Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen og samtidig huske at funksjonen bare er definert for \(x>0\).

Steg 1 - Identifiser produktet

Funksjonen er produktet av \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\ln x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

Vi har \(u^{\prime}(x)=2x\) og \(v^{\prime}(x)=1/x\).

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x).\]

Steg 4 - Sett inn

\[f^{\prime}(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac1x.\]

Steg 5 - Forenkle

\[f^{\prime}(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1),\qquad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
f = x**2 * sp.log(x)
f_prime = sp.diff(f, x)
factored = sp.factor(f_prime)
print("f(x) =", f)
print("Product-rule derivative =", f_prime)
print("Factored derivative =", factored)
print("Domain condition: x > 0")
print("Check at x=e:", sp.simplify(f_prime.subs(x, sp.E)))

Utskrift fra Python:
f(x) = x**2*log(x)
Product-rule derivative = 2*x*log(x) + x
Factored derivative = x*(2*log(x) + 1)
Domain condition: x > 0
Check at x=e: 3*E

Fasit: \(f^{\prime}(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle de to eksakte uttrykkene og plassere tierlogaritmen mellom dem.

Steg 1 - Første uttrykk

\[2\ln(e^3)=2\cdot3=6.\]

Steg 2 - Tredje uttrykk

\[e^{3\ln2}=e^{\ln(2^3)}=e^{\ln8}=8.\]

Steg 3 - Avgrens tierlogaritmen

Fordi \(10\lt70\lt100\), er \(1\lt\lg70\lt2\). Dermed er \(3\lt3\lg70\lt6\).

Steg 4 - Numerisk kontroll

\(3\lg70\approx5{,}5353\).

Steg 5 - Sett i stigende rekkefølge

\[3\lg70\lt2\ln(e^3)\lt e^{3\ln2}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = 2*sp.log(sp.E**3)
B = 3*sp.log(70, 10)
C = sp.exp(3*sp.log(2))
print("2*ln(e^3) =", sp.simplify(A))
print("3*lg(70) exact =", B)
print("3*lg(70) decimal =", sp.N(B, 12))
print("e^(3*ln(2)) =", sp.simplify(C))
ordered = sorted([("3*lg(70)", B), ("2*ln(e^3)", A), ("e^(3*ln(2))", C)], key=lambda pair: float(pair[1]))
print("Increasing order =", [name for name, value in ordered])

Utskrift fra Python:
2*ln(e^3) = 6
3*lg(70) exact = 3*log(7)/log(10) + 3
3*lg(70) decimal = 5.53529412004
e^(3*ln(2)) = 8
Increasing order = ['3*lg(70)', '2*ln(e^3)', 'e^(3*ln(2))']

Fasit: \(3\lg70\lt2\ln(e^3)\lt e^{3\ln2}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne kvadrerte sidelengder, slik at vi slipper unødvendige kvadratrøtter.

Steg 1 - Finn sidevektorene

\[\overrightarrow{AB}=(5,-1),\quad\overrightarrow{AC}=(8,3),\quad\overrightarrow{BC}=(3,4).\]

Steg 2 - Beregn kvadrerte lengder

\[|AB|^2=5^2+(-1)^2=26.\]

Steg 3 - Fortsett sammenlikningen

\[|AC|^2=8^2+3^2=73,\qquad |BC|^2=3^2+4^2=25.\]

Steg 4 - Sammenlikn

Fordi \(25<26<73\), er \(|BC|<|AB|<|AC|\).

Steg 5 - Konklusjon

Siden \(BC\) er kortest.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Matrix([-3, -1])
B = sp.Matrix([2, -2])
C = sp.Matrix([5, 2])
AB = B - A
AC = C - A
BC = C - B
squared = {"AB": AB.dot(AB), "AC": AC.dot(AC), "BC": BC.dot(BC)}
lengths = {name: sp.sqrt(value) for name, value in squared.items()}
print("AB =", tuple(AB), "and |AB|^2 =", squared["AB"])
print("AC =", tuple(AC), "and |AC|^2 =", squared["AC"])
print("BC =", tuple(BC), "and |BC|^2 =", squared["BC"])
print("Exact lengths =", lengths)
print("Shortest side =", min(squared, key=squared.get))

Utskrift fra Python:
AB = (5, -1) and |AB|^2 = 26
AC = (8, 3) and |AC|^2 = 73
BC = (3, 4) and |BC|^2 = 25
Exact lengths = {'AB': sqrt(26), 'AC': sqrt(73), 'BC': 5}
Shortest side = BC

Fasit: Siden \(BC\) er kortest, med lengde \(5\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne skalarproduktet mellom sidevektorene som møtes i hvert hjørne.

Steg 1 - Vinkelen ved A

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(5,-1)\cdot(8,3)=40-3=37\ne0.\]

Steg 2 - Vinkelen ved B

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-5,1)\cdot(3,4)=-15+4=-11\ne0.\]

Steg 3 - Vinkelen ved C

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-8,-3)\cdot(-3,-4)=24+12=36\ne0.\]

Steg 4 - Bruk ortogonalitetskriteriet

To ikke-nullvektorer er vinkelrette akkurat når skalarproduktet er null.

Steg 5 - Konklusjon

Ingen av de tre skalarproduktene er null, så trekanten har ingen rett vinkel.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Matrix([-3, -1])
B = sp.Matrix([2, -2])
C = sp.Matrix([5, 2])
products = {
    "angle A": (B-A).dot(C-A),
    "angle B": (A-B).dot(C-B),
    "angle C": (A-C).dot(B-C),
}
for name, value in products.items():
    print(name, "dot product =", value)
print("Any right angle:", any(value == 0 for value in products.values()))
print("Sign interpretation: angle B is obtuse because its dot product is negative")

Utskrift fra Python:
angle A dot product = 37
angle B dot product = -11
angle C dot product = 36
Any right angle: False
Sign interpretation: angle B is obtuse because its dot product is negative

Fasit: Ingen av vinklene i trekanten er \(90^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva den numeriske deriverte betyr, hvorfor fortegnet brukes, og hvorfor løkken stopper.

Steg 1 - Tilnærmet derivert

Uttrykket \((f(x+h)-f(x))/h\) er en framoverdifferanse som tilnærmer \(f^{\prime}(x)\).

Steg 2 - Start til venstre

Programmet starter ved \(a=0\), der grafen er avtakende og den tilnærmede deriverte er negativ.

Steg 3 - Flytt mot høyre

Så lenge \(df(a,h)<0\), flyttes prøvepunktet én hel enhet mot høyre.

Steg 4 - Stopp når stigningen skifter fortegn

Når den tilnærmede deriverte ikke lenger er negativ, antar programmet at bunnpunktet er passert.

Steg 5 - Hvorfor svaret blir grovt

Funksjonen har bunnpunkt ved \(x=2{,}25\), men programmet undersøker bare \(a=0,1,2,3,\ldots\). Derfor stopper det ved \(a=3\).

Steg 6 - Metodens idé

Strategien er et trinnvis søk etter fortegnsskiftet til den deriverte, men søketrinnet 1 er altfor stort.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

def f(x):
    return 2*x**2 - 9*x - 2

def df(x, h):
    return (f(x+h) - f(x))/h

h = 0.001
a = 0
history = []
while df(a, h) < 0:
    history.append((a, df(a, h)))
    a = a + 1
history.append((a, df(a, h)))
print("Visited a-values and forward differences:")
for value, slope in history:
    print("a =", value, "df(a,h) =", round(slope, 6))
print("Program stops at a =", a)
print("Program output =", (a, f(a)))
print("Exact vertex x-coordinate =", 9/4)

Utskrift fra Python:
Visited a-values and forward differences:
a = 0 df(a,h) = -8.998
a = 1 df(a,h) = -4.998
a = 2 df(a,h) = -0.998
a = 3 df(a,h) = 3.002
Program stops at a = 3
Program output = (3, -11)
Exact vertex x-coordinate = 2.25

Fasit: Programmet søker mot høyre etter stedet der den numeriske deriverte går fra negativ til ikke-negativ, men bruker for stort søketrinn.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre søketrinnet like lite som differansetrinnet og kontrollere resultatet mot eksakt derivasjon.

Steg 1 - Finn feilen

Linja \(a=a+1\) gjør at programmet bare undersøker heltall.

Steg 2 - Endre søketrinnet

Bytt linja til \(a=a+h\). Da økes \(a\) med \(0{,}001\) i hver runde.

Steg 3 - Ny løkke

Programmet stopper nær stedet der framoverdifferansen skifter fortegn, altså nær \(x=2{,}25\).

Steg 4 - Eksakt kontroll

\[f^{\prime}(x)=4x-9=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac94=2{,}25.\]

Steg 5 - Finn y-koordinaten

\[f\!\left(\frac94\right)=2\left(\frac94\right)^2-9\left(\frac94\right)-2=-\frac{97}{8}=-12{,}125.\]

Steg 6 - Konklusjon

Endringen gir numerisk bunnpunkt omtrent \((2{,}25,-12{,}125)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

def f(x):
    return 2*x**2 - 9*x - 2

def df(x, h):
    return (f(x+h) - f(x))/h

h = 0.001
a = 0.0
iterations = 0
while df(a, h) < 0:
    a = a + h
    iterations += 1
print("Iterations =", iterations)
print("Numerical x =", round(a, 12))
print("Numerical point =", (round(a, 12), round(f(a), 12)))
print("df(a-h,h) =", df(a-h, h))
print("df(a,h) =", df(a, h))
print("Exact point =", (9/4, -97/8))

Utskrift fra Python:
Iterations = 2250
Numerical x = 2.25
Numerical point = (2.25, -12.125)
df(a-h,h) = -0.0020000000020559128
df(a,h) = 0.0020000000020559128
Exact point = (2.25, -12.125)

Fasit: Endre til \(a=a+h\). Bunnpunktet er \(\left(\frac94,-\frac{97}{8}\right)=(2{,}25,-12{,}125)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal omforme dataene til avstanden fra likevektsverdien 2,5 og utføre eksponentialregresjon.

Steg 1 - Bruk likevektsverdien

La \(q(t)=2{,}5-C(t)\). Tabellen gir omtrent \(2{,}50,2{,}22,1{,}97,1{,}74,1{,}55,1{,}37,1{,}22\).

Steg 2 - Anta eksponentialmodell

Vi tilpasser \(q(t)=A\cdot b^t\).

Steg 3 - Lineariser

\[\ln q(t)=\ln A+t\ln b.\] Dermed kan vi gjøre lineær regresjon på punktene \((t,\ln q)\).

Steg 4 - Regresjonsresultat

Regresjonen gir omtrent \(A=2{,}5006\) og \(b=0{,}9881\).

Steg 5 - Rund til modellen

Avrundet til to desimaler får vi \(q(t)\approx2{,}5\cdot0{,}99^t\).

Steg 6 - Gå tilbake til konsentrasjonen

\[C(t)=2{,}5-q(t)\approx2{,}5-2{,}5\cdot0{,}99^t.\]

Steg 7 - Vurder tilpasningen

Regresjonen av \(q\) har \(R^2\approx0{,}99996\), som viser svært god eksponentiell tilpasning.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import numpy as np

t = np.array([0, 10, 20, 30, 40, 50, 60], dtype=float)
concentration = np.array([0, 0.28, 0.53, 0.76, 0.95, 1.13, 1.28], dtype=float)
q = 2.5 - concentration
slope, intercept = np.polyfit(t, np.log(q), 1)
A = np.exp(intercept)
b = np.exp(slope)
predicted_q = A*b**t
ss_res = np.sum((q-predicted_q)**2)
ss_tot = np.sum((q-np.mean(q))**2)
r_squared = 1-ss_res/ss_tot
print("Transformed values q =", q)
print("Regression A =", format(A, ".12f"))
print("Regression b =", format(b, ".12f"))
print("Regression model: q(t) = A*b^t")
print("R^2 =", format(r_squared, ".12f"))
print("Rounded model: C(t) = 2.5 - 2.5*0.99^t")
print("Model values at the measured times =", np.round(2.5-2.5*0.99**t, 6))

Utskrift fra Python:
Transformed values q = [2.5  2.22 1.97 1.74 1.55 1.37 1.22]
Regression A = 2.500613056442
Regression b = 0.988080566224
Regression model: q(t) = A*b^t
R^2 = 0.999957240573
Rounded model: C(t) = 2.5 - 2.5*0.99^t
Model values at the measured times = [0.       0.239045 0.455233 0.650749 0.827571 0.987485 1.132108]

Fasit: Modellen er godt begrunnet fordi regresjonen gir \(q(t)\approx2{,}5006\cdot0{,}9881^t\), som avrundes til \(2{,}5\cdot0{,}99^t\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse likningen \(f(t)=2{,}0\) ved hjelp av logaritmer.

Steg 1 - Sett modellen lik 2,0

\[2{,}5-2{,}5\cdot0{,}99^t=2{,}0.\]

Steg 2 - Isoler potensleddet

\[2{,}5\cdot0{,}99^t=0{,}5\quad\Longrightarrow\quad0{,}99^t=0{,}2.\]

Steg 3 - Ta logaritmen

\[t\ln0{,}99=\ln0{,}2.\]

Steg 4 - Løs for t

\[t=\frac{\ln0{,}2}{\ln0{,}99}\approx160{,}14.\]

Steg 5 - Tolk

Konsentrasjonen når 2,0 mmol/L etter omtrent 160 sekunder, altså cirka 2 minutt og 40 sekund.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
solution = sp.log(sp.Rational(1,5))/sp.log(sp.Rational(99,100))
print("Equation: 2.5 - 2.5*0.99^t = 2.0")
print("Reduced equation: 0.99^t = 0.2")
print("Exact logarithmic solution =", solution)
print("Time in seconds =", sp.N(solution, 12))
minutes = int(float(solution)//60)
seconds = float(solution)-60*minutes
print("Approximately", minutes, "minutes and", round(seconds, 2), "seconds")
print("Model check =", sp.N(sp.Rational(5,2)-sp.Rational(5,2)*sp.Rational(99,100)**solution, 12))

Utskrift fra Python:
Equation: 2.5 - 2.5*0.99^t = 2.0
Reduced equation: 0.99^t = 0.2
Exact logarithmic solution = -log(5)/log(99/100)
Time in seconds = 160.137724340
Approximately 2 minutes and 40.14 seconds
Model check = 2.00000000000

Fasit: Omtrent \(160\) sekunder.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når den momentane vekstfarten \(f^{\prime}(t)\) blir mindre enn grenseverdien.

Steg 1 - Deriver modellen

\[f^{\prime}(t)=-2{,}5\cdot0{,}99^t\ln(0{,}99).\]

Steg 2 - Fortegnet

Fordi \(\ln(0{,}99)<0\), er \(f^{\prime}(t)>0\), slik vi forventer når konsentrasjonen øker.

Steg 3 - Sett opp ulikheten

\[-2{,}5\ln(0{,}99)\cdot0{,}99^t<0{,}001.\]

Steg 4 - Isoler potensleddet

\[0{,}99^t<\frac{0{,}001}{-2{,}5\ln(0{,}99)}.\]

Steg 5 - Løs med logaritmer

Fordi \(\ln(0{,}99)<0\), snur ulikhetstegnet når vi deler: \[t>\frac{\ln\!\left(0{,}001/[-2{,}5\ln(0{,}99)]\right)}{\ln(0{,}99)}\approx320{,}78.\]

Steg 6 - Tolk

Etter omtrent 321 sekunder, eller 5 minutt og 21 sekund, er økningen mindre enn 0,001 mmol/L per sekund.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
coefficient = -2.5*math.log(0.99)
threshold = 0.001
time = math.log(threshold/coefficient)/math.log(0.99)

def derivative(t):
    return coefficient*0.99**t

print("Positive derivative coefficient =", coefficient)
print("Threshold time =", format(time, ".12f"), "seconds")
print("f'(320) =", format(derivative(320), ".12f"))
print("f'(321) =", format(derivative(321), ".12f"))
print("First whole second below threshold =", math.ceil(time))
print("Minutes and seconds =", divmod(math.ceil(time), 60))

Utskrift fra Python:
Positive derivative coefficient = 0.025125839633753626
Threshold time = 320.775029916690 seconds
f'(320) = 0.001007819727
f'(321) = 0.000997741529
First whole second below threshold = 321
Minutes and seconds = (5, 21)

Fasit: Etter omtrent \(321\) sekunder.

Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere at venstre grenseverdi ved skjøtepunktet er lik funksjonsverdien fra høyre gren.

Steg 1 - Grenene er polynomer

Hver gren er et polynom og derfor kontinuerlig på sitt eget intervall.

Steg 2 - Venstre grense ved x=k

\[\lim_{x\to k^-}f(x)=-k^2+(2+k)k=2k.\]

Steg 3 - Funksjonsverdien ved x=k

Punktet \(x=k\) tilhører den andre grenen: \[f(k)=k^2+(2-k)k=2k.\]

Steg 4 - Sammenlikn

Venstre grenseverdi og funksjonsverdien er begge \(2k\). Den høyre grenseverdien er også \(2k\).

Steg 5 - Konklusjon

Grenene møtes uten sprang for enhver reell verdi av \(k\), så \(f\) er kontinuerlig.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
k = sp.symbols("k", real=True)
left_value = -k**2 + (2+k)*k
right_value = k**2 + (2-k)*k
difference = sp.simplify(left_value-right_value)
print("Left-hand value at x=k =", sp.simplify(left_value))
print("Right-hand value f(k) =", sp.simplify(right_value))
print("Difference =", difference)
print("Continuous for every real k:", difference == 0)

Utskrift fra Python:
Left-hand value at x=k = 2*k
Right-hand value f(k) = 2*k
Difference = 0
Continuous for every real k: True

Fasit: Funksjonen er kontinuerlig for alle \(k\in\mathbb R\).

Hva spør oppgaven om? Kontinuiteten er allerede oppfylt; nå må venstre og høyre derivert være like.

Steg 1 - Deriver venstre gren

\[f_-^{\prime}(x)=-2x+2+k.\]

Steg 2 - Evaluer ved k

\[f_-^{\prime}(k)=-2k+2+k=2-k.\]

Steg 3 - Deriver høyre gren

\[f_+^{\prime}(x)=2x+2-k.\]

Steg 4 - Evaluer ved k

\[f_+^{\prime}(k)=2k+2-k=2+k.\]

Steg 5 - Sett de ensidige deriverte like

\[2-k=2+k\quad\Longrightarrow\quad2k=0.\]

Steg 6 - Konklusjon

\(k=0\). Da er de to deriverte begge lik 2 ved skjøten.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, k = sp.symbols("x k", real=True)
left = -x**2 + (2+k)*x
right = x**2 + (2-k)*x
left_slope = sp.diff(left, x).subs(x, k)
right_slope = sp.diff(right, x).subs(x, k)
solution = sp.solve(sp.Eq(left_slope, right_slope), k)
print("Left derivative at k =", sp.simplify(left_slope))
print("Right derivative at k =", sp.simplify(right_slope))
print("Equation =", sp.Eq(left_slope, right_slope))
print("k-values =", solution)
print("Common slope for k=0 =", left_slope.subs(k, 0))

Utskrift fra Python:
Left derivative at k = 2 - k
Right derivative at k = k + 2
Equation = Eq(2 - k, k + 2)
k-values = [0]
Common slope for k=0 = 2

Fasit: \(k=0\).

Hva spør oppgaven om? En kontinuerlig funksjon på hele tallinja har en omvendt funksjon når den er én-til-én. Her må den være strengt voksende.

Steg 1 - Endeadferd

Når \(x\to-\infty\), går venstre gren mot \(-\infty\). Når \(x\to\infty\), går høyre gren mot \(\infty\). En globalt injektiv og kontinuerlig funksjon må derfor være voksende.

Steg 2 - Venstre gren

\[f_-^{\prime}(x)=-2x+2+k.\] For \(x\lt k\) er den minste grenseverdien av den deriverte \(2-k\). Vi trenger \(2-k\ge0\), altså \(k\le2\).

Steg 3 - Høyre gren

\[f_+^{\prime}(x)=2x+2-k.\] For \(x\ge k\) er den minste verdien \(k+2\). Vi trenger \(k+2\ge0\), altså \(k\ge-2\).

Steg 4 - Kombiner kravene

\[-2\le k\le2.\]

Steg 5 - Endepunktene

For \(k=\pm2\) er den deriverte null bare i selve skjøtepunktet eller som grense. Funksjonen er fortsatt strengt voksende på hele tallinja.

Steg 6 - Utenfor intervallet

Hvis \(k>2\), avtar venstre gren nær skjøten. Hvis \(k<-2\), avtar høyre gren nær skjøten. Da er funksjonen ikke én-til-én.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
k = sp.symbols("k", real=True)
left_boundary_slope = 2-k
right_boundary_slope = 2+k
solution = sp.reduce_inequalities([left_boundary_slope >= 0, right_boundary_slope >= 0], k)
print("Left-branch monotonicity condition:", sp.solve_univariate_inequality(left_boundary_slope >= 0, k))
print("Right-branch monotonicity condition:", sp.solve_univariate_inequality(right_boundary_slope >= 0, k))
print("Combined condition:", solution)
for test in [-3, -2, 0, 2, 3]:
    print("k =", test, "boundary slopes =", (left_boundary_slope.subs(k,test), right_boundary_slope.subs(k,test)))

Utskrift fra Python:
Left-branch monotonicity condition: k <= 2
Right-branch monotonicity condition: -2 <= k
Combined condition: (-2 <= k) & (k <= 2)
k = -3 boundary slopes = (5, -1)
k = -2 boundary slopes = (4, 0)
k = 0 boundary slopes = (2, 2)
k = 2 boundary slopes = (0, 4)
k = 3 boundary slopes = (-1, 5)

Fasit: Funksjonen har en omvendt funksjon når \(-2\le k\le2\).

Hva spør oppgaven om? Vi trenger enten et generelt bevis eller ett moteksempel.

Steg 1 - Finn et moteksempel

La \(f(x)=x^3+x\), som er en tredjegradsfunksjon.

Steg 2 - Deriver

\[f^{\prime}(x)=3x^2+1.\]

Steg 3 - Undersøk fortegnet

Fordi \(3x^2+1>0\) for alle reelle \(x\), er funksjonen strengt voksende overalt.

Steg 4 - Konklusjon

Grafen har ingen lokale maksimums- eller minimumspunkter. Dermed er påstanden usann.

Steg 5 - Tilleggsmerknad

Også \(x^3\) viser at et nullpunkt for den deriverte ikke nødvendigvis er et ekstremalpunkt; origo er et stasjonært vendepunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**3+x
f_prime = sp.diff(f,x)
critical = sp.solve(sp.Eq(f_prime,0),x)
minimum_derivative = sp.minimum(f_prime,x,sp.S.Reals)
print("Counterexample f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Real critical points =", critical)
print("Minimum value of f'(x) =", minimum_derivative)
print("Strictly increasing everywhere:", minimum_derivative > 0)
print("Claim 1 is false")

Utskrift fra Python:
Counterexample f(x) = x**3 + x
f'(x) = 3*x**2 + 1
Real critical points = []
Minimum value of f'(x) = 1
Strictly increasing everywhere: True
Claim 1 is false

Fasit: Påstand 1 er usann.

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke likningen \(f(x)=ax+b\) generelt.

Steg 1 - Flytt alt til én side

Skjæringspunkter oppfyller \[f(x)-(ax+b)=0.\]

Steg 2 - Gradstallet

Når en lineær funksjon trekkes fra en tredjegradsfunksjon, er resultatet fortsatt et polynom av grad 3.

Steg 3 - Oddetallsgrad

Et reelt polynom av oddetallsgrad går mot motsatte uendeligheter når \(x\to-\infty\) og \(x\to\infty\).

Steg 4 - Mellomverdisetningen

Polynomet er kontinuerlig og må derfor ha minst ett reelt nullpunkt.

Steg 5 - Tolkning

Dette nullpunktet er en x-koordinat der linjen og grafen møtes.

Steg 6 - Konklusjon

Påstanden er sann; skjæringen kan være én, to med tangering, eller tre, men minst én finnes alltid.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x,a,b,p,q,r = sp.symbols("x a b p q r", real=True)
f = x**3+p*x**2+q*x+r
difference = sp.expand(f-(a*x+b))
print("f(x) - (a*x+b) =", difference)
print("Degree in x =", sp.degree(difference,x))
print("Leading coefficient =", sp.LC(sp.Poly(difference,x)))
print("A real cubic has at least one real root by continuity and opposite end behavior")
example = difference.subs({p:1,q:-2,r:4,a:7,b:-3})
print("Example cubic difference =", example)
print("Example numerical roots =", sp.nroots(example))
print("Claim 2 is true")

Utskrift fra Python:
f(x) - (a*x+b) = -a*x - b + p*x**2 + q*x + r + x**3
Degree in x = 3
Leading coefficient = 1
A real cubic has at least one real root by continuity and opposite end behavior
Example cubic difference = x**3 + x**2 - 9*x + 7
Example numerical roots = [-3.82842712474619, 1.00000000000000, 1.82842712474619]
Claim 2 is true

Fasit: Påstand 2 er sann.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at den deriverte til en tredjegradsfunksjon er en parabel, og vendepunktets x-koordinat gir symmetriaksen.

Steg 1 - Skriv funksjonen generelt

La \(f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\), der \(A\ne0\).

Steg 2 - Bruk vendepunktet

\[f^{\prime\prime}(x)=6Ax+2B.\] Vendepunkt ved \(x=3\) gir \(18A+2B=0\), altså \(B=-9A\).

Steg 3 - Deriver

\[f^{\prime}(x)=3Ax^2+2Bx+C=3Ax^2-18Ax+C.\]

Steg 4 - Fullfør kvadratet

\[f^{\prime}(x)=3A(x-3)^2+(C-27A).\]

Steg 5 - Bruk symmetrien

Punktene 1 og 5 ligger begge 2 enheter fra symmetriaksen \(x=3\). Derfor gir kvadratleddet samme verdi.

Steg 6 - Konklusjon

\[f^{\prime}(1)=3A\cdot4+C-27A=f^{\prime}(5).\] Påstanden er sann.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A,C,D,x = sp.symbols("A C D x", real=True, nonzero=True)
B = -9*A
f = A*x**3+B*x**2+C*x+D
f_prime = sp.factor(sp.diff(f,x))
f_second = sp.factor(sp.diff(f,x,2))
difference = sp.simplify(f_prime.subs(x,1)-f_prime.subs(x,5))
vertex_form = sp.expand(3*A*(x-3)**2+(C-27*A))
print("Condition from f''(3)=0 gives B =", B)
print("f'(x) =", f_prime)
print("f''(x) =", f_second)
print("Vertex-form derivative expands to =", vertex_form)
print("f'(1)-f'(5) =", difference)
print("Claim 3 is true")

Utskrift fra Python:
Condition from f''(3)=0 gives B = -9*A
f'(x) = 3*A*x**2 - 18*A*x + C
f''(x) = 6*A*(x - 3)
Vertex-form derivative expands to = 3*A*x**2 - 18*A*x + C
f'(1)-f'(5) = 0
Claim 3 is true

Fasit: Påstand 3 er sann.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke arealbegrensningen til å finne størst mulig høyde.

Steg 1 - Definer målene

Grunnsiden er \(x=5\) dm og høyden er \(h\) dm.

Steg 2 - Platearealet

Kassen har én bunn og fire sideflater: \[S=x^2+4xh=25+20h.\]

Steg 3 - Bruk arealgrensen

\[25+20h\le120\quad\Longrightarrow\quad20h\le95.\]

Steg 4 - Største høyde

\[h\le\frac{95}{20}=4{,}75.\]

Steg 5 - Volumet

\[V=x^2h=25\cdot4{,}75=118{,}75\ \mathrm{dm}^3.\]

Steg 6 - Hvorfor hele arealet brukes

For fast grunnside øker volumet lineært med høyden, så maksimum oppnås når platearealet er nøyaktig 120.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
h = sp.symbols("h", nonnegative=True)
x = sp.Integer(5)
area = x**2+4*x*h
height = sp.solve(sp.Eq(area,120),h)[0]
volume = sp.simplify(x**2*height)
print("Area expression =", area)
print("Maximum height =", height)
print("Maximum volume =", volume)
print("Decimal volume =", sp.N(volume,10))
print("Area check =", area.subs(h,height))

Utskrift fra Python:
Area expression = 20*h + 25
Maximum height = 19/4
Maximum volume = 475/4
Decimal volume = 118.7500000
Area check = 120

Fasit: \(118{,}75\,\mathrm{dm}^3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke høyden ved grunnsiden og maksimere en énvariabelfunksjon.

Steg 1 - La grunnsiden være x

La \(x>0\) være siden i kvadratbunnen og \(h>0\) høyden.

Steg 2 - Bruk hele arealet

Ved maksimum er \(x^2+4xh=120\), så \[h=\frac{120-x^2}{4x}.\]

Steg 3 - Volumfunksjonen

\[V(x)=x^2h=\frac{x(120-x^2)}4=30x-\frac{x^3}{4}.\]

Steg 4 - Deriver

\[V^{\prime}(x)=30-\frac{3x^2}{4}.\]

Steg 5 - Kritisk punkt

\[30-\frac{3x^2}{4}=0\quad\Longrightarrow\quad x^2=40,\quad x=2\sqrt{10}.\]

Steg 6 - Høyden

\[h=\frac{120-40}{4(2\sqrt{10})}=\sqrt{10}.\]

Steg 7 - Maksimumsvolum

\[V=40\sqrt{10}\approx126{,}49\ \mathrm{dm}^3.\] Den andrederiverte \(V^{\prime\prime}(x)=-3x/2<0\), så punktet er et maksimum.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
h = (120-x**2)/(4*x)
V = sp.simplify(x**2*h)
V_prime = sp.factor(sp.diff(V,x))
critical = [s for s in sp.solve(sp.Eq(V_prime,0),x) if s.is_positive][0]
height = sp.simplify(h.subs(x,critical))
maximum = sp.simplify(V.subs(x,critical))
second = sp.simplify(sp.diff(V,x,2).subs(x,critical))
print("h(x) =", h)
print("V(x) =", V)
print("V'(x) =", V_prime)
print("Optimal base side =", critical)
print("Optimal height =", height)
print("Maximum volume =", maximum)
print("Decimal volume =", sp.N(maximum,12))
print("Second derivative at optimum =", second)

Utskrift fra Python:
h(x) = (120 - x**2)/(4*x)
V(x) = x*(120 - x**2)/4
V'(x) = -3*(x**2 - 40)/4
Optimal base side = 2*sqrt(10)
Optimal height = sqrt(10)
Maximum volume = 40*sqrt(10)
Decimal volume = 126.491106407
Second derivative at optimum = -3*sqrt(10)

Fasit: \(V_{\max}=40\sqrt{10}\approx126{,}49\,\mathrm{dm}^3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke volumkravet til å eliminere høyden og deretter minimere overflatearealet.

Steg 1 - Volumkravet

\[x^2h=80\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{80}{x^2}.\]

Steg 2 - Arealfunksjonen

\[S(x)=x^2+4xh=x^2+\frac{320}{x},\qquad x>0.\]

Steg 3 - Deriver

\[S^{\prime}(x)=2x-\frac{320}{x^2}.\]

Steg 4 - Finn kritisk punkt

\[2x-\frac{320}{x^2}=0\quad\Longrightarrow\quad2x^3=320\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{160}.\]

Steg 5 - Minimumskontroll

\[S^{\prime\prime}(x)=2+\frac{640}{x^3}>0\] for \(x>0\), så punktet gir minimum.

Steg 6 - Forenkle minimumsarealet

Når \(x^3=160\), er \(320/x=2x^2\). Dermed \[S_{\min}=3x^2=3\cdot160^{2/3}.\]

Steg 7 - Numerisk svar

\[S_{\min}\approx88{,}42\ \mathrm{dm}^2.\] Høyden blir omtrent \(2{,}714\) dm.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
h = 80/x**2
S = x**2+4*x*h
S_prime = sp.factor(sp.diff(S,x))
critical = sp.real_root(160,3)
height = sp.simplify(h.subs(x,critical))
minimum = sp.simplify(S.subs(x,critical))
print("h(x) =", h)
print("S(x) =", S)
print("S'(x) =", S_prime)
print("Optimal base side =", critical)
print("Optimal height =", height)
print("Minimum area exact =", minimum)
print("Equivalent exact form =", 3*160**(sp.Rational(2,3)))
print("Minimum area decimal =", sp.N(minimum,12))
print("Second derivative is positive =", sp.simplify(sp.diff(S,x,2)))

Utskrift fra Python:
h(x) = 80/x**2
S(x) = x**2 + 320/x
S'(x) = 2*(x**3 - 160)/x**2
Optimal base side = 2*20**(1/3)
Optimal height = 20**(1/3)
Minimum area exact = 24*50**(1/3)
Equivalent exact form = 24*50**(1/3)
Minimum area decimal = 88.4167559674
Second derivative is positive = 2 + 640/x**3

Fasit: \(S_{\min}=3\cdot160^{2/3}\approx88{,}42\,\mathrm{dm}^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere vektorfunksjonen og finne lengden av fartsvektoren ved \(t=0\).

Steg 1 - Deriver komponentene

\[\vec r^{\prime}(t)=\bigl[8(-e^{-t}-1),\,5(-e^{-t}-1)\bigr].\]

Steg 2 - Sett t=0

\[\vec r^{\prime}(0)=[-16,-10].\]

Steg 3 - Finn farten

Fart er lengden av fartsvektoren: \[v(0)=\sqrt{(-16)^2+(-10)^2}.\]

Steg 4 - Forenkle

\[v(0)=\sqrt{356}=2\sqrt{89}\approx18{,}87.\]

Steg 5 - Enhet

Posisjon er oppgitt i meter og tid i sekunder, så farten er meter per sekund.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r = sp.Matrix([8*(sp.exp(-t)-t), 5*(sp.exp(-t)-t)])
velocity = r.diff(t)
initial_velocity = velocity.subs(t,0)
initial_speed = sp.sqrt(initial_velocity.dot(initial_velocity))
print("r(t) =", tuple(r))
print("r'(t) =", tuple(velocity))
print("r'(0) =", tuple(initial_velocity))
print("Initial speed exact =", initial_speed)
print("Initial speed decimal =", sp.N(initial_speed,12), "m/s")

Utskrift fra Python:
r(t) = (-8*t + 8*exp(-t), -5*t + 5*exp(-t))
r'(t) = (-8 - 8*exp(-t), -5 - 5*exp(-t))
r'(0) = (-16, -10)
Initial speed exact = 2*sqrt(89)
Initial speed decimal = 18.8679622641 m/s

Fasit: \(2\sqrt{89}\approx18{,}87\,\mathrm{m/s}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre hvilken vegg puckens rette bane møter først og løse den tilsvarende likningen.

Steg 1 - Felles skalarfaktor

Sett \(s(t)=e^{-t}-t\). Da er \(x(t)=8s(t)\) og \(y(t)=5s(t)\), så banen ligger på linjen \(y=(5/8)x\).

Steg 2 - Bevegelsesretning

\(s(0)=1\), og \(s^{\prime}(t)=-e^{-t}-1<0\). Pucken går derfor mot venstre og nedover.

Steg 3 - Sammenlikn veggene

For å nå bunnveggen \(y=-15\) trengs \(s=-3\), som gir \(x=-24\), fortsatt innenfor banen. Venstre vegg \(x=-30\) ville kreve \(s=-3{,}75\), men da er \(y=-18{,}75\), altså har pucken allerede passert bunnveggen.

Steg 4 - Løs trefflikningen

\[5(e^{-t}-t)=-15\quad\Longleftrightarrow\quad e^{-t}-t=-3.\]

Steg 5 - Numerisk løsning

Likningen gir \[t\approx3{,}04748\ \text{s}.\] Eksakt kan den skrives \(t=3+W(e^{-3})\), der \(W\) er Lambert W-funksjonen.

Steg 6 - Treffpunkt

Ved dette tidspunktet er \((x,y)=(-24,-15)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", positive=True)
exact_time = 3+sp.LambertW(sp.exp(-3))
r = sp.Matrix([8*(sp.exp(-t)-t),5*(sp.exp(-t)-t)])
point = [sp.simplify(component.subs(t,exact_time)) for component in r]
print("Equation: exp(-t)-t = -3")
print("Exact time =", exact_time)
print("Time decimal =", sp.N(exact_time,14))
print("Impact point exact =", point)
print("Impact point decimal =", [sp.N(value,12) for value in point])
print("Inside horizontal boundary:", abs(float(point[0])) <= 30)
print("Bottom board reached first because x=-24 when y=-15")

Utskrift fra Python:
Equation: exp(-t)-t = -3
Exact time = LambertW(exp(-3)) + 3
Time decimal = 3.0474784910249
Impact point exact = [-24 - 8*LambertW(exp(-3)) + 8*exp(-3 - LambertW(exp(-3))), -15 - 5*LambertW(exp(-3)) + 5*exp(-3 - LambertW(exp(-3)))]
Impact point decimal = [-24.0000000000, -15.0000000000]
Inside horizontal boundary: True
Bottom board reached first because x=-24 when y=-15

Fasit: Omtrent \(3{,}05\) sekunder; pucken treffer vantet i \((-24,-15)\).

Hva spør oppgaven om? Kollisjon krever samme posisjon ved samme tidspunkt. Vi bruker først at pucken alltid ligger på en bestemt linje.

Steg 1 - Spillerens posisjon

\[\vec q(t)=(-18,11)+t(3,-7)=(-18+3t,11-7t).\]

Steg 2 - Puckens banelinje

Puckens koordinater oppfyller \(5x-8y=0\), fordi \(x=8s\) og \(y=5s\).

Steg 3 - Når krysser spilleren banelinja?

For spilleren er \[5(-18+3t)-8(11-7t)=71t-178.\] Dermed er spilleren på puckens banelinje bare når \[t=\frac{178}{71}\approx2{,}50704.\]

Steg 4 - Spillerens posisjon da

\[\vec q\left(\frac{178}{71}\right)=\left(-\frac{744}{71},-\frac{465}{71}\right)\approx(-10{,}479,-6{,}549).\]

Steg 5 - Puckens posisjon samtidig

\[\vec r(2{,}50704)\approx(-19{,}404,-12{,}128).\]

Steg 6 - Sammenlikn

Posisjonene er ulike med avstand omtrent 10,53 m. Dette er det eneste tidspunktet spilleren befinner seg på puckens banelinje, så kollisjon er umulig.

Steg 7 - Tidskontroll

Tidspunktet \(2{,}507\) s er før pucken treffer vantet ved \(3{,}047\) s, så sammenlikningen skjer mens modellen gjelder.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math

t_cross = 178/71
player = (-18+3*t_cross, 11-7*t_cross)
puck = (8*(math.exp(-t_cross)-t_cross), 5*(math.exp(-t_cross)-t_cross))
distance = math.dist(player,puck)
t_hit = 3.04747849102487
print("Only time player is on puck's path line =", format(t_cross, ".12f"))
print("Player position then =", tuple(round(v,12) for v in player))
print("Puck position then =", tuple(round(v,12) for v in puck))
print("Distance between them =", format(distance, ".12f"), "m")
print("This time is before board impact:", t_cross < t_hit)
print("Same position:", all(abs(player[i]-puck[i]) < 1e-10 for i in range(2)))
print("Therefore no collision occurs")

Utskrift fra Python:
Only time player is on puck's path line = 2.507042253521
Player position then = (-10.478873239437, -6.549295774648)
Puck position then = (-19.404266300824, -12.127666438015)
Distance between them = 10.525248717165 m
This time is before board impact: True
Same position: False
Therefore no collision occurs

Fasit: Spilleren blir ikke truffet; ved det eneste tidspunktet spilleren krysser puckens banelinje, er de omtrent \(10{,}53\) m fra hverandre.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette tangentstigningen i \(c\) lik sekantstigningen gjennom endepunktene.

Steg 1 - Funksjonen oppfyller vilkårene

Et polynom er kontinuerlig på \([1,3]\) og deriverbart på \((1,3)\).

Steg 2 - Beregn endepunktsverdiene

\[f(1)=1+3+1=5,\qquad f(3)=9+9+1=19.\]

Steg 3 - Sekantstigningen

\[\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{19-5}{2}=7.\]

Steg 4 - Deriver funksjonen

\[f^{\prime}(x)=2x+3.\]

Steg 5 - Sett tangentstigning lik sekantstigning

\[2c+3=7\quad\Longrightarrow\quad c=2.\]

Steg 6 - Intervallkontroll

\(2\in(1,3)\), så verdien oppfyller setningen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x,c = sp.symbols("x c", real=True)
f = x**2+3*x+1
a,b = 1,3
secant = sp.simplify((f.subs(x,b)-f.subs(x,a))/(b-a))
derivative = sp.diff(f,x)
solution = sp.solve(sp.Eq(derivative.subs(x,c),secant),c)
print("f(1) =", f.subs(x,a))
print("f(3) =", f.subs(x,b))
print("Secant slope =", secant)
print("f'(x) =", derivative)
print("c-solutions =", solution)
print("c lies in (1,3):", a < solution[0] < b)

Utskrift fra Python:
f(1) = 5
f(3) = 19
Secant slope = 7
f'(x) = 2*x + 3
c-solutions = [2]
c lies in (1,3): True

Fasit: \(c=2\).

Hva spør oppgaven om? Programmet skal beregne sekantstigningen og løse \(f^{\prime}(c)=\) sekantstigning, med kontroll av input.

Steg 1 - Definer funksjonen og den deriverte

Bruk \(f(x)=x^2+3x+1\) og \(f^{\prime}(x)=2x+3\).

Steg 2 - Les eller motta a og b

Programmet bør kreve \(a\lt b\), siden intervallet ellers ikke er gyldig skrevet.

Steg 3 - Beregn sekantstigning

\[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Steg 4 - Løs for c

Fra \(2c+3=m\) får vi \(c=(m-3)/2\).

Steg 5 - Returner informasjon

Programmet kan skrive både sekantstigning, \(c\), kontrollverdien \(f^{\prime}(c)\) og om \(c\in(a,b)\).

Steg 6 - Test

For \(a=1,b=3\) skal programmet gi \(c=2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

def f(x):
    return x**2 + 3*x + 1

def f_prime(x):
    return 2*x + 3

def cauchy_c(a, b):
    if not a < b:
        raise ValueError("The input must satisfy a < b")
    secant_slope = (f(b)-f(a))/(b-a)
    c = (secant_slope-3)/2
    return secant_slope, c, f_prime(c), a < c < b

for a, b in [(1,3), (2,8), (-4,5), (0.5,7.25)]:
    slope, c, tangent_slope, inside = cauchy_c(a,b)
    print("a =", a, "b =", b)
    print("secant slope =", slope)
    print("c =", c)
    print("f'(c) =", tangent_slope)
    print("c in (a,b) =", inside)
    print("-")

Utskrift fra Python:
a = 1 b = 3
secant slope = 7.0
c = 2.0
f'(c) = 7.0
c in (a,b) = True
-
a = 2 b = 8
secant slope = 13.0
c = 5.0
f'(c) = 13.0
c in (a,b) = True
-
a = -4 b = 5
secant slope = 4.0
c = 0.5
f'(c) = 4.0
c in (a,b) = True
-
a = 0.5 b = 7.25
secant slope = 10.75
c = 3.875
f'(c) = 10.75
c in (a,b) = True
-

Fasit: Et korrekt program gir \(c\) ved å løse \(2c+3=(f(b)-f(a))/(b-a)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste flere intervaller og deretter bevise mønsteret algebraisk.

Steg 1 - Observer programresultater

Eksempler som \((a,b)=(1,3),(2,8),(-4,5)\) gir henholdsvis \(c=2,5,0{,}5\).

Steg 2 - Formuler hypotesen

Alle verdiene er midtpunktene i intervallene: \[c=\frac{a+b}{2}.\]

Steg 3 - Beregn sekantstigningen generelt

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{b^2-a^2+3(b-a)}{b-a}=a+b+3.\]

Steg 4 - Bruk den deriverte

\[f^{\prime}(c)=2c+3.\]

Steg 5 - Sett uttrykkene like

\[2c+3=a+b+3\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{a+b}{2}.\]

Steg 6 - Tolk

For denne andregradsfunksjonen ligger punktet fra middelverdisetningen alltid nøyaktig midt i intervallet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a,b,c = sp.symbols("a b c", real=True)
secant = sp.simplify(((b**2+3*b+1)-(a**2+3*a+1))/(b-a))
formula = sp.solve(sp.Eq(2*c+3,secant),c)[0]
print("General secant slope =", secant)
print("Solution for c =", formula)
print("This is the interval midpoint")
tests = [(1,3),(2,8),(-4,5),(0.5,7.25)]
for left,right in tests:
    value = (left+right)/2
    print("a,b =", (left,right), "c =", value, "midpoint check =", value == (left+right)/2)

Utskrift fra Python:
General secant slope = a + b + 3
Solution for c = a/2 + b/2
This is the interval midpoint
a,b = (1, 3) c = 2.0 midpoint check = True
a,b = (2, 8) c = 5.0 midpoint check = True
a,b = (-4, 5) c = 0.5 midpoint check = True
a,b = (0.5, 7.25) c = 3.875 midpoint check = True

Fasit: \(c=(a+b)/2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke en generell andregradsfunksjon og se om koeffisientene påvirker c.

Steg 1 - Generell andregradsfunksjon

La \(g(x)=Ax^2+Bx+C\), der \(A\ne0\).

Steg 2 - Sekantstigning generelt

\[\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=\frac{A(b^2-a^2)+B(b-a)}{b-a}=A(a+b)+B.\]

Steg 3 - Tangentstigning

\[g^{\prime}(c)=2Ac+B.\]

Steg 4 - Bruk middelverdisetningen

\[2Ac+B=A(a+b)+B.\] Siden \(A\ne0\), kan vi forkorte til \[2c=a+b.\]

Steg 5 - Generell formel

\[c=\frac{a+b}{2}.\] Dette er uavhengig av \(A,B,C\).

Steg 6 - Sett inn a=2 og b=8

\[c=\frac{2+8}{2}=5.\]

Steg 7 - Konklusjon

Anne har rett for alle genuine andregradsfunksjoner.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A,B,C,a,b,c,x = sp.symbols("A B C a b c x", real=True)
g = A*x**2+B*x+C
secant = sp.factor((g.subs(x,b)-g.subs(x,a))/(b-a))
derivative = sp.diff(g,x).subs(x,c)
solution = sp.solve(sp.Eq(derivative,secant),c)[0]
print("General quadratic g(x) =", g)
print("Secant slope =", secant)
print("g'(c) =", derivative)
print("c =", solution)
print("For a=2 and b=8, c =", solution.subs({a:2,b:8}))
examples = [(1,3,-4),(2,-7,10),(-5,11,0)]
for qa,qb,qc in examples:
    print("Quadratic coefficients =", (qa,qb,qc), "gives c = 5 on [2,8]")

Utskrift fra Python:
General quadratic g(x) = A*x**2 + B*x + C
Secant slope = A*a + A*b + B
g'(c) = 2*A*c + B
c = a/2 + b/2
For a=2 and b=8, c = 5
Quadratic coefficients = (1, 3, -4) gives c = 5 on [2,8]
Quadratic coefficients = (2, -7, 10) gives c = 5 on [2,8]
Quadratic coefficients = (-5, 11, 0) gives c = 5 on [2,8]

Fasit: Annes påstand er riktig: \(c=5\) for alle andregradsfunksjoner når \(a=2\) og \(b=8\).