Grensekostnad, grenseinntekt, konsumentoverskudd, produsentoverskudd og optimeringsmodeller med derivasjon og integrasjon.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
Matematikk møter økonomi når vi beskriver kostnad, inntekt og overskudd med funksjoner — og bruker den deriverte til å finne det beste valget: størst overskudd eller lavest kostnad.
1 Kostnad, inntekt og overskudd
Begreper
- Overskudd: \(O(x)=I(x)-K(x)\).
- Grensekostnad \(K'(x)\), grenseinntekt \(I'(x)\): endringen ved én enhet til.
Eksempel 1
\(I(x)=100x\), \(K(x)=2x^2+20x+300\). \(O(x)=100x-(2x^2+20x+300)=-2x^2+80x-300\).
2 Optimering
Regel
Overskuddet er størst der \(O'(x)=0\) — altså der grenseinntekt er lik grensekostnad: \(I'(x)=K'(x)\).
Eksempel 2
\(O(x)=-2x^2+80x-300\Rightarrow O'(x)=-4x+80=0\Rightarrow x=20\), \(O(20)=500\). Størst overskudd ved 20 enheter.
✍ Prøv selv
\(O(x)=-x^2+40x-100\). Optimalt antall?
Vis løsning
\(O'=-2x+40=0\Rightarrow x=20,\ O=300\).
📌 Sammendrag
- Overskudd \(O=I-K\); grenseinntekt/-kostnad er \(I',K'\).
- Størst overskudd der \(O'(x)=0\) (\(I'=K'\)).
🧪 Test deg selv
- \(O=-x^2+20x\); optimalt \(x\)? Svar 10.
- Grensekostnad er den deriverte av? Svar Kostnaden \(K(x)\).