Delvis integrasjon er en integrasjonsteknikk i Matematikk R2 som brukes når integranden inneholder et produkt av to uttrykk. Metoden bygger på produktregelen for derivasjon, men brukes «baklengs». For mange elever virker delvis integrasjon først som en formel som må pugges. Det blir mye enklere når du forstår begrepene: produktregel, u, v', u', v, restintegral, bestemt integral, tabellmetode og kontroll ved derivasjon.
Denne artikkelen forklarer de viktigste begrepene i delvis integrasjon. Målet er at du ikke bare skal kunne bruke formelen, men også vite hvorfor den fungerer, hvordan du velger u og v', og hvordan du kontrollerer svaret. I LK20/R2 er integrasjonsteknikker som delvis integrasjon en del av kompetansen i å beregne integraler av sentrale funksjoner og bruke matematisk resonnering i løsninger.
Produktregelen som grunnlag
Produktregelen sier at den deriverte av u·v er u'v + uv'. Med funksjonsnotasjon kan vi skrive (u v)' = u'v + uv'. Delvis integrasjon kommer fra denne regelen. Hvis vi integrerer begge sider, får vi sammenhengen mellom integralet av uv' og integralet av u'v. Etter omskriving får vi formelen: integral av u v' dx = u v - integral av u' v dx.
Dette er den viktigste ideen. Delvis integrasjon er ikke en ny type matematikk løsrevet fra derivasjon. Det er produktregelen brukt motsatt vei. Når du ser dette, blir formelen mer logisk. Du forstår hvorfor det ene uttrykket skal deriveres, og det andre skal integreres. Du forstår også hvorfor det oppstår et nytt integral i svaret.