Diskrete og kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, binomialfordeling, normalfordeling og hypotesetesting.
Sannsynlighet og statistikk
I dette kapittelet studerer vi sannsynlighetsfordelinger – matematiske modeller for tilfeldige hendelser. Vi ser på binomialfordelingen, normalfordelingen og grunnleggende hypotesetesting.
5A Diskrete fordelinger – repetisjon 5B Binomialfordelingen 5C Normalfordelingen 5D Konfidensintervaller 5E Hypotesetesting
5A · Diskrete fordelinger – repetisjon
En diskret stokastisk variabel \(X\) kan ta et endelig eller telbart antall verdier. Fordelingen beskrives ved sannsynlighetsfunksjonen \(P(X = k)\).
📌 Forventningsverdi og varians
$E(X) = \mu = \sum_k k \cdot P(X = k)$ $\text{Var}(X) = \sigma^2 = \sum_k (k - \mu)^2 P(X = k) = E(X^2) - \mu^2$
5B · Binomialfordelingen
Binomialfordelingen brukes når vi gjennomfører \(n\) uavhengige forsøk, hvert med to utfall: «suksess» (med sannsynlighet \(p\)) eller «fiasko» (med sannsynlighet \(1-p\)).
📌 \(X \sim B(n, p)\)
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$ $E(X) = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p), \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$
✅ Eksempel 1
Kaster en mynt 10 ganger. La \(X\) = antall kron. \(X \sim B(10, 0{,}5)\). Finn \(P(X = 6)\) og \(E(X)\).
$P(X=6) = \binom{10}{6}(0{,}5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0{,}205$ $E(X) = 10 \cdot 0{,}5 = 5$
5C · Normalfordelingen
Normalfordelingen er den viktigste kontinuerlige sannsynlighetsfordelingen – klokkeformen dukker opp overalt i naturen og samfunnet.
📌 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)
Sannsynlighetstetthet: \(f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
Standardisering: \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)\)
68-95-99,7-regelen:
- 68 % av observasjonene er innenfor \(\mu \pm \sigma\)
- 95 % er innenfor \(\mu \pm 2\sigma\)
- 99,7 % er innenfor \(\mu \pm 3\sigma\)
✅ Eksempel 2
Høyden til norske menn er normalfordelt med \(\mu = 179\) cm, \(\sigma = 7\) cm. Finn andelen menn mellom 172 og 186 cm.
Standardiser: \(z_1 = \frac{172-179}{7} = -1\), \(z_2 = \frac{186-179}{7} = 1\).
Sannsynlighet: \(P(-1 \le Z \le 1) \approx 68\%\).
5D · Konfidensintervaller
📌 Konfidensintervall for andel
$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
For 95 % konfidensintervall: \(z_{\alpha/2} = 1{,}96\).
5E · Hypotesetesting
Hypotesetesting brukes til å avgjøre om data gir tilstrekkelig grunnlag for å forkaste en nullhypotese \(H_0\).
📌 Steg i hypotesetesting
- Formuler \(H_0\) og \(H_1\)
- Velg signifikansnivå \(\alpha\) (typisk 0,05)
- Beregn testobservator og p-verdi
- Konklusjon: forkast \(H_0\) hvis p-verdi \(< \alpha\)
🔵 Oppgaver
Grunnleggende
- \(X \sim B(8, 0{,}4)\). Finn \(P(X = 3)\), \(E(X)\) og \(\sigma\).
- En normalfordelt variabel har \(\mu = 50\) og \(\sigma = 10\). Finn \(P(40 \le X \le 70)\).
- I en undersøkelse svarer 360 av 600 respondenter «ja». Lag et 95 % konfidensintervall for andelen som sier «ja» i befolkningen.
Middels og eksamensnivå …