Radianer og trigonometriske identiteter

Radianer

En radian er vinkelen der buelengden er like lang som radien. Fordi omkretsen er 2πr, går det 2π radianer på en hel sirkel.

Omregning: grader · π/180 = radianer, og radianer · 180/π = grader.

De vanligste: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π.

Hvorfor radianer brukes

Derivasjonsreglene for sinus og cosinus gjelder bare i radianer. (sin x)' = cos x er sant i radianer, men ikke i grader — der kommer en faktor π/180 i tillegg.

Det er grunnen til at all analyse med trigonometriske funksjoner regner i radianer. Sjekk alltid kalkulatormodus før du deriverer eller integrerer.

Buelengde og sirkelsektor

Med vinkelen v i radianer: buelengden er b = r · v, og arealet av sektoren er A = ½r²v.

Disse formlene er enkle nettopp fordi vinkelen måles i radianer.

Grunnleggende identiteter

• sin²v + cos²v = 1
• tan v = sin v / cos v
• sin(−v) = −sin v og cos(−v) = cos v

Sum- og dobbelvinkelformler

sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v

cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v

Merk minustegnet i cosinusformelen — der bytter operasjonene plass i forhold til sinus.

Setter du u = v, får du dobbelvinkelformlene: sin 2v = 2 sin v cos v og cos 2v = cos²v − sin²v.