Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynom ledd for ledd ved hjelp av potensregelen. Konstantleddet får derivert lik 0.

Steg 1 - Skriv potensregelen

For et ledd \(ct^n\) er den deriverte \(cnt^{n-1}\).

Steg 2 - Deriver tredjegradsleddet

\[\frac{d}{dt}(0{,}02t^3)=3\cdot0{,}02t^2=0{,}06t^2.\]

Steg 3 - Deriver andregradsleddet

\[\frac{d}{dt}(0{,}6t^2)=2\cdot0{,}6t=1{,}2t.\]

Steg 4 - Deriver konstanten

\[\frac{d}{dt}(4{,}1)=0.\]

Steg 5 - Summer de deriverte leddene

\[f'(t)=0{,}06t^2+1{,}2t+0.\]

Steg 6 - Skriv sluttresultatet ryddig

\[f'(t)=0{,}06t^2+1{,}2t.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t")
f = sp.Rational(2, 100)*t**3 + sp.Rational(6, 10)*t**2 + sp.Rational(41, 10)
print("f(t) =", f)
print("Deriver ledd for ledd:")
print("d/dt(0.02*t^3) =", sp.diff(sp.Rational(2,100)*t**3, t))
print("d/dt(0.6*t^2) =", sp.diff(sp.Rational(6,10)*t**2, t))
print("d/dt(4.1) =", sp.diff(sp.Rational(41,10), t))
print("f'(t) =", sp.diff(f, t))

Utskrift fra Python:
f(t) = t**3/50 + 3*t**2/5 + 41/10
Deriver ledd for ledd:
d/dt(0.02*t^3) = 3*t**2/50
d/dt(0.6*t^2) = 6*t/5
d/dt(4.1) = 0
f'(t) = 3*t**2/50 + 6*t/5

Fasit: \(f'(t)=0{,}06t^2+1{,}2t\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen fordi funksjonen er et produkt, og kjerneregelen når vi deriverer eksponentialfunksjonen.

Steg 1 - Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=e^{2x}\).

Steg 2 - Deriver første faktor

\[u'(x)=2x.\]

Steg 3 - Deriver andre faktor med kjerneregel

Den indre funksjonen er \(2x\), med derivert 2. Derfor \[v'(x)=2e^{2x}.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[g'(x)=u'v+uv'=2x e^{2x}+x^2\cdot2e^{2x}.\]

Steg 5 - Trekk ut felles faktor

Begge ledd inneholder \(2xe^{2x}\): \[g'(x)=2xe^{2x}(1+x).\]

Steg 6 - Skriv i vanlig rekkefølge

\[g'(x)=2x(x+1)e^{2x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
u = x**2
v = sp.exp(2*x)
g = u*v
print("u(x) =", u)
print("u'(x) =", sp.diff(u, x))
print("v(x) =", v)
print("v'(x) =", sp.diff(v, x))
print("Produktregelen: g' = u'*v + u*v'")
print("g'(x) før faktorisering =", sp.expand(sp.diff(g, x)))
print("g'(x) faktorisert =", sp.factor(sp.diff(g, x)))

Utskrift fra Python:
u(x) = x**2
u'(x) = 2*x
v(x) = exp(2*x)
v'(x) = 2*exp(2*x)
Produktregelen: g' = u'*v + u*v'
g'(x) før faktorisering = 2*x**2*exp(2*x) + 2*x*exp(2*x)
g'(x) faktorisert = 2*x*(x + 1)*exp(2*x)

Fasit: \(g'(x)=2x(x+1)e^{2x}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke regelen for den deriverte av \(\ln u\), kombinert med kjerneregelen.

Steg 1 - Finn den indre funksjonen

Sett \(u(x)=x^3+1\).

Steg 2 - Deriver den indre funksjonen

\[u'(x)=3x^2.\]

Steg 3 - Skriv logaritmeregelen

\[\frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.\]

Steg 4 - Sett inn u og u-prime

\[h'(x)=\frac{3x^2}{x^3+1}.\]

Steg 5 - Kontroller definisjonsmengden

Logaritmen krever \(x^3+1>0\), altså \(x>-1\).

Steg 6 - Knytt svaret til domenet

Den deriverte gjelder på hele funksjonens definisjonsmengde, \(x>-1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
u = x**3 + 1
h = sp.log(u)
print("Indre funksjon u(x) =", u)
print("u'(x) =", sp.diff(u, x))
print("Regel: d/dx ln(u) = u'/u")
print("h'(x) =", sp.simplify(sp.diff(h, x)))
print("Definisjonskrav: x^3 + 1 > 0")
print("Dette gir x > -1")

Utskrift fra Python:
Indre funksjon u(x) = x**3 + 1
u'(x) = 3*x**2
Regel: d/dx ln(u) = u'/u
h'(x) = 3*x**2/(x**3 + 1)
Definisjonskrav: x^3 + 1 > 0
Dette gir x > -1

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1}\), for \(x>-1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke restsetningen: et polynom er delelig med \(x-1\) akkurat når \(f(1)=0\).

Steg 1 - Bruk restsetningen

Kravet er \(f(1)=0\).

Steg 2 - Sett x lik 1

\[f(1)=1^3+a\cdot1^2-13\cdot1+15.\]

Steg 3 - Regn sammen konstantene

\[f(1)=1+a-13+15=a+3.\]

Steg 4 - Sett resten lik null

\[a+3=0.\]

Steg 5 - Løs likningen

\[a=-3.\]

Steg 6 - Kontroller deleligheten

Med \(a=-3\) får vi \(f(1)=1-3-13+15=0\), så \(x-1\) er en faktor.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, a = sp.symbols("x a")
f = x**3 + a*x**2 - 13*x + 15
value = sp.expand(f.subs(x, 1))
solution = sp.solve(sp.Eq(value, 0), a)
print("f(x) =", f)
print("Restsetningen: divisjon med x-1 krever f(1)=0")
print("f(1) =", value)
print("Likning:", sp.Eq(value, 0))
print("Løsning for a =", solution)
print("Kontroll med a=-3: f(1) =", f.subs({a:-3, x:1}))

Utskrift fra Python:
f(x) = a*x**2 + x**3 - 13*x + 15
Restsetningen: divisjon med x-1 krever f(1)=0
f(1) = a + 3
Likning: Eq(a + 3, 0)
Løsning for a = [-3]
Kontroll med a=-3: f(1) = 0

Fasit: \(a=-3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere polynomet for \(a=-3\), finne nullpunktene og bruke fortegnsskifte mellom dem.

Steg 1 - Sett inn a-verdien

\[f(x)=x^3-3x^2-13x+15.\]

Steg 2 - Bruk den kjente faktoren

Siden \(x-1\) er en faktor, dividerer vi og får \[f(x)=(x-1)(x^2-2x-15).\]

Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2-2x-15=(x-5)(x+3).\]

Steg 4 - Finn nullpunktene

\[x=-3,\quad x=1,\quad x=5.\]

Steg 5 - Bestem fortegnene

Med positiv ledende koeffisient og tre enkle nullpunkter veksler fortegnet: negativt før -3, positivt mellom -3 og 1, negativt mellom 1 og 5, og positivt etter 5.

Steg 6 - Ta med nullpunktene

Ulikheten er \(\leq0\), derfor skal nullpunktene inkluderes.

Steg 7 - Skriv intervallsvaret

\[x\in(-\infty,-3]\cup[1,5].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**3 - 3*x**2 - 13*x + 15
fac = sp.factor(f)
sol = sp.solve_univariate_inequality(f <= 0, x)
print("f(x) med a=-3 =", f)
print("Faktorisert f(x) =", fac)
print("Nullpunkter =", sp.solve(sp.Eq(f,0), x))
print("Fortegn for testpunktene:")
for p in (-4, 0, 2, 6):
    print(f"f({p}) =", f.subs(x,p))
print("Løsning av f(x) <= 0:", sol)

Utskrift fra Python:
f(x) med a=-3 = x**3 - 3*x**2 - 13*x + 15
Faktorisert f(x) = (x - 5)*(x - 1)*(x + 3)
Nullpunkter = [-3, 1, 5]
Fortegn for testpunktene:
f(-4) = -45
f(0) = 15
f(2) = -15
f(6) = 45
Løsning av f(x) <= 0: (x <= -3) | ((1 <= x) & (x <= 5))

Fasit: \(x\in(-\infty,-3]\cup[1,5]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle antall gunstige utvalg og dele på antall mulige utvalg. Rekkefølgen spiller ingen rolle, så vi bruker binomialkoeffisienter.

Steg 1 - Tell alle mulige utvalg

Det finnes \(\binom{12}{3}\) måter å velge 3 personer blant 12.

Steg 2 - Tell jenteutvalgene

To jenter kan velges på \[\binom72=21\] måter.

Steg 3 - Tell gutteutvalgene

Én gutt kan velges på \[\binom51=5\] måter.

Steg 4 - Bruk produktregelen

Antall gunstige utvalg er \[\binom72\binom51=21\cdot5=105.\]

Steg 5 - Regn totalantallet

\[\binom{12}{3}=220.\]

Steg 6 - Sett opp sannsynligheten

\[P=\frac{105}{220}.\]

Steg 7 - Forkort brøken

\[P=\frac{21}{44}\approx0{,}477.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
from fractions import Fraction
favorable = comb(7,2)*comb(5,1)
total = comb(12,3)
p = Fraction(favorable,total)
print("Antall måter å velge 2 av 7 jenter:", comb(7,2))
print("Antall måter å velge 1 av 5 gutter:", comb(5,1))
print("Gunstige utvalg:", favorable)
print("Alle utvalg av 3 fra 12:", total)
print("Sannsynlighet som brøk:", p)
print("Sannsynlighet som desimaltall:", float(p))

Utskrift fra Python:
Antall måter å velge 2 av 7 jenter: 21
Antall måter å velge 1 av 5 gutter: 5
Gunstige utvalg: 105
Alle utvalg av 3 fra 12: 220
Sannsynlighet som brøk: 21/44
Sannsynlighet som desimaltall: 0.4772727272727273

Fasit: \(P=\dfrac{21}{44}\approx0{,}477\), altså omtrent \(47{,}7\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere nevnerne, finne fellesnevner, samle tellerne og kontrollere om noen faktorer kan forkortes.

Steg 1 - Faktoriser differansen av to kvadrater

\[x^2-16=(x-4)(x+4).\]

Steg 2 - Velg fellesnevner

Fellesnevneren er \((x-4)(x+4)\).

Steg 3 - Utvid andre brøk

\[\frac{x}{x+4}=\frac{x(x-4)}{(x+4)(x-4)}.\]

Steg 4 - Utvid tredje brøk

\[\frac{2}{x-4}=\frac{2(x+4)}{(x-4)(x+4)}.\]

Steg 5 - Samle tellerne

\[x+2+x(x-4)-2(x+4)=x^2-5x-6.\]

Steg 6 - Faktoriser telleren

\[x^2-5x-6=(x-6)(x+1).\]

Steg 7 - Kontroller forkorting og domene

Ingen faktor kan forkortes mot \(x\pm4\). Det opprinnelige uttrykket krever \(x\neq-4\) og \(x\neq4\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
expr = (x+2)/(x**2-16) + x/(x+4) - 2/(x-4)
print("Opprinnelig uttrykk =", expr)
print("x^2-16 faktoriseres som", sp.factor(x**2-16))
print("Fellesnevner = (x-4)(x+4)")
print("Samlet teller =", sp.expand((x+2)+x*(x-4)-2*(x+4)))
print("Forenklet uttrykk =", sp.factor(sp.together(expr)))
print("Definisjonsbegrensninger: x != -4 og x != 4")

Utskrift fra Python:
Opprinnelig uttrykk = x/(x + 4) + (x + 2)/(x**2 - 16) - 2/(x - 4)
x^2-16 faktoriseres som (x - 4)*(x + 4)
Fellesnevner = (x-4)(x+4)
Samlet teller = x**2 - 5*x - 6
Forenklet uttrykk = (x - 6)*(x + 1)/((x - 4)*(x + 4))
Definisjonsbegrensninger: x != -4 og x != 4

Fasit: \(\dfrac{(x-6)(x+1)}{(x-4)(x+4)}\), for \(x\neq\pm4\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensreglene for potens av potens, nullte potens og divisjon av potenser med samme grunntall.

Steg 1 - Forenkle potens av potens

\[(b^2)^2=b^{2\cdot2}=b^4.\]

Steg 2 - Forenkle nullte potens

For \(b\neq0\) er \[b^0=1.\]

Steg 3 - Skriv uttrykket på nytt

\[\frac{a^2b^4}{a^{-3}}.\]

Steg 4 - Bruk divisjonsregelen for a

\[\frac{a^2}{a^{-3}}=a^{2-(-3)}.\]

Steg 5 - Regn eksponenten

\[2-(-3)=5.\]

Steg 6 - Samle faktorene

\[a^5b^4.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, b = sp.symbols("a b", nonzero=True)
expr = a**2*(b**2)**2/(a**(-3)*b**0)
print("Uttrykk = a^2*(b^2)^2/(a^(-3)*b^0)")
print("(b^2)^2 =", (b**2)**2)
print("b^0 =", b**0)
print("a^2 / a^(-3) = a^(2-(-3)) =", sp.simplify(a**2/a**(-3)))
print("Forenklet uttrykk =", sp.simplify(expr))

Utskrift fra Python:
Uttrykk = a^2*(b^2)^2/(a^(-3)*b^0)
(b^2)^2 = b**4
b^0 = 1
a^2 / a^(-3) = a^(2-(-3)) = a**5
Forenklet uttrykk = a**5*b**4

Fasit: \(a^5b^4\), med \(a\neq0\) og \(b\neq0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke produktregelen for logaritmer og deretter potensregelen. Logaritmene krever positive argumenter.

Steg 1 - Bruk produktregelen to ganger

\[\lg u+\lg v+\lg w=\lg(uvw).\]

Steg 2 - Sett inn argumentene

\[\lg\left((a^2b)(ab^2)\frac{a}{b^3}\right).\]

Steg 3 - Samle a-potensene

\[a^2\cdot a\cdot a=a^{2+1+1}=a^4.\]

Steg 4 - Samle b-potensene

\[b\cdot b^2\cdot b^{-3}=b^{1+2-3}=b^0=1.\]

Steg 5 - Forenkle logaritmen

\[\lg(a^4).\]

Steg 6 - Bruk potensregelen

For \(a>0\): \[\lg(a^4)=4\lg a.\]

Steg 7 - Oppgi domenekravet

Alle tre opprinnelige argumenter er positive når \(a>0\) og \(b>0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a, b = sp.symbols("a b", positive=True)
product = (a**2*b)*(a*b**2)*(a/b**3)
print("Logaritmeargumentene:")
print("1:", a**2*b)
print("2:", a*b**2)
print("3:", a/b**3)
print("Produktet av argumentene =", sp.simplify(product))
print("lg(a^4) = 4*lg(a) når a>0")

Utskrift fra Python:
Logaritmeargumentene:
1: a**2*b
2: a*b**2
3: a/b**3
Produktet av argumentene = a**4
lg(a^4) = 4*lg(a) når a>0

Fasit: \(4\lg a\), for \(a>0\) og \(b>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal samle de fire like leddene og skrive faktoren 4 som en potens med grunntall 2.

Steg 1 - Tell de like leddene

Det er fire forekomster av \(2^3\).

Steg 2 - Faktoriser summen

\[2^3+2^3+2^3+2^3=4\cdot2^3.\]

Steg 3 - Skriv 4 som en toerpotens

\[4=2^2.\]

Steg 4 - Multipliser potenser med samme grunntall

\[2^2\cdot2^3=2^{2+3}.\]

Steg 5 - Regn eksponenten

\[2^{2+3}=2^5.\]

Steg 6 - Sammenlign med høyresiden

Siden uttrykket er \(2^n\), må \(n=5\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
n = sp.symbols("n")
left = 2**3 + 2**3 + 2**3 + 2**3
print("Venstresiden = 2^3 + 2^3 + 2^3 + 2^3")
print("Fire like ledd gir 4*2^3 =", left)
print("4 = 2^2")
print("2^2*2^3 = 2^(2+3) = 2^5")
print("n =", 5)

Utskrift fra Python:
Venstresiden = 2^3 + 2^3 + 2^3 + 2^3
Fire like ledd gir 4*2^3 = 32
4 = 2^2
2^2*2^3 = 2^(2+3) = 2^5
n = 5

Fasit: \(n=5\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke hvilken vei implikasjonen gjelder ved å finne alle løsninger av likningen og kontrollere utsagnet \(x=-2\).

Steg 1 - Faktoriser venstresiden

\[x^2+5x+6=(x+2)(x+3).\]

Steg 2 - Finn alle løsningene

\[(x+2)(x+3)=0\Rightarrow x=-2\ \text{eller}\ x=-3.\]

Steg 3 - Test høyre utsagn

Hvis \(x=-2\), blir venstresiden \(4-10+6=0\). Dermed medfører høyre utsagn venstre utsagn.

Steg 4 - Test motsatt retning

Venstre utsagn kan også være sant når \(x=-3\). Da er ikke \(x=-2\).

Steg 5 - Avvis ekvivalens

Utsagnene har ikke nøyaktig samme sannhetsmengde, så \(\Leftrightarrow\) er feil.

Steg 6 - Velg riktig pilretning

Pilen skal peke fra \(x=-2\) mot likningen: \[x^2+5x+6=0\ \Leftarrow\ x=-2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
P = sp.Eq(x**2 + 5*x + 6, 0)
roots = sp.solve(P, x)
print("Venstre utsagn har løsninger:", roots)
print("Kontroll av høyre utsagn x=-2:")
print("(-2)^2 + 5*(-2) + 6 =", (-2)**2 + 5*(-2) + 6)
print("x=-2 medfører venstre utsagn: True")
print("Venstre utsagn medfører ikke nødvendigvis x=-2, fordi x=-3 også virker")
print("Riktig pil: venstre utsagn <= høyre utsagn, altså ⇐")

Utskrift fra Python:
Venstre utsagn har løsninger: [-3, -2]
Kontroll av høyre utsagn x=-2:
(-2)^2 + 5*(-2) + 6 = 0
x=-2 medfører venstre utsagn: True
Venstre utsagn medfører ikke nødvendigvis x=-2, fordi x=-3 også virker
Riktig pil: venstre utsagn <= høyre utsagn, altså ⇐

Fasit: \(x^2+5x+6=0\ \Leftarrow\ x=-2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hver vektor ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til endepunktet.

Steg 1 - Skriv vektorregelen

\[\overrightarrow{PQ}=Q-P.\]

Steg 2 - Finn første komponent i AB

\[3-1=2.\]

Steg 3 - Finn andre komponent i AB

\[4-0=4.\]

Steg 4 - Skriv AB

\[\overrightarrow{AB}=[2,4].\]

Steg 5 - Finn komponentene i AC

\[2-1=1,\qquad t-0=t.\]

Steg 6 - Skriv AC

\[\overrightarrow{AC}=[1,t].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Matrix([1,0]); B = sp.Matrix([3,4]); t = sp.symbols("t"); C = sp.Matrix([2,t])
AB = B-A; AC = C-A
print("A =", list(A), "B =", list(B), "C =", list(C))
print("AB = B-A =", list(AB))
print("AC = C-A =", list(AC))

Utskrift fra Python:
A = [1, 0] B = [3, 4] C = [2, t]
AB = B-A = [2, 4]
AC = C-A = [1, t]

Fasit: \(\overrightarrow{AB}=[2,4]\) og \(\overrightarrow{AC}=[1,t]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at to ikke-nullvektorer er ortogonale når skalarproduktet er 0.

Steg 1 - Bruk vektorene fra a

\[\overrightarrow{AB}=[2,4],\qquad \overrightarrow{AC}=[1,t].\]

Steg 2 - Sett opp skalarproduktet

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot1+4\cdot t.\]

Steg 3 - Forenkle

\[2+4t.\]

Steg 4 - Bruk ortogonalkravet

\[2+4t=0.\]

Steg 5 - Løs likningen

\[4t=-2\Rightarrow t=-\frac12.\]

Steg 6 - Kontroller

\[2+4\left(-\frac12\right)=2-2=0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
AB = sp.Matrix([2,4]); AC = sp.Matrix([1,t])
dot = AB.dot(AC)
sol = sp.solve(sp.Eq(dot,0), t)
print("AB =", list(AB))
print("AC =", list(AC))
print("Skalarprodukt AB·AC =", dot)
print("Ortogonalkrav:", sp.Eq(dot,0))
print("Løsning t =", sol)
print("Kontroll:", dot.subs(t,sol[0]))

Utskrift fra Python:
AB = [2, 4]
AC = [1, t]
Skalarprodukt AB·AC = 4*t + 2
Ortogonalkrav: Eq(4*t + 2, 0)
Løsning t = [-1/2]
Kontroll: 0

Fasit: \(t=-\dfrac12\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at parallelle vektorer er skalar multiplum av hverandre, eller ekvivalent at determinanten er 0.

Steg 1 - Skriv vektorene

\[\overrightarrow{AB}=[2,4],\qquad \overrightarrow{AC}=[1,t].\]

Steg 2 - Sett opp skalarfaktoren

Krev \([1,t]=k[2,4]\).

Steg 3 - Sammenlign første komponent

\[1=2k\Rightarrow k=\frac12.\]

Steg 4 - Sammenlign andre komponent

\[t=4k.\]

Steg 5 - Sett inn k

\[t=4\cdot\frac12=2.\]

Steg 6 - Kontroller forholdet

Når \(t=2\), er \([1,2]=\frac12[2,4]\), så vektorene er parallelle.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t, k = sp.symbols("t k", real=True)
AB = sp.Matrix([2,4]); AC = sp.Matrix([1,t])
sol = sp.solve([sp.Eq(1,2*k), sp.Eq(t,4*k)], [t,k], dict=True)
det = sp.Matrix([[2,4],[1,t]]).det()
print("Parallellkrav AC = k*AB")
print("Komponentlikninger: 1=2k og t=4k")
print("Løsning:", sol)
print("Determinant 2*t-4 =", det)
print("Kontroll ved t=2: determinant =", det.subs(t,2))

Utskrift fra Python:
Parallellkrav AC = k*AB
Komponentlikninger: 1=2k og t=4k
Løsning: [{k: 1/2, t: 2}]
Determinant 2*t-4 = 2*t - 4
Kontroll ved t=2: determinant = 0

Fasit: \(t=2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne nullpunktene fra \(f(x)=0\), ekstremalpunktene fra \(f'(x)=0\), og klassifisere dem med fortegn eller andrederivert.

Steg 1 - Faktoriser funksjonen

\[f(x)=x^2(x-3).\]

Steg 2 - Finn nullpunktene

\[x^2(x-3)=0\Rightarrow x=0\ \text{eller}\ x=3.\] Dermed er nullpunktene \((0,0)\) og \((3,0)\).

Steg 3 - Deriver funksjonen

\[f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).\]

Steg 4 - Finn kritiske x-verdier

\[f'(x)=0\Rightarrow x=0\ \text{eller}\ x=2.\]

Steg 5 - Finn andrederiverten

\[f''(x)=6x-6.\]

Steg 6 - Klassifiser x=0

\[f''(0)=-6<0,\] så \((0,0)\) er et toppunkt.

Steg 7 - Klassifiser x=2

\[f''(2)=6>0,\qquad f(2)=8-12=-4,\] så \((2,-4)\) er et bunnpunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**3 - 3*x**2
fp = sp.diff(f,x)
fpp = sp.diff(f,x,2)
critical = sp.solve(sp.Eq(fp,0),x)
roots = sp.solve(sp.Eq(f,0),x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", sp.factor(fp))
print("Kritiske x-verdier =", critical)
print("f''(x) =", fpp)
for c in critical:
    print(f"Ved x={c}: f(x)={f.subs(x,c)}, f''(x)={fpp.subs(x,c)}")
print("Nullpunkter =", roots)

Utskrift fra Python:
f(x) = x**3 - 3*x**2
f'(x) = 3*x*(x - 2)
Kritiske x-verdier = [0, 2]
f''(x) = 6*(x - 1)
Ved x=0: f(x)=0, f''(x)=-6
Ved x=2: f(x)=-4, f''(x)=6
Nullpunkter = [0, 3]

Fasit: Nullpunkter: \((0,0)\) og \((3,0)\). Toppunkt: \((0,0)\). Bunnpunkt: \((2,-4)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke nullpunkter, ekstremalpunkter, monotoni og noen støtteverdier for å lage en presis skisse.

Steg 1 - Marker nullpunktene

Grafen går gjennom \((0,0)\) og \((3,0)\). Ved \(x=0\) tangerer grafen x-aksen fordi nullpunktet er dobbelt.

Steg 2 - Marker toppunktet

Toppunktet er \((0,0)\).

Steg 3 - Marker bunnpunktet

Bunnpunktet er \((2,-4)\).

Steg 4 - Bestem monotonien

Fra \(f'(x)=3x(x-2)\) er grafen voksende for \(x\lt0\), avtakende for \(0\lt x\lt2\) og voksende for \(x\gt2\).

Steg 5 - Finn vendepunktet som støtte

\[f''(x)=6x-6=0\Rightarrow x=1,\qquad f(1)=-2.\]

Steg 6 - Beregn endeverdier i intervallet

\[f(-1)=-4,\qquad f(4)=16.\] Endepunktene er ikke med i det åpne intervallet, men verdiene viser retningen på grafen nær grensene.

Steg 7 - Tegn en glatt tredjegradskurve

Kurven skal gå gjennom nøkkelpunktene og ha horisontal tangent ved x=0 og x=2.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
f = x**3 - 3*x**2
points = [-1,0,1,2,3,4]
print("Nøkkelpunkter for skissen:")
for p in points:
    print(f"f({p}) =", f.subs(x,p))
print("f'(x) =", sp.factor(sp.diff(f,x)))
print("Voksende når x<0 og x>2; avtakende når 0<x<2")
print("Vendepunkt ved x=1, f(1)=-2")

Utskrift fra Python:
Nøkkelpunkter for skissen:
f(-1) = -4
f(0) = 0
f(1) = -2
f(2) = -4
f(3) = 0
f(4) = 16
f'(x) = 3*x*(x - 2)
Voksende når x<0 og x>2; avtakende når 0<x<2
Vendepunkt ved x=1, f(1)=-2

Fasit: En korrekt skisse går gjennom \((0,0)\), \((2,-4)\) og \((3,0)\), med topp ved x=0 og bunn ved x=2.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne punktet og stigningstallet, skrive tangentlikningen og vise at krumningen skifter ved berøringspunktet.

Steg 1 - Finn punktets y-koordinat

\[f(1)=1-3=-2.\] Punktet er \((1,-2)\).

Steg 2 - Finn den deriverte

\[f'(x)=3x^2-6x.\]

Steg 3 - Finn tangentens stigningstall

\[f'(1)=3-6=-3.\]

Steg 4 - Bruk punkt-stigning-formen

\[y-(-2)=-3(x-1).\]

Steg 5 - Forenkle tangentlikningen

\[y+2=-3x+3\Rightarrow y=-3x+1.\]

Steg 6 - Undersøk andrederiverten

\[f''(x)=6x-6.\] Den er negativ før x=1 og positiv etter x=1.

Steg 7 - Forklar navnet

Grafen skifter fra konkav til konveks i punktet. Tangenten i et vendepunkt kalles derfor en vendetangent.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
f = x**3 - 3*x**2
fp = sp.diff(f,x); fpp = sp.diff(f,x,2)
x0 = 1; y0 = f.subs(x,x0); m = fp.subs(x,x0)
tangent = sp.expand(m*(x-x0)+y0)
print("f(1) =", y0)
print("f'(x) =", fp)
print("f'(1) =", m)
print("Tangent y =", tangent)
print("f''(x) =", fpp)
print("f''(1) =", fpp.subs(x,1))
print("f'' skifter fortegn fra negativ til positiv ved x=1")

Utskrift fra Python:
f(1) = -2
f'(x) = 3*x**2 - 6*x
f'(1) = -3
Tangent y = 1 - 3*x
f''(x) = 6*(x - 1)
f''(1) = 0
f'' skifter fortegn fra negativ til positiv ved x=1

Fasit: Tangent: \(y=-3x+1\). Den er en vendetangent fordi \(f''\) skifter fortegn ved \(x=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at de to rettvinklede trekantene har de samme katetlengdene og derfor er kongruente, slik at bestemte spisse vinkler er like.

Steg 1 - Identifiser de rettvinklede trekantene

\(\triangle ABE\) er rettvinklet i B, og \(\triangle DCE\) er rettvinklet i C.

Steg 2 - Sammenlign sidene

I begge trekantene er katetene \(a\) og \(b\), og hypotenusen er \(c\).

Steg 3 - Bruk kongruens

Trekantene er kongruente etter side-side-side, eller etter to kateter i rettvinklede trekanter.

Steg 4 - Knytt sammen spisse vinkler

Vinkelen \(\angle AEB\), som ligger mot siden b, er lik \(\angle CDE\), som også ligger mot siden b.

Steg 5 - Bruk vinkelsummen i trekant DCE

\[\angle CDE+\angle DEC=90^{\circ}.\] Derfor er \(\angle AEB+\angle DEC=90^{\circ}\).

Steg 6 - Bruk den rette linjen BEC

På samme side av linjen BEC gjelder \[\angle AEB+\angle AED+\angle DEC=180^{\circ}.\]

Steg 7 - Trekk fra de to spisse vinklene

\[\angle AED=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
alpha, beta = sp.symbols("alpha beta", positive=True)
print("I trekant ABE: vinkel AEB + vinkel BAE = 90 grader")
print("Trekantene ABE og DCE er kongruente med kateter a og b")
print("Dermed er vinkel AEB = vinkel CDE")
print("I trekant DCE: vinkel CDE + vinkel DEC = 90 grader")
print("Altså vinkel AEB + vinkel DEC = 90 grader")
print("På venstre side av den rette linjen B-E-C:")
print("vinkel AEB + vinkel AED + vinkel DEC = 180 grader")
print("Derfor vinkel AED = 90 grader")

Utskrift fra Python:
I trekant ABE: vinkel AEB + vinkel BAE = 90 grader
Trekantene ABE og DCE er kongruente med kateter a og b
Dermed er vinkel AEB = vinkel CDE
I trekant DCE: vinkel CDE + vinkel DEC = 90 grader
Altså vinkel AEB + vinkel DEC = 90 grader
På venstre side av den rette linjen B-E-C:
vinkel AEB + vinkel AED + vinkel DEC = 180 grader
Derfor vinkel AED = 90 grader

Fasit: \(\angle AED=90^{\circ}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke trapesformelen og trekantformelen. Resultatet fra a viser at trekanten AED er rettvinklet.

Steg 1 - Finn de parallelle sidene

I trapeset er \(AB=b\) og \(DC=a\).

Steg 2 - Finn høyden

Den loddrette siden \(BC=BE+EC=a+b\).

Steg 3 - Beregn trapesarealet

\[A_{ABCD}=\frac{a+b}{2}(a+b)=\frac{(a+b)^2}{2}.\]

Steg 4 - Beregn arealet av ABE

Katetene er a og b: \[A_{ABE}=\frac{ab}{2}.\]

Steg 5 - Beregn arealet av DCE

Også her er katetene a og b: \[A_{DCE}=\frac{ab}{2}.\]

Steg 6 - Beregn arealet av AED

Fra a er vinkelen ved E rett, og begge katetene er c: \[A_{AED}=\frac{c\cdot c}{2}=\frac{c^2}{2}.\]

Steg 7 - Kontroller oppdelingen

De tre trekantene fyller hele trapeset uten overlapp.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a,b,c = sp.symbols("a b c", positive=True)
A_trap = (a+b)*(a+b)/2
A_ABE = a*b/2
A_DCE = a*b/2
A_AED = c**2/2
print("Høyden i trapeset = a+b")
print("Parallelle sider = a og b")
print("Areal trapes =", sp.expand(A_trap))
print("Areal trekant ABE =", A_ABE)
print("Areal trekant DCE =", A_DCE)
print("Areal trekant AED =", A_AED)
print("Sum trekantarealer =", sp.simplify(A_ABE+A_DCE+A_AED))

Utskrift fra Python:
Høyden i trapeset = a+b
Parallelle sider = a og b
Areal trapes = a**2/2 + a*b + b**2/2
Areal trekant ABE = a*b/2
Areal trekant DCE = a*b/2
Areal trekant AED = c**2/2
Sum trekantarealer = a*b + c**2/2

Fasit: \(A_{ABCD}=\dfrac{(a+b)^2}{2}\), \(A_{ABE}=A_{DCE}=\dfrac{ab}{2}\), og \(A_{AED}=\dfrac{c^2}{2}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette trapesarealet lik summen av trekantarealene og omforme likningen uten å hoppe over algebraiske steg.

Steg 1 - Sett opp areallikningen

\[\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}.\]

Steg 2 - Samle de to like trekantarealene

\[\frac{(a+b)^2}{2}=ab+\frac{c^2}{2}.\]

Steg 3 - Multipliser med 2

\[(a+b)^2=2ab+c^2.\]

Steg 4 - Utvid kvadratet

\[a^2+2ab+b^2=2ab+c^2.\]

Steg 5 - Trekk fra 2ab på begge sider

\[a^2+b^2=c^2.\]

Steg 6 - Knytt symbolene til trekanten

a og b er katetene i de rettvinklede trekantene, mens c er hypotenusen.

Steg 7 - Konkluder

Dermed er Pytagoras-setningen bevist: \(a^2+b^2=c^2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a,b,c = sp.symbols("a b c")
left = (a+b)**2/2
right = a*b/2 + a*b/2 + c**2/2
identity = sp.expand(2*sp.Eq(left,right).lhs - 2*sp.Eq(left,right).rhs)
print("Arealidentitet:")
print("(a+b)^2/2 = ab/2 + ab/2 + c^2/2")
print("Gang med 2:")
print("(a+b)^2 = 2ab + c^2")
print("Utvid venstresiden:")
print("a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2")
print("Trekk fra 2ab:")
print("a^2 + b^2 = c^2")
print("Symbolsk differanse etter forenkling =", sp.expand((a+b)**2-(2*a*b+c**2)))

Utskrift fra Python:
Arealidentitet:
(a+b)^2/2 = ab/2 + ab/2 + c^2/2
Gang med 2:
(a+b)^2 = 2ab + c^2
Utvid venstresiden:
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
Trekk fra 2ab:
a^2 + b^2 = c^2
Symbolsk differanse etter forenkling = a**2 + b**2 - c**2

Fasit: \(a^2+b^2=c^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal fullføre kvadratet i x- og y-leddene og sammenligne med standardformen \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Steg 1 - Samle x- og y-leddene

\[(x^2-4x)+(y^2+6y)=12.\]

Steg 2 - Fullfør x-kvadratet

\[x^2-4x=(x-2)^2-4.\]

Steg 3 - Fullfør y-kvadratet

\[y^2+6y=(y+3)^2-9.\]

Steg 4 - Sett inn i likningen

\[(x-2)^2-4+(y+3)^2-9=12.\]

Steg 5 - Flytt konstantene

\[(x-2)^2+(y+3)^2=25.\]

Steg 6 - Les av sentrum

Standardformen gir sentrum \(S=(2,-3)\).

Steg 7 - Les av radius

\[r=\sqrt{25}=5.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x,y = sp.symbols("x y")
expr = x**2 + y**2 - 4*x + 6*y - 12
completed = (x-2)**2 + (y+3)**2 - 25
print("Opprinnelig venstreside =", expr)
print("x^2-4x = (x-2)^2-4")
print("y^2+6y = (y+3)^2-9")
print("Fullført kvadrat =", sp.expand(completed))
print("Sirkelstandardform: (x-2)^2+(y+3)^2=25")
print("Sentrum = (2,-3)")
print("Radius =", sp.sqrt(25))

Utskrift fra Python:
Opprinnelig venstreside = x**2 - 4*x + y**2 + 6*y - 12
x^2-4x = (x-2)^2-4
y^2+6y = (y+3)^2-9
Fullført kvadrat = x**2 - 4*x + y**2 + 6*y - 12
Sirkelstandardform: (x-2)^2+(y+3)^2=25
Sentrum = (2,-3)
Radius = 5

Fasit: Sentrum \((2,-3)\) og radius \(5\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at tangentsegmenter fra samme ytre punkt er like, og deretter summere arealene av tre trekanter med høyde r eller bruke innradiusformelen.

Steg 1 - Bruk tangentsetningen ved B

Fra punkt B går tangentene BD og BE til samme sirkel. Derfor \[BD=BE=\alpha.\]

Steg 2 - Bruk tangentsetningen ved C

Fra punkt C går tangentene CF og CE. Derfor \[CF=CE=\beta.\]

Steg 3 - Finn tangentsegmentene fra A

Siden vinkelen A er \(90^{\circ}\) og sentrum ligger r fra begge kateter, er \(AD=AF=r\).

Steg 4 - Finn sidelengdene

\[AB=\alpha+r,\quad AC=\beta+r,\quad BC=\alpha+\beta.\]

Steg 5 - Finn halv omkrets

\[s=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{2\alpha+2\beta+2r}{2}=\alpha+\beta+r.\]

Steg 6 - Bruk arealformelen med innradius

Arealet av en trekant er \(A=rs\), fordi trekanten deles i tre trekanter med høyde r.

Steg 7 - Sett inn s

\[A_{ABC}=r(\alpha+\beta+r)=(\alpha+\beta)r+r^2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
alpha,beta,r = sp.symbols("alpha beta r", positive=True)
perimeter = (alpha+r)+(beta+r)+(alpha+beta)
area = sp.simplify(r*perimeter/2)
print("Tangentsegmenter fra B: BD=BE=alpha")
print("Tangentsegmenter fra C: CF=CE=beta")
print("Fra A i den rette vinkelen: AD=AF=r")
print("Sider: AB=alpha+r, AC=beta+r, BC=alpha+beta")
print("Halv omkrets =", sp.simplify(perimeter/2))
print("Areal = r * halv omkrets =", area)

Utskrift fra Python:
Tangentsegmenter fra B: BD=BE=alpha
Tangentsegmenter fra C: CF=CE=beta
Fra A i den rette vinkelen: AD=AF=r
Sider: AB=alpha+r, AC=beta+r, BC=alpha+beta
Halv omkrets = alpha + beta + r
Areal = r * halv omkrets = r*(alpha + beta + r)

Fasit: \(BD=\alpha\), \(CF=\beta\), og \(A_{ABC}=(\alpha+\beta)r+r^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal utvide begge kvadratene, samle ledd og deretter sette den nye identiteten inn i arealformelen fra a.

Steg 1 - Utvid første kvadrat

\[(\alpha+r)^2=\alpha^2+2\alpha r+r^2.\]

Steg 2 - Utvid andre kvadrat

\[(\beta+r)^2=\beta^2+2\beta r+r^2.\]

Steg 3 - Utvid høyresiden

\[(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2.\]

Steg 4 - Sett alt inn og stryk like ledd

Etter at \(\alpha^2\) og \(\beta^2\) strykes, får vi \[2\alpha r+2\beta r+2r^2=2\alpha\beta.\]

Steg 5 - Divider med 2

\[\alpha r+\beta r+r^2=\alpha\beta.\]

Steg 6 - Faktoriser r-leddene

\[r^2+(\alpha+\beta)r=\alpha\beta.\]

Steg 7 - Bruk arealformelen

Fra a er \(A_{ABC}=r^2+(\alpha+\beta)r\). Venstresiden er derfor akkurat arealet, så \[A_{ABC}=\alpha\beta.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
alpha,beta,r = sp.symbols("alpha beta r")
left = (alpha+r)**2 + (beta+r)**2
right = (alpha+beta)**2
diff = sp.expand(left-right)
reduced = sp.factor(diff/2)
area = (alpha+beta)*r+r**2
print("Pytagoras venstre minus høyre =", diff)
print("Divider med 2 =", reduced)
print("Likningen gir r^2+(alpha+beta)r-alpha*beta=0")
print("Dermed r^2+(alpha+beta)r = alpha*beta")
print("Arealuttrykk =", area)
print("Etter innsetting fra likningen: areal = alpha*beta")

Utskrift fra Python:
Pytagoras venstre minus høyre = -2*alpha*beta + 2*alpha*r + 2*beta*r + 2*r**2
Divider med 2 = -alpha*beta + alpha*r + beta*r + r**2
Likningen gir r^2+(alpha+beta)r-alpha*beta=0
Dermed r^2+(alpha+beta)r = alpha*beta
Arealuttrykk = r**2 + r*(alpha + beta)
Etter innsetting fra likningen: areal = alpha*beta

Fasit: \(r^2+(\alpha+\beta)r=\alpha\beta\), og dermed \(A_{ABC}=\alpha\beta\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke arealformelen fra b og løse andregradslikningen for radiusen. En radius må være positiv.

Steg 1 - Beregn arealet direkte

\[A_{ABC}=\alpha\beta=3\cdot2=6.\]

Steg 2 - Sett verdiene inn i radiuslikningen

\[r^2+(3+2)r=3\cdot2.\]

Steg 3 - Skriv på standardform

\[r^2+5r-6=0.\]

Steg 4 - Faktoriser

\[r^2+5r-6=(r+6)(r-1).\]

Steg 5 - Finn de algebraiske løsningene

\[r=-6\quad\text{eller}\quad r=1.\]

Steg 6 - Bruk den geometriske betingelsen

En radius kan ikke være negativ, så \(r=-6\) forkastes.

Steg 7 - Oppgi begge svar med enheter

\[A_{ABC}=6\ \text{arealenheter},\qquad r=1\ \text{lengdeenhet}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
r = sp.symbols("r", real=True)
alpha = sp.Integer(3); beta = sp.Integer(2)
area = alpha*beta
eq = sp.Eq(r**2 + (alpha+beta)*r, alpha*beta)
roots = sp.solve(eq,r)
print("alpha =", alpha, "beta =", beta)
print("Areal A = alpha*beta =", area)
print("Radiuslikning:", eq)
print("Faktorisert venstreside etter flytting =", sp.factor(r**2+5*r-6))
print("Løsninger for r =", roots)
print("Gyldig radius er den positive løsningen r = 1")

Utskrift fra Python:
alpha = 3 beta = 2
Areal A = alpha*beta = 6
Radiuslikning: Eq(r**2 + 5*r, 6)
Faktorisert venstreside etter flytting = (r - 1)*(r + 6)
Løsninger for r = [-6, 1]
Gyldig radius er den positive løsningen r = 1

Fasit: \(A_{ABC}=6\) og \(r=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle uttrykket uten å miste den opprinnelige definisjonsmengden, finne asymptotene og identifisere et eventuelt hull.

Steg 1 - Faktoriser første nevner

\[x^2-25=(x-5)(x+5),\qquad 2x+10=2(x+5).\]

Steg 2 - Forenkle første brøk med domeneadvarsel

For \(x\neq-5\): \[\frac{2(x+5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{2}{x-5}.\] Men x=-5 forblir utelukket fra den opprinnelige funksjonen.

Steg 3 - Kanseller de motsatte leddene

\[\frac{2}{x-5}-\frac{2}{x-5}=0.\] Derfor \[f(x)=\frac{x}{x+5}.\]

Steg 4 - Bevar hele definisjonsmengden

Den opprinnelige funksjonen har nevner 0 ved både \(x=-5\) og \(x=5\): \[D_f=\mathbb R\setminus\{-5,5\}.\]

Steg 5 - Finn asymptotene

Skriv \(x/(x+5)=1-5/(x+5)\). Da er \(x=-5\) vertikal asymptote og \(y=1\) horisontal asymptote.

Steg 6 - Finn hullet

Ved \(x=5\) er funksjonen ikke definert, men grenseverdien er \[\frac{5}{10}=\frac12.\] Grafen har et hull i \((5,1/2)\).

Steg 7 - Bestem kontinuitet og deriverbarhet

En rasjonal funksjon er kontinuerlig og deriverbar der den er definert. Derfor gjelder begge deler på \(( -\infty,-5)\cup(-5,5)\cup(5,\infty)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
f = (2*x+10)/(x**2-25) + x/(x+5) - 2/(x-5)
print("Opprinnelig f(x) =", f)
print("Faktoriser x^2-25 =", sp.factor(x**2-25))
print("Første brøk forenkles til 2/(x-5), men x=-5 er fortsatt utelukket")
print("Samlet og forenklet f(x) =", sp.cancel(f))
print("Alternativ form =", sp.apart(sp.cancel(f)))
print("Derivert av forenklet uttrykk =", sp.diff(x/(x+5),x))
print("Opprinnelig definisjonsmengde: R uten {-5,5}")
print("Hullverdi ved x=5:", sp.limit(f,x,5))

Utskrift fra Python:
Opprinnelig f(x) = x/(x + 5) + (2*x + 10)/(x**2 - 25) - 2/(x - 5)
Faktoriser x^2-25 = (x - 5)*(x + 5)
Første brøk forenkles til 2/(x-5), men x=-5 er fortsatt utelukket
Samlet og forenklet f(x) = x/(x + 5)
Alternativ form = 1 - 5/(x + 5)
Derivert av forenklet uttrykk = -x/(x + 5)**2 + 1/(x + 5)
Opprinnelig definisjonsmengde: R uten {-5,5}
Hullverdi ved x=5: 1/2

Fasit: \(f(x)=\dfrac{x}{x+5}\) med opprinnelig domene \(\mathbb R\setminus\{-5,5\}\). Asymptoter: \(x=-5\) og \(y=1\). Hull: \((5,1/2)\). Funksjonen er kontinuerlig og deriverbar på domenet sitt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele den likebeinte trekanten i to, finne høyden og deretter bruke en rettvinklet trekant med radius som hypotenus.

Steg 1 - Halver grunnlinjen

Korden AB er 60, så halvdelen er \(30\). Høyden fra C går gjennom midtpunktet M.

Steg 2 - Finn trekantens høyde

I den halve trekanten er hypotenusen 50: \[CM=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=40.\]

Steg 3 - Plasser sentrum O

Punktene C, O og M ligger på samme linje. Siden \(OC=r\), er \(OM=CM-OC=40-r\).

Steg 4 - Bruk Pytagoras i trekant OMA

\[OA^2=OM^2+AM^2.\] Her er \(OA=r\), \(OM=40-r\) og \(AM=30\).

Steg 5 - Sett inn lengdene

\[r^2=(40-r)^2+30^2.\]

Steg 6 - Utvid og forenkle

\[r^2=1600-80r+r^2+900\Rightarrow80r=2500.\]

Steg 7 - Løs for radiusen

\[r=\frac{2500}{80}=31{,}25.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
r = sp.symbols("r", positive=True)
half_chord = sp.Integer(30)
side = sp.Integer(50)
height = sp.sqrt(side**2-half_chord**2)
print("Halv korde =", half_chord)
print("Høyde i den likebeinte trekanten = sqrt(50^2-30^2) =", height)
print("Avstand fra sentrum til korden = 40-r")
eq = sp.Eq(r**2, half_chord**2 + (height-r)**2)
print("Pytagoraslikning:", eq)
print("Utvidet likning:", sp.expand(eq.lhs-eq.rhs), "= 0")
print("Løsning r =", sp.solve(eq,r))

Utskrift fra Python:
Halv korde = 30
Høyde i den likebeinte trekanten = sqrt(50^2-30^2) = 40
Avstand fra sentrum til korden = 40-r
Pytagoraslikning: Eq(r**2, (40 - r)**2 + 900)
Utvidet likning: 80*r - 2500 = 0
Løsning r = [125/4]

Fasit: \(r=31{,}25\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese den betingede sannsynligheten direkte og bruke total sannsynlighet for alle elever som går med bukser.

Steg 1 - Oversett prosentene

\[P(J)=0{,}40,\qquad P(G)=0{,}60.\]

Steg 2 - Finn den betingede sannsynligheten

Halvparten av jentene går med bukse: \[P(B\mid J)=0{,}50.\]

Steg 3 - Finn sannsynligheten for bukse blant gutter

Alle gutter går med bukse: \[P(B\mid G)=1.\]

Steg 4 - Bruk total sannsynlighet

\[P(B)=P(B\mid J)P(J)+P(B\mid G)P(G).\]

Steg 5 - Sett inn tallene

\[P(B)=0{,}50\cdot0{,}40+1\cdot0{,}60.\]

Steg 6 - Regn delbidragene

\[0{,}50\cdot0{,}40=0{,}20,\qquad1\cdot0{,}60=0{,}60.\]

Steg 7 - Summer

\[P(B)=0{,}20+0{,}60=0{,}80.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction
P_J = Fraction(2,5)
P_G = Fraction(3,5)
P_B_given_J = Fraction(1,2)
P_B_given_G = Fraction(1,1)
P_B = P_B_given_J*P_J + P_B_given_G*P_G
print("P(J) =", P_J)
print("P(G) =", P_G)
print("P(B|J) =", P_B_given_J)
print("P(B|G) =", P_B_given_G)
print("Total sannsynlighet P(B) = P(B|J)P(J)+P(B|G)P(G)")
print("P(B) =", P_B, "=", float(P_B))

Utskrift fra Python:
P(J) = 2/5
P(G) = 3/5
P(B|J) = 1/2
P(B|G) = 1
Total sannsynlighet P(B) = P(B|J)P(J)+P(B|G)P(G)
P(B) = 4/5 = 0.8

Fasit: \(P(B\mid J)=0{,}50\) og \(P(B)=0{,}80\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andelen jenter blant dem som går med bukse ved å bruke definisjonen av betinget sannsynlighet eller Bayes-setningen.

Steg 1 - Skriv definisjonen

\[P(J\mid B)=\frac{P(J\cap B)}{P(B)}.\]

Steg 2 - Finn snittsannsynligheten

\[P(J\cap B)=P(B\mid J)P(J).\]

Steg 3 - Sett inn kjente verdier

\[P(J\cap B)=0{,}50\cdot0{,}40=0{,}20.\]

Steg 4 - Bruk P(B) fra a

\[P(B)=0{,}80.\]

Steg 5 - Sett opp brøken

\[P(J\mid B)=\frac{0{,}20}{0{,}80}.\]

Steg 6 - Regn ut

\[P(J\mid B)=0{,}25.\]

Steg 7 - Tolk svaret

Blant elever som går med bukse, er 25 % jenter.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction
P_J = Fraction(2,5)
P_B_given_J = Fraction(1,2)
P_B = Fraction(4,5)
intersection = P_B_given_J*P_J
posterior = intersection/P_B
print("P(J) =", P_J)
print("P(B|J) =", P_B_given_J)
print("P(B) =", P_B)
print("P(J og B) = P(B|J)*P(J) =", intersection)
print("Bayes: P(J|B) = P(J og B)/P(B)")
print("P(J|B) =", posterior, "=", float(posterior))

Utskrift fra Python:
P(J) = 2/5
P(B|J) = 1/2
P(B) = 4/5
P(J og B) = P(B|J)*P(J) = 1/5
Bayes: P(J|B) = P(J og B)/P(B)
P(J|B) = 1/4 = 0.25

Fasit: \(P(J\mid B)=0{,}25=25\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke Pytagoras i de øvre og nedre rettvinklede deltrekantene og arealformelen for en drage med vinkelrette diagonaler.

Steg 1 - Identifiser diagonalene

Den vannrette diagonalen består av to like deler x og er derfor \(2x\). Den loddrette diagonalen har lengde h.

Steg 2 - Finn øvre del av høyden

I den øvre trekanten er hypotenusen 5: \[x^2+y^2=5^2\Rightarrow y=\sqrt{25-x^2}.\]

Steg 3 - Finn nedre del av høyden

I den nedre trekanten er hypotenusen 12: \[x^2+(h-y)^2=12^2\Rightarrow h-y=\sqrt{144-x^2}.\]

Steg 4 - Finn hele høyden

\[h=y+(h-y)=\sqrt{25-x^2}+\sqrt{144-x^2}.\]

Steg 5 - Bruk arealformelen for vinkelrette diagonaler

\[A=\frac12 d_1d_2=\frac12(2x)h.\]

Steg 6 - Forkort faktoren 2

\[A=xh.\]

Steg 7 - Sett inn h

\[A(x)=x\left(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{144-x^2}\right).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
y = sp.sqrt(25-x**2)
lower = sp.sqrt(144-x**2)
h = y+lower
A = sp.simplify(x*h)
print("Øvre høyde y =", y)
print("Nedre høyde h-y =", lower)
print("Hele vertikale diagonal h =", h)
print("Horisontal diagonal = 2x")
print("Areal = (1/2)*(2x)*h =", A)

Utskrift fra Python:
Øvre høyde y = sqrt(25 - x**2)
Nedre høyde h-y = sqrt(144 - x**2)
Hele vertikale diagonal h = sqrt(25 - x**2) + sqrt(144 - x**2)
Horisontal diagonal = 2x
Areal = (1/2)*(2x)*h = x*(sqrt(25 - x**2) + sqrt(144 - x**2))

Fasit: \(A(x)=x(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{144-x^2})\), med \(0\leq x\leq5\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne arealfunksjonen på dens geometriske definisjonsintervall og bruke ekstremalpunktverktøyet til å finne maksimum.

Steg 1 - Bestem intervallet

Kvadratroten \(\sqrt{25-x^2}\) krever \(0\leq x\leq5\).

Steg 2 - Skriv inn funksjonen i graftegneren

\[A(x)=x(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{144-x^2}).\]

Steg 3 - Avgrens grafvinduet

Bruk for eksempel \(0\leq x\leq5\) og \(0\leq A\leq65\).

Steg 4 - Finn toppunktet digitalt

Graftegneren gir maksimum ved omtrent \(x=4{,}615\).

Steg 5 - Les av maksimalverdien

Ved dette punktet er \[A\approx60{,}0.\]

Steg 6 - Kontroller eksakt verdi

Den kritiske x-verdien er \(x=60/13\). Da blir de vertikale delene \(25/13\) og \(144/13\), med sum 13.

Steg 7 - Regn arealet eksakt

\[A=\frac{60}{13}\cdot13=60\ \text{dm}^2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
A = x*(sp.sqrt(25-x**2)+sp.sqrt(144-x**2))
dA = sp.diff(A,x)
critical = sp.nsolve(dA, 4.5)
exact = sp.Rational(60,13)
print("A(x) =", A)
print("Definisjonsintervall: 0 <= x <= 5")
print("A'(x) =", dA)
print("Numerisk kritisk punkt x =", critical)
print("Eksakt x =", exact)
print("A(60/13) =", sp.simplify(A.subs(x,exact)))
print("A(0) =", A.subs(x,0))
print("A(5) =", sp.N(A.subs(x,5),12))
print("Største areal = 60 dm^2")

Utskrift fra Python:
A(x) = x*(sqrt(25 - x**2) + sqrt(144 - x**2))
Definisjonsintervall: 0 <= x <= 5
A'(x) = x*(-x/sqrt(144 - x**2) - x/sqrt(25 - x**2)) + sqrt(25 - x**2) + sqrt(144 - x**2)
Numerisk kritisk punkt x = 4.61538461538461
Eksakt x = 60/13
A(60/13) = 60
A(0) = 0
A(5) = 54.5435605732
Største areal = 60 dm^2

Fasit: Det største arealet er \(60\ \text{dm}^2\), ved \(x\approx4{,}615\ \text{dm}\).

Hva spør oppgaven om? Fly B lander når høydekomponenten, altså andre koordinat i \(\vec b(t)\), er 0.

Steg 1 - Velg høydekomponenten

\[y_B(t)=432t^2-72t+3.\]

Steg 2 - Sett høyden lik null

\[432t^2-72t+3=0.\]

Steg 3 - Forenkle ved å dele med 3

\[144t^2-24t+1=0.\]

Steg 4 - Gjenkjenn et fullstendig kvadrat

\[144t^2-24t+1=(12t-1)^2.\]

Steg 5 - Løs likningen

\[(12t-1)^2=0\Rightarrow12t-1=0.\]

Steg 6 - Finn tiden i timer

\[t_1=\frac1{12}\ \text{time}.\]

Steg 7 - Omregn til minutter

\[\frac1{12}\cdot60=5\ \text{minutter}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
yB = 432*t**2 - 72*t + 3
roots = sp.solve(sp.Eq(yB,0),t)
print("Høyden til fly B:", yB)
print("Faktorisert høyde =", sp.factor(yB))
print("Løs y_B(t)=0:", roots)
print("t1 = 1/12 time")
print("I minutter:", sp.Rational(1,12)*60)

Utskrift fra Python:
Høyden til fly B: 432*t**2 - 72*t + 3
Faktorisert høyde = 3*(12*t - 1)**2
Løs y_B(t)=0: [1/12]
t1 = 1/12 time
I minutter: 5

Fasit: \(t_1=\dfrac1{12}\) time = 5 minutter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere posisjonsvektoren for å få fartsvektoren og deretter beregne lengden av denne vektoren.

Steg 1 - Deriver x-koordinaten

\[\frac{d}{dt}(-204t+17)=-204.\]

Steg 2 - Deriver y-koordinaten

\[\frac{d}{dt}(432t^2-72t+3)=864t-72.\]

Steg 3 - Skriv fartsvektoren

\[\vec b'(t)=[-204,\ 864t-72].\]

Steg 4 - Sett inn t=0,08

\[864\cdot0{,}08-72=69{,}12-72=-2{,}88.\]

Steg 5 - Finn vektoren ved tidspunktet

\[\vec b'(0{,}08)=[-204,-2{,}88].\]

Steg 6 - Beregn vektorlengden

\[|\vec b'|=\sqrt{(-204)^2+(-2{,}88)^2}.\]

Steg 7 - Regn ut og tolk

\[|\vec b'(0{,}08)|\approx204{,}02\ \text{km/h}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t")
b = sp.Matrix([-204*t+17, 432*t**2-72*t+3])
v = b.diff(t)
t0 = sp.Rational(8,100)
v0 = v.subs(t,t0)
speed = sp.sqrt(v0.dot(v0))
print("b(t) =", list(b))
print("Fartsvektor b'(t) =", list(v))
print("Ved t=0.08 er b'(t) =", list(v0))
print("Fart = sqrt(vx^2+vy^2) =", speed)
print("Numerisk fart =", sp.N(speed,12), "km/h")

Utskrift fra Python:
b(t) = [17 - 204*t, 432*t**2 - 72*t + 3]
Fartsvektor b'(t) = [-204, 864*t - 72]
Ved t=0.08 er b'(t) = [-204, -72/25]
Fart = sqrt(vx^2+vy^2) = 156*sqrt(1069)/25
Numerisk fart = 204.020328399 km/h

Fasit: Farten er omtrent \(204{,}0\ \text{km/h}\).

Hva spør oppgaven om? Banene krysser samme geometriske punkt, men kollisjon krever også at flyene er der på samme tidspunkt. Vi må derfor finne parameterverdien for hvert fly i P.

Steg 1 - Skill mellom tidene

La fly A være i P ved tid \(u\), og fly B ved tid \(v\). Vi løser \(\vec a(u)=\vec b(v)\).

Steg 2 - Sett opp x-likningen

\[70u+2=-204v+17.\]

Steg 3 - Sett opp y-likningen

\[140u^2=432v^2-72v+3.\]

Steg 4 - Løs systemet digitalt

Den fysiske løsningen innen \([0,1/12]\) er \[u\approx0{,}04335,\qquad v\approx0{,}05865.\]

Steg 5 - Finn krysspunktet

Begge banene går gjennom omtrent \[P=(5{,}0348,\ 0{,}2631).\]

Steg 6 - Sammenlign tidene

Fly A passerer P først. Tidsforskjellen er omtrent \(0{,}01530\) timer, altså \(0{,}918\) minutter.

Steg 7 - Konkluder om kollisjon

Siden \(u\neq v\), er flyene ikke i P samtidig. De kolliderer derfor ikke.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
u,v,t = sp.symbols("u v t", real=True)
a = sp.Matrix([70*u+2, 140*u**2])
b = sp.Matrix([-204*v+17, 432*v**2-72*v+3])
solutions = sp.solve([sp.Eq(a[0],b[0]),sp.Eq(a[1],b[1])],[u,v], dict=True)
print("Løs a(u)=b(v) for banekrysset:")
for s in solutions:
    print("u =", sp.N(s[u],10), "v =", sp.N(s[v],10))
valid = [s for s in solutions if 0 <= float(s[u]) <= 1/12 and 0 <= float(s[v]) <= 1/12][0]
P = a.subs(u,valid[u])
print("Gyldig kryss i tidsintervallene:")
print("t_A =", sp.N(valid[u],10), "timer")
print("t_B =", sp.N(valid[v],10), "timer")
print("P =", [sp.N(z,10) for z in P])
print("Tidsforskjell =", sp.N(valid[v]-valid[u],10), "timer")
print("Samme tidspunkt?", sp.simplify(valid[u]-valid[v])==0)
print("Konklusjon: ingen kollisjon")

Utskrift fra Python:
Løs a(u)=b(v) for banekrysset:
u = -0.01074505637 v = 0.07721644091
u = 0.04335375202 v = 0.05865312431
Gyldig kryss i tidsintervallene:
t_A = 0.04335375202 timer
t_B = 0.05865312431 timer
P = [5.034762642, 0.2631366940]
Tidsforskjell = 0.01529937228 timer
Samme tidspunkt? False
Konklusjon: ingen kollisjon

Fasit: Flyene kolliderer ikke. Fly A passerer P ved \(t\approx0{,}04335\), mens fly B passerer P ved \(t\approx0{,}05865\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke summen av nullpunktene p og q til den deriverte, finne nullpunktet til andrederiverten og sammenligne uttrykkene symbolsk.

Steg 1 - Deriver tredjegradsfunksjonen

\[f'(x)=3ax^2+2bx+c.\] Topp- og bunnpunktene betyr at \(p\) og \(q\) er røttene til denne andregradslikningen.

Steg 2 - Bruk Viete på den deriverte

For \(3ax^2+2bx+c=0\) er summen av røttene \[p+q=-\frac{2b}{3a}.\]

Steg 3 - Finn midtpunktet mellom p og q

\[\frac{p+q}{2}=\frac{-2b/(3a)}{2}=-\frac{b}{3a}.\]

Steg 4 - Finn andrederiverten

\[f''(x)=6ax+2b.\]

Steg 5 - Finn vendepunktets x-koordinat

\[6ax+2b=0\Rightarrow x_V=-\frac{2b}{6a}=-\frac{b}{3a}.\]

Steg 6 - Sammenlign uttrykkene

Både \(x_V\) og \((p+q)/2\) er lik \(-b/(3a)\).

Steg 7 - Konkluder

\[x_V=\frac{p+q}{2}.\] Vendepunktet ligger derfor nøyaktig midt mellom ekstremalpunktenes x-koordinater.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a,b,c,d,x,p,q = sp.symbols("a b c d x p q", nonzero=True)
f = a*x**3+b*x**2+c*x+d
fp = sp.diff(f,x); fpp = sp.diff(f,x,2)
roots = sp.solve(sp.Eq(fp,0),x)
sum_roots = sp.simplify(sum(roots))
x_inf = sp.solve(sp.Eq(fpp,0),x)[0]
print("f'(x) =", fp)
print("Røttene p og q til f'(x)=0 har sum =", sum_roots)
print("Etter Vieta: p+q = -2b/(3a)")
print("f''(x) =", fpp)
print("Vendepunktets x-koordinat =", x_inf)
print("(p+q)/2 =", sp.simplify(sum_roots/2))
print("Differanse =", sp.simplify(x_inf-sum_roots/2))

Utskrift fra Python:
f'(x) = 3*a*x**2 + 2*b*x + c
Røttene p og q til f'(x)=0 har sum = -2*b/(3*a)
Etter Vieta: p+q = -2b/(3a)
f''(x) = 2*(3*a*x + b)
Vendepunktets x-koordinat = -b/(3*a)
(p+q)/2 = -b/(3*a)
Differanse = 0

Fasit: \(x_V=-\dfrac{b}{3a}=\dfrac{p+q}{2}\).