Lær vektorer i rommet i R2: 3D-komponenter, lengde, skalarprodukt, vinkler og vektor mellom punkter. Eksempler og oppgaver med løsninger.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-13
I rommet har vektorer tre komponenter: u = [x, y, z]. Reglene fra planet gjelder fortsatt — det kommer bare ett ledd til overalt.
Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon med tall gjøres komponent for komponent. Lengden blir |u| = √(x² + y² + z²), som er Pytagoras brukt to ganger.
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃, og fortsatt gjelder at produktet er null når vektorene står vinkelrett.
Dette finnes bare i rommet. u × v gir en ny vektor som står vinkelrett på begge de opprinnelige.
Retningen følger høyrehåndsregelen, og lengden er |u × v| = |u||v| sin v — som er arealet av parallellogrammet vektorene spenner ut.
Merk at rekkefølgen betyr noe: u × v = −(v × u). Vektorproduktet er ikke kommutativt, i motsetning til skalarproduktet.
Arealet av en trekant utspent av u og v er ½|u × v|.
Volumet av parallellepipedet utspent av tre vektorer er absoluttverdien av (u × v) · w. Blir dette null, ligger de tre vektorene i samme plan.
En linje beskrives med et punkt og en retningsvektor. Et plan beskrives med et punkt og en normalvektor som står vinkelrett på planet.
Planlikningen a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0 følger direkte av at vektoren fra punktet til et vilkårlig punkt i planet må ha skalarprodukt null med normalvektoren.