\[\frac{12}{9}=\frac43.\] Dermed er \(\lg x=\lg(4/3)\).
Steg 5 - Sammenlign argumentene
Siden begge argumentene er positive, får vi \[x=\frac43.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[log(10,x)=log(10,6)-2log(10,3)+log(10,2)]
\(x=4/3\)
Tolkning: Logaritmereglene samler høyresiden til \(\lg(4/3)\).
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",positive=True)rhs_argument=sp.simplify(sp.Rational(6)*2/3**2)solution=rhs_argumentleft=sp.log(solution,10)right=sp.log(6,10)-2*sp.log(3,10)+sp.log(2,10)print("Combined argument =",rhs_argument)print("Solution x =",solution)print("Left side =",left)print("Right side =",sp.simplify(right))print("Difference =",sp.simplify(left-right))
Utskrift fra Python:
Combined argument = 4/3
Solution x = 4/3
Left side = log(4/3)/log(10)
Right side = log((4/3)**(1/log(10)))
Difference = 0
Fasit: \(x=\dfrac43\).
Vanlig feil: Å glemme at koeffisienten 2 blir en eksponent på 3.
Sensorpunkt: Korrekt bruk av logaritmereglene og oppgitt domene \(x>0\).
Del 1 - Oppgave 3Sammenlikning uten kalkulator
Oppgave 3
Oppgave: Hvilke av tallene er mindre enn 10? Begrunn svarene. \[3\sqrt{11},\qquad10\lg9,\qquad5\ln9.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi må sammenlikne hvert uttrykk med 10 ved hjelp av monotoni og enkle ulikheter.
Steg 1 - Tallet 3√11
Begge sider er positive. Vi kan derfor kvadrere: \[(3\sqrt{11})^2=99<100=10^2.\] Dermed er \(3\sqrt{11}<10\).
Steg 2 - Tallet 10 lg 9
Siden \(9<10\) og \(\lg\) er voksende, er \(\lg9<\lg10=1\). Derfor \(10\lg9<10\).
Steg 3 - Tallet 5 ln 9
Vi har \(\ln9=2\ln3\). Siden \(3>e\), er \(\ln3>1\). Dermed \[5\ln9=10\ln3>10.\]
Steg 4 - Konklusjon
De to første tallene er mindre enn 10; det tredje er større enn 10.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Numeric[3sqrt(11), 10log(10,9), 5ln(9)]
Ca. \(9.950,\ 9.542,\ 10.986\)
Tolkning: De numeriske verdiene støtter de eksakte ulikhetsargumentene.
Vanlig feil: Å konkludere med bare én faktor uten å faktorisere kvotienten videre.
Sensorpunkt: Vis \(f(-6)=0\), utfør divisjon og oppgi alle lineære faktorer.
Del 1 - Oppgave 5bEkstremalpunkter
Oppgave 5b
Oppgave: Begrunn at grafen har et bunnpunkt i \(\left(\frac23,f\left(\frac23\right)\right)\). Bestem eventuelle andre ekstremalpunkter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne nullpunktene til den deriverte og klassifisere dem med fortegn eller andrederivert.
Steg 1 - Deriver
\[f\prime(x)=3x^2+10x-8.\]
Steg 2 - Faktoriser den deriverte
\[3x^2+10x-8=(3x-2)(x+4).\]
Steg 3 - Kritiske x-verdier
\[f\prime(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac23\text{ eller }x=-4.\]
Steg 4 - Bruk andrederivert
\[f\prime\prime(x)=6x+10.\] Da er \(f\prime\prime(2/3)=14>0\), så punktet er et bunnpunkt. Videre er \(f\prime\prime(-4)=-14<0\), så \(x=-4\) gir toppunkt.
Den lineære funksjonen \(6x+10\) er negativ til venstre for \(-5/3\) og positiv til høyre.
Steg 4 - Konklusjon
Krumningen skifter derfor, og grafen har et vendepunkt med x-koordinat \(-5/3\).
Steg 5 - Ekstra kontroll
Y-koordinaten er \(f(-5/3)=286/27\), selv om oppgaven bare ber om x-koordinaten.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[Derivative[f,2](x)=0]
\(x=-5/3\)
Tolkning: Andrederiverten skifter fortegn fordi den er lineær med positiv stigning.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)f=x**3+5*x**2-8*x-12second=sp.diff(f,x,2)x_inflection=sp.solve(second,x)[0]y_inflection=sp.simplify(f.subs(x,x_inflection))print("f''(x) =",second)print("Inflection x =",x_inflection)print("Inflection y =",y_inflection)print("Left sign =",sp.sign(second.subs(x,x_inflection-1)))print("Right sign =",sp.sign(second.subs(x,x_inflection+1)))
Utskrift fra Python:
f''(x) = 2*(3*x + 5)
Inflection x = -5/3
Inflection y = 286/27
Left sign = -1
Right sign = 1
Fasit: Vendepunktets x-koordinat er \(x=-\dfrac53\).
Vanlig feil: Å sette \(f\prime(x)=0\) i stedet for \(f\prime\prime(x)=0\).
Sensorpunkt: Nullpunkt for andrederiverten og begrunnelse for fortegnsskifte.
Del 1 - Oppgave 5dGrafskisse med nøkkelpunkter
Oppgave 5d
Oppgave: Lag en skisse av grafen til \(f(x)=x^3+5x^2-8x-12\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal samle nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt, skjæring med y-aksen og endeadferd.
Steg 1 - Nullpunkter
Fra faktoriseringen får vi \(x=-6,-1,2\).
Steg 2 - Skjæring med y-aksen
\[f(0)=-12,\] så grafen går gjennom \((0,-12)\).
Steg 3 - Ekstremalpunkter
Toppunktet er \((-4,36)\), og bunnpunktet er \((2/3,-400/27)\approx(0.667,-14.8)\).
Steg 4 - Vendepunkt
Vendepunktet er \((-5/3,286/27)\).
Steg 5 - Endeadferd
Ledende ledd er \(x^3\). Derfor går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.
Steg 6 - Tegn jevnt
Koble punktene med en jevn tredjegradskurve som følger monotonien bestemt av \(f\prime\).
Kontrollert grafskisse med nullpunkter, ekstremalpunkter og vendepunkt.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Curve[x, x^3+5x^2-8x-12, x, -7, 3]
Graf med røtter \(-6,-1,2\), topp \((-4,36)\) og bunn ved \(x=2/3\).
Tolkning: Grafen må være konsistent med alle beregnede nøkkelpunkter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)f=x**3+5*x**2-8*x-12roots=sp.solve(f,x)critical=sp.solve(sp.diff(f,x),x)inflection=sp.solve(sp.diff(f,x,2),x)print("Roots =",roots)print("y-intercept =",f.subs(x,0))print("Critical points =",[(p,f.subs(x,p))forpincritical])print("Inflection point =",[(p,f.subs(x,p))forpininflection])print("Leading coefficient =",sp.LC(sp.Poly(f,x)))
Utskrift fra Python:
Roots = [-6, -1, 2]
y-intercept = -12
Critical points = [(-4, 36), (2/3, -400/27)]
Inflection point = [(-5/3, 286/27)]
Leading coefficient = 1
Fasit: En korrekt tredjegradsskisse gjennom de oppgitte nøkkelpunktene.
Vanlig feil: Å tegne en tilfeldig S-kurve uten å plassere røtter og ekstremalpunkter riktig.
Sensorpunkt: Skissen skal samsvare med nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt og endeadferd.
Del 1 - Oppgave 6aKombinatorisk sannsynlighet
Oppgave 6a
Oppgave: Tre av åtte personer skal sette opp telt. Hva er sannsynligheten for at både Anita og Lars blir valgt?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal telle gunstige tremannsgrupper og alle mulige tremannsgrupper.
Steg 1 - Alle utvalg
Antall måter å velge 3 av 8 på er \(\binom83=56\).
Steg 2 - Gunstige utvalg
Anita og Lars er allerede med. Den tredje personen kan velges blant de 6 andre: \(\binom61=6\).
Tolkning: Hypergeometrisk telling gir samme resultat som den sekvensielle metoden.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
frommathimportcombfromfractionsimportFractionall_groups=comb(8,3)favorable=comb(6,1)probability=Fraction(favorable,all_groups)sequential=Fraction(3,8)*Fraction(2,7)print("All groups =",all_groups)print("Favorable groups =",favorable)print("Probability =",probability)print("Decimal =",float(probability))print("Sequential check =",sequential)print("Difference =",probability-sequential)
Utskrift fra Python:
All groups = 56
Favorable groups = 6
Probability = 3/28
Decimal = 0.10714285714285714
Sequential check = 3/28
Difference = 0
Fasit: \(P=\dfrac3{28}\approx10.7\%\).
Vanlig feil: Å bruke \(2/8\) som om det bare trekkes én person.
Sensorpunkt: Tydelig utfallsrom og gunstige kombinasjoner eller korrekt sekvensiell beregning.
Del 1 - Oppgave 6bKomplementær sannsynlighet
Oppgave 6b
Oppgave: Hva er sannsynligheten for at Anita og Lars ikke blir trukket ut til samme arbeidsoppgave?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? De må havne i ulike grupper: én setter opp telt og den andre lager mat.
Steg 1 - Første mulig rekkefølge
Anita telt og Lars mat har sannsynlighet \[(3/8)(5/7).\]
Steg 2 - Andre mulig rekkefølge
Anita mat og Lars telt har sannsynlighet \[(5/8)(3/7).\]
Utskrift fra Python:
Center = (1, 2)
Radius = sqrt(2)
Distance formula = sqrt(2)*Abs(k - 3)/2
Squared tangent equation = Eq((3 - k)**2/2, 2)
k-values = [1, 5]
k = 1 distance = sqrt(2)
k = 5 distance = sqrt(2)
Fasit: \(k=1\) eller \(k=5\).
Vanlig feil: Å sette avstanden fra origo, ikke fra sirkelens sentrum.
Sensorpunkt: Avstandsformel, tangentkrav og begge parallelle tangentlinjer.
Del 1 - Oppgave 9aSirkelgeometri og tangent-korde-setningen
Oppgave 9a
Oppgave: I den likebeinte trekanten er \(AC=BC\), \(u=\angle ACB\), og tangenten i A møter forlengelsen av BC i D. Finn \(\angle ADC\) når \(u=110^{\circ}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke likebeint trekant, tangent-korde-setningen og vinkelsummen i trekant ACD.
Steg 1 - Finn grunnvinklene
Siden \(AC=BC\), er grunnvinklene ved A og B like. Med \(v=\angle BAC\) får vi \[2v+u=180^{\circ}.\]
Steg 2 - Sett inn u=110°
\[v=\frac{180^{\circ}-110^{\circ}}2=35^{\circ}.\]
Steg 3 - Vinkelen ved A i trekant ACD
Tangent-korde-setningen gir at vinkelen mellom tangenten AD og korden AC er lik periferivinkelen \(\angle ABC=v=35^{\circ}\).
Steg 4 - Vinkelen ved C
Siden CD er forlengelsen av CB, er \[\angle ACD=180^{\circ}-u=70^{\circ}.\]
Utskrift fra Python:
u = 110
v = 35
angle DAC = 35
angle ACD = 70
angle ADC = 75
Triangle sum = 180
Fasit: \(\angle ADC=75^{\circ}\).
Vanlig feil: Å bruke \(u\) direkte som vinkelen ved C i trekant ACD; der er det supplementvinkelen \(180^{\circ}-u\).
Sensorpunkt: Tangent-korde-setningen og korrekt vinkelsum i trekant ACD.
Del 1 - Oppgave 9bPlassering av omsenter
Oppgave 9b
Oppgave: Begrunn at \(u>90^{\circ}\) når sirkelens sentrum S ligger utenfor trekant ABC.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal knytte plasseringen av omsenteret til om trekanten er spiss-, rett- eller stumpvinklet.
Steg 1 - Egenskap for omsenteret
Omsenteret til en spissvinklet trekant ligger inni trekanten. For en rettvinklet trekant ligger det på hypotenusen. For en stumpvinklet trekant ligger det utenfor.
Steg 2 - Bruk opplysningen
S ligger utenfor trekanten. Derfor må trekanten være stumpvinklet.
Steg 3 - Utnytt likebeintheten
Grunnvinklene ved A og B er like. De kan ikke begge være større enn \(90^{\circ}\), for da ville vinkelsummen overstige \(180^{\circ}\).
Steg 4 - Identifiser den stumpe vinkelen
Den eneste vinkelen som kan være stump, er toppvinkelen \(u=\angle ACB\).
Steg 5 - Konklusjon
Dermed må \[u>90^{\circ}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Circumcenter[A,B,C] utenfor Polygon[A,B,C]
Trekanten er stumpvinklet, og den stumpe vinkelen er \(u\).
importsympyasspu=sp.symbols("u",real=True)v=(180-u)/2print("Base angle v =",v)fortest_uin[80,90,110]:test_v=(180-test_u)/2classification="obtuse"iftest_u>90else("right"iftest_u==90else"acute")print(f"u={test_u}: v={test_v}, triangle={classification}")print("If the circumcenter is outside, the triangle is obtuse.")print("Equal base angles cannot both be obtuse, so u > 90.")
Utskrift fra Python:
Base angle v = 90 - u/2
u=80: v=50.0, triangle=acute
u=90: v=45.0, triangle=right
u=110: v=35.0, triangle=obtuse
If the circumcenter is outside, the triangle is obtuse.
Equal base angles cannot both be obtuse, so u > 90.
Fasit: Når S ligger utenfor trekanten, er trekanten stumpvinklet, og derfor \(u>90^{\circ}\).
Vanlig feil: Å hevde at alle omsentre ligger inne i trekanten.
Sensorpunkt: Korrekt sammenheng mellom omsenterets plassering og stumpvinklet trekant, samt bruk av likebeintheten.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aHypergeometrisk sannsynlighet
Oppgave 1a
Oppgave: Fem kort trekkes uten tilbakelegging. Bestem sannsynligheten for at alle fem er hjerter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi teller femkortshender med bare hjerter og deler på alle femkortshender.
Steg 1 - Alle hender
Antall femkortshender er \(\binom{52}{5}\).
Steg 2 - Gunstige hender
Alle fem skal velges blant de 13 hjerterkortene: \(\binom{13}{5}\).
Steg 3 - Sannsynlighet
\[P=\frac{\binom{13}{5}}{\binom{52}{5}}.\]
Steg 4 - Forenkle
Brøken blir \[\frac{33}{66640}\approx0.0004952.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
nCr(13,5)/nCr(52,5)
\(33/66640\approx0.0004952\)
Tolkning: Utvalget er uten tilbakelegging, derfor brukes kombinasjoner.
Vanlig feil: Å glemme at det er fire valg for hvilken korttype som forekommer to ganger.
Sensorpunkt: Forklar mønsteret \(2,1,1,1\) og alle tellefaktorene.
Del 2 - Oppgave 2aParameterframstilling
Oppgave 2a
Oppgave: Punktet er \(C(24,10)\), og strålen er \(x=12t,\ y=5t,\ t>0\). Vis at C ligger på strålen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi må finne én positiv parameterverdi som gir begge koordinatene til C.
Steg 1 - Bruk x-koordinaten
\[12t=24\quad\Longrightarrow\quad t=2.\]
Steg 2 - Kontroller y-koordinaten
Med \(t=2\) får vi \[y=5\cdot2=10.\]
Steg 3 - Kontroller parameterkravet
\(t=2>0\), så punktet ligger på selve strålen, ikke bare på den tilhørende linjen.
Steg 4 - Konklusjon
Begge koordinater stemmer, derfor ligger C på \(\ell\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Substitute[t=2,(12t,5t)]
\((24,10)\)
Tolkning: Én og samme positive t-verdi gir begge koordinatene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True)C=sp.Matrix([24,10])point_on_ray=sp.Matrix([12*t,5*t])t_from_x=sp.solve(sp.Eq(12*t,C[0]),t)[0]computed=point_on_ray.subs(t,t_from_x)print("t from x-coordinate =",t_from_x)print("Point at this t =",tuple(computed))print("Matches C =",computed==C)print("Positive parameter =",bool(t_from_x>0))print("y-check =",sp.Eq(5*t_from_x,C[1]))
Utskrift fra Python:
t from x-coordinate = 2
Point at this t = (24, 10)
Matches C = True
Positive parameter = True
y-check = True
Fasit: \(t=2\) gir \((x,y)=(24,10)\), så C ligger på \(\ell\).
Vanlig feil: Å finne t fra bare én koordinat uten å kontrollere den andre.
Sensorpunkt: Samme positive parameterverdi må tilfredsstille begge koordinatlikningene.
Del 2 - Oppgave 2bVinkel mellom vektorer
Oppgave 2b
Oppgave: Bruk vektorregning til å bestemme \(\angle BAC\) for \(A(0,0)\), \(B(9,1)\), \(C(24,10)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skalarproduktformelen for vinkelen mellom \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\).
Ettersom \(a>0\), kan vi multiplisere med \(4a^2\): \[3a^4+2a^2-1=0.\]
Steg 4 - Substituer u=a²
\[3u^2+2u-1=(3u-1)(u+1)=0.\] Siden \(u=a^2>0\), får vi \(a^2=1/3\), altså \(a=1/\sqrt3\).
Steg 5 - Klassifiser
\(T(a)\to\infty\) når \(a\to0^+\), og den kritiske verdien ligger i intervallet. Fortegnet til \(T\prime\) går fra minus til pluss, så dette er minimum.
importsympyasspalpha,gamma=sp.symbols("alpha gamma",positive=True)# Both triangles are right; their other acute angles sum to 90 degrees.condition=sp.Eq(alpha+gamma,90)print("Triangle ABC: angles =",(alpha,90,gamma))print("Triangle EFD: angles =",(alpha,90,gamma))print("Hypotenuse AC = DE = c")print("Right angles: angle B = angle F = 90")print("Given acute angles: angle C = angle D")print("Congruence criterion: hypotenuse plus acute angle")print("Correspondence: A<->E, B<->F, C<->D")
Utskrift fra Python:
Triangle ABC: angles = (alpha, 90, gamma)
Triangle EFD: angles = (alpha, 90, gamma)
Hypotenuse AC = DE = c
Right angles: angle B = angle F = 90
Given acute angles: angle C = angle D
Congruence criterion: hypotenuse plus acute angle
Correspondence: A<->E, B<->F, C<->D
Fasit: \(\triangle ABC\cong\triangle EFD\) ved hypotenus og én spiss vinkel i rettvinklede trekanter.
Vanlig feil: Å bruke bare tre like vinkler; det gir formlikhet, ikke nødvendigvis kongruens.
Sensorpunkt: Oppgi rettvinklene, den felles hypotenuslengden og den like spisse vinkelen.
Del 2 - Oppgave 4bVinkelsum i trekant
Oppgave 4b
Oppgave: Vis at \(\angle ACD=90^{\circ}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke vinklene ved A og D i trekant ACD ved hjelp av de to spisse vinklene i den opprinnelige rettvinklede trekanten.
Steg 1 - Navngi vinklene
La \(\alpha=\angle CAB\) og \(\gamma=\angle ACB\). Siden trekant ABC er rettvinklet ved B, er \[\alpha+\gamma=90^{\circ}.\]
Steg 2 - Vinkelen ved A i ACD
A, B og D er kollineære. Derfor er \(\angle CAD=\angle CAB=\alpha\).
Steg 3 - Vinkelen ved D i ACD
Konstruksjonen gir \(\angle BDC=\angle ACB=\gamma\). Strålene DA og DB er samme retning, så \(\angle ADC=\gamma\).
importsympyasspalpha=sp.symbols("alpha",real=True)gamma=90-alphaangle_CAD=alphaangle_ADC=gammaangle_ACD=sp.simplify(180-angle_CAD-angle_ADC)print("alpha + gamma =",sp.simplify(alpha+gamma))print("angle CAD =",angle_CAD)print("angle ADC =",angle_ADC)print("angle ACD =",angle_ACD)print("Therefore AC is perpendicular to DC.")
Utskrift fra Python:
alpha + gamma = 90
angle CAD = alpha
angle ADC = 90 - alpha
angle ACD = 90
Therefore AC is perpendicular to DC.
Fasit: \(\angle ACD=90^{\circ}\).
Vanlig feil: Å bruke 180°−γ ved D; DA og DB peker i samme retning fra D.
Sensorpunkt: Korrekt identifikasjon av vinklene ved A og D og bruk av vinkelsummen.
Del 2 - Oppgave 4cFormlikhet og lengdeforhold
Oppgave 4c
Oppgave: Vis at \[AD=a+\frac{b^2}{a}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kongruensen til å finne DF og EF, og deretter formlikheten mellom trekantene DBC og DFE.
Steg 1 - Lengder fra kongruensen
Fra del a får vi \[DF=BC=b,\qquad EF=AB=a.\]
Steg 2 - Parallelle linjer
Både BC og EF står vinkelrett på AD. Derfor er \(BC\parallel EF\).
Steg 3 - Formlike trekanter
Trekantene \(DBC\) og \(DFE\) er formlike: de deler vinkelen ved D, og har rette vinkler ved B og F.
Steg 4 - Sett opp forhold
\[\frac{DB}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{b}{a}.\]
Steg 5 - Finn DB
Siden \(DF=b\), får vi \[DB=b\cdot\frac{b}{a}=\frac{b^2}{a}.\]
Steg 6 - Finn AD
Punktene ligger i rekkefølgen A-B-D, så \[AD=AB+BD=a+\frac{b^2}{a}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Simplify[a+b*(b/a)]
\(a+b^2/a\)
Tolkning: Formlikheten gir BD=b²/a før AB legges til.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa,b=sp.symbols("a b",positive=True)DF=bEF=aBC=b# Similarity: DB/DF = BC/EFDB=sp.simplify(DF*BC/EF)AD=sp.simplify(a+DB)print("DF =",DF)print("EF =",EF)print("Similarity ratio BC/EF =",sp.simplify(BC/EF))print("DB =",DB)print("AD = AB + DB =",AD)print("Target difference =",sp.simplify(AD-(a+b**2/a)))
Utskrift fra Python:
DF = b
EF = a
Similarity ratio BC/EF = b/a
DB = b**2/a
AD = AB + DB = a + b**2/a
Target difference = 0
Fasit: \(AD=a+\dfrac{b^2}{a}\).
Vanlig feil: Å bruke kongruens mellom DBC og DFE; de er bare formlike.
Sensorpunkt: Parallelitet, formlikhet, korrekt samsvarende sider og summen AB+BD.
Del 2 - Oppgave 4dArealbevis for Pytagoras
Oppgave 4d
Oppgave: Forklar hvorfor \[\frac12c^2=\frac12a\left(a+\frac{b^2}{a}\right),\] og bruk dette til å vise Pytagoras’ setning.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne arealet av samme trekant ADE med to forskjellige grunnlinjer og høyder.
Steg 1 - Areal med grunnlinjen DE
Vi har \(DE=c\). Fra del b er \(AC\perp DE\), og \(AC=c\). Derfor \[A_{ADE}=\frac12\cdot DE\cdot AC=\frac12c^2.\]
Steg 2 - Areal med grunnlinjen AD
Vi har \(EF\perp AD\), og fra kongruensen er \(EF=a\). Fra del c er \(AD=a+b^2/a\).
Begge uttrykkene er arealet av samme trekant: \[\frac12c^2=\frac12a\left(a+\frac{b^2}{a}\right).\]
Steg 5 - Forenkle
Multipliser med 2 og fordel a: \[c^2=a^2+b^2.\]
Steg 6 - Konklusjon
Dette er Pytagoras’ setning for den rettvinklede trekanten ABC.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Expand[a*(a+b^2/a)]
\(a^2+b^2\)
Tolkning: De to arealuttrykkene for trekant ADE er identiske.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa,b,c=sp.symbols("a b c",positive=True)area_using_DE=sp.Rational(1,2)*c*cAD=a+b**2/aEF=aarea_using_AD=sp.simplify(sp.Rational(1,2)*AD*EF)print("Area using DE and AC =",area_using_DE)print("AD =",AD)print("EF =",EF)print("Area using AD and EF =",area_using_AD)right_side=sp.expand(2*area_using_AD)print("After multiplying by 2: c^2 =",right_side)print("Pythagorean result: c^2 = a^2 + b^2")print("Algebra check =",sp.simplify(right_side-(a**2+b**2)))
Utskrift fra Python:
Area using DE and AC = c**2/2
AD = a + b**2/a
EF = a
Area using AD and EF = a**2/2 + b**2/2
After multiplying by 2: c^2 = a**2 + b**2
Pythagorean result: c^2 = a^2 + b^2
Algebra check = 0
Fasit: \(c^2=a^2+b^2\).
Vanlig feil: Å bruke feil høyde til grunnlinjen DE; høyden er AC fordi del b viste at AC står vinkelrett på DE.
Sensorpunkt: Begge arealberegningene, likestilling og tydelig algebraisk avslutning.
Kilde og metode: Oppgaveteksten er transkribert fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett REA3022 Matematikk R1, 10.11.2022. Løsningene er originale. Figurer er enten egne kontrollfigurer eller utsnitt av det opplastede eksamenssettet. Python-utskriften er generert ved faktisk kjøring under produksjonen.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
