Lær skalarproduktet: u·v=a₁b₁+a₂b₂, vinkelrett når produktet er 0, og vinkelformelen cos v=u·v/(|u||v|). Med eksempler og nivådelte oppgaver med full løsning.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-05
Skalarproduktet tar to vektorer og gir et tall — ikke en vektor. Det er derfor det heter skalarprodukt. Tallet forteller hvor mye de to vektorene peker i samme retning.
Med koordinater i planet: u · v = u₁v₁ + u₂v₂. Du ganger sammen x-komponentene, ganger sammen y-komponentene, og legger sammen. I rommet kommer u₃v₃ i tillegg.
Med lengder og vinkel: u · v = |u| · |v| · cos v, der v er vinkelen mellom dem.
De to formlene gir samme tall. Det er nettopp derfor skalarproduktet er nyttig: du kan regne det ut fra koordinater, og deretter bruke det til å finne vinkelen.
Løs den andre formelen for cosinus: cos v = (u · v) / (|u| · |v|).
For u = [3, 4] og v = [1, 2] blir u · v = 3 + 8 = 11, |u| = 5 og |v| = √5. Da er cos v = 11 / (5√5) ≈ 0,984, altså v ≈ 10,3°.
Dette er den viktigste egenskapen: u · v = 0 hvis og bare hvis vektorene står vinkelrett på hverandre.
Fordi cos 90° = 0, faller hele produktet bort. Skal du vise at to vektorer er ortogonale, regner du ut skalarproduktet og viser at det blir null — du trenger ikke finne vinkelen.
Fortegnet forteller også noe: er skalarproduktet positivt, er vinkelen spiss. Er det negativt, er vinkelen stump.
Skalarproduktet er kommutativt (u · v = v · u) og distributivt over addisjon. Merk at u · u = |u|² — det gir en rask måte å finne lengden på.