Delvis integrasjon er en metode i Matematikk R2 som brukes når du skal integrere et produkt av to uttrykk. Metoden bygger på produktregelen for derivasjon, men brukes baklengs. Hvis du kan produktregelen, kan du også forstå hvorfor delvis integrasjon virker. Hovedideen er å bytte ut et vanskelig integral med et produkt og et nytt integral som er enklere å løse.
Formelen er ∫ u · v' dx = u · v − ∫ u' · v dx. Her velger du én del av integranden som u og en annen del som v'. Deretter deriverer du u til u' og integrerer v' til v. For bestemt integral bruker du ∫_a^b u · v' dx = [u · v]_a^b − ∫_a^b u' · v dx. Dette sammendraget gir deg de viktigste punktene du bør kunne før prøve, heldagsprøve eller eksamen i R2. Du kan øve videre med /ressursbank/artikler/ubestemt-integral, /ressursbank/artikler/bestemt-integral, /ressursbank/artikler/substitusjon og /ressursbank/artikler/matematikk-r2.
Når bruker du delvis integrasjon?
Du bruker delvis integrasjon når integranden er et produkt, og når én faktor blir enklere ved derivasjon. Typiske uttrykk er x e^x, x sin x, x cos x, x ln x eller ln x alene. I ∫ ln x dx kan du tenke at ln x = ln x · 1, slik at du velger u = ln x og v' = 1.
Metoden passer ikke alltid bare fordi du ser et produkt. Hvis integranden har en tydelig indre funksjon og den deriverte av den indre funksjonen står ved siden av, er substitusjon ofte bedre. For eksempel passer ∫ 2x cos(x^2) dx med substitusjon, ikke delvis integrasjon. Derfor må du alltid starte med metodevalg.