Derivasjon og integrasjon i modeller – R2

Hva derivasjon gir deg i en modell

Har du en modell f(t), forteller den deriverte hvor raskt noe endrer seg — og enheten er alltid enheten på f delt på enheten på t.

Er f(t) antall innbyggere og t er år, er f'(t) innbyggere per år. Er f(t) posisjon i meter, er f'(t) fart i meter per sekund.

Å oppgi enheten er en del av svaret. Et tall uten enhet betyr ingenting i en modelleringsoppgave.

Hva integrasjon gir deg

Integralet av en endringsrate gir samlet endring.

Er f(t) vannstrøm i liter per minutt, gir ∫ f(t) dt antall liter. Er f(t) fart, gir integralet tilbakelagt strekning.

Enheten på integralet er enheten på y-aksen ganget med enheten på x-aksen — det er også en god kontroll på at du har tenkt riktig.

De vanlige spørsmålene

• Når er endringen størst? Deriver, sett f'(t) = 0, avgjør med fortegnsskjema.
• Når vokser det raskest? Det er f'(t) sitt toppunkt, altså der f''(t) = 0.
• Hvor mye totalt i perioden? Integrer over intervallet.
• Hva er gjennomsnittet? Integralet delt på lengden av intervallet.

Vekst og vekstfart

Skill mellom hvor mye og hvor raskt. En epidemi kan ha synkende vekstfart mens totaltallet fortsatt stiger — f'(t) minker, men er fortsatt positiv.

Å blande disse to er den vanligste tolkningsfeilen på denne oppgavetypen.

Svar i hele setninger

«f'(5) = 240» er ikke et svar. «Etter fem år vokser befolkningen med omtrent 240 personer i året» er det.