Matematikk R1 er et fag der algebra, funksjoner og derivasjon må henge sammen. Temaet kvotientregelen er et godt eksempel på dette. Det er ikke nok å huske en formel; du må forstå når formelen passer, hvordan mellomregningen skal skrives, og hva svaret betyr i en større funksjonsoppgave. I LK20 blir matematisk kompetanse vurdert gjennom utforsking, representasjon, modellering, problemløsing, resonnering og kommunikasjon. Derfor bør en god løsning vise både metode og tankeprosess.
Denne artikkelen er laget for elever på VG2 som arbeider med Matematikk R1, men den passer også for privatister og elever som repeterer før prøve eller eksamen. Du får forklaringer, eksempler, vanlige feil, kontrollspørsmål og råd om hvordan du kan skrive tydeligere løsninger. Bruk gjerne artikkelen sammen med ifingo-ressurser som [/ressursbank/artikler/derivasjonsregler](/ressursbank/artikler/derivasjonsregler), [/ressursbank/artikler/produktregelen](/ressursbank/artikler/produktregelen), [/ressursbank/artikler/funksjonsdrofting](/ressursbank/artikler/funksjonsdrofting) og [/ressursbank/artikler/asymptoter](/ressursbank/artikler/asymptoter).
Hva er kvotientregelen?
Kvotientregelen brukes når en funksjon er skrevet som en brøk der både teller og nevner kan inneholde variabelen. Hvis f(x) = u(x) / v(x), der v(x) ikke er null, er den deriverte
f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2.
Her er u(x) hele telleren, v(x) hele nevneren, u'(x) den deriverte av telleren og v'(x) den deriverte av nevneren. Formelen må brukes på hele uttrykk, ikke bare på enkelte ledd. Spesielt viktig er minusleddet i telleren og kvadratet i nevneren. Mange feil i kvotientregelen kommer av at eleven kan formelen nesten riktig, men mister et fortegn, en parentes eller en definisjonsbetingelse.
Eksempel
La f(x) = (x^2 + 1) / (x - 3). Da kan vi sette u(x) = x^2 + 1 og v(x) = x - 3. Vi får u'(x) = 2x og v'(x) = 1. Setter vi dette inn i formelen, får vi
f'(x) = [2x(x - 3) - (x^2 + 1) · 1] / (x - 3)^2.
Telleren blir 2x^2 - 6x - x^2 - 1 = x^2 - 6x - 1. Dermed er f'(x) = (x^2 - 6x - 1) / (x - 3)^2. Samtidig må vi huske at x = 3 ikke ligger i definisjonsmengden. Dette er ikke en liten detalj, men en del av funksjonsforståelsen.
Forskjellen på kvotientregelen og beslektede regler
Kvotientregelen brukes når uttrykket er en brøk med variabel i nevneren. Produktregelen brukes når uttrykket er et produkt av to variable uttrykk. Kjerneregelen brukes når ett uttrykk ligger inni et annet. Disse reglene kan kombineres, men de har ulike roller.