Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor prisøkningen er i prosent, sammenliknet med prisen i butikken.

Steg 1 — Finn prisforskjellen

Prisforskjellen er

\[60-40=20\]

Sjokoladeplaten er 20 kroner dyrere på bensinstasjonen.

Steg 2 — Sammenlikn med gammel pris

Vi sammenlikner med butikkprisen, fordi oppgaven spør hvor mye dyrere den er enn prisen i butikken.

\[\dfrac{20}{40}=0{,}5\]

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}5=50\,\%\]

Tolkning

Prisen på bensinstasjonen er halvparten høyere enn prisen i butikken.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne prosentvis framgang, ikke bare økning i prosentpoeng.

Steg 1 — Arbeiderpartiets relative økning

Arbeiderpartiet øker fra 40 % til 45 %. Økningen er 5 prosentpoeng.

\[\dfrac{5}{40}=0{,}125=12{,}5\,\%\]

Steg 2 — Senterpartiets relative økning

Senterpartiet øker fra 20 % til 25 %. Økningen er også 5 prosentpoeng.

\[\dfrac{5}{20}=0{,}25=25\,\%\]

Steg 3 — Sammenlikn

\[25\,\%>12{,}5\,\%\]

Senterpartiet har størst prosentvis framgang.

Tolkning

Selv om begge øker med 5 prosentpoeng, er økningen størst relativt sett for partiet som startet lavest.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et eget eksempel, forklare hvorfor det passer, og vise en graf.

Steg 1 — Velg en praktisk situasjon

Et eksempel er et fast arbeid som tar 24 arbeidstimer. Hvis \(x\) personer deler arbeidet likt, blir tiden \(y\) timer.

Steg 2 — Sett opp sammenhengen

Når produktet av de to størrelsene er konstant, er de omvendt proporsjonale.

\[x\cdot y=24\]

Steg 3 — Skriv som funksjon

\[y=\dfrac{24}{x}\]

Flere personer gir kortere tid, men produktet personer ganger timer er fortsatt 24.

Steg 4 — Marker punkter

Tre punkter som passer, er

\[(1,24),\quad (2,12),\quad (4,6)\]

Tolkning

Dobler vi antall personer, halveres tiden. Det er kjennetegnet på omvendt proporsjonalitet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise to ulike utfyllinger, og til sammen skal de bruke åtte forskjellige siffer.

Steg 1 — Skriv måltallet som potens

\[8\,000\,000\,000=8\cdot 10^9\]

Steg 2 — Lag første løsning

\[1\cdot 10^3\cdot 8\cdot 10^6=1\cdot 8\cdot 10^{3+6}=8\cdot 10^9\]

Denne løsningen bruker sifrene 1, 3, 8 og 6.

Steg 3 — Lag andre løsning

\[2\cdot 10^0\cdot 4\cdot 10^9=2\cdot 4\cdot 10^{0+9}=8\cdot 10^9\]

Denne løsningen bruker sifrene 2, 0, 4 og 9.

Steg 4 — Kontroller at åtte ulike siffer er brukt

Sifrene som er brukt, er

\[0,1,2,3,4,6,8,9\]

Det er åtte ulike siffer.

Tolkning

Elias har rett fordi vi har funnet to løsninger som begge gir 8 000 000 000 og samlet bruker åtte forskjellige siffer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal legge sammen tre store tall skrevet med tierpotenser.

Steg 1 — Skriv tallene med samme tierpotens

\[7\cdot 10^9=0{,}007\cdot 10^{12}\]

\[3\cdot 10^{11}=0{,}3\cdot 10^{12}\]

Steg 2 — Legg sammen koeffisientene

\[0{,}007\cdot 10^{12}+5\cdot 10^{12}+0{,}3\cdot 10^{12}\]

\[=(0{,}007+5+0{,}3)\cdot 10^{12}\]

Steg 3 — Regn ut summen

\[5{,}307\cdot 10^{12}\]

Tolkning

Det er omtrent 5,3 billioner blodceller i én liter blod etter disse opplysningene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal fortsette mønsteret fra figur 1, 2 og 3.

Steg 1 — Tell de første figurene

Fra figurene får vi

\[5,\quad 10,\quad 17\]

Steg 2 — Se på økningene

Økningene er

\[10-5=5\]

\[17-10=7\]

Økningene øker med 2 hver gang, så de neste økningene er 9 og 11.

Steg 3 — Finn figur 4 og figur 5

\[\text{Figur 4}=17+9=26\]

\[\text{Figur 5}=26+11=37\]

Tolkning

Hvis mønsteret fortsetter på samme måte, vil figur 5 ha 37 små grønne kvadrater.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en formel som passer for alle figurnumrene.

Steg 1 — Bruk tallene fra figurene

Antallet er

\[5,\quad 10,\quad 17\]

Dette passer med et uttrykk der \(n^2\) inngår.

Steg 2 — Test formelen

Formelen

\[K(n)=n^2+2n+2\]

gir for figur 1:

\[K(1)=1^2+2\cdot 1+2=5\]

Steg 3 — Kontroller flere figurer

\[K(2)=2^2+2\cdot 2+2=10\]

\[K(3)=3^2+2\cdot 3+2=17\]

Tolkning

Formelen gir antallet små grønne kvadrater i figur nummer \(n\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke programmet og forklare hva utskriftene betyr.

Steg 1 — Tolk startverdiene

Lars starter med 120 000 kroner. Han setter inn 24 000 kroner hvert år, og vekstfaktoren er 1,058.

\[1{,}058-1=0{,}058=5{,}8\,\%\]

Steg 2 — Tolk løkken

Løkken kjører så lenge kontoen er under 1 000 000 kroner.

Hvert år legges sparebeløpet til, og deretter øker kontoen med 5,8 prosent.

Steg 3 — Tolk utskriftene

Programmet skriver først ut antall år det tar før kontoen passerer 1 000 000 kroner. Deretter skriver det ut beløpet på kontoen da målet er nådd.

Tolkning

Programmet forteller hvor lenge Lars må følge spareplanen sin for å bli millionær med disse forutsetningene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstallet \(a\) og konstantleddet \(b\) i den lineære modellen.

Steg 1 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{270-90}{20-5}=\dfrac{180}{15}=12\]

Prisen øker med 12 kroner per hektogram godteri.

Steg 2 — Bruk ett punkt til å finne \(b\)

Sett inn punktet \((5,90)\) i \(G(x)=12x+b\):

\[90=12\cdot 5+b\]

Steg 3 — Løs for \(b\)

\[90=60+b\]

\[b=30\]

Tolkning

Modellen blir \(G(x)=12x+30\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva tallene i \(G(x)=12x+30\) betyr i situasjonen.

Steg 1 — Tolk \(a\)

\(a=12\) er stigningstallet. Det betyr at prisen øker med 12 kroner for hvert hektogram godteri Nora fyller i bøtta.

Steg 2 — Tolk \(b\)

\(b=30\) er prisen når \(x=0\). Det betyr at selve bøtta koster 30 kroner før hun fyller på godteri.

Tolkning

Totalprisen består av en fast pris for bøtta og en pris per hektogram godteri.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen \(G(x)=12x+30\) når \(x=8\).

Steg 1 — Sett inn \(x=8\)

\[G(8)=12\cdot 8+30\]

Steg 2 — Regn ut

\[G(8)=96+30=126\]

Tolkning

En bøtte med 8 hg godteri koster 126 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne modellen med de observerte verdiene og vurdere om avvikene er rimelige.

Steg 1 — Finn riktige \(x\)-verdier

Månedene får \(x\)-verdiene \(1,5,10,14,20,22\).

Steg 2 — Beregn modellverdier

Steg 3 — Vurder tilpasningen

Modellen treffer ikke alle punktene nøyaktig, men den følger hovedutviklingen: antallet øker kraftig gjennom perioden.

Steg 4 — Dokumenter digitalt

def K(x):
    return 27.8 * 1.2**x

for x in [1, 5, 10, 14, 20, 22]:
    print(x, round(K(x)))

Tolkning

Modellen er god nok som en praktisk trendmodell for perioden, særlig fordi den beskriver den sterke økningen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke vekstfaktoren i den eksponentielle modellen.

Steg 1 — Se på vekstfaktoren

I modellen

\[K(x)=27{,}8\cdot 1{,}2^x\]

er \(1{,}2\) vekstfaktoren per måned.

Steg 2 — Gjør om til prosentvis økning

\[1{,}2-1=0{,}2=20\,\%\]

Tolkning

Modellen sier at antallet registrerte tilfeller øker med omtrent 20 prosent per måned.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring per måned mellom måned 4 og måned 21.

Steg 1 — Finn modellverdiene

\[K(4)=27{,}8\cdot 1{,}2^4\approx 57{,}65\]

\[K(21)=27{,}8\cdot 1{,}2^{21}\approx 1278{,}94\]

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{K(21)-K(4)}{21-4}\]

Steg 3 — Regn ut

\[a=\dfrac{1278{,}94-57{,}65}{17}\approx 71{,}84\]

Kontroll digitalt

def K(x):
    return 27.8 * 1.2**x

stigningstall = (K(21) - K(4))/(21 - 4)
print(round(stigningstall, 2))

Tolkning

Fra måned 4 til måned 21 øker modellen i gjennomsnitt med omtrent 72 registrerte tilfeller per måned.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen for en måned etter perioden i tabellen.

Steg 1 — Finn \(x\)-verdien

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022, så vi bruker \(x=29\).

Steg 2 — Sett inn i modellen

\[K(29)=27{,}8\cdot 1{,}2^{29}\]

Steg 3 — Regn ut

\[K(29)\approx 5499{,}22\]

Kontroll digitalt

def K(x):
    return 27.8 * 1.2**x

print(round(K(29)))

Tolkning

Modellen anslår omtrent 5500 registrerte tilfeller i mai 2025. Dette er en framskriving, så usikkerheten er større enn inne i perioden modellen ble laget for.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig distanse per deltaker.

Steg 1 — Hent tallene

Deltakerne har gått 3,3 millioner km, og det er 40 000 deltakere.

Steg 2 — Del total distanse på antall deltakere

\[\dfrac{3\,300\,000}{40\,000}=82{,}5\]

Tolkning

Hver deltaker har i gjennomsnitt gått 82,5 km.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at 3,3 millioner km tilsvarer 83 runder rundt jorda.

Steg 1 — Sett opp beregningen

Én runde rundt jorda blir total distanse delt på 83.

\[\dfrac{3\,300\,000}{83}\]

Steg 2 — Regn ut

\[\dfrac{3\,300\,000}{83}\approx 39\,759\]

Tolkning

Sunnmøre friluftsråd har regnet med at det er omtrent 40 000 km rundt jorda.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne to lønnsmodeller og finne når hvert tilbud lønner seg.

Steg 1 — La \(x\) være antall solgte aviser

Tilbud 1 gir 35 % av \(49x\):

\[L_1(x)=0{,}35\cdot 49x=17{,}15x\]

Steg 2 — Skriv tilbud 2 som modell

\[L_2(x)=150+10x\]

Steg 3 — Finn når tilbudene er like

\[17{,}15x=150+10x\]

\[7{,}15x=150\]

\[x\approx 20{,}98\]

Steg 4 — Gi råd

Hvis Elise selger 21 aviser eller flere, lønner tilbud 1 seg. Hvis hun selger 20 aviser eller færre, lønner tilbud 2 seg.

Kontroll digitalt

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(17.15*x - (150 + 10*x), x))

Tolkning

Tilbud 2 er tryggest hvis hun selger få aviser. Tilbud 1 er best hvis hun forventer å selge minst 21 aviser per lørdag.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ordinær pris per avis før rabatt.

Steg 1 — Bruk tilbudet med 4 aviser

Hvis man sparer 49 %, betaler man 51 % av ordinær pris.

\[0{,}51\cdot \text{ordinær pris for 4 aviser}=99\]

Steg 2 — Finn ordinær pris for 4 aviser

\[\text{ordinær pris for 4 aviser}=\dfrac{99}{0{,}51}\approx 194{,}12\]

Steg 3 — Finn pris per avis

\[\dfrac{194{,}12}{4}\approx 48{,}53\]

Steg 4 — Kontroller med de andre tilbudene

De andre tilbudene gir også omtrent samme ordinære pris, rundt 49 kroner per avis.

Tolkning

Dagbladet Lørdag koster omtrent 49 kroner uten rabatt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne om fra pris per meter bord til pris per kvadratmeter dekke.

Steg 1 — Gjør breddene om til meter

\[145\,\text{mm}=0{,}145\,\text{m}\]

\[95\,\text{mm}=0{,}095\,\text{m}\]

Steg 2 — Regn pris per kvadratmeter for 145 mm-bordet

Én meter bord dekker \(0{,}145\,\text{m}^2\).

\[\dfrac{67{,}90}{0{,}145}\approx 468{,}28\]

Steg 3 — Regn pris per kvadratmeter for 95 mm-bordet

Én meter bord dekker \(0{,}095\,\text{m}^2\).

\[\dfrac{49{,}90}{0{,}095}\approx 525{,}26\]

Tolkning

Det brede bordet gir lavere pris per kvadratmeter, selv om prisen per meter er høyere.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne ut høyde og overflate for flere radier når volumet er 450 cm\(^3\).

Steg 1 — Løs volumformelen for høyden

\[V=\pi r^2h\]

\[h=\dfrac{450}{\pi r^2}\]

Steg 2 — Regn ut tabellen

Steg 3 — Vis regnearkoppsett

Med radius i celle A2 kan høyde beregnes med =450/(PI()*A2^2), og overflate med =PI()*A2^2+2*PI()*A2*B2.

Kontroll med Python

from math import pi

for r in [2, 4, 6, 8]:
    h = 450/(pi*r**2)
    O = pi*r**2 + 2*pi*r*h
    print(r, round(h, 1), round(O, 1))

Tolkning

Overflaten blir minst blant disse fire radiene når radius er 6 cm.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en funksjon med radius som eneste variabel.

Steg 1 — Bruk høydeuttrykket

Fra volumet får vi

\[h=\dfrac{450}{\pi r^2}\]

Steg 2 — Sett inn i overflateformelen

\[O(r)=\pi r^2+2\pi r\cdot \dfrac{450}{\pi r^2}\]

Steg 3 — Forenkle

\[O(r)=\pi r^2+\dfrac{900}{r}\]

Steg 4 — Dokumenter grafisk verktøy

Tolkning

Funksjonen viser hvordan overflaten endrer seg når radius endres, mens volumet holdes fast på 450 cm\(^3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne minimumspunktet til overflatefunksjonen.

Steg 1 — Bruk funksjonen

\[O(r)=\pi r^2+\dfrac{900}{r}\]

Steg 2 — Finn minimum digitalt

GeoGebra gir minimumspunktet omtrent

\[(5{,}23,258{,}02)\]

Steg 3 — Kontroller med Python

from sympy import symbols, pi, diff, solve, N
r = symbols('r', positive=True)
O = pi*r**2 + 900/r
kritisk = solve(diff(O, r), r)[0]
print(N(kritisk, 5))
print(N(O.subs(r, kritisk), 6))

Steg 4 — Tolk svaret

Radius bør være omtrent 5,23 cm. Da blir overflaten omtrent 258 cm\(^2\).

Tolkning

Dette er den radiusen som gir minst materialbruk etter modellen, når volumet skal være 450 cm\(^3\).

Hva spør oppgaven om? Dette er en åpen oppgave. Vi må gjøre rimelige antakelser og vise beregningene tydelig.

Steg 1 — Gjør antakelser

Vi antar at Sofie kjøper én bagett på 20 skoledager i måneden. Vi antar at en hjemmelaget bagett koster omtrent 25 kroner i råvarer.

Steg 2 — Finn månedskostnad i kantina

\[65\cdot 20=1300\]

Kantinebagettene koster 1300 kroner per måned.

Steg 3 — Finn månedskostnad hjemmefra

\[25\cdot 20=500\]

Hjemmelagde bagetter koster omtrent 500 kroner per måned med antakelsene våre.

Steg 4 — Finn besparelsen

\[1300-500=800\]

Tolkning

Med disse antakelsene kan Sofie spare omtrent 800 kroner i løpet av en måned.