Lær komplekse tall: den imaginære enheten i med i²=−1, tall på formen a+bi, addisjon og multiplikasjon, og modulus |z|=√(a²+b²). Med komplekse løsninger av
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-05
Likningen x² = −1 har ingen løsning blant de reelle tallene. Derfor innføres i, definert ved i² = −1.
Et komplekst tall skrives z = a + bi, der a er realdelen og b er imaginærdelen. Alle reelle tall er komplekse tall med b = 0.
Addisjon og subtraksjon gjøres del for del: (3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i.
Multiplikasjon gjøres som vanlig utganging, og til slutt erstatter du i² med −1:
(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.
Den konjugerte til a + bi er a − bi. Produktet av et tall og dets konjugerte blir alltid reelt: (a + bi)(a − bi) = a² + b².
Dette brukes til divisjon: utvid med nevnerens konjugerte, så forsvinner i fra nevneren.
Komplekse tall tegnes som punkter der realdelen er x-koordinaten og imaginærdelen y-koordinaten. Da er |z| = √(a² + b²) avstanden til origo — Pytagoras igjen.
Med komplekse tall har enhver polynomlikning av grad n nøyaktig n løsninger. En andregradslikning med negativ diskriminant har altså to komplekse løsninger, ikke null løsninger.
De brukes i vekselstrømsanalyse, signalbehandling og kvantemekanikk.