Den deriverte er alltid positiv, noe som betyr at f er strengt voksende.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Derivative[(1/3)x^3+x+2]
\(x^2+1\)
Tolkning: CAS bekrefter potensregelen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)f=sp.Rational(1,3)*x**3+x+2print("f(x) =",f)print("Derivative of x^3/3 =",sp.diff(sp.Rational(1,3)*x**3,x))print("Derivative of x =",sp.diff(x,x))print("Derivative of 2 =",sp.diff(2,x))print("f'(x) =",sp.diff(f,x))print("Minimum value of f'(x) is 1")
Utskrift fra Python:
f(x) = x**3/3 + x + 2
Derivative of x^3/3 = x**2
Derivative of x = 1
Derivative of 2 = 0
f'(x) = x**2 + 1
Minimum value of f'(x) is 1
Fasit: \(f^{\prime}(x)=x^2+1\).
Vanlig feil: Å glemme faktoren 3 fra potensregelen.
Sensorpunkt: Alle ledd skal deriveres og uttrykket forenkles.
Del 1 - Oppgave 1bKvotientregel og kjerneregel
Oppgave 1b
Oppgave: For \(g(x)=\frac{2x-3}{e^x}\), bestem \(g^{\prime}(2)\) og \(g^{\prime}(3)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere g og sette inn de to x-verdiene.
Fasit: \(g^{\prime}(2)=e^{-2}\) og \(g^{\prime}(3)=-e^{-3}\).
Vanlig feil: Fortegnsfeil når e^{-x} deriveres.
Sensorpunkt: Den deriverte og begge eksakte innsettinger må vises.
Del 1 - Oppgave 1cMonotoni og toppunkt
Oppgave 1c
Oppgave: Hva forteller svarene i b om grafen til g når \(x\in[2,3]\)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke fortegnene til den deriverte og finne hvor den skifter fortegn.
Steg 1 - Tolk endepunktene
Siden \(g^{\prime}(2)>0\), stiger grafen ved x=2. Siden \(g^{\prime}(3)<0\), synker grafen ved x=3.
Steg 2 - Finn nullpunktet til den deriverte
\[(5-2x)e^{-x}=0.\] Eksponentialfaktoren er positiv, så \(5-2x=0\), altså \(x=\frac52\).
Steg 3 - Fortegn
For \(x<\frac52\) er \(5-2x>0\), og for \(x>\frac52\) er faktoren negativ.
Steg 4 - Konklusjon
g øker på \([2,\frac52]\) og avtar på \([\frac52,3]\).
Steg 5 - Toppunkt
Dermed har grafen et toppunkt i intervallet ved \[\left(\frac52,\frac{2}{e^{5/2}}\right).\]
Grafen stiger før x=2,5 og synker etter x=2,5.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[Derivative[(2x-3)/exp(x)]=0,x]
\(x=5/2\), toppunkt \((5/2,2e^{-5/2})\)
Tolkning: Fortegnsskiftet er fra pluss til minus.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)g=(2*x-3)*sp.exp(-x)gp=sp.factor(sp.diff(g,x))critical=sp.solve(sp.Eq(gp,0),x)[0]print("g'(x) =",gp)print("Critical x =",critical)print("g'(2) =",sp.N(gp.subs(x,2),10))print("g'(2.25) =",sp.N(gp.subs(x,sp.Rational(9,4)),10))print("g'(2.75) =",sp.N(gp.subs(x,sp.Rational(11,4)),10))print("g'(3) =",sp.N(gp.subs(x,3),10))print("Maximum point =",(critical,sp.simplify(g.subs(x,critical))))
Utskrift fra Python:
g'(x) = -(2*x - 5)*exp(-x)
Critical x = 5/2
g'(2) = 0.1353352832
g'(2.25) = 0.05269961228
g'(2.75) = -0.03196393060
g'(3) = -0.04978706837
Maximum point = (5/2, 2*exp(-5/2))
Fasit: g øker fram til \(x=2,5\) og avtar etterpå; toppunktet er \(\left(2,5,2e^{-2,5}\right)\).
Vanlig feil: Å bare si at grafen først stiger og så synker uten å finne skiftepunktet.
Sensorpunkt: Knyt fortegnene til monotoni og dokumenter toppunktet.
Del 1 - Oppgave 2aLogaritmelikning
Oppgave 2a
Oppgave: Løs \[(\lg x)^2-2\lg x=8.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre likningen om til en andregradslikning i lg x.
Tolkning: Begge løsningene er positive og gyldige.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspy=sp.symbols("y",real=True)quadratic=y**2-2*y-8roots=sp.solve(sp.Eq(quadratic,0),y)print("Quadratic in y =",quadratic)print("Factorization =",sp.factor(quadratic))print("Solutions for y = lg(x):",roots)xs=[10**int(r)forrinroots]print("Corresponding x-values =",xs)forvalueinxs:check=sp.log(value,10)**2-2*sp.log(value,10)print("Check x =",value,"gives",sp.simplify(check))
Utskrift fra Python:
Quadratic in y = y**2 - 2*y - 8
Factorization = (y - 4)*(y + 2)
Solutions for y = lg(x): [-2, 4]
Corresponding x-values = [0.01, 10000]
Check x = 0.01 gives 42.4151848838272/log(10)**2
Check x = 10000 gives 8
Fasit: \(x=10000\) eller \(x=0,01\).
Vanlig feil: Å miste løsningen med negativ logaritmeverdi.
Sensorpunkt: Vis substitusjonen, faktoriser og kontroller x>0.
Del 1 - Oppgave 2bLogaritmens definisjon
Oppgave 2b
Oppgave: Bestem a slik at \[\log_a\left(\frac1{64}\right)=-3.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke definisjonen av logaritme og kontrollere kravene til grunntallet.
Steg 1 - Bruk definisjonen
\[\log_a(1/64)=-3\iff a^{-3}=\frac1{64}.\]
Steg 2 - Snu brøkene
\[\frac1{a^3}=\frac1{64}.\]
Steg 3 - Løs
\[a^3=64\Rightarrow a=4.\]
Steg 4 - Kontroller grunnkrav
Et logaritmegrunnlag må være positivt og forskjellig fra 1. Tallet 4 oppfyller begge krav.
Steg 5 - Kontroll
\[4^{-3}=\frac1{4^3}=\frac1{64}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[a^(-3)=1/64,a]
\(a=4\)
Tolkning: Grunnlaget er gyldig fordi 4>0 og 4≠1.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa=sp.symbols("a",positive=True)solution=sp.solve(sp.Eq(a**(-3),sp.Rational(1,64)),a)print("Equation: a^(-3) = 1/64")print("Positive real solution =",solution)value=solution[0]print("a^3 =",value**3)print("a^(-3) =",sp.simplify(value**(-3)))print("Base conditions: positive =",bool(value>0),", different from 1 =",value!=1)
Utskrift fra Python:
Equation: a^(-3) = 1/64
Positive real solution = [4]
a^3 = 64
a^(-3) = 1/64
Base conditions: positive = True , different from 1 = True
Fasit: \(a=4\).
Vanlig feil: Å svare a=-4; et logaritmegrunnlag kan ikke være negativt.
Sensorpunkt: Definisjonen og grunnkravene skal være eksplisitte.
Del 1 - Oppgave 3aGrenseverdi med vertikal asymptote
Oppgave 3a
Oppgave: Bestem \[\lim_{x\to-2}\frac{x^2-4x+2}{x^2-2x-8}\] dersom den eksisterer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke ensidige grenser fordi nevneren blir null mens telleren ikke blir null.
Steg 1 - Faktoriser nevneren
\[x^2-2x-8=(x-4)(x+2).\]
Steg 2 - Kontroller telleren
Ved x=-2 er telleren \[4+8+2=14\neq0.\]
Steg 3 - Venstre side
Når \(x\to-2^-\), er både \(x-4\) og \(x+2\) negative. Nevneren er positiv og nær 0, så brøken går mot \(+\infty\).
Steg 4 - Høyre side
Når \(x\to-2^+\), er \(x-4<0\) og \(x+2>0\). Nevneren er negativ og nær 0, så brøken går mot \(-\infty\).
Steg 5 - Konklusjon
De ensidige grensene er ulike. Den tosidige grenseverdien eksisterer derfor ikke.
Brøken går mot motsatte uendeligheter på hver side av x=-2.
Fasit: Grenseverdien eksisterer ikke; venstre grense er \(+\infty\), høyre grense er \(-\infty\).
Vanlig feil: Å forkorte en faktor som ikke finnes i telleren.
Sensorpunkt: Begge ensidige grenser må dokumenteres.
Del 1 - Oppgave 3b1Fjernbar diskontinuitet
Oppgave 3b1
Oppgave: Bestem a slik at \[\lim_{x\to-2}\frac{x^2+ax+2}{x^2-2x-8}\] eksisterer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kreve at telleren også har faktoren x+2.
Steg 1 - Nevnerens nullpunkt
Nevneren har faktoren \(x+2\), og blir null ved x=-2.
Steg 2 - Krav til telleren
For å unngå en vertikal asymptote må telleren også bli null ved x=-2.
Steg 3 - Sett inn
\[(-2)^2+a(-2)+2=0.\]
Steg 4 - Løs
\[6-2a=0\Rightarrow a=3.\]
Steg 5 - Faktoriser med denne verdien
\[x^2+3x+2=(x+1)(x+2).\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[(-2)^2+a(-2)+2=0,a]
\(a=3\)
Tolkning: Da kan faktoren x+2 forkortes.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx,a=sp.symbols("x a",real=True)numerator=x**2+a*x+2condition=sp.Eq(numerator.subs(x,-2),0)solution=sp.solve(condition,a)[0]print("Numerator =",numerator)print("Condition at x=-2 =",condition)print("a =",solution)print("Numerator after substitution =",numerator.subs(a,solution))print("Factorization =",sp.factor(numerator.subs(a,solution)))print("Common factor with denominator = x + 2")
Utskrift fra Python:
Numerator = a*x + x**2 + 2
Condition at x=-2 = Eq(6 - 2*a, 0)
a = 3
Numerator after substitution = x**2 + 3*x + 2
Factorization = (x + 1)*(x + 2)
Common factor with denominator = x + 2
Fasit: \(a=3\).
Vanlig feil: Å forsøke å bruke l’Hôpitals regel før parameteren er bestemt.
Sensorpunkt: Kravet om felles faktor skal begrunnes.
Del 1 - Oppgave 3b2Beregne grense etter forkorting
Oppgave 3b2
Oppgave: Bestem grenseverdien når a har verdien fra b1.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal forkorte den felles faktoren og sette inn x=-2.
Det opprinnelige uttrykket har et hull ved x=-2, men grensen er endelig.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Limit[(x^2+3x+2)/(x^2-2x-8),x,-2]
\(1/6\)
Tolkning: CAS forkorter den felles faktoren.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)expr=(x**2+3*x+2)/(x**2-2*x-8)print("Original expression =",expr)print("Factored numerator =",sp.factor(x**2+3*x+2))print("Factored denominator =",sp.factor(x**2-2*x-8))reduced=sp.cancel(expr)print("Reduced expression for x != -2 =",reduced)print("Value of reduced expression at -2 =",reduced.subs(x,-2))print("Limit =",sp.limit(expr,x,-2))
Utskrift fra Python:
Original expression = (x**2 + 3*x + 2)/(x**2 - 2*x - 8)
Factored numerator = (x + 1)*(x + 2)
Factored denominator = (x - 4)*(x + 2)
Reduced expression for x != -2 = (x + 1)/(x - 4)
Value of reduced expression at -2 = 1/6
Limit = 1/6
Fasit: Grenseverdien er \(\frac16\).
Vanlig feil: Å sette inn x=-2 før faktoren er forkortet og stoppe ved 0/0.
Sensorpunkt: Faktorisering og forkorting må vises.
Del 1 - Oppgave 4aAvstand mellom punkter
Oppgave 4a
Oppgave: Punktene er A(-2,3) og B(3,2). Bestem lengden AB.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke avstandsformelen.
Steg 1 - Finn koordinatforskjellen
\[\overrightarrow{AB}=[3-(-2),2-3]=[5,-1].\]
Steg 2 - Bruk Pytagoras
\[AB=\sqrt{5^2+(-1)^2}.\]
Steg 3 - Regn ut
\[AB=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.\]
Steg 4 - Desimalkontroll
\(\sqrt{26}\approx5,10\).
Steg 5 - Konklusjon
Lengden er positiv og oppgis eksakt som \(\sqrt{26}\).
Utskrift fra Python:
BA = (-5, 1)
BD = (-1, t - 2)
Dot product = t + 3
Equation = Eq(t + 3, 0)
t = -3
Check dot product = 0
D = (2, -3)
Fasit: \(t=-3\).
Vanlig feil: Å bruke vektorene AB og AD; vinkelen er i B.
Sensorpunkt: Riktige vektorer fra B og skalarproduktlikningen må vises.
Del 1 - Oppgave 5aEkstremalpunkt for logaritmefunksjon
Oppgave 5a
Oppgave: For \(f(x)=4x^2\ln x\), bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal ta hensyn til definisjonsmengden x>0, derivere og analysere fortegn.
Steg 1 - Definisjonsmengde
\(\ln x\) krever \(x>0\).
Steg 2 - Deriver med produktregelen
\[f^{\prime}(x)=8x\ln x+4x=4x(2\ln x+1).\]
Steg 3 - Finn kritisk punkt
Siden x>0, er 4x ikke null. Derfor \[2\ln x+1=0\Rightarrow x=e^{-1/2}=\frac1{\sqrt e}.\]
Steg 4 - Fortegn
Faktoren \(2\ln x+1\) er negativ før dette punktet og positiv etter. Punktet er derfor et bunnpunkt.
Steg 5 - Funksjonsverdi
\[f(e^{-1/2})=4e^{-1}\left(-\frac12\right)=-\frac2e.\] Det finnes ikke noe toppunkt på x>0.
Funksjonen har et bunnpunkt ved x=e^{-1/2} og nullpunkt ved x=1.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve(Derivative(4x^2 ln(x))=0,x)
Bunnpunkt \((e^{-1/2},-2/e)\)
Tolkning: Den deriverte skifter fra negativ til positiv.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",positive=True)f=4*x**2*sp.log(x)fp=sp.factor(sp.diff(f,x))critical=sp.solve(sp.Eq(fp,0),x)[0]value=sp.simplify(f.subs(x,critical))print("Domain: x > 0")print("f(x) =",f)print("f'(x) =",fp)print("Critical x =",critical)print("f(critical x) =",value)print("f' at x=0.2 =",sp.N(fp.subs(x,sp.Rational(1,5)),10))print("f' at x=1 =",fp.subs(x,1))print("Classification: local and global minimum, no maximum")
Utskrift fra Python:
Domain: x > 0
f(x) = 4*x**2*log(x)
f'(x) = 4*x*(2*log(x) + 1)
Critical x = exp(-1/2)
f(critical x) = -2*exp(-1)
f' at x=0.2 = -1.775100660
f' at x=1 = 4
Classification: local and global minimum, no maximum
Fasit: Bunnpunktet er \(\left(e^{-1/2},-2/e\right)\). Det finnes ikke toppunkt.
Vanlig feil: Å ta med x=0 som kritisk punkt selv om funksjonen ikke er definert der.
Sensorpunkt: Definisjonsmengde, produktregel, fortegn og koordinater må være med.
Del 1 - Oppgave 5bHalveringsmetoden
Oppgave 5b
Oppgave: Forklar programmet i linje 11–20 og bestem verdien som skrives ut.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere algoritmen, følge intervalloppdateringen og kjøre den nøyaktige koden.
Steg 1 - Startintervall
Programmet starter med a=0,1 og b=3. Funksjonen har ulikt fortegn i endepunktene, så et nullpunkt ligger i intervallet.
Steg 2 - Midtpunkt
Linje 11 setter \(m=(a+b)/2\).
Steg 3 - Stoppvilkår
Så lenge \(|f(m)|\ge 0,0001\), fortsetter løkken. Programmet stopper altså når funksjonsverdien i midtpunktet er tilstrekkelig nær null.
Steg 4 - Velg halvintervall
Linje 15–18 undersøker fortegnet til \(f(a)f(m)\). Hvis produktet er negativt, ligger nullpunktet mellom a og m og b settes lik m. Ellers settes a lik m.
Steg 5 - Resultat
Dette er halveringsmetoden for nullpunktet x=1. Etter 15 iterasjoner skrives omtrent \(1,000010681152344\) ut.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Root[4x^2 ln(x),0.1,3]
\(x\approx1,000010681152344\)
Tolkning: Programmet halverer intervallet til |f(m)|<0,0001.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
frommathimportloga=0.1b=3maks_avvik=0.0001deff(x):return4*x**2*log(x)m=(a+b)/2iterations=0whileabs(f(m))>=maks_avvik:iff(a)*f(m)<0:b=melse:a=mm=(a+b)/2iterations+=1print("Printed value:",m)print("Iterations:",iterations)print("Final interval:",(a,b))print("f(m):",f(m))print("Exact zero for comparison: 1.0")
Utskrift fra Python:
Printed value: 1.000010681152344
Iterations: 15
Final interval: (0.9999664306640625, 1.000054931640625)
f(m): 4.272529389942768e-05
Exact zero for comparison: 1.0
Fasit: Programmet bruker halveringsmetoden og skriver ut \(1,000010681152344\).
Vanlig feil: Å si at programmet finner bunnpunktet. Det søker et nullpunkt fordi stoppvilkåret bruker |f(m)|.
Sensorpunkt: Forklar intervallet, fortegnstesten, stoppvilkåret og faktisk utskrift.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aLogistisk regresjon
Oppgave 1a
Oppgave: Lag en modell \(F(t)=\frac{B}{1+a e^{-kt}}\) for folketallet t år etter 1960, og vurder gyldighetsområdet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal utføre logistisk regresjon på de ni datapunktene.
Steg 1 - Definer tid
Vi bruker t=0 for 1960, t=1 for 1961, ..., t=20 for 1980.
Steg 2 - Tilpass modellen
Ikke-lineær regresjon gir omtrent \[B=2840,90,\quad a=5,07482,\quad k=0,247026.\]
Steg 3 - Skriv modellen
\[F(t)=\frac{2840,90}{1+5,07482e^{-0,247026t}}.\]
Steg 4 - Tolk B
Parameteren B er modellens øvre grense. Modellen nærmer seg omtrent 2841 innbyggere.
Steg 5 - Gyldighetsområde
Modellen er godt forankret i observasjonene for 0≤t≤20. Den kan brukes forsiktig litt utenfor intervallet, men langsiktig framskriving er usikker fordi flytting, boligbygging og andre forhold kan endres.
Den logistiske modellen følger datapunktene og nærmer seg et metningsnivå.
Tolkning: Modellen følger datapunktene og flater ut nær B.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importnumpyasnpfromscipy.optimizeimportcurve_fitt=np.array([0,1,3,5,7,11,15,17,20],dtype=float)y=np.array([500,604,852,1043,1510,2163,2544,2639,2715],dtype=float)defmodel(t,B,a,k):returnB/(1+a*np.exp(-k*t))parameters,covariance=curve_fit(model,t,y,p0=[2800,5,0.25],maxfev=100000)B,a,k=parameterspredicted=model(t,*parameters)residuals=y-predictedprint("B =",B)print("a =",a)print("k =",k)print("Maximum absolute residual =",np.max(np.abs(residuals)))print("RMSE =",np.sqrt(np.mean(residuals**2)))print("Model at t=0 =",model(0,*parameters))print("Model at t=20 =",model(20,*parameters))
Utskrift fra Python:
B = 2840.898903490819
a = 5.074820169037104
k = 0.24702626102914935
Maximum absolute residual = 104.49469713705071
RMSE = 42.059647398049975
Model at t=0 = 467.65152291596456
Model at t=20 = 2741.4150478687675
Fasit: \(F(t)\approx\frac{2840,90}{1+5,07482e^{-0,247026t}}\), primært gyldig for perioden rundt 1960–1980.
Vanlig feil: Å bruke kalenderåret direkte som t og dermed få meningsløse parametere.
Sensorpunkt: Dokumenter regresjonen, parameterverdiene og en faglig vurdering av gyldighet.
Del 2 - Oppgave 1bDeriverte i logistisk modell
Oppgave 1b
Oppgave: Bestem \(F^{\prime}(12)\) og \(F^{\prime\prime}(12)\), og tolk svarene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den tilpassede modellen og tolke enhetene.
Steg 1 - Førstederivert
For \(F=B/(1+ae^{-kt})\) er \[F^{\prime}(t)=\frac{Bkae^{-kt}}{(1+ae^{-kt})^2}.\]
Fasit: \(F^{\prime}(12)\approx115\) personer/år og \(F^{\prime\prime}(12)\approx-16,7\) personer/år².
Vanlig feil: Å tolke F″ som at folketallet synker. Det er vekstfarten som synker, mens F′ fortsatt er positiv.
Sensorpunkt: Oppgi enheter og en praktisk tolkning av begge deriverte.
Del 2 - Oppgave 1cUlikhet med den deriverte
Oppgave 1c
Oppgave: Når økte folketallet med mer enn 150 personer per år ifølge modellen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse ulikheten F′(t)>150.
Steg 1 - Sett opp
Vi løser \[\frac{Bkae^{-kt}}{(1+ae^{-kt})^2}>150.\]
Steg 2 - Finn grensepunktene
Likningen \(F^{\prime}(t)=150\) gir omtrent \[t=3,329\quad\text{og}\quad t=9,822.\]
Steg 3 - Test mellom røttene
Den logistiske vekstfarten er størst ved vendepunktet og er større enn 150 mellom de to tidspunktene.
Steg 4 - Tidsintervall
\[3,329<t<9,822.\]
Steg 5 - Kalenderår
Dette svarer omtrent til perioden fra våren 1963 til høsten 1969.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[Derivative[F](t)>150,t]
\(3,329<t<9,822\)
Tolkning: Vekstfarten overstiger 150 mellom de to skjæringspunktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True)B=sp.Float('2840.89967');a=sp.Float('5.07481953');k=sp.Float('0.247026084')F=B/(1+a*sp.exp(-k*t));Fp=sp.diff(F,t)roots=[]forguessin[1,4,8,12,18]:try:r=float(sp.nsolve(Fp-150,guess))ifall(abs(r-old)>1e-7foroldinroots):roots.append(r)exceptException:passroots.sort()print("Equation solved: F'(t) = 150")print("Boundary times =",roots)mid=sum(roots)/2print("F'(midpoint) =",float(Fp.subs(t,mid)))print("Interval with F'(t) > 150:",(roots[0],roots[1]))print("Calendar-year boundaries:",(1960+roots[0],1960+roots[1]))print("Maximum growth rate =",float(B*k/4))
Utskrift fra Python:
Equation solved: F'(t) = 150
Boundary times = [3.328577333409005, 9.822187455498268]
F'(midpoint) = 175.44408012924808
Interval with F'(t) > 150: (3.328577333409005, 9.822187455498268)
Calendar-year boundaries: (1963.328577333409, 1969.8221874554984)
Maximum growth rate = 175.44408012924805
Fasit: Folketallet økte med mer enn 150 personer/år for \(3,33<t<9,82\), omtrent 1963–1970.
Vanlig feil: Å inkludere tidspunktene der veksten er nøyaktig 150 når ulikheten er streng.
Sensorpunkt: Vis begge grensepunktene og korrekt åpent intervall.
Del 2 - Oppgave 2aKontinuitet i skjøtepunkt
Oppgave 2a
Oppgave: Avgjør om den delte funksjonen er kontinuerlig ved x=-2 når a=2 og b=-2.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne funksjonsverdien fra venstre gren med høyre grense fra polynomgrenen.
Steg 1 - Venstre verdi
For x≤-2 er \(f(x)=2x-2\). Dermed \[f(-2)=-6.\]
Steg 2 - Høyre grense
Polynomgrenen gir \[2(-2)^3+2(-2)^2-2(-2)=-16+8+4=-4.\]
Steg 3 - Sammenlign
\[-6\neq-4.\]
Steg 4 - Konklusjon
Funksjonen har et hopp ved x=-2 og er ikke kontinuerlig.
Steg 5 - Presisering
At begge grenene hver for seg er kontinuerlige er ikke nok; verdiene må møtes i skjøtepunktet.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
LimitBelow(2x-2,-2); LimitAbove(2x^3+2x^2-2x,-2)
Venstre verdi \(-6\), høyre grense \(-4\)
Tolkning: Ulike verdier betyr hoppdiskontinuitet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)left=2*x-2middle=2*x**3+2*x**2-2*xleft_value=left.subs(x,-2)right_limit=middle.subs(x,-2)print("Left branch =",left)print("Middle branch =",middle)print("f(-2) from left branch =",left_value)print("Right-hand limit at -2 =",right_limit)print("Difference =",left_value-right_limit)print("Continuous at x=-2 =",left_value==right_limit)
Utskrift fra Python:
Left branch = 2*x - 2
Middle branch = 2*x**3 + 2*x**2 - 2*x
f(-2) from left branch = -6
Right-hand limit at -2 = -4
Difference = -2
Continuous at x=-2 = False
Fasit: Nei. \(f(-2)=-6\), mens høyre grense er \(-4\).
Vanlig feil: Å bare sette x=-2 inn i den midterste formelen, selv om denne grenen ikke inkluderer x=-2.
Sensorpunkt: Begge sideverdier skal beregnes og sammenlignes.
Del 2 - Oppgave 2bKontinuitet og deriverbarhet i to skjøter
Oppgave 2b
Oppgave: Bestem a, b, c og k slik at f er kontinuerlig og deriverbar ved x=-2 og x=k, der k>-2.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke både verdi- og derivertbetingelser i hvert skjøtepunkt.
Steg 1 - Deriverbarhet ved -2
Midtgrenen har derivert \(6x^2+4x-2\), som ved -2 er 14. Derfor må \(a=14\).
Steg 2 - Kontinuitet ved -2
Midtgrenen har verdi -4. Kravet \(-2a+b=-4\) gir med a=14 at \(b=24\).
Steg 3 - Deriverbarhet ved k
Høyre gren er konstant og har derivert 0. Derfor må \[6k^2+4k-2=0.\]
Steg 4 - Finn k
\[6k^2+4k-2=2(3k-1)(k+1)=0,\] så \(k=-1\) eller \(k=\frac13\). Begge er større enn -2.
Steg 5 - Finn c
Kontinuitet gir c lik polynomverdien: For k=-1 blir c=2. For k=1/3 blir \(c=-10/27\). Det finnes altså to gyldige parameterkombinasjoner.
Midtpolynomet kan skjøtes glatt til en konstant gren ved to forskjellige stasjonære punkter.
\((a,b,k,c)=(14,24,-1,2)\) eller \((14,24,1/3,-10/27)\)
Tolkning: To stasjonære punkter i midtpolynomet gir to gyldige skjøter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)a,b,c,k=sp.symbols("a b c k",real=True)p=2*x**3+2*x**2-2*xpp=sp.diff(p,x)a_value=pp.subs(x,-2)b_value=sp.solve(sp.Eq(-2*a_value+b,p.subs(x,-2)),b)[0]k_values=sp.solve(sp.Eq(pp.subs(x,k),0),k)print("Middle polynomial p(x) =",p)print("p'(x) =",pp)print("a = p'(-2) =",a_value)print("b from continuity =",b_value)print("Possible k-values =",k_values)forkvink_values:cv=sp.simplify(p.subs(x,kv))print("For k =",kv,": c =",cv,", derivative check =",pp.subs(x,kv))print("Both k-values satisfy k > -2")
Utskrift fra Python:
Middle polynomial p(x) = 2*x**3 + 2*x**2 - 2*x
p'(x) = 6*x**2 + 4*x - 2
a = p'(-2) = 14
b from continuity = 24
Possible k-values = [-1, 1/3]
For k = -1 : c = 2 , derivative check = 0
For k = 1/3 : c = -10/27 , derivative check = 0
Both k-values satisfy k > -2
Fasit: \(a=14, b=24\), og enten \((k,c)=(-1,2)\) eller \((k,c)=(1/3,-10/27)\).
Vanlig feil: Å overse at likningen for k har to røtter.
Sensorpunkt: Alle fire skjøtebetingelser og begge gyldige løsninger skal vises.
Del 2 - Oppgave 3aLogaritmisk luktskala
Oppgave 3a
Oppgave: Luktverdiene ligger mellom 500 og 1400 OU/m³. Har beboerne grunnlag for å klage når \(I=1,4\lg C-0,3\)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne intensitetsintervallet og sammenholde det med tabellen.
Steg 1 - Laveste verdi
\[I(500)=1,4\lg(500)-0,3\approx3,479.\] Dette er plagsom lukt som bør begrenses.
Steg 2 - Høyeste verdi
\[I(1400)=1,4\lg(1400)-0,3\approx4,105.\] Dette ligger over 4, der tiltak kreves.
Steg 3 - Monotoni
Logaritmefunksjonen er voksende, så alle målingene gir intensiteter mellom disse verdiene.
Steg 4 - Sammenlign med tabellen
Hele intervallet ligger i kategoriene plagsom lukt eller plagsomt, tiltak kreves.
Steg 5 - Konklusjon
Ja, målingene gir klart grunnlag for klage.
Måleområdet 500–1400 OU/m³ ligger langt over det akseptable intensitetsområdet.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
I(500); I(1400)
\(I\in[3,479,4,105]\)
Tolkning: Intervallet ligger i de to mest alvorlige kategoriene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importmathdefintensity(C):return1.4*math.log10(C)-0.3low=500high=1400I_low=intensity(low)I_high=intensity(high)print("I(500) =",I_low)print("I(1400) =",I_high)print("Minimum category: 3-4, troublesome odor")print("Maximum category: above 4, action required")print("All sample intensities are in:",(I_low,I_high))print("Residents have grounds for complaint: True")
Utskrift fra Python:
I(500) = 3.478558006070426
I(1400) = 4.104579249949533
Minimum category: 3-4, troublesome odor
Maximum category: above 4, action required
All sample intensities are in: (3.478558006070426, 4.104579249949533)
Residents have grounds for complaint: True
Fasit: Ja. Intensiteten varierer omtrent fra 3,48 til 4,10, altså fra plagsom lukt til nivået der tiltak kreves.
Vanlig feil: Å bruke ln i stedet for lg.
Sensorpunkt: Begge endeverdier, monotoni og kategoritolkning må være med.
Del 2 - Oppgave 3bLøse logaritmisk ulikhet
Oppgave 3b
Oppgave: Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse grensene 1≤I≤2 og også angi grensen for akseptabelt eller bedre.
Steg 1 - Akseptabel kategori
Tabellen angir 1≤I≤2 som akseptabelt.
Steg 2 - Nedre grense
\[1=1,4\lg C-0,3\Rightarrow \lg C=\frac{13}{14}.\] Dermed \[C=10^{13/14}\approx8,48.\]
Steg 3 - Øvre grense
\[2=1,4\lg C-0,3\Rightarrow \lg C=\frac{23}{14}.\] Dermed \[C=10^{23/14}\approx43,94.\]
Steg 4 - Intervall
For nøyaktig kategorien akseptabelt må \[8,48\lesssim C\lesssim43,94.\]
Steg 5 - Praktisk krav
Ettersom anlegget vil redusere lukt, er hovedkravet at prøvene viser høyst omtrent 44 OU/m³. Lavere enn ca. 8,5 blir vurdert som uproblematisk, som er enda bedre.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[1<=1.4log(10,C)-0.3<=2,C]
\(10^{13/14}\le C\le10^{23/14}\), ca. 8,48–43,94
Tolkning: Høyst ca. 44 OU/m³ gir akseptabelt eller bedre.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importmathlower=10**(13/14)upper=10**(23/14)print("Lower exact exponent = 13/14")print("Upper exact exponent = 23/14")print("Lower C =",lower,"OU/m^3")print("Upper C =",upper,"OU/m^3")print("Intensity at lower boundary =",1.4*math.log10(lower)-0.3)print("Intensity at upper boundary =",1.4*math.log10(upper)-0.3)print("Practical upper requirement: C <= about 44 OU/m^3")
Utskrift fra Python:
Lower exact exponent = 13/14
Upper exact exponent = 23/14
Lower C = 8.48342898244072 OU/m^3
Upper C = 43.939705607607905 OU/m^3
Intensity at lower boundary = 1.0
Intensity at upper boundary = 1.9999999999999998
Practical upper requirement: C <= about 44 OU/m^3
Fasit: Akseptabel kategori: ca. \(8,48\le C\le43,94\) OU/m³. For akseptabelt eller bedre må C være høyst ca. 44 OU/m³.
Vanlig feil: Å løse med naturlig logaritme uten å konvertere riktig.
Sensorpunkt: Oppgi både logaritmeregning, enhet og praktisk grense.
Del 2 - Oppgave 4aParameterframstilling av linjestykke
Oppgave 4a
Oppgave: Forklar at \(x=1200s, y=300+100s, s\in[0,1]\) gir linjestykket fra H(0,300) til U(1200,400).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere endepunktene og retningsvektoren.
Steg 1 - Vektorform
Parameterframstillingen kan skrives \[\vec r(s)=[0,300]+s[1200,100].\]
Steg 2 - Retningsvektor
\([1200,100]=U-H\), altså peker vektoren fra hytta til utsiktspunktet.
Steg 3 - Startpunkt
Når s=0, får vi \(\vec r(0)=(0,300)=H\).
Steg 4 - Sluttpunkt
Når s=1, får vi \(\vec r(1)=(1200,400)=U\).
Steg 5 - Hele linjestykket
Når s går kontinuerlig fra 0 til 1, tas alle punktene mellom H og U med, og ingen punkter utenfor linjestykket.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Curve[1200s,300+100s,s,0,1]
Linjestykke fra H til U
Tolkning: Endepunkter og retningsvektor stemmer.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyassps=sp.symbols("s",real=True)H=sp.Matrix([0,300]);U=sp.Matrix([1200,400])direction=U-Hr=H+s*directionprint("H =",tuple(H))print("U =",tuple(U))print("Direction U-H =",tuple(direction))print("r(s) =",tuple(r))print("r(0) =",tuple(r.subs(s,0)))print("r(1) =",tuple(r.subs(s,1)))print("For 0 <= s <= 1, r(s) is a convex combination of H and U")
Utskrift fra Python:
H = (0, 300)
U = (1200, 400)
Direction U-H = (1200, 100)
r(s) = (1200*s, 100*s + 300)
r(0) = (0, 300)
r(1) = (1200, 400)
For 0 <= s <= 1, r(s) is a convex combination of H and U
Fasit: Parameterframstillingen er \(H+s(U-H)\) med s fra 0 til 1, og beskriver derfor akkurat linjestykket HU.
Vanlig feil: Å kontrollere bare ett endepunkt.
Sensorpunkt: Vektorform, begge endepunkter og parameterintervallet må forklares.
Del 2 - Oppgave 4bPosisjon ved jevn fart
Oppgave 4b
Oppgave: Hele turen tar 20 minutter. Bestem Inas posisjon etter 5 minutter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Ved konstant fart er parameteren lik andelen av total tid.
Steg 1 - Finn tidsandelen
\[s=\frac5{20}=\frac14.\]
Steg 2 - x-koordinat
\[x=1200\cdot\frac14=300.\]
Steg 3 - y-koordinat
\[y=300+100\cdot\frac14=325.\]
Steg 4 - Punktet
Posisjonen er \((300,325)\).
Steg 5 - Kontroll
Etter en firedel av tiden har hun gått en firedel av både x- og y-endringen.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
A=(1200*(1/4),300+100*(1/4))
\((300,325)\)
Tolkning: Fem minutter er en firedel av turen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspminutes_elapsed=sp.Integer(5)total_minutes=sp.Integer(20)s=sp.Rational(minutes_elapsed,total_minutes)x=1200*sy=300+100*sprint("Elapsed fraction s =",s)print("x-coordinate =",x)print("y-coordinate =",y)print("Position after 5 minutes =",(x,y))print("Remaining fraction =",1-s)print("Check: position lies between H and U =",0<=float(s)<=1)
Utskrift fra Python:
Elapsed fraction s = 1/4
x-coordinate = 300
y-coordinate = 325
Position after 5 minutes = (300, 325)
Remaining fraction = 3/4
Check: position lies between H and U = True
Fasit: Etter 5 minutter er Ina i \((300,325)\).
Vanlig feil: Å sette s=5 i parameterframstillingen; s er en andel mellom 0 og 1.
Sensorpunkt: Koble tid og parameter tydelig.
Del 2 - Oppgave 4cFart fra linjestykkets lengde
Oppgave 4c
Oppgave: Regn ut farten til Ina i m/s.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne total avstand og dele på 20 minutter i sekunder.
Utskrift fra Python:
Displacement = (1200, 100) m
Distance squared = 1450000
Exact distance = 100*sqrt(145) m
Time = 1200 s
Exact speed = sqrt(145)/12 m/s
Speed decimal = 1.00346621490 m/s
Fasit: Farten er \(\frac{\sqrt{145}}{12}\approx1,003\) m/s.
Vanlig feil: Å dele på 20 uten å gjøre minutter om til sekunder.
Sensorpunkt: Avstand, tidsomregning og enhet skal dokumenteres.
Del 2 - Oppgave 4dSkjæring mellom parameterkurver
Oppgave 4d
Oppgave: Jonas har posisjon \((520-20t,310+5t)\). Hvor langt har Ina gått når de møtes?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Starttidene behøver ikke være like; vi finner først det geometriske møtepunktet ved å løse for Inas s og Jonas sin t.
Steg 1 - Sett posisjonene like
\[1200s=520-20t,\qquad300+100s=310+5t.\]
Steg 2 - Løs systemet
Likningssystemet gir \[s=\frac7{20},\qquad t=5.\]
Steg 3 - Møtepunkt
\[I(7/20)=(420,335).\] Jonas er også i dette punktet etter 5 minutter.
Inas sti og Jonas sin bevegelseslinje skjærer hverandre i (420,335).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[{1200s=520-20t,300+100s=310+5t},{s,t}]
\(s=7/20, t=5\), avstand \(35\sqrt{145}\) m
Tolkning: Kurvene møtes i (420,335).
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyassps,t=sp.symbols("s t",real=True)ina=sp.Matrix([1200*s,300+100*s])jonas=sp.Matrix([520-20*t,310+5*t])solution=sp.solve([sp.Eq(ina[0],jonas[0]),sp.Eq(ina[1],jonas[1])],[s,t],dict=True)[0]meeting=ina.subs(solution)total_distance=100*sp.sqrt(145)ina_distance=sp.simplify(solution[s]*total_distance)print("Solution =",solution)print("Meeting point from Ina =",tuple(meeting))print("Meeting point from Jonas =",tuple(jonas.subs(solution)))print("Fraction of Ina's trip =",solution[s])print("Exact distance walked =",ina_distance,"m")print("Distance decimal =",sp.N(ina_distance,12),"m")
Utskrift fra Python:
Solution = {s: 7/20, t: 5}
Meeting point from Ina = (420, 335)
Meeting point from Jonas = (420, 335)
Fraction of Ina's trip = 7/20
Exact distance walked = 35*sqrt(145) m
Distance decimal = 421.455810258 m
Fasit: Ina har gått \(35\sqrt{145}\text{ m}\approx421,46\text{ m}\).
Vanlig feil: Å bruke samme tidsparameter for begge uten at oppgaven sier at de startet samtidig.
Sensorpunkt: Løs med to parametere, finn møtepunkt og regn avstanden langs Inas sti.
Del 2 - Oppgave 5aLengde av vektorsum
Oppgave 5a
Oppgave: \(|\vec a|=4\), \(|\vec b|=2\sqrt3\), vinkelen mellom dem er 30°, og \(\vec p=\vec a+\vec b\). Finn \(|\vec p|\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skalarproduktet eller cosinussetningen.
Med denne t-verdien blir skalarproduktet nøyaktig null.
En koordinatrealisering viser at p og q blir ortogonale når t=-6/7.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[(a+b)·(t a+b)=0,t]
\(t=-6/7\)
Tolkning: Skalarproduktet blir 28t+24.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True)a=sp.Matrix([4,0])b=sp.Matrix([3,sp.sqrt(3)])p=a+bq=t*a+bdot=sp.expand(p.dot(q))solution=sp.solve(sp.Eq(dot,0),t)[0]print("Coordinate realization a =",tuple(a))print("Coordinate realization b =",tuple(b))print("p =",tuple(p))print("q(t) =",tuple(q))print("p dot q =",dot)print("t =",solution)print("q at solution =",tuple(q.subs(t,solution)))print("Orthogonality check =",sp.simplify(p.dot(q.subs(t,solution))))
Utskrift fra Python:
Coordinate realization a = (4, 0)
Coordinate realization b = (3, sqrt(3))
p = (7, sqrt(3))
q(t) = (4*t + 3, sqrt(3))
p dot q = 28*t + 24
t = -6/7
q at solution = (-3/7, sqrt(3))
Orthogonality check = 0
Fasit: \(t=-\frac67\).
Vanlig feil: Å anta at a og b er ortogonale; vinkelen mellom dem er 30°.
Sensorpunkt: Utvid skalarproduktet med de tre kjente størrelsene.
Del 2 - Oppgave 6aParing av funksjoner og dobbeltderiverte
Oppgave 6a
Oppgave: Sorter grafene A–H i fire par, der hvert par består av en funksjon og dens dobbeltderiverte.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke form, skjæringer, symmetri og kjente dobbeltderiverte.
Steg 1 - Eksponentialparet
G går gjennom (0,1) og har formen \(2^x\). Dobbeltderiverten er \((\ln2)^2 2^x\), samme form men lavere ved x=0. Derfor er G funksjonen og A dens dobbeltderiverte.
Steg 2 - Tredjegradsparet
B er en forskjøvet tredjegradsfunksjon, som \(x^3-c\). Dobbeltderiverten er en rett linje gjennom origo. Derfor er B funksjonen og C dens dobbeltderiverte.
Steg 3 - Andregradsparet
E er en oppadrettet parabel \(x^2-c\). Dobbeltderiverten er konstant 2, altså H. Derfor E→H.
Steg 4 - Fjerdegradsparet
F er en symmetrisk fjerdegradsfunksjon \(x^4-c\) med flat bunn. Dobbeltderiverten er en parabel med bunn i origo, altså D. Derfor F→D.
Steg 5 - Oversikt
Parene er \[(G,A),\quad(B,C),\quad(E,H),\quad(F,D),\] der første bokstav i hvert par er funksjonen.
Rekonstruksjon av de åtte grafene med representative funksjoner som viser de fire parene.
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)functions={"G":2**x,"B":x**3-1,"E":x**2-2,"F":x**4-1,}forname,finfunctions.items():second=sp.diff(f,x,2)print(name,"function =",f,"; second derivative =",second)print("G'' has the same exponential shape and matches A")print("B'' is a line and matches C")print("E'' is the constant 2 and matches H")print("F'' is an upward parabola and matches D")print("Pairs: G-A, B-C, E-H, F-D")
Utskrift fra Python:
G function = 2**x ; second derivative = 2**x*log(2)**2
B function = x**3 - 1 ; second derivative = 6*x
E function = x**2 - 2 ; second derivative = 2
F function = x**4 - 1 ; second derivative = 12*x**2
G'' has the same exponential shape and matches A
B'' is a line and matches C
E'' is the constant 2 and matches H
F'' is an upward parabola and matches D
Pairs: G-A, B-C, E-H, F-D
Fasit: G er funksjon til A; B er funksjon til C; E er funksjon til H; F er funksjon til D.
Vanlig feil: Å pare bare etter at grafene ser like ut, uten å bruke dobbeltderivasjon.
Sensorpunkt: Hvert par må ha tydelig rollefordeling og faglig begrunnelse.
Del 2 - Oppgave 6bOmvendbarhet og en-til-en-egenskap
Oppgave 6b
Oppgave: Hvilke av grafene A–H er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den horisontale linjetesten på hele definisjonsmengden.
Steg 1 - Eksponentialgrafene
A og G er strengt voksende eksponentialfunksjoner. Hver y-verdi treffes høyst én gang, så begge er omvendbare.
Steg 2 - Tredjegrads- og linjegraf
B er strengt voksende tredjegradsfunksjon og C er en ikke-horisontal rett linje. Begge er én-til-én.
Steg 3 - Symmetriske U-grafer
D, E og F er ikke én-til-én fordi en horisontal linje vanligvis treffer grafen to steder.
Steg 4 - Konstant graf
H er konstant og gir samme funksjonsverdi for alle x, så den er ikke omvendbar.
Steg 5 - Konklusjon
Grafene som har omvendt funksjon, er A, B, C og G.
Tolkning: Disse er strengt monotone og består testen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
graphs={"A":"increasing exponential","B":"strictly increasing cubic","C":"non-horizontal line","D":"upward parabola","E":"shifted upward parabola","F":"even quartic","G":"increasing exponential","H":"constant function",}invertible=[]forname,descriptioningraphs.items():result=namein{"A","B","C","G"}print(name,":",description,"-> invertible =",result)ifresult:invertible.append(name)print("Graphs with inverse functions =",invertible)print("Reason: exactly these pass the horizontal-line test on R")
Utskrift fra Python:
A : increasing exponential -> invertible = True
B : strictly increasing cubic -> invertible = True
C : non-horizontal line -> invertible = True
D : upward parabola -> invertible = False
E : shifted upward parabola -> invertible = False
F : even quartic -> invertible = False
G : increasing exponential -> invertible = True
H : constant function -> invertible = False
Graphs with inverse functions = ['A', 'B', 'C', 'G']
Reason: exactly these pass the horizontal-line test on R
Fasit: A, B, C og G har omvendte funksjoner.
Vanlig feil: Å tro at alle funksjoner har en omvendt funksjon bare fordi de har en graf.
Sensorpunkt: Bruk horisontal linjetest eller streng monotoni eksplisitt.
Kilde og metode: Oppgavetekstene er transkribert fra Utdanningsdirektoratets eksamenssett REA3056 Matematikk R1, høsten 2025 (LK20). Løsningene er originale. Alle Python-blokker er kjørt ved generering, og lagret utskrift er hentet direkte fra kjøringen. Symboler, programkode, intervaller og grafoppgaven er kontrollert mot alle renderte PDF-sider.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
