Bevis og begrunnelser i Matematikk 1T

Lær matematisk argumentasjon og sentrale bevis i 1T med presise forklaringer, eksempler og eksamensføring.

Bevis er der 1T skiller seg tydeligst fra 1P. Du skal ikke bare regne riktig, men vise hvorfor noe alltid er sant. Hvert bevis under står med påstanden, forutsetningene, stegene, et eksempel, den vanligste feilen og hvordan det brukes til eksamen.

Oversikten dekker 10 bevis fordelt på 9 temaer.

Tall og algebra

Summen av to oddetall er et partall

Påstand: Hvis a og b er oddetall, er a + b et partall.

Forutsetning: Et oddetall kan skrives som 2k + 1 for et heltall k.

Slik går beviset:

  1. Skriv a = 2m + 1 og b = 2n + 1.
  2. Summer: a + b = 2m + 1 + 2n + 1.
  3. Faktoriser: a + b = 2(m + n + 1).
  4. Siden m + n + 1 er et heltall, er summen delelig med 2.

Eksempel: 7 + 11 = 18 illustrerer resultatet, men det generelle beviset må bruke vilkårlige heltall m og n.

Vanlig feil: Å bruke bare ett tallpar som bevis. Et eksempel viser at påstanden kan stemme, men beviser ikke at den alltid stemmer.

Til eksamen: Vis eksplisitt hvorfor uttrykket til slutt har formen 2k.

Algebra

Bevis for første kvadratsetning

Påstand: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Forutsetning: Potens betyr gjentatt multiplikasjon, og parenteser multipliseres distributivt.

Slik går beviset:

  1. Skriv (a + b)^2 som (a + b)(a + b).
  2. Multipliser hvert ledd i første parentes med hvert ledd i den andre.
  3. Da får vi a^2 + ab + ab + b^2.
  4. Slå sammen de to like leddene ab til 2ab.

Eksempel: (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9.

Vanlig feil: Å skrive a^2 + b^2 og glemme kryssleddene.

Til eksamen: Bruk likhetstegn mellom ekvivalente uttrykk og vis mellomleddet med to ab-ledd.

Bevis for konjugatsetningen

Påstand: (a + b)(a − b) = a^2 − b^2.

Forutsetning: Distributiv multiplikasjon og fortegnsregning.

Slik går beviset:

  1. Multipliser a med begge leddene i den andre parentesen.
  2. Multipliser b med begge leddene i den andre parentesen.
  3. Resultatet blir a^2 − ab + ab − b^2.
  4. Kryssleddene −ab og +ab kansellerer.

Eksempel: (x + 5)(x − 5) = x^2 − 25.

Vanlig feil: Å få et mellomledd fordi fortegnet i −b ikke håndteres korrekt.

Til eksamen: Pek på kanselleringen av kryssleddene; det er selve begrunnelsen for mønsteret.

Likninger

Utledning av andregradsformelen

Påstand: Løsningene av ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0, er x = (−b ± √(b^2 − 4ac))/(2a).

Forutsetning: Fullføre kvadratet og bevare ekvivalens ved samme operasjon på begge sider.

Slik går beviset:

  1. Divider likningen med a.
  2. Flytt konstantleddet til høyre side.
  3. Legg til (b/2a)^2 på begge sider for å fullføre kvadratet.
  4. Skriv venstresiden som (x + b/2a)^2.
  5. Ta kvadratroten og husk både positiv og negativ rot.

Eksempel: For x^2 − 5x + 6 = 0 gir formelen x = 2 eller x = 3.

Vanlig feil: Å glemme ± når en kvadratlikning kvadratrotas.

Til eksamen: Ved utledning må hvert ekvivalente trinn vises; ved vanlig bruk holder det å identifisere a, b og c korrekt.

Funksjoner

Hvorfor stigningstallet er Δy/Δx

Påstand: For en rett linje er forholdet mellom vertikal og horisontal endring konstant.

Forutsetning: Likeformede trekanter og koordinatforskjeller.

Slik går beviset:

  1. Velg to punkter P(x1,y1) og Q(x2,y2) på linjen.
  2. Den horisontale endringen er x2 − x1 og den vertikale er y2 − y1.
  3. Alle rettvinklede trekanter som dannes langs samme linje, er likeformede.
  4. Dermed er forholdet mellom motstående og hosliggende katet konstant.
  5. Dette konstante forholdet er a = (y2 − y1)/(x2 − x1).

Eksempel: Gjennom (1,3) og (5,11) er stigningstallet 8/4 = 2.

Vanlig feil: Å bytte rekkefølge bare i telleren eller bare i nevneren.

Til eksamen: Forklar også enheten, for eksempel kroner per måned eller meter per sekund.

Derivasjon

Deriver x² fra definisjonen

Påstand: Hvis f(x)=x^2, er f'(x)=2x.

Forutsetning: Definisjonen f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)−f(x)]/h.

Slik går beviset:

  1. Sett f(x+h)=(x+h)^2 inn i definisjonen.
  2. Multipliser ut: x^2 + 2xh + h^2.
  3. Trekk fra f(x)=x^2.
  4. Faktoriser telleren til h(2x+h).
  5. Forkort med h når h ≠ 0.

Eksempel: Ved x=3 er tangentens stigningstall f'(3)=6.

Vanlig feil: Å sette h=0 før h er forkortet; da oppstår divisjon med null.

Til eksamen: Skill tydelig mellom at h nærmer seg null og at h er lik null.

Geometri

Arealbevis for Pytagoras’ setning

Påstand: I en rettvinklet trekant gjelder a^2 + b^2 = c^2.

Forutsetning: Areal av kvadrat og trekant.

Slik går beviset:

  1. Lag et stort kvadrat med side a+b.
  2. Plasser fire like rettvinklede trekanter inni kvadratet slik at et indre kvadrat med side c oppstår.
  3. Arealet er både (a+b)^2 og fire trekantarealer pluss c^2.
  4. Skriv (a+b)^2 = 4·ab/2 + c^2.
  5. Forenkle til a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2.

Eksempel: For a=3 og b=4 får vi c^2=9+16=25, altså c=5.

Vanlig feil: Å bruke setningen uten å ha vist eller fått oppgitt at trekanten er rettvinklet.

Til eksamen: En tydelig figur med merkede sider gjør arealargumentet vesentlig lettere å følge.

Trigonometri

Begrunnelse for sinussetningen

Påstand: I en trekant gjelder a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C).

Forutsetning: Arealsetningen og at samme trekant har ett bestemt areal.

Slik går beviset:

  1. Skriv arealet som K = 1/2·b·c·sin(A).
  2. Skriv det samme arealet som K = 1/2·a·c·sin(B).
  3. Sett uttrykkene lik hverandre.
  4. Forkort felles faktor 1/2·c.
  5. Da får vi b·sin(A)=a·sin(B).

Eksempel: Kjenner vi a, A og B, kan b bestemmes fra b=a·sin(B)/sin(A).

Vanlig feil: Å pare en side med en vinkel som ikke ligger mot siden.

Til eksamen: Marker motstående side-vinkel-par i figuren før formelen brukes.

Vektorer

Hvorfor skalarprodukt null betyr vinkelrett

Påstand: For ikke-null vektorer u og v gjelder u·v=0 hvis vinkelen mellom dem er 90°.

Forutsetning: Den geometriske formelen u·v=|u||v|cos(θ).

Slik går beviset:

  1. Sett θ=90° i den geometriske skalarproduktformelen.
  2. Siden cos(90°)=0, blir produktet |u||v|·0=0.
  3. Omvendt: Hvis u og v er ikke-null og u·v=0, må cos(θ)=0.
  4. For vinkelen mellom to vektorer i intervallet 0° til 180° betyr dette θ=90°.

Eksempel: (2,1)·(1,−2)=2−2=0, derfor står vektorene vinkelrett.

Vanlig feil: Å konkludere om vinkel når en av vektorene er nullvektoren; nullvektoren har ingen bestemt retning.

Til eksamen: Skriv både beregning og verbal konklusjon.

Sannsynlighet

Kriteriet for uavhengige hendelser

Påstand: A og B er uavhengige når P(A∩B)=P(A)P(B).

Forutsetning: Definisjonen P(A|B)=P(A∩B)/P(B), der P(B)>0.

Slik går beviset:

  1. Uavhengighet betyr at P(A|B)=P(A).
  2. Sett inn definisjonen av betinget sannsynlighet.
  3. Da får vi P(A∩B)/P(B)=P(A).
  4. Multipliser begge sider med P(B).
  5. Resultatet blir P(A∩B)=P(A)P(B).

Eksempel: To separate kast med en rettferdig terning oppfyller produktregelen.

Vanlig feil: Å forveksle uavhengige hendelser med disjunkte hendelser. Disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er ikke uavhengige.

Til eksamen: Test kriteriet med tall og skriv en tydelig konklusjon om hendelsene er uavhengige.

Videre i Matematikk 1T