Parameterframstillinger – fart og akselerasjon i R2

Parameterframstilling

I stedet for y som funksjon av x, lar du begge koordinatene være funksjoner av en parameter t — som regel tiden:

r(t) = [x(t), y(t)]

Dette kalles en posisjonsvektor. Den beskriver ikke bare banen, men hvor objektet er til hvert tidspunkt.

Fordelen er at du kan beskrive kurver som ikke er funksjonsgrafer — en sirkel, en løkke, en bane som krysser seg selv.

Fart

Deriver hver komponent for seg:

v(t) = r'(t) = [x'(t), y'(t)]

Fartsvektoren peker alltid langs tangenten til banen — den viser retningen objektet beveger seg i akkurat da.

Farten som tallverdi er lengden: |v(t)| = √(x'(t)² + y'(t)²).

Akselerasjon

Deriver en gang til: a(t) = r''(t) = [x''(t), y''(t)].

Akselerasjonsvektoren peker inn mot den siden banen krummer mot. Beveger et objekt seg i en sirkel med konstant fart, er akselerasjonen ikke null — den peker inn mot sentrum.

Typiske oppgaver

• Når står objektet stille? Sett v(t) = [0, 0] og løs.
• Når er farten størst? Deriver |v(t)| og finn ekstremalpunkt.
• Når krysser banen x-aksen? Sett y(t) = 0.
• Er banen vannrett? Sett y'(t) = 0.

Kast

Et skrått kast beskrives med x(t) = v₀ cos α · t og y(t) = v₀ sin α · t − ½gt². Den vannrette farten er konstant; den loddrette endres av tyngdekraften. Det er hele grunnen til at banen blir en parabel.