Substitusjon er en av de viktigste integrasjonsteknikkene i Matematikk R2. Metoden brukes når et integral inneholder en sammensatt funksjon, altså en funksjon inni en annen funksjon. Substitusjon bygger på kjerneregelen baklengs. Når du deriverer f(g(x)), bruker du kjerneregelen og ganger med g'(x). Når du integrerer, kan du noen ganger gå motsatt vei: du bytter ut den indre funksjonen med en ny variabel, ofte kalt u, slik at integralet blir enklere.
For å mestre substitusjon må du forstå begrepene, ikke bare følge en oppskrift. Ord som indre funksjon, ytre funksjon, du, dx, differensial, nye grenser og kjerneregel baklengs er sentrale. Denne artikkelen forklarer begrepene på en R2-vennlig måte, med eksempler og vanlige misforståelser. Du kan øve videre med /ressursbank/artikler/substitusjon, /ressursbank/artikler/ubestemt-integral, /ressursbank/artikler/bestemt-integral og /ressursbank/artikler/delvis-integrasjon.
Substitusjon
Substitusjon betyr å erstatte et uttrykk med en ny variabel. Hvis du har integralet ∫ 2x cos(x^2) dx, kan du sette u = x^2. Da er du/dx = 2x, og vi skriver du = 2x dx. Integralets 2x dx kan dermed byttes ut med du, og cos(x^2) blir cos u. Integralets form blir ∫ cos u du, som er mye enklere.
Målet med substitusjon er å gjøre uttrykket enklere. Det er ikke et tilfeldig bytte av bokstav. Du velger u fordi det finnes en indre funksjon i integranden, og fordi den deriverte av denne indre funksjonen også finnes i uttrykket.