Matematikk S2 eksamen vår 2022 - REA3028 oppgaver og løsningsforslag

Øv til S2 vår 2022 med Ifingo-oppgavekort, modellbesvarelser, sterke svar-forklaringer, FAQ og internlenker.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk S2

Studocu-forhåndsvisning av REA3028 Matematikk S2S2S2 vår 2022, brukt til å kontrollere oppgavestruktur.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver funksjoner med logaritme, produkt/kjerneregel og brøk. ✅ Modellbesvarelse
  1. For g(x)=ln⁡(x2+4)g(x)=\ln (x^{2}+4)g(x)=ln(x2+4) brukes kjerneregelen: g′(x)=2x/(x2+4)g'(x)=2x/(x^{2}+4)g′(x)=2x/(x2+4).
  2. For et uttrykk som x⋅e−2x2x\cdot e^{-2x^{2}}x⋅e−2x2 brukes produktregelen og kjerneregelen på e-leddet.
  3. For en brøkfunksjon som 2x/(x2+1)2x/(x^{2}+1)2x/(x2+1) brukes brøkregelen.
  4. Et sterkt svar viser hvilken regel som brukes før uttrykket forenkles.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven viser metodevalg og ikke bare skriver en ferdig derivert.

Oppgave 2

2

Funksjonsdrøfting

📝 OppgaveDrøft en tredjegradsfunksjon: nullpunkter, topp-/bunnpunkter, vendetangent og skisse. ✅ Modellbesvarelse
  1. Start med å kontrollere gitt nullpunkt og faktoriser polynomet videre.
  2. For ekstremalpunkter løses f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0. Eksakte x-verdier bør oppgis når det lar seg gjøre.
  3. Vendetangent finnes ved å løse f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0, finne vendepunktet og bruke stigningstallet f′(x0)f'(x0)f′(x0).
  4. Skissen bør vise nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt og riktig hovedform.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi algebra, derivasjon og grafisk tolkning henger sammen.

Oppgave 3

3

Aritmetisk og geometrisk rekke

📝 OppgaveEn rekke har a2=8a2=8a2=8 og a4=2a4=2a4=2. Finn summen av seks første ledd når rekken er aritmetisk eller geometrisk. ✅ Modellbesvarelse
  1. Aritmetisk: a4=a2+2da4=a2+2da4=a2+2d, altså 2=8+2d2=8+2d2=8+2d. Dermed d=−3d=-3d=−3.
  2. Da er a1=11a1=11a1=11, og de seks første leddene er 11, 8, 5, 2, -1, -4.
  3. Summen blir 21.
  4. Geometrisk: a4=a2⋅k2a4=a2\cdot k^{2}a4=a2⋅k2 gir 2=8k22=8k^{2}2=8k2, altså k=12k=\tfrac{1}{2}k=21​ eller k=−12k=-\tfrac{1}{2}k=−21​.
  5. Hvis k=12k=\tfrac{1}{2}k=21​, blir a1=16a1=16a1=16 og summen av seks første ledd 31,5.
  6. Hvis k=−12k=-\tfrac{1}{2}k=−21​, blir a1=−16a1=-16a1=−16 og summen av seks første ledd -10,5.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven ser at den geometriske rekken har to mulige kvotienter.

Oppgave 4

4

Virkestoff og geometrisk rekke

📝 OppgaveElise tar én tablett med 125 mg hver dag. Kroppen bryter ned 20 % per døgn. ✅ Modellbesvarelse
  1. Etter ett døgn står 80 % igjen, altså vekstfaktor 0,8 for restmengden.
  2. Like etter fjerde tablett har hun 125(1+0,8+0,82+0,83)125(1+0,8+0,8^{2}+0,8^{3})125(1+0,8+0,82+0,83) mg i kroppen.
  3. Dette er 125⋅2,952=369125\cdot 2,952 = 369125⋅2,952=369 mg.
  4. Over lang tid blir dette en uendelig geometrisk rekke med sum 125/(1−0,8)125/(1-0,8)125/(1−0,8).
  5. Langtidsnivået blir 625 mg.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven modellerer gjentatte doser som en geometrisk rekke.

Oppgave 5

5

Kostnad og etterspørsel

📝 OppgaveAnalyser K(x)=0,2x2+80x+720K(x)=0,2x^{2}+80x+720K(x)=0,2x2+80x+720 for 0<x<400, og vurder etterspørsel/inntekt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Grensekostnaden er K′(x)=0,4x+80K'(x)=0,4x+80K′(x)=0,4x+80.
  2. Når det koster 160 kr å øke produksjonen med én enhet, løser vi 0,4x+80=1600,4x+80=1600,4x+80=160. Da er x=200x=200x=200.
  3. Med salgspris 180 kr er grenseinntekten 180 kr. Ved x=300x=300x=300 er K′(300)=200K'(300)=200K′(300)=200, altså høyere enn prisen. Det lønner seg derfor ikke å øke produksjonen over 300.
  4. Enhetskostnaden er K(x)/x=0,2x+80+720/xK(x)/x=0,2x+80+720/xK(x)/x=0,2x+80+720/x.
  5. Lavest enhetskostnad finnes fra E′(x)=0E'(x)=0E′(x)=0, som gir x=60x=60x=60.
  6. For etterspørselen q(p)=10000ln⁡p,pi[2,10]q(p)=10000\ln p, p i [2,10]q(p)=10000lnp,pi[2,10], er inntekten I(p)=10000pln⁡pI(p)=10000p \ln pI(p)=10000plnp. Den er voksende på intervallet, så laveste inntekt fås ved p=2p=2p=2: ca. 13 863 kr.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven skiller mellom grensekostnad, enhetskostnad og inntekt.

Oppgave 6

6

Torskefilet og normaltilnærming

📝 OppgaveAntall fileter per pose har verdier 5,6,7,8,9 med sannsynligheter 0,1,0,2,0,4,0,2,0,1. ✅ Modellbesvarelse
  1. Forventningsverdien blir E(X)=7E(X)=7E(X)=7. Det betyr at én pose i gjennomsnitt inneholder 7 fileter.
  2. Variansen blir Var(X)=1,2.
  3. For 120 poser er S summen av uavhengige variabler. Da er E(S)=120⋅7=840E(S)=120\cdot 7=840E(S)=120⋅7=840.
  4. Variansen er Var(S)=120⋅1,2=144120\cdot 1,2=144120⋅1,2=144, og standardavviket er 12.
  5. Siden S er sum av mange uavhengige like fordelte variabler, kan S tilnærmes normalfordelt.
  6. Caroline trenger 822 fileter. Med kontinuitetskorreksjon bruker vi P(S≥822)P(S\ge 822)P(S≥822) omtrent P(S>821,5)P(S>821,5)P(S>821,5).
  7. z=(821,5−840)/12=−1,54z=(821,5-840)/12=-1,54z=(821,5−840)/12=−1,54. Sannsynligheten blir omtrent 0,94.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den begrunner normaltilnærmingen og bruker forventning/varians for sum riktig.

Oppgave 7

7

Logistisk immunitetsmodell

📝 OppgaveBruk regresjon på andel immune i en by og tolk en modell for nye immune per måned. ✅ Modellbesvarelse
  1. Velg t slik at t=1t=1t=1 svarer til slutten av januar 2021,t=22021, t=22021,t=2 til slutten av februar, og så videre.
  2. Dataene øker raskt og flater ut, så en logistisk modell er naturlig.
  3. En logistisk modell kan brukes til å finne når andelen passerer 85 %. Kontrollberegning med typisk logistisk form gir et tidspunkt rundt måned 9, avhengig av regresjonen.
  4. Modellen vil ha en øvre grense. Derfor blir hele befolkningen ikke nødvendigvis 100 % immun ifølge modellen.
  5. For en annen by er N(t)=2300e−0,61t/(1+40e−0,61t)2N(t)=2300e^{-0,61t}/(1+40e^{-0,61t})^{2}N(t)=2300e−0,61t/(1+40e−0,61t)2 en modell for prosentandelen nye immune per måned.
  6. Integral fra 0,5 til 12,5 tolkes som samlet prosentandel som ble nye immune i løpet av året. Kontrollverdi er rundt 89 prosentpoeng.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven tolker både regresjonsmodell og integral i kontekst.

Oppgave 8

8

Kaffe og hypotesetest

📝 OppgaveKaffeposer er normalfordelt. Maskinen justeres fra 250 g til høyere forventning, og ledelsen tester om den fyller for lite. ✅ Modellbesvarelse
  1. Før justering er X~N(250,5)N(250,5)N(250,5). Sannsynligheten for 245<X<255 er P(−1<Z<1)P(-1<Z<1)P(−1<Z<1), omtrent 0,683.
  2. For at høyst 5 % skal veie under 250 g, må (250−μ)/5≤−1,645(250-\mu )/5 \le -1,645(250−μ)/5≤−1,645.
  3. Dermed må mu minst være 250+1,645*5, omtrent 258,2 g.
  4. Hvis maskinen settes til μ=260\mu =260μ=260, er P(X<250)=P(Z<−2)P(X<250)=P(Z<-2)P(X<250)=P(Z<−2), omtrent 0,0228.
  5. Sannsynligheten for at ingen av 10 poser i en eske er under 250 g blir (1−0,0228)10(1-0,0228)^{1}0(1−0,0228)10, omtrent 0,79.
  6. Hypotesetest: H0H0H0: μ=260\mu =260μ=260 og H1H1H1: mu<260.
  7. For n=50n=50n=50 og et observert gjennomsnitt rundt 258-258,5 g blir testobservatoren klart negativ. P-verdien ligger under 5 %, så det er grunnlag for mistanken.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven setter opp både sikkerhetsmargin og hypotesetest med riktig retning.

Oppgave 9

9

Camillas sparing og forbrukslån

📝 OppgaveCamilla sparer 5000 kr i måneden i 24 måneder og vurderer forbrukslån på 100 000 kr. ✅ Modellbesvarelse
  1. Månedlig rente er 0,2 %, altså vekstfaktor 1,002.
  2. 24 månedlige innskudd på 5000 kr gir en geometrisk sum. Like etter innskudd nummer 24 er beløpet omtrent 122 801 kr.
  3. For lånet med månedlig rente 1,5 %, n=36n=36n=36 og L=100000L=100 000L=100000 bruker vi annuitetsformelen.
  4. Terminbeløpet blir omtrent 3615 kr per måned.
  5. Hvis terminbeløpet er 2926 kr og lånet fortsatt er 100 000 kr over 36 måneder, løser vi annuitetsformelen for r.
  6. Månedlig rente blir omtrent 0,284 %.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi månedlige renter, antall terminer og annuitetsformelen behandles presist.

Ofte stilte spørsmål

Hvilken fagkode gjelder for S2 vår 2022?S2S2S2 vår 2022 hører til gammel fagkode REA3028. Den er senere erstattet av REA3062.Hva er de viktigste temaene i S2 vår 2022?Derivasjon, funksjonsdrøfting, rekker, kostnad/etterspørsel, sannsynlighet, normalfordeling, logistisk modell, sparing, annuitetslån og hypotesetest.Er alle oppgavekortene direkte kopier fra eksamen?Nei. De er ifingos egne korte oppgaveformuleringer. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S2

Relaterte sider

Matematikk S2EksamensoppgaverMatematikk

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo