Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser digitale kontrollsteg med GeoGebra CAS og Python der det er relevant.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1Prosent
Oppgave 1
Oppgave:
En bonde har 60 sauer. \(80\,\%\) av sauene skal slaktes. Hvor mange sauer skal slaktes?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(80\,\%\) av \(60\) sauer.
Steg 1 — Skriv prosent som desimaltall
\[80\,\%=0{,}80\]
Prosent betyr hundredeler, så \(80\,\%\) er \(0{,}80\).
Steg 2 — Regn ut delen
\[60\cdot 0{,}80=48\]
Vi multipliserer totalantallet med prosentdelen.
Tolkning
Det betyr at 48 av sauene skal slaktes.
Vanlig feil: Å regne \(60+80\) i stedet for å ta \(80\,\%\) av \(60\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
60*0.80
→ \(48\)
💻 Python
print(60*0.80)
Fasit: \(48\) sauer skal slaktes.
Del 1 · Oppgave 2Måling og enheter
Oppgave 2
Oppgave:
En familie leser av vannmåleren og ser at de i løpet av det siste året har brukt \(120\,\text{m}^3\) vann. Hvor mange liter vann har familien i gjennomsnitt brukt hver måned?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om kubikkmeter til liter og dele årsforbruket på 12 måneder.
Prisen for en vare settes opp med \(10\,\%\). Litt senere settes prisen ned igjen med \(10\,\%\).
Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre den samlede effekten av én økning og én reduksjon.
Steg 1 — Bruk en enkel startpris
\[100\cdot 1{,}10=110\]
Vi kan velge 100 kroner som eksempel uten å miste generalitet.
Steg 2 — Sett ned med 10 prosent
\[110\cdot 0{,}90=99\]
Nedgangen tas av den nye, høyere prisen.
Steg 3 — Sammenlign med startprisen
\[99<100\]
Sluttprisen er lavere enn startprisen.
Tolkning
Varen koster mindre enn før de to prisendringene.
Vanlig feil: Å tro at \(+10\,\%\) og \(-10\,\%\) alltid opphever hverandre.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
100*1.10*0.90
→ \(99\)
💻 Python
print(100*1.10*0.90)
Fasit: Varen koster mindre enn før.
Del 1 · Oppgave 7Prosentvis nedgang
Oppgave 7
Oppgave:
Christoffer har kjøpt ny båt. Båtens verdi er 850 000 kroner. Anta at verdien vil falle med \(20\,\%\) det første året og så med \(6\,\%\) per år de neste fem årene.
Sett opp et uttrykk som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp et uttrykk, ikke nødvendigvis regne det helt ut.
Steg 1 — Finn vekstfaktorene
\[20\,\%\text{ fall gir }0{,}80,\qquad 6\,\%\text{ fall gir }0{,}94\]
Ved prosentvis nedgang trekker vi prosenten fra \(1\).
Steg 2 — Bruk første år og de neste fem årene
\[850000\cdot 0{,}80\cdot 0{,}94^5\]
Det første året har en annen prosent enn de fem neste.
Tolkning
Uttrykket gir båtens verdi etter seks år.
Vanlig feil: Å bruke \(0{,}94^6\). Her gjelder \(6\,\%\) bare de fem siste årene.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
850000*0.80*0.94^5
→ \(\approx 499055\)
💻 Python
print(850000*0.80*0.94**5)
Fasit: Et mulig uttrykk er \(850000\cdot 0{,}80\cdot 0{,}94^5\).
Del 1 · Oppgave 8Volum og massetetthet
Oppgave 8
Oppgave:
En stålplate har form som et rektangel. Platen er 1000 mm lang, 500 mm bred og 6 mm tykk.
Stål har en massetetthet på \(8\,\text{g}/\text{cm}^3\)
Hvor mye veier stålplaten?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet i kubikkcentimeter og bruke massetetthet.
Volumet av en rektangulær plate er lengde ganger bredde ganger tykkelse.
Steg 3 — Finn massen
\[3000\cdot 8=24000\,\text{g}=24\,\text{kg}\]
Vi multipliserer volumet med massetettheten.
Tolkning
Stålplaten veier 24 kg.
Vanlig feil: Å bruke millimeter direkte sammen med \(\text{g}/\text{cm}^3\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
100*50*0.6*8/1000
→ \(24\)
💻 Python
print(100*50*0.6*8/1000)
Fasit: \(24\,\text{kg}\).
Del 1 · Oppgave 9aLineære modeller
Oppgave 9a
Oppgave:
Petter, Ola og Ine eier hver sin hytte. Hyttene ligger i et stort hyttefelt. På veien inn til hyttefeltet er det satt opp en bom. Alle hytteeierne må betale en fast årsavgift for å kunne bruke veien. I tillegg må de betale for hver bompassering.
• I fjor passerte Petter bommen 40 ganger. Han betalte til sammen 3200 kroner i årsavgift og for passeringer. • Ola passerte bommen 100 ganger og betalte til sammen 6200 kroner.
a) Hvor mye betaler hver hytteeier i årsavgift? Hva er prisen per bompassering?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fastledd og pris per passering fra to punkter.
Steg 1 — Finn pris per ekstra passering
\[\dfrac{6200-3200}{100-40}=\dfrac{3000}{60}=50\]
Forskjellen i totalpris skyldes \(60\) flere passeringer.
Steg 2 — Finn årsavgiften
\[3200-40\cdot 50=1200\]
Vi trekker Petters passeringskostnad fra totalbeløpet.
Tolkning
Hver hytteeier betaler 1200 kroner fast og 50 kroner per bompassering.
Vanlig feil: Å tro at 3200 kroner er årsavgiften. Den inkluderer både årsavgift og passeringer.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
(6200-3200)/(100-40)
→ \(50\)
2
3200-40*50
→ \(1200\)
💻 Python
print((6200-3200)/(100-40))
print(3200-40*50)
Fasit: Årsavgiften er \(1200\) kroner, og prisen per bompassering er \(50\) kroner.
Del 1 · Oppgave 9bLineære modeller
Oppgave 9b
Oppgave:
b) Sett opp en lineær modell som viser sammenhengen mellom antall bompasseringer og den totale prisen hver hytteeier må betale hvert år.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive en funksjon for totalprisen.
Steg 1 — La \(x\) være antall passeringer
\[x=\text{antall bompasseringer}\]
Variabelen må fortelle hva modellen måler.
Steg 2 — Sett sammen fastledd og variabel kostnad
\[P(x)=1200+50x\]
Fast årsavgift kommer først, og \(50x\) er kostnaden for \(x\) passeringer.
Tolkning
Modellen gir total årlig betaling i kroner.
Vanlig feil: Å glemme fastleddet på 1200 kroner.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
P(x):=1200+50x
→ \(P(x)=1200+50x\)
💻 Python
def P(x):
return 1200 + 50*x
print(P(40), P(100))
Fasit: \(P(x)=1200+50x\).
Del 1 · Oppgave 9cLineære modeller
Oppgave 9c
Oppgave:
Ine betalte til sammen 5200 kroner.
c) Hvor mange ganger passerte hun bommen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen fra b og løse for antall passeringer.
Steg 1 — Sett totalprisen lik 5200
\[1200+50x=5200\]
Ine sin totale betaling er oppgitt.
Steg 2 — Løs ligningen
\[50x=4000\qquad \Rightarrow \qquad x=80\]
Vi trekker fra årsavgiften og deler på prisen per passering.
Tolkning
Ine passerte bommen 80 ganger.
Vanlig feil: Å dele 5200 direkte på 50 uten å trekke fra årsavgiften først.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Løs(1200+50x=5200)
→ \(x=80\)
💻 Python
from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
print(solve(1200 + 50*x - 5200, x))
Fasit: \(80\) ganger.
Del 1 · Oppgave 10aTallfølger
Oppgave 10a
Oppgave:
Susanne arbeider med tallfølgen \(1,3,7,13,21,\ldots\). Hun ser et mønster og skriver \[0\cdot 1+1=1\]\[1\cdot 2+1=3\]\[2\cdot 3+1=7\]\[3\cdot 4+1=13\] a) Bestem tall nummer 8 i tallfølgen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke mønsteret til å finne ledd nummer 8.
Steg 1 — Koble leddnummer til mønster
\[a_n=(n-1)\cdot n+1\]
For ledd nummer \(n\) brukes tallene \(n-1\) og \(n\).
Steg 2 — Sett inn \(n=8\)
\[a_8=7\cdot 8+1=57\]
Tall nummer 8 kommer fra \(7\cdot 8+1\).
Tolkning
Det åttende tallet i tallfølgen er 57.
Vanlig feil: Å bruke \(8\cdot 9+1\), som ville gitt ledd nummer 9.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
(8-1)*8+1
→ \(57\)
💻 Python
print((8-1)*8+1)
Fasit: Tall nummer 8 er \(57\).
Del 1 · Oppgave 10bTallfølger
Oppgave 10b
Oppgave:
b) Sett opp en formel som Susanne kan bruke for finne tall nummer \(n\) i tallfølgen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive en generell formel for tall nummer \(n\).
Første faktor er alltid én mindre enn leddnummeret.
Steg 2 — Skriv formelen
\[a_n=(n-1)n+1\]
Dette gir riktig verdi for alle leddene i mønsteret.
Tolkning
Formelen kan brukes til å finne hvilket som helst ledd i følgen.
Vanlig feil: Å skrive \(a_n=n(n+1)+1\), som forskyver alle leddene ett hakk.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
a(n):=(n-1)n+1
→ \(a(n)=n(n-1)+1\)
💻 Python
from sympy import symbols, expand
n = symbols("n")
print(expand((n-1)*n + 1))
Fasit: \(a_n=(n-1)n+1\).
Del 1 · Oppgave 11aFunksjoner og økonomi
Oppgave 11a
Oppgave:
En bedrift produserer en vare. Kostnadene \(K(x)\) kroner ved produksjon av \(x\) enheter av varen er gitt ved \[K(x)=x^2+b\cdot x+20000\] a) Bestem \(K(0)\). Hva forteller denne verdien om kostnadene ved produksjonen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne kostnaden når det produseres 0 enheter.
Steg 1 — Sett inn \(x=0\)
\[K(0)=0^2+b\cdot 0+20000\]
Alle ledd med \(x\) blir null.
Steg 2 — Regn ut
\[K(0)=20000\]
Bare fastleddet står igjen.
Tolkning
\(K(0)=20000\) betyr at bedriften har 20 000 kroner i faste kostnader, også når den ikke produserer noen enheter.
Vanlig feil: Å tro at kostnaden er 0 når produksjonen er 0. Modellen har et fastledd.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
K(x):=x^2+b*x+20000
→ \(K(x)=x^2+bx+20000\)
2
K(0)
→ \(20000\)
Fasit: \(K(0)=20000\). Det er de faste kostnadene.
Del 1 · Oppgave 11bFunksjoner og økonomi
Oppgave 11b
Oppgave:
Det koster 30 000 kroner å produsere 50 enheter.
b) Bestem \(b\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke informasjonen \(K(50)=30000\) til å finne \(b\).
Tallet \(b=150\) er den lineære delen av kostnadsmodellen.
Vanlig feil: Å glemme leddet \(50^2=2500\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Løs(50^2+50b+20000=30000,b)
→ \(b=150\)
💻 Python
from sympy import symbols, solve
b = symbols("b")
print(solve(50**2 + 50*b + 20000 - 30000, b))
Fasit: \(b=150\).
Del 1 · Oppgave 12Proporsjonalitet
Oppgave 12
Oppgave:
Lufttetthet er et mål på hvor mye luftmasse det er i et bestemt volum – altså hvor tettpakket luften er.
I tørr luft er sammenhengen mellom lufttettheten \(L\), trykket \(p\) og temperaturen \(T\) gitt ved\[L=\dfrac{p}{287\cdot T}\] Argumenter for om hver påstand nedenfor er sann eller usann.
Påstand 1 Når temperaturen er konstant, er trykk og lufttetthet proporsjonale størrelser.
Påstand 2 Lufttetthet og temperatur er omvendt proporsjonale størrelser.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere proporsjonalitet ved å se hvilke størrelser som holdes konstante.
Steg 1 — Vurder påstand 1
\[L=\dfrac{1}{287T}\cdot p\]
Når \(T\) er konstant, er \(\dfrac{1}{287T}\) et fast tall. Da er \(L\) proporsjonal med \(p\).
Steg 2 — Vurder påstand 2
\[L=\dfrac{p}{287}\cdot \dfrac{1}{T}\]
Dette viser omvendt proporsjonalitet mellom \(L\) og \(T\) bare dersom \(p\) er konstant.
Steg 3 — Konkluder
\[\text{Påstand 1 er sann. Påstand 2 er ikke alltid sann slik den står.}\]
Påstand 2 mangler en betingelse om konstant trykk.
Tolkning
Lufttetthet påvirkes både av trykk og temperatur. Derfor må vi vite hva som holdes fast.
Vanlig feil: Å kalle to størrelser omvendt proporsjonale uten å kontrollere om de andre variablene er konstante.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
L := p/(287*T)
→ \(L=\dfrac{p}{287T}\)
Fasit: Påstand 1 er sann. Påstand 2 er bare sann dersom trykket er konstant; slik den står, er den ikke alltid sann.
Del 1 · Oppgave 13aModeller og programmering
Oppgave 13a
Oppgave:
I 2026 består en fuglebestand av 20 000 individer. Sofie er forsker. Hun antar at bestanden vil minke de kommende årene. Hun har laget to modeller og skrevet programkoden nedenfor.
x = 0 # x er antall år etter 2026
def f(x):
return 20000 - 300 * x
def g(x):
return 20000 * 0.984 ** x
while f(x) >= g(x):
x = x + 1
print("Resultat:")
print(x)
print(f(x))
print(g(x))
a) Gi en praktisk tolkning av modellene \(f\) og \(g\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva de to funksjonene betyr i situasjonen.
Steg 1 — Tolk \(f\)
\[f(x)=20000-300x\]
Modellen \(f\) sier at bestanden minker lineært med 300 individer per år.
Steg 2 — Tolk \(g\)
\[g(x)=20000\cdot 0{,}984^x\]
Modellen \(g\) sier at bestanden minker prosentvis med vekstfaktor \(0{,}984\).
Steg 3 — Finn prosentvis nedgang i \(g\)
\[1-0{,}984=0{,}016=1{,}6\,\%\]
Vekstfaktoren viser at bestanden blir \(98{,}4\,\%\) av året før.
Tolkning
Begge modeller starter på 20 000 individer i 2026, men de beskriver nedgangen på ulike måter.
Vanlig feil: Å tolke \(0{,}984\) som en økning. Siden tallet er mindre enn 1, er det nedgang.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
20000-300*1
→ \(19700\)
2
20000*0.984^1
→ \(19680\)
💻 Python
print(20000 - 300*1)
print(20000*0.984**1)
Fasit: \(f\) er en lineær nedgang på 300 individer per år. \(g\) er en prosentvis nedgang på \(1{,}6\,\%\) per år.
Del 1 · Oppgave 13bModeller og programmering
Oppgave 13b
Oppgave:
b) Hva ønsker Sofie å finne ut? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal forstå while-løkken og tolke utskriften.
Steg 1 — Se på betingelsen
\[\text{while } f(x)\ge g(x)\]
Programmet øker \(x\) så lenge \(f(x)\) er større enn eller lik \(g(x)\).
Steg 2 — Finn første \(x\) der løkken stopper
\[x=10\]
Når programmet stopper, er \(f(x)
Steg 3 — Tolk utskriften
\[f(10)=17000,\qquad g(10)\approx 17020{,}84\]
Utskriften viser antall år etter 2026 og bestandene etter de to modellene da \(g\) først blir større enn \(f\).
Tolkning
Sofie finner ut når den eksponentielle modellen gir høyere bestand enn den lineære modellen. Det skjer 10 år etter 2026, altså i 2036.
Vanlig feil: Å tro at \(x=10\) betyr år 10. Her betyr det 10 år etter 2026.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
f(x):=20000-300x
→ \(f(x)=20000-300x\)
2
g(x):=20000*0.984^x
→ \(g(x)=20000\cdot 0{,}984^x\)
3
f(10), g(10)
→ \(17000,\;17020{,}8396\ldots\)
💻 Python
x = 0
def f(x):
return 20000 - 300*x
def g(x):
return 20000*0.984**x
while f(x) >= g(x):
x += 1
print("Resultat:")
print(x)
print(f(x))
print(g(x))
Fasit: Programmet skriver ut \(10\), \(17000\) og omtrent \(17020{,}84\). Det betyr at i 2036 er \(g\)-modellen for første gang større enn \(f\)-modellen.
Del 2 — med hjelpemidler
Del 2 · Oppgave 1aFunksjoner
Oppgave 1a
Oppgave:
Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på \(x\) km/h, slipper bilen ut \(U(x)\) gram \(\text{CO}_2\) per kilometer, der \(U(x)\) er gitt ved\[U(x)=\dfrac{5400}{x}+0{,}0074x^2+50,\qquad 30a) Hvor mange gram \(\text{CO}_2\) slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på 50 km/h?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(x=50\) inn i funksjonen.
Steg 1 — Sett inn farten
\[U(50)=\dfrac{5400}{50}+0{,}0074\cdot 50^2+50\]
Farten er 50 km/h, derfor bruker vi \(x=50\).
Steg 2 — Regn ut verdien
\[U(50)=108+18{,}5+50=176{,}5\]
Funksjonsverdien er utslipp per kilometer.
Tolkning
Bilen slipper ut 176,5 gram \(\text{CO}_2\) per kilometer ved 50 km/h.
Vanlig feil: Å glemme at \(U(x)\) er gram per kilometer, ikke totalt utslipp for en hel tur.
Fasit: \(176{,}5\) gram \(\text{CO}_2\) per kilometer.
Del 2 · Oppgave 1bFunksjoner og graf
Oppgave 1b
Oppgave:
b) Hvilken fart gir minst utslipp av \(\text{CO}_2\) per kilometer? Hvor mange gram \(\text{CO}_2\) slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne minimumsverdien til funksjonen på intervallet \(30
Steg 1 — Bruk graf eller CAS til å minimere
\[U(x)=\dfrac{5400}{x}+0{,}0074x^2+50\]
Funksjonen er gitt på et bestemt fartsintervall.
Steg 2 — Finn minimumspunktet
\[x\approx 71{,}46\]
Digitalt verktøy gir farten som gir lavest utslipp per kilometer.
Steg 3 — Finn utslippet ved denne farten
\[U(71{,}46)\approx 163{,}36\]
Vi setter minimumsfarten inn i funksjonen.
Tolkning
Lavest utslipp er omtrent 163,4 gram per kilometer ved omtrent 71,5 km/h.
Vanlig feil: Å lese av minimum uten å sjekke at farten ligger i intervallet \(30
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Ekstremalpunkt(5400/x+0.0074*x^2+50, 30, 110)
→ \((71{,}46,163{,}36)\)
💻 Python
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols("x")
U = 5400/x + 0.0074*x**2 + 50
crit = solve(diff(U, x), x)
for c in crit:
if c.is_real and 30 < float(c) < 110:
print(float(c), float(U.subs(x, c)))
Fasit: Minst utslipp fås ved omtrent \(71{,}5\) km/h. Utslippet er omtrent \(163{,}4\) gram per kilometer.
Del 2 · Oppgave 1cFunksjoner og enheter
Oppgave 1c
Oppgave:
Fru Hansen kjører med en fart på 90 km/h i 20 minutter.
c) Hvor mange gram \(\text{CO}_2\) slipper bilen ut i løpet av disse 20 minuttene?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne utslipp per kilometer ved 90 km/h og multiplisere med kjørt avstand.
Vanlig feil: Å svare 0,25 prosent. Det er prosentpoeng, ikke prosentvis nedgang.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
(4.25-4)/4.25*100
→ \(5{,}88\ldots\)
💻 Python
print((4.25-4)/4.25*100)
Fasit: Omtrent \(5{,}9\,\%\).
Del 2 · Oppgave 3aLineær modell
Oppgave 3a
Oppgave:
Vipa er en kritisk truet fugleart i Norge.
I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.
År
2013
2022
Vipebestand (par)
9000
2500
Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.
La \(x\) være antall år etter 2013.
a) Lag en modell \(f\) som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell gjennom punktene \((0,9000)\) og \((9,2500)\).
Vi tar nienderoten fordi endringen skjer over 9 år.
Steg 4 — Skriv modellen
\[g(x)=9000\cdot 0{,}8673^x\]
Vekstfaktoren er mindre enn 1, så modellen viser nedgang.
Tolkning
Modellen forteller at bestanden minker med omtrent \(13{,}3\,\%\) per år.
Vanlig feil: Å bruke \(\dfrac{2500}{9000}\) som årlig vekstfaktor direkte. Det er samlet faktor over 9 år.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
a=(2500/9000)^(1/9)
→ \(a\approx 0{,}8673\)
2
9000*a^x
→ \(g(x)=9000\cdot 0{,}8673^x\)
💻 Python
import math
a = (2500/9000)**(1/9)
print(a, (1-a)*100)
Fasit: \(g(x)=9000\cdot \left(\dfrac{2500}{9000}\right)^{x/9}\approx 9000\cdot 0{,}8673^x\). Dette tilsvarer omtrent \(13{,}3\,\%\) nedgang per år.
Del 2 · Oppgave 3cModellering og graf
Oppgave 3c
Oppgave:
Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.
Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen \(p\). Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen \(q\). Nedenfor ser du grafene til de to modellene.
c) Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen \(q\). Bestem \(p(x)\) og \(q(x)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av ideen bak modellen: bestanden skal nærme seg et stabilt nivå på 2000 par.
Steg 1 — Les av stabiliseringsnivået
\[q(x) o 2000\text{ når }x\text{ blir stor}\]
Grafen til \(q\) har en horisontal linje ved 2000 par.
Steg 2 — Modeller nedgangen over 2000 par
\[p(0)=9000-2000=7000,\qquad p(9)=2500-2000=500\]
\(p\) beskriver overskuddet over stabiliseringsnivået.
\(q\) er stabiliseringsnivået pluss overskuddet som avtar.
Tolkning
Egil antar at bestanden ikke vil fortsette mot null, men stabilisere seg rundt 2000 par.
Vanlig feil: Å lage \(q\) som en vanlig eksponentiell modell mot null. Grafen viser at modellen nærmer seg 2000.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
a=(500/7000)^(1/9)
→ \(a\approx 0{,}7459\)
2
p(x)=7000*a^x
→ \(p(x)\approx 7000\cdot 0{,}7459^x\)
3
q(x)=2000+p(x)
→ \(q(x)\approx 2000+7000\cdot 0{,}7459^x\)
💻 Python
import math
a = (500/7000)**(1/9)
print(a)
print(7000*a**9, 2000 + 7000*a**9)
Fasit: Egil antar stabilisering rundt \(2000\) par. \(p(x)=7000\cdot \left(\dfrac{500}{7000}\right)^{x/9}\), og \(q(x)=2000+7000\cdot \left(\dfrac{500}{7000}\right)^{x/9}\).
Del 2 · Oppgave 4aEnergi og enheter
Oppgave 4a
Oppgave:
For å varme opp 1 liter vann 1 grad celsius kreves en energi på 4184 joule (J).
Når kaldt vann kommer inn i en varmtvannstank, er temperaturen omtrent \(10\,^{\circ}\text{C}\). I varmtvannstanken varmes vannet opp til \(70\,^{\circ}\text{C}\).
a) Vis at å varme opp 100 L vann fra \(10\,^{\circ}\text{C}\) til \(70\,^{\circ}\text{C}\) krever en energi på \(2{,}51\cdot 10^7\) J.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vise energiberegningen med liter, temperaturøkning og 4184 J per liter per grad.
Steg 1 — Finn temperaturøkningen
\[70-10=60\]
Vannet varmes opp 60 grader.
Steg 2 — Regn ut energien
\[100\cdot 60\cdot 4184=25104000\]
Vi multipliserer liter, temperaturøkning og energi per liter per grad.
Steg 3 — Skriv på standardform
\[25104000\approx 2{,}51\cdot 10^7\]
Dette stemmer med tallet i oppgaven.
Tolkning
Det kreves omtrent \(2{,}51\cdot 10^7\) J for å varme opp 100 L vann.
Vanlig feil: Å bruke 70 grader som temperaturøkning i stedet for \(70-10=60\).
Når Martin dusjer, bruker han 15 liter vann per minutt. Vannet i dusjen er en blanding av varmt vann fra varmtvannstanken og kaldt vann med en temperatur på \(10\,^{\circ}\text{C}\). Vannet i dusjen har en temperatur på \(40\,^{\circ}\text{C}\).
Martin har funnet ut at han kan bruke formelen nedenfor til å finne ut hvor mange liter vann \(V\) fra varmtvannstanken han bruker per minutt når temperaturen på vannet i dusjen er \(T\,^{\circ}\text{C}\) \[V=\dfrac{T-10}{4}\] En dag dusjer Martin i 10 minutter. Vannet i dusjen har en temperatur på \(40\,^{\circ}\text{C}\).
b) Hvor mange liter vann fra varmtvannstanken bruker han?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formelen for varmtvann per minutt og gange med 10 minutter.
Steg 1 — Sett inn \(T=40\)
\[V=\dfrac{40-10}{4}=\dfrac{30}{4}=7{,}5\]
Dette er liter varmt vann per minutt.
Steg 2 — Gange med dusjetiden
\[7{,}5\cdot 10=75\]
Martin dusjer i 10 minutter.
Tolkning
Martin bruker 75 liter vann fra varmtvannstanken.
Vanlig feil: Å bruke 15 liter per minutt direkte som varmtvann. Det er total vannmengde i dusjen, ikke bare varmtvannet.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
(40-10)/4
→ \(7{,}5\)
2
7.5*10
→ \(75\)
💻 Python
V = (40-10)/4
print(V, V*10)
Fasit: \(75\) liter varmt vann.
Del 2 · Oppgave 4cEnergi
Oppgave 4c
Oppgave:
c) Hvor mye energi kreves for å varme opp vannet han bruker fra varmtvannstanken?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne energien for å varme opp 75 liter vann fra 10 grader til 70 grader.
Steg 1 — Bruk vannmengden fra b
\[75\,\text{L}\]
Dette er mengden varmtvann som kom fra tanken.
Steg 2 — Finn temperaturøkningen
\[70-10=60\]
Vannet i tanken varmes fra 10 til 70 grader.
Steg 3 — Regn ut energien
\[75\cdot 60\cdot 4184=18828000\]
Vi bruker samme energiregel som i a.
Tolkning
Det kreves \(1{,}8828\cdot 10^7\) J for varmtvannet Martin bruker.
Vanlig feil: Å varme opp all dusjmengden \(150\) liter. Bare \(75\) liter kommer fra varmtvannstanken.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
75*(70-10)*4184
→ \(18828000\)
💻 Python
print(75*(70-10)*4184)
Fasit: \(18828000\,\text{J}\), altså omtrent \(1{,}88\cdot 10^7\,\text{J}\).
Del 2 · Oppgave 4dEnergi og økonomi
Oppgave 4d
Oppgave:
Når vi betaler for den elektriske energien vi bruker, betaler vi per kilowattime (kWh). \[1\,\text{kWh}=3{,}6\cdot 10^6\,\text{J}\] En morgen var strømprisen 134 øre per kWh.
d) Hvor mye kostet det Martin å ta en dusj på 10 minutter denne morgenen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre energien fra joule til kWh og gange med strømprisen.
