Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av funksjonene 2x og e^x. Derfor bruker vi produktregelen og viser begge leddene.

Steg 1 — Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=2x\) og \(v(x)=e^x\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Deriver hver faktor

Vi får \(u'(x)=2\) og \(v'(x)=e^x\). Eksponentialfunksjonen med grunntall e er sin egen deriverte.

Steg 3 — Bruk produktregelen

Produktregelen er \((uv)'=u'v+uv'\).

Steg 4 — Sett inn faktorene

\[f'(x)=2\cdot e^x+2x\cdot e^x.\]

Steg 5 — Faktoriser felles faktor

Begge leddene inneholder \(2e^x\), så \[f'(x)=2e^x(1+x).\]

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

Rekkefølgen i parentesen kan snus: \(1+x=x+1\). Dermed er \[f'(x)=2e^x(x+1).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 2*x*exp(x)
f_derivert = diff(f, x)
f_faktorisert = factor(f_derivert)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Faktorisert form =", f_faktorisert)
print("Kontroll av forskjellen =", simplify(f_derivert - 2*exp(x)*(x + 1)))

Utskrift fra Python:
f(x) = 2*x*exp(x)
f'(x) = 2*x*exp(x) + 2*exp(x)
Faktorisert form = 2*(x + 1)*exp(x)
Kontroll av forskjellen = 0

Fasit: \(f'(x)=2e^x(x+1)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt rotfunksjon. Vi omskriver roten til en potens og bruker kjerneregelen.

Steg 1 — Omskriv kvadratroten

\[g(x)=3(x^2-1)^{1/2}.\]

Steg 2 — Identifiser kjernen

Den ytre funksjonen er \(3u^{1/2}\), mens kjernen er \(u(x)=x^2-1\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

\[\frac{d}{du}\left(3u^{1/2}\right)=\frac{3}{2}u^{-1/2}.\]

Steg 4 — Deriver kjernen

\[u'(x)=2x.\]

Steg 5 — Bruk kjerneregelen

\[g'(x)=\frac{3}{2}(x^2-1)^{-1/2}\cdot2x.\]

Steg 6 — Forkort konstantene

Faktorene 2 og \(\frac12\) forkortes, slik at \[g'(x)=3x(x^2-1)^{-1/2}.\]

Steg 7 — Skriv som brøk og oppgi gyldighet

\[g'(x)=\frac{3x}{\sqrt{x^2-1}}.\] Den deriverte er definert for \(x<-1\) eller \(x>1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
g = 3*sqrt(x**2 - 1)
g_derivert = diff(g, x)
maalform = 3*x/sqrt(x**2 - 1)

print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("Forenklet form =", simplify(g_derivert))
print("Forskjell fra målformen =", simplify(g_derivert - maalform))
print("Derivert definert for x < -1 eller x > 1")

Utskrift fra Python:
g(x) = 3*sqrt(x**2 - 1)
g'(x) = 3*x/sqrt(x**2 - 1)
Forenklet form = 3*x/sqrt(x**2 - 1)
Forskjell fra målformen = 0
Derivert definert for x < -1 eller x > 1

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2-1}}\), for \(|x|>1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først kontrollere roten x=1. Deretter deler vi polynomet på x-1 og løser andregradslikningen som står igjen.

Steg 1 — Definer polynomet

La \(p(x)=2x^3-6x^2-2x+6\).

Steg 2 — Kontroller x=1

\[p(1)=2-6-2+6=0.\] Dermed er \(x=1\) en løsning, og \(x-1\) er en faktor.

Steg 3 — Start polynomdivisjonen

Vi deler \(2x^3-6x^2-2x+6\) på \(x-1\). Første ledd blir \(2x^2\), fordi \(2x^3/x=2x^2\).

Steg 4 — Trekk fra første produkt

\[(2x^3-6x^2)-(2x^3-2x^2)=-4x^2.\] Vi tar med neste ledd og får \(-4x^2-2x\).

Steg 5 — Finn neste ledd

\(-4x^2/x=-4x\). Produktet er \(-4x^2+4x\), og subtraksjon gir \(-6x\). Vi tar med \(+6\).

Steg 6 — Avslutt divisjonen

\(-6x/x=-6\). Produktet er \(-6x+6\), så resten blir 0. Kvotienten er \[2x^2-4x-6.\]

Steg 7 — Løs andregradslikningen

\[2x^2-4x-6=2(x^2-2x-3)=2(x-3)(x+1).\] Dermed er de andre røttene \(x=3\) og \(x=-1\).

Steg 8 — Samle alle løsningene

\[2x^3-6x^2-2x+6=2(x-1)(x-3)(x+1),\] så løsningsmengden er \(\{-1,1,3\}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, div, solve, expand

x = symbols('x')
p = 2*x**3 - 6*x**2 - 2*x + 6
verdi_i_1 = p.subs(x, 1)
kvotient, rest = div(p, x - 1)

print("p(1) =", verdi_i_1)
print("Kvotient ved divisjon på x - 1 =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Full faktorisering =", factor(p))
print("Løsninger =", solve(p, x))
print("Utvidet kontroll =", expand(2*(x-1)*(x+1)*(x-3)))

Utskrift fra Python:
p(1) = 0
Kvotient ved divisjon på x - 1 = 2*x**2 - 4*x - 6
Rest = 0
Full faktorisering = 2*(x - 3)*(x - 1)*(x + 1)
Løsninger = [-1, 1, 3]
Utvidet kontroll = 2*x**3 - 6*x**2 - 2*x + 6

Fasit: \(x=-1\), \(x=1\) eller \(x=3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne banen til punktet med koordinater x(t) og y(t). Vi finner endepunkter og eliminerer parameteren for å kjenne kurveformen.

Steg 1 — Les av koordinatfunksjonene

\[x(t)=6t,\qquad y(t)=-5t^2+45.\]

Steg 2 — Finn startpunktet

Når \(t=0\), får vi \[\vec r(0)=(0,45).\]

Steg 3 — Finn sluttpunktet

Når \(t=3\), får vi \[\vec r(3)=(18,0).\]

Steg 4 — Eliminer parameteren

Fra \(x=6t\) får vi \(t=x/6\). Setter vi dette inn i y-uttrykket, får vi \[y=-5\left(\frac{x}{6}\right)^2+45=45-\frac{5}{36}x^2.\]

Steg 5 — Bestem riktig kurvestykke

Siden \(0\le t\le3\), gjelder \(0\le x\le18\). Vi tegner derfor bare første kvadrant av den nedovervendte parabelen.

Steg 6 — Marker bevegelsesretningen

Når t øker, øker x fra 0 til 18, mens y avtar fra 45 til 0. Bevegelsen går fra \((0,45)\) mot \((18,0)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import numpy as np

verdier_t = np.linspace(0, 3, 7)
verdier_x = 6*verdier_t
verdier_y = -5*verdier_t**2 + 45

print(" t        x(t)       y(t)")
for t, x, y in zip(verdier_t, verdier_x, verdier_y):
    print(f"{t:4.1f}    {x:7.2f}    {y:7.2f}")
print("\nEliminert parameter: y = 45 - (5/36)*x**2")
print("Gyldig kurvestykke: 0 <= x <= 18")

Utskrift fra Python:
 t        x(t)       y(t)
 0.0       0.00      45.00
 0.5       3.00      43.75
 1.0       6.00      40.00
 1.5       9.00      33.75
 2.0      12.00      25.00
 2.5      15.00      13.75
 3.0      18.00       0.00

Eliminert parameter: y = 45 - (5/36)*x**2
Gyldig kurvestykke: 0 <= x <= 18

Fasit: Kurven er parabelstykket \(y=45-\frac{5}{36}x^2\) for \(0\le x\le18\), fra \((0,45)\) til \((18,0)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere posisjonsvektoren komponentvis. Fartsvektoren plasseres med start i punktet r(1).

Steg 1 — Bruk definisjonen av fart

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren: \(\vec v(t)=\vec r\,'(t)\).

Steg 2 — Deriver x-komponenten

\[\frac{d}{dt}(6t)=6.\]

Steg 3 — Deriver y-komponenten

\[\frac{d}{dt}(-5t^2+45)=-10t.\]

Steg 4 — Skriv fartsvektoren

\[\vec v(t)=[6,-10t].\]

Steg 5 — Sett inn t=1

\[\vec v(1)=[6,-10].\]

Steg 6 — Finn festepunktet på banen

\[\vec r(1)=[6,40].\] Fartsvektoren tegnes med hale i \((6,40)\).

Steg 7 — Tolk retningen

Den positive x-komponenten viser bevegelse mot høyre, og den negative y-komponenten viser bevegelse nedover. Vektoren er tangent til banen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, diff

t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([6*t, -5*t**2 + 45])
v = r.diff(t)
punkt = r.subs(t, 1)
fart_ved_1 = v.subs(t, 1)

print("r(t) =", r.T)
print("v(t) = r'(t) =", v.T)
print("r(1) =", punkt.T)
print("v(1) =", fart_ved_1.T)
print("Fartsstørrelse ved t=1 =", fart_ved_1.norm())

Utskrift fra Python:
r(t) = Matrix([[6*t, 45 - 5*t**2]])
v(t) = r'(t) = Matrix([[6, -10*t]])
r(1) = Matrix([[6, 40]])
v(1) = Matrix([[6, -10]])
Fartsstørrelse ved t=1 = 2*sqrt(34)

Fasit: \(\vec v(1)=[6,-10]\), festet i punktet \((6,40)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere fartsvektoren. Deretter tolker vi hva en konstant akselerasjonsvektor betyr for bevegelsen.

Steg 1 — Ta utgangspunkt i farten

Fra forrige del har vi \[\vec v(t)=[6,-10t].\]

Steg 2 — Deriver x-komponenten

\[\frac{d}{dt}(6)=0.\] Det er ingen horisontal akselerasjon.

Steg 3 — Deriver y-komponenten

\[\frac{d}{dt}(-10t)=-10.\]

Steg 4 — Skriv akselerasjonsvektoren

\[\vec a(t)=\vec v\,'(t)=[0,-10].\]

Steg 5 — Kommenter tidsavhengigheten

Vektoren inneholder ikke t. Akselerasjonen er derfor konstant gjennom hele bevegelsen.

Steg 6 — Kommenter retningen

Akselerasjonen peker loddrett nedover, fordi x-komponenten er 0 og y-komponenten er negativ.

Steg 7 — Knytt til farten

Den horisontale farten er konstant lik 6, mens den vertikale farten blir 10 enheter mer negativ per tidsenhet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix

t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([6*t, -5*t**2 + 45])
v = r.diff(t)
a = v.diff(t)

print("Posisjon r(t) =", r.T)
print("Fart v(t) =", v.T)
print("Akselerasjon a(t) =", a.T)
print("Akselerasjonen er uavhengig av t:", not any(component.has(t) for component in a))
print("Retning: konstant nedover langs negativ y-retning")

Utskrift fra Python:
Posisjon r(t) = Matrix([[6*t, 45 - 5*t**2]])
Fart v(t) = Matrix([[6, -10*t]])
Akselerasjon a(t) = Matrix([[0, -10]])
Akselerasjonen er uavhengig av t: True
Retning: konstant nedover langs negativ y-retning

Fasit: \(\vec a(t)=[0,-10]\). Akselerasjonen er konstant og peker rett nedover.

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle antall gunstige par og dele på antall mulige par. Rekkefølgen spiller ikke noen rolle.

Steg 1 — Tell alle personer

Det er \(6+4=10\) personer i gjengen.

Steg 2 — Tell alle mulige par

Antall måter å velge 2 av 10 på er \[\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.\]

Steg 3 — Tell gunstige par

Vi kan velge gutten på 6 måter og jenta på 4 måter. Det gir \[6\cdot4=24\] gunstige par.

Steg 4 — Sett opp sannsynligheten

\[P(\text{én gutt og én jente})=\frac{24}{45}.\]

Steg 5 — Forkort brøken

Både 24 og 45 er delelige med 3: \[\frac{24}{45}=\frac{8}{15}.\]

Steg 6 — Kontroller med sekvensiell trekking

Alternativt får vi \(\frac6{10}\frac4{9}+\frac4{10}\frac6{9}=\frac{48}{90}=\frac8{15}\). Begge rekkefølger er da tatt med.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
from fractions import Fraction

antall_gutter = 6
antall_jenter = 4
antall_personer = antall_gutter + antall_jenter
gunstige = antall_gutter * antall_jenter
mulige = comb(antall_personer, 2)
sannsynlighet = Fraction(gunstige, mulige)

print("Gunstige par =", gunstige)
print("Alle mulige par =", mulige)
print("Sannsynlighet som brøk =", sannsynlighet)
print("Sannsynlighet som desimaltall =", float(sannsynlighet))
print("Sannsynlighet i prosent =", f"{100*float(sannsynlighet):.2f} %")

Utskrift fra Python:
Gunstige par = 24
Alle mulige par = 45
Sannsynlighet som brøk = 8/15
Sannsynlighet som desimaltall = 0.5333333333333333
Sannsynlighet i prosent = 53.33 %

Fasit: \(\dfrac{8}{15}\approx0{,}5333\), altså omtrent \(53{,}3\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal konstruere en trekant med kjent hypotenus, én spiss vinkel og rett vinkel. Thales’ setning gir stedet der C må ligge.

Steg 1 — Tegn hypotenusen

Tegn linjestykket \(AB=10{,}0\text{ cm}\). Siden \(\angle C=90^{\circ}\), er AB hypotenusen.

Steg 2 — Finn midtpunktet

Konstruer midtpunktet M på AB ved å bruke midtnormalen. Da er \(AM=MB=5{,}0\text{ cm}\).

Steg 3 — Tegn Thales-sirkelen

Tegn sirkelen med sentrum M og radius \(5{,}0\text{ cm}\). Alle punkter C på denne sirkelen gir \(\angle ACB=90^{\circ}\).

Steg 4 — Konstruer vinkelen ved A

Konstruer en stråle fra A som danner \(75^{\circ}\) med AB. Dette kan gjøres som \(45^{\circ}+30^{\circ}\), eller med gradskive dersom det er tillatt.

Steg 5 — Finn punktet C

Skjæringspunktet mellom strålen og Thales-sirkelen er C. Det finnes en speilvendt løsning på den andre siden av AB.

Steg 6 — Fullfør trekanten

Trekk linjestykkene AC og BC.

Steg 7 — Kontroller konstruksjonen

Mål at \(AB=10{,}0\text{ cm}\), \(\angle A=75^{\circ}\) og \(\angle C=90^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp

AB = sp.Integer(10)
vinkel_A = sp.pi*sp.Rational(75, 180)
AC = AB*sp.cos(vinkel_A)
BC = AB*sp.sin(vinkel_A)
kontroll = sp.simplify(AC**2 + BC**2)

print("AB =", AB)
print("AC =", sp.simplify(AC), "≈", float(AC))
print("BC =", sp.simplify(BC), "≈", float(BC))
print("Kontroll AC**2 + BC**2 =", kontroll)
print("AB**2 =", AB**2)
print("Rett vinkel ved C følger også av Thales' setning.")

Utskrift fra Python:
AB = 10
AC = -5*sqrt(2)/2 + 5*sqrt(6)/2 ≈ 2.5881904510252074
BC = 5*sqrt(2)/2 + 5*sqrt(6)/2 ≈ 9.659258262890683
Kontroll AC**2 + BC**2 = 100
AB**2 = 100
Rett vinkel ved C følger også av Thales' setning.

Fasit: Trekanten konstrueres som skjæringen mellom 75°-strålen fra A og sirkelen med diameter AB.

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke fortegnet på nevneren fra venstre og høyre. Direkte innsetting gir et ikke-null tall delt på null, så de ensidige grensene må vurderes.

Steg 1 — Undersøk telleren

Når \(x\to2\), går telleren mot \(2^2+4=8\), som er positiv.

Steg 2 — Undersøk nevneren fra venstre

Når \(x\to2^-\), er \(x-2\) et lite negativt tall.

Steg 3 — Finn venstre grense

Et positivt tall nær 8 delt på et negativt tall nær 0 går mot \(-\infty\): \[\lim_{x\to2^-}\frac{x^2+4}{x-2}=-\infty.\]

Steg 4 — Undersøk nevneren fra høyre

Når \(x\to2^+\), er \(x-2\) et lite positivt tall.

Steg 5 — Finn høyre grense

Da får vi \[\lim_{x\to2^+}\frac{x^2+4}{x-2}=+\infty.\]

Steg 6 — Sammenlign de ensidige grensene

Den venstre og høyre grensen er forskjellige. Derfor finnes ikke den tosidige grenseverdien.

Steg 7 — Tolk grafisk

Linjen \(x=2\) er en vertikal asymptote; grafen går ned mot minus uendelig på venstre side og opp mot pluss uendelig på høyre side.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, limit, oo

x = symbols('x', real=True)
uttrykk = (x**2 + 4)/(x - 2)
venstre = limit(uttrykk, x, 2, dir='-')
hoyre = limit(uttrykk, x, 2, dir='+')

print("Uttrykk =", uttrykk)
print("Venstre grenseverdi =", venstre)
print("Høyre grenseverdi =", hoyre)
print("Er de ensidige grensene like?", venstre == hoyre)
print("Tosidig grenseverdi eksisterer derfor ikke.")

Utskrift fra Python:
Uttrykk = (x**2 + 4)/(x - 2)
Venstre grenseverdi = -oo
Høyre grenseverdi = oo
Er de ensidige grensene like? False
Tosidig grenseverdi eksisterer derfor ikke.

Fasit: Grenseverdien eksisterer ikke; venstregrensen er \(-\infty\) og høyregrensen er \(+\infty\).

Hva spør oppgaven om? Direkte innsetting gir 0/0. Vi skal faktorisere telleren, forkorte den felles faktoren og deretter ta grensen.

Steg 1 — Prøv direkte innsetting

For \(x=2\) blir både teller og nevner 0. Formen \(0/0\) betyr at uttrykket må omformes.

Steg 2 — Faktoriser telleren

Bruk forskjellen av to kvadrater: \[x^2-4=(x-2)(x+2).\]

Steg 3 — Sett faktoriseringen inn

\[\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.\]

Steg 4 — Forkort den felles faktoren

For \(x\ne2\) kan vi forkorte \(x-2\): \[\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.\]

Steg 5 — Bruk at en grense ser på nærliggende verdier

Selv om originaluttrykket ikke er definert i x=2, er det lik x+2 i alle punkter nær 2.

Steg 6 — Sett inn i det forkortede uttrykket

\[\lim_{x\to2}(x+2)=2+2=4.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, cancel, limit

x = symbols('x', real=True)
uttrykk = (x**2 - 4)/(x - 2)
faktorisert_teller = factor(x**2 - 4)
forkortet = cancel(uttrykk)
grenseresultat = limit(uttrykk, x, 2)

print("Faktorisert teller =", faktorisert_teller)
print("Forkortet uttrykk for x != 2 =", forkortet)
print("Grenseverdi =", grenseresultat)
print("Kontroll ved innsetting i x + 2 =", (x + 2).subs(x, 2))

Utskrift fra Python:
Faktorisert teller = (x - 2)*(x + 2)
Forkortet uttrykk for x != 2 = x + 2
Grenseverdi = 4
Kontroll ved innsetting i x + 2 = 4

Fasit: \(4\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at radiusen til tangeringspunktet står vinkelrett på tangenten. Deretter uttrykker vi AS ved y og r.

Steg 1 — Bruk tangentegenskapen

Radiusen ST står vinkelrett på tangenten AT. Derfor er \(\triangle SAT\) rettvinklet i T.

Steg 2 — Finn sidelengdene

Vi har \(ST=r\), \(AT=x\) og \(AS=AB+BS=y+r\).

Steg 3 — Sett opp Pytagoras

I den rettvinklede trekanten gjelder \[AT^2+ST^2=AS^2.\]

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

\[x^2+r^2=(y+r)^2.\]

Steg 5 — Utvid høyresiden

\[(y+r)^2=y^2+2yr+r^2.\] Dermed får vi \[x^2+r^2=y^2+2yr+r^2.\]

Steg 6 — Trekk fra r²

\[x^2=y^2+2yr.\]

Steg 7 — Faktoriser y

\[x^2=y(y+2r).\] Dette er det som skulle vises.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, simplify

y, r = symbols('y r', positive=True)
AS = y + r
ST = r
AT_kvadrat = expand(AS**2 - ST**2)
maal = y*(y + 2*r)

print("AS =", AS)
print("ST =", ST)
print("AT**2 = AS**2 - ST**2 =", AT_kvadrat)
print("Faktorisert form =", maal)
print("Forskjell =", simplify(AT_kvadrat - maal))

Utskrift fra Python:
AS = r + y
ST = r
AT**2 = AS**2 - ST**2 = 2*r*y + y**2
Faktorisert form = y*(2*r + y)
Forskjell = 0

Fasit: \(x^2=y(y+2r)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at SCT er likebeint fordi SC og ST er radier. Deretter finner vi vinklene i den rettvinklede trekanten AST.

Steg 1 — Bruk at SC og ST er radier

\(SC=ST=r\), så \(\triangle SCT\) er likebeint.

Steg 2 — Finn vinkelen ved T

Grunnvinklene er like. Siden \(\angle SCT=30^{\circ}\), er også \(\angle CTS=30^{\circ}\).

Steg 3 — Finn sentralvinkelen

\[\angle CST=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}.\]

Steg 4 — Bruk at A, S og C er kollineære

Strålene SA og SC peker i motsatt retning. Derfor er \[\angle AST=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.\]

Steg 5 — Finn den siste vinkelen i AST

Trekanten AST er rettvinklet i T, så \(\angle A=30^{\circ}\). Den er en 30-60-90-trekant.

Steg 6 — Bruk sideforholdet

Siden ST ligger mot 30° og AS er hypotenusen, er \[AS=2\cdot ST=2r.\]

Steg 7 — Finn AB

Siden \(AS=AB+BS=y+r\), får vi \[y+r=2r\quad\Rightarrow\quad y=r.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, cos, pi, simplify

r = symbols('r', positive=True)
vinkel_C = pi/6
vinkel_S_i_SCT = pi - 2*vinkel_C
vinkel_S_i_AST = pi - vinkel_S_i_SCT
AS = simplify(r/cos(vinkel_S_i_AST))
y = simplify(AS - r)

print("Vinkel SCT =", vinkel_C)
print("Vinkel CST =", vinkel_S_i_SCT)
print("Vinkel AST =", vinkel_S_i_AST)
print("AS =", AS)
print("y = AB = AS - r =", y)

Utskrift fra Python:
Vinkel SCT = pi/6
Vinkel CST = 2*pi/3
Vinkel AST = pi/3
AS = 2*r
y = AB = AS - r = r

Fasit: \(AB=y=r\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere produktet 4x² og e^(-x). Kjerneregelen gir et minusfortegn i den deriverte av eksponentialfaktoren.

Steg 1 — Del funksjonen i faktorer

Sett \(u(x)=4x^2\) og \(v(x)=e^{-x}\).

Steg 2 — Deriver første faktor

\[u'(x)=8x.\]

Steg 3 — Deriver eksponentialfaktoren

Med kjernen \(-x\) får vi \[v'(x)=-e^{-x}.\]

Steg 4 — Bruk produktregelen

\[f'(x)=u'v+uv'=8xe^{-x}+4x^2(-e^{-x}).\]

Steg 5 — Forenkle

\[f'(x)=8xe^{-x}-4x^2e^{-x}.\]

Steg 6 — Faktoriser for grafanalyse

\[f'(x)=4xe^{-x}(2-x).\] Siden \(e^{-x}>0\), bestemmes fortegnet av \(x(2-x)\).

Steg 7 — Finn nullpunktene

\(f'(x)=0\) når \(x=0\) eller \(x=2\). Grafen er negativ før 0, positiv mellom 0 og 2 og negativ etter 2.

Steg 8 — Tegn grafen

Plott den faktoriserte eller utvidede funksjonen i grafikkfeltet og marker nullpunktene 0 og 2.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 4*x**2*exp(-x)
f_derivert = diff(f, x)
f_faktorisert = factor(f_derivert)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) utvidet =", f_derivert)
print("f'(x) faktorisert =", f_faktorisert)
print("Kontroll mot oppgitt form =", simplify(f_derivert - (8*x*exp(-x) - 4*x**2*exp(-x))))
for verdi in [-1, 0, 1, 2, 3, 5]:
    print(f"f'({verdi}) = {float(f_derivert.subs(x, verdi)):.6f}")

Utskrift fra Python:
f(x) = 4*x**2*exp(-x)
f'(x) utvidet = -4*x**2*exp(-x) + 8*x*exp(-x)
f'(x) faktorisert = -4*x*(x - 2)*exp(-x)
Kontroll mot oppgitt form = 0
f'(-1) = -32.619382
f'(0) = 0.000000
f'(1) = 1.471518
f'(2) = 0.000000
f'(3) = -0.597445
f'(5) = -0.404277

Fasit: \(f'(x)=8xe^{-x}-4x^2e^{-x}=4xe^{-x}(2-x)\).

Hva spør oppgaven om? Nullpunktene og fortegnet til f' gir topp- og bunnpunkter. Lokale ekstremalpunkter på f' tilsvarer nullpunkter til f'' og dermed vendepunkter på f.

Steg 1 — Finn kritiske punkter fra f'

\[f'(x)=4xe^{-x}(2-x)=0.\] Siden \(e^{-x}\ne0\), får vi \(x=0\) eller \(x=2\).

Steg 2 — Lag fortegn for f'

For \(x<0\) er f' negativ. For \(0<x<2\) er f' positiv. For \(x>2\) er f' negativ.

Steg 3 — Klassifiser x=0

f' går fra negativ til positiv, så f har et bunnpunkt ved \(x=0\). \[f(0)=0.\] Bunnpunktet er \((0,0)\).

Steg 4 — Klassifiser x=2

f' går fra positiv til negativ, så f har et toppunkt ved \(x=2\). \[f(2)=\frac{16}{e^2}\approx2{,}165.\]

Steg 5 — Finn f''

\[f''(x)=4e^{-x}(x^2-4x+2).\]

Steg 6 — Finn mulige vendepunkter

\[x^2-4x+2=0\quad\Rightarrow\quad x=2\pm\sqrt2.\]

Steg 7 — Kontroller fortegnsskifte i f''

Andregradsfaktoren er positiv utenfor røttene og negativ mellom dem. Dermed skifter f'' fortegn ved begge x-verdiene.

Steg 8 — Beregn koordinatene

Vendepunktene er \[\left(2-\sqrt2,\,4(2-\sqrt2)^2e^{-2+\sqrt2}\right)\approx(0{,}586,0{,}764)\] og \[\left(2+\sqrt2,\,4(2+\sqrt2)^2e^{-2-\sqrt2}\right)\approx(3{,}414,1{,}534).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, solve, sqrt, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
f = 4*x**2*exp(-x)
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f1, x)
kritiske = solve(f1, x)
vender = solve(f2, x)

print("f'(x) =", simplify(f1))
print("f''(x) =", simplify(f2))
print("Kritiske x-verdier =", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("Punkt:", (verdi, simplify(f.subs(x, verdi))), "≈", (float(verdi), float(f.subs(x, verdi))))
print("Vendepunktenes x-verdier =", vender)
for verdi in vender:
    print("Vendepunkt:", (verdi, simplify(f.subs(x, verdi))), "≈", (float(N(verdi)), float(N(f.subs(x, verdi)))))

Utskrift fra Python:
f'(x) = 4*x*(2 - x)*exp(-x)
f''(x) = 4*(x**2 - 4*x + 2)*exp(-x)
Kritiske x-verdier = [0, 2]
Punkt: (0, 0) ≈ (0.0, 0.0)
Punkt: (2, 16*exp(-2)) ≈ (2.0, 2.1653645317858032)
Vendepunktenes x-verdier = [2 - sqrt(2), sqrt(2) + 2]
Vendepunkt: (2 - sqrt(2), 4*(2 - sqrt(2))**2*exp(-2 + sqrt(2))) ≈ (0.585786437626905, 0.7640729042279077)
Vendepunkt: (sqrt(2) + 2, 4*(sqrt(2) + 2)**2*exp(-2 - sqrt(2))) ≈ (3.414213562373095, 1.5341479620501546)

Fasit: Bunnpunkt \((0,0)\), toppunkt \(\left(2,16/e^2\right)\), og vendepunkter ved \(x=2\pm\sqrt2\) med y-verdier som oppgitt.

Hva spør oppgaven om? Begge trekantene har en side i kvadratet som grunnlinje. Høydene til de parallelle sidene AB og CD summerer seg til a.

Steg 1 — Bruk trekantformelen

Arealet av en trekant er \(\frac12\cdot\text{grunnlinje}\cdot\text{høyde}\).

Steg 2 — Finn grunnlinjen til ABP

Grunnlinjen AB har lengde a, og høyden fra P til AB er h.

Steg 3 — Beregn arealet av ABP

\[A_{ABP}=\frac12 ah.\]

Steg 4 — Finn avstanden fra P til CD

Avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD er a. Når avstanden fra P til AB er h, er avstanden fra P til CD \(a-h\).

Steg 5 — Finn grunnlinjen til PCD

Grunnlinjen CD har også lengde a.

Steg 6 — Beregn arealet av PCD

\[A_{PCD}=\frac12 a(a-h).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify

a, h = symbols('a h', positive=True)
areal_ABP = a*h/2
hoyde_PCD = a - h
areal_PCD = a*hoyde_PCD/2

print("Grunnlinje AB =", a)
print("Høyde til AB =", h)
print("Areal ABP =", areal_ABP)
print("Grunnlinje CD =", a)
print("Høyde til CD =", hoyde_PCD)
print("Areal PCD =", simplify(areal_PCD))

Utskrift fra Python:
Grunnlinje AB = a
Høyde til AB = h
Areal ABP = a*h/2
Grunnlinje CD = a
Høyde til CD = a - h
Areal PCD = a*(a - h)/2

Fasit: \(A_{ABP}=\frac12ah\) og \(A_{PCD}=\frac12a(a-h)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal legge sammen uttrykkene fra a og forenkle. Deretter tolker vi hvorfor svaret ikke avhenger av plasseringen til P.

Steg 1 — Skriv arealsummen

\[A_{ABP}+A_{PCD}=\frac12ah+\frac12a(a-h).\]

Steg 2 — Multipliser ut den andre parentesen

\[\frac12a(a-h)=\frac12a^2-\frac12ah.\]

Steg 3 — Sett leddene sammen

\[\frac12ah+\frac12a^2-\frac12ah.\]

Steg 4 — Kanseller h-leddene

\(\frac12ah-\frac12ah=0\), så summen blir \[\frac12a^2.\]

Steg 5 — Sammenlign med kvadratet

Kvadratets areal er \(a^2\). Summen av trekantarealene er derfor nøyaktig halvparten av kvadratet.

Steg 6 — Beskriv invariansen

Resultatet inneholder ikke h. Summen er dermed den samme uansett hvor punktet P ligger inne i kvadratet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify, expand

a, h = symbols('a h', positive=True)
areal1 = a*h/2
areal2 = a*(a-h)/2
sum_areal = simplify(areal1 + areal2)

print("Areal ABP =", areal1)
print("Areal PCD =", areal2)
print("Sum før forenkling =", areal1 + areal2)
print("Utvidet sum =", expand(areal1 + areal2))
print("Forenklet sum =", sum_areal)
print("Andel av kvadratets areal =", simplify(sum_areal/a**2))

Utskrift fra Python:
Areal ABP = a*h/2
Areal PCD = a*(a - h)/2
Sum før forenkling = a*h/2 + a*(a - h)/2
Utvidet sum = a**2/2
Forenklet sum = a**2/2
Andel av kvadratets areal = 1/2

Fasit: \(A_{ABP}+A_{PCD}=\frac12a^2\), altså halvparten av kvadratets areal, uavhengig av P.

Hva spør oppgaven om? Vi skal trekke koordinater for å finne vektorene. Vinkelen mellom dem finnes med skalarproduktformelen.

Steg 1 — Finn AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(7-(-1),-2-0)=(8,-2).\]

Steg 2 — Finn AC

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(3-(-1),6-0)=(4,6).\]

Steg 3 — Beregn skalarproduktet

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\cdot4+(-2)\cdot6=32-12=20.\]

Steg 4 — Beregn lengden av AB

\[|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.\]

Steg 5 — Beregn lengden av AC

\[|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]

Steg 6 — Bruk vinkel formelen

\[\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{(2\sqrt{17})(2\sqrt{13})}=\frac5{\sqrt{221}}.\]

Steg 7 — Finn vinkelen

\[A=\cos^{-1}\left(\frac5{\sqrt{221}}\right)\approx70{,}35^{\circ}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, sqrt, acos, pi, N, simplify

A = Matrix([-1, 0])
B = Matrix([7, -2])
C = Matrix([3, 6])
AB = B - A
AC = C - A
skalarprodukt = AB.dot(AC)
cos_A = simplify(skalarprodukt/(AB.norm()*AC.norm()))
vinkel_A = acos(cos_A)*180/pi

print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("AB · AC =", skalarprodukt)
print("|AB| =", AB.norm())
print("|AC| =", AC.norm())
print("cos(A) =", cos_A)
print("Vinkel A ≈", N(vinkel_A, 12), "grader")

Utskrift fra Python:
AB = Matrix([[8, -2]])
AC = Matrix([[4, 6]])
AB · AC = 20
|AB| = 2*sqrt(17)
|AC| = 2*sqrt(13)
cos(A) = 5*sqrt(221)/221
Vinkel A ≈ 70.3461759419 grader

Fasit: \(\overrightarrow{AB}=(8,-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(4,6)\), og \(\angle A\approx70{,}35^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne koordinatene til D og E fra delingsforholdet. Deretter sammenligner vi DE med BC.

Steg 1 — Bruk AB fra a

\[\overrightarrow{AD}=\frac34(8,-2)=(6,-\tfrac32).\]

Steg 2 — Finn punktet D

\[D=A+\overrightarrow{AD}=(-1,0)+(6,-\tfrac32)=(5,-\tfrac32).\]

Steg 3 — Bruk AC fra a

\[\overrightarrow{AE}=\frac34(4,6)=(3,\tfrac92).\]

Steg 4 — Finn punktet E

\[E=A+\overrightarrow{AE}=(-1,0)+(3,\tfrac92)=(2,\tfrac92).\]

Steg 5 — Finn DE

\[\overrightarrow{DE}=E-D=(2-5,\tfrac92-(-\tfrac32))=(-3,6).\]

Steg 6 — Finn BC

\[\overrightarrow{BC}=C-B=(3-7,6-(-2))=(-4,8).\]

Steg 7 — Sammenlign vektorene

\[\overrightarrow{DE}=\frac34\overrightarrow{BC},\] fordi \(\frac34(-4,8)=(-3,6)\).

Steg 8 — Konkluder parallellitet

Når én vektor er et positivt skalar multiplum av den andre, har de samme retning. Derfor er \(DE\parallel BC\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, Rational, simplify

A = Matrix([-1, 0])
B = Matrix([7, -2])
C = Matrix([3, 6])
D = A + Rational(3,4)*(B - A)
E = A + Rational(3,4)*(C - A)
DE = E - D
BC = C - B

print("D =", D.T)
print("E =", E.T)
print("DE =", DE.T)
print("BC =", BC.T)
print("(3/4)*BC =", (Rational(3,4)*BC).T)
print("DE - (3/4)*BC =", (DE - Rational(3,4)*BC).T)

Utskrift fra Python:
D = Matrix([[5, -3/2]])
E = Matrix([[2, 9/2]])
DE = Matrix([[-3, 6]])
BC = Matrix([[-4, 8]])
(3/4)*BC = Matrix([[-3, 6]])
DE - (3/4)*BC = Matrix([[0, 0]])

Fasit: \(\overrightarrow{DE}=(-3,6)=\frac34\overrightarrow{BC}\), så \(DE\parallel BC\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke D og E med parameteren t. Når vi trekker vektorene fra hverandre, skal t-leddene kanselleres.

Steg 1 — Skriv punktet A med parameter

\[A=(t,0),\quad B=(7,-2),\quad C=(3,6).\]

Steg 2 — Skriv D som delingspunkt

\[D=A+\frac34(B-A)=\frac14A+\frac34B.\]

Steg 3 — Skriv E som delingspunkt

\[E=A+\frac34(C-A)=\frac14A+\frac34C.\]

Steg 4 — Trekk D fra E

\[\overrightarrow{DE}=E-D=\left(\frac14A+\frac34C\right)-\left(\frac14A+\frac34B\right).\]

Steg 5 — Kanseller A-leddene

\[\overrightarrow{DE}=\frac34(C-B)=\frac34\overrightarrow{BC}.\] Parameteren t forsvinner.

Steg 6 — Sett inn BC

\[\overrightarrow{DE}=\frac34(-4,8)=(-3,6).\]

Steg 7 — Finn lengden

\[|DE|=\sqrt{(-3)^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5.\]

Steg 8 — Konkluder

Både vektoren og lengden er uavhengige av t. Derfor har DE samme lengde for alle verdier av t.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, Rational, simplify

t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([t, 0])
B = Matrix([7, -2])
C = Matrix([3, 6])
D = A + Rational(3,4)*(B - A)
E = A + Rational(3,4)*(C - A)
DE = simplify(E - D)
lengde = simplify(DE.norm())

print("D(t) =", D.T)
print("E(t) =", E.T)
print("DE(t) =", DE.T)
print("|DE(t)| =", lengde)
print("Inneholder DE parameteren t?", any(component.has(t) for component in DE))

Utskrift fra Python:
D(t) = Matrix([[t/4 + 21/4, -3/2]])
E(t) = Matrix([[t/4 + 9/4, 9/2]])
DE(t) = Matrix([[-3, 6]])
|DE(t)| = 3*sqrt(5)
Inneholder DE parameteren t? False

Fasit: \(\overrightarrow{DE}=(-3,6)\) og \(|DE|=3\sqrt5\) for alle t.

Hva spør oppgaven om? Vinkelen ved A er mellom vektorene AB og AC. Den er 90° når skalarproduktet er 0.

Steg 1 — Finn AB med parameter

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(7-t,-2).\]

Steg 2 — Finn AC med parameter

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(3-t,6).\]

Steg 3 — Sett skalarproduktet lik null

\[(7-t)(3-t)+(-2)\cdot6=0.\]

Steg 4 — Multipliser ut

\[(7-t)(3-t)-12=21-10t+t^2-12=t^2-10t+9.\]

Steg 5 — Løs andregradslikningen

\[t^2-10t+9=0.\] Faktoren er \[(t-1)(t-9)=0.\]

Steg 6 — Finn parameterverdiene

\[t=1\quad\text{eller}\quad t=9.\]

Steg 7 — Kontroller geometrisk

For begge verdiene er \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\), så sidene gjennom A står vinkelrett på hverandre.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, expand, factor

t = symbols('t', real=True)
AB = (7 - t, -2)
AC = (3 - t, 6)
skalarprodukt = expand(AB[0]*AC[0] + AB[1]*AC[1])
losninger = solve(skalarprodukt, t)

print("AB =", AB)
print("AC =", AC)
print("AB · AC =", skalarprodukt)
print("Faktorisert =", factor(skalarprodukt))
print("Løsninger for t =", losninger)
for verdi in losninger:
    print(f"Kontroll t={verdi}: skalarprodukt =", skalarprodukt.subs(t, verdi))

Utskrift fra Python:
AB = (7 - t, -2)
AC = (3 - t, 6)
AB · AC = t**2 - 10*t + 9
Faktorisert = (t - 9)*(t - 1)
Løsninger for t = [1, 9]
Kontroll t=1: skalarprodukt = 0
Kontroll t=9: skalarprodukt = 0

Fasit: \(t=1\) eller \(t=9\).

Hva spør oppgaven om? Del d fant rett vinkel ved A. Nå undersøker vi separat rett vinkel ved B og ved C ved å bruke skalarprodukt.

Steg 1 — Undersøk vinkelen ved B

Vektorene som starter i B er \[\overrightarrow{BA}=(t-7,2),\qquad \overrightarrow{BC}=(-4,8).\]

Steg 2 — Sett skalarproduktet ved B lik null

\[(t-7)(-4)+2\cdot8=0.\]

Steg 3 — Løs for t ved B

\[-4t+28+16=0\quad\Rightarrow\quad -4t+44=0\quad\Rightarrow\quad t=11.\]

Steg 4 — Undersøk vinkelen ved C

Vektorene som starter i C er \[\overrightarrow{CA}=(t-3,-6),\qquad \overrightarrow{CB}=(4,-8).\]

Steg 5 — Sett skalarproduktet ved C lik null

\[4(t-3)+(-6)(-8)=0.\]

Steg 6 — Løs for t ved C

\[4t-12+48=0\quad\Rightarrow\quad4t+36=0\quad\Rightarrow\quad t=-9.\]

Steg 7 — Samle de nye verdiene

De andre verdiene enn dem fra del d er derfor \(t=11\) og \(t=-9\).

Steg 8 — Gi total oversikt

Trekanten er rettvinklet for \(t=-9,1,9,11\), med rett vinkel ved henholdsvis C, A, A og B.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, expand

t = symbols('t', real=True)
BA = (t - 7, 2)
BC = (-4, 8)
CA = (t - 3, -6)
CB = (4, -8)
dot_B = expand(BA[0]*BC[0] + BA[1]*BC[1])
dot_C = expand(CA[0]*CB[0] + CA[1]*CB[1])

print("BA · BC =", dot_B)
print("Rett vinkel ved B gir t =", solve(dot_B, t))
print("CA · CB =", dot_C)
print("Rett vinkel ved C gir t =", solve(dot_C, t))
print("Alle ikke-degenererte rettvinklede tilfeller: t = -9, 1, 9, 11")

Utskrift fra Python:
BA · BC = 44 - 4*t
Rett vinkel ved B gir t = [11]
CA · CB = 4*t + 36
Rett vinkel ved C gir t = [-9]
Alle ikke-degenererte rettvinklede tilfeller: t = -9, 1, 9, 11

Fasit: Andre verdier er \(t=-9\) og \(t=11\). Totalt gir \(t=-9,1,9,11\) en rettvinklet trekant.

Hva spør oppgaven om? AG er romdiagonalen i terningen. Vi kan bruke Pytagoras først i grunnflaten og deretter i en rettvinklet trekant som inneholder AG.

Steg 1 — Finn en flatediagonal

I kvadratet ABCD er \[AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2.\]

Steg 2 — Finn en rettvinklet trekant med AG

Trekanten ACG er rettvinklet i C, fordi CG står vinkelrett på grunnflaten.

Steg 3 — Sett opp Pytagoras

\[AG^2=AC^2+CG^2.\]

Steg 4 — Sett inn lengdene

\[AG^2=(2\sqrt2)^2+2^2=8+4=12.\]

Steg 5 — Ta positiv kvadratrot

Lengder er positive, så \[AG=\sqrt{12}=2\sqrt3.\]

Steg 6 — Kontroller direkte

En romdiagonal har endring 2 i tre gjensidig vinkelrette retninger: \[AG=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt3.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import sqrt, simplify

side = 2
flate_diagonal = sqrt(side**2 + side**2)
rom_diagonal = sqrt(flate_diagonal**2 + side**2)
direkte = sqrt(side**2 + side**2 + side**2)

print("Side =", side)
print("Flatediagonal AC =", flate_diagonal)
print("Romdiagonal AG =", simplify(rom_diagonal))
print("Direkte tredimensjonal kontroll =", simplify(direkte))
print("Desimalverdi =", float(rom_diagonal))

Utskrift fra Python:
Side = 2
Flatediagonal AC = 2*sqrt(2)
Romdiagonal AG = 2*sqrt(3)
Direkte tredimensjonal kontroll = 2*sqrt(3)
Desimalverdi = 3.4641016151377544

Fasit: \(AG=2\sqrt3\approx3{,}464\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne AP i frontflaten og PG i toppflaten. Begge er hypotenuser i rettvinklede trekanter.

Steg 1 — Finn EP

Kanten EF har lengde 2. Når \(PF=x\), er \[EP=EF-PF=2-x.\]

Steg 2 — Se på frontflaten

I frontkvadratet har den rettvinklede trekanten fra A til P kateter \(AE=2\) og \(EP=2-x\).

Steg 3 — Beregn AP

\[AP=\sqrt{AE^2+EP^2}=\sqrt{2^2+(2-x)^2}.\]

Steg 4 — Se på toppflaten

På toppflaten har trekanten fra P til G kateter \(PF=x\) og dybden \(FG=2\).

Steg 5 — Beregn PG

\[PG=\sqrt{PF^2+FG^2}=\sqrt{x^2+2^2}.\]

Steg 6 — Legg sammen delstrekningene

Mauren går A-P-G, så \[s(x)=AP+PG=\sqrt{2^2+(2-x)^2}+\sqrt{x^2+2^2}.\]

Steg 7 — Oppgi intervallet

Siden P ligger på EF, må \(0\le x\le2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, simplify

x = symbols('x', real=True, nonnegative=True)
AP = sqrt(2**2 + (2-x)**2)
PG = sqrt(x**2 + 2**2)
s = simplify(AP + PG)

print("PF = x")
print("EP = 2 - x")
print("AP =", AP)
print("PG =", PG)
print("Total strekning s(x) =", s)
print("Gyldig intervall: 0 <= x <= 2")

Utskrift fra Python:
PF = x
EP = 2 - x
AP = sqrt((2 - x)**2 + 4)
PG = sqrt(x**2 + 4)
Total strekning s(x) = sqrt(x**2 + 4) + sqrt((x - 2)**2 + 4)
Gyldig intervall: 0 <= x <= 2

Fasit: \(s(x)=\sqrt{4+(2-x)^2}+\sqrt{x^2+4}\), for \(0\le x\le2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal minimere s(x) på det lukkede intervallet 0≤x≤2. Vi undersøker kritiske punkter og endepunkter.

Steg 1 — Skriv funksjonen

\[s(x)=\sqrt{4+(2-x)^2}+\sqrt{x^2+4}.\]

Steg 2 — Legg merke til symmetrien

Bytter vi x med \(2-x\), bytter de to rotleddene plass. Derfor er \(s(2-x)=s(x)\), og symmetripunktet er \(x=1\).

Steg 3 — Deriver digitalt eller analytisk

\[s'(x)=\frac{x-2}{\sqrt{4+(2-x)^2}}+\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.\]

Steg 4 — Løs s'(x)=0

CAS gir den eneste løsningen i intervallet: \[x=1.\]

Steg 5 — Beregn funksjonsverdien

\[s(1)=\sqrt{4+1}+\sqrt{1+4}=2\sqrt5=\sqrt{20}.\]

Steg 6 — Kontroller endepunktene

\[s(0)=\sqrt8+2\approx4{,}828,\qquad s(2)=2+\sqrt8\approx4{,}828.\] Begge er større enn \(s(1)\approx4{,}472\).

Steg 7 — Konkluder

Korteste vei oppstår når P er midtpunktet på EF, altså når \(PF=1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, solve, simplify, N

x = symbols('x', real=True)
s = sqrt(4 + (2-x)**2) + sqrt(x**2 + 4)
s_derivert = simplify(diff(s, x))
kritiske = solve(s_derivert, x)

print("s(x) =", s)
print("s'(x) =", s_derivert)
print("Kritiske punkter =", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("s(", verdi, ") =", simplify(s.subs(x, verdi)), "≈", N(s.subs(x, verdi), 12))
print("s(0) =", N(s.subs(x, 0), 12))
print("s(2) =", N(s.subs(x, 2), 12))

Utskrift fra Python:
s(x) = sqrt(x**2 + 4) + sqrt((2 - x)**2 + 4)
s'(x) = x/sqrt((x - 2)**2 + 4) + x/sqrt(x**2 + 4) - 2/sqrt((x - 2)**2 + 4)
Kritiske punkter = [1]
s( 1 ) = 2*sqrt(5) ≈ 4.47213595500
s(0) = 4.82842712475
s(2) = 4.82842712475

Fasit: \(s_{\min}=2\sqrt5=\sqrt{20}\approx4{,}472\), ved \(x=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal folde toppflaten inn i samme plan som frontflaten. En knekt overflatevei blir da en rett linje i et rektangel.

Steg 1 — Behold frontflaten i planet

Frontflaten ABEF er et kvadrat med side 2.

Steg 2 — Sving toppflaten rundt EF

Når EFGH roteres 90° ut i frontflatens plan, kommer bildet av G til et punkt \(G'\) over den utfoldede flaten.

Steg 3 — Beskriv den utfoldede figuren

De to kvadratene danner et rektangel med bredde 2 og samlet høyde 4.

Steg 4 — Gjør den knekte veien rett

For hvert punkt P på felleskanten EF er overflateveien AP+PG lik den plane knekkveien AP+PG'. Den korteste veien mellom A og G' er den rette linjen AG'.

Steg 5 — Bruk Pytagoras i rektangelet

\[AG'=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\]

Steg 6 — Finn hvor linjen krysser EF

Den rette diagonalen krysser felleskanten midt på, slik at \(PF=1\). Dette samsvarer med den analytiske løsningen.

Steg 7 — Konkluder

Elevens resonnement er en korrekt utfoldingsmetode: korteste overflatevei blir en rett linje når flatene legges i samme plan.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import sqrt, simplify

bredde = 2
hoyde = 4
rett_linje = sqrt(bredde**2 + hoyde**2)
x_kryss = bredde/2

print("Utfoldet rektangel: bredde =", bredde, "og høyde =", hoyde)
print("Rett linje fra A til G' =", simplify(rett_linje))
print("Desimalverdi =", float(rett_linje))
print("Linjen krysser felleskanten i midtpunktet.")
print("Dermed er PF =", x_kryss)

Utskrift fra Python:
Utfoldet rektangel: bredde = 2 og høyde = 4
Rett linje fra A til G' = 2*sqrt(5)
Desimalverdi = 4.47213595499958
Linjen krysser felleskanten i midtpunktet.
Dermed er PF = 1.0

Fasit: Utfoldingen gir et \(2\times4\)-rektangel, så korteste vei er diagonalen \(\sqrt{20}\), med \(PF=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal se på trekanten BCD. To sider er 16 m, og den indre vinkelen i en regulær sekskant er 120°.

Steg 1 — Finn sidene i trekanten BCD

Siden sekskanten er regulær, er \(BC=CD=16\text{ m}\).

Steg 2 — Finn vinkelen ved C

En indre vinkel i en regulær sekskant er \[\frac{(6-2)180^{\circ}}6=120^{\circ}.\]

Steg 3 — Bruk cosinussetningen

\[BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos120^{\circ}.\]

Steg 4 — Sett inn tall

\[BD^2=16^2+16^2-2\cdot16\cdot16\left(-\frac12\right).\]

Steg 5 — Regn ut

\[BD^2=256+256+256=768.\]

Steg 6 — Ta kvadratroten

\[BD=\sqrt{768}=\sqrt{256\cdot3}=16\sqrt3.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import sqrt, cos, pi, simplify, N

side = 16
vinkel_C = 2*pi/3
BD_kvadrat = side**2 + side**2 - 2*side*side*cos(vinkel_C)
BD = simplify(sqrt(BD_kvadrat))

print("BC = CD =", side)
print("Vinkel BCD = 120 grader")
print("BD**2 =", simplify(BD_kvadrat))
print("BD =", BD)
print("BD ≈", N(BD, 12), "meter")

Utskrift fra Python:
BC = CD = 16
Vinkel BCD = 120 grader
BD**2 = 768
BD = 16*sqrt(3)
BD ≈ 27.7128129211 meter

Fasit: \(BD=16\sqrt3\text{ m}\approx27{,}71\text{ m}\).

Hva spør oppgaven om? Alle hjørnene i en regulær sekskant ligger på samme omsirkel. Vi bruker periferivinkelsetningen for korden AB.

Steg 1 — Bruk omsirkelen

En regulær sekskant er innskrevet i en sirkel, og alle hjørnene A-F ligger på denne sirkelen.

Steg 2 — Finn sentralvinkelen over én side

Sirkelen deles i seks like sektorer. Derfor er sentralvinkelen over korden AB \[\angle AOB=360^{\circ}/6=60^{\circ}.\]

Steg 3 — Plasser S på motsatt bue

Når S er C, D, E eller F, ligger S på den store buen fra B til A, altså på motsatt side av korden fra den lille buen AB.

Steg 4 — Bruk periferivinkelsetningen

En periferivinkel er halvparten av sentralvinkelen som spenner over samme bue: \[\angle ASB=\frac12\angle AOB.\]

Steg 5 — Beregn vinkelen

\[\alpha=\frac12\cdot60^{\circ}=30^{\circ}.\]

Steg 6 — Forklar hvorfor plasseringen ikke betyr noe

Alle punkter på den samme buen ser korden AB under samme vinkel. Derfor gjelder 30° for alle fire hjørnene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math

sentralvinkel_AB = 60
innskrevet_vinkel = sentralvinkel_AB/2
hjornene = ["C", "D", "E", "F"]

print("Sentralvinkelen som spenner over siden AB =", sentralvinkel_AB, "grader")
print("Innskrevet vinkel over samme bue =", innskrevet_vinkel, "grader")
for punkt in hjornene:
    print(f"Når S={punkt}, er vinkel ASB = {innskrevet_vinkel:.0f} grader")
print("Alle fire punktene ligger på samme bue motsatt AB.")

Utskrift fra Python:
Sentralvinkelen som spenner over siden AB = 60 grader
Innskrevet vinkel over samme bue = 30.0 grader
Når S=C, er vinkel ASB = 30 grader
Når S=D, er vinkel ASB = 30 grader
Når S=E, er vinkel ASB = 30 grader
Når S=F, er vinkel ASB = 30 grader
Alle fire punktene ligger på samme bue motsatt AB.

Fasit: \(\alpha=30^{\circ}\) for \(S=C,D,E\) eller F.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne det geometriske stedet for punkter S som ser linjestykket AB under en rett vinkel. Thales’ setning gir dette stedet direkte.

Steg 1 — Bruk Thales’ setning

\(\angle ASB=90^{\circ}\) nøyaktig når S ligger på en sirkel med AB som diameter, bortsett fra endepunktene A og B.

Steg 2 — Konstruer midtpunktet

Konstruer midtpunktet M på scenekanten AB. Siden \(AB=16\text{ m}\), er \(AM=BM=8\text{ m}\).

Steg 3 — Tegn sirkelen

Tegn sirkelen med sentrum M og radius 8 m.

Steg 4 — Avgrens til teatersalen

Bare den delen av sirkelen som ligger inne i den regulære sekskanten kan inneholde seter.

Steg 5 — Velg riktig halvsirkel

Salen ligger på innsiden av scenekanten AB. Dermed er den innvendige halvsirkelen over AB det relevante geometriske stedet.

Steg 6 — Ekskluder endepunktene

Punktene A og B kan ikke brukes som sete for vinkelen, fordi vinkelens to stråler da ikke er definert som ønsket.

Steg 7 — Konkluder konstruksjonen

Alle punkter på den innvendige halvsirkelen, bortsett fra A og B, gir \(\alpha=90^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import numpy as np

A = np.array([-8.0, 0.0])
B = np.array([8.0, 0.0])
M = (A + B)/2
radius = np.linalg.norm(B - A)/2
S = np.array([0.0, radius])
SA = A - S
SB = B - S
dot = float(np.dot(SA, SB))

print("Midtpunkt M =", M)
print("Radius i Thales-sirkelen =", radius)
print("Eksempelpunkt S på øvre halvsirkel =", S)
print("SA · SB =", dot)
print("Skalarprodukt 0 bekrefter vinkel ASB = 90 grader")
print("Locus: den halvsirkelen med AB som diameter som ligger inne i salen")

Utskrift fra Python:
Midtpunkt M = [0. 0.]
Radius i Thales-sirkelen = 8.0
Eksempelpunkt S på øvre halvsirkel = [0. 8.]
SA · SB = 0.0
Skalarprodukt 0 bekrefter vinkel ASB = 90 grader
Locus: den halvsirkelen med AB som diameter som ligger inne i salen

Fasit: Setene må ligge på halvsirkelen inne i salen som har AB som diameter, med A og B utelatt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal konstruere en sirkelbue gjennom A og B der korden AB blir sett under 45°. Periferivinkelsetningen bestemmer sirkelens sentralvinkel og radius.

Steg 1 — Knytt periferivinkel til sentralvinkel

Når \(\angle ASB=45^{\circ}\), må den tilhørende sentralvinkelen over den lille buen AB være \(90^{\circ}\).

Steg 2 — Finn radiusen

For en korde med lengde 16 og sentralvinkel 90° gjelder \[16=2R\sin45^{\circ}.\]

Steg 3 — Løs for R

\[R=\frac{16}{2\sin45^{\circ}}=\frac8{\sqrt2/2}=8\sqrt2.\]

Steg 4 — Finn mulige sentre

Sirkelens sentrum ligger på midtnormalen til AB. Avstanden fra sentrum til AB er \[\sqrt{R^2-8^2}=\sqrt{128-64}=8.\] Det finnes to symmetriske sentre.

Steg 5 — Velg relevant sentrum

For å få en bue som går inn i teatersalen, velger vi sentrum 8 m på utsiden av salen, under scenekanten AB.

Steg 6 — Tegn buen

Tegn sirkelen med radius \(8\sqrt2\) gjennom A og B og behold buen som ligger inne i salen.

Steg 7 — Kontroller vinkelen

Ethvert punkt S på denne buen ser korden AB under \(45^{\circ}\), fordi periferivinkelen er halvparten av 90°.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp

AB = sp.Integer(16)
alpha = sp.pi/4
R = sp.simplify(AB/(2*sp.sin(alpha)))
avstand_senter_til_korde = sp.simplify(sp.sqrt(R**2 - (AB/2)**2))

print("Korde AB =", AB)
print("Ønsket periferivinkel = pi/4")
print("Sirkelradius R =", R)
print("Avstand fra sirkelens sentrum til AB =", avstand_senter_til_korde)
print("Numerisk radius =", float(R))
print("Relevant bue er den som ligger inne i teatersalen på motsatt side av sentrum.")

Utskrift fra Python:
Korde AB = 16
Ønsket periferivinkel = pi/4
Sirkelradius R = 8*sqrt(2)
Avstand fra sirkelens sentrum til AB = 8
Numerisk radius = 11.313708498984761
Relevant bue er den som ligger inne i teatersalen på motsatt side av sentrum.

Fasit: S kan ligge på den sirkelbuen gjennom A og B med radius \(8\sqrt2\) m og sentrum 8 m på utsiden av scenekanten.

Hva spør oppgaven om? A er tangentens skjæring med x-aksen, og B er skjæringen med y-aksen. Vi setter derfor henholdsvis y=0 og x=0.

Steg 1 — Finn A ved å sette y=0

\[0=-\frac{a}{\sqrt{9-a^2}}x+\frac9{\sqrt{9-a^2}}.\]

Steg 2 — Multipliser med nevneren

Siden \(0<a<3\), er \(\sqrt{9-a^2}>0\). Vi får \[0=-ax+9.\]

Steg 3 — Løs for x

\[ax=9\quad\Rightarrow\quad x=\frac9a.\]

Steg 4 — Skriv A

\[A=\left(\frac9a,0\right).\]

Steg 5 — Finn B ved å sette x=0

\[y=-\frac{a}{\sqrt{9-a^2}}\cdot0+\frac9{\sqrt{9-a^2}}=\frac9{\sqrt{9-a^2}}.\]

Steg 6 — Skriv B

\[B=\left(0,\frac9{\sqrt{9-a^2}}\right).\]

Steg 7 — Oppgi parameterkravet

Vi må ha \(0<a<3\), slik at begge skjæringspunktene er endelige og tangenten ligger som i figuren.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, solve, simplify

a, x, y = symbols('a x y', positive=True)
b = sqrt(9 - a**2)
tangent = -a/b*x + 9/b
x_akse = solve(tangent, x)[0]
y_akse = simplify(tangent.subs(x, 0))

print("Tangentlikning y =", tangent)
print("x-skjæring: sett y=0")
print("x_A =", simplify(x_akse))
print("y-skjæring: sett x=0")
print("y_B =", y_akse)
print("A =", (simplify(x_akse), 0))
print("B =", (0, y_akse))

Utskrift fra Python:
Tangentlikning y = -a*x/sqrt(9 - a**2) + 9/sqrt(9 - a**2)
x-skjæring: sett y=0
x_A = 9/a
y-skjæring: sett x=0
y_B = 9/sqrt(9 - a**2)
A = (9/a, 0)
B = (0, 9/sqrt(9 - a**2))

Fasit: \(A=(9/a,0)\) og \(B=(0,9/\sqrt{9-a^2})\), for \(0<a<3\).

Hva spør oppgaven om? Trekanten OAB er rettvinklet i O. Katetene er koordinataksenes avsnitt OA og OB fra del a.

Steg 1 — Finn lengden OA

A ligger på x-aksen i \((9/a,0)\), så \[OA=\frac9a.\]

Steg 2 — Finn lengden OB

B ligger på y-aksen i \((0,9/\sqrt{9-a^2})\), så \[OB=\frac9{\sqrt{9-a^2}}.\]

Steg 3 — Bruk trekantarealet

Siden OA og OB står vinkelrett, er \[F(a)=\frac12\cdot OA\cdot OB.\]

Steg 4 — Sett inn katetene

\[F(a)=\frac12\cdot\frac9a\cdot\frac9{\sqrt{9-a^2}}.\]

Steg 5 — Multipliser tellerne

\[F(a)=\frac{81}{2a\sqrt{9-a^2}}.\]

Steg 6 — Skriv i oppgavens form

\[F(a)=\frac{81}{2}\cdot\frac1{a\sqrt{9-a^2}}.\] Dette er det som skulle vises.

Steg 7 — Oppgi definisjonsområdet

For den viste trekanten gjelder \(0<a<3\). Ved endepunktene går ett av akseavsnittene mot uendelig eller blir udefinert.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, simplify

a = symbols('a', positive=True)
OA = 9/a
OB = 9/sqrt(9-a**2)
F = simplify(OA*OB/2)
maal = 81/(2*a*sqrt(9-a**2))

print("OA =", OA)
print("OB =", OB)
print("F = 1/2 * OA * OB =", F)
print("Måluttrykk =", maal)
print("Forskjell =", simplify(F - maal))
print("Gyldig for 0 < a < 3")

Utskrift fra Python:
OA = 9/a
OB = 9/sqrt(9 - a**2)
F = 1/2 * OA * OB = 81/(2*a*sqrt(9 - a**2))
Måluttrykk = 81/(2*a*sqrt(9 - a**2))
Forskjell = 0
Gyldig for 0 < a < 3

Fasit: \(F(a)=\dfrac{81}{2a\sqrt{9-a^2}}\), for \(0<a<3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne F på intervallet 0<a<3 og lese av bunnpunktet. Endeadferden hjelper oss å forstå grafens form.

Steg 1 — Skriv funksjonen og intervallet

\[F(a)=\frac{81}{2a\sqrt{9-a^2}},\qquad0<a<3.\]

Steg 2 — Undersøk venstre endepunkt

Når \(a\to0^+\), går faktoren a i nevneren mot 0, og \(F(a)\to\infty\).

Steg 3 — Undersøk høyre endepunkt

Når \(a\to3^-\), går \(\sqrt{9-a^2}\to0\), og også da går \(F(a)\to\infty\).

Steg 4 — Tegn grafen digitalt

Legg inn funksjonen med domenet \(0<a<3\). Grafen går høyt ved begge ender og har ett tydelig bunnpunkt.

Steg 5 — Les av a-verdien

Grafen gir omtrent \[a\approx2{,}12.\]

Steg 6 — Les av minste areal

Den tilhørende y-verdien er omtrent \[F_{\min}\approx9{,}00.\]

Steg 7 — Gi grafisk konklusjon

Skissen tilsier at minimumet er 9 arealenheter ved \(a\approx2{,}12\). Den eksakte verdien bestemmes i del d.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import numpy as np

verdier = np.linspace(0.05, 2.95, 20000)
areal = 81/(2*verdier*np.sqrt(9-verdier**2))
indeks = int(np.argmin(areal))
a_min = verdier[indeks]
F_min = areal[indeks]

print("Numerisk minimumssøk på 0 < a < 3")
print("Antall prøver =", len(verdier))
print("a ved minimum ≈", f"{a_min:.8f}")
print("F(a) ved minimum ≈", f"{F_min:.8f}")
print("Forventet eksakt a =", f"{3/np.sqrt(2):.8f}")
print("Forventet eksakt minimum = 9")

Utskrift fra Python:
Numerisk minimumssøk på 0 < a < 3
Antall prøver = 20000
a ved minimum ≈ 2.12128356
F(a) ved minimum ≈ 9.00000001
Forventet eksakt a = 2.12132034
Forventet eksakt minimum = 9

Fasit: Grafisk: \(F_{\min}\approx9\) når \(a\approx2{,}12\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt med negative potenser, løse F'(a)=0 og bruke fortegn til å vise at punktet er et minimum.

Steg 1 — Skriv funksjonen som potenser

\[F(a)=\frac{81}{2}a^{-1}(9-a^2)^{-1/2}.\]

Steg 2 — Deriver med produktregelen

\[F'(a)=\frac{81}{2}\left[-a^{-2}(9-a^2)^{-1/2}+a^{-1}\left(-\frac12\right)(9-a^2)^{-3/2}(-2a)\right].\]

Steg 3 — Forenkle det andre leddet

Faktorene \(a^{-1}\), \(-\frac12\), \(-2a\) gir 1. Dermed \[F'(a)=\frac{81}{2}\left[-\frac1{a^2\sqrt{9-a^2}}+\frac1{(9-a^2)^{3/2}}\right].\]

Steg 4 — Finn felles nevner

\[F'(a)=\frac{81(2a^2-9)}{2a^2(9-a^2)^{3/2}}.\]

Steg 5 — Løs F'(a)=0

På intervallet \(0<a<3\) er nevneren positiv. Derfor må telleren være 0: \[2a^2-9=0.\]

Steg 6 — Finn den gyldige roten

\[a^2=\frac92\quad\Rightarrow\quad a=\frac3{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}.\] Vi velger den positive roten fordi a>0.

Steg 7 — Kontroller fortegnet

For \(a<3/\sqrt2\) er \(2a^2-9<0\), så F avtar. For \(a>3/\sqrt2\) er telleren positiv, så F øker. Punktet er derfor et minimum.

Steg 8 — Beregn minimumsarealet som kontroll

Når \(a=3/\sqrt2\), er også \(\sqrt{9-a^2}=3/\sqrt2\). Da \[F=\frac{81}{2\cdot(3/\sqrt2)^2}=\frac{81}{9}=9.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, sqrt, diff, factor, solve, simplify, sign

a = symbols('a', positive=True)
F = 81/(2*a*sqrt(9-a**2))
F_derivert = factor(diff(F, a))
kritiske = solve(diff(F, a), a)
positiv_kritisk = [v for v in kritiske if v.is_positive][0]
F_min = simplify(F.subs(a, positiv_kritisk))

print("F(a) =", F)
print("F'(a) =", F_derivert)
print("Kritiske løsninger =", kritiske)
print("Gyldig positiv løsning =", positiv_kritisk)
print("F ved kritisk punkt =", F_min)
print("F'(1) =", float(diff(F,a).subs(a,1)))
print("F'(5/2) =", float(diff(F,a).subs(a,2.5)))

Utskrift fra Python:
F(a) = 81/(2*a*sqrt(9 - a**2))
F'(a) = 81*(2*a**2 - 9)/(2*a**2*(3 - a)**(3/2)*(a + 3)**(3/2))
Kritiske løsninger = [3*sqrt(2)/2]
Gyldig positiv løsning = 3*sqrt(2)/2
F ved kritisk punkt = 9
F'(1) = -12.529048279149139
F'(5/2) = 4.973292578199039

Fasit: \(F'(a)=\dfrac{81(2a^2-9)}{2a^2(9-a^2)^{3/2}}\), og minimum oppstår ved \(a=\dfrac{3\sqrt2}{2}\).