Vanlig feil: Å stoppe ved \(0/0\), eller å forkorte \(x-1\) uten først å faktorisere telleren.
Sensorpunkt: Sensor ser etter faktoriseringen og en forklaring på at den forkortede funksjonen brukes for \(x
eq1\).
Del 1 · Oppgave 1cKontinuitet og deriverbarhet
Oppgave 1c
Oppgave: En funksjon \(f\) er kontinuerlig, men ikke deriverbar i punktet \((1,2)\). Tegn en skisse av grafen til en mulig funksjon \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gi ett konkret eksempel på en graf som går sammenhengende gjennom \((1,2)\), men som har et knekkpunkt der slik at venstre- og høyrederivert er ulike.
Steg 1 — Velg en absoluttverdifunksjon
Et naturlig valg er \[f(x)=|x-1|+2.\]
Steg 2 — Kontroller punktet
\[f(1)=|1-1|+2=2,\] så grafen går gjennom \((1,2)\).
Steg 3 — Kontroller kontinuitet
Absoluttverdifunksjonen er kontinuerlig, og forskyvningene endrer ikke dette. Derfor er \(f\) kontinuerlig i \(x=1\).
Steg 4 — Undersøk venstre stigning
For \(x<1\) er \(f(x)=-(x-1)+2=-x+3\), så venstrederivert er \(-1\).
Steg 5 — Undersøk høyre stigning
For \(x>1\) er \(f(x)=x-1+2=x+1\), så høyrederivert er \(1\).
Steg 6 — Konkluder
Siden \(-1\neq1\), finnes ikke den deriverte i \(x=1\), selv om grafen er sammenhengende.
Grafen er kontinuerlig i punktet, men har ulik stigning fra venstre og høyre.
Fasit: En mulig funksjon er \(f(x)=|x-1|+2\).
Vanlig feil: Å tegne et hopp eller et hull i \((1,2)\). Da er funksjonen ikke kontinuerlig.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en sammenhengende graf med et tydelig knekkpunkt, spiss eller vertikal tangent i \((1,2)\).
Del 1 · Oppgave 1d-1Logaritmelikning
Oppgave 1d-1
Oppgave: Finn den eksakte løsningen av likningen \(2\ln x-4=0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere logaritmen og bruke at \(e^y\) og \(\ln y\) er inverse funksjoner.
Steg 1 — Angi definisjonskravet
Vi må ha \(x>0\), fordi \(\ln x\) ellers ikke er definert i de reelle tallene.
Steg 2 — Flytt konstantleddet
\[2\ln x=4.\]
Steg 3 — Del på 2
\[\ln x=2.\]
Steg 4 — Eksponer begge sider
\[e^{\ln x}=e^2.\]
Steg 5 — Bruk inversregelen
Siden \(e^{\ln x}=x\) for \(x>0\), får vi \[x=e^2.\]
Steg 6 — Kontroller
\[2\ln(e^2)-4=2\cdot2-4=0.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Solve(2*ln(x)-4=0)
Resultat: \(x=e^2\)
Løsningen oppfyller definisjonskravet.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, log, solve, exp
x = symbols('x', positive=True)
solution = solve(2*log(x) - 4, x)
print("Løsning:", solution)
print("Kontroll i likningen:", 2*log(solution[0]) - 4)
Utskrift:
Løsning: [exp(2)]
Kontroll i likningen: 0
Fasit: \(x=e^2\).
Vanlig feil: Å skrive \(x=2\) etter at \(\ln x=2\). Man må bruke eksponentialfunksjonen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter definisjonskravet \(x>0\) og korrekt bruk av inverse funksjoner.
Del 1 · Oppgave 1d-2Eksponentiallikning
Oppgave 1d-2
Oppgave: Finn de eksakte løsningene av likningen \(e^{2x}-3e^x+2=0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Likningen er andregradsliknende i \(e^x\). Vi innfører en ny variabel, løser andregradslikningen og går tilbake til \(x\).
Vanlig feil: Fortegnsfeil i eksponenten: ved divisjon skal eksponenten i nevneren trekkes fra.
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av \(a^m/a^n=a^{m-n}\).
Del 1 · Oppgave 1e-2Potenser med rasjonale eksponenter
Oppgave 1e-2
Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\frac{\sqrt a\cdot(ab^2)^{\frac13}\cdot b}{(a^2b)^2\cdot b^{-\frac13}}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive alle faktorer som potenser av \(a\) og \(b\), samle eksponentene separat og håndtere nevneren ved å trekke fra eksponenter.
from sympy import symbols, Rational, sqrt, simplify, powsimp
# Vi antar a > 0 og b != 0, slik uttrykket krever.
a = symbols('a', positive=True)
b = symbols('b', nonzero=True)
expr = sqrt(a) * (a*b**2)**Rational(1, 3) * b / ((a**2*b)**2 * b**Rational(-1, 3))
print("Opprinnelig uttrykk:", expr)
print("Forenklet uttrykk:", powsimp(simplify(expr), force=True))
print("Kontroll av eksponent for a:", Rational(1,2)+Rational(1,3)-4)
print("Kontroll av eksponent for b:", Rational(2,3)+1-2+Rational(1,3))
Utskrift:
Opprinnelig uttrykk: Abs(b)**(2/3)/(a**(19/6)*b**(2/3))
Forenklet uttrykk: Abs(b)**(2/3)/(a**(19/6)*b**(2/3))
Kontroll av eksponent for a: -19/6
Kontroll av eksponent for b: 0
Fasit: \(\displaystyle \frac1{a^{19/6}}\), for verdier der originaluttrykket er definert.
Vanlig feil: Å glemme at en faktor i nevneren gir subtraksjon av eksponenten. Særlig \(b^{-1/3}\) i nevneren bidrar med \(+1/3\) totalt.
Sensorpunkt: Sensor ser etter separat, korrekt eksponentregning for \(a\) og \(b\), ikke bare et ubegunnet sluttsvar.
Del 1 · Oppgave 1fGeometri · Cevas setning
Oppgave 1f
Oppgave: Vi har gitt en trekant \(ABC\). Punktet \(D\) ligger på \(AB\), punktet \(E\) ligger på \(BC\), og punktet \(F\) ligger på \(AC\). Cevas setning sier: Linjestykkene \(AE\), \(BF\) og \(CD\) skjærer hverandre i ett punkt hvis og bare hvis
\[\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CF}{FA}=1.\]
Bruk Cevas setning til å bevise at medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke definisjonen av en median: hver median går fra et hjørne til midtpunktet på motstående side. Da blir hvert av de tre forholdene i Cevas produkt lik 1.
Cevas setning sier at produkt lik 1 er tilstrekkelig for at \(AE\), \(BF\) og \(CD\) skal være konkurrente.
Steg 7 — Konklusjon
Dermed skjærer de tre medianene hverandre i ett og samme punkt.
Fasit: Medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
Vanlig feil: Å skrive at medianene «åpenbart» møtes uten å knytte midtpunktene til de tre forholdene i Cevas setning.
Sensorpunkt: Et fullverdig bevis må angi alle tre midtpunktlikhetene, vise at produktet er 1 og eksplisitt bruke konklusjonen i Cevas setning.
Del 1 · Oppgave 2aPolynomer · faktorsetningen
Oppgave 2a
Oppgave: Vis at polynomet \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) er delelig med \(x-2\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktorsetningen: \(x-a\) er en faktor i \(f(x)\) hvis og bare hvis \(f(a)=0\).
Steg 1 — Knytt faktoren til en verdi
Faktoren \(x-2\) svarer til verdien \(x=2\).
Steg 2 — Regn ut \(f(2)\)
\[f(2)=2^3-6\cdot2^2+11\cdot2-6.\]
Steg 3 — Regn hvert ledd
\[f(2)=8-24+22-6.\]
Steg 4 — Samle
\[8-24+22-6=0.\]
Steg 5 — Bruk faktorsetningen
Siden \(f(2)=0\), er \(x=2\) et nullpunkt.
Steg 6 — Konkluder om delbarhet
Dermed er \(x-2\) en faktor i \(f(x)\), altså er polynomet delelig med \(x-2\).
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Substitute(x^3-6x^2+11x-6, x, 2)
Resultat: \(0\)
Nullverdien bekrefter faktoren \(x-2\).
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, expand, rem
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6
print("f(2) =", f.subs(x, 2))
print("Rest ved divisjon med x - 2:", rem(f, x - 2, x))
Utskrift:
f(2) = 0
Rest ved divisjon med x - 2: 0
Fasit: \(f(2)=0\), derfor er \(x-2\) en faktor.
Vanlig feil: Å bare gjennomføre polynomdivisjon uten å formulere hvorfor resten 0 viser delbarhet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt innsetting og eksplisitt bruk av faktorsetningen.
Del 1 · Oppgave 2bPolynomer · faktorisering
Oppgave 2b
Oppgave: Skriv \(f(x)\) som et produkt av førstegradsfaktorer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi vet fra 2a at \(x-2\) er en faktor. Vi deler polynomet med denne faktoren og faktoriserer andregradsfaktoren videre.
Steg 1 — Start med kjent faktor
\[f(x)=(x-2)q(x),\] der \(q(x)\) er et andregradspolynom.
Steg 2 — Utfør polynomdivisjon
\[\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x-2}=x^2-4x+3.\]
Steg 3 — Skriv mellomresultatet
\[f(x)=(x-2)(x^2-4x+3).\]
Steg 4 — Faktoriser andregradsuttrykket
Vi trenger to tall med produkt \(3\) og sum \(-4\): \(-1\) og \(-3\).
Steg 5 — Skriv faktorene
\[x^2-4x+3=(x-1)(x-3).\]
Steg 6 — Sett alt sammen
\[f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).\]
Steg 7 — Kontroller ved utvidelse
Produktet gir \(x^3-6x^2+11x-6\), som er det opprinnelige polynomet.
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Factor(x^3-6x^2+11x-6)
Resultat: \((x-1)(x-2)(x-3)\)
Alle faktorene er av første grad.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, factor, expand
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6
fac = factor(f)
print("Faktorisert:", fac)
print("Utvidet kontroll:", expand(fac))
Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere teller og nevner, finne alle kritiske verdier og analysere fortegnet på hvert intervall. Verdier som gjør nevneren null må alltid utelukkes.
Steg 1 — Faktoriser telleren
Fra 2b: \[x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).\]
Steg 2 — Faktoriser nevneren
\[x^2-9=(x-3)(x+3).\]
Steg 3 — Skriv det faktoriserte uttrykket
\[\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}.\]
Steg 4 — Noter forbudte verdier
Den opprinnelige nevneren er null for \(x=-3\) og \(x=3\). Begge må utelukkes, også selv om \(x-3\) kan forkortes.
Steg 5 — Forkort for fortegnsanalyse
For \(x\neq3\) har uttrykket samme fortegn som \[\frac{(x-1)(x-2)}{x+3}.\]
Steg 6 — Finn kritiske punkter
Fortegnet kan endres ved \(x=-3,1,2\), og vi må dessuten markere hullet \(x=3\).
Steg 7 — Analyser intervallene
Fortegnene blir: negativ på \(( -\infty,-3)\), positiv på \((-3,1)\), negativ på \((1,2)\), og positiv på både \((2,3)\) og \((3,\infty)\).
Steg 8 — Ta hensyn til streng ulikhet
Nullpunktene \(x=1\) og \(x=2\) skal ikke med fordi ulikheten er \(>0\), ikke \(\geq0\).
Steg 9 — Skriv løsningsmengden
\[x\in(-3,1)\cup(2,3)\cup(3,\infty).\]
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Solve((x^3-6x^2+11x-6)/(x^2-9)>0)
Resultat: \(-3<x<1\), \(2<x<3\) eller \(x>3\)
CAS-resultatet må tolkes sammen med definisjonsmengden.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, solve_univariate_inequality, factor
x = symbols('x', real=True)
expr = (x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6)/(x**2 - 9)
print("Faktorisert uttrykk:", factor(expr))
print("Løsningsmengde:", solve_univariate_inequality(expr > 0, x))
for test in [-4, 0, 1.5, 2.5, 4]:
print(f"x={test:>4}: fortegn =", "positiv" if expr.subs(x,test) > 0 else "negativ")
Vanlig feil: Å inkludere \(x=3\) etter forkorting. Punktet er fortsatt ikke i definisjonsmengden til originaluttrykket.
Sensorpunkt: Sensor ser etter et komplett fortegnsskjema med \(-3,1,2,3\), åpne endepunkter og korrekt håndtering av hullet ved \(x=3\).
Del 1 · Oppgave 2dParameter og polynomlikning
Oppgave 2d
Oppgave: Bestem \(a\) slik at likningen \(x^3-2x^2-5x+a=0\) får en løsning lik \(1\). Løs likningen for denne verdien av \(a\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Først bruker vi at \(x=1\) skal oppfylle likningen for å bestemme parameteren. Deretter faktoriserer vi det ferdige tredjegradspolynomet.
Steg 1 — Sett inn den oppgitte løsningen
Kravet \(x=1\) gir \[1^3-2\cdot1^2-5\cdot1+a=0.\]
Steg 2 — Forenkle
\[1-2-5+a=0\quad\Longrightarrow\quad a-6=0.\]
Steg 3 — Bestem parameteren
\[a=6.\]
Steg 4 — Skriv den nye likningen
\[x^3-2x^2-5x+6=0.\]
Steg 5 — Bruk den kjente roten
Siden \(x=1\) er en rot, er \(x-1\) en faktor.
Steg 6 — Divider polynomet
\[x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6).\]
Steg 7 — Faktoriser andregradsfaktoren
\[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]
Steg 8 — Les av alle løsningene
\[(x-1)(x-3)(x+2)=0\Rightarrow x=1,\ 3,\ -2.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Factor(x^3-2x^2-5x+6)
Resultat: \((x-1)(x-3)(x+2)\)
CAS bekrefter de tre røttene.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, factor, solve, expand
x, a = symbols('x a')
poly = x**3 - 2*x**2 - 5*x + a
a_value = solve(poly.subs(x, 1), a)[0]
poly_fixed = expand(poly.subs(a, a_value))
print("a =", a_value)
print("Polynom for denne verdien:", poly_fixed)
print("Faktorisert:", factor(poly_fixed))
print("Løsninger:", solve(poly_fixed, x))
Utskrift:
a = 6
Polynom for denne verdien: x**3 - 2*x**2 - 5*x + 6
Faktorisert: (x - 3)*(x - 1)*(x + 2)
Løsninger: [-2, 1, 3]
Fasit: \(a=6\), og løsningene er \(x=-2,1,3\).
Vanlig feil: Å finne \(a=6\), men deretter bare oppgi den allerede kjente roten \(x=1\). Oppgaven ber om alle røttene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter både parameterbestemmelsen og full faktorisering av den resulterende tredjegradslikningen.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 · Oppgave 3aBetinget sannsynlighet
Oppgave 3a
Oppgave: På en skole er det 55 % jenter og 45 % gutter på Vg2. Av jentene har 25 % valgt matematikk R1. Av guttene har 30 % valgt R1. Formuler de to siste opplysningene i teksten ovenfor som betingede sannsynligheter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette «av jentene» og «av guttene» til sannsynligheter der gruppen etter ordet «av» er betingelsen.
Steg 1 — Definer hendelser
La \(J\) være «eleven er jente», \(G\) være «eleven er gutt», og \(R\) være «eleven har valgt R1».
Steg 2 — Tolk første opplysning
«Av jentene har 25 % valgt R1» betyr at vi ser på sannsynligheten for R1 gitt at eleven er jente.
Steg 3 — Skriv første sannsynlighet
\[P(R\mid J)=0{,}25.\]
Steg 4 — Tolk andre opplysning
«Av guttene har 30 % valgt R1» betyr sannsynligheten for R1 gitt at eleven er gutt.
Utskrift:
Bidrag fra jenter: 11/80
Bidrag fra gutter: 27/200
P(R) = 109/400
Som prosent = 27.25 %
Fasit: \(P(R)=0{,}2725=27{,}25\%\).
Vanlig feil: Å regne \(0{,}25+0{,}30\). Gruppene har ulik størrelse og må vektes med 55 % og 45 %.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge grenene og korrekt bruk av total sannsynlighet.
Del 2 · Oppgave 3dBayes’ setning
Oppgave 3d
Oppgave: Av alle elevene på Vg2 har 30 % valgt fysikk. Blant dem som har valgt R1, er det 80 % som har valgt fysikk. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt fysikkelev har valgt R1.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi kjenner \(P(F\mid R)\), men blir spurt om den omvendte betingelsen \(P(R\mid F)\). Derfor bruker vi Bayes’ setning.
Steg 1 — Definer hendelsen fysikk
La \(F\) være «eleven har valgt fysikk». Vi kjenner \(P(F)=0{,}30\) og \(P(F\mid R)=0{,}80\).
Vanlig feil: Å svare 80 %. Det er \(P(F\mid R)\), mens oppgaven spør etter \(P(R\mid F)\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig retning på betingelsen, Bayes-formelen og en tydelig prosenttolkning.
Oppgave 4: Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen. I dette løsningsforslaget er begge alternativene løst for full dekning av settet.
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ I aParametrisk kurve
Oppgave 4, alternativ I a
Oppgave: En partikkel beveger seg i planet. Posisjonen til partikkelen ved tiden \(t\) er gitt ved \[\vec r(t)=[t^2,\ t^3-3t]\quad\text{der}\quad t\in[0,2].\] Tegn grafen som beskriver bevegelsen til partikkelen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne den parametriske kurven ved å la \(t\) variere fra 0 til 2 og plotte punktene \((x(t),y(t))=(t^2,t^3-3t)\) i riktig rekkefølge.
Steg 1 — Identifiser koordinatfunksjonene
\[x(t)=t^2,\qquad y(t)=t^3-3t.\]
Steg 2 — Finn startpunktet
For \(t=0\): \[\vec r(0)=(0,0).\]
Steg 3 — Finn noen mellompunkt
For eksempel gir \(t=1\) punktet \((1,-2)\), og \(t=\sqrt3\) gir \((3,0)\).
Steg 4 — Finn sluttpunktet
For \(t=2\): \[\vec r(2)=(4,2).\]
Steg 5 — Bestem bevegelsesretningen
Siden \(x(t)=t^2\) er voksende for \(t\geq0\), beveger partikkelen seg fra venstre mot høyre langs kurven.
Steg 6 — Tegn den parametriske kurven
Punktene kobles i stigende \(t\)-rekkefølge; kurven går først ned under \(x\)-aksen og deretter opp gjennom \((3,0)\).
Banekurven med sentrale parameterverdier markert.
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Curve(t^2, t^3-3t, t, 0, 2)
Resultat: Parametrisk kurve for \(0\leq t\leq2\)
Kommandoen tegner bare den delen av kurven som hører til det oppgitte tidsintervallet.
Python-kontroll med SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols('t', real=True)
x = t**2
y = t**3 - 3*t
sample_t = [sp.Rational(0), sp.Rational(1,2), sp.Rational(1), sp.sqrt(3), sp.Rational(2)]
print("t x(t) y(t)")
for value in sample_t:
print(value, " ", sp.simplify(x.subs(t,value)), " ", sp.simplify(y.subs(t,value)))
Fasit: Kurven starter i \((0,0)\), går gjennom \((1,-2)\) og \((3,0)\), og ender i \((4,2)\).
Vanlig feil: Å behandle \(y=t^3-3t\) som en vanlig funksjon av \(x\) uten å ta hensyn til parameteren og bevegelsesretningen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig kurve, riktig avgrensning \(0\leq t\leq2\) og gjerne markert bevegelsesretning.
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ I bParametrisk kurve · akseskjæringer
Oppgave 4, alternativ I b
Oppgave: Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen og koordinataksene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? For skjæring med \(x\)-aksen setter vi \(y(t)=0\). For skjæring med \(y\)-aksen setter vi \(x(t)=0\), og beholder bare \(t\)-verdier i \([0,2]\).
Steg 1 — Skjæring med \(x\)-aksen
Kravet er \[t^3-3t=0.\]
Steg 2 — Faktoriser
\[t(t^2-3)=0.\]
Steg 3 — Løs for \(t\)
\[t=0,\quad t=\sqrt3,\quad t=-\sqrt3.\] Bare \(0\) og \(\sqrt3\) ligger i \([0,2]\).
Steg 4 — Finn punktene på \(x\)-aksen
For \(t=0\) får vi \((0,0)\). For \(t=\sqrt3\) får vi \(x=t^2=3\), altså \((3,0)\).
Steg 5 — Skjæring med \(y\)-aksen
Kravet er \[t^2=0\Rightarrow t=0.\]
Steg 6 — Finn punktet på \(y\)-aksen
Når \(t=0\), er også \(y=0\), så punktet er \((0,0)\).
Steg 7 — Samle unike skjæringspunkter
Grafen skjærer koordinataksene i \((0,0)\) og \((3,0)\). Punktet \((0,0)\) ligger på begge aksene.
from sympy import symbols, solve, sqrt
t = symbols('t', real=True)
x = t**2
y = t**3 - 3*t
roots_x_axis = [s for s in solve(y, t) if s.is_real and 0 <= s <= 2]
roots_y_axis = [s for s in solve(x, t) if s.is_real and 0 <= s <= 2]
print("t-verdier for skjæring med x-aksen:", roots_x_axis)
print("Punkter på x-aksen:", [(x.subs(t,s), y.subs(t,s)) for s in roots_x_axis])
print("t-verdier for skjæring med y-aksen:", roots_y_axis)
print("Punkter på y-aksen:", [(x.subs(t,s), y.subs(t,s)) for s in roots_y_axis])
Utskrift:
t-verdier for skjæring med x-aksen: [0, sqrt(3)]
Punkter på x-aksen: [(0, 0), (3, 0)]
t-verdier for skjæring med y-aksen: [0]
Punkter på y-aksen: [(0, 0)]
Fasit: Skjæringspunktene er \((0,0)\) og \((3,0)\).
Vanlig feil: Å ta med \(t=-\sqrt3\), som ligger utenfor tidsintervallet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter separate likninger for hver akse og kontroll av parameterintervallet.
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ I cVektorer · fartsvektor og fart
Oppgave 4, alternativ I c
Oppgave: Finn et uttrykk for fartsvektoren \(\vec v\). Hva er \(t\) når \(|\vec v(t)|=3\)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren komponentvis. Deretter setter vi lengden av fartsvektoren lik 3 og løser likningen på intervallet.
Steg 1 — Deriver første komponent
\[x^{\prime}(t)=(t^2)\prime=2t.\]
Steg 2 — Deriver andre komponent
\[y^{\prime}(t)=(t^3-3t)\prime=3t^2-3.\]
Steg 3 — Skriv fartsvektoren
\[\vec v(t)=[2t,\ 3t^2-3].\]
Steg 4 — Skriv farten
\[|\vec v(t)|=\sqrt{(2t)^2+(3t^2-3)^2}.\]
Steg 5 — Sett farten lik 3 og kvadrer
\[4t^2+(3t^2-3)^2=9.\] Begge sider er ikke-negative, så kvadreringen gir ingen falske fortegnsløsninger.
Steg 6 — Utvid
\[4t^2+9t^4-18t^2+9=9\Rightarrow 9t^4-14t^2=0.\]
Steg 7 — Faktoriser
\[t^2(9t^2-14)=0.\]
Steg 8 — Løs
\[t=0\quad\text{eller}\quad t=\frac{\sqrt{14}}3.\] Begge ligger i \([0,2]\).
Steg 9 — Kontroller
Innsetting i lengdeformelen gir \(|\vec v|=3\) for begge tidsverdiene.
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Solve((2t)^2+(3t^2-3)^2=9, t)
Resultat: \(t=0\) eller \(t=\sqrt{14}/3\)
CAS løser den kvadrerte fartslikningen.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, Matrix, diff, sqrt, solve, simplify
t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([t**2, t**3 - 3*t])
v = r.diff(t)
speed_sq = simplify(v.dot(v))
solutions = [s for s in solve(speed_sq - 9, t) if s.is_real and 0 <= s <= 2]
print("r(t) =", r.T)
print("v(t) =", v.T)
print("|v(t)|^2 =", speed_sq)
print("Løsninger av |v(t)| = 3:", solutions)
for s in solutions:
print("t =", s, "gir |v| =", simplify(sqrt(speed_sq.subs(t,s))))
Utskrift:
r(t) = Matrix([[t**2, t**3 - 3*t]])
v(t) = Matrix([[2*t, 3*t**2 - 3]])
|v(t)|^2 = 9*t**4 - 14*t**2 + 9
Løsninger av |v(t)| = 3: [0, sqrt(14)/3]
t = 0 gir |v| = 3
t = sqrt(14)/3 gir |v| = 3
Fasit: \(\vec v(t)=[2t,3t^2-3]\), og \(|\vec v(t)|=3\) når \(t=0\) eller \(t=\sqrt{14}/3\).
Vanlig feil: Å sette hver komponent lik 3. Det er lengden av vektoren, ikke komponentene, som skal være 3.
Sensorpunkt: Sensor ser etter komponentvis derivasjon, korrekt norm og begge løsninger i intervallet.
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ I dVektorer · parallelle retninger
Oppgave 4, alternativ I d
Oppgave: Bestem koordinatene til de punktene på kurven der fartsvektoren er parallell med koordinataksene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? En vektor er parallell med \(x\)-aksen når den vertikale komponenten er 0, og parallell med \(y\)-aksen når den horisontale komponenten er 0.
Steg 1 — Bruk fartsvektoren
Fra c): \[\vec v(t)=[2t,3t^2-3].\]
Steg 2 — Parallell med \(x\)-aksen
Sett andre komponent lik 0: \[3t^2-3=0.\]
Steg 3 — Løs og avgrens
\[t^2=1\Rightarrow t=\pm1.\] Bare \(t=1\) ligger i \([0,2]\).
Steg 4 — Finn punktet
\[\vec r(1)=(1^2,1^3-3\cdot1)=(1,-2).\]
Steg 5 — Parallell med \(y\)-aksen
Sett første komponent lik 0: \[2t=0\Rightarrow t=0.\]
Steg 6 — Finn punktet
\[\vec r(0)=(0,0).\]
Steg 7 — Kontroller vektorene
\(\vec v(1)=(2,0)\) er horisontal, mens \(\vec v(0)=(0,-3)\) er vertikal.
Steg 8 — Konkluder
Punktene er \((1,-2)\) og \((0,0)\), med henholdsvis horisontal og vertikal fartsretning.
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Solve(3t^2-3=0,t); Solve(2t=0,t)
Resultat: \(t=1\) og \(t=0\) innenfor intervallet
Parameterverdiene må omregnes til punkter på kurven.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, solve, Matrix, simplify
t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([t**2, t**3 - 3*t])
v = r.diff(t)
t_horizontal = [s for s in solve(v[1], t) if s.is_real and 0 <= s <= 2]
t_vertical = [s for s in solve(v[0], t) if s.is_real and 0 <= s <= 2]
print("v(t) =", v.T)
print("Parallell med x-aksen ved t =", t_horizontal)
print("Punkter:", [tuple(simplify(c.subs(t,s)) for c in r) for s in t_horizontal])
print("Parallell med y-aksen ved t =", t_vertical)
print("Punkter:", [tuple(simplify(c.subs(t,s)) for c in r) for s in t_vertical])
Utskrift:
v(t) = Matrix([[2*t, 3*t**2 - 3]])
Parallell med x-aksen ved t = [1]
Punkter: [(1, -2)]
Parallell med y-aksen ved t = [0]
Punkter: [(0, 0)]
Fasit: Horisontal fartsvektor i \((1,-2)\); vertikal fartsvektor i \((0,0)\).
Vanlig feil: Å sette begge komponentene lik 0 samtidig. Da leter man etter en nullvektor, ikke parallellitet med én akse.
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig komponentbetingelse og tilbakeinnsetting i posisjonsvektoren.
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ I eOptimering · minste fart
Oppgave 4, alternativ I e
Oppgave: Bestem koordinatene til det punktet der farten er minst.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Siden kvadratroten er voksende, kan vi minimere kvadratet av farten i stedet for selve farten. Vi må kontrollere både kritiske punkter og endepunkter.
Punktet er \(\left(\frac79,-\frac{20\sqrt7}{27}\right)\), og den minste farten er \(\sqrt{32/9}=4\sqrt2/3\).
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Minimize((2t)^2+(3t^2-3)^2, 0, 2)
Resultat: \(t=\sqrt7/3\)
Minimum av kvadrert fart gir samme tidspunkt som minimum av farten.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, Matrix, diff, solve, simplify, sqrt
t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([t**2, t**3 - 3*t])
v = r.diff(t)
S = simplify(v.dot(v))
critical = [s for s in solve(diff(S,t), t) if s.is_real and 0 <= s <= 2]
candidates = [0, *critical, 2]
print("|v(t)|^2 =", S)
print("Kritiske t-verdier:", critical)
for s in candidates:
print("t =", s, ", |v|^2 =", simplify(S.subs(t,s)), ", punkt =", tuple(simplify(c.subs(t,s)) for c in r))
tmin = sqrt(7)/3
print("Minimumspunkt:", tuple(simplify(c.subs(t,tmin)) for c in r))
print("Minste fart:", simplify(sqrt(S.subs(t,tmin))))
Utskrift:
|v(t)|^2 = 9*t**4 - 14*t**2 + 9
Kritiske t-verdier: [0, sqrt(7)/3]
t = 0 , |v|^2 = 9 , punkt = (0, 0)
t = 0 , |v|^2 = 9 , punkt = (0, 0)
t = sqrt(7)/3 , |v|^2 = 32/9 , punkt = (7/9, -20*sqrt(7)/27)
t = 2 , |v|^2 = 97 , punkt = (4, 2)
Minimumspunkt: (7/9, -20*sqrt(7)/27)
Minste fart: 4*sqrt(2)/3
Fasit: Minste fart oppstår i punktet \(\left(\frac79,-\frac{20\sqrt7}{27}\right)\).
Vanlig feil: Å finne et kritisk punkt uten å kontrollere endepunktene i det lukkede intervallet.
Sensorpunkt: Sensor ser etter minimering av \(|\vec v|^2\), full kandidatkontroll og korrekt tilbakeinnsetting i \(\vec r(t)\).
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ II aRasjonal funksjon · graf
Oppgave 4, alternativ II a
Oppgave: I denne oppgaven kan det være naturlig å bruke dynamisk programvare, men oppgaven kan også løses ved å bruke grafisk lommeregner. I løsningen av oppgaven vil det være aktuelt å skissere flere grafer. Tegn grafen til funksjonen \(f(x)=\frac1x\), \(x>0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne den positive grenen av hyperbelen \(y=1/x\), beskrive asymptotene og plassere grafen i første kvadrant.
Steg 1 — Bruk definisjonsmengden
Kravet \(x>0\) betyr at bare grafdelen til høyre for \(y\)-aksen skal tegnes.
Steg 2 — Finn noen punkter
For eksempel: \(f(1/2)=2\), \(f(1)=1\), \(f(2)=1/2\), \(f(3)=1/3\).
Steg 3 — Beskriv oppførselen nær null
Når \(x\to0^+\), vokser \(1/x\) uten grense. Derfor er \(x=0\) en vertikal asymptote.
Steg 4 — Beskriv oppførselen for store \(x\)
Når \(x\to\infty\), går \(1/x\to0^+\). Derfor er \(y=0\) en horisontal asymptote.
Steg 5 — Beskriv monotonien
\(f^{\prime}(x)=-1/x^2<0\) for \(x>0\), så grafen er strengt avtakende.
Steg 6 — Tegn grafen
Grafen ligger i første kvadrant, nærmer seg begge aksene uten å skjære dem, og går gjennom de beregnede punktene.
Den lilla kurven er funksjonen; tangentene brukes i de neste deloppgavene.
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:f(x)=1/x
Resultat: Grafen for \(x>0\)
Avgrens grafikkvinduet til positive x-verdier.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, diff, simplify
x, a = symbols('x a', positive=True)
f = 1/x
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", diff(f,x))
for value in [1/2, 2, 3]:
print("a =", value, ", punkt =", (value, 1/value))
Utskrift:
f(x) = 1/x
f'(x) = -1/x**2
a = 0.5 , punkt = (0.5, 2.0)
a = 2 , punkt = (2, 0.5)
a = 3 , punkt = (3, 0.3333333333333333)
Fasit: Grafen er den avtakende hyperbelgrenen \(y=1/x\) i første kvadrant.
Vanlig feil: Å tegne begge hyperbelgrenene selv om oppgaven avgrenser til \(x>0\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig gren, asymptotene \(x=0\) og \(y=0\), og en rimelig skala.
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ II bTangent og trekantareal
Oppgave 4, alternativ II b
Oppgave: Tangenten til grafen i punktet \((a,f(a))\) skjærer \(x\)-aksen i punktet \(A\) og \(y\)-aksen i punktet \(B\). Punktet \(O\) er origo. Bestem arealet av \(\triangle OAB\) for \(a=2\) enten grafisk eller ved regning.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner tangenten i \((2,1/2)\), beregner skjæringene med aksene og bruker arealformelen for en rettvinklet trekant.
Steg 1 — Finn punktet på grafen
\[f(2)=\frac12,\] så tangentpunktet er \((2,1/2)\).
from sympy import Rational
a = Rational(2)
A = (2*a, 0)
B = (0, 2/a)
area = Rational(1,2)*A[0]*B[1]
print("a =", a)
print("A =", A)
print("B =", B)
print("Areal av OAB =", area)
Utskrift:
a = 2
A = (4, 0)
B = (0, 1)
Areal av OAB = 2
Fasit: Arealet er \(2\) kvadratenheter.
Vanlig feil: Å bruke tangentpunktets koordinater som kateter i stedet for tangentens akseskjæringer.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tangentlikning, begge akseskjæringer og korrekt arealformel.
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ II cTangentfamilie · invarians
Oppgave 4, alternativ II c
Oppgave: Gjenta det du gjorde i b) for \(a=\frac12\) og \(a=3\). Kommenter svarene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi beregner tangentene og akseskjæringene for de to verdiene. Deretter sammenligner vi arealene og ser etter et mønster.
Stigningstallet er \(-4\), så \[y-2=-4\left(x-\frac12\right)\Rightarrow y=-4x+4.\]
Steg 3 — Finn arealet
Akseskjæringene er \(A=(1,0)\) og \(B=(0,4)\). Dermed \[A=\frac12\cdot1\cdot4=2.\]
Steg 4 — Tilfellet \(a=3\): tangentpunkt
\[(3,f(3))=(3,1/3).\]
Steg 5 — Finn tangenten for \(a=3\)
Stigningstallet er \(-1/9\), så \[y-\frac13=-\frac19(x-3)\Rightarrow y=-\frac19x+\frac23.\]
Steg 6 — Finn arealet
Akseskjæringene er \(A=(6,0)\) og \(B=(0,2/3)\). Dermed \[A=\frac12\cdot6\cdot\frac23=2.\]
Steg 7 — Sammenlign med b)
Alle tre valgene \(a=1/2,2,3\) gir areal 2.
Steg 8 — Kommenter mønsteret
Når \(a\) øker, blir grunnlinjen \(2a\) større og høyden \(2/a\) mindre i nøyaktig motsatt forhold. Produktet er konstant.
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Tangent(1/2,1/x); Tangent(3,1/x)
Resultat: \(y=-4x+4\) og \(y=-x/9+2/3\)
Begge tangentene gir trekantareal 2.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import Rational
for a in [Rational(1,2), Rational(3)]:
A = (2*a, 0)
B = (0, 2/a)
area = Rational(1,2)*A[0]*B[1]
print("a =", a)
print(" A =", A)
print(" B =", B)
print(" areal =", area)
Utskrift:
a = 1/2
A = (1, 0)
B = (0, 4)
areal = 2
a = 3
A = (6, 0)
B = (0, 2/3)
areal = 2
Fasit: Begge trekantene har areal \(2\) kvadratenheter; arealet ser ut til å være uavhengig av \(a\).
Vanlig feil: Å konkludere at arealet alltid er 2 bare fra grafisk avlesning uten å vise beregningene for begge verdier.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekte tangenter eller akseskjæringer og en eksplisitt kommentar om konstant areal.
Del 2 · Oppgave 4 · Alternativ II dDerivasjon · generell tangent
Oppgave 4, alternativ II d
Oppgave: Vi skal nå studere størrelsen av arealet av \(\triangle OAB\) analytisk. Bestem \(f^{\prime}(x)\). Finn likningen for tangenten til funksjonen \(f\) i punktet \((a,f(a))\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere \(f(x)=x^{-1}\) og bruke ettpunktsformelen for en tangent ved den generelle \(x\)-verdien \(a>0\).
Produktet av katetene er 4, så trekantarealet er 2.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, Rational, simplify
x, a = symbols('x a', positive=True)
y = -x/a**2 + 2/a
x_intercept = simplify(2*a)
y_intercept = simplify(2/a)
area = simplify(Rational(1,2)*x_intercept*y_intercept)
print("Tangent:", y)
print("A =", (x_intercept, 0))
print("B =", (0, y_intercept))
print("Areal =", area)
Utskrift:
Tangent: 2/a - x/a**2
A = (2*a, 0)
B = (0, 2/a)
Areal = 2
Fasit: \(A=(2a,0)\), \(B=(0,2/a)\), og arealet er alltid \(2\).
Vanlig feil: Å glemme forutsetningen \(a>0\), som sikrer at lengdene er positive og at tangentpunktet ligger på den oppgitte grafgrenen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge akseskjæringene, korrekt areal og en generell konklusjon for alle \(a>0\).
Oppgave 5 - figur og opplysninger: Bildet viser to baller som ligger inntil hverandre. Ballene har radiene \(R\) og \(r\). Berøringspunktene mellom ballene og bordet er \(A\) og \(B\), og berøringspunktet mellom ballene er \(C\). Sentrene er \(M\) og \(N\).En nøyaktig modell for tilfellet R=4 og r=1.
Del 2 · Oppgave 5aSirkelgeometri · vinkler
Oppgave 5a
Oppgave: Forklar at \(\angle BAM=\angle NBA=90^{\circ}\), og at \(\angle MNB=180^{\circ}-\angle AMC\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at radiusen står vinkelrett på en tangent i berøringspunktet, at \(AM\) og \(BN\) derfor er parallelle, og at sentrene og berøringspunktet \(C\) ligger på samme linje.
Steg 1 — Bruk tangent-radius-setningen ved \(A\)
Bordlinjen \(AB\) er tangent til den store sirkelen i \(A\). Radiusen \(AM\) står derfor vinkelrett på \(AB\).
Steg 2 — Konkluder første vinkel
\[\angle BAM=90^{\circ}.\]
Steg 3 — Bruk tangent-radius-setningen ved \(B\)
Bordlinjen \(BA\) er tangent til den lille sirkelen i \(B\). Radiusen \(BN\) står derfor vinkelrett på \(BA\).
Steg 4 — Konkluder andre vinkel
\[\angle NBA=90^{\circ}.\]
Steg 5 — Bruk kollineariteten
Når to sirkler berører hverandre utvendig, ligger sentrene \(M,N\) og berøringspunktet \(C\) på samme linje.
Steg 6 — Sammenlign retningene
Linjestykkene \(AM\) og \(BN\) er parallelle siden begge er vinkelrette på \(AB\). Strålene \(MC\) og \(NM\) ligger langs samme senterlinje, men peker i motsatte retninger i de aktuelle vinklene.
Steg 7 — Konkluder supplementvinkler
Derfor er vinklene supplementvinkler: \[\angle MNB=180^{\circ}-\angle AMC.\]
Fasit: \(\angle BAM=\angle NBA=90^{\circ}\) og \(\angle MNB=180^{\circ}-\angle AMC\).
Vanlig feil: Å hevde vinkelrelasjonen uten å nevne både parallelliteten \(AM\parallel BN\) og at \(M,C,N\) er kollineære.
Sensorpunkt: Sensor ser etter tangent-radius-setningen og en eksplisitt geometrisk begrunnelse for supplementvinklene.
Del 2 · Oppgave 5bPythagoras · tangent-sirkler
Oppgave 5b
Oppgave: Vis at \(AB=2\sqrt{Rr}\). (Tips: Bruk Pythagoras’ setning.)
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi danner en rettvinklet trekant med hypotenus \(MN\), horisontal katet \(AB\) og vertikal katet \(R-r\). Avstanden mellom sentrene er \(R+r\) fordi sirklene berører hverandre utvendig.
Steg 1 — Finn senteravstanden
Sirklene berører hverandre utvendig, så \[MN=MC+CN=R+r.\]
Steg 2 — Finn høydeforskjellen
Senteret \(M\) ligger \(R\) over bordet, mens \(N\) ligger \(r\) over bordet. Den vertikale forskjellen er derfor \(R-r\).
Steg 3 — Identifiser den horisontale forskjellen
Den horisontale avstanden mellom loddlinjene gjennom sentrene er akkurat \(AB\).
Steg 4 — Bruk Pythagoras
\[AB^2+(R-r)^2=(R+r)^2.\]
Steg 5 — Isoler \(AB^2\)
\[AB^2=(R+r)^2-(R-r)^2.\]
Steg 6 — Utvid kvadratene
\[AB^2=(R^2+2Rr+r^2)-(R^2-2Rr+r^2).\]
Steg 7 — Forenkle
\[AB^2=4Rr.\]
Steg 8 — Ta positiv kvadratrot
Siden \(AB\) er en lengde, \[AB=\sqrt{4Rr}=2\sqrt{Rr}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:Simplify(sqrt((R+r)^2-(R-r)^2))
Resultat: \(2\sqrt{Rr}\)
CAS bekrefter differansen av kvadratene.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, expand, factor, sqrt, simplify
R, r, AB = symbols('R r AB', positive=True)
identity = expand((R+r)**2 - (R-r)**2)
print("(R+r)^2 - (R-r)^2 =", factor(identity))
print("Dermed AB^2 =", identity)
print("Positiv lengde AB =", sqrt(identity))
print("Forenklet AB =", simplify(sqrt(identity)))
Utskrift:
(R+r)^2 - (R-r)^2 = 4*R*r
Dermed AB^2 = 4*R*r
Positiv lengde AB = 2*sqrt(R)*sqrt(r)
Forenklet AB = 2*sqrt(R)*sqrt(r)
Fasit: \(AB=2\sqrt{Rr}\).
Vanlig feil: Å bruke \(MN=R-r\). Ved utvendig berøring er avstanden mellom sentrene summen \(R+r\).
Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig rettvinklet trekant, riktig senteravstand og positiv rot i konklusjonen.
Del 2 · Oppgave 5cGeometrisk bevis · isosceles trekanter
Oppgave 5c
Oppgave: Vi setter \(\angle AMC=v\), \(\angle BCN=u\) og \(\angle ACM=w\). Vis at \(u+w=90^{\circ}\), og at \(\angle ACB=90^{\circ}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at \(AM=MC=R\) og \(BN=CN=r\), slik at to trekanter er likebeinte. Deretter kombinerer vi vinkelrelasjonene fra del a) og deler vinkelen \(ACB\).
Steg 1 — Bruk den store sirkelens radier
\(AM=MC=R\), så trekant \(AMC\) er likebeint med grunnvinkler \(\angle MAC=\angle ACM=w\).
Steg 2 — Lag første vinkellikning
Vinkelsummen i \(\triangle AMC\) gir \[v+w+w=180^{\circ}\Rightarrow v+2w=180^{\circ}.\]
Steg 3 — Bruk den lille sirkelens radier
\(BN=CN=r\), så trekant \(BCN\) er likebeint med grunnvinkler \(\angle NBC=\angle BCN=u\).
Steg 4 — Finn toppvinkelen i den lille trekanten
Vinkelsummen gir \[\angle BNC=180^{\circ}-2u.\]
Steg 5 — Koble til del a)
Siden \(M,C,N\) ligger på samme linje, er \(\angle BNC=\angle MNB\). Fra a) er denne \(180^{\circ}-v\).
Steg 6 — Sammenlign uttrykkene
\[180^{\circ}-2u=180^{\circ}-v\Rightarrow v=2u.\]
Steg 7 — Sett inn i første likning
\[2u+2w=180^{\circ}.\]
Steg 8 — Del på 2
\[u+w=90^{\circ}.\]
Steg 9 — Finn \(\angle ACB\)
Siden \(\angle BAM=90^{\circ}\) og \(\angle MAC=w\), er \(\angle BAC=90^{\circ}-w\). Tilsvarende gir \(\angle NBA=90^{\circ}\) og \(\angle NBC=u\) at \(\angle ABC=90^{\circ}-u\). Vinkelsummen i \(\triangle ABC\) blir derfor \[\angle ACB=180^{\circ}-(90^{\circ}-w)-(90^{\circ}-u)=u+w=90^{\circ}.\]
Python-kontroll med SymPy
from sympy import symbols, solve, simplify
u, v, w = symbols('u v w')
# Isosceles triangles give v + 2w = 180 and v = 2u.
solution = solve([v + 2*w - 180, v - 2*u], [v, w], dict=True)[0]
print("Fra v + 2w = 180 og v = 2u får vi:")
print(solution)
print("u + w =", simplify(u + solution[w]))
print("Dermed vinkel ACB = u + w = 90 grader")
Utskrift:
Fra v + 2w = 180 og v = 2u får vi:
{v: 2*u, w: 90 - u}
u + w = 90
Dermed vinkel ACB = u + w = 90 grader
Fasit: \(u+w=90^{\circ}\), og dermed \(\angle ACB=90^{\circ}\).
Vanlig feil: Å anta direkte at \(CM\) halverer \(\angle ACB\). Det er ikke gitt; forholdet må bevises via de to likebeinte trekantene.
Sensorpunkt: Sensor ser etter begge radiuslikhetene, likningene \(v+2w=180^{\circ}\) og \(v=2u\), samt en eksplisitt oppdeling av \(\angle ACB\).
Del 2 · Oppgave 5dEksakt lengde
Oppgave 5d
Oppgave: I resten av oppgaven ser vi på to andre sirkler med \(R=4\text{ cm}\) og \(r=1\text{ cm}\). Bruk b) til å finne lengden av \(AB\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette de oppgitte radiene inn i formelen fra b) og forenkle den positive kvadratroten.
Steg 1 — Skriv formelen
\[AB=2\sqrt{Rr}.\]
Steg 2 — Sett inn radiene
\[AB=2\sqrt{4\cdot1}.\]
Steg 3 — Regn produktet
\[AB=2\sqrt4.\]
Steg 4 — Ta kvadratroten
\[\sqrt4=2.\]
Steg 5 — Regn ferdig med benevning
\[AB=2\cdot2=4\text{ cm}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
Kommando:2*sqrt(4*1)
Resultat: \(4\)
Resultatet er en lengde på 4 cm.
Python-kontroll med SymPy
from sympy import sqrt
R = 4
r = 1
AB = 2*sqrt(R*r)
print("R =", R, "cm")
print("r =", r, "cm")
print("AB = 2*sqrt(R*r) =", AB, "cm")
Utskrift:
R = 4 cm
r = 1 cm
AB = 2*sqrt(R*r) = 4 cm
Fasit: \(AB=4\text{ cm}\).
Vanlig feil: Å svare 4 uten benevning, eller å bruke \(R+r=5\) som den horisontale avstanden.
Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt innsetting i den beviste formelen og benevningen centimeter.
Del 2 · Oppgave 5eKonstruksjon med passer og linjal
Oppgave 5e
Oppgave: Konstruer med passer og linjal figur 1 med \(R=4\text{ cm}\) og \(r=1\text{ cm}\). Skriv en forklaring til konstruksjonen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive en klassisk konstruksjon der bordlinjen, berøringspunktene og sentrene bestemmes først. Deretter tegnes sirklene med de oppgitte radiene.
Steg 1 — Tegn bordlinjen
Tegn en rett linje \(\ell\). Velg et punkt \(A\) på linjen.
Steg 2 — Konstruer \(B\)
Bruk passeråpning \(4\text{ cm}\), som er lengden \(AB\) fra d), og avsett punktet \(B\) på \(\ell\) slik at \(AB=4\text{ cm}\).
Steg 3 — Reis en normal i \(A\)
Konstruer en linje gjennom \(A\) vinkelrett på \(\ell\). Avsett \(AM=4\text{ cm}\) over bordlinjen.
Steg 4 — Reis en normal i \(B\)
Konstruer en linje gjennom \(B\) vinkelrett på \(\ell\). Avsett \(BN=1\text{ cm}\) over bordlinjen.
Steg 5 — Kontroller senteravstanden
Pythagoras gir \[MN=\sqrt{AB^2+(R-r)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ cm}=R+r.\] Derfor vil sirklene berøre hverandre utvendig.
Steg 6 — Tegn den store sirkelen
Slå en sirkel med sentrum \(M\) og radius \(4\text{ cm}\). Den tangerer \(\ell\) i \(A\).
Steg 7 — Tegn den lille sirkelen
Slå en sirkel med sentrum \(N\) og radius \(1\text{ cm}\). Den tangerer \(\ell\) i \(B\).
Steg 8 — Marker \(C\)
De to sirklene har ett felles punkt fordi \(MN=R+r\). Marker dette berøringspunktet som \(C\), som ligger på linjen \(MN\).
Fasit: Konstruksjonen består av \(AB=4\text{ cm}\), normalene med \(AM=4\text{ cm}\) og \(BN=1\text{ cm}\), og sirkler med sentre \(M,N\).
Vanlig feil: Å plassere sentrene direkte på bordlinjen. Sentrene skal ligge henholdsvis 4 cm og 1 cm over linjen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter en gjennomførbar passer-og-linjal-prosedyre, riktig rekkefølge og en kontroll av at sirklene faktisk tangerer hverandre.
Del 2 · Oppgave 5fThales’ setning
Oppgave 5f
Oppgave: Slå en halvsirkel med \(AB\) som diameter. Forklar hvorfor denne halvsirkelen går gjennom \(C\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke resultatet fra c) sammen med den omvendte formen av Thales’ setning: et punkt ligger på sirkelen med diameter \(AB\) når vinkelen \(ACB\) er rett.
Steg 1 — Bruk resultatet fra c)
Vi har bevist at \[\angle ACB=90^{\circ}.\]
Steg 2 — Formuler Thales’ setning
Alle punkter på en sirkel med diameter \(AB\) danner en rett vinkel mot endepunktene \(A\) og \(B\).
Steg 3 — Bruk den omvendte retningen
Omvendt: Dersom \(\angle ACB=90^{\circ}\), ligger \(C\) på sirkelen som har \(AB\) som diameter.
Steg 4 — Koble til halvsirkelen
Punktet \(C\) ligger over bordlinjen \(AB\), altså på den øvre halvdelen av denne sirkelen.
Steg 5 — Konkluder
Derfor går halvsirkelen med diameter \(AB\) gjennom \(C\).
Steg 6 — Geometrisk kontroll
I tilfellet \(AB=4\text{ cm}\) har halvsirkelen radius \(2\text{ cm}\), og den tidligere konstruksjonen plasserer \(C\) nøyaktig på denne buen.
Fasit: Halvsirkelen går gjennom \(C\) fordi \(\angle ACB=90^{\circ}\) (Thales’ setning).
Vanlig feil: Å vise bare at \(C\) ligger «omtrent» på buen i en tegning. Begrunnelsen må bygge på den rette vinkelen.
Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt bruk av Thales’ setning eller dens omvendte form og kobling til resultatet i c).
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
