Konvergens betyr at en matematisk størrelse nærmer seg en bestemt verdi når en prosess fortsetter. I Matematikk R2 møter du konvergens særlig i følger og rekker. En følge kan konvergere hvis leddene nærmer seg en grenseverdi. En rekke kan konvergere hvis delsummene nærmer seg en grenseverdi. Dette skillet er det viktigste å forstå.
Denne artikkelen er et kort, men grundig sammendrag for elever som vil repetere konvergens før prøve eller eksamen. Den passer sammen med /ressursbank/artikler/viktige-begreper-om-konvergens, /ressursbank/artikler/vanlige-feil-i-konvergens og /ressursbank/artikler/hvordan-ove-til-prove-i-konvergens.
Hovedidéen
Når noe konvergerer, nærmer det seg en bestemt verdi. Verdien kalles ofte en grenseverdi. Det betyr ikke at uttrykket nødvendigvis blir nøyaktig lik verdien. Det betyr at det kan komme nærmere og nærmere når n blir stor.
Et enkelt eksempel er følgen 1, 1/2, 1/4, 1/8 og så videre. Leddet blir mindre og mindre og nærmer seg 0. Vi sier at følgen konvergerer mot 0. I en rekke ser vi derimot på summene: 1, 1 + 1/2, 1 + 1/2 + 1/4 og videre. Disse delsummene nærmer seg 2.
Følger og konvergens
En følge er en liste med tall eller uttrykk: a_1, a_2, a_3 og så videre. Følgen konvergerer hvis leddene a_n nærmer seg en bestemt verdi når n går mot uendelig. Hvis leddene ikke nærmer seg én bestemt verdi, divergerer følgen.
Eksempel: a_n = 5 + 1/n konvergerer mot 5. Når n blir stor, blir 1/n liten, og uttrykket nærmer seg 5. Følgen b_n = (-1)^n konvergerer ikke, fordi den veksler mellom -1 og 1 og ikke nærmer seg én bestemt verdi.