Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon der eksponenten er en indre funksjon. Derfor må kjerneregelen brukes.

Steg 1 — Finn den indre funksjonen

Sett \(u(x)=3x\). Da kan funksjonen skrives som \(f(x)=2e^{u(x)}\).

Steg 2 — Deriver den indre funksjonen

Den deriverte av \(u(x)=3x\) er \(u^{\prime}(x)=3\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(e^u\) med hensyn på \(u\) er fortsatt \(e^u\).

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

Kjerneregelen gir \[(e^{3x})^{\prime}=e^{3x}\cdot3.\]

Steg 5 — Ta med konstantfaktoren

Faktoren 2 beholdes: \[f^{\prime}(x)=2\cdot e^{3x}\cdot3.\]

Steg 6 — Multipliser konstantene

Siden \(2\cdot3=6\), får vi \[f^{\prime}(x)=6e^{3x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
f = 2*exp(3*x)
u = 3*x
u_derivert = diff(u, x)
f_derivert = diff(f, x)
forventet = 6*exp(3*x)
print("f(x) =", f)
print("Indre funksjon u(x) =", u)
print("u'(x) =", u_derivert)
print("Kjerneregelen: 2*exp(u)*u'(x)")
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Kontroll f'(x)-6*exp(3x) =", simplify(f_derivert-forventet))

Utskrift fra Python:
f(x) = 2*exp(3*x)
Indre funksjon u(x) = 3*x
u'(x) = 3
Kjerneregelen: 2*exp(u)*u'(x)
f'(x) = 6*exp(3*x)
Kontroll f'(x)-6*exp(3x) = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=6e^{3x}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(2x\) og \(\ln(3x)\). Produktregelen og kjerneregelen for logaritmen må kombineres.

Steg 1 — Kontroller definisjonsmengden

Siden \(\ln(3x)\) krever \(3x>0\), arbeider vi med \(x>0\).

Steg 2 — Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=2x\) og \(v(x)=\ln(3x)\).

Steg 3 — Deriver den første faktoren

Vi får \(u^{\prime}(x)=2\).

Steg 4 — Deriver logaritmefaktoren

Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=\frac{1}{3x}\cdot3=\frac1x.\]

Steg 5 — Bruk produktregelen

\[g^{\prime}(x)=u^{\prime}v+uv^{\prime}=2\ln(3x)+2x\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle

Siden \(2x\cdot1/x=2\), blir \[g^{\prime}(x)=2\ln(3x)+2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
g = 2*x*log(3*x)
u = 2*x
v = log(3*x)
u_derivert = diff(u, x)
v_derivert = diff(v, x)
g_derivert = simplify(diff(g, x))
print("Forutsetning: x > 0")
print("g(x) =", g)
print("u(x) =", u, "og u'(x) =", u_derivert)
print("v(x) =", v, "og v'(x) =", v_derivert)
print("Produktregelen: u'v + uv'")
print("g'(x) = 2*log(3*x) + 2*x*(1/x)")
print("Forenklet g'(x) =", g_derivert)
print("Kontroll =", simplify(g_derivert-(2*log(3*x)+2)))

Utskrift fra Python:
Forutsetning: x > 0
g(x) = 2*x*log(3*x)
u(x) = 2*x og u'(x) = 2
v(x) = log(3*x) og v'(x) = 1/x
Produktregelen: u'v + uv'
g'(x) = 2*log(3*x) + 2*x*(1/x)
Forenklet g'(x) = 2*log(3*x) + 2
Kontroll = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=2\ln(3x)+2\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en kvotient. Derfor bruker vi brøkregelen og forenkler telleren nøye.

Steg 1 — Definer teller og nevner

La \(u(x)=2x-1\) og \(v(x)=x+1\).

Steg 2 — Deriver teller og nevner

Da er \(u^{\prime}(x)=2\) og \(v^{\prime}(x)=1\).

Steg 3 — Skriv brøkregelen

\[h^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}.\]

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

\[h^{\prime}(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)\cdot1}{(x+1)^2}.\]

Steg 5 — Forenkle telleren

\[2x+2-2x+1=3.\]

Steg 6 — Skriv sluttresultatet

Dermed er \[h^{\prime}(x)=\frac{3}{(x+1)^2},\qquad x\ne-1.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, simplify
x = symbols('x')
h = (2*x-1)/(x+1)
teller = 2*x-1
nevner = x+1
h_derivert = factor(diff(h, x))
print("h(x) =", h)
print("Teller u(x) =", teller, "med u'(x) =", diff(teller,x))
print("Nevner v(x) =", nevner, "med v'(x) =", diff(nevner,x))
print("Brøkregelen: (u'v-u v')/v^2")
print("Teller i den deriverte = 2*(x+1)-(2*x-1)*1")
print("Forenklet teller =", simplify(2*(x+1)-(2*x-1)))
print("h'(x) =", h_derivert)
print("Kontroll =", simplify(h_derivert-3/(x+1)**2))

Utskrift fra Python:
h(x) = (2*x - 1)/(x + 1)
Teller u(x) = 2*x - 1 med u'(x) = 2
Nevner v(x) = x + 1 med v'(x) = 1
Brøkregelen: (u'v-u v')/v^2
Teller i den deriverte = 2*(x+1)-(2*x-1)*1
Forenklet teller = 3
h'(x) = 3/(x + 1)**2
Kontroll = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{3}{(x+1)^2}\), \(x\ne-1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktorsetningen: divisjonen med \(x-1\) går opp dersom \(P(1)=0\).

Steg 1 — Knytt divisoren til en x-verdi

Divisoren er \(x-1\). Vi setter derfor \(x=1\) i polynomet.

Steg 2 — Sett inn x=1

\[P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6.\]

Steg 3 — Regn potensene

Dette gir \[P(1)=1-6+11-6.\]

Steg 4 — Summer leddene

\[1-6+11-6=0.\]

Steg 5 — Bruk faktorsetningen

Når \(P(1)=0\), er \(x-1\) en faktor i \(P(x)\).

Steg 6 — Konkluder

Resten ved divisjon med \(x-1\) er 0. Derfor går divisjonen opp uten at vi trenger å utføre den.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, factor
x = symbols('x')
P = x**3-6*x**2+11*x-6
verdi = P.subs(x,1)
print("P(x) =", P)
print("P(1) = 1^3 - 6*1^2 + 11*1 - 6")
print("P(1) =", verdi)
print("Faktorsetningen: P(1)=0 innebærer at x-1 er faktor")
print("Faktorisert P(x) =", factor(P))
print("Kontroll etter utvidelse =", expand((x-1)*(x-2)*(x-3)))

Utskrift fra Python:
P(x) = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6
P(1) = 1^3 - 6*1^2 + 11*1 - 6
P(1) = 0
Faktorsetningen: P(1)=0 innebærer at x-1 er faktor
Faktorisert P(x) = (x - 3)*(x - 2)*(x - 1)
Kontroll etter utvidelse = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6

Fasit: \(P(1)=0\), derfor går \(P(x):(x-1)\) opp.

Hva spør oppgaven om? Vi skal først dividere med \(x-1\), faktorisere kvotienten og deretter bruke et fortegnsskjema.

Steg 1 — Utfør første ledd i divisjonen

\(x^3:x=x^2\). Vi multipliserer \(x^2(x-1)=x^3-x^2\) og trekker fra.

Steg 2 — Fortsett divisjonen

Etter subtraksjon står vi igjen med \(-5x^2+11x-6\). Neste ledd er \(-5x\).

Steg 3 — Fullfør divisjonen

Til slutt får vi kvotienten \[x^2-5x+6\] og rest 0.

Steg 4 — Faktoriser kvotienten

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\] Dermed \[P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).\]

Steg 5 — Lag fortegnsskjema

Nullpunktene 1, 2 og 3 deler tallinjen i fire intervaller. Fortegnet skifter ved hvert enkelt nullpunkt.

Steg 6 — Ta med nullpunktene

Siden ulikheten er \(\ge0\), skal intervallene med positivt fortegn og alle nullpunktene inkluderes.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, div, factor, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
P = x**3-6*x**2+11*x-6
kvotient, rest = div(P, x-1)
faktorisert = factor(P)
losning = solve_univariate_inequality(P >= 0, x)
print("P(x) =", P)
print("Polynomdivisjon med x-1:")
print("Kvotient =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Kvotienten faktoriseres som", factor(kvotient))
print("P(x) =", faktorisert)
print("Nullpunkter: x = 1, 2, 3")
print("Løsning av P(x) >= 0:", losning)

Utskrift fra Python:
P(x) = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6
Polynomdivisjon med x-1:
Kvotient = x**2 - 5*x + 6
Rest = 0
Kvotienten faktoriseres som (x - 3)*(x - 2)
P(x) = (x - 3)*(x - 2)*(x - 1)
Nullpunkter: x = 1, 2, 3
Løsning av P(x) >= 0: (3 <= x) | ((1 <= x) & (x <= 2))

Fasit: \(P(x):(x-1)=x^2-5x+6\), og \(P(x)\ge0\) for \(x\in[1,2]\cup[3,\infty)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal konstruere en rettvinklet trekant med kjent hypotenus og kjent avstand fra C til hypotenusen. Thales’ setning og en parallell linje brukes.

Steg 1 — Tegn hypotenusen

Tegn linjestykket \(AB=10{,}0\text{ cm}\).

Steg 2 — Finn midtpunktet

Konstruer midtpunktet \(M\) på \(AB\). Da er \(AM=BM=5{,}0\text{ cm}\).

Steg 3 — Bruk Thales’ setning

Tegn sirkelen med sentrum \(M\) og radius \(5{,}0\text{ cm}\). Alle punkter på denne sirkelen danner en rett vinkel \(\angle ACB=90^{\circ}\).

Steg 4 — Konstruer høyden

Tegn en linje parallell med \(AB\) i avstand \(4{,}0\text{ cm}\). Da får alle punkter på linjen høyde 4,0 cm til AB.

Steg 5 — Finn mulige punkter C

Den parallelle linjen skjærer Thales-sirkelen i to punkter. Med koordinater \(A=(0,0)\), \(B=(10,0)\) blir de \(C=(2,4)\) og \(C=(8,4)\).

Steg 6 — Velg riktig skjæringspunkt

Velg punktet nærmest A, altså \(C=(2,4)\). Da er \(AC=2\sqrt5\) og \(BC=4\sqrt5\), slik at BC er den lengste kateten.

Steg 7 — Kontroller konstruksjonen

Høyden er 4 cm, vinkelen ved C er rett, og arealet er \(\frac12\cdot10\cdot4=20\text{ cm}^2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, sqrt, simplify
x = symbols('x', real=True)
# A=(0,0), B=(10,0); C ligger på y=4 og på sirkelen med sentrum (5,0), radius 5
losninger = solve((x-5)**2 + 4**2 - 5**2, x)
print("AB legges på x-aksen: A=(0,0), B=(10,0)")
print("Sirkel med AB som diameter: (x-5)^2+y^2=25")
print("Parallell i høyde 4: y=4")
print("Skjæringslikning: (x-5)^2+16=25")
print("Mulige x-koordinater:", losninger)
for xv in losninger:
    AC = sqrt(xv**2+4**2)
    BC = sqrt((10-xv)**2+4**2)
    print(f"C=({xv},4): AC={simplify(AC)}, BC={simplify(BC)}")
print("Velger C=(2,4), fordi BC da er den lengste kateten")
print("Areal = 10*4/2 =", 10*4/2)

Utskrift fra Python:
AB legges på x-aksen: A=(0,0), B=(10,0)
Sirkel med AB som diameter: (x-5)^2+y^2=25
Parallell i høyde 4: y=4
Skjæringslikning: (x-5)^2+16=25
Mulige x-koordinater: [2, 8]
C=(2,4): AC=2*sqrt(5), BC=4*sqrt(5)
C=(8,4): AC=4*sqrt(5), BC=2*sqrt(5)
Velger C=(2,4), fordi BC da er den lengste kateten
Areal = 10*4/2 = 20.0

Fasit: Konstruer Thales-sirkelen over AB og en parallell i avstand 4,0 cm; velg skjæringspunktet som gir \(BC=4\sqrt5\text{ cm}>AC=2\sqrt5\text{ cm}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive høyresiden som én potens med grunntall 2 og deretter sette eksponentene lik hverandre.

Steg 1 — Skriv tallet 4 som en toerpotens

Vi har \(4=2^2\).

Steg 2 — Bruk produktregelen for potenser

\[4\cdot2^2=2^2\cdot2^2=2^{2+2}=2^4.\]

Steg 3 — Skriv likningen med samme grunntall

\[2^{3x-1}=2^4.\]

Steg 4 — Sett eksponentene lik

Eksponentialfunksjonen med grunntall 2 er én-til-én, så \[3x-1=4.\]

Steg 5 — Isoler x

\[3x=5.\]

Steg 6 — Divider med 3

\[x=\frac53.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x = symbols('x', real=True)
venstre = 2**(3*x-1)
hoyre = 2**2 + 2**2 + 2**2 + 2**2
print("Opprinnelig høyreside = 2^2+2^2+2^2+2^2")
print("Fire like ledd = 4*2^2")
print("4 = 2^2, derfor 4*2^2 = 2^4")
print("Likning med samme grunntall: 2^(3x-1)=2^4")
print("Eksponentlikning: 3x-1=4")
losning = solve(Eq(3*x-1,4),x)
print("Løsning x =", losning[0])
print("Venstreside ved løsningen =", simplify(venstre.subs(x,losning[0])))
print("Høyreside =", hoyre)

Utskrift fra Python:
Opprinnelig høyreside = 2^2+2^2+2^2+2^2
Fire like ledd = 4*2^2
4 = 2^2, derfor 4*2^2 = 2^4
Likning med samme grunntall: 2^(3x-1)=2^4
Eksponentlikning: 3x-1=4
Løsning x = 5/3
Venstreside ved løsningen = 16
Høyreside = 16

Fasit: \(x=\dfrac53\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne ut koordinatene til de to lineærkombinasjonene og deretter tegne dem fra origo.

Steg 1 — Regn ut 2b

\[2\vec b=2[3,2]=[6,4].\]

Steg 2 — Finn u

\[\vec u=\vec a+2\vec b=[1,3]+[6,4]=[7,7].\]

Steg 3 — Regn ut 2c

\[2\vec c=2[-1,2]=[-2,4].\]

Steg 4 — Finn v

\[\vec v=\vec b-2\vec c=[3,2]-[-2,4].\]

Steg 5 — Trekk fra koordinatvis

\[\vec v=[3-(-2),2-4]=[5,-2].\]

Steg 6 — Tegn vektorene

Tegn piler fra \((0,0)\) til henholdsvis \((7,7)\) og \((5,-2)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix
# Gitte vektorer
a = Matrix([1,3])
b = Matrix([3,2])
c = Matrix([-1,2])
u = a + 2*b
v = b - 2*c
print("a =", list(a))
print("b =", list(b))
print("c =", list(c))
print("u = a + 2b")
print("u =", list(a), "+ 2*", list(b))
print("u =", list(u))
print("v = b - 2c")
print("v =", list(b), "- 2*", list(c))
print("v =", list(v))

Utskrift fra Python:
a = [1, 3]
b = [3, 2]
c = [-1, 2]
u = a + 2b
u = [1, 3] + 2* [3, 2]
u = [7, 7]
v = b - 2c
v = [3, 2] - 2* [-1, 2]
v = [5, -2]

Fasit: \(\vec u=[7,7]\) og \(\vec v=[5,-2]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skalarproduktet. To ikke-nullvektorer er ortogonale akkurat når skalarproduktet er 0.

Steg 1 — Bruk vektorene fra a

Vi har \(\vec u=[7,7]\) og \(\vec v=[5,-2]\).

Steg 2 — Skriv skalarproduktet

\[\vec u\cdot\vec v=7\cdot5+7\cdot(-2).\]

Steg 3 — Regn første produkt

\[7\cdot5=35.\]

Steg 4 — Regn andre produkt

\[7\cdot(-2)=-14.\]

Steg 5 — Summer

\[35-14=21.\]

Steg 6 — Bruk ortogonalitetskriteriet

Siden \(21\ne0\), er vektorene ikke ortogonale.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix
u = Matrix([7,7])
v = Matrix([5,-2])
dot = u.dot(v)
print("u =", list(u))
print("v =", list(v))
print("Skalarprodukt u·v = 7*5 + 7*(-2)")
print("u·v =", dot)
print("Kriterium for ortogonalitet: u·v = 0")
print("Er skalarproduktet null?", dot == 0)
print("Konklusjon: vektorene er ikke ortogonale")

Utskrift fra Python:
u = [7, 7]
v = [5, -2]
Skalarprodukt u·v = 7*5 + 7*(-2)
u·v = 21
Kriterium for ortogonalitet: u·v = 0
Er skalarproduktet null? False
Konklusjon: vektorene er ikke ortogonale

Fasit: \(\vec u\cdot\vec v=21\ne0\), så \(\vec u\not\perp\vec v\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere polynomet to ganger ved hjelp av potensregelen.

Steg 1 — Deriver kubikkleddet

\[\left(-\frac13x^3\right)^{\prime}=-\frac13\cdot3x^2=-x^2.\]

Steg 2 — Deriver andregradsleddet

\[(2x^2)^{\prime}=4x.\]

Steg 3 — Sett sammen første derivert

\[f^{\prime}(x)=-x^2+4x.\]

Steg 4 — Deriver første ledd på nytt

\[(-x^2)^{\prime}=-2x.\]

Steg 5 — Deriver 4x

\[(4x)^{\prime}=4.\]

Steg 6 — Sett sammen andre derivert

\[f^{\prime\prime}(x)=-2x+4.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor
x = symbols('x')
f = -x**3/3 + 2*x**2
f1 = factor(diff(f,x))
f2 = factor(diff(f,x,2))
print("f(x) =", f)
print("Deriverer -x^3/3: -x^2")
print("Deriverer 2x^2: 4x")
print("f'(x) =", f1)
print("Deriverer f'(x) = -x^2+4x")
print("f''(x) =", f2)
print("Faktorisert f'(x) =", factor(f1))

Utskrift fra Python:
f(x) = -x**3/3 + 2*x**2
Deriverer -x^3/3: -x^2
Deriverer 2x^2: 4x
f'(x) = -x*(x - 4)
Deriverer f'(x) = -x^2+4x
f''(x) = -2*(x - 2)
Faktorisert f'(x) = -x*(x - 4)

Fasit: \(f^{\prime}(x)=-x^2+4x\) og \(f^{\prime\prime}(x)=-2x+4\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse \(f^{\prime}(x)=0\) for ekstremalpunktene, klassifisere med \(f^{\prime\prime}\), og løse \(f^{\prime\prime}(x)=0\) for vendepunktet.

Steg 1 — Faktoriser første derivert

\[f^{\prime}(x)=-x^2+4x=x(4-x).\]

Steg 2 — Finn kritiske x-verdier

\[x(4-x)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\text{ eller }x=4.\]

Steg 3 — Klassifiser x=0

\(f^{\prime\prime}(0)=4>0\), så grafen vender oppover og \((0,f(0))=(0,0)\) er et bunnpunkt.

Steg 4 — Klassifiser x=4

\(f^{\prime\prime}(4)=-4<0\), så grafen vender nedover. \[f(4)=-\frac{64}{3}+32=\frac{32}{3}.\] Toppunktet er \((4,32/3)\).

Steg 5 — Finn mulig vendepunkt

\[-2x+4=0\quad\Rightarrow\quad x=2.\] Andrederiverten skifter fortegn ved x=2.

Steg 6 — Finn y-koordinaten til vendepunktet

\[f(2)=-\frac83+8=\frac{16}{3}.\] Vendepunktet er \((2,16/3)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, solve, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = -x**3/3 + 2*x**2
f1 = diff(f,x)
f2 = diff(f,x,2)
kritiske = solve(f1,x)
vende_x = solve(f2,x)
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
print("Kritiske x-verdier fra f'(x)=0:", kritiske)
for xv in kritiske:
    print(f"x={xv}: f(x)={simplify(f.subs(x,xv))}, f''(x)={f2.subs(x,xv)}")
print("Vendepunktets x-verdi fra f''(x)=0:", vende_x)
for xv in vende_x:
    print(f"x={xv}: f(x)={simplify(f.subs(x,xv))}")

Utskrift fra Python:
f'(x) = -x**2 + 4*x
f''(x) = 2*(2 - x)
Kritiske x-verdier fra f'(x)=0: [0, 4]
x=0: f(x)=0, f''(x)=4
x=4: f(x)=32/3, f''(x)=-4
Vendepunktets x-verdi fra f''(x)=0: [2]
x=2: f(x)=16/3

Fasit: Bunnpunkt \((0,0)\), toppunkt \((4,32/3)\) og vendepunkt \((2,16/3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor grafen både stiger og er konkav nedover, altså skjæringen mellom to fortegnsintervaller.

Steg 1 — Finn hvor f stiger

\[f^{\prime}(x)=x(4-x)>0.\] Produktet er positivt mellom nullpunktene, så \(0<x<4\).

Steg 2 — Finn hvor grafen er konkav nedover

\[f^{\prime\prime}(x)=-2x+4<0.\]

Steg 3 — Løs andrederivertulikheten

\[-2x<-4\quad\Rightarrow\quad x>2.\] Ved divisjon med et negativt tall snur ulikhetstegnet.

Steg 4 — Finn felles intervall

Vi trenger både \(0<x<4\) og \(x>2\).

Steg 5 — Ta skjæringen

Skjæringen er \[(0,4)\cap(2,\infty)=(2,4).\]

Steg 6 — Kontroller mot skissen

Mellom vendepunktet ved x=2 og toppunktet ved x=4 stiger grafen samtidig som den bøyer nedover.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, reduce_inequalities, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
f1 = -x**2+4*x
f2 = -2*x+4
losning1 = solve_univariate_inequality(f1 > 0, x)
losning2 = solve_univariate_inequality(f2 < 0, x)
begge = reduce_inequalities([f1 > 0, f2 < 0], x)
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
print("f'(x) > 0 for", losning1)
print("f''(x) < 0 for", losning2)
print("Felles intervall =", begge)
print("Kontrollpunkt x=3:")
print("f'(3) =", f1.subs(x,3))
print("f''(3) =", f2.subs(x,3))

Utskrift fra Python:
f'(x) = -x**2 + 4*x
f''(x) = 4 - 2*x
f'(x) > 0 for (0 < x) & (x < 4)
f''(x) < 0 for 2 < x
Felles intervall = (2 < x) & (x < 4)
Kontrollpunkt x=3:
f'(3) = 3
f''(3) = -2

Fasit: Betingelsene er oppfylt for \(2<x<4\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese sentrum og radius fra standardformen og plassere de to sirklene i samme koordinatsystem.

Steg 1 — Les av S1

Likningen \(x^2+y^2=5^2\) gir sentrum \((0,0)\) og radius 5.

Steg 2 — Sett a=6 i S2

\[(x-6)^2+y^2=3^2.\]

Steg 3 — Les av S2

Den andre sirkelen har sentrum \((6,0)\) og radius 3.

Steg 4 — Plasser sentrene

Marker \((0,0)\) og \((6,0)\) på x-aksen.

Steg 5 — Tegn radiene

Tegn S1 med radius 5 og S2 med radius 3.

Steg 6 — Kontroller geometrien

Senteravstanden er 6, og \(2<6<8\). Derfor skjærer sirklene hverandre i to punkter, slik skissen viser.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, sqrt
x, y = symbols('x y', real=True)
a = 6
# S1: x^2+y^2=25, S2: (x-a)^2+y^2=9
losninger = solve([x**2+y**2-25,(x-a)**2+y**2-9],[x,y])
print("S1: sentrum (0,0), radius 5")
print("S2: sentrum (6,0), radius 3")
print("Avstand mellom sentrene =", abs(a))
print("|r1-r2| =", abs(5-3), "og r1+r2 =", 5+3)
print("Siden 2 < 6 < 8, skjærer sirklene hverandre i to punkter")
print("Skjæringspunkter:")
for p in losninger:
    print(p)

Utskrift fra Python:
S1: sentrum (0,0), radius 5
S2: sentrum (6,0), radius 3
Avstand mellom sentrene = 6
|r1-r2| = 2 og r1+r2 = 8
Siden 2 < 6 < 8, skjærer sirklene hverandre i to punkter
Skjæringspunkter:
(13/3, -2*sqrt(14)/3)
(13/3, 2*sqrt(14)/3)

Fasit: \(S_1\) har sentrum \((0,0)\), radius 5; \(S_2\) har sentrum \((6,0)\), radius 3.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne senteravstanden \(|a|\) med summen og differansen av radiene.

Steg 1 — Finn senteravstanden

Sentrene er \((0,0)\) og \((a,0)\), så avstanden mellom dem er \(|a|\).

Steg 2 — Sett opp ekstern tangering

Ved ytre tangering er senteravstanden summen av radiene: \[|a|=5+3=8.\]

Steg 3 — Løs den første absoluttverdilikningen

\[|a|=8\quad\Rightarrow\quad a=8\text{ eller }a=-8.\]

Steg 4 — Sett opp intern tangering

Ved indre tangering er senteravstanden absolutt differanse av radiene: \[|a|=|5-3|=2.\]

Steg 5 — Løs den andre absoluttverdilikningen

\[|a|=2\quad\Rightarrow\quad a=2\text{ eller }a=-2.\]

Steg 6 — Samle løsningene

Dermed får vi \(a\in\{-8,-2,2,8\}\). Dersom oppgaven tolker \(a\) som en ikke-negativ avstand, er verdiene 2 og 8.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, Abs
# Tangering når senteravstanden er sum eller absolutt differanse av radiene
a = symbols('a', real=True)
ekstern = solve(Abs(a)-8, a)
intern = solve(Abs(a)-2, a)
print("Radiusene er r1=5 og r2=3")
print("Ekstern tangering: |a| = r1+r2 = 8")
print("Løsninger:", ekstern)
print("Intern tangering: |a| = |r1-r2| = 2")
print("Løsninger:", intern)
print("Alle reelle a-verdier:", sorted(ekstern+intern))
print("Hvis a forutsettes ikke-negativ, får vi bare a=2 og a=8")

Utskrift fra Python:
Radiusene er r1=5 og r2=3
Ekstern tangering: |a| = r1+r2 = 8
Løsninger: [-8, 8]
Intern tangering: |a| = |r1-r2| = 2
Løsninger: [-2, 2]
Alle reelle a-verdier: [-8, -2, 2, 8]
Hvis a forutsettes ikke-negativ, får vi bare a=2 og a=8

Fasit: For reell senterkoordinat \(a\): \(a=-8,-2,2,8\). Hvis \(a\ge0\) forutsettes: \(a=2\) eller \(a=8\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at tangering gir et dobbelt nullpunkt, og deretter bestemme konstanten fra y-skjæringen 8.

Steg 1 — Bruk tangeringen

Tangering i \(x=2\) betyr at \(x=2\) er et dobbelt nullpunkt.

Steg 2 — Skriv faktorformen

Siden funksjonen er av andre grad, må den ha formen \[f(x)=k(x-2)^2.\]

Steg 3 — Les av et nytt punkt

Figuren viser at grafen skjærer y-aksen i 8. Derfor er \(f(0)=8\).

Steg 4 — Sett inn x=0

\[8=k(0-2)^2=4k.\]

Steg 5 — Bestem k

\[k=\frac84=2.\]

Steg 6 — Konkluder

Dermed er \[f(x)=2(x-2)^2.\] Dette gir både dobbelt nullpunkt i 2 og y-skjæring 8.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, solve, simplify
x, k = symbols('x k')
f = k*(x-2)**2
k_verdi = solve(f.subs(x,0)-8,k)[0]
funksjon = expand(f.subs(k,k_verdi))
print("Tangering i x=2 gir dobbelt faktor (x-2)^2")
print("Generell form: f(x)=k*(x-2)^2")
print("Fra grafen: f(0)=8")
print("Likning for k: k*(0-2)^2=8")
print("4k=8, derfor k =", k_verdi)
print("Faktorisert funksjon =", f.subs(k,k_verdi))
print("Utvidet funksjon =", funksjon)
print("Kontroll f(2) =", funksjon.subs(x,2))
print("Kontroll f(0) =", funksjon.subs(x,0))

Utskrift fra Python:
Tangering i x=2 gir dobbelt faktor (x-2)^2
Generell form: f(x)=k*(x-2)^2
Fra grafen: f(0)=8
Likning for k: k*(0-2)^2=8
4k=8, derfor k = 2
Faktorisert funksjon = 2*(x - 2)**2
Utvidet funksjon = 2*x**2 - 8*x + 8
Kontroll f(2) = 0
Kontroll f(0) = 8

Fasit: \(f(x)=2(x-2)^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere ett enkelt og ett dobbelt nullpunkt og bruke y-skjæringen 9 til å bestemme k.

Steg 1 — Les av nullpunktet til venstre

Grafen krysser x-aksen i \(x=-1\), som gir faktoren \(x+1\).

Steg 2 — Bruk tangeringen

Grafen tangerer x-aksen i \(x=3\), så \(x=3\) er et dobbelt nullpunkt og gir \((x-3)^2\).

Steg 3 — Kontroller graden

Faktorene har samlet grad \(1+2=3\), som passer med en tredjegradsfunksjon.

Steg 4 — Skriv generell form

\[g(x)=k(x-3)^2(x+1).\]

Steg 5 — Bruk y-skjæringen

Fra figuren er \(g(0)=9\). Dermed \[9=k(0-3)^2(0+1)=9k.\]

Steg 6 — Bestem konstanten

\[k=1.\] Altså \[g(x)=(x-3)^2(x+1).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, solve
x, k = symbols('x k')
g = k*(x-3)**2*(x+1)
k_verdi = solve(g.subs(x,0)-9,k)[0]
funksjon = expand(g.subs(k,k_verdi))
print("Nullpunkt x=-1 gir faktoren (x+1)")
print("Tangering i x=3 gir dobbeltfaktoren (x-3)^2")
print("Generell form: g(x)=k*(x-3)^2*(x+1)")
print("Fra grafen: g(0)=9")
print("9 = k*9*1")
print("k =", k_verdi)
print("Faktorisert g(x) =", g.subs(k,k_verdi))
print("Utvidet g(x) =", funksjon)
print("Kontroll g(-1), g(3), g(0) =", funksjon.subs(x,-1), funksjon.subs(x,3), funksjon.subs(x,0))

Utskrift fra Python:
Nullpunkt x=-1 gir faktoren (x+1)
Tangering i x=3 gir dobbeltfaktoren (x-3)^2
Generell form: g(x)=k*(x-3)^2*(x+1)
Fra grafen: g(0)=9
9 = k*9*1
k = 1
Faktorisert g(x) = (x - 3)**2*(x + 1)
Utvidet g(x) = x**3 - 5*x**2 + 3*x + 9
Kontroll g(-1), g(3), g(0) = 0 0 9

Fasit: \(k=1\), og \(g(x)=(x-3)^2(x+1)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke to doble nullpunkter og y-skjæringen 8 til å finne hele fjerdegradsfunksjonen.

Steg 1 — Lag faktor for x=-2

Tangering ved \(x=-2\) gir dobbeltfaktoren \((x+2)^2\).

Steg 2 — Lag faktor for x=2

Tangering ved \(x=2\) gir dobbeltfaktoren \((x-2)^2\).

Steg 3 — Kontroller graden

De to faktorene har samlet grad 4, så ingen flere lineære faktorer trengs.

Steg 4 — Skriv generell form

\[h(x)=k(x+2)^2(x-2)^2.\]

Steg 5 — Bruk y-skjæringen 8

\[8=h(0)=k\cdot2^2\cdot(-2)^2=16k.\]

Steg 6 — Bestem k og skriv svaret

\[k=\frac12.\] Dermed \[h(x)=\frac12(x+2)^2(x-2)^2=\frac12(x^2-4)^2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, solve
x, k = symbols('x k')
h = k*(x+2)**2*(x-2)**2
k_verdi = solve(h.subs(x,0)-8,k)[0]
funksjon = expand(h.subs(k,k_verdi))
print("Tangering i x=-2 gir (x+2)^2")
print("Tangering i x=2 gir (x-2)^2")
print("Generell form: h(x)=k*(x+2)^2*(x-2)^2")
print("Fra grafen: h(0)=8")
print("8 = k*4*4 = 16k")
print("k =", k_verdi)
print("Faktorisert h(x) =", h.subs(k,k_verdi))
print("Utvidet h(x) =", funksjon)
print("Kontroll h(-2), h(2), h(0) =", funksjon.subs(x,-2), funksjon.subs(x,2), funksjon.subs(x,0))

Utskrift fra Python:
Tangering i x=-2 gir (x+2)^2
Tangering i x=2 gir (x-2)^2
Generell form: h(x)=k*(x+2)^2*(x-2)^2
Fra grafen: h(0)=8
8 = k*4*4 = 16k
k = 1/2
Faktorisert h(x) = (x - 2)**2*(x + 2)**2/2
Utvidet h(x) = x**4/2 - 4*x**2 + 8
Kontroll h(-2), h(2), h(0) = 0 0 8

Fasit: \(h(x)=\dfrac12(x+2)^2(x-2)^2=\dfrac12(x^2-4)^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vertikal asymptote fra nevnerens nullpunkt og horisontal asymptote ved polynomdivisjon eller grenseverdi.

Steg 1 — Finn nevnerens nullpunkt

\[x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-1.\] Telleren er da \(-3\ne0\), så x=-1 er vertikal asymptote.

Steg 2 — Utfør polynomdivisjon

Skriv \(2x-1=2(x+1)-3\).

Steg 3 — Omskriv funksjonen

\[f(x)=2-\frac3{x+1}.\]

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

Når \(|x|\) blir stor, går \(-3/(x+1)\) mot 0. Derfor går \(f(x)\) mot 2.

Steg 5 — Oppgi asymptotene

Den vertikale asymptoten er \(x=-1\), og den horisontale asymptoten er \(y=2\).

Steg 6 — Skisser greinene

For \(x<-1\) ligger grafen over y=2, og for \(x>-1\) ligger den under y=2. Grafen nærmer seg begge asymptotene uten å krysse den horisontale.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, limit, oo, simplify
x = symbols('x')
f = (2*x-1)/(x+1)
omskrevet = simplify(2-3/(x+1))
print("f(x) =", f)
print("Polynomdivisjon/omskriving: f(x) =", omskrevet)
print("Nevneren er null ved x=-1")
print("Venstre grense ved x=-1 =", limit(f,x,-1,dir='-'))
print("Høyre grense ved x=-1 =", limit(f,x,-1,dir='+'))
print("Grense når x går mot uendelig =", limit(f,x,oo))
print("Grense når x går mot minus uendelig =", limit(f,x,-oo))
print("Vertikal asymptote: x=-1")
print("Horisontal asymptote: y=2")

Utskrift fra Python:
f(x) = (2*x - 1)/(x + 1)
Polynomdivisjon/omskriving: f(x) = (2*x - 1)/(x + 1)
Nevneren er null ved x=-1
Venstre grense ved x=-1 = oo
Høyre grense ved x=-1 = -oo
Grense når x går mot uendelig = 2
Grense når x går mot minus uendelig = 2
Vertikal asymptote: x=-1
Horisontal asymptote: y=2

Fasit: Asymptotene er \(x=-1\) og \(y=2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette funksjonsuttrykkene lik hverandre, løse likningen og finne tilhørende y-koordinater.

Steg 1 — Sett f(x)=g(x)

\[\frac{2x-1}{x+1}=x-1,\qquad x\ne-1.\]

Steg 2 — Fjern nevneren

Multipliser med \(x+1\): \[2x-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 3 — Utvid høyresiden

\[(x-1)(x+1)=x^2-1.\] Dermed \[2x-1=x^2-1.\]

Steg 4 — Samle på én side

\[x^2-2x=0.\]

Steg 5 — Faktoriser og løs

\[x(x-2)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\text{ eller }x=2.\]

Steg 6 — Finn y-koordinatene

\(g(0)=-1\) og \(g(2)=1\). Skjæringspunktene er derfor \((0,-1)\) og \((2,1)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = (2*x-1)/(x+1)
g = x-1
likning = Eq(f,g)
losninger = solve(likning,x)
print("f(x) =", f)
print("g(x) =", g)
print("Skjæringslikning: (2x-1)/(x+1) = x-1")
print("Multipliserer med x+1, med forutsetning x != -1")
print("2x-1 = (x-1)(x+1) = x^2-1")
print("0 = x^2-2x = x(x-2)")
print("x-løsninger =", losninger)
for xv in losninger:
    print(f"x={xv}: y=g(x)={g.subs(x,xv)}, f(x)={simplify(f.subs(x,xv))}")

Utskrift fra Python:
f(x) = (2*x - 1)/(x + 1)
g(x) = x - 1
Skjæringslikning: (2x-1)/(x+1) = x-1
Multipliserer med x+1, med forutsetning x != -1
2x-1 = (x-1)(x+1) = x^2-1
0 = x^2-2x = x(x-2)
x-løsninger = [0, 2]
x=0: y=g(x)=-1, f(x)=-1
x=2: y=g(x)=1, f(x)=1

Fasit: Skjæringspunktene er \((0,-1)\) og \((2,1)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke rektangelets bredde og høyde ved x og multiplisere dem.

Steg 1 — Finn koordinatene til P og S

Siden \(S=(x,0)\) og P ligger rett over S på grafen, er \(P=(x,x^2+21)\).

Steg 2 — Finn høyden

Rektangelets høyde er \[PS=x^2+21.\]

Steg 3 — Finn bredden

R har x-koordinat 12, så \[SR=12-x.\]

Steg 4 — Sett opp arealet

\[A(x)=(12-x)(x^2+21).\]

Steg 5 — Multipliser ut

\[A(x)=12x^2+252-x^3-21x.\]

Steg 6 — Sorter leddene

\[A(x)=-x^3+12x^2-21x+252.\] Siden S ligger mellom 0 og 12, er \(0<x<12\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
f = x**2+21
bredde = 12-x
hoyde = f
A = expand(bredde*hoyde)
print("S=(x,0), R=(12,0)")
print("Rektangelets bredde SR = 12-x")
print("P ligger på f, derfor høyden PS = f(x)=x^2+21")
print("A(x) = bredde*høyde")
print("A(x) = (12-x)*(x^2+21)")
print("Utvidelse:")
print("12*x^2 + 252 - x^3 - 21*x")
print("A(x) =", A)
print("Kontroll differanse =", expand(A-(-x**3+12*x**2-21*x+252)))

Utskrift fra Python:
S=(x,0), R=(12,0)
Rektangelets bredde SR = 12-x
P ligger på f, derfor høyden PS = f(x)=x^2+21
A(x) = bredde*høyde
A(x) = (12-x)*(x^2+21)
Utvidelse:
12*x^2 + 252 - x^3 - 21*x
A(x) = -x**3 + 12*x**2 - 21*x + 252
Kontroll differanse = 0

Fasit: \(A(x)=(12-x)(x^2+21)=-x^3+12x^2-21x+252\), \(0<x<12\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere arealfunksjonen, finne kritiske punkter og sammenligne funksjonsverdier og grenseverdier på intervallet.

Steg 1 — Deriver arealfunksjonen

\[A^{\prime}(x)=-3x^2+24x-21.\]

Steg 2 — Faktoriser den deriverte

\[A^{\prime}(x)=-3(x^2-8x+7)=-3(x-1)(x-7).\]

Steg 3 — Finn kritiske punkter

\[A^{\prime}(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=1\text{ eller }x=7.\]

Steg 4 — Analyser fortegnet

A avtar på \((0,1)\), øker på \((1,7)\) og avtar på \((7,12)\). Dermed er x=1 lokalt minimum og x=7 maksimum.

Steg 5 — Regn funksjonsverdiene

\[A(1)=242,\qquad A(7)=350.\]

Steg 6 — Vurder endene av intervallet

\(A(x)\to252\) når \(x\to0^+\), og \(A(x)\to0\) når \(x\to12^-\). Derfor er 350 et oppnådd globalt maksimum. På det åpne intervallet finnes ikke et oppnådd globalt minimum; infimum er 0.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve, limit
x = symbols('x', real=True)
A = -x**3+12*x**2-21*x+252
A1 = factor(diff(A,x))
kritiske = solve(A1,x)
print("A(x) =", A)
print("A'(x) =", diff(A,x))
print("Faktorisert A'(x) =", A1)
print("Kritiske x-verdier =", kritiske)
for xv in [0,1,7,12]:
    print(f"A({xv}) = {A.subs(x,xv)}")
print("Fortegn: A'<0 på (0,1), A'>0 på (1,7), A'<0 på (7,12)")
print("Globalt maksimum på det åpne intervallet: A(7)=350")
print("Lokalt minimum: A(1)=242")
print("Grense når x går mot 12 fra venstre =", limit(A,x,12,dir='-'))
print("På (0,12) finnes derfor ikke et oppnådd globalt minimum; infimum er 0")

Utskrift fra Python:
A(x) = -x**3 + 12*x**2 - 21*x + 252
A'(x) = -3*x**2 + 24*x - 21
Faktorisert A'(x) = -3*(x - 7)*(x - 1)
Kritiske x-verdier = [1, 7]
A(0) = 252
A(1) = 242
A(7) = 350
A(12) = 0
Fortegn: A'<0 på (0,1), A'>0 på (1,7), A'<0 på (7,12)
Globalt maksimum på det åpne intervallet: A(7)=350
Lokalt minimum: A(1)=242
Grense når x går mot 12 fra venstre = 0
På (0,12) finnes derfor ikke et oppnådd globalt minimum; infimum er 0

Fasit: \(A^{\prime}(x)=-3(x-1)(x-7)\). Største areal er 350 ved \(x=7\). Lokalt minste areal er 242 ved \(x=1\); på \((0,12)\) finnes ingen global minsteverdi, men infimum er 0.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke grafen til å kontrollere fortegnsanalysen, ekstremalpunktene og oppførselen ved endene av intervallet.

Steg 1 — Velg riktig vindu

Tegn \(A(x)\) for \(0<x<12\), og velg y-akse som viser området omtrent 0 til 370.

Steg 2 — Kontroller lokal minimum

Grafen synker fram til \(x=1\) og stiger etterpå. Punktet \((1,242)\) er derfor et lokalt minimum.

Steg 3 — Kontroller maksimum

Grafen stiger fram til \(x=7\) og synker etterpå. Punktet \((7,350)\) er derfor maksimum.

Steg 4 — Kontroller venstre ende

Når x nærmer seg 0, nærmer arealet seg 252.

Steg 5 — Kontroller høyre ende

Når x nærmer seg 12, nærmer arealet seg 0. Dette viser hvorfor det åpne intervallet ikke har en oppnådd global minsteverdi.

Steg 6 — Sammenhold med A′

Grafens vekst og fall stemmer med fortegnet til \(A^{\prime}(x)=-3(x-1)(x-7)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor
x = symbols('x', real=True)
A = -x**3+12*x**2-21*x+252
A1 = factor(diff(A,x))
print("A(x) =", A)
print("A'(x) =", A1)
for xv in [0.1,1,4,7,10,11.9]:
    print(f"x={xv:>4}: A(x)={float(A.subs(x,xv)):.6f}, A'(x)={float(A1.subs(x,xv)):.6f}")
print("Grafkontroll:")
print("- avtakende før x=1")
print("- voksende mellom x=1 og x=7")
print("- avtakende etter x=7")
print("- nærmer seg 0 når x nærmer seg 12")

Utskrift fra Python:
A(x) = -x**3 + 12*x**2 - 21*x + 252
A'(x) = -3*(x - 7)*(x - 1)
x= 0.1: A(x)=250.019000, A'(x)=-18.630000
x=   1: A(x)=242.000000, A'(x)=0.000000
x=   4: A(x)=296.000000, A'(x)=27.000000
x=   7: A(x)=350.000000, A'(x)=0.000000
x=  10: A(x)=242.000000, A'(x)=-81.000000
x=11.9: A(x)=16.261000, A'(x)=-160.230000
Grafkontroll:
- avtakende før x=1
- voksende mellom x=1 og x=7
- avtakende etter x=7
- nærmer seg 0 når x nærmer seg 12

Fasit: Grafen bekrefter lokalt minimum \((1,242)\), globalt maksimum \((7,350)\), og at \(A(x)\to0\) når \(x\to12^-\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av endepunktene på diameteren og bruke sluttpunkt minus startpunkt for vektorene.

Steg 1 — Finn venstre endepunkt

A ligger på den negative x-aksen i avstand r fra origo, så \[A=(-r,0).\]

Steg 2 — Finn høyre endepunkt

B ligger på den positive x-aksen i avstand r fra origo, så \[B=(r,0).\]

Steg 3 — Bruk vektorregelen

En vektor fra P til A er \(A-P\).

Steg 4 — Regn ut PA

\[\overrightarrow{PA}=(-r-x,0-y)=(-r-x,-y).\]

Steg 5 — Regn ut PB

\[\overrightarrow{PB}=(r-x,0-y)=(r-x,-y).\]

Steg 6 — Kontroller orienteringen

Begge vektorene starter i P. Derfor skal P-koordinatene trekkes fra endepunktkoordinatene, ikke omvendt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix
r, x, y = symbols('r x y', real=True)
A = Matrix([-r,0])
B = Matrix([r,0])
P = Matrix([x,y])
PA = A-P
PB = B-P
print("A =", list(A))
print("B =", list(B))
print("P =", list(P))
print("PA = A-P =", list(PA))
print("PB = B-P =", list(PB))
print("Sirkelbetingelse: x^2+y^2=r^2")

Utskrift fra Python:
A = [-r, 0]
B = [r, 0]
P = [x, y]
PA = A-P = [-r - x, -y]
PB = B-P = [r - x, -y]
Sirkelbetingelse: x^2+y^2=r^2

Fasit: \(A=(-r,0)\), \(B=(r,0)\), \(\overrightarrow{PA}=(-r-x,-y)\), \(\overrightarrow{PB}=(r-x,-y)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at vektorene fra P til A og B har skalarprodukt 0 og derfor er ortogonale.

Steg 1 — Skriv vektorene

\[\overrightarrow{PA}=(-r-x,-y),\qquad \overrightarrow{PB}=(r-x,-y).\]

Steg 2 — Sett opp skalarproduktet

\[\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(-r-x)(r-x)+(-y)(-y).\]

Steg 3 — Utvid første produkt

\[(-r-x)(r-x)=x^2-r^2.\] Kryssleddene \(rx\) og \(-rx\) kansellerer.

Steg 4 — Legg til y-leddet

\[\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x^2-r^2+y^2=x^2+y^2-r^2.\]

Steg 5 — Bruk sirkelbetingelsen

Siden P ligger på sirkelen, gjelder \(x^2+y^2=r^2\). Dermed blir skalarproduktet 0.

Steg 6 — Avslutt beviset

To ikke-nullvektorer med skalarprodukt 0 er ortogonale. Derfor \(PA\perp PB\), og følgelig \(\angle APB=90^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, simplify
r, x, y = symbols('r x y', real=True)
PA = (-r-x, -y)
PB = (r-x, -y)
dot = expand(PA[0]*PB[0] + PA[1]*PB[1])
print("PA =", PA)
print("PB =", PB)
print("Skalarprodukt:")
print("PA·PB = (-r-x)(r-x)+(-y)(-y)")
print("Utvidet =", dot)
print("Omgruppert = x^2+y^2-r^2")
print("På sirkelen gjelder x^2+y^2=r^2")
print("Dermed PA·PB = 0")
print("Konklusjon: PA står vinkelrett på PB, så vinkel APB er 90 grader")

Utskrift fra Python:
PA = (-r - x, -y)
PB = (r - x, -y)
Skalarprodukt:
PA·PB = (-r-x)(r-x)+(-y)(-y)
Utvidet = -r**2 + x**2 + y**2
Omgruppert = x^2+y^2-r^2
På sirkelen gjelder x^2+y^2=r^2
Dermed PA·PB = 0
Konklusjon: PA står vinkelrett på PB, så vinkel APB er 90 grader

Fasit: \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0\), derfor er \(\angle APB=90^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne sannsynligheten for unionen ved komplementregelen og deretter bruke addisjonssetningen.

Steg 1 — Finn unionen

\[P(M\cup F)=1-P(\overline{M\cup F})=1-0{,}30=0{,}70.\]

Steg 2 — Skriv addisjonssetningen

\[P(M\cup F)=P(M)+P(F)-P(M\cap F).\]

Steg 3 — Isoler snittet

\[P(M\cap F)=P(M)+P(F)-P(M\cup F).\]

Steg 4 — Sett inn

\[P(M\cap F)=0{,}64+0{,}32-0{,}70=0{,}26.\]

Steg 5 — Finn matematikk uten fysikk

Hendelsen M består av de som velger begge og de som bare velger matematikk: \[P(M\cap\overline F)=P(M)-P(M\cap F).\]

Steg 6 — Regn ut

\[P(M\cap\overline F)=0{,}64-0{,}26=0{,}38.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational, simplify
P_M = Rational(64,100)
P_F = Rational(32,100)
P_outside = Rational(30,100)
P_union = 1-P_outside
P_intersection = simplify(P_M+P_F-P_union)
P_M_and_notF = simplify(P_M-P_intersection)
print("P(M) =", P_M, "=", float(P_M))
print("P(F) =", P_F, "=", float(P_F))
print("P(complement of M union F) =", P_outside)
print("P(M union F) = 1-0.30 =", P_union)
print("Addisjonssetningen: P(M∩F)=P(M)+P(F)-P(M∪F)")
print("P(M∩F) =", P_intersection, "=", float(P_intersection))
print("P(M∩not F)=P(M)-P(M∩F)")
print("P(M∩not F) =", P_M_and_notF, "=", float(P_M_and_notF))

Utskrift fra Python:
P(M) = 16/25 = 0.64
P(F) = 8/25 = 0.32
P(complement of M union F) = 3/10
P(M union F) = 1-0.30 = 7/10
Addisjonssetningen: P(M∩F)=P(M)+P(F)-P(M∪F)
P(M∩F) = 13/50 = 0.26
P(M∩not F)=P(M)-P(M∩F)
P(M∩not F) = 19/50 = 0.38

Fasit: \(P(M\cap F)=0{,}26\) og \(P(M\cap\overline F)=0{,}38\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne den betingede sannsynligheten og sammenligne den med P(F), eller kontrollere produktkriteriet.

Steg 1 — Skriv definisjonen

\[P(F\mid M)=\frac{P(F\cap M)}{P(M)}.\]

Steg 2 — Sett inn tallene

\[P(F\mid M)=\frac{0{,}26}{0{,}64}.\]

Steg 3 — Forkort brøken

\[\frac{26}{64}=\frac{13}{32}=0{,}40625.\]

Steg 4 — Bruk uavhengighetskriteriet

Hvis M og F var uavhengige, skulle \(P(F\mid M)=P(F)\).

Steg 5 — Sammenlign

\[0{,}40625\ne0{,}32.\] Derfor er kriteriet ikke oppfylt.

Steg 6 — Kontroller med produktregelen

\(P(M)P(F)=0{,}2048\ne0{,}26=P(M\cap F)\). Også dette viser avhengighet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational, simplify
P_M = Rational(64,100)
P_F = Rational(32,100)
P_begge = Rational(26,100)
P_F_given_M = simplify(P_begge/P_M)
produkt = simplify(P_M*P_F)
print("P(M∩F) =", P_begge)
print("P(M) =", P_M)
print("P(F|M) = P(M∩F)/P(M)")
print("Eksakt P(F|M) =", P_F_given_M)
print("Desimal P(F|M) =", float(P_F_given_M))
print("P(F) =", P_F, "=", float(P_F))
print("Sammenligning: P(F|M) != P(F)")
print("Alternativ kontroll P(M)P(F) =", produkt, "=", float(produkt))
print("P(M∩F) =", P_begge, "=", float(P_begge))
print("Konklusjon: M og F er ikke uavhengige")

Utskrift fra Python:
P(M∩F) = 13/50
P(M) = 16/25
P(F|M) = P(M∩F)/P(M)
Eksakt P(F|M) = 13/32
Desimal P(F|M) = 0.40625
P(F) = 8/25 = 0.32
Sammenligning: P(F|M) != P(F)
Alternativ kontroll P(M)P(F) = 128/625 = 0.2048
P(M∩F) = 13/50 = 0.26
Konklusjon: M og F er ikke uavhengige

Fasit: \(P(F\mid M)=13/32=0{,}40625\). Hendelsene M og F er ikke uavhengige.

Hva spør oppgaven om? Vi skal snu betingelsen fra P(F|M) til P(M|F) ved hjelp av Bayes’ setning.

Steg 1 — Skriv Bayes’ setning

\[P(M\mid F)=\frac{P(F\mid M)P(M)}{P(F)}.\]

Steg 2 — Bruk resultatet fra b

\[P(F\mid M)=\frac{13}{32}.\]

Steg 3 — Sett inn alle sannsynlighetene

\[P(M\mid F)=\frac{\frac{13}{32}\cdot0{,}64}{0{,}32}.\]

Steg 4 — Forenkle telleren

\(\frac{13}{32}\cdot0{,}64=0{,}26\), som er \(P(M\cap F)\).

Steg 5 — Divider med P(F)

\[P(M\mid F)=\frac{0{,}26}{0{,}32}=\frac{26}{32}.\]

Steg 6 — Forkort og tolk

\[P(M\mid F)=\frac{13}{16}=0{,}8125.\] Blant fysikkelevene velger 81,25 % også matematikk.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational, simplify
P_M = Rational(64,100)
P_F = Rational(32,100)
P_begge = Rational(26,100)
P_F_given_M = simplify(P_begge/P_M)
P_M_given_F = simplify(P_F_given_M*P_M/P_F)
print("Bayes' setning:")
print("P(M|F) = P(F|M)*P(M)/P(F)")
print("P(F|M) =", P_F_given_M)
print("P(M) =", P_M)
print("P(F) =", P_F)
print("P(M|F) =", P_M_given_F)
print("Desimal =", float(P_M_given_F))
print("Direkte kontroll P(M∩F)/P(F) =", simplify(P_begge/P_F))

Utskrift fra Python:
Bayes' setning:
P(M|F) = P(F|M)*P(M)/P(F)
P(F|M) = 13/32
P(M) = 16/25
P(F) = 8/25
P(M|F) = 13/16
Desimal = 0.8125
Direkte kontroll P(M∩F)/P(F) = 13/16

Fasit: \(P(M\mid F)=13/16=0{,}8125\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vinkelen mellom vektorene AB og AD med skalarprodukt, og arealet med determinant.

Steg 1 — Finn sidevektorene fra A

\[\overrightarrow{AB}=(3-(-3),1-(-3))=(6,4),\] \[\overrightarrow{AD}=(-2-(-3),2-(-3))=(1,5).\]

Steg 2 — Beregn skalarproduktet

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=6\cdot1+4\cdot5=26.\]

Steg 3 — Finn lengdene

\[|AB|=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\qquad |AD|=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}.\]

Steg 4 — Finn cosinus til vinkelen

\[\cos\angle BAD=\frac{26}{2\sqrt{13}\sqrt{26}}=\frac1{\sqrt2}.\]

Steg 5 — Bestem vinkelen

Siden \(\cos45^{\circ}=1/\sqrt2\), er \(\angle BAD=45^{\circ}\).

Steg 6 — Finn arealet med determinant

\[\text{Areal}=\frac12|6\cdot5-4\cdot1|=\frac12\cdot26=13.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, sqrt, acos, pi, simplify
A = Matrix([-3,-3]); B = Matrix([3,1]); D = Matrix([-2,2])
AB = B-A; AD = D-A
dot = AB.dot(AD)
lenAB = sqrt(AB.dot(AB)); lenAD = sqrt(AD.dot(AD))
cosv = simplify(dot/(lenAB*lenAD))
angle = simplify(acos(cosv)*180/pi)
det = AB[0]*AD[1]-AB[1]*AD[0]
area = abs(det)/2
print("A =", list(A), "B =", list(B), "D =", list(D))
print("AB =", list(AB))
print("AD =", list(AD))
print("AB·AD =", dot)
print("|AB| =", lenAB, "og |AD| =", lenAD)
print("cos(BAD) =", cosv)
print("Vinkel BAD =", angle, "grader")
print("Determinant =", det)
print("Areal trekant ABD =", area)

Utskrift fra Python:
A = [-3, -3] B = [3, 1] D = [-2, 2]
AB = [6, 4]
AD = [1, 5]
AB·AD = 26
|AB| = 2*sqrt(13) og |AD| = sqrt(26)
cos(BAD) = sqrt(2)/2
Vinkel BAD = 45 grader
Determinant = 26
Areal trekant ABD = 13

Fasit: \(\angle BAD=45^{\circ}\), og arealet av \(\triangle ABD\) er 13 kvadratenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal parameterisere C langs en linje gjennom D parallell med AB og bruke ortogonalitetsvilkåret ved B.

Steg 1 — Finn retningsvektoren AB

\[\overrightarrow{AB}=(6,4).\]

Steg 2 — Bruk parallelliteten

Siden \(DC\parallel AB\), kan vi skrive \[C=D+\lambda(6,4)=(-2+6\lambda,2+4\lambda).\]

Steg 3 — Finn vektoren BC

\[\overrightarrow{BC}=C-B=(-5+6\lambda,1+4\lambda).\]

Steg 4 — Bruk rett vinkel ved B

\(BC\perp AB\), så \[(-5+6\lambda,1+4\lambda)\cdot(6,4)=0.\]

Steg 5 — Løs likningen

\[-30+36\lambda+4+16\lambda=0\Rightarrow52\lambda=26\Rightarrow\lambda=\frac12.\]

Steg 6 — Finn C og kontroller

\[C=(-2,2)+\frac12(6,4)=(1,4).\] Da er \(DC=(3,2)\parallel(6,4)\), og \(BC=(-2,3)\) har skalarprodukt 0 med AB.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, Matrix
lam = symbols('lam', real=True)
A = Matrix([-3,-3]); B = Matrix([3,1]); D = Matrix([-2,2])
AB = B-A
C = D + lam*AB
BC = C-B
likning = BC.dot(AB)
lam_verdi = solve(likning,lam)[0]
C_verdi = C.subs(lam,lam_verdi)
print("AB =", list(AB))
print("DC skal være parallell med AB")
print("Sett C = D + lambda*AB =", list(C))
print("BC =", list(BC))
print("Vilkår vinkel ABC=90 grader: BC·AB=0")
print("Skalarprodukt =", likning)
print("lambda =", lam_verdi)
print("C =", list(C_verdi))
print("Kontroll DC =", list(C_verdi-D))
print("Kontroll BC·AB =", (C_verdi-B).dot(AB))

Utskrift fra Python:
AB = [6, 4]
DC skal være parallell med AB
Sett C = D + lambda*AB = [6*lam - 2, 4*lam + 2]
BC = [6*lam - 5, 4*lam + 1]
Vilkår vinkel ABC=90 grader: BC·AB=0
Skalarprodukt = 52*lam - 26
lambda = 1/2
C = [1, 4]
Kontroll DC = [3, 2]
Kontroll BC·AB = 0

Fasit: \(C=(1,4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette koordinatene til E lik koordinatene til et generelt punkt på linjen og løse de to likningene.

Steg 1 — Sammenlign x-koordinatene

Hvis E ligger på l, må \[s=-2+3t.\]

Steg 2 — Sammenlign y-koordinatene

Samtidig må \[2s-2=2+2t.\]

Steg 3 — Uttrykk t fra første likning

\[t=\frac{s+2}{3}.\]

Steg 4 — Uttrykk t fra andre likning

\[2t=2s-4\Rightarrow t=s-2.\]

Steg 5 — Sett uttrykkene lik

\[\frac{s+2}{3}=s-2\Rightarrow s+2=3s-6.\]

Steg 6 — Løs og kontroller

\[2s=8\Rightarrow s=4.\] Da er E=(4,6), som svarer til t=2 på linjen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve
s, t = symbols('s t', real=True)
# E=(s,2s-2) og l=(-2+3t,2+2t)
likninger = [s-(-2+3*t), (2*s-2)-(2+2*t)]
losning = solve(likninger,[s,t], dict=True)[0]
print("E = (s, 2s-2)")
print("Punkt på l = (-2+3t, 2+2t)")
print("Koordinatlikninger:")
print("s = -2+3t")
print("2s-2 = 2+2t")
print("Løsning =", losning)
print("s =", losning[s])
print("t =", losning[t])
print("E =", (losning[s], 2*losning[s]-2))

Utskrift fra Python:
E = (s, 2s-2)
Punkt på l = (-2+3t, 2+2t)
Koordinatlikninger:
s = -2+3t
2s-2 = 2+2t
Løsning = {s: 4, t: 2}
s = 4
t = 2
E = (4, 6)

Fasit: \(s=4\), og da er \(E=(4,6)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette de kvadrerte avstandene fra E til A og B lik hverandre og løse for s.

Steg 1 — Skriv E med parameteren s

\[E=(s,2s-2).\]

Steg 2 — Finn kvadrert avstand til A

\[AE^2=(s+3)^2+(2s+1)^2=5s^2+10s+10.\]

Steg 3 — Finn kvadrert avstand til B

\[BE^2=(s-3)^2+(2s-3)^2=5s^2-18s+18.\]

Steg 4 — Sett avstandskvadratene lik

\[5s^2+10s+10=5s^2-18s+18.\]

Steg 5 — Løs den lineære likningen

Andregradsleddene kansellerer: \[28s=8\Rightarrow s=\frac27.\]

Steg 6 — Finn E og kontroller

\[E=\left(\frac27,2\cdot\frac27-2\right)=\left(\frac27,-\frac{10}{7}\right).\] Begge avstandskvadratene blir \(650/49\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, solve, simplify
s = symbols('s', real=True)
A = (-3,-3); B=(3,1); E=(s,2*s-2)
AE2 = expand((E[0]-A[0])**2 + (E[1]-A[1])**2)
BE2 = expand((E[0]-B[0])**2 + (E[1]-B[1])**2)
losning = solve(AE2-BE2,s)
print("E = (s, 2s-2)")
print("AE^2 = (s+3)^2 + (2s+1)^2 =", AE2)
print("BE^2 = (s-3)^2 + (2s-3)^2 =", BE2)
print("Siden lengdene er ikke-negative, kan vi sette kvadratene lik")
print("Likning AE^2=BE^2 gir", expand(AE2-BE2), "= 0")
print("s-løsning =", losning)
sval = losning[0]
Eval = (sval, 2*sval-2)
print("E =", Eval)
print("Kontroll AE^2 =", simplify(AE2.subs(s,sval)))
print("Kontroll BE^2 =", simplify(BE2.subs(s,sval)))

Utskrift fra Python:
E = (s, 2s-2)
AE^2 = (s+3)^2 + (2s+1)^2 = 5*s**2 + 10*s + 10
BE^2 = (s-3)^2 + (2s-3)^2 = 5*s**2 - 18*s + 18
Siden lengdene er ikke-negative, kan vi sette kvadratene lik
Likning AE^2=BE^2 gir 28*s - 8 = 0
s-løsning = [2/7]
E = (2/7, -10/7)
Kontroll AE^2 = 650/49
Kontroll BE^2 = 650/49

Fasit: \(E=\left(\dfrac27,-\dfrac{10}{7}\right)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal ta 10-logaritmen av begge sider, bruke logaritmereglene og faktorisere likningen i logaritmene.

Steg 1 — Kontroller at logaritmer kan brukes

Både \(x\) og \(n\) er positive, så alle uttrykk og logaritmer er definerte.

Steg 2 — Ta lg på begge sider

\[\lg(n^2)+(\lg x-2)\lg\left(\frac xn\right)=\lg(x^2).\]

Steg 3 — Bruk logaritmereglene

\[2\lg n+(\lg x-2)(\lg x-\lg n)=2\lg x.\]

Steg 4 — Samle og faktoriser

Når uttrykket utvides og samles, får vi \[(\lg x-4)(\lg x-\lg n)=0.\]

Steg 5 — Løs første faktor

\[\lg x-4=0\Rightarrow\lg x=4\Rightarrow x=10^4=10000.\]

Steg 6 — Løs andre faktor

\[\lg x-\lg n=0\Rightarrow\lg x=\lg n\Rightarrow x=n.\]

Steg 7 — Vurder sammenfallende løsninger

Løsningene er \(x=10000\) og \(x=n\). Når \(n=10000\), er dette samme løsning og skal bare oppgis én gang.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from sympy import symbols, log, factor, solve, simplify
x, n = symbols('x n', positive=True)
# Tar 10-logaritmen av begge sider
# 2 lg n + (lg x - 2)(lg x - lg n) = 2 lg x
Lx = symbols('Lx', real=True)
Ln = symbols('Ln', real=True)
loglikning = 2*Ln + (Lx-2)*(Lx-Ln) - 2*Lx
faktorisert = factor(loglikning)
print("Forutsetninger: x>0 og n>0")
print("Tar lg på begge sider")
print("2 lg n + (lg x-2)(lg x-lg n) = 2 lg x")
print("Flytter alt til venstre og faktoriserer:")
print(faktorisert)
print("Dette tilsvarer (lg x-4)(lg x-lg n)=0")
print("Tilfelle 1: lg x=4 -> x=10^4=10000")
print("Tilfelle 2: lg x=lg n -> x=n")
print("Hvis n=10000, sammenfaller de to løsningene")
# numerisk kontroll for noen n
for nv in [2,10000,25]:
    for xv in sorted(set([nv,10000])):
        lhs = nv**2*(xv/nv)**(math.log10(xv)-2)
        rhs = xv**2
        print(f"Kontroll n={nv}, x={xv}: LHS={lhs:.12g}, RHS={rhs:.12g}, differanse={lhs-rhs:.3g}")

Utskrift fra Python:
Forutsetninger: x>0 og n>0
Tar lg på begge sider
2 lg n + (lg x-2)(lg x-lg n) = 2 lg x
Flytter alt til venstre og faktoriserer:
-(Ln - Lx)*(Lx - 4)
Dette tilsvarer (lg x-4)(lg x-lg n)=0
Tilfelle 1: lg x=4 -> x=10^4=10000
Tilfelle 2: lg x=lg n -> x=n
Hvis n=10000, sammenfaller de to løsningene
Kontroll n=2, x=2: LHS=4, RHS=4, differanse=0
Kontroll n=2, x=10000: LHS=100000000, RHS=100000000, differanse=0
Kontroll n=10000, x=10000: LHS=100000000, RHS=100000000, differanse=0
Kontroll n=25, x=25: LHS=625, RHS=625, differanse=0
Kontroll n=25, x=10000: LHS=100000000, RHS=100000000, differanse=0

Fasit: \(x=n\) eller \(x=10^4=10000\). Hvis \(n=10000\), sammenfaller løsningene.