Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt der den ene faktoren også krever kjerneregelen. Vi bruker produktregelen på hele uttrykket og kjerneregelen på \(e^{2x}\).

Steg 1 — Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=e^{2x}\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\] Begge leddene må tas med.

Steg 3 — Deriver den første faktoren

Potensregelen gir \[u^{\prime}(x)=2x.\]

Steg 4 — Deriver eksponentialfaktoren

Kjernen er \(2x\), med derivert \(2\). Derfor får vi \[v^{\prime}(x)=2e^{2x}.\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[f^{\prime}(x)=2x\,e^{2x}+x^2\cdot2e^{2x}.\]

Steg 6 — Trekk ut felles faktor

Begge leddene inneholder \(2xe^{2x}\): \[f^{\prime}(x)=2xe^{2x}(1+x)=2x(x+1)e^{2x}.\]

Steg 7 — Kontroller strukturen

Svaret inneholder både leddet fra den deriverte av \(x^2\) og leddet fra den deriverte av \(e^{2x}\), slik produktregelen krever.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = x**2 * exp(2*x)
f_derivert = factor(diff(f, x))

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Utvidet kontroll =", simplify(diff(f, x) - 2*x*(x + 1)*exp(2*x)))

Utskrift fra Python:
f(x) = x**2*exp(2*x)
f'(x) = 2*x*(x + 1)*exp(2*x)
Utvidet kontroll = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=2x(x+1)e^{2x}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stasjonære punkter ved å løse \(g^{\prime}(x)=0\), og deretter bruke fortegnsskifte og andrederivert til å klassifisere punktene.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[g^{\prime}(x)=4x^3-12x^2.\]

Steg 2 — Faktoriser den deriverte

\[g^{\prime}(x)=4x^2(x-3).\] Faktorformen viser nullpunktene og gjør fortegnsanalysen enklere.

Steg 3 — Finn de stasjonære x-verdiene

\[4x^2(x-3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{eller}\ x=3.\] Nullpunktet \(x=0\) har multiplisitet 2.

Steg 4 — Analyser fortegnet til \(g^{\prime}\)

Faktoren \(4x^2\) er ikke-negativ. Derfor bestemmes fortegnet, bortsett fra i \(x=0\), av \(x-3\). Den deriverte er negativ på begge sider av \(x=0\), negativ for \(0<x<3\), og positiv for \(x>3\).

Steg 5 — Klassifiser punktet ved x lik 3

Fortegnet går fra minus til pluss ved \(x=3\). Grafen går derfor fra å avta til å vokse, så punktet er et bunnpunkt. \[g(3)=3^4-4\cdot3^3=81-108=-27.\]

Steg 6 — Undersøk punktet ved x lik 0

Det er ikke fortegnsskifte i \(g^{\prime}\) ved \(x=0\), så punktet er verken topp eller bunn. Andrederiverten er \[g^{\prime\prime}(x)=12x(x-2),\] som skifter fortegn ved \(x=0\). Punktet er derfor et terrassepunkt.

Steg 7 — Finn koordinaten til terrassepunktet

\[g(0)=0.\] Terrassepunktet er dermed \((0,0)\). Det finnes ikke noe toppunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve

x = symbols('x', real=True)
g = x**4 - 4*x**3
g1 = factor(diff(g, x))
g2 = factor(diff(g, x, 2))
kritiske = solve(g1, x)

print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g1)
print("g''(x) =", g2)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("x =", verdi, ", g(x) =", g.subs(x, verdi), ", g''(x) =", g2.subs(x, verdi))
print("Fortegn g' ved x=-1, 1 og 4:", [g1.subs(x, t) for t in (-1, 1, 4)])

Utskrift fra Python:
g(x) = x**4 - 4*x**3
g'(x) = 4*x**2*(x - 3)
g''(x) = 12*x*(x - 2)
Kritiske x-verdier: [0, 3]
x = 0 , g(x) = 0 , g''(x) = 0
x = 3 , g(x) = -27 , g''(x) = 36
Fortegn g' ved x=-1, 1 og 4: [-16, -8, 64]

Fasit: Terrassepunkt \((0,0)\), bunnpunkt \((3,-27)\), og ingen toppunkt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor krumningen skifter ved hjelp av andrederiverten. Deretter kombinerer vi dette med resultatene fra forrige del for å tegne en presis skisse.

Steg 1 — Finn andrederiverten

Fra \(g^{\prime}(x)=4x^3-12x^2\) får vi \[g^{\prime\prime}(x)=12x^2-24x.\]

Steg 2 — Faktoriser

\[g^{\prime\prime}(x)=12x(x-2).\]

Steg 3 — Finn kandidatene

\[12x(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{eller}\ x=2.\]

Steg 4 — Undersøk fortegnsskifte

For \(x<0\) er begge faktorene negative, så \(g^{\prime\prime}>0\). For \(0<x<2\) er produktet negativt. For \(x>2\) er produktet positivt. Krumningen skifter derfor ved begge kandidatene.

Steg 5 — Finn koordinatene

\[g(0)=0,\qquad g(2)=2^4-4\cdot2^3=16-32=-16.\]

Steg 6 — Samle nøkkelinformasjonen

Grafen har vendepunktene \((0,0)\) og \((2,-16)\), terrassepunkt i \((0,0)\), og bunnpunkt i \((3,-27)\). Den avtar fram til \(x=3\) og vokser deretter.

Steg 7 — Kontroller endeadferden

Fordi leddet \(x^4\) dominerer for store \(|x|\), går \(g(x)\) mot \(+\infty\) både mot venstre og mot høyre. Dette bestemmer grafens ytterender.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve

x = symbols('x', real=True)
g = x**4 - 4*x**3
g2 = factor(diff(g, x, 2))
vendekandidater = solve(g2, x)

print("g''(x) =", g2)
print("Kandidater fra g''(x)=0:", vendekandidater)
for verdi in vendekandidater:
    print("x =", verdi, ", g(x) =", g.subs(x, verdi))
print("Fortegn g'' ved x=-1, 1 og 3:", [g2.subs(x, t) for t in (-1, 1, 3)])

Utskrift fra Python:
g''(x) = 12*x*(x - 2)
Kandidater fra g''(x)=0: [0, 2]
x = 0 , g(x) = 0
x = 2 , g(x) = -16
Fortegn g'' ved x=-1, 1 og 3: [36, -12, 36]

Fasit: Vendepunktene er \((0,0)\) og \((2,-16)\). Grafen er vist i figuren.

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere nevnerne, håndtere fortegnet i \(4-2x\), finne fellesnevner og samle uttrykket uten å miste definisjonskravene.

Steg 1 — Faktoriser første nevner

\[x^2-4=(x-2)(x+2).\]

Steg 2 — Skriv om den andre nevneren

\[4-2x=2(2-x)=-2(x-2).\] Dermed er \[\frac{2}{4-2x}=-\frac{1}{x-2}.\]

Steg 3 — Sett dette inn i hele uttrykket

Fordi det står minus foran den andre brøken, får vi \[\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+2)}-\left(-\frac{1}{x-2}\right).\]

Steg 4 — Finn fellesnevner

Utvid \(1/(x-2)\) med \(x+2\): \[\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+2)}+\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}.\]

Steg 5 — Samle tellerne

\[x(x+1)+(x+2)=x^2+x+x+2=x^2+2x+2.\]

Steg 6 — Skriv sluttsvaret

\[\frac{x^2+2x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2+2x+2}{x^2-4}.\] Telleren kan ikke faktoriseres over de reelle tallene fordi diskriminanten er \(4-8=-4\).

Steg 7 — Behold definisjonskravene

Det opprinnelige uttrykket er ikke definert for \(x=2\) eller \(x=-2\). Disse verdiene må fortsatt utelukkes.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, simplify, factor, together

x = symbols('x')
uttrykk = (x**2 + x)/(x**2 - 4) - 2/(4 - 2*x)
forenklet = factor(together(uttrykk))

print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Samlet og forenklet:", forenklet)
print("Differansen mellom uttrykkene:", simplify(uttrykk - (x**2 + 2*x + 2)/(x**2 - 4)))
print("Opprinnelig definisjonskrav: x != -2 og x != 2")

Utskrift fra Python:
Opprinnelig uttrykk: (x**2 + x)/(x**2 - 4) - 2/(4 - 2*x)
Samlet og forenklet: (x**2 + 2*x + 2)/((x - 2)*(x + 2))
Differansen mellom uttrykkene: 0
Opprinnelig definisjonskrav: x != -2 og x != 2

Fasit: \(\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{x^2-4}\), der \(x\neq-2\) og \(x\neq2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal først kontrollere den oppgitte roten, faktorisere tredjegradspolynomet fullstendig og deretter bruke et fortegnsskjema til å løse ulikheten.

Steg 1 — Kontroller den oppgitte løsningen

Sett \(x=1\): \[1^3+2\cdot1^2-1-2=1+2-1-2=0.\] Dermed er \(x=1\) en løsning, og \(x-1\) er en faktor.

Steg 2 — Faktoriser ved gruppering

\[x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-1(x+2).\]

Steg 3 — Trekk ut felles faktor

\[x^2(x+2)-1(x+2)=(x+2)(x^2-1).\]

Steg 4 — Bruk konjugatsetningen

\[x^2-1=(x-1)(x+1).\] Derfor er \[x^3+2x^2-x-2=(x+2)(x+1)(x-1).\]

Steg 5 — Finn nullpunktene

Faktorene gir nullpunktene \(x=-2\), \(x=-1\) og \(x=1\). De deler tallinjen i fire intervaller.

Steg 6 — Bestem fortegnet på hvert intervall

Med testverdiene \(-3\), \(-3/2\), \(0\) og \(2\) får produktet henholdsvis fortegn minus, pluss, minus og pluss.

Steg 7 — Ta med likhetstegnene

Ulikheten er \(\leq0\), så intervallene med negativt fortegn og alle nullpunktene tas med: \[x\leq-2\quad\text{eller}\quad -1\leq x\leq1.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality, S

x = symbols('x', real=True)
p = x**3 + 2*x**2 - x - 2
faktorisert = factor(p)
losningsmengde = solve_univariate_inequality(p <= 0, x, relational=False)

print("p(1) =", p.subs(x, 1))
print("Faktorisert polynom:", faktorisert)
print("Nullpunkter: -2, -1 og 1")
print("Løsningsmengde:", losningsmengde)
for test in (-3, -1.5, 0, 2):
    print("p(", test, ") =", p.subs(x, test))

Utskrift fra Python:
p(1) = 0
Faktorisert polynom: (x - 1)*(x + 1)*(x + 2)
Nullpunkter: -2, -1 og 1
Løsningsmengde: Union(Interval(-oo, -2), Interval(-1, 1))
p( -3 ) = -8
p( -1.5 ) = 0.625000000000000
p( 0 ) = -2
p( 2 ) = 12

Fasit: \(x\in(-\infty,-2]\cup[-1,1]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere begge koordinatfunksjonene komponentvis. Den første deriverte gir fart, og den andre deriverte gir akselerasjon.

Steg 1 — Skriv komponentene

\[x(t)=t^2+2t,\qquad y(t)=\frac12t^2.\]

Steg 2 — Deriver x-komponenten

\[x^{\prime}(t)=2t+2.\]

Steg 3 — Deriver y-komponenten

\[y^{\prime}(t)=t.\]

Steg 4 — Sett sammen fartsvektoren

\[\vec v(t)=\vec r^{\prime}(t)=[2t+2,t].\]

Steg 5 — Deriver fartens første komponent

\[(2t+2)^{\prime}=2.\]

Steg 6 — Deriver fartens andre komponent

\[t^{\prime}=1.\]

Steg 7 — Sett sammen akselerasjonsvektoren

\[\vec a(t)=\vec v^{\prime}(t)=[2,1].\] Akselerasjonen er konstant.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, diff

t = symbols('t', real=True)
r = Matrix([t**2 + 2*t, t**2/2])
v = r.diff(t)
a = v.diff(t)

print("r(t) =", r.T)
print("v(t) = r'(t) =", v.T)
print("a(t) = v'(t) =", a.T)

Utskrift fra Python:
r(t) = Matrix([[t**2 + 2*t, t**2/2]])
v(t) = r'(t) = Matrix([[2*t + 2, t]])
a(t) = v'(t) = Matrix([[2, 1]])

Fasit: \(\vec v(t)=[2t+2,t]\) og \(\vec a(t)=[2,1]\).

Hva spør oppgaven om? To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er null. Vi setter derfor \(\vec v(t)\cdot\vec a(t)=0\) og løser likningen.

Steg 1 — Bruk vektorene fra forrige del

\[\vec v(t)=[2t+2,t],\qquad \vec a(t)=[2,1].\]

Steg 2 — Skriv ortogonalitetskravet

\[\vec v(t)\perp\vec a(t)\quad\Longleftrightarrow\quad \vec v(t)\cdot\vec a(t)=0.\]

Steg 3 — Regn ut skalarproduktet

\[(2t+2)\cdot2+t\cdot1=4t+4+t.\]

Steg 4 — Samle ledd

\[\vec v(t)\cdot\vec a(t)=5t+4.\]

Steg 5 — Løs likningen

\[5t+4=0\quad\Longrightarrow\quad 5t=-4\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac45.\]

Steg 6 — Kontroller direkte

Ved \(t=-4/5\) er \(\vec v=[2/5,-4/5]\). Da blir \[[2/5,-4/5]\cdot[2,1]=4/5-4/5=0.\]

Steg 7 — Tolk svaret

Som ren matematisk vektorfunksjon finnes løsningen \(t=-4/5\). Dersom en fysisk modell i tillegg krever \(t\geq0\), finnes ingen tillatt positiv tid.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Matrix, solve, Eq, simplify

t = symbols('t', real=True)
v = Matrix([2*t + 2, t])
a = Matrix([2, 1])
skalarprodukt = simplify(v.dot(a))
losning = solve(Eq(skalarprodukt, 0), t)

print("v(t) =", v.T)
print("a(t) =", a.T)
print("v(t) dot a(t) =", skalarprodukt)
print("Løsning av skalarprodukt = 0:", losning)
for verdi in losning:
    print("Kontroll ved t =", verdi, ":", skalarprodukt.subs(t, verdi))

Utskrift fra Python:
v(t) = Matrix([[2*t + 2, t]])
a(t) = Matrix([[2, 1]])
v(t) dot a(t) = 5*t + 4
Løsning av skalarprodukt = 0: [-4/5]
Kontroll ved t = -4/5 : 0

Fasit: Vektorene er vinkelrette når \(t=-\frac45\). Ved et eventuelt krav \(t\geq0\) finnes ingen tillatt tid.

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge et nytt toppunkt på sirkelbuen som ligger på motsatt side av buen \(AB\), og trekke korder fra dette punktet til \(A\) og \(B\).

Steg 1 — Finn kravene til en periferivinkel

Toppunktet må ligge på sirkelen, og vinkelbeina må være korder som ender i \(A\) og \(B\).

Steg 2 — Velg et punkt på motsatt bue

Punktet \(Q\) ligger på den delen av sirkelen som er motsatt den lille buen \(AB\).

Steg 3 — Trekk første korde

Trekk linjestykket \(QA\).

Steg 4 — Trekk andre korde

Trekk linjestykket \(QB\).

Steg 5 — Navngi vinkelen

De to kordene danner periferivinkelen \(\angle AQB\).

Steg 6 — Kontroller hvilken bue den spenner over

Vinkelbeina ender i \(A\) og \(B\), så vinkelen spenner over den samme buen \(AB\).

Fasit: Et gyldig eksempel er \(\angle AQB\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at alle radier i samme sirkel er like lange. Dermed har hver av trekantene to like lange sider.

Steg 1 — Identifiser sentrum

Punktet \(O\) er sentrum i sirkelen.

Steg 2 — Identifiser radiusene i den første trekanten

Både \(OP\) og \(OA\) går fra sentrum til et punkt på sirkelen. Derfor er begge radier.

Steg 3 — Sammenlign lengdene

Alle radier i samme sirkel er like, så \[OP=OA.\]

Steg 4 — Konkluder for den første trekanten

En trekant med to like sider er likebeint. Dermed er \(\triangle POA\) likebeint.

Steg 5 — Gjenta for den andre trekanten

Både \(OP\) og \(OB\) er radier, og derfor er \[OP=OB.\]

Steg 6 — Avslutt bevissteget

Dermed er også \(\triangle POB\) likebeint. Dette gir like grunnvinkler i hver trekant.

Fasit: \(\triangle POA\) er likebeint fordi \(OP=OA\), og \(\triangle POB\) er likebeint fordi \(OP=OB\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke de like grunnvinklene i de likebeinte trekantene og yttervinkelsetningen, siden \(OQ\) er forlengelsen av \(OP\).

Steg 1 — Se på trekant POB

Fordi \(OP=OB\), er grunnvinklene like: \[\angle BPO=\angle PBO.\]

Steg 2 — Identifiser yttervinkelen

Punktene \(P\), \(O\) og \(Q\) ligger på en rett linje. Derfor er \(\angle BOQ\) en yttervinkel til \(\triangle POB\) ved \(O\).

Steg 3 — Bruk yttervinkelsetningen

En yttervinkel er summen av de to motstående indre vinklene: \[\angle BOQ=\angle BPO+\angle PBO.\]

Steg 4 — Bruk at grunnvinklene er like

\[\angle BOQ=\angle BPO+\angle BPO=2\angle BPO.\]

Steg 5 — Se på trekant POA

Tilsvarende gir \(OP=OA\) at \[\angle APO=\angle PAO.\]

Steg 6 — Bruk yttervinkelsetningen på nytt

\(\angle AOQ\) er yttervinkel ved \(O\) i \(\triangle POA\): \[\angle AOQ=\angle APO+\angle PAO=2\angle APO.\]

Steg 7 — Konkluder

Begge likhetene følger altså av kombinasjonen likebeint trekant og yttervinkelsetningen.

Fasit: \(\angle BOQ=2\angle BPO\) og \(\angle AOQ=2\angle APO\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke sentralvinkelen \(\angle AOB\) og periferivinkelen \(\angle APB\) som differanser av vinkler som involverer diameteren \(PQ\), og deretter bruke resultatene fra c).

Steg 1 — Del sentralvinkelen ved strålen OQ

I figuren ligger \(OB\) mellom \(OA\) og \(OQ\). Derfor er \[\angle AOB=\angle AOQ-\angle BOQ.\]

Steg 2 — Sett inn resultatene fra c)

Fra c) har vi \(\angle AOQ=2\angle APO\) og \(\angle BOQ=2\angle BPO\). Dermed \[\angle AOB=2\angle APO-2\angle BPO.\]

Steg 3 — Trekk ut felles faktor

\[\angle AOB=2(\angle APO-\angle BPO).\]

Steg 4 — Del periferivinkelen ved strålen PO

I figuren ligger \(PB\) mellom \(PA\) og \(PO\). Derfor er \[\angle APB=\angle APO-\angle BPO.\]

Steg 5 — Kombiner uttrykkene

Siden parentesen i uttrykket for \(\angle AOB\) er lik \(\angle APB\), får vi \[\angle AOB=2\angle APB.\]

Steg 6 — Isoler periferivinkelen

Del begge sider på 2: \[\angle APB=\frac12\angle AOB.\]

Steg 7 — Konklusjon

Periferivinkelen som spenner over buen \(AB\), er altså halvparten av sentralvinkelen som spenner over den samme buen. Setningen er bevist for konfigurasjonen i figuren.

Fasit: \(\angle APB=\frac12\angle AOB\). Dermed er periferivinkelsetningen bevist.

Hva spør oppgaven om? Et lag med like mange gutter og jenter må bestå av 3 gutter og 3 jenter. Vi teller gunstige lag og deler på antall mulige lag.

Steg 1 — Bestem sammensetningen

Siden laget har 6 elever, betyr like mange gutter og jenter nøyaktig 3 gutter og 3 jenter.

Steg 2 — Tell valg av gutter

Antall måter å velge 3 av 9 gutter på er \[\binom93=84.\]

Steg 3 — Tell valg av jenter

Antall måter å velge 3 av 14 jenter på er \[\binom{14}3=364.\]

Steg 4 — Bruk produktregelen

For hvert guttevalg kan vi kombinere et hvilket som helst jentevalg. Antall gunstige lag er derfor \[\binom93\binom{14}3=84\cdot364=30\,576.\]

Steg 5 — Tell alle mulige lag

Alle 6-personerslag fra 23 elever er like sannsynlige: \[\binom{23}6=100\,947.\]

Steg 6 — Sett opp sannsynligheten

\[P=\frac{\binom93\binom{14}3}{\binom{23}6}=\frac{30\,576}{100\,947}.\]

Steg 7 — Forkort og tolk

Brøken forkortes til \[\frac{1456}{4807}\approx0{,}3029.\] Det tilsvarer omtrent \(30{,}3\,\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from math import comb
from fractions import Fraction

antall_gunstige = comb(9, 3) * comb(14, 3)
antall_mulige = comb(23, 6)
sannsynlighet = Fraction(antall_gunstige, antall_mulige)

print("C(9,3) =", comb(9, 3))
print("C(14,3) =", comb(14, 3))
print("Gunstige lag =", antall_gunstige)
print("C(23,6) =", antall_mulige)
print("Eksakt sannsynlighet =", sannsynlighet)
print("Desimaltall =", float(sannsynlighet))
print("Prosent =", float(sannsynlighet) * 100)

Utskrift fra Python:
C(9,3) = 84
C(14,3) = 364
Gunstige lag = 30576
C(23,6) = 100947
Eksakt sannsynlighet = 1456/4807
Desimaltall = 0.3028916163927606
Prosent = 30.289161639276056

Fasit: \(\displaystyle P=\frac{1456}{4807}\approx0{,}3029\), altså omtrent \(30{,}3\,\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke snittet av hendelsene og telle personene som oppfyller begge kravene samtidig.

Steg 1 — Tolk snittsymbolet

\(A\cap B\) betyr at både \(A\) og \(B\) skjer.

Steg 2 — Oversett til situasjonen

Personen må være gutt og samtidig spille volleyball.

Steg 3 — Finn antall gunstige personer

Oppgaven oppgir at 63 gutter spiller volleyball. Det er akkurat personene i \(A\cap B\).

Steg 4 — Finn antall mulige personer

Det trekkes blant alle 736 medlemmene.

Steg 5 — Sett opp sannsynligheten

\[P(A\cap B)=\frac{63}{736}.\]

Steg 6 — Kontroller om brøken kan forkortes

\(63=3^2\cdot7\), mens \(736=2^5\cdot23\). De har ingen felles faktor, så brøken er ferdig forkortet.

Steg 7 — Regn om til desimal

\[\frac{63}{736}\approx0{,}0856,\] altså omtrent \(8{,}56\,\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

antall_gutter_som_spiller = 63
antall_medlemmer = 736
p_snitt = Fraction(antall_gutter_som_spiller, antall_medlemmer)

print("Antall i A snitt B =", antall_gutter_som_spiller)
print("Totalt antall medlemmer =", antall_medlemmer)
print("P(A snitt B) =", p_snitt)
print("Desimaltall =", float(p_snitt))
print("Prosent =", float(p_snitt) * 100)

Utskrift fra Python:
Antall i A snitt B = 63
Totalt antall medlemmer = 736
P(A snitt B) = 63/736
Desimaltall = 0.08559782608695653
Prosent = 8.559782608695652

Fasit: \(P(A\cap B)=63/736\approx0{,}0856\). Det er sannsynligheten for at den valgte personen både er gutt og spiller volleyball.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den totale andelen volleyballspillere og andelen volleyballspillere blant guttene. Hendelsene er uavhengige bare dersom disse sannsynlighetene er like.

Steg 1 — Tell alle volleyballspillerne

Det er \(63+47=110\) volleyballspillere.

Steg 2 — Finn P av B

\[P(B)=\frac{110}{736}=\frac{55}{368}\approx0{,}1495.\]

Steg 3 — Tolk betingelsen A

Når vi vet at personen er gutt, reduseres utvalget fra 736 medlemmer til de 348 guttene.

Steg 4 — Tell gunstige blant guttene

Blant de 348 guttene spiller 63 volleyball.

Steg 5 — Finn den betingede sannsynligheten

\[P(B\mid A)=\frac{63}{348}=\frac{21}{116}\approx0{,}1810.\]

Steg 6 — Bruk kriteriet for uavhengighet

Hendelsene er uavhengige dersom \(P(B\mid A)=P(B)\), forutsatt at \(P(A)>0\).

Steg 7 — Sammenlign

\[\frac{21}{116}\neq\frac{55}{368}.\] Sannsynligheten for å spille volleyball endres når vi får vite at personen er gutt.

Steg 8 — Konkluder

Hendelsene \(A\) og \(B\) er derfor ikke uavhengige.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

p_B = Fraction(63 + 47, 736)
p_B_gitt_A = Fraction(63, 348)

print("P(B) =", p_B, "=", float(p_B))
print("P(B|A) =", p_B_gitt_A, "=", float(p_B_gitt_A))
print("Er sannsynlighetene like?", p_B == p_B_gitt_A)
print("Forskjell =", p_B_gitt_A - p_B)

Utskrift fra Python:
P(B) = 55/368 = 0.14945652173913043
P(B|A) = 21/116 = 0.1810344827586207
Er sannsynlighetene like? False
Forskjell = 337/10672

Fasit: \(P(B)=55/368\approx0{,}1495\), \(P(B\mid A)=21/116\approx0{,}1810\). Hendelsene er avhengige.

Hva spør oppgaven om? Trekkene skjer fra to adskilte grupper. Vi finner sannsynligheten for jente i spillergruppen og jente i ikke-spillergruppen, og multipliserer.

Steg 1 — Finn størrelsen på spillergruppen

Det er \(63+47=110\) volleyballspillere.

Steg 2 — Finn jenteandelen blant spillerne

Av spillerne er 47 jenter, så \[P(\text{jente blant spillere})=\frac{47}{110}.\]

Steg 3 — Finn størrelsen på ikke-spillergruppen

Det er \(736-110=626\) medlemmer som ikke spiller volleyball.

Steg 4 — Finn antall jenter som ikke spiller

Det er totalt 388 jenter, og 47 av dem spiller. Dermed er \[388-47=341\] jenter ikke-spillere.

Steg 5 — Finn jenteandelen blant ikke-spillerne

\[P(\text{jente blant ikke-spillere})=\frac{341}{626}.\]

Steg 6 — Bruk produktregelen

Trekket fra den ene gruppen endrer ikke den andre gruppen. Derfor \[P=\frac{47}{110}\cdot\frac{341}{626}.\]

Steg 7 — Regn ut og forkort

\[P=\frac{16027}{68860}=\frac{1457}{6260}\approx0{,}23275.\]

Steg 8 — Tolk

Sannsynligheten er omtrent \(23{,}3\,\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

jenter_som_spiller = 47
alle_spillere = 63 + 47
jenter_som_ikke_spiller = 388 - 47
alle_som_ikke_spiller = 736 - alle_spillere

p = Fraction(jenter_som_spiller, alle_spillere) * Fraction(jenter_som_ikke_spiller, alle_som_ikke_spiller)

print("Jenter blant spillere:", jenter_som_spiller, "/", alle_spillere)
print("Jenter blant ikke-spillere:", jenter_som_ikke_spiller, "/", alle_som_ikke_spiller)
print("Eksakt sannsynlighet =", p)
print("Desimaltall =", float(p))
print("Prosent =", float(p) * 100)

Utskrift fra Python:
Jenter blant spillere: 47 / 110
Jenter blant ikke-spillere: 341 / 626
Eksakt sannsynlighet = 1457/6260
Desimaltall = 0.2327476038338658
Prosent = 23.27476038338658

Fasit: \(\displaystyle P=1457/6260\approx0{,}2327\), altså omtrent \(23{,}3\,\%\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere teller og nevner. En felles faktor gir et hull ved \(x=-1\), mens en gjenværende null i nevneren gir en vertikal asymptote ved \(x=1\).

Steg 1 — Faktoriser telleren

Sum av kuber gir \[x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).\]

Steg 2 — Faktoriser nevneren

Konjugatsetningen gir \[x^2-1=(x+1)(x-1).\]

Steg 3 — Forkort for tillatte x-verdier

For \(x\neq-1\) kan vi forkorte \(x+1\): \[f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac1{x-1}.\] Punktet \(x=-1\) er fortsatt utelukket fra definisjonsmengden.

Steg 4 — Finn grenseverdien ved minus 1

Det forkortede uttrykket er kontinuerlig ved \(x=-1\): \[\lim_{x\to-1}f(x)=\frac{(-1)^2-(-1)+1}{-1-1}=\frac3{-2}=-\frac32.\] Grenseverdien eksisterer, men grafen har et hull i \((-1,-3/2)\).

Steg 5 — Undersøk grensen ved 1 fra venstre

I formen \(x+1/(x-1)\) går \(1/(x-1)\) mot \(-\infty\) når \(x\to1^-\). Derfor \[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty.\]

Steg 6 — Undersøk grensen ved 1 fra høyre

Når \(x\to1^+\), går \(1/(x-1)\) mot \(+\infty\): \[\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\] Den tosidige grenseverdien eksisterer derfor ikke.

Steg 7 — Identifiser asymptoten

Ved \(x=-1\) er faktoren fjernet og grenseverdien endelig, så det er bare et hull. Ved \(x=1\) divergerer funksjonen. Grafen har derfor nøyaktig én vertikal asymptote: \[x=1.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, factor, cancel, limit, oo

x = symbols('x', real=True)
f = (x**3 + 1)/(x**2 - 1)
f_forkortet = cancel(f)

print("Faktorisert teller:", factor(x**3 + 1))
print("Faktorisert nevner:", factor(x**2 - 1))
print("Forkortet uttrykk for x != -1 og x != 1:", f_forkortet)
print("Grense når x går mot -1:", limit(f, x, -1))
print("Venstregrense ved x=1:", limit(f, x, 1, dir='-'))
print("Høyregrense ved x=1:", limit(f, x, 1, dir='+'))

Utskrift fra Python:
Faktorisert teller: (x + 1)*(x**2 - x + 1)
Faktorisert nevner: (x - 1)*(x + 1)
Forkortet uttrykk for x != -1 og x != 1: (x**2 - x + 1)/(x - 1)
Grense når x går mot -1: -3/2
Venstregrense ved x=1: -oo
Høyregrense ved x=1: oo

Fasit: \(\lim_{x\to-1}f(x)=-3/2\). Den tosidige grensen ved \(x=1\) eksisterer ikke fordi venstregrensen er \(-\infty\) og høyregrensen er \(+\infty\). Vertikal asymptote: \(x=1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere den forkortede formen, løse \(f^{\prime}(x)=0\) og bruke fortegnsskifte for å klassifisere de stasjonære punktene.

Steg 1 — Bruk den enklere formen

Fra a) har vi, for \(x\neq-1,1\), \[f(x)=x+\frac1{x-1}=x+(x-1)^{-1}.\]

Steg 2 — Deriver ledd for ledd

\[f^{\prime}(x)=1-1\cdot(x-1)^{-2}\cdot1=1-\frac1{(x-1)^2}.\] Dette viser det oppgitte uttrykket.

Steg 3 — Skriv den deriverte som én brøk

\[f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.\]

Steg 4 — Finn stasjonære punkter

Nevneren er positiv der den er definert. \(f^{\prime}(x)=0\) når telleren er null: \[x(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{eller}\ x=2.\]

Steg 5 — Lag fortegnsskjema

Fortegnet bestemmes av \(x(x-2)\): positivt for \(x<0\), negativt for \(0<x<2\) med brudd i \(x=1\), og positivt for \(x>2\).

Steg 6 — Klassifiser x lik 0

Fortegnet går fra pluss til minus ved \(x=0\). Dermed er det et toppunkt. \[f(0)=\frac1{-1}=-1.\] Toppunktet er \((0,-1)\).

Steg 7 — Klassifiser x lik 2

Fortegnet går fra minus til pluss ved \(x=2\). Dermed er det et bunnpunkt. \[f(2)=\frac9{3}=3.\] Bunnpunktet er \((2,3)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve, simplify

x = symbols('x', real=True)
f = (x**3 + 1)/(x**2 - 1)
f1 = factor(diff(f, x))
kritiske = solve(f1, x)

print("f'(x) =", f1)
print("Kontroll mot 1 - 1/(x-1)^2:", simplify(f1 - (1 - 1/(x-1)**2)))
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("x =", verdi, ", f(x) =", simplify(f.subs(x, verdi)))
print("Fortegn f' ved x=-1/2, 1/2, 3/2 og 3:", [f1.subs(x, t) for t in (-0.5, 0.5, 1.5, 3)])

Utskrift fra Python:
f'(x) = x*(x - 2)/(x - 1)**2
Kontroll mot 1 - 1/(x-1)^2: 0
Kritiske x-verdier: [0, 2]
x = 0 , f(x) = -1
x = 2 , f(x) = 3
Fortegn f' ved x=-1/2, 1/2, 3/2 og 3: [0.555555555555556, -3.00000000000000, -3.00000000000000, 3/4]

Fasit: Toppunkt \((0,-1)\) og bunnpunkt \((2,3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere \(f^{\prime}(x)=1-(x-1)^{-2}\), og deretter lese fortegnet til andrederiverten på alle delene av definisjonsmengden.

Steg 1 — Skriv den deriverte med potens

\[f^{\prime}(x)=1-(x-1)^{-2}.\]

Steg 2 — Deriver konstantleddet

Den deriverte av 1 er 0.

Steg 3 — Bruk potens- og kjerneregel

\[\frac{d}{dx}\left[-(x-1)^{-2}\right]=-\left[-2(x-1)^{-3}\cdot1\right]=2(x-1)^{-3}.\]

Steg 4 — Skriv andrederiverten som brøk

\[f^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{(x-1)^3}.\]

Steg 5 — Analyser intervallet til venstre for 1

Når \(x<1\), er \((x-1)^3<0\), så \(f^{\prime\prime}(x)<0\). Grafen vender den hule siden ned. På grunn av hullet ved \(x=-1\) skrives dette som \(( -\infty,-1)\) og \((-1,1)\).

Steg 6 — Analyser intervallet til høyre for 1

Når \(x>1\), er \((x-1)^3>0\), så \(f^{\prime\prime}(x)>0\). Grafen vender den hule siden opp på \((1,\infty)\).

Steg 7 — Vurder vendepunkt

Krumningen skifter ved \(x=1\), men funksjonen er ikke definert der. Derfor er det ikke et vendepunkt på grafen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, diff, simplify

x = symbols('x', real=True)
f_forkortet = x + 1/(x - 1)
f2 = simplify(diff(f_forkortet, x, 2))

print("f''(x) =", f2)
for test in (-2, 0, 2):
    print("f''(", test, ") =", f2.subs(x, test))
print("Fortegn: negativt for x<1 og positivt for x>1")

Utskrift fra Python:
f''(x) = 2/(x - 1)**3
f''( -2 ) = -2/27
f''( 0 ) = -2
f''( 2 ) = 2
Fortegn: negativt for x<1 og positivt for x>1

Fasit: \(f^{\prime\prime}(x)=2/(x-1)^3\). Hul side ned på \(( -\infty,-1)\cup(-1,1)\), og hul side opp på \((1,\infty)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal samle all informasjonen fra a), b) og c): hull, vertikal og skrå asymptote, ekstremalpunkter, monotoni og konkavitet.

Steg 1 — Bruk den forkortede formen

Grafen følger \[y=x+\frac1{x-1}\] for alle tillatte \(x\), men punktet ved \(x=-1\) skal fjernes.

Steg 2 — Marker hullet

Grenseverdien ved \(x=-1\) er \(-3/2\). Tegn derfor en åpen sirkel i \((-1,-3/2)\).

Steg 3 — Tegn den vertikale asymptoten

Tegn den stiplede linjen \(x=1\). Venstre gren går mot \(-\infty\), og høyre gren går mot \(+\infty\).

Steg 4 — Finn den skrå asymptoten

\[f(x)-x=\frac1{x-1}\to0\quad\text{når}\quad x\to\pm\infty.\] Derfor er \(y=x\) en skrå asymptote.

Steg 5 — Marker ekstremalpunktene

Marker toppunktet \((0,-1)\) og bunnpunktet \((2,3)\).

Steg 6 — Bruk monotoni

Grafen vokser for \(x<0\), avtar fra \(0\) mot asymptoten, avtar fra høyre side av asymptoten til \(x=2\), og vokser for \(x>2\).

Steg 7 — Bruk konkaviteten

Venstre side av asymptoten er konkav ned, mens høyre side er konkav opp. Grafen nærmer seg \(y=x\) for store \(|x|\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Fasit: Grafen er vist med hull i \((-1,-3/2)\), vertikal asymptote \(x=1\), skrå asymptote \(y=x\), topp \((0,-1)\) og bunn \((2,3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi kan bruke kjerneregelen på \(g(x)=f(e^x)\). Fordi \(e^x>0\), blir fortegnet enkelt å analysere etter at vi setter inn uttrykket for \(f^{\prime}\).

Steg 1 — Bruk kjerneregelen

\[g^{\prime}(x)=f^{\prime}(e^x)\cdot e^x.\]

Steg 2 — Sett inn den deriverte av f

Fra b) er \(f^{\prime}(u)=1-1/(u-1)^2\). Dermed \[g^{\prime}(x)=e^x\left(1-\frac1{(e^x-1)^2}\right).\]

Steg 3 — Skriv som faktorisert brøk

\[1-\frac1{(e^x-1)^2}=\frac{(e^x-1)^2-1}{(e^x-1)^2}=\frac{e^x(e^x-2)}{(e^x-1)^2}.\] Derfor \[g^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}(e^x-2)}{(e^x-1)^2}.\]

Steg 4 — Finn kritiske x-verdier

Faktorene \(e^{2x}\) og nevneren er positive der \(x\neq0\). Dermed blir den deriverte null bare når \[e^x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=\ln2.\]

Steg 5 — Analyser fortegnet

For \(x<\ln2\), bortsett fra bruddet ved \(x=0\), er \(e^x-2<0\), så \(g^{\prime}<0\). For \(x>\ln2\) er \(g^{\prime}>0\).

Steg 6 — Klassifiser punktet

Den deriverte går fra minus til pluss ved \(x=\ln2\), så punktet er et bunnpunkt.

Steg 7 — Finn y-koordinaten

\[g(\ln2)=f(e^{\ln2})=f(2)=3.\]

Steg 8 — Konkluder om toppunkt

Det finnes ikke noe punkt der den deriverte går fra pluss til minus. Grafen har derfor ingen toppunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, solve, log, simplify

x = symbols('x', real=True)
g = (exp(3*x) + 1)/(exp(2*x) - 1)
g1 = factor(diff(g, x))
kritiske = solve(g1, x)

print("g'(x) =", g1)
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print("x =", verdi, ", g(x) =", simplify(g.subs(x, verdi)))
print("Fortegn g' ved x=-1, 1/2 og 1:", [g1.subs(x, t).evalf() for t in (-1, 0.5, 1)])

Utskrift fra Python:
g'(x) = (exp(x) - 2)*exp(2*x)/(exp(x) - 1)**2
Kritiske x-verdier: [log(2)]
x = log(2) , g(x) = 3
Fortegn g' ved x=-1, 1/2 og 1: [-0.552794153036350, -2.26897681833263, 1.79760823425125]

Fasit: Bunnpunkt \((\ln2,3)\). Ingen toppunkt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive funksjonsfamilien på toppunktsform. Da ser vi direkte hvordan parameteren \(c\) flytter grafen.

Steg 1 — Fullfør kvadratet

\[x^2+2x+c=(x+1)^2-1+c=(x+1)^2+(c-1).\]

Steg 2 — Finn symmetriaksen

Alle grafene har symmetriakse \[x=-1,\] fordi uttrykket \((x+1)^2\) er minst når \(x=-1\).

Steg 3 — Finn bunnpunktet generelt

Når \(x=-1\), er kvadratleddet 0. Bunnpunktet er derfor \[(-1,c-1).\]

Steg 4 — Beregn bunnpunktene

For \(c=-4,-2,0,2,4\) blir y-koordinatene henholdsvis \(-5,-3,-1,1,3\).

Steg 5 — Sammenlign formen

Koeffisienten foran \(x^2\) er alltid 1. Derfor har alle parablene samme bredde og åpner oppover.

Steg 6 — Beskriv parameterens virkning

Når \(c\) økes med 2, flyttes hele grafen 2 enheter opp. Parameteren \(c\) gir altså en ren vertikal forskyvning.

Steg 7 — Kontroller skjæringen med y-aksen

\[f(0)=c.\] Hver graf skjærer y-aksen i \((0,c)\), som også viser den vertikale forskyvningen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, expand

x, c = symbols('x c', real=True)
f = x**2 + 2*x + c
normalform = expand((x + 1)**2 + c - 1)

print("f(x) =", f)
print("Toppunktsform = (x + 1)^2 + c - 1")
print("Kontroll av identitet:", expand(f - normalform))
for verdi in (-4, -2, 0, 2, 4):
    print("c =", verdi, ": bunnpunkt = (-1,", verdi - 1, ")")

Utskrift fra Python:
f(x) = c + x**2 + 2*x
Toppunktsform = (x + 1)^2 + c - 1
Kontroll av identitet: 0
c = -4 : bunnpunkt = (-1, -5 )
c = -2 : bunnpunkt = (-1, -3 )
c = 0 : bunnpunkt = (-1, -1 )
c = 2 : bunnpunkt = (-1, 1 )
c = 4 : bunnpunkt = (-1, 3 )

Fasit: Alle grafene har samme form og symmetriakse \(x=-1\). De er vertikale forskyvninger med bunnpunkt \((-1,c-1)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke hvordan fortegnet og absoluttverdien til \(a\) påvirker åpning, bredde og plassering av ekstremalpunktet.

Steg 1 — Kontroller et felles punkt

For alle verdier av \(a\) er \[f(0)=1.\] Alle grafene går derfor gjennom \((0,1)\).

Steg 2 — Vurder fortegnet til a

Når \(a>0\), åpner parabelen oppover. Når \(a<0\), åpner den nedover. Når \(a=0\), forsvinner andregradsleddet og grafen blir linjen \(y=2x+1\).

Steg 3 — Finn symmetriaksen generelt

For \(a\neq0\) er \[x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2a}=-\frac1a.\]

Steg 4 — Finn y-koordinaten til ekstremalpunktet

\[f(-1/a)=a\frac1{a^2}-\frac2a+1=1-\frac1a.\] Ekstremalpunktet er \((-1/a,1-1/a)\).

Steg 5 — List punktene

For \(a=-4\) og \(-2\) får vi toppunktene \((1/4,5/4)\) og \((1/2,3/2)\). For \(a=2\) og \(4\) får vi bunnpunktene \((-1/2,1/2)\) og \((-1/4,3/4)\).

Steg 6 — Sammenlign bredden

Større \(|a|\) gir raskere vekst i \(|ax^2|\), og dermed en smalere og brattere parabel.

Steg 7 — Kommenter helheten

Parameteren \(a\) styrer både om grafen åpner opp eller ned, hvor bratt den er, og indirekte hvor symmetriaksen og ekstremalpunktet ligger fordi lineærleddet holdes fast.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

for a in (-4, -2, 0, 2, 4):
    if a == 0:
        print("a = 0: rett linje y = 2x + 1, ingen topp eller bunn")
    else:
        xv = Fraction(-1, a)
        yv = Fraction(1, 1) - Fraction(1, a)
        typepunkt = "topp" if a < 0 else "bunn"
        print("a =", a, ":", typepunkt, "= (", xv, ",", yv, ")")

Utskrift fra Python:
a = -4 : topp = ( 1/4 , 5/4 )
a = -2 : topp = ( 1/2 , 3/2 )
a = 0: rett linje y = 2x + 1, ingen topp eller bunn
a = 2 : bunn = ( -1/2 , 1/2 )
a = 4 : bunn = ( -1/4 , 3/4 )

Fasit: \(a>0\): oppovervendt parabel. \(a<0\): nedovervendt parabel. \(a=0\): linjen \(y=2x+1\). Alle går gjennom \((0,1)\), og større \(|a|\) gir smalere graf.

Hva spør oppgaven om? Vi skal fullføre kvadratet for å se hvordan \(b\) flytter symmetriaksen og bunnpunktet, mens formen og skjæringen med y-aksen beholdes.

Steg 1 — Fullfør kvadratet

\[x^2+bx+1=\left(x+\frac b2\right)^2+1-\frac{b^2}{4}.\]

Steg 2 — Finn symmetriaksen

Kvadratleddet er minst når \[x=-\frac b2.\] Symmetriaksen flyttes derfor horisontalt når \(b\) endres.

Steg 3 — Finn bunnpunktet

Bunnpunktet er \[\left(-\frac b2,1-\frac{b^2}{4}\right).\]

Steg 4 — Sammenlign formen

Koeffisienten foran \(x^2\) er alltid 1. Alle grafene åpner oppover og har samme bredde.

Steg 5 — Finn felles skjæring med y-aksen

\[f(0)=1.\] Alle sju parablene går gjennom \((0,1)\).

Steg 6 — Sammenlign positive og negative b-verdier

Grafene for \(b\) og \(-b\) er speilbilder av hverandre om y-aksen, fordi symmetriaksene ligger i \(-b/2\) og \(b/2\) og bunnpunktene har samme høyde.

Steg 7 — Kommenter nullpunktene

Diskriminanten er \(b^2-4\). Når \(|b|>2\) har grafen to nullpunkter, når \(|b|=2\) tangerer den x-aksen, og for \(b=0\) ligger hele grafen over x-aksen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

bverdier = (-8, -4, -2, 0, 2, 4, 8)
for b in bverdier:
    xv = Fraction(-b, 2)
    yv = Fraction(1, 1) - Fraction(b*b, 4)
    diskriminant = b*b - 4
    print("b =", b, ": akse x =", xv, ", bunnpunkt = (", xv, ",", yv, "), diskriminant =", diskriminant)

Utskrift fra Python:
b = -8 : akse x = 4 , bunnpunkt = ( 4 , -15 ), diskriminant = 60
b = -4 : akse x = 2 , bunnpunkt = ( 2 , -3 ), diskriminant = 12
b = -2 : akse x = 1 , bunnpunkt = ( 1 , 0 ), diskriminant = 0
b = 0 : akse x = 0 , bunnpunkt = ( 0 , 1 ), diskriminant = -4
b = 2 : akse x = -1 , bunnpunkt = ( -1 , 0 ), diskriminant = 0
b = 4 : akse x = -2 , bunnpunkt = ( -2 , -3 ), diskriminant = 12
b = 8 : akse x = -4 , bunnpunkt = ( -4 , -15 ), diskriminant = 60

Fasit: Alle grafene har samme form og går gjennom \((0,1)\). Symmetriakse \(x=-b/2\) og bunnpunkt \((-b/2,1-b^2/4)\). Grafene for \(b\) og \(-b\) er speilbilder.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke toppunktsformen fra c), sette inn hver b-verdi og undersøke mønsteret i koordinatene.

Steg 1 — Bruk den generelle toppunktsformen

\[f(x)=\left(x+\frac b2\right)^2+1-\frac{b^2}{4}.\]

Steg 2 — Les av x-koordinaten

Bunnpunktets x-koordinat er \[x_v=-\frac b2.\]

Steg 3 — Les av y-koordinaten

Bunnpunktets y-koordinat er \[y_v=1-\frac{b^2}{4}.\]

Steg 4 — Sett inn de sju b-verdiene

Dette gir punktene som er listet i tabellen nedenfor.

Steg 5 — Se etter symmetri

Punktene for \(b\) og \(-b\) har motsatte x-koordinater, men samme y-koordinat. Punktmengden er derfor symmetrisk om y-aksen.

Steg 6 — Identifiser mønsteret

Når \(x_v=0,\pm1,\pm2,\pm4\), er y-verdiene \(1,0,-3,-15\). Disse følger mønsteret \(y=1-x^2\).

Steg 7 — Foreløpig konklusjon

Bunnpunktene ser ut til å ligge på den nedovervendte parabelen \[y=1-x^2.\]

Python-kontroll med SymPy

from fractions import Fraction

bverdier = (-8, -4, -2, 0, 2, 4, 8)
punkter = []
for b in bverdier:
    x_v = Fraction(-b, 2)
    y_v = Fraction(1, 1) - Fraction(b*b, 4)
    punkter.append((x_v, y_v))
    print("b =", b, "gir bunnpunkt", (x_v, y_v))
print("Kontroll av y = 1 - x^2:", [y == 1 - x*x for x, y in punkter])

Utskrift fra Python:
b = -8 gir bunnpunkt (Fraction(4, 1), Fraction(-15, 1))
b = -4 gir bunnpunkt (Fraction(2, 1), Fraction(-3, 1))
b = -2 gir bunnpunkt (Fraction(1, 1), Fraction(0, 1))
b = 0 gir bunnpunkt (Fraction(0, 1), Fraction(1, 1))
b = 2 gir bunnpunkt (Fraction(-1, 1), Fraction(0, 1))
b = 4 gir bunnpunkt (Fraction(-2, 1), Fraction(-3, 1))
b = 8 gir bunnpunkt (Fraction(-4, 1), Fraction(-15, 1))
Kontroll av y = 1 - x^2: [True, True, True, True, True, True, True]

Fasit: Bunnpunktene er \((4,-15),(2,-3),(1,0),(0,1),(-1,0),(-2,-3),(-4,-15)\), og de ligger på \(y=1-x^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal eliminere parameteren \(b\) mellom koordinatformlene for bunnpunktet. Da får vi en direkte sammenheng mellom punktets x- og y-koordinat.

Steg 1 — Skriv koordinatene med parameter

La bunnpunktet hete \((X,Y)\). Fra c) har vi \[X=-\frac b2,\qquad Y=1-\frac{b^2}{4}.\]

Steg 2 — Løs den første likningen for b

\[X=-\frac b2\quad\Longrightarrow\quad b=-2X.\]

Steg 3 — Sett inn i y-koordinaten

\[Y=1-\frac{(-2X)^2}{4}.\]

Steg 4 — Regn ut kvadratet

\[(-2X)^2=4X^2.\]

Steg 5 — Forkort

\[Y=1-\frac{4X^2}{4}=1-X^2.\]

Steg 6 — Skriv med vanlige koordinatnavn

Kurven er \[y=1-x^2.\]

Steg 7 — Kontroller med et punkt

For eksempel gir \(b=4\) bunnpunktet \((-2,-3)\), og \(1-(-2)^2=1-4=-3\). Punktet ligger på kurven.

Steg 8 — Konklusjon

Alle bunnpunktene i hele parameterfamilien, ikke bare de sju valgte, ligger på parabelen \(y=1-x^2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, simplify

b, X, Y = symbols('b X Y', real=True)
x_v = -b/2
y_v = 1 - b**2/4
b_uttrykt = solve(X - x_v, b)[0]
y_i_X = simplify(y_v.subs(b, b_uttrykt))

print("x-koordinat til bunnpunkt:", x_v)
print("y-koordinat til bunnpunkt:", y_v)
print("Løst for b:", b_uttrykt)
print("Lokus y(X) =", y_i_X)

Utskrift fra Python:
x-koordinat til bunnpunkt: -b/2
y-koordinat til bunnpunkt: 1 - b**2/4
Løst for b: -2*X
Lokus y(X) = 1 - X**2

Fasit: Kurven er \(y=1-x^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne toppunktene for den nye familien, eliminere \(b\), og deretter generalisere beregningen til vilkårlige \(a eq0\) og \(c\).

Steg 1 — Finn symmetriaksen i den nye familien

Her er \(a=-2\). Derfor \[x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{-4}=\frac b4.\]

Steg 2 — Finn y-koordinaten

\[y_v=-2\left(\frac b4\right)^2+b\left(\frac b4\right)-8=-\frac{b^2}{8}+\frac{b^2}{4}-8=\frac{b^2}{8}-8.\]

Steg 3 — Klassifiser punktene

Fordi \(a=-2<0\), åpner alle parablene nedover. Punktene er derfor toppunkter.

Steg 4 — Sett inn b-verdiene

De sju toppunktene er listet i tabellen nedenfor.

Steg 5 — Eliminer b i den nye familien

Fra \(x=b/4\) får vi \(b=4x\). Dermed \[y=\frac{(4x)^2}{8}-8=2x^2-8.\] Toppunktene ligger på den oppovervendte parabelen \(y=2x^2-8\).

Steg 6 — Start den generelle beregningen

For \(F(x)=ax^2+bx+c\), \(a\neq0\), er ekstremalpunktets x-koordinat \[X=-\frac{b}{2a}.\]

Steg 7 — Finn den generelle y-koordinaten

Innsetting gir \[Y=c-\frac{b^2}{4a}.\] Fra \(X=-b/(2a)\) får vi \(b=-2aX\).

Steg 8 — Eliminer parameteren generelt

\[Y=c-\frac{(-2aX)^2}{4a}=c-aX^2.\] Lokus for ekstremalpunktene er derfor \[y=c-ax^2.\]

Steg 9 — Tolk åpningen

Når \(a>0\), er de opprinnelige punktene bunnpunkter og lokus åpner nedover. Når \(a<0\), er de toppunkter og lokus åpner oppover.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, solve, simplify
from fractions import Fraction

bverdier = (-8, -4, -2, 0, 2, 4, 8)
for bverdi in bverdier:
    x_v = Fraction(bverdi, 4)
    y_v = Fraction(bverdi*bverdi, 8) - 8
    print("b =", bverdi, ": toppunkt =", (x_v, y_v))

a, b, c, X = symbols('a b c X', nonzero=True)
b_fra_x = solve(X + b/(2*a), b)[0]
y_vertex = c - b**2/(4*a)
lokus = simplify(y_vertex.subs(b, b_fra_x))
print("Generelt lokus for ax^2+bx+c:", lokus)

Utskrift fra Python:
b = -8 : toppunkt = (Fraction(-2, 1), Fraction(0, 1))
b = -4 : toppunkt = (Fraction(-1, 1), Fraction(-6, 1))
b = -2 : toppunkt = (Fraction(-1, 2), Fraction(-15, 2))
b = 0 : toppunkt = (Fraction(0, 1), Fraction(-8, 1))
b = 2 : toppunkt = (Fraction(1, 2), Fraction(-15, 2))
b = 4 : toppunkt = (Fraction(1, 1), Fraction(-6, 1))
b = 8 : toppunkt = (Fraction(2, 1), Fraction(0, 1))
Generelt lokus for ax^2+bx+c: -X**2*a + c

Fasit: For \(-2x^2+bx-8\) ligger toppunktene på \(y=2x^2-8\). Generelt ligger ekstremalpunktene til \(ax^2+bx+c\), \(a\neq0\), på \(y=c-ax^2\).

Hva spør oppgaven om? En vektor fra et startpunkt til et sluttpunkt finnes ved å trekke startkoordinatene fra sluttkoordinatene.

Steg 1 — Skriv punktene

\[A=(0,0),\qquad B=(4,0),\qquad C=(1,4).\]

Steg 2 — Finn AB

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(4-0,0-0)=(4,0).\]

Steg 3 — Finn AC

\[\overrightarrow{AC}=C-A=(1-0,4-0)=(1,4).\]

Steg 4 — Finn BC

\[\overrightarrow{BC}=C-B=(1-4,4-0)=(-3,4).\]

Steg 5 — Kontroller retningen til BC

Fra \(B\) til \(C\) går vi 3 enheter mot venstre og 4 opp. Det stemmer med \((-3,4)\).

Steg 6 — Kontroller trekantregelen

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(4,0)+(-3,4)=(1,4)=\overrightarrow{AC}.\] Dette bekrefter vektorene.

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix

A = Matrix([0, 0])
B = Matrix([4, 0])
C = Matrix([1, 4])
AB = B - A
AC = C - A
BC = C - B

print("AB =", AB.T)
print("AC =", AC.T)
print("BC =", BC.T)

Utskrift fra Python:
AB = Matrix([[4, 0]])
AC = Matrix([[1, 4]])
BC = Matrix([[-3, 4]])

Fasit: \(\overrightarrow{AB}=[4,0]\), \(\overrightarrow{AC}=[1,4]\), \(\overrightarrow{BC}=[-3,4]\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke midtpunktsformelen, som tar gjennomsnittet av x-koordinatene og gjennomsnittet av y-koordinatene.

Steg 1 — Skriv midtpunktsformelen

For punktene \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) er midtpunktet \[\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).\]

Steg 2 — Bruk formelen på AB

\[M_1=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2}\right).\]

Steg 3 — Forenkle M1

\[M_1=(2,0).\]

Steg 4 — Bruk formelen på AC

\[M_2=\left(\frac{0+1}{2},\frac{0+4}{2}\right).\]

Steg 5 — Forenkle M2

\[M_2=\left(\frac12,2\right).\]

Steg 6 — Kontroller med vektorer

\(\overrightarrow{AM_1}=\frac12\overrightarrow{AB}=(2,0)\), og \(\overrightarrow{AM_2}=\frac12\overrightarrow{AC}=(1/2,2)\). Dette bekrefter at punktene ligger midt på sidene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, Rational

A = Matrix([0, 0])
B = Matrix([4, 0])
C = Matrix([1, 4])
M1 = (A + B) / 2
M2 = (A + C) / 2

print("M1 = (A+B)/2 =", M1.T)
print("M2 = (A+C)/2 =", M2.T)

Utskrift fra Python:
M1 = (A+B)/2 = Matrix([[2, 0]])
M2 = (A+C)/2 = Matrix([[1/2, 2]])

Fasit: \(M_1=(2,0)\) og \(M_2=(1/2,2)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne tre retningsvektorer med slutt minus start og sette dem inn i den oppgitte vektorligningen.

Steg 1 — Finn CM1

\[\overrightarrow{CM_1}=M_1-C=(2-1,0-4)=(1,-4).\]

Steg 2 — Finn CB

\[\overrightarrow{CB}=B-C=(4-1,0-4)=(3,-4).\]

Steg 3 — Finn BM2

\[\overrightarrow{BM_2}=M_2-B=\left(\frac12-4,2-0\right)=\left(-\frac72,2\right).\]

Steg 4 — Sett inn på venstresiden

\[k\overrightarrow{CM_1}=k(1,-4)=(k,-4k).\]

Steg 5 — Sett inn på høyresiden

\[\overrightarrow{CB}+t\overrightarrow{BM_2}=(3,-4)+t\left(-\frac72,2\right).\]

Steg 6 — Utfør skalarmultiplikasjonen

\[t\left(-\frac72,2\right)=\left(-\frac{7t}{2},2t\right).\]

Steg 7 — Legg sammen komponentene

\[\overrightarrow{CB}+t\overrightarrow{BM_2}=\left(3-\frac{7t}{2},-4+2t\right).\]

Steg 8 — Skriv vektorligningen

Dermed blir \[[k,-4k]=\left[3-\frac{7t}{2},-4+2t\right],\] som skulle vises.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, symbols, simplify

k, t = symbols('k t', real=True)
B = Matrix([4, 0])
C = Matrix([1, 4])
M1 = Matrix([2, 0])
M2 = Matrix([1/2, 2])
CM1 = M1 - C
CB = B - C
BM2 = M2 - B

print("CM1 =", CM1.T)
print("CB =", CB.T)
print("BM2 =", BM2.T)
print("Venstreside k*CM1 =", (k*CM1).T)
print("Høyreside CB+t*BM2 =", (CB + t*BM2).T)

Utskrift fra Python:
CM1 = Matrix([[1, -4]])
CB = Matrix([[3, -4]])
BM2 = Matrix([[-3.50000000000000, 2]])
Venstreside k*CM1 = Matrix([[k, -4*k]])
Høyreside CB+t*BM2 = Matrix([[3 - 3.5*t, 2*t - 4]])

Fasit: \(\overrightarrow{CM_1}=[1,-4]\), \(\overrightarrow{CB}=[3,-4]\), \(\overrightarrow{BM_2}=[-7/2,2]\), og den oppgitte vektorligningen følger.

Hva spør oppgaven om? Likhet mellom to vektorer betyr at tilsvarende komponenter er like. Vi får derfor et lineært likningssystem i \(k\) og \(t\).

Steg 1 — Sammenlign første komponent

\[k=3-\frac{7t}{2}.\]

Steg 2 — Sammenlign andre komponent

\[-4k=-4+2t.\]

Steg 3 — Sett uttrykket for k inn i den andre likningen

\[-4\left(3-\frac{7t}{2}\right)=-4+2t.\]

Steg 4 — Utvid parentesen

\[-12+14t=-4+2t.\]

Steg 5 — Samle t-leddene og konstantene

\[14t-2t=-4+12\quad\Longrightarrow\quad12t=8.\]

Steg 6 — Finn t

\[t=\frac8{12}=\frac23.\]

Steg 7 — Finn k

\[k=3-\frac72\cdot\frac23=3-\frac73=\frac23.\]

Steg 8 — Kontroller begge komponentene

Venstresiden blir \([2/3,-8/3]\). Høyresiden blir \([3-7/3,-4+4/3]=[2/3,-8/3]\). Løsningen stemmer.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import symbols, Eq, solve

k, t = symbols('k t', real=True)
likning1 = Eq(k, 3 - 7*t/2)
likning2 = Eq(-4*k, -4 + 2*t)
losning = solve((likning1, likning2), (k, t), dict=True)

print("Likning 1:", likning1)
print("Likning 2:", likning2)
print("Løsning:", losning)
for svar in losning:
    print("Kontroll venstreside:", (svar[k], -4*svar[k]))
    print("Kontroll høyreside:", (3 - 7*svar[t]/2, -4 + 2*svar[t]))

Utskrift fra Python:
Likning 1: Eq(k, 3 - 7*t/2)
Likning 2: Eq(-4*k, 2*t - 4)
Løsning: [{k: 2/3, t: 2/3}]
Kontroll venstreside: (2/3, -8/3)
Kontroll høyreside: (2/3, -8/3)

Fasit: \(k=2/3\) og \(t=2/3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke parameterverdien \(k=2/3\) i \(\overrightarrow{CS}=k\overrightarrow{CM_1}\), og deretter legge vektoren til startpunktet \(C\).

Steg 1 — Bruk CM1

Fra c) er \[\overrightarrow{CM_1}=(1,-4).\]

Steg 2 — Sett inn k

\[\overrightarrow{CS}=\frac23(1,-4).\]

Steg 3 — Utfør skalarmultiplikasjonen

\[\overrightarrow{CS}=\left(\frac23,-\frac83\right).\]

Steg 4 — Bruk punkt-vektor-sammenhengen

Når en vektor går fra \(C\) til \(S\), gjelder \[S=C+\overrightarrow{CS}.\]

Steg 5 — Sett inn C

\[S=(1,4)+\left(\frac23,-\frac83\right).\]

Steg 6 — Regn x-koordinaten

\[1+\frac23=\frac53.\]

Steg 7 — Regn y-koordinaten

\[4-\frac83=\frac{12}{3}-\frac83=\frac43.\]

Steg 8 — Konkluder

\[S=\left(\frac53,\frac43\right).\] Punktet ligger to tredeler av veien fra \(C\) til \(M_1\), som passer med mediansetningen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, Rational

C = Matrix([1, 4])
CM1 = Matrix([1, -4])
k = Rational(2, 3)
CS = k * CM1
S = C + CS

print("CS =", CS.T)
print("S = C + CS =", S.T)

Utskrift fra Python:
CS = Matrix([[2/3, -8/3]])
S = C + CS = Matrix([[5/3, 4/3]])

Fasit: \(\overrightarrow{CS}=[2/3,-8/3]\) og \(S=(5/3,4/3)\).

Hva spør oppgaven om? Den tredje medianen går fra \(A\) til midtpunktet på \(BC\). Vi finner dette midtpunktet og viser at \(\overrightarrow{AS}\) er et skalar multiplum av medianens retningsvektor.

Steg 1 — Finn midtpunktet på BC

La \(M_3\) være midtpunktet på \(BC\): \[M_3=\left(\frac{4+1}{2},\frac{0+4}{2}\right)=\left(\frac52,2\right).\]

Steg 2 — Skriv vektoren langs den tredje medianen

Siden \(A=(0,0)\), får vi \[\overrightarrow{AM_3}=\left(\frac52,2\right).\]

Steg 3 — Skriv vektoren fra A til S

Fra e) er \(S=(5/3,4/3)\). Dermed \[\overrightarrow{AS}=\left(\frac53,\frac43\right).\]

Steg 4 — Sammenlign første komponent

\[\frac{5/3}{5/2}=\frac53\cdot\frac25=\frac23.\]

Steg 5 — Sammenlign andre komponent

\[\frac{4/3}{2}=\frac43\cdot\frac12=\frac23.\]

Steg 6 — Skriv vektorforholdet

Begge komponentene har samme forhold: \[\overrightarrow{AS}=\frac23\overrightarrow{AM_3}.\]

Steg 7 — Bruk parallellitetskriteriet

Når én vektor er et skalar multiplum av en annen, er vektorene parallelle. Siden begge starter i \(A\), ligger \(A\), \(S\) og \(M_3\) på samme rette linje.

Steg 8 — Konklusjon

Linjen \(AM_3\) er den tredje medianen, og punktet \(S\) ligger på denne linjen. Den tredje medianen går derfor gjennom \(S\). Mediansetningen er bevist for trekanten.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

from sympy import Matrix, Rational

A = Matrix([0, 0])
B = Matrix([4, 0])
C = Matrix([1, 4])
S = Matrix([Rational(5, 3), Rational(4, 3)])
M3 = (B + C) / 2
AM3 = M3 - A
AS = S - A
forhold = Rational(2, 3)

print("M3, midtpunkt på BC =", M3.T)
print("AM3 =", AM3.T)
print("AS =", AS.T)
print("(2/3) * AM3 =", (forhold * AM3).T)
print("AS - (2/3)AM3 =", (AS - forhold * AM3).T)

Utskrift fra Python:
M3, midtpunkt på BC = Matrix([[5/2, 2]])
AM3 = Matrix([[5/2, 2]])
AS = Matrix([[5/3, 4/3]])
(2/3) * AM3 = Matrix([[5/3, 4/3]])
AS - (2/3)AM3 = Matrix([[0, 0]])

Fasit: \(\overrightarrow{AS}=(2/3)\overrightarrow{AM_3}\), så \(A\), \(S\) og \(M_3\) er kollineære. Den tredje medianen går gjennom \(S\).