Tegn sirkelen med sentrum \(S_3\) og radius 1 cm.

Steg 7 — Kontroller tangeringene

\[S_1S_3=\sqrt{4^2+3^2}=5=4+1,\] og tilsvarende \(S_2S_3=5\). Derfor tangerer den lille sirkelen begge de store.

Steg 8 — GeoGebra-kommandoer

Et mulig koordinatvalg er \(A=(0,0)\), \(B=(4,0)\), \(C=(8,0)\), \(S_1=(0,4)\), \(S_3=(4,1)\), \(S_2=(8,4)\). Bruk deretter kommandoene Circle(S1,4), Circle(S2,4) og Circle(S3,1).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational, sqrt, Matrix, simplify

r = Rational(4,1)
c = r/4
A = Matrix([0,0])
B = Matrix([4,0])
C = Matrix([8,0])
S1 = Matrix([0,4])
S3 = Matrix([4,1])
S2 = Matrix([8,4])

print("r =", r, "cm")
print("c = r/4 =", c, "cm")
print("A =", A.T, ", B =", B.T, ", C =", C.T)
print("S1 =", S1.T, ", S3 =", S3.T, ", S2 =", S2.T)
print("S1S2 =", (S2-S1).norm(), "cm, forventet 2r =", 2*r)
print("S1S3 =", (S3-S1).norm(), "cm, forventet r+c =", r+c)
print("S2S3 =", (S3-S2).norm(), "cm, forventet r+c =", r+c)
print("AB =", (B-A).norm(), "cm")
print("BC =", (C-B).norm(), "cm")
print("Kontroll: alle tre sirklene tangerer linjen y=0.")

Utskrift fra Python:
r = 4 cm
c = r/4 = 1 cm
A = Matrix([[0, 0]]) , B = Matrix([[4, 0]]) , C = Matrix([[8, 0]])
S1 = Matrix([[0, 4]]) , S3 = Matrix([[4, 1]]) , S2 = Matrix([[8, 4]])
S1S2 = 8 cm, forventet 2r = 8
S1S3 = 5 cm, forventet r+c = 5
S2S3 = 5 cm, forventet r+c = 5
AB = 4 cm
BC = 4 cm
Kontroll: alle tre sirklene tangerer linjen y=0.

Fasit: Konstruksjonen har store radier 4 cm, liten radius 1 cm, \(AC=8\text{ cm}\) og \(AB=BC=4\text{ cm}\).