Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon med den indre funksjonen \(2x\). Derfor må kjerneregelen brukes.

Steg 1 — Identifiser den ytre funksjonen

Den ytre funksjonen er eksponentialfunksjonen \(e^u\), som har derivert \(e^u\).

Steg 2 — Identifiser kjernen

Kjernen er \(u(x)=2x\).

Steg 3 — Deriver kjernen

\[u^{\prime}(x)=2.\]

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

\[\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u^{\prime}(x)e^{u(x)}.\] Derfor er \[\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.\]

Steg 5 — Ta med konstantfaktoren

Konstanten 3 beholdes: \[f^{\prime}(x)=3\cdot2e^{2x}.\]

Steg 6 — Forenkle

\[f^{\prime}(x)=6e^{2x}.\]

Steg 7 — Kontroller fortegnet

Siden \(e^{2x}>0\) for alle reelle \(x\), er også \(f^{\prime}(x)>0\). Det passer med at funksjonen er voksende.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = 3*exp(2*x)
f_derivert = diff(f, x)

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Kontroll mot 6*exp(2*x):", simplify(f_derivert - 6*exp(2*x)))

Utskrift fra Python:
f(x) = 3*exp(2*x)
f'(x) = 6*exp(2*x)
Kontroll mot 6*exp(2*x): 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=6e^{2x}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(x\) og \(\ln x\). Produktregelen er derfor hovedmetoden.

Steg 1 — Skriv funksjonen som et produkt

Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=\ln x\). Da er \(h(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

\[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver den første faktoren

\[u^{\prime}(x)=1.\]

Steg 4 — Deriver logaritmefaktoren

For \(x>0\) er \[v^{\prime}(x)=\frac1x.\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[h^{\prime}(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle andre ledd

\[x\cdot\frac1x=1.\] Dermed får vi \[h^{\prime}(x)=\ln x+1.\]

Steg 7 — Behold definisjonsområdet

Både originalfunksjonen og den deriverte gjelder for \(x>0\), fordi \(\ln x\) bare er definert for positive \(x\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, log, diff, simplify

x = symbols('x', positive=True)
h = x*log(x)
h_derivert = diff(h, x)

print("h(x) =", h)
print("h'(x) =", h_derivert)
print("Kontroll mot log(x) + 1:", simplify(h_derivert - (log(x) + 1)))
print("Definisjonsområde: x > 0")

Utskrift fra Python:
h(x) = x*log(x)
h'(x) = log(x) + 1
Kontroll mot log(x) + 1: 0
Definisjonsområde: x > 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\ln x+1\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en retningsvektor fra de to punktene og bruke punkt–retningsform for en linje.

Steg 1 — Velg et startpunkt

Vi kan bruke \(A=(1,2)\) som fast punkt på linja.

Steg 2 — Finn en retningsvektor

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,7-2)=(2,5).\]

Steg 3 — Skriv vektorformen

En parameterframstilling er \[(x,y)=(1,2)+t(2,5),\qquad t\in\mathbb R.\]

Steg 4 — Skriv koordinatvis

\[x=1+2t,\qquad y=2+5t.\]

Steg 5 — Kontroller punktet A

Når \(t=0\), får vi \((x,y)=(1,2)=A\).

Steg 6 — Kontroller punktet B

Når \(t=1\), får vi \((x,y)=(3,7)=B\).

Steg 7 — Konkluder

Framstillingen inneholder begge de gitte punktene og har riktig retning, så den beskriver linja \(l\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, symbols, solve

t = symbols('t', real=True)
A = Matrix([1, 2])
B = Matrix([3, 7])
retning = B - A
point = A + t*retning

print("A =", A.T)
print("B =", B.T)
print("Retningsvektor B - A =", retning.T)
print("Parameterpunkt =", point.T)
print("Kontroll for t=0:", point.subs(t, 0).T)
print("Kontroll for t=1:", point.subs(t, 1).T)

Utskrift fra Python:
A = Matrix([[1, 2]])
B = Matrix([[3, 7]])
Retningsvektor B - A = Matrix([[2, 5]])
Parameterpunkt = Matrix([[2*t + 1, 5*t + 2]])
Kontroll for t=0: Matrix([[1, 2]])
Kontroll for t=1: Matrix([[3, 7]])

Fasit: \(l:\ (x,y)=(1,2)+t(2,5)\), \(t\in\mathbb R\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker parameterframstillingen. På x-aksen er \(y=0\), og på y-aksen er \(x=0\).

Steg 1 — Start med parameterframstillingen

\[x=1+2t,\qquad y=2+5t.\]

Steg 2 — Finn skjæringen med x-aksen

På x-aksen er \(y=0\). Derfor løser vi \[2+5t=0.\]

Steg 3 — Løs for parameteren

\[5t=-2\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac25.\]

Steg 4 — Finn x-koordinaten

\[x=1+2\left(-\frac25\right)=1-\frac45=\frac15.\] Skjæringspunktet er \((1/5,0)\).

Steg 5 — Finn skjæringen med y-aksen

På y-aksen er \(x=0\). Vi løser \[1+2t=0\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac12.\]

Steg 6 — Finn y-koordinaten

\[y=2+5\left(-\frac12\right)=2-\frac52=-\frac12.\] Skjæringspunktet er \((0,-1/2)\).

Steg 7 — Kontroller

Begge punktene tilfredsstiller også linjelikningen \(5x-2y=-1\), så skjæringene er konsistente.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, Rational

t = symbols('t', real=True)
x = 1 + 2*t
y = 2 + 5*t

t_xakse = solve(y, t)[0]
t_yakse = solve(x, t)[0]

print("Parameterframstilling: x =", x, ", y =", y)
print("Når y=0, er t =", t_xakse)
print("Skjæring med x-aksen =", (x.subs(t, t_xakse), 0))
print("Når x=0, er t =", t_yakse)
print("Skjæring med y-aksen =", (0, y.subs(t, t_yakse)))
print("Kontroll x-akse y-verdi =", y.subs(t, t_xakse))
print("Kontroll y-akse x-verdi =", x.subs(t, t_yakse))

Utskrift fra Python:
Parameterframstilling: x = 2*t + 1 , y = 5*t + 2
Når y=0, er t = -2/5
Skjæring med x-aksen = (1/5, 0)
Når x=0, er t = -1/2
Skjæring med y-aksen = (0, -1/2)
Kontroll x-akse y-verdi = 0
Kontroll y-akse x-verdi = 0

Fasit: Linjen skjærer x-aksen i \((1/5,0)\) og y-aksen i \((0,-1/2)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først bruke faktorteoremet med \(x=-1\), og deretter faktorisere resten av polynomet helt.

Steg 1 — Bruk faktorteoremet

Et polynom er delelig med \(x-a\) hvis \(f(a)=0\). For faktoren \(x+1=x-(-1)\) undersøker vi derfor \(f(-1)\).

Steg 2 — Regn ut f(-1)

\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-(-1)+3=-1-3+1+3=0.\]

Steg 3 — Konkluder delelighet

Siden \(f(-1)=0\), er \(x+1\) en faktor i \(f(x)\).

Steg 4 — Grupper leddene

\[x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-1(x-3).\]

Steg 5 — Trekk ut felles faktor

\[f(x)=(x^2-1)(x-3).\]

Steg 6 — Bruk konjugatsetningen

\[x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 7 — Skriv full faktorisering

\[f(x)=(x+1)(x-1)(x-3).\] Alle faktorene er nå førstegradsfaktorer.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, expand

x = symbols('x', real=True)
f = x**3 - 3*x**2 - x + 3

print("f(x) =", f)
print("f(-1) =", f.subs(x, -1))
print("Faktorisert form =", factor(f))
print("Utvidet kontroll =", expand((x + 1)*(x - 1)*(x - 3)))

Utskrift fra Python:
f(x) = x**3 - 3*x**2 - x + 3
f(-1) = 0
Faktorisert form = (x - 3)*(x - 1)*(x + 1)
Utvidet kontroll = x**3 - 3*x**2 - x + 3

Fasit: \(f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker den faktoriserte formen, finner nullpunktene og bestemmer fortegnet på hvert intervall.

Steg 1 — Start med faktorformen

Fra forrige del har vi \[f(x)=(x+1)(x-1)(x-3).\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Faktorene er null for \[x=-1,\qquad x=1,\qquad x=3.\] Disse deler tallinja i fire intervaller.

Steg 3 — Undersøk intervallet til venstre

For \(x<-1\), for eksempel \(x=-2\), er tre faktorer negative. Produktet er derfor negativt.

Steg 4 — Undersøk intervallet mellom -1 og 1

For \(x=0\) får vi \((+)(-)(-)=+\). Dermed er \(f(x)>0\) på \((-1,1)\).

Steg 5 — Undersøk intervallet mellom 1 og 3

For \(x=2\) får vi \((+)(+)(-)=-\). Dermed er \(f(x)<0\) på \((1,3)\).

Steg 6 — Undersøk intervallet til høyre

For \(x>3\), for eksempel \(x=4\), er alle faktorene positive. Derfor er \(f(x)>0\).

Steg 7 — Ta med nullpunktene

Ulikheten er \(f(x)\ge0\), så punktene der \(f(x)=0\) skal inkluderes. Løsningen er derfor \[[-1,1]\cup[3,\infty).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality

x = symbols('x', real=True)
f = x**3 - 3*x**2 - x + 3

print("Faktorisert f(x) =", factor(f))
print("f(-2) =", f.subs(x, -2))
print("f(0) =", f.subs(x, 0))
print("f(2) =", f.subs(x, 2))
print("f(4) =", f.subs(x, 4))
print("Løsning av f(x) >= 0:", solve_univariate_inequality(f >= 0, x))

Utskrift fra Python:
Faktorisert f(x) = (x - 3)*(x - 1)*(x + 1)
f(-2) = -15
f(0) = 3
f(2) = -3
f(4) = 15
Løsning av f(x) >= 0: (3 <= x) | ((-1 <= x) & (x <= 1))

Fasit: \(x\in[-1,1]\cup[3,\infty)\).

Hva spør oppgaven om? Vi finner vektorene langs sidene og bruker lengdeformelen \(|(u,v)|=\sqrt{u^2+v^2}\).

Steg 1 — Finn vektoren AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(4-2,1-0)=(2,1).\]

Steg 2 — Finn lengden AB

\[AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.\]

Steg 3 — Finn vektoren BC

\[\overrightarrow{BC}=C-B=(3-4,5-1)=(-1,4).\]

Steg 4 — Finn lengden BC

\[BC=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}.\]

Steg 5 — Finn vektoren AC

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(3-2,5-0)=(1,5).\]

Steg 6 — Finn lengden AC

\[AC=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}.\]

Steg 7 — Kontroller størrelsene

\(\sqrt{26}\) er størst, og dette passer fordi siden \(AC\) har den største koordinatendringen samlet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, sqrt

A = Matrix([2, 0])
B = Matrix([4, 1])
C = Matrix([3, 5])
AB = B - A
BC = C - B
AC = C - A

print("AB-vektor =", AB.T, ", |AB| =", sqrt(AB.dot(AB)))
print("BC-vektor =", BC.T, ", |BC| =", sqrt(BC.dot(BC)))
print("AC-vektor =", AC.T, ", |AC| =", sqrt(AC.dot(AC)))
print("Kvadrerte lengder =", AB.dot(AB), BC.dot(BC), AC.dot(AC))

Utskrift fra Python:
AB-vektor = Matrix([[2, 1]]) , |AB| = sqrt(5)
BC-vektor = Matrix([[-1, 4]]) , |BC| = sqrt(17)
AC-vektor = Matrix([[1, 5]]) , |AC| = sqrt(26)
Kvadrerte lengder = 5 17 26

Fasit: \(AB=\sqrt5\), \(BC=\sqrt{17}\) og \(AC=\sqrt{26}\).

Hva spør oppgaven om? Vi sammenligner kvadratene av sidelengdene med Pytagoras. Den lengste siden må være hypotenusen dersom trekanten er rettvinklet.

Steg 1 — Finn den lengste siden

Fra forrige del er \(AC=\sqrt{26}\) størst. Hvis trekanten er rettvinklet, må derfor \(AC\) være hypotenusen.

Steg 2 — Skriv Pytagoras-betingelsen

Da måtte \[AB^2+BC^2=AC^2.\]

Steg 3 — Sett inn kvadrerte lengder

\[AB^2=5,\qquad BC^2=17,\qquad AC^2=26.\]

Steg 4 — Regn venstresiden

\[AB^2+BC^2=5+17=22.\]

Steg 5 — Sammenlign

\[22\ne26.\] Pytagoras-betingelsen er ikke oppfylt.

Steg 6 — Kontroller med skalarprodukt

Vektorene fra \(B\) er \(\overrightarrow{BA}=(-2,-1)\) og \(\overrightarrow{BC}=(-1,4)\). Skalarproduktet er \[(-2)(-1)+(-1)4=2-4=-2\ne0.\]

Steg 7 — Konkluder

Sidene som møtes ved \(B\) er ikke ortogonale, og Pytagoras stemmer heller ikke. Trekanten er derfor ikke rettvinklet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix

A = Matrix([2, 0])
B = Matrix([4, 1])
C = Matrix([3, 5])
AB2 = (B-A).dot(B-A)
BC2 = (C-B).dot(C-B)
AC2 = (C-A).dot(C-A)

print("AB^2 =", AB2)
print("BC^2 =", BC2)
print("AC^2 =", AC2)
print("AB^2 + BC^2 =", AB2 + BC2)
print("AB^2 + AC^2 =", AB2 + AC2)
print("BC^2 + AC^2 =", BC2 + AC2)
print("Oppfyller noen kombinasjon Pytagoras?", (AB2 + BC2 == AC2) or (AB2 + AC2 == BC2) or (BC2 + AC2 == AB2))

Utskrift fra Python:
AB^2 = 5
BC^2 = 17
AC^2 = 26
AB^2 + BC^2 = 22
AB^2 + AC^2 = 31
BC^2 + AC^2 = 43
Oppfyller noen kombinasjon Pytagoras? False

Fasit: Trekanten \(ABC\) er ikke rettvinklet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sammenhengen mellom stigningstall og ekstremalpunkter: den deriverte er null der funksjonsgrafen har vannrett tangent.

Steg 1 — Se etter nullpunktene på den stiplede grafen

Den stiplede parabelen skjærer x-aksen ved omtrent \(x=1\) og \(x=3\).

Steg 2 — Se etter stasjonære punkter på den heltrukne grafen

Den heltrukne grafen har toppunkt ved omtrent \(x=1\) og bunnpunkt ved omtrent \(x=3\).

Steg 3 — Koble observasjonene

Der funksjonen har vannrett tangent, skal den deriverte være null. Nullpunktene til den stiplede grafen passer nøyaktig med ekstremalpunktene til den heltrukne.

Steg 4 — Kontroller vekst før x=1

Før \(x=1\) vokser den heltrukne grafen. Den stiplede grafen ligger over x-aksen, altså er den deriverte positiv.

Steg 5 — Kontroller avtagning mellom 1 og 3

Mellom \(x=1\) og \(x=3\) avtar den heltrukne grafen. Den stiplede grafen er negativ på dette intervallet.

Steg 6 — Kontroller vekst etter x=3

Etter \(x=3\) vokser den heltrukne grafen igjen, og den stiplede grafen er positiv.

Steg 7 — Konkluder

Den heltrukne, kubiske grafen er \(f\), mens den stiplede parabelen er grafen til \(f^{\prime}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor

x = symbols('x', real=True)
f = x*(x-3)**2
fp = factor(diff(f, x))

print("Modell som passer figuren: f(x) =", f.expand())
print("f'(x) =", fp)
print("f'(1) =", fp.subs(x, 1))
print("f'(3) =", fp.subs(x, 3))
print("f(1) =", f.subs(x, 1))
print("f(3) =", f.subs(x, 3))

Utskrift fra Python:
Modell som passer figuren: f(x) = x**3 - 6*x**2 + 9*x
f'(x) = 3*(x - 3)*(x - 1)
f'(1) = 0
f'(3) = 0
f(1) = 4
f(3) = 0

Fasit: Den heltrukne grafen viser \(f\), og den stiplede parabelen viser \(f^{\prime}\).

Hva spør oppgaven om? Vi leser nullpunkter og fortegn direkte fra grafene. For andrederiverten bruker vi hvor den deriverte avtar og vokser.

Steg 1 — Les nullpunktene til f

Den heltrukne grafen skjærer x-aksen ved \(x=0\) og berører x-aksen ved \(x=3\).

Steg 2 — Bestem fortegnet til f

Grafen ligger under x-aksen for \(x<0\) og over x-aksen for \(x>0\), bortsett fra at \(f(3)=0\). Fortegnet skifter ikke ved \(x=3\).

Steg 3 — Les nullpunktene til den førstederiverte

Den stiplede grafen skjærer x-aksen ved \(x=1\) og \(x=3\).

Steg 4 — Bestem fortegnet til den førstederiverte

Den stiplede grafen er positiv for \(x<1\), negativ for \(1<x<3\) og positiv for \(x>3\).

Steg 5 — Finn hvor den deriverte har ekstremalpunkt

Den stiplede parabelen har bunnpunkt ved \(x=2\). Der er stigningstallet til \(f^{\prime}\), altså \(f^{\prime\prime}\), lik null.

Steg 6 — Bestem fortegnet til andrederiverten

Parabelen \(f^{\prime}\) avtar for \(x<2\), så \(f^{\prime\prime}<0\). Den vokser for \(x>2\), så \(f^{\prime\prime}>0\).

Steg 7 — Samle fortegnslinjene

Fortegnsinformasjonen er oppsummert i tabellen nedenfor. Punktet \(x=2\) er et vendepunkt for \(f\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor

x = symbols('x', real=True)
f = x*(x-3)**2
fp = factor(diff(f, x))
fpp = factor(diff(f, x, 2))

print("f(x) =", factor(f))
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
print("Fortegn f ved x=-1, 1, 4:", [f.subs(x, t) for t in (-1, 1, 4)])
print("Fortegn f' ved x=0, 2, 4:", [fp.subs(x, t) for t in (0, 2, 4)])
print("Fortegn f'' ved x=1, 3:", [fpp.subs(x, t) for t in (1, 3)])

Utskrift fra Python:
f(x) = x*(x - 3)**2
f'(x) = 3*(x - 3)*(x - 1)
f''(x) = 6*(x - 2)
Fortegn f ved x=-1, 1, 4: [-16, 4, 4]
Fortegn f' ved x=0, 2, 4: [9, -3, 9]
Fortegn f'' ved x=1, 3: [-6, 6]

Fasit: \(f\): minus før 0, pluss etter 0 med null også i 3. \(f^{\prime}\): pluss, minus, pluss med skifter i 1 og 3. \(f^{\prime\prime}\): minus før 2 og pluss etter 2.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker midtpunktsformelen på hver av sidene \(AB\), \(BC\), \(CD\) og \(DA\).

Steg 1 — Skriv midtpunktsformelen

Midtpunktet mellom \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) er \[\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).\]

Steg 2 — Finn M1 på AB

\[M_1=\left(\frac{0+3}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac32,0\right).\]

Steg 3 — Finn M2 på BC

\[M_2=\left(\frac{3+4}{2},\frac{0+3}{2}\right)=\left(\frac72,\frac32\right).\]

Steg 4 — Finn M3 på CD

\[M_3=\left(\frac{4+(-1)}{2},\frac{3+5}{2}\right)=\left(\frac32,4\right).\]

Steg 5 — Finn M4 på DA

\[M_4=\left(\frac{-1+0}{2},\frac{5+0}{2}\right)=\left(-\frac12,\frac52\right).\]

Steg 6 — Kontroller plasseringen

Hvert midtpunkt har koordinater som ligger mellom koordinatene til endepunktene på den aktuelle siden.

Steg 7 — Samle svaret

De fire punktene kan nå brukes til å undersøke parallelle motstående sider i midtpunktfirkanten.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, Rational

A = Matrix([0, 0])
B = Matrix([3, 0])
C = Matrix([4, 3])
D = Matrix([-1, 5])
M1 = (A + B)/2
M2 = (B + C)/2
M3 = (C + D)/2
M4 = (D + A)/2

print("M1 =", M1.T)
print("M2 =", M2.T)
print("M3 =", M3.T)
print("M4 =", M4.T)

Utskrift fra Python:
M1 = Matrix([[3/2, 0]])
M2 = Matrix([[7/2, 3/2]])
M3 = Matrix([[3/2, 4]])
M4 = Matrix([[-1/2, 5/2]])

Fasit: \(M_1=(3/2,0)\), \(M_2=(7/2,3/2)\), \(M_3=(3/2,4)\), \(M_4=(-1/2,5/2)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at begge par motstående sider har like retningsvektorer. Da er de både parallelle og like lange.

Steg 1 — Finn vektoren M1M2

\[\overrightarrow{M_1M_2}=\left(\frac72-\frac32,\frac32-0\right)=\left(2,\frac32\right).\]

Steg 2 — Finn vektoren M4M3

\[\overrightarrow{M_4M_3}=\left(\frac32+\frac12,4-\frac52\right)=\left(2,\frac32\right).\]

Steg 3 — Sammenlign første sidepar

\[\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{M_4M_3}.\] Dermed er sidene parallelle og like lange.

Steg 4 — Finn vektoren M2M3

\[\overrightarrow{M_2M_3}=\left(\frac32-\frac72,4-\frac32\right)=\left(-2,\frac52\right).\]

Steg 5 — Finn vektoren M1M4

\[\overrightarrow{M_1M_4}=\left(-\frac12-\frac32,\frac52-0\right)=\left(-2,\frac52\right).\]

Steg 6 — Sammenlign andre sidepar

\[\overrightarrow{M_2M_3}=\overrightarrow{M_1M_4}.\] Også dette sideparet er parallelt og like langt.

Steg 7 — Konklusjon

Begge par motstående sider er parallelle. Etter definisjonen er \(M_1M_2M_3M_4\) derfor et parallellogram.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, Rational

M1 = Matrix([Rational(3,2), 0])
M2 = Matrix([Rational(7,2), Rational(3,2)])
M3 = Matrix([Rational(3,2), 4])
M4 = Matrix([Rational(-1,2), Rational(5,2)])

print("M1M2 =", (M2-M1).T)
print("M4M3 =", (M3-M4).T)
print("M2M3 =", (M3-M2).T)
print("M1M4 =", (M4-M1).T)
print("Første par like?", M2-M1 == M3-M4)
print("Andre par like?", M3-M2 == M4-M1)

Utskrift fra Python:
M1M2 = Matrix([[2, 3/2]])
M4M3 = Matrix([[2, 3/2]])
M2M3 = Matrix([[-2, 5/2]])
M1M4 = Matrix([[-2, 5/2]])
Første par like? True
Andre par like? True

Fasit: \(M_1M_2M_3M_4\) er et parallellogram.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjennomføre et generelt koordinatbevis. Først finner vi alle midtpunktene symbolsk, deretter sammenligner vi vektorene langs motstående sider.

Steg 1 — Finn N1

\[N_1=\left(\frac a2,0\right).\]

Steg 2 — Finn N2

\[N_2=\left(\frac{a+b}{2},\frac c2\right).\]

Steg 3 — Finn N3

\[N_3=\left(\frac{b+d}{2},\frac{c+e}{2}\right).\]

Steg 4 — Finn N4

\[N_4=\left(\frac d2,\frac e2\right).\]

Steg 5 — Sammenlign det første sideparet

\[\overrightarrow{N_1N_2}=\left(\frac b2,\frac c2\right),\qquad \overrightarrow{N_4N_3}=\left(\frac b2,\frac c2\right).\] Derfor er disse sidene parallelle og like lange.

Steg 6 — Sammenlign det andre sideparet

\[\overrightarrow{N_2N_3}=\left(\frac{d-a}{2},\frac e2\right),\qquad \overrightarrow{N_1N_4}=\left(\frac{d-a}{2},\frac e2\right).\] Også disse sidene er parallelle og like lange.

Steg 7 — Konklusjon

Begge par motstående sider har identiske vektorer. Derfor er \(N_1N_2N_3N_4\) et parallellogram for enhver firkant \(EFGH\). Dette er Varignons teorem.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, simplify

a, b, c, d, e = symbols('a b c d e', real=True)
E = Matrix([0, 0])
F = Matrix([a, 0])
G = Matrix([b, c])
H = Matrix([d, e])
N1 = (E + F)/2
N2 = (F + G)/2
N3 = (G + H)/2
N4 = (H + E)/2

print("N1 =", N1.T)
print("N2 =", N2.T)
print("N3 =", N3.T)
print("N4 =", N4.T)
print("N1N2 - N4N3 =", simplify((N2-N1) - (N3-N4)).T)
print("N2N3 - N1N4 =", simplify((N3-N2) - (N4-N1)).T)

Utskrift fra Python:
N1 = Matrix([[a/2, 0]])
N2 = Matrix([[a/2 + b/2, c/2]])
N3 = Matrix([[b/2 + d/2, c/2 + e/2]])
N4 = Matrix([[d/2, e/2]])
N1N2 - N4N3 = Matrix([[0, 0]])
N2N3 - N1N4 = Matrix([[0, 0]])

Fasit: Midtpunktfirkanten \(N_1N_2N_3N_4\) er alltid et parallellogram.

Hva spør oppgaven om? Vi har trekk uten tilbakelegging. Sannsynligheten i andre trekk må derfor justeres etter at ett svart kort er trukket.

Steg 1 — Finn totalt antall kort

\[16+14=30.\]

Steg 2 — Finn sannsynligheten for svart først

\[P(S_1)=\frac{16}{30}.\]

Steg 3 — Oppdater kortbunken

Etter et svart kort er trukket, er det 15 svarte kort igjen blant 29 kort.

Steg 4 — Finn den betingede sannsynligheten

\[P(S_2\mid S_1)=\frac{15}{29}.\]

Steg 5 — Bruk produktregelen

\[P(S_1\cap S_2)=\frac{16}{30}\cdot\frac{15}{29}.\]

Steg 6 — Forkort

\[\frac{16\cdot15}{30\cdot29}=\frac{8}{29}.\]

Steg 7 — Tolk resultatet

\[\frac8{29}\approx0{,}2759,\] altså omtrent \(27{,}6\,\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

p_forste_svart = Fraction(16, 30)
p_andre_svart_gitt_forste = Fraction(15, 29)
p_begge_svarte = p_forste_svart * p_andre_svart_gitt_forste

print("P(første svart) =", p_forste_svart)
print("P(andre svart | første svart) =", p_andre_svart_gitt_forste)
print("P(begge svarte) =", p_begge_svarte)
print("Desimaltall =", float(p_begge_svarte))
print("Prosent =", float(p_begge_svarte) * 100)

Utskrift fra Python:
P(første svart) = 8/15
P(andre svart | første svart) = 15/29
P(begge svarte) = 8/29
Desimaltall = 0.27586206896551724
Prosent = 27.586206896551722

Fasit: \(P=8/29\approx0{,}2759\), altså omtrent \(27{,}6\,\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi velger 7 av de 16 svarte og 3 av de 14 røde. Siden rekkefølgen ikke betyr noe, bruker vi kombinasjoner.

Steg 1 — Kontroller antall kort

Kravet \(7+3=10\) stemmer med antallet Ali trekker.

Steg 2 — Tell valg av svarte kort

\[\binom{16}{7}=11\,440.\]

Steg 3 — Tell valg av røde kort

\[\binom{14}{3}=364.\]

Steg 4 — Bruk produktregelen for gunstige utvalg

\[\binom{16}{7}\binom{14}{3}=11\,440\cdot364=4\,164\,160.\]

Steg 5 — Tell alle utvalg av 10 kort

\[\binom{30}{10}=30\,045\,015.\]

Steg 6 — Sett opp sannsynligheten

\[P=\frac{\binom{16}{7}\binom{14}{3}}{\binom{30}{10}}.\]

Steg 7 — Forkort og tolk

\[P=\frac{832}{6003}\approx0{,}13860.\] Det tilsvarer omtrent \(13{,}86\,\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
from fractions import Fraction

svarte_valg = comb(16, 7)
rode_valg = comb(14, 3)
alle_valg = comb(30, 10)
gunstige = svarte_valg * rode_valg
p = Fraction(gunstige, alle_valg)

print("C(16,7) =", svarte_valg)
print("C(14,3) =", rode_valg)
print("Gunstige utvalg =", gunstige)
print("C(30,10) =", alle_valg)
print("Eksakt sannsynlighet =", p)
print("Desimaltall =", float(p))
print("Prosent =", float(p) * 100)

Utskrift fra Python:
C(16,7) = 11440
C(14,3) = 364
Gunstige utvalg = 4164160
C(30,10) = 30045015
Eksakt sannsynlighet = 832/6003
Desimaltall = 0.13859736798267533
Prosent = 13.859736798267534

Fasit: \(P=832/6003\approx0{,}1386\), altså omtrent \(13{,}86\,\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi deler hendelsen kobbermynt i to gjensidig utelukkende veier: før 1940 og etter 1940.

Steg 1 — Definer tidsgruppene

\[P(F)=0{,}40,\qquad P(E)=0{,}60.\]

Steg 2 — Skriv de betingede sannsynlighetene

\[P(K\mid F)=0{,}45,\qquad P(K\mid E)=0{,}35.\]

Steg 3 — Finn kobberbidraget fra før 1940

\[P(F\cap K)=0{,}40\cdot0{,}45=0{,}18.\]

Steg 4 — Finn kobberbidraget fra etter 1940

\[P(E\cap K)=0{,}60\cdot0{,}35=0{,}21.\]

Steg 5 — Bruk loven om total sannsynlighet

\[P(K)=P(F\cap K)+P(E\cap K).\]

Steg 6 — Legg sammen

\[P(K)=0{,}18+0{,}21=0{,}39.\]

Steg 7 — Tolk resultatet

Sannsynligheten er derfor \(39\,\%\). Sølvprosentene er ikke nødvendige for denne beregningen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

p_for = Fraction(40, 100)
p_etter = Fraction(60, 100)
p_kobber_gitt_for = Fraction(45, 100)
p_kobber_gitt_etter = Fraction(35, 100)

bidrag_for = p_for * p_kobber_gitt_for
bidrag_etter = p_etter * p_kobber_gitt_etter
p_kobber = bidrag_for + bidrag_etter

print("P(før 1940 og kobber) =", bidrag_for)
print("P(etter 1940 og kobber) =", bidrag_etter)
print("P(kobber) =", p_kobber)
print("Desimaltall =", float(p_kobber))
print("Prosent =", float(p_kobber) * 100)

Utskrift fra Python:
P(før 1940 og kobber) = 9/50
P(etter 1940 og kobber) = 21/100
P(kobber) = 39/100
Desimaltall = 0.39
Prosent = 39.0

Fasit: \(P(\text{kobber})=0{,}39=39\,\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal snu betingelsen. Bayes’ formel sammenligner andelen som både er gamle og av kobber, med alle kobbermyntene.

Steg 1 — Skriv ønsket sannsynlighet

Vi søker \[P(F\mid K).\]

Steg 2 — Bruk definisjonen av betinget sannsynlighet

\[P(F\mid K)=\frac{P(F\cap K)}{P(K)}.\]

Steg 3 — Finn telleren

Fra forrige del er \[P(F\cap K)=0{,}40\cdot0{,}45=0{,}18.\]

Steg 4 — Finn nevneren

Fra del c) er \[P(K)=0{,}39.\]

Steg 5 — Sett inn

\[P(F\mid K)=\frac{0{,}18}{0{,}39}.\]

Steg 6 — Forkort brøken

\[\frac{18}{39}=\frac6{13}.\]

Steg 7 — Tolk resultatet

\[\frac6{13}\approx0{,}4615.\] Blant kobbermyntene er omtrent \(46{,}15\,\%\) laget før 1940.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

p_for_og_kobber = Fraction(40, 100) * Fraction(45, 100)
p_kobber = Fraction(39, 100)
p_for_gitt_kobber = p_for_og_kobber / p_kobber

print("P(før 1940 og kobber) =", p_for_og_kobber)
print("P(kobber) =", p_kobber)
print("P(før 1940 | kobber) =", p_for_gitt_kobber)
print("Desimaltall =", float(p_for_gitt_kobber))
print("Prosent =", float(p_for_gitt_kobber) * 100)

Utskrift fra Python:
P(før 1940 og kobber) = 9/50
P(kobber) = 39/100
P(før 1940 | kobber) = 6/13
Desimaltall = 0.46153846153846156
Prosent = 46.15384615384615

Fasit: \(P(\text{før 1940}\mid\text{kobber})=6/13\approx0{,}4615\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at A og D ligger loddrett over hverandre, og at D ligger på linja \(y=4x\).

Steg 1 — Plasser A

Siden førstekoordinaten til A settes lik \(u\) og A ligger på x-aksen, er \[A=(u,0).\]

Steg 2 — Bruk rektangelets vertikale side

Siden \(AD\) er loddrett, har D samme førstekoordinat som A. Derfor er \(x_D=u\).

Steg 3 — Bruk linja y2

Punktet D ligger på \(y_2=4x\). Når \(x=u\), får vi \[y_D=4u.\]

Steg 4 — Skriv koordinatene til D

\[D=(u,4u).\]

Steg 5 — Bruk rektangelets horisontale toppside

Siden \(DC\) er horisontal, har C og D samme andrekoordinat.

Steg 6 — Finn y-koordinaten til C

Dermed er \[y_C=y_D=4u.\]

Steg 7 — Konkluder

Både høyden i rektangelet og andrekoordinatene til C og D er altså \(4u\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols

u = symbols('u', real=True)
D = (u, 4*u)
y_C = 4*u

print("A =", (u, 0))
print("D =", D)
print("Høyden i rektangelet =", y_C)
print("C har samme andrekoordinat som D =", y_C)

Utskrift fra Python:
A = (u, 0)
D = (u, 4*u)
Høyden i rektangelet = 4*u
C har samme andrekoordinat som D = 4*u

Fasit: \(D=(u,4u)\), og \(y_C=4u\).

Hva spør oppgaven om? Punktet C ligger både på rektangelets toppside med høyde \(4u\) og på linja \(y=-5x+6\). Vi setter de to y-uttrykkene lik hverandre.

Steg 1 — Skriv koordinatformen til C

Vi kan skrive \[C=(x,4u),\] fordi andrekoordinaten ble funnet i del a.

Steg 2 — Bruk linjelikningen

Siden C ligger på \(y_1=-5x+6\), må koordinatene oppfylle \[4u=-5x+6.\]

Steg 3 — Flytt konstantleddet

\[-5x=4u-6.\]

Steg 4 — Multipliser med minus én

\[5x=6-4u.\]

Steg 5 — Del på 5

\[x=\frac{6-4u}{5}.\]

Steg 6 — Kontroller ved innsetting

\[-5\left(\frac{6-4u}{5}\right)+6=-(6-4u)+6=4u.\]

Steg 7 — Konkluder

Førstekoordinaten til C er derfor bestemt som en funksjon av \(u\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve

u, x = symbols('u x', real=True)
likning = -5*x + 6 - 4*u
x_losning = solve(likning, x)[0]

print("Likningen for C: -5*x + 6 = 4*u")
print("Løsning for x =", x_losning)
print("Kontroll i linja y1:", (-5*x + 6).subs(x, x_losning))

Utskrift fra Python:
Likningen for C: -5*x + 6 = 4*u
Løsning for x = 6/5 - 4*u/5
Kontroll i linja y1: 4*u

Fasit: \(x_C=(6-4u)/5\).

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker rektangelets bredde og høyde ved \(u\), multipliserer dem og forenkler.

Steg 1 — Finn venstre x-koordinat

Punktet A har x-koordinat \(u\).

Steg 2 — Finn høyre x-koordinat

Punktet B ligger rett under C og har derfor x-koordinat \[x_B=x_C=\frac{6-4u}{5}.\]

Steg 3 — Finn bredden

\[AB=x_B-x_A=\frac{6-4u}{5}-u=\frac{6-9u}{5}.\]

Steg 4 — Finn høyden

Fra del a er \[AD=4u.\]

Steg 5 — Sett opp arealet

\[F(u)=AB\cdot AD=\frac{6-9u}{5}\cdot4u.\]

Steg 6 — Multipliser inn

\[F(u)=\frac{24u-36u^2}{5}.\]

Steg 7 — Skriv standardform

\[F(u)=-\frac{36}{5}u^2+\frac{24}{5}u.\] Dette er en nedovervendt parabel, så funksjonen har et maksimum.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, factor

u = symbols('u', real=True)
x_C = (6 - 4*u)/5
bredde = x_C - u
hoyde = 4*u
F = expand(bredde*hoyde)

print("x_C =", x_C)
print("Bredde = x_C - u =", factor(bredde))
print("Høyde =", hoyde)
print("Areal F(u) =", F)
print("Faktorisert areal =", factor(F))

Utskrift fra Python:
x_C = 6/5 - 4*u/5
Bredde = x_C - u = -3*(3*u - 2)/5
Høyde = 4*u
Areal F(u) = -36*u**2/5 + 24*u/5
Faktorisert areal = -12*u*(3*u - 2)/5

Fasit: \(F(u)=-\frac{36}{5}u^2+\frac{24}{5}u\).

Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer arealfunksjonen. Siden koeffisienten foran \(u^2\) er negativ, er det kritiske punktet et toppunkt.

Steg 1 — Skriv arealfunksjonen

\[F(u)=-\frac{36}{5}u^2+\frac{24}{5}u.\]

Steg 2 — Deriver

\[F^{\prime}(u)=-\frac{72}{5}u+\frac{24}{5}.\]

Steg 3 — Finn kritisk punkt

\[-\frac{72}{5}u+\frac{24}{5}=0\quad\Longrightarrow\quad -72u+24=0.\]

Steg 4 — Løs for u

\[72u=24\quad\Longrightarrow\quad u=\frac13.\]

Steg 5 — Kontroller at punktet er maksimum

\[F^{\prime\prime}(u)=-\frac{72}{5}<0.\] Grafen er konkav ned, så punktet er et maksimum.

Steg 6 — Beregn maksimalverdien

\[F\left(\frac13\right)=-\frac{36}{5}\cdot\frac19+\frac{24}{5}\cdot\frac13=-\frac45+\frac85=\frac45.\]

Steg 7 — Kontroller geometrien

Når \(u=1/3\), er høyden \(4/3\) og bredden \(14/15-1/3=3/5\). Produktet \((4/3)(3/5)=4/5\) bekrefter svaret.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Rational, diff, solve, simplify

u = symbols('u', real=True)
F = -Rational(36,5)*u**2 + Rational(24,5)*u
F_derivert = diff(F, u)
kritisk = solve(F_derivert, u)[0]
maks_areal = simplify(F.subs(u, kritisk))
x_C = simplify((6-4*kritisk)/5)

print("F(u) =", F)
print("F'(u) =", F_derivert)
print("Kritisk u-verdi =", kritisk)
print("F''(u) =", diff(F, u, 2))
print("Maksimalt areal =", maks_areal)
print("A =", (kritisk, 0))
print("B =", (x_C, 0))
print("C =", (x_C, 4*kritisk))
print("D =", (kritisk, 4*kritisk))

Utskrift fra Python:
F(u) = -36*u**2/5 + 24*u/5
F'(u) = 24/5 - 72*u/5
Kritisk u-verdi = 1/3
F''(u) = -72/5
Maksimalt areal = 4/5
A = (1/3, 0)
B = (14/15, 0)
C = (14/15, 4/3)
D = (1/3, 4/3)

Fasit: Det største arealet er \(4/5\) kvadratenheter, oppnådd når \(u=1/3\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker at AD er loddrett og DC er vannrett, sammen med linjelikningene for D og C.

Steg 1 — Bruk koordinatene til A

Siden \(A=(2,0)\) og AD er loddrett, har D førstekoordinat 2.

Steg 2 — Finn y-koordinaten til D

D ligger på \(y_1=x-1\): \[y_D=2-1=1.\]

Steg 3 — Skriv D

\[D=(2,1).\]

Steg 4 — Bruk den horisontale siden DC

C og D har samme andrekoordinat, så \(y_C=1\).

Steg 5 — Sett C inn i y2

C ligger på \(y_2=-x+6\), derfor \[1=-x_C+6.\]

Steg 6 — Løs for xC

\[x_C=5.\]

Steg 7 — Konkluder

\[C=(5,1).\] Begge punktene oppfyller de respektive linjelikningene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols

x = 2
y_D = x - 1
x_C = 6 - y_D

print("A =", (x, 0))
print("D =", (x, y_D))
print("C =", (x_C, y_D))
print("Kontroll D på y1=x-1:", y_D == x-1)
print("Kontroll C på y2=-x+6:", y_D == -x_C+6)

Utskrift fra Python:
A = (2, 0)
D = (2, 1)
C = (5, 1)
Kontroll D på y1=x-1: True
Kontroll C på y2=-x+6: True

Fasit: \(D=(2,1)\) og \(C=(5,1)\).

Hva spør oppgaven om? Vi finner bredden og høyden fra koordinatene i del a og bruker arealformelen for rektangel.

Steg 1 — Skriv de relevante punktene

\[A=(2,0),\quad B=(5,0),\quad D=(2,1).\]

Steg 2 — Finn bredden

\[AB=5-2=3.\]

Steg 3 — Finn høyden

\[AD=1-0=1.\]

Steg 4 — Skriv arealformelen

For et rektangel er \[A=\text{bredde}\cdot\text{høyde}.\]

Steg 5 — Sett inn

\[A=3\cdot1.\]

Steg 6 — Regn ut

\[A=3.\]

Steg 7 — Konkluder

Rektangelet har areal 3 kvadratenheter når førstekoordinaten til A er 2.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Integer

A = (2, 0)
B = (5, 0)
C = (5, 1)
D = (2, 1)
bredde = B[0] - A[0]
hoyde = D[1] - A[1]
areal = bredde*hoyde

print("Bredde AB =", bredde)
print("Høyde AD =", hoyde)
print("Areal = bredde * høyde =", areal)

Utskrift fra Python:
Bredde AB = 3
Høyde AD = 1
Areal = bredde * høyde = 3

Fasit: Arealet er \(3\) kvadratenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi må først uttrykke høyden og bredden ved x. Deretter setter vi inn de fire tabellverdiene.

Steg 1 — Finn høyden

D ligger på \(y_1=x-1\), så høyden er \[AD=x-1.\]

Steg 2 — Finn x-koordinaten til C

C har samme y-verdi: \(x-1=-x_C+6\). Dermed \[x_C=7-x.\]

Steg 3 — Finn bredden

\[AB=x_C-x=(7-x)-x=7-2x.\]

Steg 4 — Sett opp arealfunksjonen

\[F(x)=(x-1)(7-2x).\]

Steg 5 — Beregn F(1,5) og F(2,0)

\[F(1{,}5)=0{,}5\cdot4=2{,}0,\qquad F(2)=1\cdot3=3{,}0.\]

Steg 6 — Beregn F(2,5) og F(3,0)

\[F(2{,}5)=1{,}5\cdot2=3{,}0,\qquad F(3)=2\cdot1=2{,}0.\]

Steg 7 — Fyll inn tabellen

Tabellen blir symmetrisk rundt en x-verdi mellom 2,0 og 2,5, noe som er forventet for en andregradsfunksjon.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand

x = symbols('x', real=True)
hoyde = x - 1
x_C = 7 - x
bredde = x_C - x
F = expand(hoyde*bredde)
verdier = [1.5, 2.0, 2.5, 3.0]

print("Høyde =", hoyde)
print("x-koordinat til C =", x_C)
print("Bredde =", bredde)
print("F(x) =", F)
for verdi in verdier:
    print(f"F({verdi:.1f}) = {float(F.subs(x, verdi)):.1f}")

Utskrift fra Python:
Høyde = x - 1
x-koordinat til C = 7 - x
Bredde = 7 - 2*x
F(x) = -2*x**2 + 9*x - 7
F(1.5) = 2.0
F(2.0) = 3.0
F(2.5) = 3.0
F(3.0) = 2.0

Fasit: Tabellverdiene er \(2{,}0\), \(3{,}0\), \(3{,}0\) og \(2{,}0\).

Hva spør oppgaven om? Vi utvider arealmodellen, finner toppunktet og bruker den optimale x-verdien til å beregne alle hjørnene.

Steg 1 — Utvid arealuttrykket

\[F(x)=(x-1)(7-2x)=7x-2x^2-7+2x=-2x^2+9x-7.\]

Steg 2 — Les av konstantene

\[a=-2,\qquad b=9,\qquad c=-7.\]

Steg 3 — Finn toppunktets x-verdi

\[F^{\prime}(x)=-4x+9.\] Ligningen \(-4x+9=0\) gir \[x=\frac94.\]

Steg 4 — Kontroller maksimum

\[F^{\prime\prime}(x)=-4<0.\] Punktet er derfor et maksimum.

Steg 5 — Finn maksimalarealet

\[F\left(\frac94\right)=-2\left(\frac94\right)^2+9\left(\frac94\right)-7=\frac{25}{8}=3{,}125.\]

Steg 6 — Finn høyde og høyre x-koordinat

\[h=x-1=\frac54,\qquad x_C=7-x=7-\frac94=\frac{19}{4}.\]

Steg 7 — Skriv alle hjørnene

\[A=\left(\frac94,0\right),\ B=\left(\frac{19}{4},0\right),\ C=\left(\frac{19}{4},\frac54\right),\ D=\left(\frac94,\frac54\right).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand, Rational, diff, solve, simplify

x = symbols('x', real=True)
F = expand((x-1)*(7-2*x))
x_topp = solve(diff(F, x), x)[0]
F_maks = simplify(F.subs(x, x_topp))
x_C = simplify(7-x_topp)
h = simplify(x_topp-1)

print("F(x) =", F)
print("a = -2, b = 9, c = -7")
print("F'(x) =", diff(F, x))
print("x-verdi i toppunktet =", x_topp)
print("F''(x) =", diff(F, x, 2))
print("Maksimalt areal =", F_maks)
print("A =", (x_topp, 0))
print("B =", (x_C, 0))
print("C =", (x_C, h))
print("D =", (x_topp, h))

Utskrift fra Python:
F(x) = -2*x**2 + 9*x - 7
a = -2, b = 9, c = -7
F'(x) = 9 - 4*x
x-verdi i toppunktet = 9/4
F''(x) = -4
Maksimalt areal = 25/8
A = (9/4, 0)
B = (19/4, 0)
C = (19/4, 5/4)
D = (9/4, 5/4)

Fasit: \(a=-2\), \(b=9\), \(c=-7\). Maksimalt areal er \(25/8=3{,}125\) ved \(x=9/4\). Hjørnene er \(A(9/4,0)\), \(B(19/4,0)\), \(C(19/4,5/4)\), \(D(9/4,5/4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke tangentsatsen: tangentstykker fra det samme punktet utenfor en sirkel er like lange.

Steg 1 — Se på tangentene fra A

Fra punktet A går linjestykkene \(AD\) og \(AE\) til sirkelen.

Steg 2 — Identifiser tangeringspunktene

D er tangeringspunkt på siden \(AC\), og E er tangeringspunkt på siden \(AB\).

Steg 3 — Bruk radiusens normalitet

Radiusene \(SD\) og \(SE\) står vinkelrett på tangentene i D og E.

Steg 4 — Sammenlign de to rettvinklede trekantene

Trekantene \(ASD\) og \(ASE\) har felles hypotenus \(AS\), og \(SD=SE=r\). De er derfor kongruente etter hypotenus–katet.

Steg 5 — Konkluder for A

Tilsvarende sider i kongruente trekanter er like, så \[AD=AE.\]

Steg 6 — Gjenta argumentet fra B

Trekantene \(BSF\) og \(BSE\) har felles hypotenus \(BS\), og \(SF=SE=r\).

Steg 7 — Konkluder for B

Dermed er trekantene kongruente, og \[BF=BE.\] Dette er nettopp tangentsatsen anvendt fra punktene A og B.

Fasit: \(AD=AE\) og \(BF=BE\).

Hva spør oppgaven om? Vi deler hver side i tangentstykker. Ved det rettvinklede hjørnet C er avstandene fra C til tangeringspunktene D og F begge lik radiusen r.

Steg 1 — Bruk de gitte tangentlengdene

\[AD=AE=x,\qquad BF=BE=y.\]

Steg 2 — Undersøk hjørnet C

Radiusene \(SD\) og \(SF\) står vinkelrett på katetene. Siden vinkelen ved C er \(90^{\circ}\), danner \(CFSD\) et kvadrat med sidelengde r.

Steg 3 — Finn tangentstykkene fra C

Dermed er \[CD=CF=r.\] Dette følger også av tangentsatsen fra punktet C.

Steg 4 — Finn kateten a

Siden \(a=BC\), får vi \[a=BF+FC=y+r.\]

Steg 5 — Finn kateten b

Siden \(b=CA\), får vi \[b=CD+DA=r+x.\]

Steg 6 — Finn hypotenusen c

Siden \(c=AB\), får vi \[c=AE+EB=x+y.\]

Steg 7 — Samle uttrykkene

\[a=r+y,\qquad b=r+x,\qquad c=x+y.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols

r, x, y = symbols('r x y', positive=True)
a = r + y
b = r + x
c = x + y

print("a = BC = CF + FB =", a)
print("b = CA = CD + DA =", b)
print("c = AB = AE + EB =", c)
print("Her er CD = CF = r, AD = AE = x og BF = BE = y")

Utskrift fra Python:
a = BC = CF + FB = r + y
b = CA = CD + DA = r + x
c = AB = AE + EB = x + y
Her er CD = CF = r, AD = AE = x og BF = BE = y

Fasit: \(a=r+y\), \(b=r+x\) og \(c=x+y\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter sideuttrykkene fra b) inn i venstresiden og viser at alle tangentlengdene x og y kanselleres.

Steg 1 — Start med uttrykket som skal forenkles

\[a+b-c.\]

Steg 2 — Sett inn a

Fra b) er \(a=r+y\). Da får vi foreløpig \[(r+y)+b-c.\]

Steg 3 — Sett inn b og c

\[a+b-c=(r+y)+(r+x)-(x+y).\]

Steg 4 — Fjern parentesene

\[a+b-c=r+y+r+x-x-y.\]

Steg 5 — Kanseller tangentlengdene

Leddene \(+x\) og \(-x\) går mot hverandre, og det samme gjør \(+y\) og \(-y\).

Steg 6 — Forenkle

\[a+b-c=r+r=2r.\]

Steg 7 — Formuler egenskapen

I en rettvinklet trekant er summen av katetene minus hypotenusen lik diameteren i den innskrevne sirkelen. Tilsvarende er innradiusen \[r=\frac{a+b-c}{2}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify

r, x, y = symbols('r x y', positive=True)
a = r + y
b = r + x
c = x + y
venstreside = simplify(a + b - c)

print("a =", a)
print("b =", b)
print("c =", c)
print("a + b - c =", venstreside)
print("Kontroll mot 2*r:", simplify(venstreside - 2*r))

Utskrift fra Python:
a = r + y
b = r + x
c = x + y
a + b - c = 2*r
Kontroll mot 2*r: 0

Fasit: \(a+b-c=2r\). Summen av katetene minus hypotenusen er lik innsirkelens diameter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at S ligger på vinkelhalveringslinjen i hvert hjørne. Nøkkelideen er at et punkt som har lik avstand til de to vinkelbeina, ligger på vinkelhalveringslinjen.

Steg 1 — Se på avstanden fra S til sidene ved A

Avstanden fra S til siden \(AC\) er radiusen \(SD=r\), og avstanden fra S til siden \(AB\) er radiusen \(SE=r\).

Steg 2 — Bruk vinkelhalveringskriteriet ved A

S har lik vinkelrett avstand til de to sidene som danner \(\angle A\). Derfor ligger S på vinkelhalveringslinjen til \(\angle A\).

Steg 3 — Konkluder for linja AS

Linjen \(AS\) halverer dermed \(\angle A\). Dette kan også vises ved kongruens mellom de rettvinklede trekantene \(ASD\) og \(ASE\).

Steg 4 — Gjenta ved B

Avstandene fra S til sidene \(BA\) og \(BC\) er \(SE=r\) og \(SF=r\). Derfor ligger S på vinkelhalveringslinjen ved B.

Steg 5 — Konkluder for linja BS

Linjen \(BS\) halverer \(\angle B\).

Steg 6 — Gjenta ved C

Avstandene fra S til sidene \(CA\) og \(CB\) er \(SD=r\) og \(SF=r\). Derfor ligger S på vinkelhalveringslinjen ved C.

Steg 7 — Konklusjon

Linjen \(CS\) halverer \(\angle C\). De tre indre vinkelhalveringslinjene møtes altså i S, som er trekantens innsentrum.

GeoGebra/CAS-kontroll

Fasit: \(AS\), \(BS\) og \(CS\) er vinkelhalveringslinjene i trekanten og møtes i innsentrum S.

Hva spør oppgaven om? Vi skal konstruere en rettvinklet trekant med katet 5 cm og innradius 2 cm. Først bestemmer vi de øvrige sidene som kontroll, deretter beskriver vi en geometrisk konstruksjon.

Steg 1 — Bruk egenskapen fra c

\[a+b-c=2r.\] Med \(a=5\) og \(r=2\) får vi \[5+b-c=4\quad\Longrightarrow\quad c=b+1.\]

Steg 2 — Bruk Pytagoras

Fordi trekanten er rettvinklet, er \[c^2=a^2+b^2.\] Dermed \[(b+1)^2=5^2+b^2.\]

Steg 3 — Løs likningen

\[b^2+2b+1=25+b^2\quad\Longrightarrow\quad2b=24\quad\Longrightarrow\quad b=12.\] Da er \(c=13\).

Steg 4 — Konstruer den rette vinkelen

Tegn to vinkelrette stråler fra C. Mål av \(CB=5\text{ cm}\) på den ene strålen.

Steg 5 — Plasser innsentrum

Tegn vinkelhalveringslinjen til den rette vinkelen ved C. Tegn samtidig en linje parallell med \(CA\) i avstand 2 cm. Skjæringspunktet er S, fordi S ligger 2 cm fra begge katetene.

Steg 6 — Tegn innsirkel og tangent

Tegn sirkelen med sentrum S og radius 2 cm. Fra B konstruerer du den andre tangenten til sirkelen, forskjellig fra linja BC. La denne tangenten skjære den vannrette strålen fra C i A.

Steg 7 — Kontroller konstruksjonen

Da er \(CA=12\text{ cm}\), \(AB=13\text{ cm}\), og sirkelen tangerer alle tre sider. Trekantens innradius er \((5+12-13)/2=2\text{ cm}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, sqrt, Rational

b = symbols('b', positive=True)
a = Rational(5)
r = Rational(2)
c = b + a - 2*r
losning_b = solve(c**2 - (a**2 + b**2), b)[0]
losning_c = c.subs(b, losning_b)

print("Fra a + b - c = 2r får vi c = b + 1")
print("Pytagoras-likning: (b + 1)^2 = 5^2 + b^2")
print("b =", losning_b)
print("c =", losning_c)
print("Kontroll 5^2 + 12^2 =", 5**2 + 12**2)
print("Kontroll 13^2 =", 13**2)
print("Innradius = (5 + 12 - 13)/2 =", Rational(5+12-13,2))

Utskrift fra Python:
Fra a + b - c = 2r får vi c = b + 1
Pytagoras-likning: (b + 1)^2 = 5^2 + b^2
b = 12
c = 13
Kontroll 5^2 + 12^2 = 169
Kontroll 13^2 = 169
Innradius = (5 + 12 - 13)/2 = 2

Fasit: Konstruksjonen gir en \(5\)-\(12\)-\(13\)-trekant med innradius \(2\text{ cm}\).