Matematikk S2 eksamen vår 2024 - REA3062 oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk S2

Eksamenssett.no: Løsningsforslag Matematikk S2S2S2 Vår 2024, brukt som kontroll for delresultater.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Integral og areal

📝 OppgaveBruk f(x)=−x3+3xf(x)=-x^{3}+3xf(x)=−x3+3x til å regne et bestemt integral og arealet mellom grafen og x-aksen. ✅ Modellbesvarelse

1. En antiderivert til f(x)=−x3+3xf(x)=-x^{3}+3xf(x)=−x3+3x er F(x)=−x4/4+3x2/2F(x)=-x^{4}/4+3x^{2}/2F(x)=−x4/4+3x2/2.
2. Integral fra -1 til 0 blir F(0)−F(−1)=0−(−14+32)=−54F(0)-F(-1)=0-(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{2})=-\tfrac{5}{4}F(0)−F(−1)=0−(−41​+23​)=−45​.
3. Areal krever absoluttverdi av nettoareal. På [-1,0] ligger grafen under x-aksen, og på [0,1] ligger den over x-aksen.
4. Arealet blir derfor 54+54=52\tfrac{5}{4} + \tfrac{5}{4} = \tfrac{5}{2}45​+45​=25​.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven skiller tydelig mellom bestemt integral og geometrisk areal.

Oppgave 2

2

Program og rekker

📝 OppgaveForklar et program som summerer en tallfølge og finn når summen passerer en grense. ✅ Modellbesvarelse

1. Når programmet oppdaterer både ledd og sum i en løkke, må vi følge startverdier, oppdateringsregel og stoppbetingelse.
2. Et typisk S2S2S2-svar bør forklare hva hver variabel betyr: n teller ledd, a er gjeldende ledd, og S er samlet sum.
3. Hvis løkken har betingelsen S≤200S \le 200S≤200, stopper den først etter at summen har blitt større enn 200.
4. Derfor er resultatet det første leddnummeret der summen passerer grensen, ikke nødvendigvis der summen er lik grensen.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven leser koden matematisk og unngår den vanlige feilen med stoppbetingelsen.

Oppgave 3

3

Kostnadsfunksjon og enhetskostnad

📝 OppgaveBruk sammenhengen mellom kostnad K(x)K(x)K(x) og enhetskostnad E(x)E(x)E(x). ✅ Modellbesvarelse

1. Enhetskostnad er E(x)=K(x)/xE(x)=K(x)/xE(x)=K(x)/x, altså kostnad per produsert enhet.
2. Hvis K(x)K(x)K(x)=ax^2+bx+c, blir E(x)E(x)E(x)=ax+b+c/xb+c/xb+c/x.
3. Lavest enhetskostnad finnes ved å derivere E(x)E(x)E(x) og sette E′(x)=0E'(x)=0E′(x)=0.
4. Den økonomiske tolkningen er at bedriften finner produksjonsnivået der gjennomsnittskostnaden per enhet er minst.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den forklarer både regnemetode og økonomisk betydning.

Oppgave 4

4

Normaltilnærming til binomisk fordeling

📝 OppgaveVurder om normalfordeling kan brukes som tilnærming til en binomisk modell. ✅ Modellbesvarelse

1. For en binomisk variabel X med n forsøk og sannsynlighet p må både np og n(1−p)n(1-p)n(1−p) være større enn omtrent 5.
2. Når kravene er oppfylt, bruker vi forventning mu=np og standardavvik sigma=sqrt(np(1-p)).
3. Normaltilnærming gir en rask og god vurdering av sannsynligheter når antall forsøk er stort.
4. Et presist svar bør nevne at kontinuitetskorreksjon kan brukes når vi går fra heltallsvariabel til normalfordeling.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven ikke bare bruker normalfordeling, men kontrollerer om tilnærmingen er lovlig.

Oppgave 5

5

Salgsmodell og pris

📝 OppgaveBruk en logistisk salgsmodell til å anslå samlet salg og gjennomsnittlig pris. ✅ Modellbesvarelse

1. I løsningskontrollen blir samlet salg over 52 uker funnet ved å integrere salgsfarten over året.
2. Den relevante antideriverte kan skrives med logaritmeledd, og kontrollverdien for antall solgte enheter er omtrent 18 864.
3. Når total inntekt og antall solgte enheter sammenlignes, blir gjennomsnittlig pris omtrent 53 kr per enhet.
4. Tolkningen bør være praktisk: modellen anslår ikke bare uke-for-uke-salg, men samlet volum over en periode.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi integralet tolkes som akkumulert salg, ikke bare som en teknisk beregning.

Oppgave 6

6

Binomisk fordeling og hypotesetest

📝 OppgaveLegemiddel A virker med sannsynlighet 75 %. Vurder om legemiddel B virker bedre. ✅ Modellbesvarelse

1. For legemiddel A er X binomisk fordelt: X~Bin(n,0,75).
2. Når n=12n=12n=12, er P(X=9)=C(12,9)⋅0,759⋅0,253P(X=9)=C(12,9)\cdot 0,75^{9}\cdot 0,25^{3}P(X=9)=C(12,9)⋅0,759⋅0,253, omtrent 0,258.
3. For legemiddel B testes H0H0H0: p=0,75p=0,75p=0,75 mot H1H1H1: p>0,75.
4. Når B virker på 9 av 10, er p-verdien P(X≥9)P(X\ge 9)P(X≥9) under Bin(10,0,75), omtrent 0,244.
5. Siden 0,244>0,05 forkaster vi ikke H0H0H0. Vi kan ikke konkludere med at B er bedre.
6. For 200 pasienter gir normaltilnærming μ=150\mu =150μ=150 og sigma=37,5\sqrt{37,5}37,5 ​. Kritisk grense blir X≥161X\ge 161X≥161.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den formulerer hypotesene, beregner p-verdi og skiller mellom observasjon og statistisk konklusjon.

Oppgave 7

7

Annuitetslån

📝 OppgaveRegn med boliglån på 2 500 000 kr, rente 5,5 % og endret lånebeløp etter fem år. ✅ Modellbesvarelse

1. Med K0=2500000,r=0,055K0=2 500 000, r=0,055K0=2500000,r=0,055 og n=25n=25n=25 gir annuitetsformelen årlig terminbeløp omtrent 186 376 kr.
2. Etter fem år er restgjelden omtrent 2 227 201 kr.
3. Når Olivia låner 500 000 kr ekstra, blir ny gjeld omtrent 2 727 201 kr.
4. Med 20 år igjen og samme rente blir nytt terminbeløp omtrent 228 200 kr.
5. Hvis hun heller betaler 200 000 kr per termin, gir annuitetslikningen n omtrent 25,92.
6. Nedbetalingstiden blir derfor 26 år, med en mindre siste termin.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven holder orden på restgjeld, ny hovedstol og gjenstående betalingstid.

Oppgave 8

8

Kubikktall og programmering

📝 OppgaveFinn rekursiv og eksplisitt formel for summen av kubikktall, og beregn S_50. ✅ Modellbesvarelse

1. La S_n være summen av de n første kubikktallene.
2. Rekursivt får vi S1=1S_1=1S1​=1 og S_(n+1)=Sn+(n+1)3(n+1)=S_n+(n+1)^{3}(n+1)=Sn​+(n+1)3.
3. Den eksplisitte formelen er Sn=(n(n+1)/2)2S_n=(n(n+1)/2)^{2}Sn​=(n(n+1)/2)2.
4. For n=50n=50n=50 får vi S50=(50⋅512)2=12752S_50=(50\cdot \tfrac{51}{2})^{2}=1275^{2}S5​0=(50⋅251​)2=12752.
5. Dermed er S50=1625625S_50=1 625 625S5​0=1625625.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi rekursiv og eksplisitt representasjon kobles sammen, og programmet kan kontrolleres mot formelen.

Oppgave 9

9

Hypergeometrisk fordeling

📝 OppgaveSvein trekker 15 baller og får 9 røde og 6 blå. Finn sannsynlighet og mest sannsynlig kurvstørrelse. ✅ Modellbesvarelse

1. Med 30 baller totalt er det 15 røde og 15 blå. Da er X hypergeometrisk fordelt.
2. P(X=9)=C(15,9)⋅C(15,6)/C(30,15)P(X=9)=C(15,9)\cdot C(15,6)/C(30,15)P(X=9)=C(15,9)⋅C(15,6)/C(30,15), omtrent 0,1615.
3. For ukjent kurvstørrelse lar vi 2N2N2N være totalt antall baller, med N av hver farge.
4. Sannsynligheten blir C(N,9)⋅C(N,6)/C(2N,15)C(N,9)\cdot C(N,6)/C(2N,15)C(N,9)⋅C(N,6)/C(2N,15).
5. Kontrollberegning viser at N=17N=17N=17 og N=18N=18N=18 gir høyest sannsynlighet.
6. Det mest sannsynlige antallet baller i kurven er derfor 34 eller 36.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven velger hypergeometrisk modell og undersøker ukjent populasjonsstørrelse systematisk.

Ofte stilte spørsmål

Hva er de viktigste temaene i S2 vår 2024?Integrasjon, areal, programmering, kostnadsmodeller, binomisk sannsynlighet, hypotesetest, annuitetslån, rekursjon og hypergeometrisk fordeling.Hva må et sterkt S2-svar vise?Et sterkt svar viser metode, mellomregning, kontroll av forutsetninger og en tydelig konklusjon i kontekst.Er dette en kopi av eksamensoppgaven?Nei. Oppgavekortene er ifingos egne korte oppgaveformuleringernet. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S2

Relaterte sider

Matematikk S2EksamensoppgaverMatematikk