Hvorfor sammenligning er viktig
Førsteordens differensiallikninger ligger midt mellom flere R2-temaer: derivasjon, integrasjon, funksjoner, vekstmodeller, retningsfelt og modellering. Derfor kan det være vanskelig å vite hva en oppgave egentlig ber deg gjøre. Noen oppgaver skal løses algebraisk, noen skal tolkes grafisk, og andre skal bruke en gitt løsning til å forklare en situasjon. Når du ser forskjellene, blir det lettere å velge riktig metode.
En differensiallikning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og en eller flere deriverte av funksjonen. Når den er førsteordens, er den høyeste deriverte den første deriverte. Dette skiller temaet fra vanlige likninger, der målet ofte er å finne ett eller flere tall. Her er målet å finne en funksjon, en familie av funksjoner eller en modell som passer til en endringsregel.
Førsteordens differensiallikning og vanlig likning
En vanlig likning som 2x+3=7 spør etter tallet x. En differensiallikning som y'=2y spør etter funksjonen y. Det er en stor forskjell. I den første situasjonen er svaret et tall. I den andre situasjonen er svaret en funksjon, for eksempel y=Ce^(2x). Funksjonen må ha den egenskapen at den deriverte er lik to ganger funksjonen selv.
Dette er grunnen til at du ikke kan bruke alle gamle likningsvaner direkte. Du kan fortsatt bruke algebra, men algebraen må støtte en funksjonsforståelse. Når du flytter ledd, deler på uttrykk eller integrerer, må du spørre hva som skjer med funksjonen. I en god R2-besvarelse er det tydelig at du vet om du løser for en konstant, en variabel eller en hel funksjon.