Hva spør oppgaven om? Vi deriverer ledd for ledd og tar med at logaritmen krever \(x>0\).

Steg 1 - Deriver fjerdegradsleddet

Potensregelen gir \((x^4)^{\prime}=4x^3\).

Steg 2 - Deriver det lineære leddet

\((-2x)^{\prime}=-2\).

Steg 3 - Deriver logaritmen

\((\ln x)^{\prime}=1/x\).

Steg 4 - Samle uttrykket

\[f^{\prime}(x)=4x^3-2+\frac1x.\]

Steg 5 - Oppgi området

Den opprinnelige funksjonen og den deriverte er definert for \(x>0\).

Steg 6 - Kontroller

Et direkte CAS-uttrykk gir samme resultat.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
f = x**4 - 2*x + sp.log(x)
f_prime = sp.diff(f, x)
expected = 4*x**3 - 2 + 1/x
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Expected =", expected)
print("Difference =", sp.simplify(f_prime-expected))
print("Domain condition: x > 0")

Utskrift fra Python:
f(x) = x**4 - 2*x + log(x)
f'(x) = 4*x**3 - 2 + 1/x
Expected = 4*x**3 - 2 + 1/x
Difference = 0
Domain condition: x > 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=4x^3-2+\dfrac1x\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(x^7\) og \(e^x\), så produktregelen brukes.

Steg 1 - Velg faktorene

Sett \(u=x^7\) og \(v=e^x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

\(u^{\prime}=7x^6\) og \(v^{\prime}=e^x\).

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[g^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 4 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=7x^6e^x+x^7e^x.\]

Steg 5 - Faktoriser

\[g^{\prime}(x)=x^6e^x(x+7).\]

Steg 6 - Kontroller

Den utvidede og faktoriserte formen er identiske.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
u = x**7
v = sp.exp(x)
product_rule = sp.diff(u,x)*v + u*sp.diff(v,x)
factored = sp.factor(product_rule)
print("u'(x) =", sp.diff(u,x))
print("v'(x) =", sp.diff(v,x))
print("Expanded derivative =", sp.expand(product_rule))
print("Factored derivative =", factored)
print("Check =", sp.simplify(factored-sp.diff(u*v,x)))

Utskrift fra Python:
u'(x) = 7*x**6
v'(x) = exp(x)
Expanded derivative = x**7*exp(x) + 7*x**6*exp(x)
Factored derivative = x**6*(x + 7)*exp(x)
Check = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=x^6e^x(x+7)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skriver brøken som \(\ln(2x)x^{-2}\). Den deriverte av \(\ln(2x)\) er \(1/x\).

Steg 1 - Skriv om

\[h(x)=\ln(2x)x^{-2}.\]

Steg 2 - Deriver logaritmen

Kjerneregelen gir \((\ln(2x))^{\prime}=2/(2x)=1/x\).

Steg 3 - Deriver potensleddet

\((x^{-2})^{\prime}=-2x^{-3}\).

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h^{\prime}=\frac1x x^{-2}+\ln(2x)(-2x^{-3}).\]

Steg 5 - Samle på felles faktor

\[h^{\prime}(x)=x^{-3}(1-2\ln(2x)).\]

Steg 6 - Skriv som brøk

\[h^{\prime}(x)=\frac{1-2\ln(2x)}{x^3},\quad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
h = sp.log(2*x)/x**2
h_prime = sp.simplify(sp.diff(h,x))
expected = (1-2*sp.log(2*x))/x**3
print("h(x) =", h)
print("h'(x) =", h_prime)
print("Expected =", expected)
print("Factored =", sp.factor(h_prime))
print("Difference =", sp.simplify(h_prime-expected))

Utskrift fra Python:
h(x) = log(2*x)/x**2
h'(x) = (1 - log(4*x**2))/x**3
Expected = (1 - 2*log(2*x))/x**3
Factored = -(2*log(x) - 1 + 2*log(2))/x**3
Difference = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{1-2\ln(2x)}{x^3}\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi utvider hver logaritme og samler koeffisientene til \(\ln a\) og \(\ln b\).

Steg 1 - Utvid første ledd

\(4\ln(ab^3)=4\ln a+12\ln b\).

Steg 2 - Utvid andre ledd

\(-3\ln(ab^2)=-3\ln a-6\ln b\).

Steg 3 - Utvid brøklogaritmen

\(-\ln(a/b)=-\ln a+\ln b\).

Steg 4 - Samle a-leddene

Koeffisienten blir \(4-3-1=0\).

Steg 5 - Samle b-leddene

Koeffisienten blir \(12-6+1=7\).

Steg 6 - Konkluder

Uttrykket er \(7\ln b=\ln(b^7)\), for \(a,b>0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A, B = sp.symbols("A B")
expr = 4*(A+3*B)-3*(A+2*B)-(A-B)
expanded = sp.expand(expr)
print("Let A = ln(a), B = ln(b)")
print("Expanded linear expression =", expr)
print("Collected expression =", expanded)
print("Coefficient of A =", sp.expand(expr).coeff(A))
print("Coefficient of B =", sp.expand(expr).coeff(B))
print("Final result = 7*ln(b)")

Utskrift fra Python:
Let A = ln(a), B = ln(b)
Expanded linear expression = 7*B
Collected expression = 7*B
Coefficient of A = 0
Coefficient of B = 7
Final result = 7*ln(b)

Fasit: \(7\ln b\), eventuelt \(\ln(b^7)\).

Hva spør oppgaven om? Divisjonen går opp akkurat når resten er null. Restsetningen sier at resten er \(P(2)\).

Steg 1 - Bruk restsetningen

Kravet er \(P(2)=0\).

Steg 2 - Sett inn x=2

\[P(2)=2^3+6\cdot2^2+2k-30.\]

Steg 3 - Regn ut konstantleddene

\(8+24-30=2\), så \(P(2)=2+2k\).

Steg 4 - Sett lik null

\[2+2k=0.\]

Steg 5 - Løs

\[k=-1.\]

Steg 6 - Kontroller

Med \(k=-1\) er \(P(2)=0\), så \(x-2\) er en faktor.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, k = sp.symbols("x k", real=True)
P = x**3 + 6*x**2 + k*x - 30
remainder = sp.expand(P.subs(x,2))
solution = sp.solve(sp.Eq(remainder,0),k)
print("P(x) =", P)
print("P(2) =", remainder)
print("Equation =", sp.Eq(remainder,0))
print("k solution =", solution)
print("Check P(2) for k=-1 =", P.subs({x:2,k:-1}))

Utskrift fra Python:
P(x) = k*x + x**3 + 6*x**2 - 30
P(2) = 2*k + 2
Equation = Eq(2*k + 2, 0)
k solution = [-1]
Check P(2) for k=-1 = 0

Fasit: \(k=-1\).

Hva spør oppgaven om? Fra forrige del vet vi at \(x-2\) er en faktor. Vi dividerer og faktoriserer andregradsfaktoren.

Steg 1 - Ta ut kjent faktor

\[x^3+6x^2-x-30=(x-2)Q(x).\]

Steg 2 - Divider

Polynomdivisjon gir \(Q(x)=x^2+8x+15\).

Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket

Vi søker to tall med sum 8 og produkt 15: 3 og 5.

Steg 4 - Skriv faktorene

\[x^2+8x+15=(x+3)(x+5).\]

Steg 5 - Samle

\[x^3+6x^2-x-30=(x-2)(x+3)(x+5).\]

Steg 6 - Kontroller ved utvidelse

Utvidelse gir det opprinnelige polynomet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
P = x**3 + 6*x**2 - x - 30
quotient, remainder = sp.div(P, x-2)
factored = sp.factor(P)
print("P(x) =", P)
print("Quotient =", quotient)
print("Remainder =", remainder)
print("Factored =", factored)
print("Expansion check =", sp.expand(factored)-P)

Utskrift fra Python:
P(x) = x**3 + 6*x**2 - x - 30
Quotient = x**2 + 8*x + 15
Remainder = 0
Factored = (x - 2)*(x + 3)*(x + 5)
Expansion check = 0

Fasit: \((x-2)(x+3)(x+5)\).

Hva spør oppgaven om? Vi flytter alt til venstre, bruker faktoriseringen og lager fortegnslinje.

Steg 1 - Flytt alle ledd

\[x^3+6x^2-x-30\le0.\]

Steg 2 - Faktoriser

\[(x-2)(x+3)(x+5)\le0.\]

Steg 3 - Finn nullpunktene

Nullpunktene er \(-5,-3,2\).

Steg 4 - Bestem fortegn

Med positiv ledende koeffisient skifter fortegnet ved hvert enkelt nullpunkt.

Steg 5 - Les av negative områder

Produktet er negativt for \(x<-5\) og for \(-3<x<2\).

Steg 6 - Ta med nullpunktene

Siden ulikheten er \(\le0\), inkluderes alle tre nullpunktene.

Steg 7 - Svar med intervaller

\[x\in(-\infty,-5]\cup[-3,2].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
P = (x-2)*(x+3)*(x+5)
roots = sp.solve(sp.Eq(P,0),x)
solution = sp.solve_univariate_inequality(P<=0,x)
test_values = [-6,-4,0,3]
print("Factored polynomial =", P)
print("Roots =", roots)
print("Test signs =", [(v, sp.sign(P.subs(x,v))) for v in test_values])
print("Solution =", solution)
print("Endpoint check =", [P.subs(x,r) for r in roots])

Utskrift fra Python:
Factored polynomial = (x - 2)*(x + 3)*(x + 5)
Roots = [-5, -3, 2]
Test signs = [(-6, -1), (-4, 1), (0, -1), (3, 1)]
Solution = (x <= -5) | ((-3 <= x) & (x <= 2))
Endpoint check = [0, 0, 0]

Fasit: \(x\in(-\infty,-5]\cup[-3,2]\).

Hva spør oppgaven om? En vektor fra P til Q finnes ved å trekke koordinatene til P fra koordinatene til Q.

Steg 1 - Finn AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-2),-1-1).\]

Steg 2 - Regn ut

\[\overrightarrow{AB}=(4,-2).\]

Steg 3 - Finn BC

\[\overrightarrow{BC}=C-B=(4-2,2-(-1)).\]

Steg 4 - Regn ut

\[\overrightarrow{BC}=(2,3).\]

Steg 5 - Kontroller retning

Begge vektorene peker i retning fra første til andre punkt.

Steg 6 - Oppgi svar

\(\overrightarrow{AB}=(4,-2)\) og \(\overrightarrow{BC}=(2,3)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Matrix([-2,1])
B = sp.Matrix([2,-1])
C = sp.Matrix([4,2])
AB = B-A
BC = C-B
print("A =", list(A))
print("B =", list(B))
print("C =", list(C))
print("AB =", list(AB))
print("BC =", list(BC))

Utskrift fra Python:
A = [-2, 1]
B = [2, -1]
C = [4, 2]
AB = [4, -2]
BC = [2, 3]

Fasit: \(\overrightarrow{AB}=(4,-2)\), \(\overrightarrow{BC}=(2,3)\).

Hva spør oppgaven om? To ikke-null vektorer står normalt på hverandre akkurat når skalarproduktet er null.

Steg 1 - Bruk vektorene

\(\overrightarrow{AB}=(4,-2)\), \(\overrightarrow{BC}=(2,3)\).

Steg 2 - Regn skalarproduktet

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot2+(-2)\cdot3.\]

Steg 3 - Forenkle

\[8-6=2.\]

Steg 4 - Sammenlikn med null

Skalarproduktet er ikke null.

Steg 5 - Konkluder

Vektorene står derfor ikke normalt på hverandre.

Steg 6 - Geometrisk kontroll

Vinkelen er nær, men ikke lik, \(90^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
AB = sp.Matrix([4,-2])
BC = sp.Matrix([2,3])
dot = AB.dot(BC)
cos_angle = sp.simplify(dot/(sp.sqrt(AB.dot(AB))*sp.sqrt(BC.dot(BC))))
angle = float(sp.acos(cos_angle)*180/sp.pi)
print("AB =", list(AB))
print("BC =", list(BC))
print("Dot product =", dot)
print("cos(angle) =", cos_angle)
print("Angle in degrees =", round(angle,6))

Utskrift fra Python:
AB = [4, -2]
BC = [2, 3]
Dot product = 2
cos(angle) = sqrt(65)/65
Angle in degrees = 82.874984

Fasit: Nei. Skalarproduktet er \(2\), ikke \(0\).

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker \(\overrightarrow{AD}\) ved \(t\) og setter skalarproduktet lik null.

Steg 1 - Finn AD

\[\overrightarrow{AD}=D-A=(t+2,2).\]

Steg 2 - Sett opp skalarproduktet

\[(4,-2)\cdot(t+2,2)=0.\]

Steg 3 - Regn ut

\[4(t+2)-4=0.\]

Steg 4 - Forenkle

\[4t+4=0.\]

Steg 5 - Løs

\[t=-1.\]

Steg 6 - Kontroller

For \(t=-1\) er \(AD=(1,2)\), og \((4,-2)\cdot(1,2)=0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
AB = sp.Matrix([4,-2])
AD = sp.Matrix([t+2,2])
dot = sp.expand(AB.dot(AD))
solution = sp.solve(sp.Eq(dot,0),t)
print("AB =", list(AB))
print("AD =", list(AD))
print("Dot product =", dot)
print("Solution =", solution)
print("Check at t=-1 =", dot.subs(t,-1))

Utskrift fra Python:
AB = [4, -2]
AD = [t + 2, 2]
Dot product = 4*t + 4
Solution = [-1]
Check at t=-1 = 0

Fasit: \(t=-1\).

Hva spør oppgaven om? Et trapes har minst ett par parallelle motstående sider. Vi undersøker \(AB\parallel CD\) og \(BC\parallel AD\).

Steg 1 - Finn CD

\[\overrightarrow{CD}=D-C=(t-4,1).\]

Steg 2 - Krav for AB parallell CD

Determinanten må være null: \[4\cdot1-(-2)(t-4)=0.\]

Steg 3 - Løs første krav

\[2t-4=0\Rightarrow t=2.\]

Steg 4 - Bruk AD

\(\overrightarrow{AD}=(t+2,2)\).

Steg 5 - Krav for BC parallell AD

\[2\cdot2-3(t+2)=0.\]

Steg 6 - Løs andre krav

\[-3t-2=0\Rightarrow t=-2/3.\]

Steg 7 - Konkluder

Firkanten er et trapes for \(t=2\) eller \(t=-2/3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
AB = sp.Matrix([4,-2]); CD = sp.Matrix([t-4,1])
BC = sp.Matrix([2,3]); AD = sp.Matrix([t+2,2])
det1 = sp.det(sp.Matrix.hstack(AB,CD))
det2 = sp.det(sp.Matrix.hstack(BC,AD))
print("det(AB,CD) =", sp.expand(det1))
print("AB parallel CD for t =", sp.solve(sp.Eq(det1,0),t))
print("det(BC,AD) =", sp.expand(det2))
print("BC parallel AD for t =", sp.solve(sp.Eq(det2,0),t))
print("Combined solutions =", [sp.Integer(2),-sp.Rational(2,3)])

Utskrift fra Python:
det(AB,CD) = 2*t - 4
AB parallel CD for t = [2]
det(BC,AD) = -3*t - 2
BC parallel AD for t = [-2/3]
Combined solutions = [2, -2/3]

Fasit: \(t=2\) eller \(t=-\dfrac23\).

Hva spør oppgaven om? Valgene i de to klassene er uavhengige, så antall kombinasjoner multipliseres.

Steg 1 - Velg fra klasse A

Antallet er \(\binom73=35\).

Steg 2 - Velg fra klasse B

Antallet er \(\binom52=10\).

Steg 3 - Bruk produktregelen

For hvert A-valg finnes 10 B-valg.

Steg 4 - Multipliser

\[35\cdot10=350.\]

Steg 5 - Vurder rekkefølge

Rekkefølgen i en komité spiller ingen rolle, derfor brukes kombinasjoner.

Steg 6 - Svar

Det finnes 350 mulige komiteer.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from fractions import Fraction
choose_A = math.comb(7,3)
choose_B = math.comb(5,2)
total = choose_A*choose_B
print("Choose 3 from 7 =", choose_A)
print("Choose 2 from 5 =", choose_B)
print("Product =", total)
print("Order matters =", False)
print("Total committees =", total)

Utskrift fra Python:
Choose 3 from 7 = 35
Choose 2 from 5 = 10
Product = 350
Order matters = False
Total committees = 350

Fasit: \(350\) komiteer.

Hva spør oppgaven om? Vi teller gunstige komiteer med Anne og Jens fast valgt og deler på 350.

Steg 1 - Fest Anne

Da må 2 av de 6 andre i A velges: \(\binom62\).

Steg 2 - Fest Jens

Da må 1 av de 4 andre i B velges: \(\binom41\).

Steg 3 - Tell gunstige

\[\binom62\binom41=15\cdot4=60.\]

Steg 4 - Del på totalen

\[P=\frac{60}{350}.\]

Steg 5 - Forkort

\[P=\frac6{35}.\]

Steg 6 - Desimal

Dette er omtrent \(0.1714\), altså \(17.1\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from fractions import Fraction
favorable = math.comb(6,2)*math.comb(4,1)
total = math.comb(7,3)*math.comb(5,2)
probability = Fraction(favorable,total)
print("Favorable committees =", favorable)
print("Total committees =", total)
print("Exact probability =", probability)
print("Decimal probability =", float(probability))
print("Percent =", round(100*float(probability),4))

Utskrift fra Python:
Favorable committees = 60
Total committees = 350
Exact probability = 6/35
Decimal probability = 0.17142857142857143
Percent = 17.1429

Fasit: \(\dfrac6{35}\approx0.1714\).

Hva spør oppgaven om? Vi deler i to disjunkte tilfeller: Anne med og Jens ikke med, eller Jens med og Anne ikke med.

Steg 1 - Anne med, Jens ikke

\[\binom62\binom42=15\cdot6=90.\]

Steg 2 - Anne ikke, Jens med

\[\binom63\binom41=20\cdot4=80.\]

Steg 3 - Summer gunstige

\[90+80=170.\]

Steg 4 - Del på totalen

\[P=\frac{170}{350}.\]

Steg 5 - Forkort

\[P=\frac{17}{35}.\]

Steg 6 - Desimal

\(P\approx0.4857\), altså omtrent \(48.6\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from fractions import Fraction
anne_only = math.comb(6,2)*math.comb(4,2)
jens_only = math.comb(6,3)*math.comb(4,1)
favorable = anne_only+jens_only
total = math.comb(7,3)*math.comb(5,2)
probability = Fraction(favorable,total)
print("Anne only =", anne_only)
print("Jens only =", jens_only)
print("Favorable total =", favorable)
print("Exact probability =", probability)
print("Decimal probability =", float(probability))

Utskrift fra Python:
Anne only = 90
Jens only = 80
Favorable total = 170
Exact probability = 17/35
Decimal probability = 0.4857142857142857

Fasit: \(\dfrac{17}{35}\approx0.4857\).

Hva spør oppgaven om? Det fargelagte området er kvartsirkelens areal minus rektangelet OABC.

Steg 1 - Kvartsirkelens areal

Radius er 2, så arealet er \(\frac14\pi\cdot2^2=\pi\).

Steg 2 - Finn høyden til B

Siden B ligger på \(x^2+y^2=4\), er \(y=\sqrt{4-x^2}\).

Steg 3 - Rektangelets areal

Bredden er \(x\) og høyden er \(\sqrt{4-x^2}\).

Steg 4 - Skriv rektangelarealet

\[A_R=x\sqrt{4-x^2}.\]

Steg 5 - Trekk fra

\[F(x)=\pi-A_R=\pi-x\sqrt{4-x^2}.\]

Steg 6 - Oppgi domenet

Punktet A ligger fra 0 til 2, altså \(0\le x\le2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", nonnegative=True)
y = sp.sqrt(4-x**2)
quarter_circle = sp.pi
rectangle = x*y
F = sp.simplify(quarter_circle-rectangle)
print("y-coordinate of B =", y)
print("Quarter-circle area =", quarter_circle)
print("Rectangle area =", rectangle)
print("Shaded area F(x) =", F)
print("Domain = [0, 2]")

Utskrift fra Python:
y-coordinate of B = sqrt(4 - x**2)
Quarter-circle area = pi
Rectangle area = x*sqrt(4 - x**2)
Shaded area F(x) = -x*sqrt(4 - x**2) + pi
Domain = [0, 2]

Fasit: \(F(x)=\pi-x\sqrt{4-x^2}\), \(0\le x\le2\).

Hva spør oppgaven om? Å minimere \(F\) er det samme som å maksimere rektangelarealet \(A=x\sqrt{4-x^2}\).

Steg 1 - Maksimer et enklere uttrykk

Siden \(A\ge0\), kan vi maksimere \(A^2=x^2(4-x^2)\).

Steg 2 - Definer

\[G(x)=4x^2-x^4.\]

Steg 3 - Deriver

\[G^{\prime}(x)=8x-4x^3=4x(2-x^2).\]

Steg 4 - Finn kritisk punkt

I det indre av intervallet får vi \(x=\sqrt2\).

Steg 5 - Finn maksimal rektangelflate

\[A=\sqrt2\sqrt{4-2}=2.\]

Steg 6 - Finn minimal skyggeflate

\[F_{\min}=\pi-2.\]

Steg 7 - Endepunktskontroll

Ved \(x=0\) og \(x=2\) er \(F=\pi\), så \(\pi-2\) er minst.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
A2 = x**2*(4-x**2)
derivative = sp.factor(sp.diff(A2,x))
critical = [v for v in sp.solve(sp.Eq(derivative,0),x) if v.is_real]
A_at = sp.simplify(x*sp.sqrt(4-x**2)).subs(x,sp.sqrt(2))
F_min = sp.simplify(sp.pi-A_at)
print("A(x)^2 =", sp.expand(A2))
print("Derivative =", derivative)
print("Critical values =", critical)
print("Maximum rectangle area =", A_at)
print("Minimum shaded area =", F_min)

Utskrift fra Python:
A(x)^2 = -x**4 + 4*x**2
Derivative = -4*x*(x**2 - 2)
Critical values = [0, -sqrt(2), sqrt(2)]
Maximum rectangle area = 2
Minimum shaded area = -2 + pi

Fasit: \(F_{\min}=\pi-2\), oppnådd når \(x=\sqrt2\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker at CD og DE er radier, at BC står vinkelrett på CD, og at tangenten EB står vinkelrett på DE.

Steg 1 - Radier gir like sider

\(CD=DE\), så \(\triangle CDE\) er likebeint og \(\angle DCE=\angle CED\).

Steg 2 - Bruk rett vinkel ved C

Fordi \(BC\perp CD\), er \(\angle BCE=90^{\circ}-\angle DCE\).

Steg 3 - Bruk tangentegenskapen

Fordi \(EB\perp DE\), er \(\angle CEB=90^{\circ}-\angle CED\).

Steg 4 - Sammenlikn vinklene

Siden \(\angle DCE=\angle CED\), får vi \(\angle BCE=\angle CEB\).

Steg 5 - Konkluder likebeint

Dermed er motstående sider like: \(BE=BC=a\).

Steg 6 - Bruk hypotenusen

\(BA=c\), og \(BA=BE+EA\).

Steg 7 - Finn EA

\[EA=c-a.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, c = sp.symbols("a c", positive=True)
BE = a
BA = c
EA = sp.simplify(BA-BE)
angle_DCE, angle_CED = sp.symbols("theta theta")
print("CD = DE, so triangle CDE is isosceles")
print("angle(BCE) = 90 - theta")
print("angle(CEB) = 90 - theta")
print("Therefore BE = BC =", a)
print("EA = BA - BE =", EA)

Utskrift fra Python:
CD = DE, so triangle CDE is isosceles
angle(BCE) = 90 - theta
angle(CEB) = 90 - theta
Therefore BE = BC = a
EA = BA - BE = -a + c

Fasit: \(\triangle CEB\) er likebeint med \(BE=BC=a\), og \(EA=c-a\).

Hva spør oppgaven om? Trekantene har en felles vinkel ved A og hver sin rette vinkel.

Steg 1 - Finn rette vinkler

\(\angle ACB=90^{\circ}\) og \(\angle AED=90^{\circ}\).

Steg 2 - Felles vinkel

\(AD\) ligger langs \(AC\), og \(AE\) langs \(AB\), så vinkelen ved A er felles.

Steg 3 - Konkluder formlikhet

To like vinkler gir \(\triangle ABC\sim\triangle ADE\).

Steg 4 - Sett opp tilsvarende sider

\(BC\leftrightarrow DE\) og \(AC\leftrightarrow AE\).

Steg 5 - Skriv forholdet

\[\frac{a}{r}=\frac{b}{c-a}.\]

Steg 6 - Kryssmultipliser

Kryssmultiplikasjon gir \(a(c-a)=br\).

Steg 7 - Løs for r

\[r=\frac{a(c-a)}b.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, b, c, r = sp.symbols("a b c r", positive=True)
proportion = sp.Eq(a/r, b/(c-a))
solution = sp.solve(proportion,r)[0]
check = sp.simplify(a/r-b/(c-a)).subs(r,solution)
print("Similarity proportion =", proportion)
print("Cross-multiplied equation =", sp.Eq(a*(c-a),b*r))
print("r =", solution)
print("Substitution check =", check)
print("Correspondence: BC<->DE, AC<->AE")

Utskrift fra Python:
Similarity proportion = Eq(a/r, b/(-a + c))
Cross-multiplied equation = Eq(a*(-a + c), b*r)
r = a*(-a + c)/b
Substitution check = b/(a - c) + b/(-a + c)
Correspondence: BC<->DE, AC<->AE

Fasit: \(r=\dfrac{a(c-a)}b\).

Hva spør oppgaven om? Etter speiling får trekanten ABF grunnlinje \(BF=2a\), høyde \(b\), og en innskrevet sirkel med radius r.

Steg 1 - Areal med grunnlinje og høyde

\[A_{ABF}=\frac12\cdot2a\cdot b=ab.\]

Steg 2 - Del trekanten rundt innsentrum

Arealet er summen av tre trekanter med høyde r mot hver side.

Steg 3 - Bruk omkretsen

\[A_{ABF}=\frac12r(AB+BF+FA).\]

Steg 4 - Sett inn sidene

\(AB=FA=c\) og \(BF=2a\).

Steg 5 - Forenkle

\[A_{ABF}=\frac12r(c+2a+c)=r(a+c).\]

Steg 6 - Sammenlikn arealuttrykkene

\[ab=(a+c)r.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, b, c, r = sp.symbols("a b c r", positive=True)
area_base_height = sp.Rational(1,2)*(2*a)*b
perimeter = 2*a+2*c
area_inradius = sp.Rational(1,2)*r*perimeter
identity = sp.Eq(area_base_height,area_inradius)
print("Area from base and height =", area_base_height)
print("Perimeter =", perimeter)
print("Area from inradius =", sp.factor(area_inradius))
print("Area equation =", identity)
print("Simplified equation =", sp.Eq(a*b,(a+c)*r))

Utskrift fra Python:
Area from base and height = a*b
Perimeter = 2*a + 2*c
Area from inradius = r*(a + c)
Area equation = Eq(a*b, r*(2*a + 2*c)/2)
Simplified equation = Eq(a*b, r*(a + c))

Fasit: \(ab=(a+c)r\).

Hva spør oppgaven om? Begge formlene uttrykker radiusen r. Vi setter dem lik hverandre og forenkler.

Steg 1 - Isoler r fra arealformelen

Fra \(ab=(a+c)r\) får vi \[r=\frac{ab}{a+c}.\]

Steg 2 - Bruk formelen fra b

\[r=\frac{a(c-a)}b.\]

Steg 3 - Sett uttrykkene lik hverandre

\[\frac{a(c-a)}b=\frac{ab}{a+c}.\]

Steg 4 - Forkort a

Siden \(a>0\), kan vi dele på a.

Steg 5 - Kryssmultipliser

\[(c-a)(a+c)=b^2.\]

Steg 6 - Bruk konjugatsetningen

\[c^2-a^2=b^2.\]

Steg 7 - Flytt ledd

\[a^2+b^2=c^2.\]

Steg 8 - Konklusjon

Dette er Pytagoras’ setning.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, b, c = sp.symbols("a b c", positive=True)
r1 = a*(c-a)/b
r2 = a*b/(a+c)
equation = sp.Eq(r1,r2)
cleared = sp.factor((r1-r2)*b*(a+c)/a)
print("r from similarity =", r1)
print("r from area =", r2)
print("Equation =", equation)
print("Cleared expression =", cleared)
print("Equivalent identity =", sp.Eq(a**2+b**2,c**2))

Utskrift fra Python:
r from similarity = a*(-a + c)/b
r from area = a*b/(a + c)
Equation = Eq(a*(-a + c)/b, a*b/(a + c))
Cleared expression = -a**2 - b**2 + c**2
Equivalent identity = Eq(a**2 + b**2, c**2)

Fasit: \(a^2+b^2=c^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi deler etter om e-posten er søppelpost eller ikke og bruker total sannsynlighet.

Steg 1 - Definer hendelser

La \(S\) være søppelpost og \(L\) være at e-posten inneholder listeord.

Steg 2 - Oppgi data

\(P(S)=0.80\), \(P(L\mid S)=0.85\), \(P(L\mid S^c)=0.03\).

Steg 3 - Bruk total sannsynlighet

\[P(L)=P(S)P(L\mid S)+P(S^c)P(L\mid S^c).\]

Steg 4 - Sett inn

\[P(L)=0.80\cdot0.85+0.20\cdot0.03.\]

Steg 5 - Regn ut

\[P(L)=0.680+0.006=0.686.\]

Steg 6 - Prosent

Sannsynligheten er \(68.6\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction
p_spam = Fraction(80,100)
p_word_given_spam = Fraction(85,100)
p_word_given_not = Fraction(3,100)
p_word = p_spam*p_word_given_spam + (1-p_spam)*p_word_given_not
print("P(spam) =", p_spam)
print("P(word|spam) =", p_word_given_spam)
print("P(word|not spam) =", p_word_given_not)
print("P(word) =", p_word)
print("Decimal =", float(p_word))

Utskrift fra Python:
P(spam) = 4/5
P(word|spam) = 17/20
P(word|not spam) = 3/100
P(word) = 343/500
Decimal = 0.686

Fasit: \(P(L)=0.686=68.6\%\).

Hva spør oppgaven om? Dette er den omvendte betingede sannsynligheten \(P(S\mid L)\).

Steg 1 - Bruk Bayes

\[P(S\mid L)=\frac{P(S\cap L)}{P(L)}.\]

Steg 2 - Finn telleren

\[P(S\cap L)=0.80\cdot0.85=0.68.\]

Steg 3 - Bruk svaret fra a

\(P(L)=0.686\).

Steg 4 - Sett inn

\[P(S\mid L)=\frac{0.68}{0.686}.\]

Steg 5 - Forkort eksakt

\[\frac{680}{686}=\frac{340}{343}.\]

Steg 6 - Desimal

\[P(S\mid L)\approx0.9913.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction
p_joint = Fraction(80,100)*Fraction(85,100)
p_word = Fraction(686,1000)
p_conditional = p_joint/p_word
print("P(spam and word) =", p_joint)
print("P(word) =", p_word)
print("P(spam|word) =", p_conditional)
print("Decimal =", float(p_conditional))
print("Percent =", round(100*float(p_conditional),4))

Utskrift fra Python:
P(spam and word) = 17/25
P(word) = 343/500
P(spam|word) = 340/343
Decimal = 0.9912536443148688
Percent = 99.1254

Fasit: \(\dfrac{340}{343}\approx0.9913\), altså omtrent \(99.13\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi beregner \(P(S\mid L^c)\) med komplement-sannsynligheter.

Steg 1 - Finn sannsynlighet uten ord gitt spam

\(P(L^c\mid S)=1-0.85=0.15\).

Steg 2 - Finn sannsynlighet uten ord gitt ikke-spam

\(P(L^c\mid S^c)=1-0.03=0.97\).

Steg 3 - Finn total sannsynlighet for ingen ord

\[P(L^c)=0.8\cdot0.15+0.2\cdot0.97=0.314.\]

Steg 4 - Finn felles sannsynlighet

\[P(S\cap L^c)=0.8\cdot0.15=0.12.\]

Steg 5 - Bruk definisjonen

\[P(S\mid L^c)=0.12/0.314.\]

Steg 6 - Forkort

\[P(S\mid L^c)=60/157\approx0.3822.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction
p_no_given_spam = Fraction(15,100)
p_no_given_not = Fraction(97,100)
p_no = Fraction(80,100)*p_no_given_spam + Fraction(20,100)*p_no_given_not
p_joint = Fraction(80,100)*p_no_given_spam
result = p_joint/p_no
print("P(no word|spam) =", p_no_given_spam)
print("P(no word|not spam) =", p_no_given_not)
print("P(no word) =", p_no)
print("P(spam and no word) =", p_joint)
print("P(spam|no word) =", result, "=", float(result))

Utskrift fra Python:
P(no word|spam) = 3/20
P(no word|not spam) = 97/100
P(no word) = 157/500
P(spam and no word) = 3/25
P(spam|no word) = 60/157 = 0.3821656050955414

Fasit: \(\dfrac{60}{157}\approx0.3822\), altså omtrent \(38.2\%\).

Hva spør oppgaven om? Grafen har to ulike ekstremalpunkter når den deriverte har to ulike reelle nullpunkter.

Steg 1 - Deriver

\[f^{\prime}(x)=-3x^2+2x+k.\]

Steg 2 - Bruk diskriminanten

For andregradslikningen er \(a=-3\), \(b=2\), \(c=k\).

Steg 3 - Regn diskriminanten

\[\Delta=2^2-4(-3)k=4+12k.\]

Steg 4 - Krev to ulike røtter

\[4+12k>0.\]

Steg 5 - Løs ulikheten

\[k>-\frac13.\]

Steg 6 - Forklar randverdien

For \(k=-1/3\) får den deriverte dobbeltrot, ikke både topp og bunn.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, k = sp.symbols("x k", real=True)
f = -x**3+x**2+k*x+2
f_prime = sp.diff(f,x)
disc = sp.discriminant(f_prime,x)
condition = sp.solve_univariate_inequality(disc>0,k)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Discriminant =", disc)
print("Condition =", condition)
print("Boundary k =", -sp.Rational(1,3))
print("Double-root check =", sp.factor(f_prime.subs(k,-sp.Rational(1,3))))

Utskrift fra Python:
f'(x) = k - 3*x**2 + 2*x
Discriminant = 12*k + 4
Condition = -1/3 < k
Boundary k = -1/3
Double-root check = -(3*x - 1)**2/3

Fasit: \(k>-\dfrac13\).

Hva spør oppgaven om? Et ekstremalpunkt ved \(x=2\) krever \(f^{\prime}(2)=0\). Deretter klassifiserer vi de to kritiske punktene.

Steg 1 - Sett inn x=2 i den deriverte

\[f^{\prime}(2)=-3\cdot4+2\cdot2+k=k-8.\]

Steg 2 - Løs

\(k-8=0\Rightarrow k=8\).

Steg 3 - Faktoriser den deriverte

For \(k=8\): \[f^{\prime}(x)=-3x^2+2x+8=-(3x+4)(x-2).\]

Steg 4 - Finn andre kritiske punkt

\(x=-4/3\).

Steg 5 - Klassifiser

\(f^{\prime\prime}(x)=-6x+2\). Ved \(x=-4/3\) er den positiv, så punktet er et bunnpunkt.

Steg 6 - Finn y-koordinaten

\[f(-4/3)=-122/27.\]

Steg 7 - Oppgi bunnpunktet

\[\left(-\frac43,-\frac{122}{27}\right).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, k = sp.symbols("x k", real=True)
f = -x**3+x**2+k*x+2
k_value = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(f,x).subs(x,2),0),k)[0]
f8 = f.subs(k,k_value)
critical = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(f8,x),0),x)
data = [(v,sp.simplify(f8.subs(x,v)),sp.simplify(sp.diff(f8,x,2).subs(x,v))) for v in critical]
print("k =", k_value)
print("f'(x) for k=8 =", sp.factor(sp.diff(f8,x)))
print("Critical x-values =", critical)
print("(x, y, f'') data =", data)
print("Bottom point =", (-sp.Rational(4,3),-sp.Rational(122,27)))

Utskrift fra Python:
k = 8
f'(x) for k=8 = -(x - 2)*(3*x + 4)
Critical x-values = [-4/3, 2]
(x, y, f'') data = [(-4/3, -122/27, 10), (2, 14, -10)]
Bottom point = (-4/3, -122/27)

Fasit: \(k=8\), og bunnpunktet er \(\left(-\frac43,-\frac{122}{27}\right)\).

Hva spør oppgaven om? Vendepunktet finnes fra \(f^{\prime\prime}=0\). Den største vekstfarten er maksimumsverdien til den nedovervendte parabelen \(f^{\prime}\).

Steg 1 - Finn andrederivert

\[f^{\prime\prime}(x)=-6x+2.\]

Steg 2 - Finn vendepunktets x-verdi

\(-6x+2=0\Rightarrow x=1/3\).

Steg 3 - Finn y-verdien

\[f(1/3)=\frac{56}{27}+\frac{k}{3}=\frac{56+9k}{27}.\]

Steg 4 - Oppgi vendepunktet

\[V=\left(\frac13,\frac{56+9k}{27}\right).\]

Steg 5 - Maksimer f-prime

\(f^{\prime}(x)=-3x^2+2x+k\) har topp ved \(x=1/3\).

Steg 6 - Finn maksimal vekstfart

\[f^{\prime}(1/3)=k+1/3.\]

Steg 7 - Sett lik 2

\(k+1/3=2\Rightarrow k=5/3\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, k = sp.symbols("x k", real=True)
f = -x**3+x**2+k*x+2
f_prime = sp.diff(f,x)
f_second = sp.diff(f,x,2)
x_v = sp.solve(sp.Eq(f_second,0),x)[0]
y_v = sp.simplify(f.subs(x,x_v))
max_growth = sp.simplify(f_prime.subs(x,x_v))
k_value = sp.solve(sp.Eq(max_growth,2),k)[0]
print("f''(x) =", f_second)
print("Inflection point =", (x_v,y_v))
print("Maximum growth =", max_growth)
print("k for maximum growth 2 =", k_value)
print("Check =", max_growth.subs(k,k_value))

Utskrift fra Python:
f''(x) = 2*(1 - 3*x)
Inflection point = (1/3, k/3 + 56/27)
Maximum growth = k + 1/3
k for maximum growth 2 = 5/3
Check = 2

Fasit: Vendepunkt \(\left(\frac13,\frac{56+9k}{27}\right)\), og \(k=\frac53\).

Hva spør oppgaven om? Bakken tilsvarer andrekoordinat lik null. Vi løser hver andregradslikning og velger positiv tid.

Steg 1 - Ball 1

\[-5t^2+29t+20=0.\]

Steg 2 - Løs ball 1

\[t=\frac{29\pm\sqrt{1241}}{10}.\] Den positive løsningen er omtrent \(6.423\) s.

Steg 3 - Numerisk kontroll ball 1

\(\sqrt{1241}\approx35.228\), så \(t_1\approx6.423\) s.

Steg 4 - Ball 2

\[-5t^2+25t+20=0.\]

Steg 5 - Løs ball 2

\[t=\frac{25\pm\sqrt{1025}}{10}=\frac{5\pm\sqrt{41}}2.\]

Steg 6 - Velg positiv løsning

\[t_2=\frac{5+\sqrt{41}}2\approx5.702\text{ s}.\]

Steg 7 - Forkast negative tider

De negative røttene ligger før utslaget og har ingen fysisk betydning.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
y1 = -5*t**2+29*t+20
y2 = -5*t**2+25*t+20
roots1 = sp.solve(sp.Eq(y1,0),t)
roots2 = sp.solve(sp.Eq(y2,0),t)
pos1 = max(roots1,key=lambda z: float(z))
pos2 = max(roots2,key=lambda z: float(z))
print("Ball 1 roots =", roots1)
print("Ball 1 positive time =", pos1, "=", float(pos1))
print("Ball 2 roots =", roots2)
print("Ball 2 positive time =", pos2, "=", float(pos2))
print("Height checks =", (sp.simplify(y1.subs(t,pos1)),sp.simplify(y2.subs(t,pos2))))

Utskrift fra Python:
Ball 1 roots = [29/10 - sqrt(1241)/10, 29/10 + sqrt(1241)/10]
Ball 1 positive time = 29/10 + sqrt(1241)/10 = 6.422782990761707
Ball 2 roots = [5/2 - sqrt(41)/2, 5/2 + sqrt(41)/2]
Ball 2 positive time = 5/2 + sqrt(41)/2 = 5.701562118716424
Height checks = (0, 0)

Fasit: Ball 1: \(\dfrac{29+\sqrt{1241}}{10}\approx6.423\) s. Ball 2: \(\dfrac{5+\sqrt{41}}2\approx5.702\) s.

Hva spør oppgaven om? Vi tegner andrekoordinaten mot førstekoordinaten for fysisk relevante tider fra \(t=0\) til bakketreff.

Steg 1 - Ball 1-koordinater

\(x_1=17t\), \(y_1=-5t^2+29t+20\).

Steg 2 - Ball 2-koordinater

\(x_2=24t\), \(y_2=-5t^2+25t+20\).

Steg 3 - Bruk tidsintervaller

Ball 1 tegnes for \(0\le t\le t_1\), ball 2 for \(0\le t\le t_2\).

Steg 4 - Startpunkt

Begge starter i \((0,20)\).

Steg 5 - Form

Begge baner er nedovervendte parabelbuer i xy-planet.

Steg 6 - Dokumenter verktøyet

Parameterkommandoer og intervaller skal oppgis sammen med grafen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r1 = sp.Matrix([17*t,-5*t**2+29*t+20])
r2 = sp.Matrix([24*t,-5*t**2+25*t+20])
T1 = (29+sp.sqrt(1241))/10
T2 = (5+sp.sqrt(41))/2
print("r1(t) =", list(r1))
print("r2(t) =", list(r2))
print("Start points =", (list(r1.subs(t,0)),list(r2.subs(t,0))))
print("End time ball 1 =", T1)
print("End time ball 2 =", T2)
print("End heights =", (sp.simplify(r1[1].subs(t,T1)),sp.simplify(r2[1].subs(t,T2))))

Utskrift fra Python:
r1(t) = [17*t, -5*t**2 + 29*t + 20]
r2(t) = [24*t, -5*t**2 + 25*t + 20]
Start points = ([0, 20], [0, 20])
End time ball 1 = 29/10 + sqrt(1241)/10
End time ball 2 = 5/2 + sqrt(41)/2
End heights = (0, 0)

Fasit: Grafene er de to parameterkurvene vist i figuren, begge fra \((0,20)\) til bakken.

Hva spør oppgaven om? Banefarten er lengden av fartsvektoren \(ec r^{\prime}(t)\), evaluert ved \(t=0\).

Steg 1 - Deriver ball 1

\[\vec v_1(t)=(17,29-10t).\]

Steg 2 - Startfart ball 1

\(\vec v_1(0)=(17,29)\).

Steg 3 - Finn lengden

\[|\vec v_1(0)|=\sqrt{17^2+29^2}=\sqrt{1130}\approx33.62.\]

Steg 4 - Deriver ball 2

\[\vec v_2(t)=(24,25-10t).\]

Steg 5 - Startfart ball 2

\(\vec v_2(0)=(24,25)\).

Steg 6 - Finn lengden

\[|\vec v_2(0)|=\sqrt{24^2+25^2}=\sqrt{1201}\approx34.66.\]

Steg 7 - Enhet

Begge fartene måles i meter per sekund.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r1 = sp.Matrix([17*t,-5*t**2+29*t+20])
r2 = sp.Matrix([24*t,-5*t**2+25*t+20])
v1 = r1.diff(t); v2 = r2.diff(t)
s1 = sp.sqrt(v1.subs(t,0).dot(v1.subs(t,0)))
s2 = sp.sqrt(v2.subs(t,0).dot(v2.subs(t,0)))
print("v1(t) =", list(v1))
print("v2(t) =", list(v2))
print("Initial speed ball 1 =", s1, "=", float(s1))
print("Initial speed ball 2 =", s2, "=", float(s2))
print("Units = m/s")

Utskrift fra Python:
v1(t) = [17, 29 - 10*t]
v2(t) = [24, 25 - 10*t]
Initial speed ball 1 = sqrt(1130) = 33.61547262794322
Initial speed ball 2 = sqrt(1201) = 34.655446902326915
Units = m/s

Fasit: Ball 1: \(\sqrt{1130}\approx33.62\) m/s. Ball 2: \(\sqrt{1201}\approx34.66\) m/s.

Hva spør oppgaven om? Samme retning betyr at fartsvektorene er parallelle med positiv proporsjonalitetsfaktor.

Steg 1 - Bruk fartsvektorene

\(\vec v_1=(17,29-10t)\), \(\vec v_2=(24,25-10t)\).

Steg 2 - Sett determinant lik null

\[17(25-10t)-24(29-10t)=0.\]

Steg 3 - Forenkle

\[70t-271=0.\]

Steg 4 - Finn tidspunktet

\[t=\frac{271}{70}\approx3.871\text{ s}.\]

Steg 5 - Finn felles helning

Ved dette tidspunktet er \((29-10t)/17=-4/7\), og samme forhold fås for ball 2.

Steg 6 - Finn vinkelen

\[\theta=\arctan(-4/7)\approx-29.745^{\circ}.\]

Steg 7 - Tolk

Vektorene peker omtrent \(29.7^{\circ}\) nedover fra positiv x-retning, eventuelt \(330.3^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
v1 = sp.Matrix([17,29-10*t])
v2 = sp.Matrix([24,25-10*t])
determinant = sp.det(sp.Matrix.hstack(v1,v2))
time = sp.solve(sp.Eq(determinant,0),t)[0]
slope1 = sp.simplify(v1[1].subs(t,time)/v1[0])
slope2 = sp.simplify(v2[1].subs(t,time)/v2[0])
import math
angle = math.degrees(math.atan(float(slope1)))
print("Determinant =", determinant)
print("Time =", time, "=", float(time))
print("Slopes =", (slope1,slope2))
print("Angle in degrees =", round(angle,6))
print("Positive-direction check =", float(v1[0])>0 and float(v2[0])>0)

Utskrift fra Python:
Determinant = 70*t - 271
Time = 271/70 = 3.8714285714285714
Slopes = (-4/7, -4/7)
Angle in degrees = -29.744881
Positive-direction check = True

Fasit: \(t=\dfrac{271}{70}\approx3.871\) s, og vinkelen er \(-29.745^{\circ}\) eller \(330.255^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Vi finner linjen gjennom P og Q, setter den lik parabelen og bruker at q er den ene roten.

Steg 1 - Finn Q

\[Q=\left(q,\frac{q^2}{4p}\right).\]

Steg 2 - Finn linjens stigningstall

\[m=\frac{q^2/(4p)-p}{q}=\frac{q^2-4p^2}{4pq}.\]

Steg 3 - Skriv linjen

\[y=p+mx.\]

Steg 4 - Finn skjæringslikningen

\[\frac{x^2}{4p}=p+mx\Rightarrow x^2-4pmx-4p^2=0.\]

Steg 5 - Bruk rotproduktet

Produktet av røttene er \(-4p^2\). Den ene roten er q.

Steg 6 - Finn den andre roten

\[q\,x_R=-4p^2\Rightarrow x_R=-\frac{4p^2}{q}.\]

Steg 7 - Forutsetning

Her må \(q\ne0\), ellers er Q=P i x-koordinat og linjen er ikke definert på denne måten.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, p, q = sp.symbols("x p q", nonzero=True)
m = sp.simplify((q**2/(4*p)-p)/q)
intersection_poly = sp.factor(x**2-4*p*m*x-4*p**2)
factored = sp.factor(intersection_poly)
other_root = -4*p**2/q
print("Line slope m =", m)
print("Intersection polynomial =", intersection_poly)
print("Factored polynomial =", factored)
print("Known root q check =", sp.simplify(intersection_poly.subs(x,q)))
print("Other root =", other_root)
print("Other-root check =", sp.simplify(intersection_poly.subs(x,other_root)))

Utskrift fra Python:
Line slope m = -p/q + q/(4*p)
Intersection polynomial = (4*p**2 + q*x)*(-q + x)/q
Factored polynomial = (4*p**2 + q*x)*(-q + x)/q
Known root q check = 0
Other root = -4*p**2/q
Other-root check = 0

Fasit: \(x_R=-\dfrac{4p^2}{q}\).

Hva spør oppgaven om? Tangentens stigningstall er \(f^{\prime}(x)=x/(2p)\). To ikke-vertikale linjer er normale når produktet av stigningstallene er -1.

Steg 1 - Deriver parabelen

\[f^{\prime}(x)=\frac{x}{2p}.\]

Steg 2 - Tangentstigning i Q

\[m_Q=f^{\prime}(q)=\frac{q}{2p}.\]

Steg 3 - Bruk x-koordinaten til R

\[x_R=-\frac{4p^2}{q}.\]

Steg 4 - Tangentstigning i R

\[m_R=f^{\prime}(x_R)=\frac{-4p^2/q}{2p}=-\frac{2p}{q}.\]

Steg 5 - Multipliser

\[m_Qm_R=\frac{q}{2p}\left(-\frac{2p}{q}\right)=-1.\]

Steg 6 - Konkluder

Tangentene står derfor normalt på hverandre.

Steg 7 - Gyldighet

For \(p>0\) og \(q\ne0\) er begge stigningstallene endelige.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, p, q = sp.symbols("x p q", nonzero=True)
f = x**2/(4*p)
f_prime = sp.diff(f,x)
x_R = -4*p**2/q
m_Q = sp.simplify(f_prime.subs(x,q))
m_R = sp.simplify(f_prime.subs(x,x_R))
product = sp.simplify(m_Q*m_R)
print("f'(x) =", f_prime)
print("x_R =", x_R)
print("m_Q =", m_Q)
print("m_R =", m_R)
print("m_Q*m_R =", product)
print("Perpendicular =", product == -1)

Utskrift fra Python:
f'(x) = x/(2*p)
x_R = -4*p**2/q
m_Q = q/(2*p)
m_R = -2*p/q
m_Q*m_R = -1
Perpendicular = True

Fasit: Tangentene står normalt på hverandre fordi \(m_Qm_R=-1\).