Matematikk 1T formelbank – formler med forklaring
Komplett 1T-formelbank med algebra, likninger, funksjoner, derivasjon, trigonometri, vektorer og sannsynlighet.
Formelbanken viser ikke bare hva formelen er, men når den gjelder, hvordan den brukes, og hvordan du kontrollerer at svaret er rimelig.
Oversikten dekker 17 oppslag fordelt på 7 temaer: Tall og algebra, Likninger, Funksjoner, Funksjoner og derivasjon, Geometri og trigonometri, Vektorer og Sannsynlighet. Hvert oppslag viser hva det er, et konkret eksempel, den vanligste feilen og hva sensor ser etter.
Tall og algebra
Produkt av potenser med samme grunntall
a^m · a^n = a^(m+n)
Når potenser med samme grunntall multipliseres, summeres eksponentene.
- Eksempel: x^3 · x^5 = x^8.
- Vanlig feil: Å multiplisere eksponentene og skrive x^15.
- Til eksamen: Skriv gjerne regelen før du bruker den når oppgaven ber om begrunnelse.
Kvotient av potenser med samme grunntall
a^m / a^n = a^(m−n)
Ved divisjon av potenser med samme grunntall trekkes eksponentene fra hverandre.
- Eksempel: y^7 / y^2 = y^5.
- Vanlig feil: Å glemme vilkåret a ≠ 0 eller å trekke eksponentene i feil rekkefølge.
- Til eksamen: Kontroller at nevneren ikke kan være null før du forkorter et algebraisk uttrykk.
Første kvadratsetning
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Kvadratet av en sum består av to kvadrater og det dobbelte produktet.
- Eksempel: (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9.
- Vanlig feil: Å skrive a^2 + b^2 og glemme leddet 2ab.
- Til eksamen: Vis mellomleddet 2 · a · b hvis det reduserer risikoen for fortegnsfeil.
Konjugatsetningen
(a + b)(a − b) = a^2 − b^2
Produktet av konjugerte uttrykk blir en differanse av to kvadrater.
- Eksempel: (x + 4)(x − 4) = x^2 − 16.
- Vanlig feil: Å få et mellomledd selv om kryssleddene kansellerer hverandre.
- Til eksamen: Se etter mønsteret u^2 − v^2 før du velger en lengre faktoriseringsmetode.
Likninger
Andregradsformelen
x = (−b ± √(b^2 − 4ac)) / (2a)
Løser likningen ax^2 + bx + c = 0 når a ≠ 0.
- Eksempel: x^2 − 5x + 6 = 0 gir x = 2 eller x = 3.
- Vanlig feil: Å lese b = 5 i stedet for b = −5.
- Til eksamen: Skriv verdiene av a, b og c eksplisitt før innsetting.
Funksjoner
Stigningstall mellom to punkter
a = (y2 − y1) / (x2 − x1)
Stigningstallet beskriver endringen i y per enhet endring i x.
- Eksempel: Gjennom (1, 3) og (5, 11) er a = (11 − 3)/(5 − 1) = 2.
- Vanlig feil: Å bytte rekkefølge bare i telleren eller bare i nevneren.
- Til eksamen: Tolk stigningstallet med enhet i modelleringsoppgaver.
Funksjoner og derivasjon
Gjennomsnittlig vekstfart
(f(b) − f(a)) / (b − a)
Måler den gjennomsnittlige endringen i funksjonsverdi på intervallet [a, b].
- Eksempel: Hvis f(2)=5 og f(6)=17, er gjennomsnittlig vekstfart 3.
- Vanlig feil: Å bruke f(b−a) i stedet for f(b)−f(a).
- Til eksamen: Forklar hva tallet betyr i konteksten, ikke stopp ved beregningen.
Derivasjon av en potensfunksjon
d/dx (x^n) = n·x^(n−1)
Eksponenten flyttes ned som faktor, og eksponenten reduseres med én.
- Eksempel: f(x)=3x^4−2x gir f'(x)=12x^3−2.
- Vanlig feil: Å redusere eksponenten uten å multiplisere med den opprinnelige eksponenten.
- Til eksamen: Bruk den deriverte til å svare på vekstfart, tangent eller ekstremalpunkt etterpå.
Tangentlikning i punktet x = a
y − f(a) = f'(a)(x − a)
Tangenten går gjennom punktet (a, f(a)) og har stigningstall f'(a).
- Eksempel: For f(x)=x^2 og a=2 får vi y−4=4(x−2), altså y=4x−4.
- Vanlig feil: Å bruke a som y-verdi eller å glemme at punktet er (a, f(a)).
- Til eksamen: Kontroller ved å sette x=a i tangentlikningen og se at y=f(a).
Geometri og trigonometri
Pytagoras’ setning
a^2 + b^2 = c^2
I en rettvinklet trekant er summen av katetenes kvadrater lik hypotenusens kvadrat.
- Eksempel: Kateter 6 og 8 gir hypotenus √(36+64)=10.
- Vanlig feil: Å bruke den lengste siden som katet eller bruke setningen i en vilkårlig trekant.
- Til eksamen: Marker den rette vinkelen og hvilken side som er hypotenusen før beregning.
Sinussetningen
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Kobler hver side i en trekant til sinus av motstående vinkel.
- Eksempel: Kjenner du A=40°, a=7 og B=65°, finner du b=7·sin65°/sin40°.
- Vanlig feil: Å pare en side med en vinkel som ikke ligger mot siden.
- Til eksamen: Tegn eller merk motstående par før du setter opp forholdet.
Cosinussetningen
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab·cos(C)
Generaliserer Pytagoras til trekanter som ikke nødvendigvis er rettvinklede.
- Eksempel: Med a=5, b=7 og C=60° får vi c^2=25+49−35=39.
- Vanlig feil: Å bruke feil vinkel i cosinusleddet.
- Til eksamen: Skriv hvilken side som ligger mot vinkelen før du velger bokstaver.
Arealsetningen
Areal = 1/2 · a · b · sin(C)
Finner arealet av en trekant fra to sider og den mellomliggende vinkelen.
- Eksempel: a=6, b=9 og C=30° gir areal 13,5.
- Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de valgte sidene.
- Til eksamen: Ta med kvadrert enhet i svaret.
Vektorer
Lengden av en vektor i planet
|v| = √(v_x^2 + v_y^2)
Vektorlengden finnes med Pytagoras på komponentene.
- Eksempel: v=(3,4) har lengde 5.
- Vanlig feil: Å skrive v_x + v_y eller glemme kvadratroten.
- Til eksamen: Skill tydelig mellom vektoren v og tallet |v|.
Skalarprodukt i koordinatform
u·v = u_xv_x + u_yv_y
Skalarproduktet kobler komponenter til vinkel og ortogonalitet.
- Eksempel: (2,1)·(1,−2)=2−2=0, så vektorene står vinkelrett.
- Vanlig feil: Å returnere en vektor i stedet for et tall.
- Til eksamen: Skriv konklusjonen i ord: skalarproduktet er null, derfor er vektorene ortogonale.
Sannsynlighet
Addisjonssetningen
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sannsynligheten for A eller B må korrigeres for overlappen som ellers telles to ganger.
- Eksempel: P(A)=0,4, P(B)=0,3 og P(A∩B)=0,1 gir P(A∪B)=0,6.
- Vanlig feil: Å summere P(A)+P(B) uten å trekke fra overlappen.
- Til eksamen: Tegn venndiagram når hendelsene og overlappen er vanskelige å holde oversikt over.
Betinget sannsynlighet
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Sannsynligheten for A når vi vet at B har skjedd, beregnes i det reduserte utfallsrommet B.
- Eksempel: P(A∩B)=0,12 og P(B)=0,30 gir P(A|B)=0,40.
- Vanlig feil: Å bytte P(A|B) og P(B|A).
- Til eksamen: Skriv med ord hva Betingelsen B betyr før du regner.