Ubestemte og bestemte integraler, integrasjonsregler, arealberegning og volum av omdreiningslegemer.
Integrasjon
Integrasjon er den inverse operasjonen til derivasjon. Vi bruker integraler til å beregne arealer under kurver, akkumulert vekst og mye mer.
3A Ubestemte integraler 3B Integrasjonsregler 3C Bestemte integraler 3D Arealberegning 3E Areal mellom to kurver
3A · Ubestemte integraler
Hvis \(F'(x) = f(x)\) kaller vi \(F(x)\) en antiderivert av \(f(x)\). Det ubestemte integralet samler alle slike antideriverte:
📌 Ubestemt integral
$\int f(x)\,dx = F(x) + C$
der \(C\) er en vilkårlig konstant (integrasjonskonstanten).
3B · Integrasjonsregler
📌 Viktige integrasjonsregler
- \(\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) \((n \ne -1)\)
- \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)
- \(\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C\)
- \(\displaystyle\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C\)
- \(\displaystyle\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx\)
- \(\displaystyle\int [f(x)+g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx\)
✅ Eksempel 1
Finn \(\displaystyle\int (3x^2 - 6x + 4)\,dx\).
$= x^3 - 3x^2 + 4x + C$
✅ Eksempel 2 – Integrasjon med substitusjon
Finn \(\displaystyle\int (2x+1)^4\,dx\).
La \(u = 2x+1\), \(du = 2\,dx\), dvs. \(dx = \frac{du}{2}\).
$\int u^4 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{(2x+1)^5}{10} + C$
3C · Bestemte integraler
Det bestemte integralet gir et konkret tall – arealet mellom kurven og \(x\)-aksen fra \(a\) til \(b\).
📌 Analysens fundamentalteorem
$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
der \(F\) er en antiderivert av \(f\).
✅ Eksempel 3
Beregn \(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx\).
$= [x^2 + x]_1^3 = (9+3) - (1+1) = 12 - 2 = 10$
3D · Arealberegning
Arealet mellom kurven \(y = f(x)\) og \(x\)-aksen fra \(a\) til \(b\) er:
📌 Arealformel
$A = \int_a^b |f(x)|\,dx$
NB! Dersom \(f(x)\) skifter fortegn i intervallet må du dele opp integralet og bruke absoluttverdi.
✅ Eksempel 4 – Areal under parabelen
Finn arealet under \(f(x) = x^2\) mellom \(x=0\) og \(x=3\).
$A = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$
3E · Areal mellom to kurver
📌 Areal mellom to kurver
$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx \quad \text{der } f(x) \ge g(x) \text{ i } [a,b]$
✅ Eksempel 5
Finn arealet mellom \(f(x) = x+2\) og \(g(x) = x^2\).
Skjæring: \(x^2 = x+2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow x=-1, x=2\).
$A = \int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2 = \frac{9}{2}$
🔵 Oppgaver
Grunnleggende
- Finn de ubestemte integralene: a) \(\int 4x^3\,dx\) b) \(\int (2x-5)\,dx\) c) \(\int e^{3x}\,dx\) d) \(\int \frac{1}{x}\,dx\)
- Beregn: a) \(\int_0^2 x^2\,dx\) b) \(\int_1^4 \sqrt{x}\,dx\) c) \(\int_0^1 e^x\,dx\)
Middels og eksamensnivå
- Bruk substitusjon til å beregne \(\int (3x-1)^5\,dx\).
- Finn arealet av flaten avgrenset av \(y = 4 - x^2\) og \(x\)-aksen.
- Finn arealet mellom \(y = x^3\) og \(y = x\) (to skjæringspunkter: finn dem først).
- En bedrifts grenseinntekt er \(MI(x) = 200 - 4x\) kr/enhet. Finn total inntektsøkning ved å gå fra produksjon 10 til 30 enheter.