Likninger og ulikheter i Matematikk 1T

Bygg sikker algebra fra førstegradslikninger og likningssystemer til ulikheter. Se metodevalg, kontroll og vanlige feil før du trener selv.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-31

Åpen undervisning · full fasit

Likninger og ulikheter – komplett undervisning

Lær balanseprinsippet, metodevalg, andregradslikninger, ulikheter og likningssystemer gjennom trinnvise eksempler og oppgaver med full fasit.

Målet er å løse likninger og ulikheter med steg som kan begrunnes. I Matematikk 1T bør du ikke tenke at et ledd «flyttes over» og skifter fortegn av seg selv. Du gjør samme lovlige operasjon på begge sider av en likning, eller du gjør en transformasjon som du kan forklare. Ved ulikheter må du i tillegg huske at ulikhetstegnet snur når du ganger eller deler med et negativt tall.

1. Balanseprinsippet: bevar samme løsning

En likning sier at to uttrykk har samme verdi. Hvis du legger til, trekker fra, ganger eller deler begge sider med samme tillatte verdi, bevarer du likheten. Divisjon krever at du ikke deler med 0. Når du kvadrerer eller på andre måter gjør en operasjon som ikke er reversibel uten vilkår, kan du få ekstra kandidater og må kontrollere dem i den opprinnelige likningen.

OperasjonHva skjer?Viktig vilkår
Legg til eller trekk fra samme uttrykkLøsningsmengden bevares.Ingen ekstra begrensning.
Gang begge sider med samme tallLøsningsmengden bevares.Tallet kan være 0, men da kan informasjon gå tapt hvis du prøver å gå baklengs.
Del begge sider med samme uttrykkLøsningsmengden bevares når divisjonen er lovlig.Uttrykket du deler på må være forskjellig fra 0.
Kvadrer begge siderAlle gamle løsninger gir kandidater, men nye kandidater kan oppstå.Kontroller kandidatene i originallikningen.

Eksempel 1: Lineær likning med parenteser

Løs 3(2x − 1) + 5 = 2x + 14.

  1. Steg 1: Løs opp parentesen: 6x − 3 + 5 = 2x + 14.
  2. Steg 2: Samle venstre side: 6x + 2 = 2x + 14.
  3. Steg 3: Trekk fra 2x på begge sider: 4x + 2 = 14.
  4. Steg 4: Trekk fra 2 på begge sider: 4x = 12.
  5. Steg 5: Del begge sider på 4: x = 3.
  6. Kontroll: Venstre side blir 3(6 − 1) + 5 = 20, og høyre side blir 6 + 14 = 20.

Svar: x = 3.

2. Brøklikninger og definisjonsvilkår

Brøklikninger blir ofte enklere hvis du ganger alle ledd med en fellesnevner. Før du gjør det, skal du kontrollere om en variabel står i en nevner. Verdier som gjør en nevner lik 0 er ikke lovlige, selv om de senere ser ut til å passe i en omformet likning.

Eksempel 2: Brøklikning med konstante nevnere

Løs (x + 1)/3 − (x − 2)/2 = 1.

  1. Steg 1: Fellesnevneren er 6. Gang alle ledd med 6.
  2. Steg 2: Da får du 2(x + 1) − 3(x − 2) = 6.
  3. Steg 3: Løs opp parentesene: 2x + 2 − 3x + 6 = 6.
  4. Steg 4: Samle ledd: −x + 8 = 6.
  5. Steg 5: Trekk fra 8: −x = −2, altså x = 2.

Svar: x = 2.

Eksempel 3: Variabel i nevneren

Løs x/(x − 2) = 3.

  1. Steg 1: Definisjonsvilkår: x − 2 ≠ 0, altså x ≠ 2.
  2. Steg 2: Gang begge sider med x − 2: x = 3(x − 2).
  3. Steg 3: Løs opp parentesen: x = 3x − 6.
  4. Steg 4: Trekk fra 3x: −2x = −6, altså x = 3.
  5. Kontroll: 3/(3 − 2) = 3, og 3 bryter ikke definisjonsvilkåret.

Svar: x = 3.

3. Andregradslikninger: velg metode etter strukturen

En andregradslikning kan skrives på formen ax² + bx + c = 0 med a ≠ 0. Du bør først se etter en enkel faktorisering. Hvis uttrykket ikke faktoriseres lett, kan fullstendig kvadrat eller abc-formelen være bedre. Metodevalget er en del av kompetansen: samme likning kan ofte løses på flere korrekte måter.

StrukturNaturlig metodeKontroll
Produkt lik 0Nullproduktregelen.Sett hver faktor lik 0.
x² + bx + c = 0 med enkle heltallsrøtterFaktorisering / sum-produkt.Multipliser faktorene tilbake.
Uttrykket kan bygges til et kvadratFullstendig kvadrat.Kvadrer eller sett inn løsningene.
Generell ax² + bx + c = 0abc-formelen.Kontroller diskriminanten og løsningene.

Eksempel 4: Faktorisering og nullproduktregelen

Løs x² − 5x + 6 = 0.

  1. Steg 1: Finn to tall med sum −5 og produkt 6. Tallene er −2 og −3.
  2. Steg 2: Faktoriser: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
  3. Steg 3: Bruk nullproduktregelen: x − 2 = 0 eller x − 3 = 0.
  4. Steg 4: Dermed får du x = 2 eller x = 3.

Svar: x = 2 eller x = 3.

Eksempel 5: Fullstendig kvadrat

Løs x² + 6x − 7 = 0 ved å fullføre kvadratet.

  1. Steg 1: Flytt konstantleddet: x² + 6x = 7.
  2. Steg 2: Halvparten av 6 er 3. Legg til 3² = 9 på begge sider: x² + 6x + 9 = 16.
  3. Steg 3: Venstre side er et kvadrat: (x + 3)² = 16.
  4. Steg 4: Da er x + 3 = 4 eller x + 3 = −4.
  5. Steg 5: Løsningene blir x = 1 og x = −7.

Svar: x = 1 eller x = −7.

4. abc-formelen og diskriminanten

For ax² + bx + c = 0 kan du bruke x = (−b ± √D)/(2a), der D = b² − 4ac. Diskriminanten forteller hvor mange reelle løsninger likningen har: D > 0 gir to reelle løsninger, D = 0 gir én reell dobbeltrot, og D < 0 gir ingen reelle løsninger. I neste kapittel kan dette leses grafisk som antall skjæringer mellom en andregradsfunksjon og x-aksen.

Eksempel 6: abc-formelen steg for steg

Løs 2x² + x − 3 = 0.

  1. Steg 1: Identifiser a = 2, b = 1 og c = −3.
  2. Steg 2: Regn ut diskriminanten: D = 1² − 4·2·(−3) = 1 + 24 = 25.
  3. Steg 3: Sett inn: x = (−1 ± √25)/(4).
  4. Steg 4: x = (−1 + 5)/4 = 1 eller x = (−1 − 5)/4 = −6/4 = −3/2.

Svar: x = 1 eller x = −3/2.

Eksempel 7: Diskriminanten uten å løse hele likningen

Hvor mange reelle løsninger har x² + 4x + 5 = 0?

  1. Steg 1: a = 1, b = 4, c = 5.
  2. Steg 2: D = 4² − 4·1·5 = 16 − 20 = −4.
  3. Steg 3: Siden D < 0, finnes det ingen reelle tall som løser likningen.

Svar: Likningen har ingen reelle løsninger.

5. Ulikheter: løs og hold kontroll på fortegnet

En ulikhet beskriver et helt intervall av mulige verdier. De fleste operasjoner gjøres som i likninger, men når du ganger eller deler begge sider med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus. Det kan forstås fra tallinja: hvis 2 < 5, så er −2 > −5.

Eksempel 8: Lineær ulikhet med negativ divisjon

Løs −3(2x − 1) > 9.

  1. Steg 1: Løs opp parentesen: −6x + 3 > 9.
  2. Steg 2: Trekk fra 3: −6x > 6.
  3. Steg 3: Del på −6. Fordi du deler med et negativt tall, snur tegnet: x < −1.
  4. Kontroll: Velg for eksempel x = −2. Da blir venstre side −3(−5) = 15, og 15 > 9 stemmer.

Svar: x < −1.

Eksempel 9: Kvadratisk ulikhet med fortegnsskjema

Løs x² − x − 6 ≤ 0.

  1. Steg 1: Faktoriser: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
  2. Steg 2: Nullpunktene er x = −2 og x = 3.
  3. Steg 3: Produktet er positivt utenfor nullpunktene og negativt mellom dem, fordi andregradskoeffisienten er positiv.
  4. Steg 4: Vi ønsker verdier der uttrykket er mindre enn eller lik 0, så intervallet mellom nullpunktene tas med.

Svar: −2 ≤ x ≤ 3.

6. Likningssystemer: to betingelser samtidig

Et likningssystem krever en verdi som oppfyller flere likninger samtidig. I 1T er innsettingsmetoden og addisjonsmetoden sentrale. Velg metoden som gjør algebraen kort og tydelig, og kontroller løsningen i begge originallikningene.

Eksempel 10: Addisjonsmetoden

Løs systemet 2x + y = 7 og x − y = 2.

  1. Steg 1: Legg likningene sammen. Da forsvinner y: 3x = 9.
  2. Steg 2: Del på 3: x = 3.
  3. Steg 3: Sett x = 3 inn i x − y = 2: 3 − y = 2.
  4. Steg 4: Da er y = 1.
  5. Kontroll: 2·3 + 1 = 7 og 3 − 1 = 2.

Svar: x = 3 og y = 1.

7. Kandidater og falske løsninger

Noen omforminger kan gi verdier som ser ut som løsninger, men som ikke løser den opprinnelige likningen. Kvadrering er et typisk eksempel, fordi både 3 og −3 får samme kvadrat. Når en likning inneholder røtter, nevnere eller andre begrensninger, skal kontroll være en del av selve løsningsmetoden.

Eksempel 11: Kvadrering kan gi en ekstraløsning

Løs √(x + 1) = x − 1 i de reelle tallene.

  1. Steg 1: Venstre side er ikke-negativ, derfor må også x − 1 ≥ 0. Vi trenger altså x ≥ 1.
  2. Steg 2: Kvadrer begge sider: x + 1 = (x − 1)² = x² − 2x + 1.
  3. Steg 3: Flytt alt til én side: x² − 3x = 0.
  4. Steg 4: Faktoriser: x(x − 3) = 0. Kandidatene er x = 0 og x = 3.
  5. Steg 5: x = 0 bryter vilkåret x ≥ 1 og passer heller ikke i originallikningen. x = 3 gir √4 = 2 og 3 − 1 = 2.

Svar: Den eneste løsningen er x = 3.

Eksamensverksted: velg metode før du regner

På en sammensatt oppgave bør du først klassifisere problemet. Er det lineært, kvadratisk, en ulikhet, et system eller en likning med definisjonsvilkår? Skriv deretter den første matematiske handlingen du vil gjøre og hvorfor. En ryddig løsning gjør det mulig å se både metode og kontroll.

  1. Normaliser: Løs opp parenteser og samle ledd når det gjør strukturen tydeligere.
  2. Skriv vilkår: Marker ugyldige nevnerverdier, rotvilkår og andre begrensninger før du eliminerer dem.
  3. Velg metode: Faktorisering, fullstendig kvadrat, abc-formel, fortegnsskjema, innsetting eller addisjon.
  4. Vis lovlige steg: Ikke bruk «flytt over» som forklaring. Skriv operasjonen eller identiteten som brukes.
  5. Kontroller: Sett løsningen inn igjen, test et punkt i et ulikhetsintervall eller kontroller begge likningene i et system.
  6. Tolk: Hvis oppgaven beskriver en situasjon, må løsningen vurderes opp mot enhet, definisjonsområde og kontekst.

Tren selv – med fullstendig fasit

Prøv oppgavene uten å åpne fasiten først. Når du kontrollerer, se etter det første steget der metoden din eventuelt avviker.

Oppgave 1: Lineær likning

Løs 4(x − 2) + 3 = 2x + 9.

Fullstendig fasit

Steg 1: 4x − 8 + 3 = 2x + 9. Steg 2: 4x − 5 = 2x + 9. Steg 3: Trekk fra 2x: 2x − 5 = 9. Steg 4: Legg til 5: 2x = 14. Steg 5: x = 7. Svar: x = 7.

Oppgave 2: Brøklikning

Løs x/4 + (x − 1)/2 = 5.

Fullstendig fasit

Steg 1: Gang alle ledd med 4: x + 2(x − 1) = 20. Steg 2: x + 2x − 2 = 20. Steg 3: 3x = 22. Svar: x = 22/3.

Oppgave 3: Faktoriser og løs

Løs x² + x − 12 = 0.

Fullstendig fasit

Steg 1: Tall med sum 1 og produkt −12 er 4 og −3. Steg 2: x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3). Steg 3: Nullproduktregelen gir x = −4 eller x = 3. Svar: x = −4 eller x = 3.

Oppgave 4: Fullstendig kvadrat

Løs x² − 8x + 7 = 0 ved fullstendig kvadrat.

Fullstendig fasit

Steg 1: x² − 8x = −7. Steg 2: Legg til 16 på begge sider: x² − 8x + 16 = 9. Steg 3: (x − 4)² = 9. Steg 4: x − 4 = ±3. Svar: x = 1 eller x = 7.

Oppgave 5: abc-formelen

Løs 3x² − 5x − 2 = 0.

Fullstendig fasit

Steg 1: a = 3, b = −5, c = −2. Steg 2: D = (−5)² − 4·3·(−2) = 25 + 24 = 49. Steg 3: x = (5 ± 7)/6. Svar: x = 2 eller x = −1/3.

Oppgave 6: Lineær ulikhet

Løs 5 − 2x ≤ 11.

Fullstendig fasit

Steg 1: Trekk fra 5: −2x ≤ 6. Steg 2: Del på −2 og snu ulikhetstegnet: x ≥ −3. Svar: x ≥ −3.

Oppgave 7: Kvadratisk ulikhet

Løs x² − 4x − 5 > 0.

Fullstendig fasit

Steg 1: Faktoriser: (x − 5)(x + 1) > 0. Steg 2: Nullpunktene er −1 og 5. Steg 3: Produktet er positivt utenfor nullpunktene. Svar: x < −1 eller x > 5.

Oppgave 8: Likningssystem

Løs x + y = 8 og 2x − y = 7.

Fullstendig fasit

Steg 1: Legg likningene sammen: 3x = 15. Steg 2: x = 5. Steg 3: Sett inn i første likning: 5 + y = 8, så y = 3. Kontroll: 2·5 − 3 = 7. Svar: x = 5, y = 3.

Oppgave 9: Variabel i nevner

Løs 2/(x − 1) = 1.

Fullstendig fasit

Steg 1: Definisjonsvilkår: x ≠ 1. Steg 2: Gang med x − 1: 2 = x − 1. Steg 3: x = 3. Kontroll: 2/(3 − 1) = 1. Svar: x = 3.

Oppgave 10: Diskriminant og antall løsninger

Bestem hvor mange reelle løsninger 4x² + 4x + 1 = 0 har, og finn løsningen.

Fullstendig fasit

Steg 1: D = 4² − 4·4·1 = 16 − 16 = 0. Dermed har likningen én reell dobbeltrot. Steg 2: x = −4/(2·4) = −1/2. Svar: Én reell løsning, x = −1/2.

Sjekkliste før du går videre

  • Jeg kan forklare en likningsløsning med balanseprinsippet, ikke bare «flytt over».
  • Jeg skriver definisjonsvilkår før jeg fjerner en nevner eller kvadrerer en rotlikning.
  • Jeg kan velge mellom faktorisering, fullstendig kvadrat og abc-formelen.
  • Jeg vet at diskriminanten beskriver antall reelle løsninger og senere kan kobles til grafens nullpunkter.
  • Jeg snur ulikhetstegnet når jeg ganger eller deler med et negativt tall.
  • Jeg kan bruke nullpunkter og fortegn til å løse en kvadratisk ulikhet.
  • Jeg kan løse et lineært likningssystem og kontrollere svaret i begge likningene.
  • Jeg kontrollerer kandidater når en omforming kan ha skapt ekstra løsninger.

Veien videre i Matematikk 1T

Neste steg er funksjoner og modellering, der løsningen av f(x)=0 blir synlig som et nullpunkt i grafen. Du kan også repetere formler i 1T-formelbanken eller trene på typiske metodefeil i vanlige feil i Matematikk 1T. Den åpne leksjonen her dekker metode og komplette løsninger; premiumbanken under beholder den store oppgavemengden og progresjonen.

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo