Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive roten som en potens og bruke kjerneregelen.
Steg 1 — Skriv roten som potens
\(g(x)=(x^2-1)^{1/2}\).
Steg 2 — Finn ytre derivert
Den ytre funksjonen \(u^{1/2}\) har derivert \(\frac12u^{-1/2}\).
Steg 3 — Finn indre derivert
Den indre funksjonen er \(u=x^2-1\), og \(u^{\prime}=2x\).
Steg 4 — Bruk kjerneregelen
\(g^{\prime}(x)=\frac12(x^2-1)^{-1/2}\cdot2x\).
Steg 5 — Forenkle
Faktorene \(2\) forkortes, så \(g^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\).
Steg 6 — Oppgi gyldig område
Den deriverte finnes for \(x<-1\) eller \(x>1\); i endepunktene blir nevneren null.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Derivative[sqrt(x^2-1),x]
\(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\)
2
Domain[x/sqrt(x^2-1)]
\(x<-1\) eller \(x>1\)
Tolkning: CAS bekrefter både uttrykket og domenet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
g = sqrt(x**2-1)
gp = diff(g,x)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", gp)
print("Forenklet =", simplify(gp))
print("Funksjonen er definert når x <= -1 eller x >= 1.")
print("Den deriverte er definert når x < -1 eller x > 1.")
Utskrift fra Python:
g(x) = sqrt(x**2 - 1)
g'(x) = x/sqrt(x**2 - 1)
Forenklet = x/sqrt(x**2 - 1)
Funksjonen er definert når x <= -1 eller x >= 1.
Den deriverte er definert når x < -1 eller x > 1.
Fasit: \(g^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\), for \(|x|>1\).
Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 2x eller å oppgi at den deriverte finnes i x=±1.
Sensorpunkt: Sensor ser etter kjerneregelen og en korrekt forenkling av rotuttrykket.
Del 1 · Oppgave 1a3Derivasjon · produkt og kjerneregel
Vanlig feil: Å stoppe ved (x-4)(x²-4), selv om oppgaven ber om førstegradsfaktorer.
Sensorpunkt: Sensor ser etter full faktorisering til tre lineære faktorer.
Del 1 · Oppgave 1b3Ulikheter · fortegnsskjema
Oppgave 1b3
Oppgave: Løs ulikheten
\[P(x)\le 0.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den faktoriserte formen og bestemme fortegnet mellom nullpunktene.
Steg 1 — Bruk faktorformen
\(P(x)=(x+2)(x-2)(x-4)\).
Steg 2 — Marker nullpunktene
Fortegnet kan bare skifte ved \(x=-2\), \(x=2\) og \(x=4\).
Steg 3 — Undersøk første intervall
For \(x<-2\) er alle tre faktorer negative, så produktet er negativt.
Steg 4 — Fortsett gjennom intervallene
Fortegnene blir henholdsvis \(-,+,-,+\) på de fire intervallene.
Steg 5 — Velg intervallene med ikke-positivt fortegn
Vi tar med området der produktet er negativt, samt nullpunktene.
Steg 6 — Skriv løsningen
Dermed er \(x\le-2\) eller \(2\le x\le4\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Solve[(x+2)(x-2)(x-4)<=0,x]
\(x\le-2\) eller \(2\le x\le4\)
Tolkning: CAS bekrefter intervallene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x=symbols('x', real=True)
P=(x+2)*(x-2)*(x-4)
sol=solve_univariate_inequality(P<=0,x)
print("Faktorisert P(x) =", P)
print("Kritiske punkter: -2, 2 og 4")
print("Fortegn: - | + | - | +")
print("Løsning av P(x) <= 0:", sol)
print("Endepunktene tas med fordi ulikheten er ikke-streng.")
Utskrift fra Python:
Faktorisert P(x) = (x - 4)*(x - 2)*(x + 2)
Kritiske punkter: -2, 2 og 4
Fortegn: - | + | - | +
Løsning av P(x) <= 0: (x <= -2) | ((2 <= x) & (x <= 4))
Endepunktene tas med fordi ulikheten er ikke-streng.
Fasit: \(x\in(-\infty,-2]\cup[2,4]\).
Vanlig feil: Å glemme at nullpunktene skal tas med når tegnet er ≤, eller å bytte fortegn feil.
Sensorpunkt: Sensor ser etter et begrunnet fortegnsskjema og korrekt intervallnotasjon.
Del 1 · Oppgave 1cEksponentiallikninger · logaritmer
Oppgave 1c
Oppgave: Lag en formel for \(x\) når
\[y=a-b^x.\]
Forklar hvorfor \(y<a\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere eksponentialleddet og bruke logaritmer for å få x ned fra eksponenten.
Steg 1 — Flytt eksponentialleddet
Fra \(y=a-b^x\) får vi \(b^x=a-y\).
Steg 2 — Kontroller positivitet
Siden \(b^x>0\) for \(b>0\), må \(a-y>0\).
Steg 3 — Ta logaritmen på begge sider
\(\ln(b^x)=\ln(a-y)\).
Steg 4 — Bruk potensregelen
\(x\ln b=\ln(a-y)\).
Steg 5 — Del på ln b
Når \(b\ne1\), er \(\ln b\ne0\), og \(x=\frac{\ln(a-y)}{\ln b}\).
Steg 6 — Forklar ulikheten
Fordi \(b^x\) alltid er positivt, trekker vi et positivt tall fra a. Derfor er \(y=a-b^x<a\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Solve[y=a-b^x,x]
\(x=\frac{\ln(a-y)}{\ln b}\)
Tolkning: CAS gir samme formel under de nødvendige betingelsene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, log, solve, simplify
x,a,b,y=symbols('x a b y', positive=True)
formel=log(a-y)/log(b)
print("Utgangspunkt: y = a - b^x")
print("Flytter ledd: b^x = a - y")
print("Tar logaritmen: x*log(b) = log(a-y)")
print("Løser for x:", formel)
print("Kontroll b^x =", simplify(b**formel))
print("Krav: b > 0, b != 1 og a-y > 0.")
Utskrift fra Python:
Utgangspunkt: y = a - b^x
Flytter ledd: b^x = a - y
Tar logaritmen: x*log(b) = log(a-y)
Løser for x: log(a - y)/log(b)
Kontroll b^x = a - y
Krav: b > 0, b != 1 og a-y > 0.
Fasit: \(x=\dfrac{\ln(a-y)}{\ln b}\), med \(b>0\), \(b\ne1\) og \(y<a\).
Vanlig feil: Å skrive ln(a)-ln(y) i stedet for ln(a-y), eller å glemme kravet b≠1.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt isolering, logaritmeregel og begrunnelse for y<a.
Del 1 · Oppgave 1d1Vektorer · koordinater
Oppgave 1d1
Oppgave: Vi har gitt punktene \(A(1,0)\), \(B(3,4)\) og \(C(2,t)\).
Bestem vektorene \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet.
Steg 1 — Skriv regelen
\(\overrightarrow{PQ}=Q-P\).
Steg 2 — Finn AB sin x-komponent
\(3-1=2\).
Steg 3 — Finn AB sin y-komponent
\(4-0=4\).
Steg 4 — Finn AC sin x-komponent
\(2-1=1\).
Steg 5 — Finn AC sin y-komponent
\(t-0=t\).
Steg 6 — Skriv vektorene
\(\overrightarrow{AB}=(2,4)\) og \(\overrightarrow{AC}=(1,t)\).
Utskrift fra Python:
A = Matrix([[1, 0]])
B = Matrix([[3, 4]])
AB = B-A = Matrix([[2, 4]])
For C=(2,t) blir AC=(2-1,t-0)=(1,t).
Komponentvis kontroll: AB=(2,4).
Vanlig feil: Å trekke i motsatt rekkefølge og få BA eller CA.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt sluttpunkt minus startpunkt for begge komponenter.
Del 1 · Oppgave 1d2Vektorer · ortogonalitet
Oppgave 1d2
Oppgave: Bestem \(t\) slik at \(\angle A=90^{\circ}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kreve at vektorene AB og AC står vinkelrett på hverandre, altså at skalarproduktet er null.
Steg 1 — Bruk vektorene
\(\overrightarrow{AB}=(2,4)\) og \(\overrightarrow{AC}=(1,t)\).
Steg 2 — Skriv ortogonalitetskravet
Når vinkelen mellom vektorene er \(90^{\circ}\), er skalarproduktet 0.
Steg 3 — Regn skalarproduktet
\((2,4)\cdot(1,t)=2\cdot1+4t=2+4t\).
Steg 4 — Sett lik null
\(2+4t=0\).
Steg 5 — Løs likningen
\(4t=-2\), derfor \(t=-\frac12\).
Steg 6 — Kontroller
Ved \(t=-\frac12\) blir skalarproduktet \(2+4(-\frac12)=0\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Solve[(2,4)·(1,t)=0,t]
\(t=-\frac12\)
Tolkning: CAS bekrefter ortogonalitetskravet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, solve
t=symbols('t')
dot=2*1+4*t
print("AB = (2,4)")
print("AC = (1,t)")
print("Skalarprodukt AB·AC =", dot)
print("Vinkel A er 90 grader når skalarproduktet er 0.")
print("Løsning av 2+4t=0:", solve(dot,t))
print("Kontroll ved t=-1/2:", dot.subs(t,-1/2))
Utskrift fra Python:
AB = (2,4)
AC = (1,t)
Skalarprodukt AB·AC = 4*t + 2
Vinkel A er 90 grader når skalarproduktet er 0.
Løsning av 2+4t=0: [-1/2]
Kontroll ved t=-1/2: 0
Fasit: \(t=-\dfrac12\).
Vanlig feil: Å bruke determinant i stedet for skalarprodukt, eller å få feil fortegn når 2 flyttes.
Sensorpunkt: Sensor ser etter skalarprodukt lik null og en eksplisitt kontroll.
Del 1 · Oppgave 1d3Analytisk geometri · sirkel
Oppgave 1d3
Oppgave: En sirkel har \(AB\) som diameter. Bestem likningen til sirkelen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne midtpunktet av diameteren som sentrum og halvparten av AB som radius.
Steg 1 — Finn sentrum
Midtpunktet av A(1,0) og B(3,4) er \(M(2,2)\).
Steg 2 — Finn radiusvektoren
Fra M til A er vektoren \((-1,-2)\).
Steg 3 — Finn radius i andre
\(r^2=(-1)^2+(-2)^2=1+4=5\).
Steg 4 — Bruk sirkellikningen
En sirkel med sentrum \((a,b)\) har \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Steg 5 — Sett inn
\((x-2)^2+(y-2)^2=5\).
Steg 6 — Kontroller endepunktene
Både A og B gir venstreside 5, så begge ligger på sirkelen.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Midpoint[A,B]
\((2,2)\)
2
Circle[(2,2),sqrt(5)]
\((x-2)^2+(y-2)^2=5\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter sentrum og radius.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Point, Circle, symbols, expand
x,y=symbols('x y')
A=Point(1,0);B=Point(3,4)
M=Point((A.x+B.x)/2,(A.y+B.y)/2)
r2=M.distance(A)**2
expr=expand((x-M.x)**2+(y-M.y)**2-r2)
print("Midtpunkt M =", M)
print("Radius^2 =", r2)
print("Sirkel på standardform: (x-2)^2+(y-2)^2=5")
print("Utvidet venstreside =", expr)
print("A ligger på sirkelen:", expr.subs({x:1,y:0}))
print("B ligger på sirkelen:", expr.subs({x:3,y:4}))
Utskrift fra Python:
Midtpunkt M = Point2D(2, 2)
Radius^2 = 5
Sirkel på standardform: (x-2)^2+(y-2)^2=5
Utvidet venstreside = x**2 - 4*x + y**2 - 4*y + 3
A ligger på sirkelen: 0
B ligger på sirkelen: 0
Fasit: \((x-2)^2+(y-2)^2=5\).
Vanlig feil: Å bruke AB som radius i stedet for diameter, eller å regne midtpunktet feil.
Sensorpunkt: Sensor ser etter sentrum som midtpunkt og korrekt radiuskvadrat.
Del 1 · Oppgave 1e1Funksjonsdrøfting · monotoni
Oppgave 1e1
Oppgave: Fortegnslinjene til \(f^{\prime}(x)\) og \(f^{\prime\prime}(x)\) er gitt.
Bestem hvor grafen til \(f\) stiger og synker.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lese fortegnet til den førstederiverte: positiv derivert betyr stigende graf, negativ derivert betyr synkende graf.
Steg 1 — Les intervallet før -1
Fortegnslinjen viser \(f^{\prime}(x)<0\) når \(x<-1\). Grafen synker der.
Steg 2 — Les intervallet mellom -1 og 3
Her er \(f^{\prime}(x)>0\), så grafen stiger.
Steg 3 — Les intervallet etter 3
Her er \(f^{\prime}(x)<0\), så grafen synker.
Steg 4 — Skriv stigende intervall
Grafen stiger for \(-1<x<3\).
Steg 5 — Skriv synkende intervaller
Grafen synker for \(x<-1\) og \(x>3\).
Steg 6 — Vurder endepunktene
Ved \(x=-1\) og \(x=3\) er den deriverte null; disse punktene skiller monotoniintervallene.
Fortegnslinjene bestemmer monotoni, ekstremalpunkter og krumning.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Solve[-(x+1)(x-3)>0,x]
\(-1<x<3\)
2
Solve[-(x+1)(x-3)<0,x]
\(x<-1\) eller \(x>3\)
Tolkning: En modell med samme fortegn bekrefter intervallene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality
x=symbols('x', real=True)
fp=-(x+1)*(x-3)
print("En mulig derivert er f'(x) =", expand(fp) if False else fp)
print("Nullpunkter for f' er -1 og 3.")
print("f'<0 for x<-1 og x>3.")
print("f'>0 for -1<x<3.")
print("Stiger:", solve_univariate_inequality(fp>0,x))
print("Synker:", solve_univariate_inequality(fp<0,x))
Utskrift fra Python:
En mulig derivert er f'(x) = (-x - 1)*(x - 3)
Nullpunkter for f' er -1 og 3.
f'<0 for x<-1 og x>3.
f'>0 for -1<x<3.
Stiger: (-1 < x) & (x < 3)
Synker: (3 < x) | (x < -1)
Fasit: Stiger på \((-1,3)\); synker på \((-\infty,-1)\) og \((3,\infty)\).
Vanlig feil: Å lese fortegnslinjen til f″ når oppgaven spør om stigning og synkning.
Sensorpunkt: Sensor ser etter koblingen f′>0/stiger og f′<0/synker.
Del 1 · Oppgave 1e2Funksjonsdrøfting · karakteristiske punkter
Oppgave 1e2
Oppgave: Bestem x-verdiene til eventuelle bunn-, topp- og vendepunkter på grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke fortegnsskiftene til første- og andrederiverte for å klassifisere punktene.
Steg 1 — Undersøk x=-1
Ved \(x=-1\) skifter \(f^{\prime}\) fra negativ til positiv.
Steg 2 — Klassifiser x=-1
Grafen går fra å synke til å stige, så det er et bunnpunkt.
Steg 3 — Undersøk x=3
Ved \(x=3\) skifter \(f^{\prime}\) fra positiv til negativ.
Steg 4 — Klassifiser x=3
Grafen går fra å stige til å synke, så det er et toppunkt.
Steg 5 — Undersøk andrederiverte
Ved \(x=1\) skifter \(f^{\prime\prime}\) fra positiv til negativ.
Steg 6 — Klassifiser vendepunktet
Krumningen skifter ved \(x=1\), derfor har grafen et vendepunkt der.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Extremum[-x^3/3+x^2+3x]
\(x=-1\) og \(x=3\)
2
InflectionPoint[-x^3/3+x^2+3x]
\(x=1\)
Tolkning: Eksempelfunksjonen har nøyaktig de oppgitte fortegnsskiftene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=-x**3/3+x**2+3*x
fp=diff(f,x);fpp=diff(fp,x)
print("Eksempelfunksjon f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
print("Ved x=-1 skifter f' fra minus til pluss: bunnpunkt.")
print("Ved x=3 skifter f' fra pluss til minus: toppunkt.")
print("Ved x=1 skifter f'' fra pluss til minus: vendepunkt.")
Utskrift fra Python:
Eksempelfunksjon f(x) = -x**3/3 + x**2 + 3*x
f'(x) = -x**2 + 2*x + 3
f''(x) = 2 - 2*x
Ved x=-1 skifter f' fra minus til pluss: bunnpunkt.
Ved x=3 skifter f' fra pluss til minus: toppunkt.
Ved x=1 skifter f'' fra pluss til minus: vendepunkt.
Fasit: Bunnpunkt ved \(x=-1\), toppunkt ved \(x=3\), vendepunkt ved \(x=1\).
Vanlig feil: Å kalle alle nullpunkter til f′ for ekstremalpunkter uten å kontrollere fortegnsskift.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt fortegnsskift og riktig klassifisering.
Del 1 · Oppgave 1e3Funksjonsdrøfting · skisse
Oppgave 1e3
Oppgave: Tegn en skisse av hvordan grafen til \(f\) kan se ut.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere monotoni og krumning til en konsistent skisse. Den vertikale plasseringen er ikke bestemt.
Steg 1 — Start til venstre
Grafen skal synke og være konveks for \(x<-1\).
Steg 2 — Tegn bunnpunktet
Ved \(x=-1\) går grafen fra synkende til stigende.
Steg 3 — Følg krumningen fram til x=1
Mellom -1 og 1 stiger grafen og er konveks.
Steg 4 — Tegn vendepunktet
Ved \(x=1\) skifter grafen fra konveks til konkav.
Steg 5 — Tegn toppunktet
Grafen fortsetter å stige til \(x=3\), der den får et toppunkt.
Steg 6 — Avslutt til høyre
For \(x>3\) synker grafen og er fortsatt konkav. En mulig modell er \(f(x)=-x^3/3+x^2+3x\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
f(x):=-x^3/3+x^2+3x
modell valgt
2
Factor[f'(x)]
\(-(x+1)(x-3)\)
3
f''(x)
\(-2x+2\)
Tolkning: Den valgte funksjonen har identiske fortegnslinjer.
Utskrift fra Python:
Valgt eksempel f(x) = -x**3/3 + x**2 + 3*x
f'(x) = -(x - 3)*(x + 1)
f''(x) = 2*(1 - x)
f(-1) = -5/3
f(1) = 11/3
f(3) = 9
Grafen oppfyller alle fortegnslinjene.
Fasit: En skisse med bunn ved x=-1, vending ved x=1 og topp ved x=3, som vist i figuren.
Vanlig feil: Å tegne riktig ekstremalpunkter, men feil krumning på en eller flere intervaller.
Sensorpunkt: Sensor vurderer om alle fortegn fra både f′ og f″ er representert i skissen.
Del 1 · Oppgave 1fDerivasjon · definisjonen
Oppgave 1f
Oppgave: Funksjonen er gitt som \(f(x)=x^2+1\).
Bruk at
\[f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]
til å vise at \(f^{\prime}(x)=2x\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette funksjonen inn i definisjonen, utvide kvadratet, forkorte og ta grenseverdien.
Steg 1 — Finn f(x+Δx)
\(f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^2+1\).
Steg 2 — Sett inn i telleren
Telleren blir \((x+\Delta x)^2+1-(x^2+1)\).
Steg 3 — Utvid kvadratet
\((x+\Delta x)^2=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2\).
Steg 4 — Forenkle telleren
\(x^2\) og konstantene kansellerer, slik at telleren er \(2x\Delta x+(\Delta x)^2\).
Steg 5 — Forkort differansekvotienten
For \(\Delta x\ne0\) får vi \(\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x+\Delta x\).
Steg 6 — Ta grensen
Når \(\Delta x\to0\), går uttrykket mot \(2x\). Dermed er \(f^{\prime}(x)=2x\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Limit[((x+h)^2+1-(x^2+1))/h,h,0]
\(2x\)
Tolkning: CAS bekrefter grenseverdien.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, expand, simplify, limit
a,dx=symbols('x dx')
f=lambda z:z**2+1
teller=expand(f(a+dx)-f(a))
kvotient=simplify(teller/dx)
print("f(x+dx)-f(x) =", teller)
print("Differansekvotienten =", kvotient)
print("Etter forkorting = 2*x + dx")
print("Grense når dx går mot 0 =", limit(kvotient,dx,0))
print("Dermed er f'(x)=2*x.")
Utskrift fra Python:
f(x+dx)-f(x) = dx**2 + 2*dx*x
Differansekvotienten = dx + 2*x
Etter forkorting = 2*x + dx
Grense når dx går mot 0 = 2*x
Dermed er f'(x)=2*x.
Fasit: \(f^{\prime}(x)=2x\).
Vanlig feil: Å sette Δx=0 før brøken er forkortet; da får man 0/0.
Sensorpunkt: Sensor ser etter full utvidelse og at grenseverdien tas først etter forkorting.
Del 1 · Oppgave 1g1Sirkelgeometri · periferivinkel
Oppgave 1g1
Oppgave: En sirkel har sentrum i \(O\). \(AB\) skjærer av en bue på \(60^{\circ}\), mens \(DE\) skjærer av en bue på \(20^{\circ}\).
Bestem \(\angle ADB\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke periferivinkelsetningen på buen AB.
Steg 1 — Identifiser buen
Vinkelen \(\angle ADB\) har endepunktene A og B og spenner over buen AB.
Steg 2 — Bruk oppgitt buemål
Buen AB er \(60^{\circ}\).
Steg 3 — Bruk periferivinkelsetningen
En periferivinkel er halvparten av sentralvinkelen eller buen den spenner over.
Steg 4 — Regn vinkelen
\(\angle ADB=\frac12\cdot60^{\circ}\).
Steg 5 — Forenkle
\(\angle ADB=30^{\circ}\).
Steg 6 — Kontroller plasseringen
Punktet D ligger på sirkelen og ikke på buen AB som vinkelen spenner over, så setningen kan brukes direkte.
Figuren viser buene og de aktuelle periferivinklene.
from sympy import Rational
arc=60
angle=Rational(1,2)*arc
print("Buen AB måler", arc, "grader.")
print("En periferivinkel er halvparten av buen den spenner over.")
print("Vinkel ADB = 60/2 =", angle, "grader.")
print("Kontroll: 2*ADB =", 2*angle, "grader.")
Utskrift fra Python:
Buen AB måler 60 grader.
En periferivinkel er halvparten av buen den spenner over.
Vinkel ADB = 60/2 = 30 grader.
Kontroll: 2*ADB = 60 grader.
Fasit: \(\angle ADB=30^{\circ}\).
Vanlig feil: Å bruke hele buen som vinkel og svare 60 grader.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en eksplisitt henvisning til periferivinkelsetningen.
Del 1 · Oppgave 1g2Sirkelgeometri · periferivinkel
Oppgave 1g2
Oppgave: Bestem \(\angle DBE\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke samme periferivinkelsetning, nå på buen DE.
Steg 1 — Finn vinkelens endepunkter
Vinkelbeina går fra B til D og fra B til E.
Steg 2 — Identifiser buen
Dermed spenner \(\angle DBE\) over buen DE.
Steg 3 — Bruk buemålet
Buen DE måler \(20^{\circ}\).
Steg 4 — Halver
\(\angle DBE=\frac12\cdot20^{\circ}\).
Steg 5 — Regn ut
\(\angle DBE=10^{\circ}\).
Steg 6 — Tolk i figuren
Siden B, E og C ligger på samme sekant, er dette også vinkelen mellom DB og BC i trekanten DBC.
from sympy import Integer
ADB=Integer(30);DBE=Integer(10)
BDC=180-ADB
ACB=180-BDC-DBE
print("ADB =", ADB, "grader")
print("Siden A,D,C er kollineære: BDC = 180-30 =", BDC, "grader")
print("Siden B,E,C er kollineære: DBC = DBE =", DBE, "grader")
print("Vinkelsum i trekant DBC: ACB = 180-150-10 =", ACB, "grader")
print("Dermed er ACB = 20 grader.")
Utskrift fra Python:
ADB = 30 grader
Siden A,D,C er kollineære: BDC = 180-30 = 150 grader
Siden B,E,C er kollineære: DBC = DBE = 10 grader
Vinkelsum i trekant DBC: ACB = 180-150-10 = 20 grader
Dermed er ACB = 20 grader.
Fasit: \(\angle ACB=20^{\circ}\).
Vanlig feil: Å glemme at vinkelen ved D i trekanten DBC er supplementvinkelen til ADB.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en ubrutt beviskjede med kollinearitet og vinkelsum.
Del 2 – med hjelpemidler
Del 2 · Oppgave 2aPolynom · nullpunkter og tangering
Oppgave 2a
Oppgave: Funksjonen er gitt ved
\[f(x)=x^3-4x^2+4x,\qquad x\in[-1,3].\]
Bestem nullpunktene til \(f\) ved regning. Forklar hvordan vi av utregningen kan se at grafen til \(f\) tangerer x-aksen i ett av nullpunktene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere polynomet og tolke multiplisiteten til nullpunktene.
Steg 1 — Trekk ut x
\(f(x)=x(x^2-4x+4)\).
Steg 2 — Faktoriser andregradsuttrykket
\(x^2-4x+4=(x-2)^2\).
Steg 3 — Skriv full faktorform
\(f(x)=x(x-2)^2\).
Steg 4 — Finn nullpunktene
Produktet er null når \(x=0\) eller \(x=2\).
Steg 5 — Tolk dobbeltroten
Faktoren \((x-2)^2\) viser at x=2 er et nullpunkt med multiplisitet 2.
Steg 6 — Forklar tangeringen
En kvadratfaktor skifter ikke fortegn når x passerer 2. Grafen berører derfor x-aksen og vender tilbake: den tangerer aksen i \((2,0)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Factor[x^3-4x^2+4x]
\(x(x-2)^2\)
2
Solve[f(x)=0,x]
\(x=0\) eller \(x=2\)
Tolkning: CAS bekrefter røttene og dobbeltfaktoren.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, factor, solve
x=symbols('x')
f=x**3-4*x**2+4*x
print("f(x) =", f)
print("Faktorisert =", factor(f))
print("Nullpunkter =", solve(f,x))
print("Faktoren (x-2)^2 viser at x=2 er et dobbelt nullpunkt.")
print("Dobbelt nullpunkt betyr ingen fortegnsskifte og tangering av x-aksen.")
Utskrift fra Python:
f(x) = x**3 - 4*x**2 + 4*x
Faktorisert = x*(x - 2)**2
Nullpunkter = [0, 2]
Faktoren (x-2)^2 viser at x=2 er et dobbelt nullpunkt.
Dobbelt nullpunkt betyr ingen fortegnsskifte og tangering av x-aksen.
Fasit: Nullpunktene er \((0,0)\) og \((2,0)\). Grafen tangerer x-aksen ved x=2 fordi dette er et dobbelt nullpunkt.
Vanlig feil: Å finne røttene uten å forklare hvorfor dobbeltroten betyr tangering.
Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorformen x(x-2)² og en klar multiplisitetsforklaring.
Del 2 · Oppgave 2bFunksjonsdrøfting · ekstremalpunkter
Oppgave 2b
Oppgave: Tegn fortegnslinjen til \(f^{\prime}\), og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere, faktorisere den deriverte og lese fortegnsskiftene.
Steg 1 — Deriver funksjonen
\(f^{\prime}(x)=3x^2-8x+4\).
Steg 2 — Faktoriser
\(3x^2-8x+4=(3x-2)(x-2)\).
Steg 3 — Finn kritiske x-verdier
\(f^{\prime}=0\) når \(x=\frac23\) eller \(x=2\).
Steg 4 — Lag fortegnslinjen
Den deriverte har fortegn \(+,-,+\) på intervallene \((-1,\frac23)\), \((\frac23,2)\) og \((2,3)\).
Steg 5 — Klassifiser punktene
Ved \(x=\frac23\) går f′ fra + til -, altså topp. Ved \(x=2\) går f′ fra - til +, altså bunn.
Steg 6 — Finn y-koordinatene
\(f(\frac23)=\frac{32}{27}\) og \(f(2)=0\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Factor[Derivative[f,x]]
\((3x-2)(x-2)\)
2
Extremum[f]
\(\left(\frac23,\frac{32}{27}\right),(2,0)\)
Tolkning: CAS bekrefter de lokale ekstremalpunktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, diff, factor, solve, Rational
x=symbols('x')
f=x**3-4*x**2+4*x
fp=factor(diff(f,x))
krit=solve(fp,x)
print("f'(x) =", fp)
print("Kritiske x-verdier =", krit)
for k in krit:
print("f(", k, ") =", f.subs(x,k))
print("Fortegn for f': + før 2/3, - mellom 2/3 og 2, + etter 2.")
print("Lokalt toppunkt = (2/3, 32/27)")
print("Lokalt bunnpunkt = (2, 0)")
Utskrift fra Python:
f'(x) = (x - 2)*(3*x - 2)
Kritiske x-verdier = [2/3, 2]
f( 2/3 ) = 32/27
f( 2 ) = 0
Fortegn for f': + før 2/3, - mellom 2/3 og 2, + etter 2.
Lokalt toppunkt = (2/3, 32/27)
Lokalt bunnpunkt = (2, 0)
Fasit: Lokalt toppunkt \(\left(\frac23,\frac{32}{27}\right)\); lokalt bunnpunkt \((2,0)\). På hele intervallet er absolutt minimum \((-1,-9)\) og absolutt maksimum \((3,3)\).
Vanlig feil: Å overse endepunktene når man omtaler absolutte ekstremalverdier på et lukket intervall.
Sensorpunkt: Sensor ser etter fortegnslinje, fortegnsskift og eksakte koordinater.
Del 2 · Oppgave 2cFunksjonsdrøfting · vendepunkt
Oppgave 2c
Oppgave: Tegn fortegnslinjen til \(f^{\prime\prime}\), og bruk denne til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andrederivert, undersøke fortegnsskift og beregne punktets koordinater.
Steg 1 — Deriver på nytt
Fra \(f^{\prime}=3x^2-8x+4\) får vi \(f^{\prime\prime}(x)=6x-8\).
Steg 2 — Finn nullpunktet
\(6x-8=0\) gir \(x=\frac43\).
Steg 3 — Undersøk fortegnet til venstre
For \(x<\frac43\) er \(f^{\prime\prime}<0\), så grafen er konkav.
Steg 4 — Undersøk fortegnet til høyre
For \(x>\frac43\) er \(f^{\prime\prime}>0\), så grafen er konveks.
Steg 5 — Konstater krumningsskifte
Andrederiverten skifter fortegn, derfor er det et vendepunkt.
Steg 6 — Finn y-koordinaten
\(f(\frac43)=\frac{16}{27}\), så punktet er \((\frac43,\frac{16}{27})\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Derivative[f,x,2]
\(6x-8\)
2
InflectionPoint[f]
\(\left(\frac43,\frac{16}{27}\right)\)
Tolkning: CAS bekrefter vendepunktet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, diff, solve, Rational
x=symbols('x')
f=x**3-4*x**2+4*x
fpp=diff(f,x,2)
xv=solve(fpp,x)[0]
print("f''(x) =", fpp)
print("f''(x)=0 gir x =", xv)
print("f''<0 før 4/3 og f''>0 etter 4/3.")
print("f(4/3) =", f.subs(x,xv))
print("Vendepunkt = (4/3, 16/27)")
Utskrift fra Python:
f''(x) = 2*(3*x - 4)
f''(x)=0 gir x = 4/3
f''<0 før 4/3 og f''>0 etter 4/3.
f(4/3) = 16/27
Vendepunkt = (4/3, 16/27)
Fasit: Vendepunktet er \(\left(\frac43,\frac{16}{27}\right)\).
Vanlig feil: Å sette f″=0 og konkludere uten å kontrollere fortegnsskifte.
Sensorpunkt: Sensor ser etter fortegn på begge sider og korrekt funksjonsverdi.
Del 2 · Oppgave 2dDerivasjon · tangent
Oppgave 2d
Oppgave: Vis ved regning at likningen til tangenten i punktet \(P(1,f(1))\) er gitt ved
\[y=-x+2.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne punktets y-verdi og den deriverte i x=1, og bruke ettpunktsformelen for en rett linje.
Utskrift fra Python:
P = (1, f(1))
f(1) = 1
f'(x) = 3*x**2 - 8*x + 4
f'(1) = -1
Tangent: y-f(1)=f'(1)*(x-1)
Tangentens uttrykk = 2 - x
Fasit: Tangenten er \(y=-x+2\).
Vanlig feil: Å bruke f(1) som stigningstall i stedet for f′(1).
Sensorpunkt: Sensor ser etter både punktkoordinat, derivert og linjelikning.
Del 2 · Oppgave 2eGrafisk framstilling
Oppgave 2e
Oppgave: Tegn grafen til \(f\) og tangenten i samme koordinatsystem.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne funksjonen på det oppgitte intervallet og linjen y=-x+2 i samme akser.
Steg 1 — Velg definisjonsområdet
Grafen til f skal bare tegnes for \(-1\le x\le3\).
Steg 2 — Marker nullpunktene
Funksjonen skjærer x-aksen i x=0 og tangerer den i x=2.
Steg 3 — Marker topp og bunn
Ta med toppunktet \((\frac23,\frac{32}{27})\) og bunnpunktet \((2,0)\).
Steg 4 — Tegn tangenten
Linjen \(y=-x+2\) går gjennom \((0,2)\), \((1,1)\) og \((2,0)\).
Steg 5 — Kontroller tangering i P
Ved P=(1,1) har grafen og linjen samme punkt og samme stigningstall -1.
Steg 6 — Kontroller skala og lesbarhet
Begge grafer må vises tydelig med merkede akser og relevante punkter.
Grafen til f og tangenten y=-x+2 i samme koordinatsystem.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
f(x)=x^3-4x^2+4x
tegnet for \(-1\le x\le3\)
2
y=-x+2
rett linje gjennom P
Tolkning: Grafikkfeltet viser at linjen tangerer ved P og møter grafen igjen ved Q.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols
x=symbols('x')
f=x**3-4*x**2+4*x
t=-x+2
print("f(x) =", f)
print("t(x) =", t)
for xv in [-1,0,1,2,3]:
print(f"x={xv:>2}: f(x)={f.subs(x,xv)}, t(x)={t.subs(x,xv)}")
print("Grafene møtes i P=(1,1) og Q=(2,0).")
Utskrift fra Python:
f(x) = x**3 - 4*x**2 + 4*x
t(x) = 2 - x
x=-1: f(x)=-9, t(x)=3
x= 0: f(x)=0, t(x)=2
x= 1: f(x)=1, t(x)=1
x= 2: f(x)=0, t(x)=0
x= 3: f(x)=3, t(x)=-1
Grafene møtes i P=(1,1) og Q=(2,0).
Fasit: Grafen og tangenten er vist i figuren.
Vanlig feil: Å tegne tangenten som en kurve eller å bruke feil definisjonsområde for f.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt form, relevante punkter og felles koordinatsystem.
Del 2 · Oppgave 2fLikninger · skjæring
Oppgave 2f
Oppgave: Grafen til \(f\) skjærer tangenten i et annet punkt \(Q\).
Forklar at x-verdien til Q kan bestemmes av likningen
\[x^3-4x^2+5x-2=0.\]
Bestem koordinatene til Q.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette funksjonsuttrykket lik tangentuttrykket, faktorisere likningen og skille tangenspunktet fra det andre skjæringspunktet.
Steg 1 — Sett y-uttrykkene lik hverandre
Skjæringspunkter oppfyller \(x^3-4x^2+4x=-x+2\).
Steg 2 — Flytt alt til venstre
Da får vi \(x^3-4x^2+5x-2=0\), som oppgitt.
Steg 3 — Bruk at x=1 er kjent
P har x=1, og siden linjen er tangent, forventer vi en dobbeltrot.
Steg 4 — Faktoriser polynomet
\(x^3-4x^2+5x-2=(x-1)^2(x-2)\).
Steg 5 — Finn den andre x-verdien
Den nye løsningen er \(x=2\).
Steg 6 — Finn y-koordinaten
På tangenten er \(y=-2+2=0\). Derfor er \(Q=(2,0)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Factor[x^3-4x^2+5x-2]
\((x-1)^2(x-2)\)
2
Intersect[f,y=-x+2]
\(P=(1,1), Q=(2,0)\)
Tolkning: CAS bekrefter begge skjæringspunktene og dobbeltheten ved P.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, factor, solve
x=symbols('x')
f=x**3-4*x**2+4*x
t=-x+2
eq=f-t
print("Skjæringslikning f(x)=t(x)")
print("Flyttet til én side:", eq)
print("Faktorisert =", factor(eq))
print("Løsninger =", solve(eq,x))
print("x=1 er dobbelt løsning fordi linjen tangerer i P.")
print("Det andre skjæringspunktet har x=2 og y=0.")
Utskrift fra Python:
Skjæringslikning f(x)=t(x)
Flyttet til én side: x**3 - 4*x**2 + 5*x - 2
Faktorisert = (x - 2)*(x - 1)**2
Løsninger = [1, 2]
x=1 er dobbelt løsning fordi linjen tangerer i P.
Det andre skjæringspunktet har x=2 og y=0.
Fasit: \(Q=(2,0)\).
Vanlig feil: Å oppgi P=(1,1) som det andre punktet, eller å glemme at x=1 er en dobbeltrot.
Sensorpunkt: Sensor ser etter oppstilling av skjæringslikningen, faktorisering og koordinatberegning.
Del 2 · Oppgave 3a1Geometri · likebeint trekant
Oppgave 3a1
Oppgave: En sirkel med sentrum i \(S\) er innskrevet i en rettvinklet \(\triangle ABC\). Sidene tangerer sirkelen i D, E og F. Linjen AS skjærer EF i G og ED i H. En setning sier at \(AD=AE\).
Forklar at \(\angle GHE=90^{\circ}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at ADE er likebeint og at AS er vinkelhalveringslinjen fra toppunktet.
Steg 1 — Bruk tangentsetningen
Tangentsegmentene fra A til sirkelen er like lange, altså \(AD=AE\).
Steg 2 — Klassifiser trekanten
Dermed er \(\triangle ADE\) likebeint med toppunkt A og grunnlinje DE.
Steg 3 — Bruk at S er innsenter
Linjen AS halverer vinkelen \(\angle DAE\), siden AD og AE ligger langs sidene AC og AB.
Steg 4 — Bruk egenskapen til en likebeint trekant
Vinkelhalveringslinjen fra toppunktet i en likebeint trekant er også høyde på grunnlinjen.
Steg 5 — Konstater vinkelretthet
Derfor er \(AS\perp DE\).
Steg 6 — Overfør til GHE
G og H ligger på AS, mens H og E ligger på DE. Dermed er \(GH\perp HE\), altså \(\angle GHE=90^{\circ}\).
Skissen viser den likebeinte trekanten ADE og den rette vinkelen ved H.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
PerpendicularLine[H,DE]
samme retning som AS
2
Angle[G,H,E]
\(90^{\circ}\)
Tolkning: En dynamisk konstruksjon bekrefter at linjene er vinkelrette.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols
print("AD = AE fordi de er tangentsegmenter fra samme punkt A.")
print("Trekant ADE er derfor likebeint med toppunkt A.")
print("AS er vinkelhalveringslinje i vinkel A fordi S er innsenter.")
print("I en likebeint trekant er toppvinkelens halveringslinje også høyde.")
print("Dermed er AS vinkelrett på DE.")
print("G,H ligger på AS og H,E ligger på DE, altså GHE = 90 grader.")
Utskrift fra Python:
AD = AE fordi de er tangentsegmenter fra samme punkt A.
Trekant ADE er derfor likebeint med toppunkt A.
AS er vinkelhalveringslinje i vinkel A fordi S er innsenter.
I en likebeint trekant er toppvinkelens halveringslinje også høyde.
Dermed er AS vinkelrett på DE.
G,H ligger på AS og H,E ligger på DE, altså GHE = 90 grader.
Fasit: \(\angle GHE=90^{\circ}\).
Vanlig feil: Å hevde AS⊥DE uten å begrunne både likebeint trekant og vinkelhalveringslinje.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tangentsegmentsetningen og egenskapen til en likebeint trekant.
Del 2 · Oppgave 3a2Sirkelgeometri · vinkler
Oppgave 3a2
Oppgave: Bestem \(\angle HEG\) og \(\angle HGE\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vinkelen mellom kordene ED og EF ved hjelp av sentralvinkelen DSF, og deretter bruke vinkelsummen i GHE.
Steg 1 — Bruk tangent og radius
\(SD\perp AC\) og \(SF\perp BC\).
Steg 2 — Bruk den rette trekanten
Siden \(AC\perp BC\), blir også \(SD\perp SF\), så \(\angle DSF=90^{\circ}\).
Steg 3 — Bruk periferivinkelsetningen
Vinkelen \(\angle DEF\) spenner over buen DF og er halvparten av sentralvinkelen DSF.
Steg 4 — Finn HEG
H ligger på ED og G på EF, derfor \(\angle HEG=\angle DEF=45^{\circ}\).
Steg 5 — Bruk resultatet fra a1
\(\angle GHE=90^{\circ}\).
Steg 6 — Finn den siste vinkelen
I trekanten GHE blir \(\angle HGE=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Angle[D,S,F]
\(90^{\circ}\)
2
Angle[D,E,F]
\(45^{\circ}\)
3
180°-90°-45°
\(45^{\circ}\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter at trekanten GHE er en 45-45-90-trekant.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Integer
DSF=Integer(90)
HEG=DSF/2
HGE=180-90-HEG
print("AC er vinkelrett på BC.")
print("SD er vinkelrett på AC, og SF er vinkelrett på BC.")
print("Dermed er sentralvinkelen DSF =", DSF, "grader.")
print("Periferivinkelen DEF = DSF/2 =", HEG, "grader.")
print("Siden H ligger på ED og G på EF, er HEG =", HEG, "grader.")
print("I rettvinklede GHE er HGE =", HGE, "grader.")
Utskrift fra Python:
AC er vinkelrett på BC.
SD er vinkelrett på AC, og SF er vinkelrett på BC.
Dermed er sentralvinkelen DSF = 90 grader.
Periferivinkelen DEF = DSF/2 = 45 grader.
Siden H ligger på ED og G på EF, er HEG = 45 grader.
I rettvinklede GHE er HGE = 45 grader.
Fasit: \(\angle HEG=45^{\circ}\) og \(\angle HGE=45^{\circ}\).
Vanlig feil: Å blande sentralvinkelen 90 grader med periferivinkelen, som skal være halvparten.
Sensorpunkt: Sensor ser etter koblingen mellom radius/tangent, sentralvinkel og periferivinkel.
Del 2 · Oppgave 3bKonstruksjon · sentrum i sirkel
Oppgave 3b
Oppgave: I vedlegget er det tegnet en sirkel med to vilkårlige korder.
Lag en konstruksjon på vedlegget med passer og linjal slik at du finner plasseringen til sentrum \(S\) i sirkelen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal konstruere midtnormalen til hver korde. Sentrum er skjæringspunktet mellom disse.
Steg 1 — Velg den første korden
Sett passeråpningen større enn halvparten av korden.
Steg 2 — Lag to buer
Slå buer med samme radius fra hvert endepunkt, én på hver side av korden.
Steg 3 — Tegn første midtnormal
Trekk en rett linje gjennom de to skjæringspunktene mellom buene.
Steg 4 — Gjenta for den andre korden
Konstruer midtnormalen på nøyaktig samme måte.
Steg 5 — Finn sentrum
De to midtnormalene skjærer hverandre i punktet S.
Steg 6 — Begrunn konstruksjonen
Et sirkelsentrum har lik avstand til endepunktene på enhver korde og ligger derfor på kordens midtnormal.
Sirkelsenteret finnes som skjæringspunktet mellom to midtnormaler.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
PerpendicularBisector[chord1]
linje m1
2
PerpendicularBisector[chord2]
linje m2
3
Intersect[m1,m2]
\(S\)
Tolkning: Konstruksjonen gir ett felles punkt som er like langt fra alle punkter på sirkelen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Point, Line
A=Point(-3,0);B=Point(0,3);C=Point(3,0);D=Point(0,-3)
M1=Point((A.x+B.x)/2,(A.y+B.y)/2)
M2=Point((C.x+D.x)/2,(C.y+D.y)/2)
p1=Line(A,B).perpendicular_line(M1)
p2=Line(C,D).perpendicular_line(M2)
S=p1.intersection(p2)[0]
print("Eksempelkorde AB har midtpunkt", M1)
print("Eksempelkorde CD har midtpunkt", M2)
print("Midtnormal 1:", p1)
print("Midtnormal 2:", p2)
print("Skjæringspunktet S =", S)
print("Prinsipp: sentrum ligger på midtnormalen til enhver korde.")
Utskrift fra Python:
Eksempelkorde AB har midtpunkt Point2D(-3/2, 3/2)
Eksempelkorde CD har midtpunkt Point2D(3/2, -3/2)
Midtnormal 1: Line2D(Point2D(-3/2, 3/2), Point2D(-9/2, 9/2))
Midtnormal 2: Line2D(Point2D(3/2, -3/2), Point2D(9/2, -9/2))
Skjæringspunktet S = Line2D(Point2D(3/2, -3/2), Point2D(9/2, -9/2))
Prinsipp: sentrum ligger på midtnormalen til enhver korde.
Fasit: S er skjæringspunktet mellom midtnormalene til de to kordene.
Vanlig feil: Å bare finne midtpunktene til kordene; midtpunktene er vanligvis ikke sentrum.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en gjennomførbar passer-og-linjal-konstruksjon og en kort begrunnelse.
Del 2 · Oppgave 4aAnalytisk geometri · fullføre kvadrat
Oppgave 4a
Oppgave: Sirklene har likningene
\[x^2+y^2+6x+4y-12=0\]
og
\[x^2+y^2-6x-12y+20=0.\]
Vis ved regning at sentrene er \(A(-3,-2)\) og \(B(3,6)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal fullføre kvadratet i x- og y-leddene for hver sirkel.
Steg 1 — Fullfør x-kvadratet for første sirkel
\(x^2+6x=(x+3)^2-9\).
Steg 2 — Fullfør y-kvadratet
\(y^2+4y=(y+2)^2-4\).
Steg 3 — Skriv første standardform
Innsetting gir \((x+3)^2+(y+2)^2=25\), så sentrum er \((-3,-2)\).
Steg 4 — Fullfør kvadratene for den andre
\(x^2-6x=(x-3)^2-9\) og \(y^2-12y=(y-6)^2-36\).
Steg 5 — Skriv andre standardform
Da får vi \((x-3)^2+(y-6)^2=25\).
Steg 6 — Les av sentrum og radius
Sentrum er \(B=(3,6)\), og begge sirklene har radius 5.
Fasit: \(A=(-3,-2)\), \(B=(3,6)\), og begge radier er 5.
Vanlig feil: Å skifte fortegnet feil når sentrum leses av fra (x-a)²+(y-b)²=r².
Sensorpunkt: Sensor ser etter fullføring av kvadrat, ikke bare avlesning av koeffisientene.
Del 2 · Oppgave 4bSirkelgeometri · tangering
Oppgave 4b
Oppgave: Forklar at punktene \(A\), \(P\) og \(B\) alle ligger på en rett linje \(l\).
Vis at \(P=(0,2)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at radiusen til et tangeringspunkt står normalt på felles tangent, og at sirklene har samme radius.
Steg 1 — Bruk tangeringsegenskapen
Radiusene AP og BP står begge vinkelrett på den felles tangenten i P.
Steg 2 — Konkluder kollinearitet
Gjennom P finnes bare én normal til tangenten. Derfor ligger A, P og B på samme rette linje.
Steg 3 — Finn avstanden mellom sentrene
\(AB=\sqrt{6^2+8^2}=10\).
Steg 4 — Sammenlign med radiene
Begge radier er 5, så \(AP=PB=5\).
Steg 5 — Bruk midtpunktet
P er dermed midtpunktet av A og B.
Steg 6 — Regn koordinatene
\(P=(\frac{-3+3}{2},\frac{-2+6}{2})=(0,2)\).
P er midtpunktet mellom sentrene, og C ligger på samme linje.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Distance[A,B]
\(10\)
2
Midpoint[A,B]
\((0,2)\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter at P er midtpunkt og ligger på AB.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Point
A=Point(-3,-2);B=Point(3,6)
P=Point((A.x+B.x)/2,(A.y+B.y)/2)
print("A =", A, "B =", B)
print("AB =", A.distance(B))
print("Begge radier er 5, så AB = 2r = 10.")
print("Ved ytre tangering ligger tangeringspunktet på linjen AB.")
print("Siden radiene er like, er P midtpunktet av AB.")
print("P =", P)
print("AP =", A.distance(P), "og BP =", B.distance(P))
Utskrift fra Python:
A = Point2D(-3, -2) B = Point2D(3, 6)
AB = 10
Begge radier er 5, så AB = 2r = 10.
Ved ytre tangering ligger tangeringspunktet på linjen AB.
Siden radiene er like, er P midtpunktet av AB.
P = Point2D(0, 2)
AP = 5 og BP = 5
Fasit: A, P og B er kollineære, og \(P=(0,2)\).
Vanlig feil: Å anta at P er midtpunkt uten å bruke at radiene er like.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både geometrisk kollinearitetsforklaring og koordinatregning.
Del 2 · Oppgave 4cVektorer · parameterframstilling
Oppgave 4c
Oppgave: Finn en parameterframstilling til linjen \(l\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke et kjent punkt på linjen og en retningsvektor parallell med AB.
Steg 1 — Finn retningsvektoren AB
\(\overrightarrow{AB}=(3-(-3),6-(-2))=(6,8)\).
Steg 2 — Forkort retningsvektoren
Vi kan bruke \((3,4)\), siden den er parallell med \((6,8)\).
Steg 3 — Velg et startpunkt
Bruk A=(-3,-2).
Steg 4 — Skriv vektorformen
\((x,y)=(-3,-2)+t(3,4)\).
Steg 5 — Skriv komponentvis
\(x=-3+3t\), \(y=-2+4t\).
Steg 6 — Kontroller punktene
t=0 gir A, t=1 gir P=(0,2), og t=2 gir B=(3,6).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Line[A,B]
\((x,y)=(-3,-2)+t(3,4)\)
Tolkning: GeoGebra bekrefter at A, P og B ligger på parameterlinjen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import Matrix, symbols
t=symbols('t')
A=Matrix([-3,-2]);B=Matrix([3,6]);v=Matrix([3,4])
print("AB =", (B-A).T)
print("En kortere retningsvektor er (3,4).")
print("Parameterframstilling:")
print("x = -3 + 3t")
print("y = -2 + 4t")
print("t=0 gir A, t=1 gir P og t=2 gir B.")
Utskrift fra Python:
AB = Matrix([[6, 8]])
En kortere retningsvektor er (3,4).
Parameterframstilling:
x = -3 + 3t
y = -2 + 4t
t=0 gir A, t=1 gir P og t=2 gir B.
Vanlig feil: Å bruke punktet A som retningsvektor eller å glemme parameteren.
Sensorpunkt: Sensor ser etter punkt pluss retningsvektor og en gyldig parameter.
Del 2 · Oppgave 4dAnalytisk geometri · linje og sirkel
Oppgave 4d
Oppgave: Linjen \(l\) skjærer sirkelen med sentrum i B også i punktet \(C\).
Bestem koordinatene til \(C\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette parameterframstillingen inn i sirkellikningen og velge skjæringspunktet som ikke er P.
Steg 1 — Bruk linjen
\(x=-3+3t\) og \(y=-2+4t\).
Steg 2 — Sett inn i B-sirkelen
\((x-3)^2+(y-6)^2=25\).
Steg 3 — Forenkle
Dette gir \(25(t-2)^2=25\).
Steg 4 — Løs parameterlikningen
\((t-2)^2=1\), så \(t=1\) eller \(t=3\).
Steg 5 — Identifiser kjent punkt
t=1 gir P=(0,2).
Steg 6 — Finn C
t=3 gir \(x=-3+9=6\) og \(y=-2+12=10\). Dermed er \(C=(6,10)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
Intersect[l,circleB]
\(P=(0,2), C=(6,10)\)
Tolkning: CAS bekrefter begge skjæringspunktene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from sympy import symbols, solve, expand
t=symbols('t', real=True)
x=-3+3*t;y=-2+4*t
circle=expand((x-3)**2+(y-6)**2-25)
sol=solve(circle,t)
print("Setter linjen inn i B-sirkelen.")
print("Likning i t =", circle)
print("Løsninger t =", sol)
for s in sol:
print("t =", s, "gir punkt", (x.subs(t,s),y.subs(t,s)))
print("t=1 gir P og t=3 gir det andre punktet C.")
print("C=(6,10).")
Utskrift fra Python:
Setter linjen inn i B-sirkelen.
Likning i t = 25*t**2 - 100*t + 75
Løsninger t = [1, 3]
t = 1 gir punkt (0, 2)
t = 3 gir punkt (6, 10)
t=1 gir P og t=3 gir det andre punktet C.
C=(6,10).
Fasit: \(C=(6,10)\).
Vanlig feil: Å velge t=1 og dermed gi tangeringspunktet P på nytt.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge parameterløsningene og korrekt identifikasjon av det andre punktet.
Del 2 · Oppgave 5aSannsynlighet · total sannsynlighet
Oppgave 5a
Oppgave: På en skole går det 120 jenter og 80 gutter. Halvparten av jentene går med bukser, mens den andre halvparten går med skjørt. Alle guttene går med bukser.
Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev går med bukse.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal telle alle elever med bukse og dele på totalt antall elever.
Steg 1 — Finn totalt antall elever
\(120+80=200\).
Steg 2 — Finn jenter med bukse
Halvparten av 120 er \(60\).
Steg 3 — Finn gutter med bukse
Alle 80 guttene går med bukse.
Steg 4 — Finn totalt med bukse
\(60+80=140\).
Steg 5 — Beregn sannsynligheten
\(P(B)=\frac{140}{200}\).
Steg 6 — Forkort
\(P(B)=\frac7{10}=0{,}70\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
60+80
\(140\)
2
140/200
\(0{,}70\)
Tolkning: Regnearket bekrefter at 140 av 200 elever går med bukse.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 · SymPy
from fractions import Fraction
girls=120;boys=80
girl_pants=60;boy_pants=80
total=girls+boys;pants=girl_pants+boy_pants
p=Fraction(pants,total)
print("Antall elever =", total)
print("Jenter med bukse =", girl_pants)
print("Gutter med bukse =", boy_pants)
print("Totalt med bukse =", pants)
print("P(B) = 140/200 =", p)
print("Desimaltall =", float(p))
Utskrift fra Python:
Antall elever = 200
Jenter med bukse = 60
Gutter med bukse = 80
Totalt med bukse = 140
P(B) = 140/200 = 7/10
Desimaltall = 0.7
Fasit: \(P(B)=0{,}70=70\%\).
Vanlig feil: Å ta halvparten av alle 200 elever i stedet for halvparten av jentene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt opptelling av begge kjønn og riktig nevner.
Del 2 · Oppgave 5bSannsynlighet · betinget og uavhengighet
Oppgave 5b
Oppgave: Bestem \(P(B\mid J)\). Avgjør om hendelsene \(J\) og \(B\) er uavhengige.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal avgrense utvalget til jenter og sammenligne den betingede sannsynligheten med P(B).
Steg 1 — Tolk betingelsen
Når vi vet at eleven er jente, består utvalget av 120 jenter.
Steg 2 — Tell gunstige jenter
60 av jentene går med bukse.
Steg 3 — Beregn betinget sannsynlighet
\(P(B\mid J)=\frac{60}{120}=\frac12\).
Steg 4 — Finn ubetinget sannsynlighet
Fra a har vi \(P(B)=\frac7{10}\).
Steg 5 — Bruk uavhengighetskriteriet
Hvis J og B var uavhengige, måtte \(P(B\mid J)=P(B)\).
Steg 6 — Konkluder
Siden \(\frac12\ne\frac7{10}\), er hendelsene ikke uavhengige.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra · CAS
1
P(B|J)=60/120
\(\frac12\)
2
Compare[P(B|J),P(B)]
\(\frac12\ne\frac7{10}\)
Tolkning: CAS-beregningen viser at den betingede og ubetingede sannsynligheten er ulike.
