Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon med en lineær eksponent. Kjerneregelen må brukes fordi eksponenten er den indre funksjonen \(3x\).

Steg 1 — Identifiser konstantfaktoren

Tallet \(5\) er en konstant og beholdes utenfor derivasjonen.

Steg 2 — Identifiser den indre funksjonen

Sett \(u(x)=3x\). Da er \(f(x)=5e^{u(x)}\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(e^u\) med hensyn på \(u\) er fortsatt \(e^u\).

Steg 4 — Deriver den indre funksjonen

Vi får \(u'(x)=3\).

Steg 5 — Bruk kjerneregelen

Dermed er \[f'(x)=5e^{3x}\cdot 3.\]

Steg 6 — Forenkle konstantene

Multiplikasjon av \(5\) og \(3\) gir \[f'(x)=15e^{3x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 5*exp(3*x)
f_derivert = diff(f, x)
forventet = 15*exp(3*x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Forventet svar =", forventet)
print("Differanse ved kontroll =", simplify(f_derivert - forventet))

Utskrift fra Python:
f(x) = 5*exp(3*x)
f'(x) = 15*exp(3*x)
Forventet svar = 15*exp(3*x)
Differanse ved kontroll = 0

Fasit: \(f'(x)=15e^{3x}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(x^3\) og \(\ln(2x)\). Derfor trenger vi både produktregelen og kjerneregelen for logaritmen.

Steg 1 — Kontroller definisjonsområdet

Siden \(\ln(2x)\) krever \(2x>0\), arbeider vi med \(x>0\).

Steg 2 — Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x^3\) og \(v(x)=\ln(2x)\).

Steg 3 — Deriver første faktor

Potensregelen gir \(u'(x)=3x^2\).

Steg 4 — Deriver logaritmefaktoren

Kjerneregelen gir \[v'(x)=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac1x.\]

Steg 5 — Bruk produktregelen

Produktregelen sier \[g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).\]

Steg 6 — Sett inn uttrykkene

Vi får \[g'(x)=3x^2\ln(2x)+x^3\cdot\frac1x.\]

Steg 7 — Forenkle

Siden \(x^3/x=x^2\), blir \[g'(x)=3x^2\ln(2x)+x^2=x^2\bigl(3\ln(2x)+1\bigr).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, diff, factor, simplify

x = symbols('x', positive=True)
g = x**3*log(2*x)
g_derivert = diff(g, x)
g_faktorisert = factor(g_derivert)
forventet = x**2*(3*log(2*x) + 1)

print("Definisjonsområde: x > 0")
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("Faktorisert form =", g_faktorisert)
print("Differanse ved kontroll =", simplify(g_derivert - forventet))

Utskrift fra Python:
Definisjonsområde: x > 0
g(x) = x**3*log(2*x)
g'(x) = 3*x**2*log(2*x) + x**2
Faktorisert form = x**2*(3*log(x) + 1 + 3*log(2))
Differanse ved kontroll = 0

Fasit: \(g'(x)=x^2\bigl(3\ln(2x)+1\bigr)\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først kontrollere den oppgitte roten ved innsetting. Deretter faktoriserer vi tredjegradspolynomet og bruker nullproduktregelen.

Steg 1 — Sett inn den oppgitte roten

For \(x=1\) blir venstresiden \[2-10-2+10=0.\] Derfor er \(x=1\) en løsning.

Steg 2 — Samle ledd i grupper

Skriv polynomet som \[(2x^3-10x^2)+(-2x+10).\]

Steg 3 — Trekk ut felles faktorer

Fra første gruppe trekkes \(2x^2\) ut, og fra den andre trekkes \(-2\) ut: \[2x^2(x-5)-2(x-5).\]

Steg 4 — Trekk ut den felles parentesen

Begge leddene inneholder \(x-5\): \[(x-5)(2x^2-2).\]

Steg 5 — Faktoriser videre

Vi får \[2(x-5)(x^2-1)=2(x-5)(x-1)(x+1).\]

Steg 6 — Bruk nullproduktregelen

Et produkt er null når minst én faktor er null: \[x-5=0,\quad x-1=0,\quad x+1=0.\]

Steg 7 — Les av løsningene

Dermed er løsningene \[x=5,\quad x=1,\quad x=-1.\] De to andre enn den oppgitte er \(-1\) og \(5\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve, expand

x = symbols('x')
p = 2*x**3 - 10*x**2 - 2*x + 10
verdi_i_1 = p.subs(x, 1)
faktorisert = factor(p)
losninger = solve(p, x)

print("p(x) =", p)
print("p(1) =", verdi_i_1)
print("Faktorisert form =", faktorisert)
print("Utvidet kontroll =", expand(faktorisert))
print("Alle løsninger =", losninger)

Utskrift fra Python:
p(x) = 2*x**3 - 10*x**2 - 2*x + 10
p(1) = 0
Faktorisert form = 2*(x - 5)*(x - 1)*(x + 1)
Utvidet kontroll = 2*x**3 - 10*x**2 - 2*x + 10
Alle løsninger = [-1, 1, 5]

Fasit: \(x=-1,\ 1,\ 5\). De to andre løsningene er \(x=-1\) og \(x=5\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kvotientregelen og potensregelen for logaritmer. Uttrykkene er definert når \(a>0\) og \(b>0\).

Steg 1 — Bruk regelen for differanse av logaritmer

Regelen \(\lg U-\lg V=\lg(U/V)\) gir \[\lg\left(\frac{a^2b}{1/(ab)}\right).\]

Steg 2 — Del på en brøk

Å dele på \(1/(ab)\) er det samme som å multiplisere med \(ab\): \[\frac{a^2b}{1/(ab)}=a^2b\cdot ab.\]

Steg 3 — Samle potenser

Produktet blir \[a^2\cdot a\cdot b\cdot b=a^3b^2.\]

Steg 4 — Skriv som én logaritme

Dermed er uttrykket \[\lg(a^3b^2).\]

Steg 5 — Bruk produktregelen

Vi kan også skrive \[\lg(a^3b^2)=\lg(a^3)+\lg(b^2).\]

Steg 6 — Bruk potensregelen

Siden \(\lg(u^k)=k\lg u\), får vi \[3\lg a+2\lg b.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, expand_log, simplify

a, b = symbols('a b', positive=True)
expr = log(a**2*b, 10) - log(1/(a*b), 10)
expanded = expand_log(expr, force=True)
expected = (3*log(a) + 2*log(b))/log(10)

print("Forutsetninger: a > 0 og b > 0")
print("Opprinnelig uttrykk =", expr)
print("Utvidet med logaritmeregler =", expanded)
print("Forventet form =", expected)
print("Differanse ved kontroll =", simplify(expr - expected))

Utskrift fra Python:
Forutsetninger: a > 0 og b > 0
Opprinnelig uttrykk = -log(1/(a*b))/log(10) + log(a**2*b)/log(10)
Utvidet med logaritmeregler = -(-log(a) - log(b))/log(10) + (2*log(a) + log(b))/log(10)
Forventet form = (3*log(a) + 2*log(b))/log(10)
Differanse ved kontroll = 0

Fasit: \(3\lg a+2\lg b\), for \(a>0\) og \(b>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne venstre og høyre grenseverdi i punktene der grafens uttrykk skifter. Et sprang oppstår ved \(x=1\).

Steg 1 — Les av skjøtepunktene

Grafen skifter form ved \(x=-2,0,1\) og \(2\). Disse punktene må undersøkes.

Steg 2 — Undersøk x=-2

Den horisontale delen og den stigende linjen møtes i samme punkt \((-2,-2)\). Funksjonen er kontinuerlig der.

Steg 3 — Undersøk x=0

Den stigende linjen og den horisontale delen møtes i \((0,2)\). De ensidige grenseverdiene og funksjonsverdien er 2.

Steg 4 — Undersøk x=1 fra venstre

Grafen nærmer seg \(y=2\), og det lukkede punktet viser at \(f(1)=2\).

Steg 5 — Undersøk x=1 fra høyre

Grafen nærmer seg \(y=3\) fra høyre. Det åpne punktet ved \((1,3)\) viser at denne grenen ikke gir funksjonsverdien.

Steg 6 — Sammenlikn grenseverdiene

Siden \[\lim_{x\to1^-}f(x)=2\neq3=\lim_{x\to1^+}f(x),\] finnes ikke den tosidige grenseverdien.

Steg 7 — Undersøk x=2

Den horisontale delen og den fallende linjen møtes i \((2,3)\), så funksjonen er kontinuerlig der.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, limit

x = symbols('x', real=True)
venstreverdi = 2
hoyregrense = 3

print("Funksjonsverdien ved x=1 er", venstreverdi)
print("Venstre grenseverdi ved x=1 er", venstreverdi)
print("Høyre grenseverdi ved x=1 er", hoyregrense)
print("Er de ensidige grenseverdiene like?", venstreverdi == hoyregrense)
print("Konklusjon: sprangdiskontinuitet ved x=1")

Utskrift fra Python:
Funksjonsverdien ved x=1 er 2
Venstre grenseverdi ved x=1 er 2
Høyre grenseverdi ved x=1 er 3
Er de ensidige grenseverdiene like? False
Konklusjon: sprangdiskontinuitet ved x=1

Fasit: Funksjonen er ikke kontinuerlig ved \(x=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lete etter sprang og knekkpunkter. Deriverbarhet krever både kontinuitet og samme ensidige stigningstall.

Steg 1 — Bruk kontinuitetskravet

Siden funksjonen ikke er kontinuerlig ved \(x=1\), kan den heller ikke være deriverbar der.

Steg 2 — Undersøk x=-2

Til venstre er grafen horisontal med stigningstall 0. Til høyre har linjen stigningstall 2. Ulike stigningstall gir et knekkpunkt.

Steg 3 — Undersøk x=0

Til venstre er stigningstallet 2, mens den horisontale grenen til høyre har stigningstall 0. Derfor er det en ny knekk.

Steg 4 — Undersøk x=1

Spranget gjør at funksjonen ikke er kontinuerlig, og dermed ikke deriverbar.

Steg 5 — Undersøk x=2

Til venstre er stigningstallet 0. Den fallende linjen gjennom \((2,3)\) og \((4,0)\) har stigningstall \[(0-3)/(4-2)=-3/2.\]

Steg 6 — Sammenfatt

Alle øvrige punkter ligger inne på rette linjestykker med konstant stigningstall. Dermed er de eneste problemstedene \(-2,0,1,2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational

skraninger = {
    "venstre for -2": 0,
    "høyre for -2": 2,
    "venstre for 0": 2,
    "høyre for 0": 0,
    "venstre for 2": 0,
    "høyre for 2": Rational(-3, 2),
}
for navn, verdi in skraninger.items():
    print(f"{navn}: stigningstall = {verdi}")
print("Ved x=1 er funksjonen ikke kontinuerlig og derfor ikke deriverbar.")
print("Ikke-deriverbar ved x = -2, 0, 1 og 2")

Utskrift fra Python:
venstre for -2: stigningstall = 0
høyre for -2: stigningstall = 2
venstre for 0: stigningstall = 2
høyre for 0: stigningstall = 0
venstre for 2: stigningstall = 0
høyre for 2: stigningstall = -3/2
Ved x=1 er funksjonen ikke kontinuerlig og derfor ikke deriverbar.
Ikke-deriverbar ved x = -2, 0, 1 og 2

Fasit: Funksjonen er ikke deriverbar ved \(x=-2,\ 0,\ 1\) og \(x=2\).

Hva spør oppgaven om? Direkte innsetting gir formen \(0/0\). Vi må derfor faktorisere telleren og forkorte den faktoren som skaper hullet.

Steg 1 — Prøv direkte innsetting

Ved \(x=-1\) blir telleren \((-1)^3-(-1)=0\), og nevneren blir 0. Formen \(0/0\) må bearbeides.

Steg 2 — Faktoriser telleren

Vi trekker ut \(x\): \[x^3-x=x(x^2-1).\]

Steg 3 — Bruk konjugatfaktorisering

Forskjellen mellom to kvadrater gir \[x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 4 — Skriv hele brøken faktorisert

Da er \[\frac{x^3-x}{x+1}=\frac{x(x-1)(x+1)}{x+1}.\]

Steg 5 — Forkort for x ulik -1

I et punktert nabolag rundt \(-1\) kan vi forkorte \(x+1\): \[\frac{x^3-x}{x+1}=x(x-1).\]

Steg 6 — Beregn grenseverdien

Det forkortede uttrykket er kontinuerlig ved \(-1\), så \[\lim_{x\to-1}x(x-1)=(-1)(-2)=2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, cancel, limit

x = symbols('x')
teller = x**3 - x
nevner = x + 1
brok = teller/nevner

print("Teller faktorisert =", factor(teller))
print("Forkortet uttrykk for x != -1 =", cancel(brok))
print("Grenseverdi når x går mot -1 =", limit(brok, x, -1))
print("Kontroll ved innsetting i x*(x-1) =", (-1)*(-2))

Utskrift fra Python:
Teller faktorisert = x*(x - 1)*(x + 1)
Forkortet uttrykk for x != -1 = x**2 - x
Grenseverdi når x går mot -1 = 2
Kontroll ved innsetting i x*(x-1) = 2

Fasit: Grenseverdien er \(2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at kvadratets sider er parallelle med koordinataksene og har lengde \(a\).

Steg 1 — Plasser O

Origo gir direkte \(O=(0,0)\).

Steg 2 — Flytt fra O til A

A ligger \(a\) enheter langs positiv x-akse, så \(A=(a,0)\).

Steg 3 — Flytt fra A til B

Siden \(AB\) er loddrett og har lengde \(a\), øker bare y-koordinaten: \(B=(a,a)\).

Steg 4 — Flytt fra O til C

Siden \(OC\) ligger langs positiv y-retning og har lengde \(a\), er \(C=(0,a)\).

Steg 5 — Kontroller sidelengdene

Avstandene \(OA,AB,BC\) og \(CO\) er alle \(a\), slik et kvadrat krever.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols

a = symbols('a', positive=True)
O = (0, 0)
A = (a, 0)
B = (a, a)
C = (0, a)

print("O =", O)
print("A =", A)
print("B =", B)
print("C =", C)
print("OA har lengde a og OC har lengde a")

Utskrift fra Python:
O = (0, 0)
A = (a, 0)
B = (a, a)
C = (0, a)
OA har lengde a og OC har lengde a

Fasit: \(A=(a,0),\ B=(a,a),\ C=(0,a)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne retningsvektorer for de to diagonalene og vise at skalarproduktet er null.

Steg 1 — Velg første diagonal

Diagonalen fra \(O\) til \(B\) har vektor \[\overrightarrow{OB}=B-O=(a,a).\]

Steg 2 — Velg andre diagonal

Diagonalen fra \(A\) til \(C\) har vektor \[\overrightarrow{AC}=C-A=(0-a,a-0)=(-a,a).\]

Steg 3 — Skriv skalarproduktet

To ikke-null vektorer er ortogonale når skalarproduktet er null.

Steg 4 — Regn ut produktet

Vi får \[\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{AC}=a(-a)+a(a).\]

Steg 5 — Forenkle

Uttrykket blir \[-a^2+a^2=0.\]

Steg 6 — Trekk konklusjonen

Siden \(a>0\), er begge diagonalvektorene ikke-null. Null skalarprodukt viser derfor at diagonalene står vinkelrett på hverandre.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, simplify

a = symbols('a', positive=True)
OB = Matrix([a, a])
AC = Matrix([-a, a])
skalarprodukt = simplify(OB.dot(AC))

print("OB-vektor =", OB.T)
print("AC-vektor =", AC.T)
print("Skalarprodukt OB · AC =", skalarprodukt)
print("Konklusjon: diagonalene er ortogonale")

Utskrift fra Python:
OB-vektor = Matrix([[a, a]])
AC-vektor = Matrix([[-a, a]])
Skalarprodukt OB · AC = 0
Konklusjon: diagonalene er ortogonale

Fasit: \(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\), altså er diagonalene vinkelrette.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke ett punkt på linjen og en retningsvektor fra A til B.

Steg 1 — Finn en retningsvektor

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,4-2)=(1,2).\]

Steg 2 — Velg et startpunkt

Punktet \(A=(1,2)\) kan brukes som fast punkt på linjen.

Steg 3 — Bruk standardformen

En parameterframstilling er \[(x,y)=A+t\overrightarrow{AB}.\]

Steg 4 — Sett inn

Dermed får vi \[(x,y)=(1,2)+t(1,2),\qquad t\in\mathbb R.\]

Steg 5 — Skriv komponentvis

Det tilsvarer \[x=1+t,\qquad y=2+2t.\]

Steg 6 — Kontroller punkt B

Når \(t=1\), får vi \((x,y)=(2,4)=B\), så framstillingen går gjennom begge punktene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, symbols

t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([1, 2])
B = Matrix([2, 4])
retning = B - A
punkt = A + t*retning

print("A =", A.T)
print("B =", B.T)
print("Retningsvektor B - A =", retning.T)
print("Parameterpunkt =", punkt.T)
print("Komponentform: x =", punkt[0], ", y =", punkt[1])

Utskrift fra Python:
A = Matrix([[1, 2]])
B = Matrix([[2, 4]])
Retningsvektor B - A = Matrix([[1, 2]])
Parameterpunkt = Matrix([[t + 1, 2*t + 2]])
Komponentform: x = t + 1 , y = 2*t + 2

Fasit: \(l:\ (x,y)=(1,2)+t(1,2),\ t\in\mathbb R\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp parameterframstillinger for begge linjene og løse koordinatlikningene samtidig.

Steg 1 — Skriv linjen l

Fra forrige del har vi \[l:\ (x,y)=(1,2)+t(1,2).\]

Steg 2 — Skriv linjen m

Siden \(m\) går gjennom \(C=(6,2)\) og er parallell med \((-2,1)\), er \[m:\ (x,y)=(6,2)+s(-2,1).\]

Steg 3 — Sammenlikn x-koordinatene

I et skjæringspunkt må \[1+t=6-2s.\]

Steg 4 — Sammenlikn y-koordinatene

Vi må også ha \[2+2t=2+s.\]

Steg 5 — Løs den andre likningen

Den gir \(s=2t\).

Steg 6 — Sett inn i den første

\[1+t=6-4t\Rightarrow5t=5\Rightarrow t=1.\] Da er \(s=2\).

Steg 7 — Finn koordinatene

På \(l\) gir \(t=1\) punktet \[(1+1,2+2)=(2,4).\]

Steg 8 — Kontroller på m

\((6,2)+2(-2,1)=(2,4)\), så punktet ligger på begge linjene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve

t, s = symbols('t s', real=True)
likning_x = Eq(1 + t, 6 - 2*s)
likning_y = Eq(2 + 2*t, 2 + s)
losning = solve([likning_x, likning_y], [t, s], dict=True)[0]
punkt = (1 + losning[t], 2 + 2*losning[t])

print("Likning i x-retning:", likning_x)
print("Likning i y-retning:", likning_y)
print("Parameterløsning =", losning)
print("Skjæringspunkt =", punkt)
print("Kontroll på m =", (6 - 2*losning[s], 2 + losning[s]))

Utskrift fra Python:
Likning i x-retning: Eq(t + 1, 6 - 2*s)
Likning i y-retning: Eq(2*t + 2, s + 2)
Parameterløsning = {s: 2, t: 1}
Skjæringspunkt = (2, 4)
Kontroll på m = (2, 4)

Fasit: Skjæringspunktet er \((2,4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal innføre symboler for trekantens felles sidelengde, høyden og de tre vinkelrette avstandene fra P.

Steg 1 — Navngi sidelengden

La alle tre sidene i den likesidede trekanten ha lengde \(a\).

Steg 2 — Navngi trekantens høyde

La \(h\) være høyden fra et hjørne til den motstående siden.

Steg 3 — Tegn normalene fra P

Trekk vinkelrette linjestykker fra \(P\) til sidene \(AB\), \(BC\) og \(CA\).

Steg 4 — Navngi avstandene

La lengdene av disse linjestykkene være henholdsvis \(x\), \(y\) og \(z\).

Steg 5 — Formuler setningen

Vivianis setning blir da \[x+y+z=h.\]

Steg 6 — Presiser gyldigheten

Likheten skal gjelde for ethvert punkt \(P\) inne i trekanten, ikke bare et bestemt symmetrisk punkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq

a, h, x, y, z = symbols('a h x y z', positive=True)
setning = Eq(x + y + z, h)

print("Sidelengde i den likesidede trekanten: a")
print("Høyde i trekanten: h")
print("Vinkelrette avstander fra P til sidene: x, y og z")
print("Vivianis setning skrevet symbolsk:", setning)
print("Alle avstandene måles vinkelrett på de respektive sidene.")

Utskrift fra Python:
Sidelengde i den likesidede trekanten: a
Høyde i trekanten: h
Vinkelrette avstander fra P til sidene: x, y og z
Vivianis setning skrevet symbolsk: Eq(x + y + z, h)
Alle avstandene måles vinkelrett på de respektive sidene.

Fasit: Med vinkelrette avstander \(x,y,z\) og trekantens høyde \(h\): \(x+y+z=h\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke arealet både som arealet av hele trekanten og som summen av tre mindre trekanter med toppunkt P.

Steg 1 — Skriv arealet av hele trekanten

Den likesidede trekanten har grunnlinje \(a\) og høyde \(h\), derfor \[A_{ABC}=\frac12ah.\]

Steg 2 — Del trekanten i tre

Linjestykkene fra \(P\) til hjørnene deler \(ABC\) i trekantene \(PAB\), \(PBC\) og \(PCA\).

Steg 3 — Finn første delareal

Trekanten \(PAB\) har grunnlinje \(a\) og høyde \(x\): \[A_{PAB}=\frac12ax.\]

Steg 4 — Finn de to andre delarealene

På samme måte er \[A_{PBC}=\frac12ay,\qquad A_{PCA}=\frac12az.\]

Steg 5 — Summer delarealene

Dermed er \[A_{ABC}=\frac12ax+\frac12ay+\frac12az=\frac a2(x+y+z).\]

Steg 6 — Sett arealuttrykkene lik hverandre

Begge uttrykkene beskriver samme areal: \[\frac12ah=\frac a2(x+y+z).\]

Steg 7 — Forkort den positive faktoren

Siden \(a>0\), kan vi dividere begge sider med \(a/2\). Da får vi \[h=x+y+z.\]

Steg 8 — Avslutt beviset

Dette viser at summen av avstandene fra P til de tre sidene alltid er lik trekantens høyde. Vivianis setning er dermed bevist.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify

a, h, x, y, z = symbols('a h x y z', positive=True)
areal_stor = a*h/2
areal_deler = a*x/2 + a*y/2 + a*z/2
forskjell = simplify(areal_stor - areal_deler)

print("Areal av hele trekanten =", areal_stor)
print("Sum av de tre delarealene =", areal_deler)
print("Faktorisert forskjell =", simplify(forskjell))
print("Når arealene er like: a*(h - x - y - z)/2 = 0")
print("Siden a > 0 følger x + y + z = h")

Utskrift fra Python:
Areal av hele trekanten = a*h/2
Sum av de tre delarealene = a*x/2 + a*y/2 + a*z/2
Faktorisert forskjell = a*(h - x - y - z)/2
Når arealene er like: a*(h - x - y - z)/2 = 0
Siden a > 0 følger x + y + z = h

Fasit: \(x+y+z=h\). Vivianis setning følger ved å sammenlikne arealene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke testens sensitivitet og falsk-positiv-rate, og deretter bruke komplementregelen blant personer som ikke har sykdommen.

Steg 1 — Tolk P(T gitt S)

\(P(T\mid S)=0{,}96\) betyr at blant personer som faktisk har sykdommen, vil testen tyde på sykdom i 96 % av tilfellene.

Steg 2 — Tolk feilandelen for syke

Dermed vil testen være negativ for 4 % av de syke. Dette er testens falsk-negative andel.

Steg 3 — Tolk P(T gitt ikke S)

\(P(T\mid\overline S)=0{,}05\) betyr at 5 % av personene uten sykdom får et positivt testresultat.

Steg 4 — Identifiser komplementet

Når personen ikke har sykdommen, er hendelsene \(T\) og \(\overline T\) komplementære.

Steg 5 — Bruk komplementregelen

\[P(\overline T\mid\overline S)=1-P(T\mid\overline S).\]

Steg 6 — Sett inn

\[P(\overline T\mid\overline S)=1-0{,}05=0{,}95.\]

Steg 7 — Tolk resultatet

Testen gir altså korrekt negativt resultat for 95 % av personene som ikke har sykdommen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational

P_T_gitt_S = Rational(96, 100)
P_T_gitt_ikkeS = Rational(5, 100)
P_ikkeT_gitt_ikkeS = 1 - P_T_gitt_ikkeS

print("P(T | S) =", P_T_gitt_S, "=", float(P_T_gitt_S))
print("P(T | ikke S) =", P_T_gitt_ikkeS, "=", float(P_T_gitt_ikkeS))
print("P(ikke T | ikke S) = 1 - P(T | ikke S)")
print("P(ikke T | ikke S) =", P_ikkeT_gitt_ikkeS, "=", float(P_ikkeT_gitt_ikkeS))

Utskrift fra Python:
P(T | S) = 24/25 = 0.96
P(T | ikke S) = 1/20 = 0.05
P(ikke T | ikke S) = 1 - P(T | ikke S)
P(ikke T | ikke S) = 19/20 = 0.95

Fasit: \(P(\overline T\mid\overline S)=0{,}95\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for positiv test ved å dele i to gjensidig utelukkende tilfeller: personen er syk eller ikke syk.

Steg 1 — Skriv grunnsannsynlighetene

\[P(S)=0{,}03,\qquad P(\overline S)=0{,}97.\]

Steg 2 — Finn positiv test blant syke

Multiplikasjonsregelen gir \[P(T\cap S)=P(T\mid S)P(S)=0{,}96\cdot0{,}03=0{,}0288.\]

Steg 3 — Finn positiv test blant ikke-syke

\[P(T\cap\overline S)=P(T\mid\overline S)P(\overline S)=0{,}05\cdot0{,}97=0{,}0485.\]

Steg 4 — Bruk total sannsynlighet

Hendelsen \(T\) består av de to disjunkte tilfellene over: \[P(T)=P(T\cap S)+P(T\cap\overline S).\]

Steg 5 — Summer

\[P(T)=0{,}0288+0{,}0485=0{,}0773.\]

Steg 6 — Tolk

Omtrent 7,73 % av tilfeldig valgte personer vil få en test som tyder på sykdom.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational, simplify

P_S = Rational(3, 100)
P_ikkeS = 1 - P_S
P_T_gitt_S = Rational(96, 100)
P_T_gitt_ikkeS = Rational(5, 100)
ledd_syke = P_T_gitt_S*P_S
ledd_frisk = P_T_gitt_ikkeS*P_ikkeS
P_T = simplify(ledd_syke + ledd_frisk)

print("P(S) =", P_S)
print("P(ikke S) =", P_ikkeS)
print("P(T og S) =", ledd_syke, "=", float(ledd_syke))
print("P(T og ikke S) =", ledd_frisk, "=", float(ledd_frisk))
print("P(T) =", P_T, "=", float(P_T))
print("P(T) i prosent =", float(100*P_T), "%")

Utskrift fra Python:
P(S) = 3/100
P(ikke S) = 97/100
P(T og S) = 18/625 = 0.0288
P(T og ikke S) = 97/2000 = 0.0485
P(T) = 773/10000 = 0.0773
P(T) i prosent = 7.73 %

Fasit: \(P(T)=0{,}0773=7{,}73\,\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal snu betingelsen fra \(P(T\mid S)\) til \(P(S\mid T)\) ved hjelp av definisjonen av betinget sannsynlighet eller Bayes’ setning.

Steg 1 — Skriv ønsket sannsynlighet

Vi søker \(P(S\mid T)\), altså andelen faktisk syke blant alle med positiv test.

Steg 2 — Bruk betinget sannsynlighet

\[P(S\mid T)=\frac{P(S\cap T)}{P(T)}.\]

Steg 3 — Finn telleren

Fra forrige del har vi \[P(S\cap T)=0{,}03\cdot0{,}96=0{,}0288.\]

Steg 4 — Bruk nevneren

Den totale sannsynligheten for positiv test er \(P(T)=0{,}0773\).

Steg 5 — Sett inn

\[P(S\mid T)=\frac{0{,}0288}{0{,}0773}.\]

Steg 6 — Beregn

\[P(S\mid T)\approx0{,}3726.\]

Steg 7 — Tolk

Sannsynligheten er bare omtrent 37,3 %, fordi sykdommen er sjelden og falske positive derfor utgjør en stor del av de positive testene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational, simplify, N

P_S = Rational(3, 100)
P_T_gitt_S = Rational(96, 100)
P_T = Rational(773, 10000)
P_S_og_T = P_T_gitt_S*P_S
P_S_gitt_T = simplify(P_S_og_T/P_T)

print("P(S og T) =", P_S_og_T, "=", float(P_S_og_T))
print("P(T) =", P_T, "=", float(P_T))
print("P(S | T) = P(S og T) / P(T)")
print("Eksakt brøk =", P_S_gitt_T)
print("Desimaltall =", N(P_S_gitt_T, 12))
print("Prosent =", N(100*P_S_gitt_T, 8), "%")

Utskrift fra Python:
P(S og T) = 18/625 = 0.0288
P(T) = 773/10000 = 0.0773
P(S | T) = P(S og T) / P(T)
Eksakt brøk = 288/773
Desimaltall = 0.372574385511
Prosent = 37.257439 %

Fasit: \(P(S\mid T)\approx0{,}373=37{,}3\,\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne \(P(S\mid\overline T)\). Først finner vi sannsynligheten for negativ test totalt, deretter andelen falske negative.

Steg 1 — Finn falsk-negativ-rate

\[P(\overline T\mid S)=1-0{,}96=0{,}04.\]

Steg 2 — Finn syk og negativ

\[P(S\cap\overline T)=0{,}03\cdot0{,}04=0{,}0012.\]

Steg 3 — Finn frisk og negativ

\[P(\overline S\cap\overline T)=0{,}97\cdot0{,}95=0{,}9215.\]

Steg 4 — Finn total negativ sannsynlighet

\[P(\overline T)=0{,}0012+0{,}9215=0{,}9227.\]

Steg 5 — Bruk betinget sannsynlighet

\[P(S\mid\overline T)=\frac{P(S\cap\overline T)}{P(\overline T)}.\]

Steg 6 — Sett inn og beregn

\[P(S\mid\overline T)=\frac{0{,}0012}{0{,}9227}\approx0{,}0013005.\]

Steg 7 — Tolk

Dette er omtrent 0,13 %. En negativ test gjør sykdom svært lite sannsynlig, men ikke matematisk umulig.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Rational, simplify, N

P_S = Rational(3, 100)
P_ikkeS = 1-P_S
P_ikkeT_gitt_S = Rational(4, 100)
P_ikkeT_gitt_ikkeS = Rational(95, 100)
P_S_og_ikkeT = P_ikkeT_gitt_S*P_S
P_ikkeT = P_S_og_ikkeT + P_ikkeT_gitt_ikkeS*P_ikkeS
P_S_gitt_ikkeT = simplify(P_S_og_ikkeT/P_ikkeT)

print("P(S og ikke T) =", P_S_og_ikkeT, "=", float(P_S_og_ikkeT))
print("P(ikke T) =", P_ikkeT, "=", float(P_ikkeT))
print("Eksakt P(S | ikke T) =", P_S_gitt_ikkeT)
print("Desimaltall =", N(P_S_gitt_ikkeT, 12))
print("Prosent =", N(100*P_S_gitt_ikkeT, 8), "%")

Utskrift fra Python:
P(S og ikke T) = 3/2500 = 0.0012
P(ikke T) = 9227/10000 = 0.9227
Eksakt P(S | ikke T) = 12/9227
Desimaltall = 0.00130053105018
Prosent = 0.13005311 %

Fasit: \(P(S\mid\overline T)\approx0{,}00130=0{,}130\,\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(t=1\) inn i begge koordinatfunksjonene og deretter tegne den parametriske banen.

Steg 1 — Skriv koordinatfunksjonene

\[x(t)=4t-3te^{-t},\qquad y(t)=5te^{-t}.\]

Steg 2 — Sett t=1 i x-koordinaten

\[x(1)=4-3e^{-1}=4-\frac3e.\]

Steg 3 — Sett t=1 i y-koordinaten

\[y(1)=5e^{-1}=\frac5e.\]

Steg 4 — Skriv posisjonsvektoren

\[\vec r(1)=\left[4-\frac3e,\frac5e\right].\]

Steg 5 — Finn desimalverdier

\[4-3/e\approx2{,}896,\qquad5/e\approx1{,}839.\]

Steg 6 — Tegn parametrisk

Grafen tegnes ved å la \(t\) variere fra 0 og oppover, med \(x(t)\) som førstekoordinat og \(y(t)\) som andrekoordinat.

Steg 7 — Tolk banen

Partikkelen starter i origo, stiger til et toppunkt og beveger seg deretter mot høyre mens høyden nærmer seg 0.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, Matrix, N

t = symbols('t', nonnegative=True)
r = Matrix([4*t - 3*t*exp(-t), 5*t*exp(-t)])
r_1 = r.subs(t, 1)

print("r(t) =", r.T)
print("r(1) eksakt =", r_1.T)
print("Førstekoordinat =", N(r_1[0], 10))
print("Andrekoordinat =", N(r_1[1], 10))
print("Posisjon etter ett sekund ≈", tuple(N(v, 6) for v in r_1))

Utskrift fra Python:
r(t) = Matrix([[4*t - 3*t*exp(-t), 5*t*exp(-t)]])
r(1) eksakt = Matrix([[4 - 3*exp(-1), 5*exp(-1)]])
Førstekoordinat = 2.896361676
Andrekoordinat = 1.839397206
Posisjon etter ett sekund ≈ (2.89636, 1.83940)

Fasit: \(\vec r(1)=\left[4-3/e,5/e\right]\approx[2{,}896,1{,}839]\) meter.

Hva spør oppgaven om? Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og akselerasjonsvektoren er den deriverte av fartsvektoren. Begge koordinater deriveres separat.

Steg 1 — Deriver første posisjonskoordinat

Produktregelen gir \[\frac d{dt}(te^{-t})=e^{-t}-te^{-t}.\] Derfor \[x'(t)=4-3e^{-t}+3te^{-t}.\]

Steg 2 — Forenkle første fartskomponent

\[x'(t)=4+3(t-1)e^{-t}.\]

Steg 3 — Deriver andre posisjonskoordinat

\[y'(t)=5(e^{-t}-te^{-t})=5(1-t)e^{-t}.\]

Steg 4 — Skriv fartsvektoren

\[\vec v(t)=\vec r\,'(t)=\bigl[4+3(t-1)e^{-t},\;5(1-t)e^{-t}\bigr].\]

Steg 5 — Deriver første fartskomponent

Produktregelen på \((t-1)e^{-t}\) gir \[x''(t)=3(2-t)e^{-t}.\]

Steg 6 — Deriver andre fartskomponent

\[y''(t)=5(t-2)e^{-t}.\]

Steg 7 — Skriv akselerasjonsvektoren

\[\vec a(t)=\vec v\,'(t)=\bigl[3(2-t)e^{-t},\;5(t-2)e^{-t}\bigr].\]

Steg 8 — Kontroller struktur

Ved \(t=2\) er begge akselerasjonskomponentene 0, noe som stemmer med faktorene \(2-t\) og \(t-2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, Matrix, diff, simplify

t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([4*t - 3*t*exp(-t), 5*t*exp(-t)])
v = r.diff(t)
a = v.diff(t)

print("r(t) =", r.T)
print("v(t) før forenkling =", v.T)
print("v(t) forenklet =", Matrix([simplify(q) for q in v]).T)
print("a(t) før forenkling =", a.T)
print("a(t) forenklet =", Matrix([simplify(q) for q in a]).T)

Utskrift fra Python:
r(t) = Matrix([[4*t - 3*t*exp(-t), 5*t*exp(-t)]])
v(t) før forenkling = Matrix([[3*t*exp(-t) + 4 - 3*exp(-t), -5*t*exp(-t) + 5*exp(-t)]])
v(t) forenklet = Matrix([[(3*t + 4*exp(t) - 3)*exp(-t), 5*(1 - t)*exp(-t)]])
a(t) før forenkling = Matrix([[-3*t*exp(-t) + 6*exp(-t), 5*t*exp(-t) - 10*exp(-t)]])
a(t) forenklet = Matrix([[3*(2 - t)*exp(-t), 5*(t - 2)*exp(-t)]])

Fasit: \(\vec v(t)=[4+3(t-1)e^{-t},\,5(1-t)e^{-t}]\) og \(\vec a(t)=[3(2-t)e^{-t},\,5(t-2)e^{-t}]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(t=2\) inn i fartsvektoren og beregne lengden med Pytagoras/skalarprodukt.

Steg 1 — Sett t=2 i første komponent

\[v_x(2)=4+3(2-1)e^{-2}=4+3e^{-2}.\]

Steg 2 — Sett t=2 i andre komponent

\[v_y(2)=5(1-2)e^{-2}=-5e^{-2}.\]

Steg 3 — Skriv vektoren

\[\vec v(2)=[4+3e^{-2},-5e^{-2}].\]

Steg 4 — Bruk lengdeformelen

\[|\vec v(2)|=\sqrt{(4+3e^{-2})^2+(-5e^{-2})^2}.\]

Steg 5 — Samle i en eksakt form

Ved å trekke ut \(e^{-2}\) kan uttrykket også skrives \[e^{-2}\sqrt{(4e^2+3)^2+25}.\]

Steg 6 — Beregn desimalverdien

\[|\vec v(2)|\approx4{,}4577.\]

Steg 7 — Ta med enhet

Siden posisjon måles i meter og tid i sekunder, måles farten i meter per sekund.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, Matrix, sqrt, simplify, N

t = symbols('t', real=True)
v = Matrix([4 + 3*(t-1)*exp(-t), 5*(1-t)*exp(-t)])
v_2 = v.subs(t, 2)
fart = simplify(sqrt(v_2.dot(v_2)))

print("v(2) =", v_2.T)
print("Fart = sqrt(v(2) · v(2))")
print("Eksakt fart =", fart)
print("Desimalverdi =", N(fart, 12))
print("Enhet: meter per sekund")

Utskrift fra Python:
v(2) = Matrix([[3*exp(-2) + 4, -5*exp(-2)]])
Fart = sqrt(v(2) · v(2))
Eksakt fart = sqrt(25 + (3 + 4*exp(2))**2)*exp(-2)
Desimalverdi = 4.45766514219
Enhet: meter per sekund

Fasit: Farten etter to sekunder er \(\sqrt{(4+3e^{-2})^2+25e^{-4}}\approx4{,}46\ \text{m/s}\).

Hva spør oppgaven om? Høyden er andrekoordinaten \(y(t)=5te^{-t}\). Et høyeste punkt finnes når den vertikale farten skifter fra positiv til negativ.

Steg 1 — Velg høydefunksjonen

\[y(t)=5te^{-t},\qquad t\ge0.\]

Steg 2 — Deriver med produktregelen

\[y'(t)=5e^{-t}-5te^{-t}=5(1-t)e^{-t}.\]

Steg 3 — Sett den vertikale farten lik null

\[5(1-t)e^{-t}=0.\]

Steg 4 — Bruk at eksponentialfaktoren er positiv

\(e^{-t}>0\) for alle \(t\), så eneste mulighet er \(1-t=0\).

Steg 5 — Finn tidspunktet

\[t=1.\]

Steg 6 — Lag fortegnsargument

For \(0\le t<1\) er \(1-t>0\), derfor stiger partikkelen. For \(t>1\) er \(1-t<0\), derfor synker den.

Steg 7 — Konkluder maksimum

Fortegnsskiftet fra pluss til minus viser at høyden er størst etter ett sekund.

Steg 8 — Finn høyden som kontroll

Maksimal høyde er \[y(1)=5/e\approx1{,}839\text{ m}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, solve, sign, N

t = symbols('t', nonnegative=True)
y = 5*t*exp(-t)
y_derivert = diff(y, t)
kritiske = solve(y_derivert, t)

print("Høydefunksjon y(t) =", y)
print("y'(t) =", y_derivert)
print("Kritisk tidspunkt =", kritiske)
print("y'(0.5) =", N(y_derivert.subs(t, 0.5), 8))
print("y'(2) =", N(y_derivert.subs(t, 2), 8))
print("Maksimal høyde y(1) =", y.subs(t, 1), "≈", N(y.subs(t, 1), 8))

Utskrift fra Python:
Høydefunksjon y(t) = 5*t*exp(-t)
y'(t) = -5*t*exp(-t) + 5*exp(-t)
Kritisk tidspunkt = [1]
y'(0.5) = 1.5163266
y'(2) = -0.67667642
Maksimal høyde y(1) = 5*exp(-1) ≈ 1.8393972

Fasit: Partikkelen er høyest ved \(t=1\ \text{s}\), med høyde \(5/e\approx1{,}84\ \text{m}\).

Hva spør oppgaven om? Det høyeste punktet oppstår ved \(t=1\). Vi skal derfor bruke \(\vec r(1)\) og \(\vec v(1)\) i skalarproduktformelen for vinkel.

Steg 1 — Finn posisjonsvektoren

\[\vec r(1)=\left[4-\frac3e,\frac5e\right].\]

Steg 2 — Finn fartsvektoren

Fra uttrykket for \(\vec v(t)\) får vi \[\vec v(1)=[4,0].\] Den vertikale komponenten er null i toppunktet.

Steg 3 — Skriv vinkelformelen

\[\cos\theta=\frac{\vec r\cdot\vec v}{|\vec r|\,|\vec v|}.\]

Steg 4 — Beregn skalarproduktet

\[\vec r(1)\cdot\vec v(1)=4\left(4-\frac3e\right).\]

Steg 5 — Beregn lengdene

\[|\vec v(1)|=4,\qquad |\vec r(1)|=\sqrt{\left(4-\frac3e\right)^2+\left(\frac5e\right)^2}.\]

Steg 6 — Sett inn

Etter forkorting blir \[\cos\theta=\frac{4e-3}{\sqrt{(4e-3)^2+25}}.\]

Steg 7 — Ta invers cosinus

\[\theta=\cos^{-1}\left(\frac{4e-3}{\sqrt{(4e-3)^2+25}}\right)\approx32{,}42^{\circ}.\]

Steg 8 — Rimelighetskontroll

Fartsvektoren peker horisontalt mot høyre. Vinkelen er derfor den spisse vinkelen mellom posisjonsvektoren og positiv x-retning, som stemmer med omtrent 32 grader.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import E, Matrix, sqrt, acos, pi, simplify, N

r_1 = Matrix([4-3/E, 5/E])
v_1 = Matrix([4, 0])
dot = simplify(r_1.dot(v_1))
norm_r = simplify(sqrt(r_1.dot(r_1)))
norm_v = simplify(sqrt(v_1.dot(v_1)))
cos_vinkel = simplify(dot/(norm_r*norm_v))
vinkel = acos(cos_vinkel)*180/pi

print("r(1) =", r_1.T)
print("v(1) =", v_1.T)
print("Skalarprodukt =", dot)
print("cos(theta) =", cos_vinkel)
print("theta i grader =", N(vinkel, 12))

Utskrift fra Python:
r(1) = Matrix([[4 - 3*exp(-1), 5*exp(-1)]])
v(1) = Matrix([[4, 0]])
Skalarprodukt = 16 - 12*exp(-1)
cos(theta) = (-3 + 4*E)/sqrt(25 + (3 - 4*E)**2)
theta i grader = 32.4184730512

Fasit: Vinkelen er omtrent \(32{,}4^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive en gyldig dynamisk konstruksjon og kontrollere vinkelen for flere plasseringer av A på den korteste buen mellom D og E.

Steg 1 — Konstruer sirkel og ytre punkt

Lag en sirkel med sentrum \(S\), og plasser \(M\) utenfor sirkelen.

Steg 2 — Konstruer de faste tangentene

Bruk tangentverktøyet fra \(M\) til sirkelen. Tangeringspunktene kalles \(D\) og \(E\).

Steg 3 — Plasser det variable punktet

Legg \(A\) på den korteste buen fra \(D\) til \(E\).

Steg 4 — Konstruer tangent i A

Tegn tangenten til sirkelen i \(A\). La den skjære de faste tangentene i \(B\) og \(C\).

Steg 5 — Mål vinkelen

Konstruer strålene \(SC\) og \(SB\), og mål \(\angle CSB\).

Steg 6 — Flytt A systematisk

Prøv flere punkter nær D, midt på buen og nær E. Målingen forblir den samme innenfor programmets avrunding.

Steg 7 — Formuler observasjonen

Observasjonene støtter påstanden om at \(\angle CSB\) er konstant. En dynamisk måling er likevel ikke et bevis; dette kommer i de neste delene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
import numpy as np

radius = 2.5
M_x = 6.0
x0 = radius**2/M_x
y0 = math.sqrt(radius**2-x0**2)
D = np.array([x0, y0])
E = np.array([x0, -y0])

def intersection(P, Q):
    matrix = np.array([[P[0], P[1]], [Q[0], Q[1]]], dtype=float)
    return np.linalg.solve(matrix, np.array([radius**2, radius**2]))

def angle_deg(u, v):
    cos_value = np.dot(u, v)/(np.linalg.norm(u)*np.linalg.norm(v))
    return math.degrees(math.acos(np.clip(cos_value, -1.0, 1.0)))

print("Fast tangency point D =", D)
print("Fast tangency point E =", E)
for degrees in [-40, -15, 0, 20, 40]:
    A = radius*np.array([math.cos(math.radians(degrees)), math.sin(math.radians(degrees))])
    B = intersection(D, A)
    C = intersection(E, A)
    print(f"A-vinkel {degrees:>3}°: vinkel CSB = {angle_deg(C, B):.9f}°")
print("Halvparten av vinkel ESD =", angle_deg(E, D)/2, "grader")

Utskrift fra Python:
Fast tangency point D = [1.04166667 2.27264836]
Fast tangency point E = [ 1.04166667 -2.27264836]
A-vinkel -40°: vinkel CSB = 65.375681648°
A-vinkel -15°: vinkel CSB = 65.375681648°
A-vinkel   0°: vinkel CSB = 65.375681648°
A-vinkel  20°: vinkel CSB = 65.375681648°
A-vinkel  40°: vinkel CSB = 65.375681648°
Halvparten av vinkel ESD = 65.37568164783592 grader

Fasit: Dynamiske målinger viser at \(\angle CSB\) er konstant når A flyttes langs buen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tre par like sider og bruke kongruenskriteriet side–side–side.

Steg 1 — Sammenlikn radiene

Punktene D og A ligger på sirkelen med sentrum S. Derfor er \[SD=SA.\]

Steg 2 — Bruk tangentsetningen

Fra det samme ytre punktet B er tangentstykkene til en sirkel like lange. Dermed \[BD=BA.\]

Steg 3 — Finn felles side

Siden \(SB\) inngår i begge trekantene, har vi \[SB=SB.\]

Steg 4 — List de tre likhetene

Vi har altså \(SD=SA\), \(BD=BA\) og \(SB=SB\).

Steg 5 — Bruk kongruenskriteriet

Tre tilsvarende sider er like. Etter side–side–side-kriteriet er trekantene kongruente.

Steg 6 — Trekk en nyttig følge

Tilsvarende vinkler ved S er derfor like: \[\angle DSB=\angle BSA.\]

Steg 7 — Avslutt

Dermed halverer strålen SB sentralvinkelen \(\angle DSA\), og den påståtte kongruensen er bevist.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq

r, tangent_B = symbols('r tangent_B', positive=True)
SD = r
SA = r
DB = tangent_B
AB = tangent_B
SB = symbols('SB', positive=True)

print("SD = SA =", r, "(radier)")
print("DB = AB =", tangent_B, "(tangentstykker fra B)")
print("SB = SB =", SB, "(felles side)")
print("Kongruenskriterium: side-side-side")
print("Konklusjon: trekant SDB er kongruent med trekant SAB")

Utskrift fra Python:
SD = SA = r (radier)
DB = AB = tangent_B (tangentstykker fra B)
SB = SB = SB (felles side)
Kongruenskriterium: side-side-side
Konklusjon: trekant SDB er kongruent med trekant SAB

Fasit: \(\triangle SDB\cong\triangle SAB\) ved side–side–side.

Hva spør oppgaven om? Argumentet er parallelt med forrige del, men nå brukes tangentstykkene fra det ytre punktet C.

Steg 1 — Sammenlikn radiene

\(SE\) og \(SA\) er radier i samme sirkel, derfor \[SE=SA.\]

Steg 2 — Bruk tangentsetningen fra C

Tangentstykkene fra C til tangeringspunktene E og A er like: \[CE=CA.\]

Steg 3 — Bruk felles side

\[SC=SC.\]

Steg 4 — List sidelikhetene

De tre sideparene er \(SE=SA\), \(CE=CA\) og \(SC=SC\).

Steg 5 — Bruk SSS

Side–side–side-kriteriet gir \[\triangle SEC\cong\triangle SAC.\]

Steg 6 — Trekk vinkelfølgen

Tilsvarende vinkler ved S er like: \[\angle ESC=\angle CSA.\]

Steg 7 — Avslutt

Dermed halverer SC vinkelen \(\angle ESA\), og kongruensen er bevist.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols

r, tangent_C, SC = symbols('r tangent_C SC', positive=True)
print("SE = SA =", r, "(radier)")
print("CE = CA =", tangent_C, "(tangentstykker fra C)")
print("SC = SC =", SC, "(felles side)")
print("Kongruenskriterium: side-side-side")
print("Følge: vinkel ESC = vinkel CSA")

Utskrift fra Python:
SE = SA = r (radier)
CE = CA = tangent_C (tangentstykker fra C)
SC = SC = SC (felles side)
Kongruenskriterium: side-side-side
Følge: vinkel ESC = vinkel CSA

Fasit: \(\triangle SEC\cong\triangle SAC\) ved side–side–side.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke de like vinklene som følger av kongruensene, og dele den faste sentralvinkelen ESD i fire deler rundt strålen SA.

Steg 1 — Innfør to delvinkler

La \(\alpha=\angle CSA\) og \(\beta=\angle ASB\). Da er \[\angle CSB=\alpha+\beta.\]

Steg 2 — Bruk kongruensen ved C

Fra \(\triangle SEC\cong\triangle SAC\) følger \[\angle ESC=\angle CSA=\alpha.\]

Steg 3 — Finn vinkelen ESA

Strålen SC ligger mellom SE og SA, derfor \[\angle ESA=\angle ESC+\angle CSA=2\alpha.\]

Steg 4 — Bruk kongruensen ved B

Fra \(\triangle SDB\cong\triangle SAB\) følger \[\angle DSB=\angle BSA=\beta.\]

Steg 5 — Finn vinkelen ASD

Strålen SB ligger mellom SA og SD, derfor \[\angle ASD=\angle ASB+\angle BSD=2\beta.\]

Steg 6 — Del opp den store sentralvinkelen

Siden A ligger på den korte buen mellom E og D, er \[\angle ESD=\angle ESA+\angle ASD.\]

Steg 7 — Sett inn delvinklene

\[\angle ESD=2\alpha+2\beta=2(\alpha+\beta).\]

Steg 8 — Knytt til CSB

Fordi \(\alpha+\beta=\angle CSB\), får vi \[\angle ESD=2\angle CSB.\]

Steg 9 — Avslutt

Ved å dividere med 2 følger \[\angle CSB=\frac12\angle ESD.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify

alpha, beta = symbols('alpha beta', positive=True)
vinkel_CSB = alpha + beta
vinkel_ESD = 2*alpha + 2*beta

print("La vinkel CSA = alpha")
print("La vinkel ASB = beta")
print("Da er vinkel CSB =", vinkel_CSB)
print("Fra kongruens: vinkel ESA = 2*alpha")
print("Fra kongruens: vinkel ASD = 2*beta")
print("Vinkel ESD =", vinkel_ESD)
print("Kontroll av ESD - 2*CSB =", simplify(vinkel_ESD - 2*vinkel_CSB))

Utskrift fra Python:
La vinkel CSA = alpha
La vinkel ASB = beta
Da er vinkel CSB = alpha + beta
Fra kongruens: vinkel ESA = 2*alpha
Fra kongruens: vinkel ASD = 2*beta
Vinkel ESD = 2*alpha + 2*beta
Kontroll av ESD - 2*CSB = 0

Fasit: \(\angle CSB=\frac12\angle ESD\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere den beviste halveringsformelen med at D, E og S ikke flytter seg når A varierer.

Steg 1 — Identifiser de faste objektene

Sirkelen, sentrum S, punktet M og de to faste tangentene ligger fast. Derfor er tangeringspunktene D og E faste.

Steg 2 — Identifiser den faste sentralvinkelen

Når strålene \(SD\) og \(SE\) er faste, er også \(\angle ESD\) konstant.

Steg 3 — Bruk resultatet fra b.3

Vi har bevist \[\angle CSB=\frac12\angle ESD.\]

Steg 4 — Halver en konstant

Halvparten av en konstant vinkel er også konstant.

Steg 5 — Vurder bevegelsen av A

Når A flyttes, endres B og C, men likheten over gjelder for hver tillatt plassering av A.

Steg 6 — Trekk endelig konklusjon

Derfor har \(\angle CSB\) samme verdi for alle plasseringer av A på den aktuelle buen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math

fast_vinkel_ESD = 130.75136329567184
vinkel_CSB = fast_vinkel_ESD/2

print("D og E er faste tangeringspunkter.")
print("Dermed er strålene SE og SD faste.")
print("Vinkel ESD er konstant =", fast_vinkel_ESD, "grader i eksempelkonstruksjonen")
print("Vinkel CSB = 1/2 * vinkel ESD")
print("Vinkel CSB =", vinkel_CSB, "grader")
print("Verdien er uavhengig av plasseringen av A.")

Utskrift fra Python:
D og E er faste tangeringspunkter.
Dermed er strålene SE og SD faste.
Vinkel ESD er konstant = 130.75136329567184 grader i eksempelkonstruksjonen
Vinkel CSB = 1/2 * vinkel ESD
Vinkel CSB = 65.37568164783592 grader
Verdien er uavhengig av plasseringen av A.

Fasit: \(\angle CSB\) er konstant fordi den alltid er halvparten av den faste vinkelen \(\angle ESD\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke punkt–stigning-formen for en linje og deretter tolke kravet om at linjen synker.

Steg 1 — Bruk punkt–stigning-formen

En linje med stigningstall \(a\) gjennom \((x_0,y_0)\) oppfyller \[y-y_0=a(x-x_0).\]

Steg 2 — Sett inn punktet

Med \((x_0,y_0)=(2,1)\) får vi \[y-1=a(x-2).\]

Steg 3 — Multipliser ut parentesen

\[y-1=ax-2a.\]

Steg 4 — Isoler y

Legg 1 til på begge sider: \[y=ax-2a+1.\]

Steg 5 — Tolk stigningstallet

En linje synker mot høyre når y avtar idet x øker. Det krever negativt stigningstall.

Steg 6 — Skriv betingelsen

Derfor må \[a<0.\]

Steg 7 — Kontroller punktet

Setter vi \(x=2\), får vi \(y=2a-2a+1=1\), så linjen går gjennom det oppgitte punktet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve, expand

x, y, a = symbols('x y a', real=True)
linje_punktform = Eq(y - 1, a*(x - 2))
linje_lost = solve(linje_punktform, y)[0]

print("Punkt-stigning-form:", linje_punktform)
print("Løst med hensyn på y:", Eq(y, linje_lost))
print("Utvidet høyreside =", expand(a*(x-2)+1))
print("Linjen synker mot høyre når a < 0")

Utskrift fra Python:
Punkt-stigning-form: Eq(y - 1, a*(x - 2))
Løst med hensyn på y: Eq(y, a*x - 2*a + 1)
Utvidet høyreside = a*x - 2*a + 1
Linjen synker mot høyre når a < 0

Fasit: \(y=ax-2a+1\), der \(a<0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne begge akseskjæringene som funksjoner av a og bruke arealformelen for en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Finn x-skjæringen

På x-aksen er \(y=0\): \[0=ax-2a+1.\] Dermed \[ax=2a-1\Rightarrow x_A=\frac{2a-1}{a}.\]

Steg 2 — Finn y-skjæringen

På y-aksen er \(x=0\): \[y_B=-2a+1=1-2a.\]

Steg 3 — Kontroller fortegnene

Når \(a<0\), er både \((2a-1)/a\) og \(1-2a\) positive. Trekanten ligger derfor i første kvadrant.

Steg 4 — Bruk arealformelen

Trekanten er rettvinklet med kateter langs aksene: \[F(a)=\frac12x_Ay_B.\]

Steg 5 — Sett inn skjæringene

\[F(a)=\frac12\cdot\frac{2a-1}{a}\cdot(1-2a).\]

Steg 6 — Bruk fortegnssammenhengen

Siden \(1-2a=-(2a-1)\), får vi \[F(a)=\frac12\cdot\frac{2a-1}{a}\cdot[-(2a-1)].\]

Steg 7 — Forenkle

\[F(a)=-\frac{(2a-1)^2}{2a}.\]

Steg 8 — Rimelighetskontroll

Nevneren \(2a\) er negativ, og minustegnet foran gjør hele arealet positivt, som det skal være.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, simplify, factor

x, a = symbols('x a', real=True, nonzero=True)
y_expr = a*x - 2*a + 1
x_A = solve(y_expr, x)[0]
y_B = y_expr.subs(x, 0)
F = simplify(x_A*y_B/2)

print("x-skjæring A_x =", x_A)
print("y-skjæring B_y =", y_B)
print("Areal = 1/2 * A_x * B_y")
print("F(a) før faktorisering =", F)
print("F(a) faktorisert =", factor(F))
print("Kontroll av ønsket form =", simplify(F + (2*a-1)**2/(2*a)))

Utskrift fra Python:
x-skjæring A_x = 2 - 1/a
y-skjæring B_y = 1 - 2*a
Areal = 1/2 * A_x * B_y
F(a) før faktorisering = -(2*a - 1)**2/(2*a)
F(a) faktorisert = -(2*a - 1)**2/(2*a)
Kontroll av ønsket form = 0

Fasit: \(F(a)=-\dfrac{(2a-1)^2}{2a}\), for \(a<0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne arealfunksjonen på det angitte negative intervallet og lese av bunnpunktet.

Steg 1 — Skriv inn funksjonen

Bruk \[F(a)=-\frac{(2a-1)^2}{2a}.\]

Steg 2 — Angi riktig vindu

Velg horisontalakse fra \(-5\) til \(-0{,}1\). Arealet er positivt på hele intervallet.

Steg 3 — Undersøk grafens form

Grafen avtar fra venstre, når et bunnpunkt og vokser deretter kraftig når \(a\) nærmer seg 0 fra venstre.

Steg 4 — Bruk ekstremalverktøy

Et digitalt ekstremalverktøy eller bunnpunktavlesning gir \(a\approx-0{,}5\).

Steg 5 — Les av arealet

Ved dette punktet er \(F(a)\approx4\).

Steg 6 — Kontroller ved innsetting

\[F(-0{,}5)=-\frac{(-2)^2}{-1}=4.\]

Steg 7 — Formuler grafisk svar

Det minste arealet ser ut til å være 4 arealenheter, og linjens stigningstall er \(-0{,}5\).

Steg 8 — Merk metodebegrensningen

Grafen gir en numerisk observasjon. Del d og e gir den eksakte algebraiske bekreftelsen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, lambdify, diff, solve, N
import numpy as np

a = symbols('a', negative=True)
F = -(2*a-1)**2/(2*a)
F_derivert = diff(F, a)
kritiske = solve(F_derivert, a)

print("F(a) =", F)
print("F'(a) =", F_derivert)
print("Kritiske verdier fra F'(a)=0 =", kritiske)
print("F(-1/2) =", F.subs(a, -0.5))
print("F(-5) =", N(F.subs(a, -5), 8))
print("F(-0.1) =", N(F.subs(a, -0.1), 8))
print("Grafisk minimum på intervallet: a = -0.5, F = 4")

Utskrift fra Python:
F(a) = -(2*a - 1)**2/(2*a)
F'(a) = -(8*a - 4)/(2*a) + (2*a - 1)**2/(2*a**2)
Kritiske verdier fra F'(a)=0 = [-1/2]
F(-1/2) = 4.00000000000000
F(-5) = 12.100000
F(-0.1) = 7.2000000
Grafisk minimum på intervallet: a = -0.5, F = 4

Fasit: Grafen gir minimum \(F=4\) ved \(a=-0{,}5\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere arealfunksjonen og faktorisere resultatet til den formen oppgaven oppgir.

Steg 1 — Skriv funksjonen

\[F(a)=-\frac{(2a-1)^2}{2a}.\]

Steg 2 — Forenkle før derivasjon

Utvid telleren: \((2a-1)^2=4a^2-4a+1\). Dermed \[F(a)=-\frac{4a^2-4a+1}{2a}.\]

Steg 3 — Del hvert ledd på 2a

\[F(a)=-2a+2-\frac1{2a}.\] Denne formen er enklere å derivere enn en direkte brøkregel.

Steg 4 — Deriver leddvis

\[F'(a)=-2+\frac1{2a^2}.\] Her brukes \(\frac d{da}a^{-1}=-a^{-2}\), og minustegnene gir pluss.

Steg 5 — Få felles nevner

\[F'(a)=\frac{-4a^2+1}{2a^2}=\frac{1-4a^2}{2a^2}.\]

Steg 6 — Faktoriser telleren

Forskjellen mellom to kvadrater gir \[1-4a^2=(1-2a)(1+2a).\]

Steg 7 — Tilpass oppgavens faktorer

Siden \(1-2a=-(2a-1)\), kan vi skrive \[(1-2a)(1+2a)=(2a-1)(-2a-1).\]

Steg 8 — Konkluder

Dermed \[F'(a)=\frac{(2a-1)(-2a-1)}{2a^2},\] som skulle vises.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, simplify, expand

a = symbols('a', nonzero=True)
F = -(2*a-1)**2/(2*a)
F_derivert = diff(F, a)
oppgitt = (2*a-1)*(-2*a-1)/(2*a**2)

print("F(a) =", F)
print("F(a) utvidet =", expand(F))
print("F'(a) fra SymPy =", F_derivert)
print("F'(a) faktorisert =", factor(F_derivert))
print("Oppgitt uttrykk =", oppgitt)
print("Differanse ved kontroll =", simplify(F_derivert - oppgitt))

Utskrift fra Python:
F(a) = -(2*a - 1)**2/(2*a)
F(a) utvidet = -2*a + 2 - 1/(2*a)
F'(a) fra SymPy = -(8*a - 4)/(2*a) + (2*a - 1)**2/(2*a**2)
F'(a) faktorisert = -(2*a - 1)*(2*a + 1)/(2*a**2)
Oppgitt uttrykk = (-2*a - 1)*(2*a - 1)/(2*a**2)
Differanse ved kontroll = 0

Fasit: \(F'(a)=\dfrac{(2a-1)(-2a-1)}{2a^2}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne nullpunktene til den deriverte, bestemme fortegnet på intervallet a<0 og sette optimal a-verdi inn i både F og linjelikningen.

Steg 1 — Finn kritiske verdier

Telleren i \[F'(a)=\frac{(2a-1)(-2a-1)}{2a^2}\] er null når \(2a-1=0\) eller \(-2a-1=0\).

Steg 2 — Løs faktorlikningene

Dette gir \(a=1/2\) og \(a=-1/2\). Bare \(-1/2\) ligger i domenet \(a<0\).

Steg 3 — Analyser nevneren

For \(a\ne0\) er \(2a^2>0\), så fortegnet bestemmes bare av de to faktorene i telleren.

Steg 4 — Fortegn til venstre

For \(a<-1/2\), for eksempel \(a=-1\), er \(F'(a)<0\). Funksjonen avtar.

Steg 5 — Fortegn til høyre

For \(-1/2<a<0\), for eksempel \(a=-1/4\), er \(F'(a)>0\). Funksjonen øker.

Steg 6 — Klassifiser punktet

Fortegnet skifter fra minus til pluss ved \(a=-1/2\), så dette er et minimum.

Steg 7 — Beregn minste areal

\[F(-1/2)=-\frac{(2(-1/2)-1)^2}{2(-1/2)}=4.\]

Steg 8 — Finn linjelikningen

Sett \(a=-1/2\) inn i \(y=ax-2a+1\): \[y=-\frac12x-2\left(-\frac12\right)+1=-\frac12x+2.\]

Steg 9 — Kontroller geometrien

Linjen skjærer aksene i \((4,0)\) og \((0,2)\). Arealet blir \(\frac12\cdot4\cdot2=4\), som bekrefter resultatet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve, sign, Rational, simplify

a = symbols('a', real=True)
F = -(2*a-1)**2/(2*a)
Fp = factor((2*a-1)*(-2*a-1)/(2*a**2))
nullpunkter = solve((2*a-1)*(-2*a-1), a)

print("F'(a) =", Fp)
print("Nullpunkter for telleren =", nullpunkter)
print("Tillatt domene: a < 0, derfor brukes bare a = -1/2")
print("F'(-1) =", simplify(Fp.subs(a, -1)))
print("F'(-1/4) =", simplify(Fp.subs(a, Rational(-1,4))))
print("F(-1/2) =", simplify(F.subs(a, Rational(-1,2))))
print("Linje: y = -1/2*x + 2")

Utskrift fra Python:
F'(a) = -(2*a - 1)*(2*a + 1)/(2*a**2)
Nullpunkter for telleren = [-1/2, 1/2]
Tillatt domene: a < 0, derfor brukes bare a = -1/2
F'(-1) = -3/2
F'(-1/4) = 6
F(-1/2) = 4
Linje: y = -1/2*x + 2

Fasit: Minste areal er \(4\), oppnådd for \(a=-1/2\). Linjen er \(y=-\frac12x+2\).