Arealberegning, sinussetningen, cosinussetningen, trigonometri i rommet og vektorintroduksjon.
Geometri og trigonometri
I dette kapittelet bruker vi trigonometri til å beregne ukjente sider og vinkler i vilkårlige trekanter – ikke bare rettvinklede. Vi ser på sinussetningen og cosinussetningen, beregner arealer og løser praktiske romgeometri-oppgaver.
1A Sinus, cosinus og tangens – repetisjon 1B Sinussetningen 1C Cosinussetningen 1D Arealsetningen 1E Romgeometri
1A · Sinus, cosinus og tangens – repetisjon
I en rettvinklet trekant med vinkel \(\theta\) definerer vi:
📌 Definisjoner i rettvinklet trekant
- \(\sin\theta = \dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}\)
- \(\cos\theta = \dfrac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}\)
- \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}\)
Videre gjelder Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) der \(c\) er hypotenusen.
Viktige eksakte verdier du bør huske:
| \(\theta\) | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) |
|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) |
| 45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 |
| 60° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| 90° | 1 | 0 | – |
1B · Sinussetningen
Sinussetningen gjelder i alle trekanter – ikke bare rettvinklede. For en trekant med sider \(a\), \(b\), \(c\) og motstående vinkler \(A\), \(B\), \(C\) er:
📌 Sinussetningen
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
der \(R\) er radien til den omskrevne sirkelen.
Sinussetningen brukes når du kjenner:
- To vinkler og én side (VVS)
- To sider og en vinkel ikke mellom sidene (SSV – men pass opp for tvetydighet!)
✅ Eksempel 1 – Finn ukjent side
I trekant \(ABC\): \(A = 40°\), \(B = 75°\), \(a = 8\). Finn \(b\).
Løsning: Siden vinkelsummen er 180° er \(C = 65°\).
$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} \approx \frac{8 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 12{,}0$
1C · Cosinussetningen
📌 Cosinussetningen
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Spesielt: dersom \(A = 90°\) gir første linje Pythagoras \(a^2 = b^2 + c^2\).
Cosinussetningen brukes når du kjenner:
- To sider og vinkelen mellom dem (SVS)
- Alle tre sider (SSS) – for å finne en vinkel
✅ Eksempel 2 – Finn vinkel fra tre sider
Sider: \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 9\). Finn vinkel \(C\).
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 - 81}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-7}{70} \approx -0{,}1$ $C = \arccos(-0{,}1) \approx 95{,}7°$
1D · Arealsetningen
📌 Arealsetningen
$T = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A$
Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av to sider og sinus til den innlagte vinkelen.
✅ Eksempel 3 – Areal
\(b = 6\), \(c = 10\), \(A = 50°\). Finn arealet. …