Vanlig feil: Å multiplisere med nevnerne uten først å notere \(x
e\pm5\).
Sensorpunkt: Løsningen må kontrolleres mot originalens definisjonsmengde.
Del 1 - Oppgave 4aEksponentiallikning
Oppgave 4a
Oppgave: Løs likningen \[2^{3x-2}-13=3.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere potensuttrykket og skrive begge sider med samme grunntall.
Steg 1 - Isoler potensen
Legg til 13 på begge sider: \[2^{3x-2}=16.\]
Steg 2 - Skriv 16 som en toerpotens
\(16=2^4\).
Steg 3 - Sammenlign eksponentene
Funksjonen \(2^u\) er én-til-én, så \[3x-2=4.\]
Steg 4 - Løs den lineære likningen
\(3x=6\), altså \(x=2\).
Steg 5 - Kontroller
\(2^{3\cdot2-2}-13=2^4-13=16-13=3\).
Steg 6 - Konkluder
Kontrollen gir høyresiden, så løsningen er korrekt.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[2^(3x-2)-13=3,x]
\(x=2\)
Tolkning: CAS isolerer eksponenten og finner den eksakte løsningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
eq = sp.Eq(2**(3*x - 2) - 13, 3)
solution = sp.solve(eq, x)
print("Løsning =", solution)
for value in solution:
print("Venstreside ved x =", value, "er", 2**(3*value - 2) - 13)
Utskrift fra Python:
Løsning = [2]
Venstreside ved x = 2 er 3
Fasit: \(x=2\).
Vanlig feil: Å glemme å flytte \(-13\) før eksponentene sammenlignes.
Sensorpunkt: Samme grunntall og korrekt lineær løsning.
Del 1 - Oppgave 4bLogaritmelikning
Oppgave 4b
Oppgave: Løs likningen \[(\lg x)^2+\lg x-2=0.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke en substitusjon slik at likningen blir en vanlig andregradslikning.
Steg 1 - Oppgi definisjonskravet
\(\lg x\) krever \(x>0\).
Steg 2 - Substituer
Sett \(u=\lg x\). Da får vi \[u^2+u-2=0.\]
Steg 3 - Faktoriser
\[u^2+u-2=(u+2)(u-1).\]
Steg 4 - Løs for u
\(u=-2\) eller \(u=1\).
Steg 5 - Gå tilbake til x
\(\lg x=-2\) gir \(x=10^{-2}=0{,}01\), mens \(\lg x=1\) gir \(x=10\).
Steg 6 - Kontroller definisjonskravet
Begge tallene er positive og derfor lovlige.
Steg 7 - Konkluder
Likningen har to løsninger.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[(lg(x))^2+lg(x)-2=0,x]
\(x=10^{-2}\;\lor\;x=10\)
Tolkning: CAS gir de to positive løsningene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
u = sp.symbols("u")
roots_u = sp.solve(sp.Eq(u**2 + u - 2, 0), u)
roots_x = [10**value for value in roots_u]
print("Faktorisering =", sp.factor(u**2 + u - 2))
print("Løsninger for u = lg(x):", roots_u)
print("Tilhørende x-verdier =", roots_x)
for value in roots_x:
print("Kontroll for x =", value, ":", sp.simplify(sp.log(value, 10)**2 + sp.log(value, 10) - 2))
Utskrift fra Python:
Faktorisering = (u - 1)*(u + 2)
Løsninger for u = lg(x): [-2, 1]
Tilhørende x-verdier = [1/100, 10]
Kontroll for x = 1/100 : 0
Kontroll for x = 10 : 0
Fasit: \(x=0{,}01\) eller \(x=10\).
Vanlig feil: Å løse andregradslikningen i \(\lg x\), men oppgi u-verdiene som x-svar.
Sensorpunkt: Substitusjonen må tilbakeføres, og begge løsninger må være positive.
Del 1 - Oppgave 5aParameterframstilling
Oppgave 5a
Oppgave: I et koordinatsystem er \(A(-3,-2)\), \(B(3,4)\) og \(C(-4,5)\). En linje \(\ell\) går gjennom \(C\) og er parallell med \(AB\). Sett opp en parameterframstilling for \(\ell\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke en retningsvektor for \(AB\) som retningsvektor for linjen gjennom \(C\).
Vanlig feil: Å bruke \(A\) eller \(B\) som startpunkt selv om linjen skal gå gjennom \(C\).
Sensorpunkt: Riktig punkt og en retningsvektor parallell med \(AB\).
Del 1 - Oppgave 5bSkjæring med x-aksen
Oppgave 5b
Oppgave: Linjen \(\ell\) skjærer x-aksen i punktet \(D\). Bestem koordinatene til \(D\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at alle punkter på x-aksen har y-koordinat 0.
Steg 1 - Bruk parameterframstillingen
Fra a) har vi \(x=-4+t\) og \(y=5+t\).
Steg 2 - Sett y lik 0
På x-aksen er \(y=0\), så \[5+t=0.\]
Steg 3 - Finn parameterverdien
Likningen gir \(t=-5\).
Steg 4 - Finn x-koordinaten
\[x=-4+(-5)=-9.\]
Steg 5 - Skriv punktet
Dermed er \(D=(-9,0)\).
Steg 6 - Kontroller
Vektoren \(D-C=(-5,-5)\) er parallell med \((1,1)\), så D ligger på linjen.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Intersect[Line[(-4,5),(-3,6)],xAxis]
\((-9,0)\)
Tolkning: Skjæringsverktøyet gir punktet på x-aksen direkte.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t")
x = -4 + t
y = 5 + t
t_value = sp.solve(sp.Eq(y, 0), t)[0]
D = (x.subs(t, t_value), y.subs(t, t_value))
print("t når y=0:", t_value)
print("D =", D)
print("D - C =", (D[0] + 4, D[1] - 5))
Utskrift fra Python:
t når y=0: -5
D = (-9, 0)
D - C = (-5, -5)
Fasit: \(D=(-9,0)\).
Vanlig feil: Å sette x lik 0 i stedet for y lik 0.
Sensorpunkt: Korrekt bruk av x-aksens likning \(y=0\).
Del 1 - Oppgave 5cVektorer og ortogonalitet
Oppgave 5c
Oppgave: Bestem koordinatene til et punkt \(E\) på linjen \(\ell\) slik at \(\angle BAE=90^{\circ}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vinkelen har toppunkt A. Derfor må vektorene \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AE}\) være ortogonale.
\(\overrightarrow{AE}=(-4,4)\), og \((6,6)\cdot(-4,4)=-24+24=0\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[Dot[(6,6),(-4+t+3,5+t+2)]=0,t]
\(t=-3\)
2
(-4-3,5-3)
\((-7,2)\)
Tolkning: Skalarprodukt 0 bekrefter at vinkelen ved A er rett.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
A = sp.Matrix([-3, -2])
B = sp.Matrix([3, 4])
E = sp.Matrix([-4 + t, 5 + t])
AB = B - A
AE = E - A
dot = sp.expand(AB.dot(AE))
t_value = sp.solve(sp.Eq(dot, 0), t)[0]
E_value = E.subs(t, t_value)
print("AB =", tuple(AB))
print("AE =", tuple(AE))
print("AB · AE =", dot)
print("t =", t_value)
print("E =", tuple(E_value))
print("Kontroll skalarprodukt =", AB.dot(E_value - A))
Utskrift fra Python:
AB = (6, 6)
AE = (t - 1, t + 7)
AB · AE = 12*t + 36
t = -3
E = (-7, 2)
Kontroll skalarprodukt = 0
Fasit: \(E=(-7,2)\).
Vanlig feil: Å bruke en vektor som ikke starter i A når vinkelen er \(\angle BAE\).
Sensorpunkt: Begge vektorene må ha startpunkt A, og skalarproduktet skal være 0.
Del 1 - Oppgave 6aTotal sannsynlighet
Oppgave 6a
Oppgave: I en fabrikk produserer maskin A og B samme type nøkler. 4 % fra A er defekte, 1 % fra B er defekte, og B produserer dobbelt så mange som A. En nøkkel velges tilfeldig. Bestem sannsynligheten for at nøkkelen er defekt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vekte feilprosentene etter hvor stor andel hver maskin produserer.
Steg 1 - Finn produksjonsandelene
Hvis A produserer én del, produserer B to deler. Dermed er \(P(A)=1/3\) og \(P(B)=2/3\).
Utskrift fra Python:
P(A og defekt) = 1/75
P(defekt) = 1/50
P(A | defekt) = 2/3
Desimaltall = 0.6666666666666666
Fasit: \(P(A\mid D)=\dfrac23\approx66{,}7\%\).
Vanlig feil: Å svare 4 % fordi det er feilprosenten til A; det er ikke den etterspurte betingede sannsynligheten.
Sensorpunkt: Bayes’ setning med korrekt nevner \(P(D)\).
Del 1 - Oppgave 7aGeometrisk bevis og formlikhet
Oppgave 7a
Oppgave: En rettvinklet \(\triangle ACB\) har \(BC=a\), \(AC=b\) og \(AB=c\). En sirkel med sentrum i B og radius a skjærer linjen AB i E og P. Vi setter \(\angle BPC=v\). Vis at \(\angle ACE=v\), og at \(\triangle ACP\sim\triangle ACE\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke to likebeinte trekanter, den rette vinkelen ved C og to vinkelpar for å bevise formlikhet.
Steg 1 - Bruk radiusene i sirkelen
Punktene C, E og P ligger på sirkelen med sentrum B. Derfor er \(BC=BE=BP=a\).
Steg 2 - Innfør vinkelen ved A
Sett \(\angle BAC=\alpha\). Siden \(\triangle ACB\) er rettvinklet i C, er \(\angle ABC=90^{\circ}-\alpha\).
Steg 3 - Finn \(\angle BCE\)
\(\triangle BCE\) er likebeint med \(BC=BE\). Toppvinkelen ved B er \(90^{\circ}-\alpha\), så hver grunnvinkel er \[\angle BCE=\frac{180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)}2=45^{\circ}+\frac\alpha2.\]
Steg 4 - Finn \(\angle ACE\)
Fordi \(AC\perp BC\), får vi \[\angle ACE=90^{\circ}-\angle BCE=45^{\circ}-\frac\alpha2.\]
Steg 5 - Finn v
\(\triangle BCP\) er likebeint med \(BC=BP\). Siden BP ligger på forlengelsen av BA, er \(\angle CBP=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}+\alpha\). Dermed \[v=\angle BPC=\frac{180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha)}2=45^{\circ}-\frac\alpha2.\]
Steg 6 - Sammenlign
De to uttrykkene er like, altså \(\angle ACE=v=\angle APC\).
Steg 7 - Finn et andre likt vinkelpar
Punktene A, E og P ligger på samme linje, så \(\angle CAP=\angle CAE\).
Steg 8 - Konkluder med AA
Trekantene har to par like vinkler. Derfor \[\triangle ACP\sim\triangle ACE.\]
Egen kontrollfigur med en 3–4–5-trekant. Argumentet gjelder generelt.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Angle[A,C,E]
\(v\)
2
AreSimilar[Triangle[A,C,P],Triangle[A,C,E]]
true
Tolkning: En dynamisk konstruksjon bekrefter vinkelidentiteten og AA-formlikheten.
Fasit: \(\angle ACE=v\), og \(\triangle ACP\sim\triangle ACE\) ved AA.
Vanlig feil: Å anta formlikhet bare fordi figurene ser like ut.
Sensorpunkt: Vinkelidentiteten må begrunnes, og to like vinkelpar må oppgis.
Del 1 - Oppgave 7bLengder på en linje
Oppgave 7b
Oppgave: Forklar at \(AE=c-a\), og at \(AP=c+a\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke rekkefølgen A–E–B–P på den rette linjen og at BE og BP er radier.
Steg 1 - Bruk hypotenusen
Vi har \(AB=c\).
Steg 2 - Bruk sirkelradiusen
Fordi E og P ligger på sirkelen med sentrum B, er \(BE=BP=a\).
Steg 3 - Finn AE
E ligger mellom A og B, så \[AE=AB-BE=c-a.\]
Steg 4 - Finn AP
P ligger på forlengelsen forbi B, så \[AP=AB+BP=c+a.\]
Steg 5 - Kontroller positivitet
I en rettvinklet trekant er hypotenusen lengst, så \(c>a\). Dermed er \(c-a>0\).
Steg 6 - Konkluder
Lengdeuttrykkene følger direkte av segmentaddisjon på linjen.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Distance[A,E]
\(c-a\)
2
Distance[A,P]
\(c+a\)
Tolkning: Avstandene følger av at E ligger før B og P etter B på samme linje.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
a, c = sp.symbols("a c", positive=True)
AB = c
BE = a
BP = a
AE = AB - BE
AP = AB + BP
print("AB =", AB)
print("BE = BP =", a)
print("AE = AB - BE =", AE)
print("AP = AB + BP =", AP)
Utskrift fra Python:
AB = c
BE = BP = a
AE = AB - BE = -a + c
AP = AB + BP = a + c
Fasit: \(AE=c-a\) og \(AP=c+a\).
Vanlig feil: Å bruke addisjon også for AE, selv om E ligger mellom A og B.
Sensorpunkt: Riktig punktrekkefølge og radiusargument.
Del 1 - Oppgave 7cForhold i formlike trekanter
Oppgave 7c
Oppgave: Bruk formlikheten i a) til å vise at \[\frac{c+a}{b}=\frac{b}{c-a}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere hvilke sider som svarer til hverandre i de to formlike trekantene.
Steg 1 - Skriv trekantrekkefølgen
Fra a) har vi \(\triangle ACP\sim\triangle ACE\).
Steg 2 - Finn korrespondansen
Vertiklene svarer slik: A ↔ A, C i den første ↔ E i den andre, og P ↔ C.
Steg 3 - Finn samsvarende sider
Dermed svarer \(AP\) til \(AC\), og \(AC\) svarer til \(AE\).
Steg 4 - Skriv forholdet
\[\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AE}.\]
Steg 5 - Sett inn lengdene
Fra b) er \(AP=c+a\), \(AC=b\) og \(AE=c-a\).
Steg 6 - Få ønsket uttrykk
\[\frac{c+a}{b}=\frac{b}{c-a}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Simplify[(c+a)/b-b/(c-a)]
\(0\) når formlikhetsforholdet gjelder
Tolkning: CAS kan kontrollere den algebraiske formen, mens selve sidekorrespondansen er geometrisk.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
a, b, c = sp.symbols("a b c", positive=True)
AP = c + a
AC = b
AE = c - a
left = AP/AC
right = AC/AE
print("AP/AC =", left)
print("AC/AE =", right)
print("Kryssmultiplikasjon gir:", sp.expand(AP*AE), "=", AC**2)
Utskrift fra Python:
AP/AC = (a + c)/b
AC/AE = b/(-a + c)
Kryssmultiplikasjon gir: -a**2 + c**2 = b**2
Fasit: \(\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{b}{c-a}\).
Vanlig feil: Å koble feil sider fordi trekantnavnene ikke leses i samsvarende rekkefølge.
Sensorpunkt: Korrekt sidekorrespondanse er hovedpoenget.
Del 1 - Oppgave 7dBevis av Pytagoras
Oppgave 7d
Oppgave: Bruk resultatet i c) til å vise at Pytagoras’ setning gjelder.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal omforme proporsjonen algebraisk til \(a^2+b^2=c^2\).
Steg 1 - Start med resultatet
\[\frac{c+a}{b}=\frac{b}{c-a}.\]
Steg 2 - Kryssmultipliser
\[(c+a)(c-a)=b^2.\]
Steg 3 - Bruk konjugatsetningen
\[(c+a)(c-a)=c^2-a^2.\]
Steg 4 - Sett uttrykkene lik hverandre
\[c^2-a^2=b^2.\]
Steg 5 - Flytt \(a^2\)
Legg til \(a^2\) på begge sider: \[c^2=a^2+b^2.\]
Steg 6 - Tolk
Dette er Pytagoras’ setning for den rettvinklede trekanten med kateter a og b og hypotenus c.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Expand[(c+a)(c-a)]
\(c^2-a^2\)
2
Solve[(c+a)(c-a)=b^2,c^2]
\(c^2=a^2+b^2\)
Tolkning: CAS bekrefter konjugatproduktet og omformingen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
a, b, c = sp.symbols("a b c", positive=True)
product = sp.expand((c + a)*(c - a))
print("(c+a)(c-a) =", product)
print("Fra forholdet har vi", product, "=", b**2)
print("Flytter a**2 til høyre:")
print("c**2 =", a**2 + b**2)
print("Kontroll av identitet =", sp.expand(product - b**2).subs(c**2, a**2 + b**2))
Utskrift fra Python:
(c+a)(c-a) = -a**2 + c**2
Fra forholdet har vi -a**2 + c**2 = b**2
Flytter a**2 til høyre:
c**2 = a**2 + b**2
Kontroll av identitet = 0
Fasit: \(c^2=a^2+b^2\).
Vanlig feil: Å utvide \((c+a)(c-a)\) som \(c^2+a^2\).
Sensorpunkt: Korrekt konjugatprodukt og tydelig sluttkobling til Pytagoras.
Del 1 - Oppgave 8Sammenheng mellom f, f' og f''
Oppgave 8
Oppgave: Nedenfor er det skisser av grafene (i), (ii) og (iii) til en funksjon \(f\), den deriverte \(f\'\) og den andrederiverte \(f\'\'\). Avgjør hvilken graf som er hvilken.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at en U-formet fjerdegradsfunksjon kan ha en S-formet tredjederivert og en positiv U-formet andrederivert.
Steg 1 - Se på graf (ii)
Graf (ii) er U-formet med ett bunnpunkt og ser ut som en fjerdegradsfunksjon med positivt ledende ledd.
Steg 2 - Koble bunnpunkt og nullpunkt for den deriverte
I bunnpunktet til graf (ii) er tangenten horisontal. Graf (i) går gjennom x-aksen ved samme x-verdi.
Steg 3 - Kontroller fortegnet til f'
Graf (ii) avtar til venstre for bunnpunktet og øker til høyre. Graf (i) er tilsvarende negativ til venstre og positiv til høyre.
Steg 4 - Koble krumning og andrederivert
Graf (ii) er konveks hele veien. Derfor skal \(f\'\'\) være positiv.
Steg 5 - Identifiser graf (iii)
Graf (iii) ligger over x-aksen og er U-formet. Den passer derfor som \(f\'\'\).
Steg 6 - Konkluder
Graf (ii) er \(f\), graf (i) er \(f\'\), og graf (iii) er \(f\'\'\).
Steg 7 - Modellkontroll
Et representativt eksempel er \(f(x)=x^4+x^2-1\), med \(f\'(x)=4x^3+2x\) og \(f\'\'(x)=12x^2+2>0\).
En representativ modell med samme kvalitative grafrekkefølge.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
f(x)=x^4+x^2-1
U-formet graf som (ii)
2
Derivative[f]
\(4x^3+2x\), S-formet som (i)
3
Derivative[f,2]
\(12x^2+2\), positiv U-form som (iii)
Tolkning: Modellfunksjonen viser den samme kvalitative sammenhengen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**4 + x**2 - 1
fp = sp.diff(f, x)
fpp = sp.diff(f, x, 2)
print("Representativ f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
print("f''(x) er minst", sp.minimum(fpp, x), "for reelle x")
print("Derfor er f konveks overalt.")
Utskrift fra Python:
Representativ f(x) = x**4 + x**2 - 1
f'(x) = 4*x**3 + 2*x
f''(x) = 2*(6*x**2 + 1)
f''(x) er minst 2 for reelle x
Derfor er f konveks overalt.
Fasit: Graf (ii) er \(f\), graf (i) er \(f\'\), og graf (iii) er \(f\'\'\).
Vanlig feil: Å identifisere bare etter utseende uten å kontrollere nullpunkter, fortegn og krumning.
Sensorpunkt: Begrunnelsen skal bruke sammenhengen mellom ekstremalpunkt, derivertens fortegn og konveksitet.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aKombinatorikk
Oppgave 1a
Oppgave: I Lotto trekkes 7 av 34 kuler uten tilbakelegging. På hvor mange måter kan de 7 vinnertallene velges?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Rekkefølgen på vinnertallene betyr ikke noe, så vi skal bruke en binomialkoeffisient.
Steg 1 - Identifiser valgtypen
Vi velger 7 ulike tall av 34, uten tilbakelegging og uten rekkefølge.
Fasit: Ja. Sirklene er ortogonale fordi \(\overrightarrow{AS_1}\cdot\overrightarrow{AS_2}=0\).
Vanlig feil: Å bruke vektoren mellom sentrene i stedet for de to radiusvektorene fra samme skjæringspunkt.
Sensorpunkt: To vektorer med felles startpunkt A og skalarprodukt 0.
Del 2 - Oppgave 3aModellering av tid
Oppgave 3a
Oppgave: Anne parkerer i P. Punktet C på veien er nærmest hytta H. \(PC=5{,}0\) km og \(CH=2{,}0\) km. Hun følger veien til B, der \(PB=x\), og går så rett mot H. Farten er 5 km/h på veien og 3 km/h i terrenget. Vis at \[t(x)=\frac{x}{5}+\frac{\sqrt{2^2+(5-x)^2}}{3}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke tid = strekning/fart på hver del av turen.
Steg 1 - Finn veistrekningen
Anne kjører eller går langs veien fra P til B, og denne avstanden er definert som \(PB=x\).
Steg 2 - Finn tiden på veien
Med fart 5 km/h blir tiden \[t_{\text{vei}}=\frac{x}{5}.\]
Steg 3 - Finn den horisontale terrengkomponenten
Fra B til C er avstanden \(BC=PC-PB=5-x\).
Steg 4 - Bruk Pytagoras i BCH
Trekanten er rettvinklet i C, så \[BH=\sqrt{CH^2+BC^2}=\sqrt{2^2+(5-x)^2}.\]
Steg 5 - Finn terrengtiden
Med fart 3 km/h blir \[t_{\text{terreng}}=\frac{\sqrt{2^2+(5-x)^2}}{3}.\]
Fasit: B bør ligge \(3{,}5\) km fra P (altså \(1{,}5\) km før C). Korteste tid er \(23/15\) time = 1 time 32 minutter.
Vanlig feil: Å løse \(t'(x)=0\) uten å kontrollere endepunktene.
Sensorpunkt: Derivasjon, gyldig kritisk punkt, endepunktskontroll og tidsenhet.
Del 2 - Oppgave 4aParametrisk kurve
Oppgave 4a
Oppgave: En partikkel beveger seg i banen \[\mathbf r(t)=[t^3-3t+3,\;t-1],\qquad -2\le t\le2.\] Bruk graftegner til å tegne banen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal plotte x- og y-koordinaten mot hverandre med t som parameter.
Steg 1 - Identifiser koordinatfunksjonene
\(x(t)=t^3-3t+3\) og \(y(t)=t-1\).
Steg 2 - Bruk parameterintervallet
Bare verdier \(-2\le t\le2\) skal tegnes.
Steg 3 - Finn noen kontrollpunkter
\(t=-2\) gir \((1,-3)\), \(t=-1\) gir \((5,-2)\), \(t=0\) gir \((3,-1)\), \(t=1\) gir \((1,0)\), og \(t=2\) gir \((5,1)\).
Steg 4 - Se retningen
Siden \(y=t-1\) øker med t, beveger partikkelen seg oppover langs kurven når t øker.
Steg 5 - Tegn parametrisk
I en graftegner brukes kommandoen Curve eller Kurve med begge koordinatfunksjonene.
Steg 6 - Kontroller formen
Kurven går fra \((1,-3)\) via venstre/høyre-svinger til \((5,1)\).
Parametrisk graf av partikkelbanen.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Curve[t^3-3t+3,t-1,t,-2,2]
Parametrisk bane for \(-2\le t\le2\)
Tolkning: Kurvekommandoen tegner den ordnede banen med korrekt parameterintervall.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r = sp.Matrix([t**3 - 3*t + 3, t - 1])
print("r(t) =", tuple(r))
for value in [-2, -1, 0, 1, 2]:
print("t =", value, "gir punkt", tuple(r.subs(t, value)))
Utskrift fra Python:
r(t) = (t**3 - 3*t + 3, t - 1)
t = -2 gir punkt (1, -3)
t = -1 gir punkt (5, -2)
t = 0 gir punkt (3, -1)
t = 1 gir punkt (1, 0)
t = 2 gir punkt (5, 1)
Fasit: Banen er den parametriske kurven vist i figuren, fra \((1,-3)\) ved \(t=-2\) til \((5,1)\) ved \(t=2\).
Vanlig feil: Å tegne x(t) og y(t) som to separate grafer mot t i stedet for å tegne y mot x parametrisk.
Sensorpunkt: Korrekt Curve-kommando og riktig parameterintervall.
Del 2 - Oppgave 4bPosisjon, fart og akselerasjon
Oppgave 4b
Oppgave: Bestem posisjonen, banefarten og akselerasjonen når \(t=1\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal evaluere posisjonsvektoren, derivere for å få fartsvektoren og derivere én gang til for å få akselerasjonen.
Steg 1 - Finn posisjonen
\[\mathbf r(1)=[1^3-3\cdot1+3,\;1-1]=[1,0].\]
Steg 2 - Deriver posisjonen
\[\mathbf v(t)=\mathbf r\'(t)=[3t^2-3,\;1].\]
Steg 3 - Finn fartsvektoren ved t=1
\[\mathbf v(1)=[0,1].\]
Steg 4 - Finn banefarten
Banefarten er lengden av fartsvektoren: \[|\mathbf v(1)|=\sqrt{0^2+1^2}=1.\]
Steg 5 - Deriver fartsvektoren
\[\mathbf a(t)=\mathbf v\'(t)=[6t,0].\]
Steg 6 - Finn akselerasjonen ved t=1
\[\mathbf a(1)=[6,0].\]
Steg 7 - Skill mellom vektor og skalar
Fartsvektoren er \([0,1]\), mens banefarten er skalarverdien 1.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
r(1)
\((1,0)\)
2
Length[Derivative[r](1)]
\(1\)
3
Derivative[r,2](1)
\((6,0)\)
Tolkning: CAS evaluerer posisjon, vektorlengde og andrederivert.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r = sp.Matrix([t**3 - 3*t + 3, t - 1])
v = r.diff(t)
a = v.diff(t)
position = r.subs(t, 1)
velocity = v.subs(t, 1)
speed = sp.sqrt(velocity.dot(velocity))
acceleration = a.subs(t, 1)
print("Posisjon r(1) =", tuple(position))
print("Fartsvektor v(t) =", tuple(v))
print("Fartsvektor v(1) =", tuple(velocity))
print("Banefart |v(1)| =", speed)
print("Akselerasjon a(1) =", tuple(acceleration))
Vanlig feil: Å oppgi fartsvektoren som banefarten uten å ta vektorlengden.
Sensorpunkt: Posisjon, fart som skalar og akselerasjon som vektor må skilles.
Del 2 - Oppgave 4cParallelle vektorer
Oppgave 4c
Oppgave: Bestem punktene på grafen der fartsvektoren \(\mathbf v(t)\) er parallell med y-aksen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? En vektor er parallell med y-aksen når x-komponenten er 0 og y-komponenten ikke er 0.
Steg 1 - Bruk fartsvektoren
Fra b) er \[\mathbf v(t)=[3t^2-3,1].\]
Steg 2 - Sett x-komponenten lik 0
\[3t^2-3=0.\]
Steg 3 - Løs for t
\[t^2=1\Rightarrow t=-1\text{ eller }t=1.\] Begge ligger i intervallet \([-2,2]\).
Steg 4 - Kontroller y-komponenten
Y-komponenten er alltid 1, så fartsvektoren er ikke null og er faktisk vertikal.
Steg 5 - Finn punktet ved t=-1
\[\mathbf r(-1)=[-1+3+3,-2]=[5,-2].\]
Steg 6 - Finn punktet ved t=1
\[\mathbf r(1)=[1,0].\]
Steg 7 - Konkluder
Punktene er \((5,-2)\) og \((1,0)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[x(Derivative[r](t))=0,t]
\(t=-1\;\lor\;t=1\)
2
r(-1),r(1)
\((5,-2),\;(1,0)\)
Tolkning: Fartsvektorens x-komponent blir 0 ved de to parameterverdiene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r = sp.Matrix([t**3 - 3*t + 3, t - 1])
v = r.diff(t)
values = sp.solve(sp.Eq(v[0], 0), t)
print("v(t) =", tuple(v))
print("t-verdier med vertikal fart =", values)
for value in values:
print("t =", value, ": punkt =", tuple(r.subs(t, value)), ", v =", tuple(v.subs(t, value)))
Utskrift fra Python:
v(t) = (3*t**2 - 3, 1)
t-verdier med vertikal fart = [-1, 1]
t = -1 : punkt = (5, -2) , v = (0, 1)
t = 1 : punkt = (1, 0) , v = (0, 1)
Fasit: Punktene er \((5,-2)\) og \((1,0)\).
Vanlig feil: Å oppgi bare parameterverdiene \(t=\pm1\) når oppgaven spør etter punktene.
Sensorpunkt: Både parameterløsning og innsetting i posisjonsvektoren.
Del 2 - Oppgave 5CAS og avstand
Oppgave 5
Oppgave: Funksjonen er \[f(x)=x^2+2x-11.\] Noen punkter på grafen har avstand 5 fra origo. Bruk CAS til å bestemme de eksakte x-koordinatene til disse punktene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Et punkt på grafen er \((x,f(x))\). Avstandsformelen gir en fjerdegradslikning.
Steg 1 - Skriv punktet
Et vilkårlig punkt på grafen er \[P=(x,x^2+2x-11).\]
Steg 2 - Bruk avstandsformelen
Avstanden til origo skal være 5: \[\sqrt{x^2+(x^2+2x-11)^2}=5.\]
Tolkning: CAS faktoriserer fjerdegradslikningen og gir alle eksakte løsninger.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**2 + 2*x - 11
polynomial = sp.expand(x**2 + f**2 - 25)
factorization = sp.factor(polynomial)
solutions = sp.solve(sp.Eq(polynomial, 0), x)
print("Avstandslikning utvidet =", polynomial)
print("Faktorisering =", factorization)
print("Eksakte x-verdier =", solutions)
for value in solutions:
check = sp.simplify(value**2 + f.subs(x, value)**2)
print("Kontroll for x =", value, ": avstand^2 =", check)
Utskrift fra Python:
Avstandslikning utvidet = x**4 + 4*x**3 - 17*x**2 - 44*x + 96
Faktorisering = (x - 3)*(x + 4)*(x**2 + 3*x - 8)
Eksakte x-verdier = [-4, 3, -3/2 + sqrt(41)/2, -sqrt(41)/2 - 3/2]
Kontroll for x = -4 : avstand^2 = 25
Kontroll for x = 3 : avstand^2 = 25
Kontroll for x = -3/2 + sqrt(41)/2 : avstand^2 = 25
Kontroll for x = -sqrt(41)/2 - 3/2 : avstand^2 = 25
Fasit: \(x=-4,\;x=3,\;x=\dfrac{-3-\sqrt{41}}2\) eller \(x=\dfrac{-3+\sqrt{41}}2\).
Vanlig feil: Å sette bare \(f(x)=5\) eller \(f(x)=-5\); avstanden avhenger av både x- og y-koordinaten.
Sensorpunkt: Korrekt avstandslikning, alle fire CAS-løsninger og eksakt form.
Kilde og metode: Oppgavetekstene er transkribert fra Utdanningsdirektoratets eksamenssett REA3022 Matematikk R1, høsten 2016. Løsningene, figurene og kontrollkodene er originale ifingo-utarbeidelser. Python-utskriftene er generert ved faktisk kjøring av kodene i denne filproduksjonen.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
