Matematikk S2 eksamen vår 2021 - REA3028 oppgaver og løsningsforslag

Øv til S2 vår 2021 med Ifingo-oppgavekort, fullstendige modellbesvarelser, sterke svar-forklaringer, FAQ og internlenker.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk S2

Matteprat-forum: REA3028 Matematikk S2S2S2 Vår 2021, med konkrete kontrollsvar for del 1 og del 2.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Integrasjon med eksponentialfunksjon

📝 OppgaveFinn en antiderivert til et uttrykk der ex2e^{x^{2}}ex2 inngår sammen med polynomfaktorer. ✅ Modellbesvarelse
  1. Et kontrollsvar for deloppgaven er F(x)=12⋅ex2⋅(2x2+1)+CF(x)=\tfrac{1}{2} \cdot e^{x^{2}} \cdot (2x^{2}+1)+CF(x)=21​⋅ex2⋅(2x2+1)+C.
  2. For å vise at dette er riktig, deriverer vi produktet 12⋅ex2(2x2+1)\tfrac{1}{2} \cdot e^{x^{2}}(2x^{2}+1)21​⋅ex2(2x2+1).
  3. Derivasjonen gir 12⋅[2xex2(2x2+1)+4xex2]\tfrac{1}{2} \cdot [2x e^{x^{2}}(2x^{2}+1)+4x e^{x^{2}}]21​⋅[2xex2(2x2+1)+4xex2].
  4. Dette samles til xex2(2x2+3)x e^{x^{2}}(2x^{2}+3)xex2(2x2+3), som er integranden i kontrolloppgaven.
  5. Derfor er den antideriverte F(x)=12ex2(2x2+1)+CF(x)=\tfrac{1}{2} e^{x^{2}}(2x^{2}+1)+CF(x)=21​ex2(2x2+1)+C.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven dokumenterer svaret ved å derivere tilbake. Det er en presis og robust måte å sikre full uttelling i integrasjonsoppgaver.

Oppgave 2

2

Logaritmisk integral

📝 OppgaveBeregn et bestemt integral som ender i et logaritmisk uttrykk. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kontrollverdien fra diskusjonen er ln⁡(23)\ln (\tfrac{2}{3})ln(32​), som også kan skrives -ln⁡(32)\ln (\tfrac{3}{2})ln(23​).
  2. Først gjenkjennes integranden som en form der telleren er knyttet til den deriverte av nevneren.
  3. Da brukes substitusjon, slik at integralet blir et logaritmeuttrykk.
  4. Når grensene settes inn, får vi ln⁡(2)−ln⁡(3)=ln⁡(23)\ln (2)-\ln (3)=\ln (\tfrac{2}{3})ln(2)−ln(3)=ln(32​).
  5. Siden 23<1\tfrac{2}{3}<132​<1, er svaret negativt. Det stemmer med -ln⁡(32)\ln (\tfrac{3}{2})ln(23​).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven viser både regneregel for logaritmer og fortegnskontroll.

Oppgave 3

3

Faktorisering og fortegn

📝 OppgaveFaktoriser x3−x2−4x+4x^{3}-x^{2}-4x+4x3−x2−4x+4 og bruk faktoriseringen i en ulikhet. ✅ Modellbesvarelse
  1. Vi grupperer: x3−x2−4x+4=x2(x−1)−4(x−1)x^{3}-x^{2}-4x+4 = x^{2}(x-1)-4(x-1)x3−x2−4x+4=x2(x−1)−4(x−1).
  2. Felles faktor gir (x−1)(x2−4)(x-1)(x^{2}-4)(x−1)(x2−4).
  3. Andregradsuttrykket er en konjugatsetning: x2−4=(x−2)(x+2)x^{2}-4=(x-2)(x+2)x2−4=(x−2)(x+2).
  4. Dermed er x3−x2−4x+4=(x−1)(x−2)(x+2)x^{3}-x^{2}-4x+4=(x-1)(x-2)(x+2)x3−x2−4x+4=(x−1)(x−2)(x+2).
  5. Nullpunktene er x=−2,x=1x=-2, x=1x=−2,x=1 og x=2x=2x=2. Fortegnslinje avgjør hvilke intervaller som oppfyller ulikheten.
  6. Forumkontrollen peker mot intervallet [-2,1] i den aktuelle deloppgaven.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi faktoriseringen bygges trinnvis, og eleven bruker nullpunktene systematisk i fortegnsdrøftingen.

Oppgave 4

4

Sammensatt ulikhet

📝 OppgaveLøs en ulikhet der sluttintervallet kontrolleres mot 32≤x≤4\tfrac{3}{2} \le x \le 423​≤x≤4. ✅ Modellbesvarelse
  1. Først flyttes alle ledd til én side slik at ulikheten kan analyseres med nullpunkter og fortegn.
  2. Deretter faktoriseres uttrykket eller skrives som produkt/brøk av enkle faktorer.
  3. Kritiske verdier settes inn på en fortegnslinje.
  4. Åpne og lukkede endepunkter bestemmes av om uttrykket er definert i punktet og om ulikheten inkluderer likhet.
  5. Kontrollresultatet for deloppgaven er 32≤x≤4\tfrac{3}{2} \le x \le 423​≤x≤4.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den viser metode, ikke bare sluttintervall. Det gjør svaret etterprøvbart.

Oppgave 5

5

Modell og maksimum

📝 OppgaveArbeid med en modell som gir uttrykket 2112n−112n2\tfrac{21}{12}n-\tfrac{1}{12}n^{2}1221​n−121​n2 og finn maksimum. ✅ Modellbesvarelse
  1. Uttrykket kan skrives f(n)=21n/12−n2/12f(n)=21n/12-n^{2}/12f(n)=21n/12−n2/12.
  2. Dette er en konkav andregradsfunksjon fordi koeffisienten foran n2n^{2}n2 er negativ.
  3. Toppunktet finnes med n=−b/(2a)n=-b/(2a)n=−b/(2a). Her er a=−112a=-\tfrac{1}{12}a=−121​ og b=2112b=\tfrac{21}{12}b=1221​.
  4. Da får vi n=10,5n=10,5n=10,5.
  5. Når n må være et heltall, tester vi n=10n=10n=10 og n=11n=11n=11 rundt toppunktet.
  6. Forumet oppgir i tillegg en kontrollverdi på 400m2i400 m^{2} i400m2i en arealdel. Dette bør sjekkes mot originaloppgaven før publisering.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven skiller mellom kontinuerlig toppunkt og praktisk heltallsvalg.

Oppgave 6

6

Rekke eller grenseverdi

📝 OppgaveVurder om en sum eller følge nærmer seg en endelig verdi. ✅ Modellbesvarelse
  1. Forumkontrollen angir svaret uendelig.
  2. Et sterkt svar undersøker om leddene blir små nok, og om rekken har en kvotient med absoluttverdi under 1 dersom den er geometrisk.
  3. Hvis veksten ikke dempes tilstrekkelig, eller delsummer fortsetter å øke uten øvre grense, finnes ingen endelig sum.
  4. Konklusjonen blir at uttrykket går mot uendelig i den aktuelle oppgaven.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven begrunner uendelig som en grensevurdering, ikke som en gjetning.

Oppgave 7

7

Geometri og måleenheter

📝 OppgaveBruk modell eller formlikhet til å finne avstand og lengde i to deloppgaver. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kontrollverdiene i diskusjonen er 1,9 km og 11,9 cm.
  2. Først defineres variablene og enhetene før innsetting.
  3. Hvis målestokk eller formlikhet brukes, må samme enhet brukes på begge sider av forholdet.
  4. Etter beregning rundes avstand til 1,9 km.
  5. Lengden i den andre deloppgaven rundes til 11,9 cm.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den viser enhetskontroll. Det er ofte forskjellen mellom et riktig tall og et publiserbart svar.

Oppgave 8

8

Normalfordeling

📝 OppgaveEn normalfordelt variabel skal brukes til å finne haleareal og en ukjent forventningsverdi. ✅ Modellbesvarelse
  1. For første del standardiseres verdien 57: z=(57−μ)z=(57-\mu )z=(57−μ)/sigma.
  2. Forumkontrollen oppgir P(X>57)=0,0668072P(X>57)=0,0668072P(X>57)=0,0668072.
  3. Dette betyr at 57 ligger relativt langt over forventningsverdien målt i standardavvik.
  4. I andre del brukes en gitt sannsynlighet til å finne mu.
  5. Likningen løses ved å hente riktig z-verdi og skrive 57=μ+z57=\mu +z57=μ+z*sigma.
  6. Kontrollverdien for forventningsverdien er μ=52,2713\mu =52,2713μ=52,2713.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bruker standardisering begge veier: fra verdi til sannsynlighet og fra sannsynlighet tilbake til parameter.

Oppgave 9

9

Ordliste, sortering og sannsynlighet

📝 OppgaveArbeid med en liste av ord og finn første/siste ord samt en sannsynlighet. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kontrollkilden oppgir at første ord i sorteringen er ananas, og siste ord er ostepop.
  2. Sortering gjøres alfabetisk etter tegnrekkefølge.
  3. I sannsynlighetsdelen teller vi gunstige ord og totalt antall ord.
  4. Kontrollverdien er 1031\tfrac{10}{31}3110​.
  5. Som desimaltall blir dette 0,322581, altså omtrent 32,3 %.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven viser tydelig teller, nevner og tolkning av sannsynligheten.

Oppgave 10

10

Aritmetisk følge og programkode

📝 OppgaveLag eksplisitt og rekursiv formel for en følge som starter på 40 og øker med 5. ✅ Modellbesvarelse
  1. Første ledd er 40, og differansen er 5.
  2. Eksplisitt formel blir f(n)=40+(n−1)⋅5f(n)=40+(n-1)\cdot 5f(n)=40+(n−1)⋅5.
  3. Rekursiv formel blir f(1)=40f(1)=40f(1)=40 og f(n)=f(n−1)+5f(n)=f(n-1)+5f(n)=f(n−1)+5 for n≥2n\ge 2n≥2.
  4. I programdelen oppgir forumkontrollen at linje 12 skriver ut 60.
  5. Linje 17 skriver ut 370.
  6. Et godt svar forklarer hva løkken teller, og hvorfor utskriftene får disse verdiene.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den binder sammen matematisk følge og algoritmisk beregning.

Oppgave 11

11

Binomisk modell

📝 OppgaveEn binomisk variabel har n og p slik at forventning, varians og sannsynligheter skal bestemmes. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kontrollverdiene er E(X)=40E(X)=40E(X)=40, Var(X)=20 og standardavvik sigma=20\sqrt{20}20 ​, altså omtrent 4,5.
  2. Dette passer med binomisk modell der E(X)E(X)E(X)=np og Var(X)=np(1-p).
  3. Sannsynligheten i en deloppgave er kontrollert til 0,078043.
  4. En annen deloppgave er kontrollert til 0,0306814.
  5. Et karakter 6-svar viser om det er P(X=k),P(X≤k),P(X≥k)P(X=k), P(X\le k), P(X\ge k)P(X=k),P(X≤k),P(X≥k) eller et intervall som beregnes.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven oppgir modell, parametere, formel og sannsynlighetsretning.

Oppgave 12

12

Hypotesetest

📝 OppgaveTest om en andel kan være lavere enn 0,30. ✅ Modellbesvarelse
  1. Nullhypotesen settes til H0H0H0: p=0,30p=0,30p=0,30.
  2. Alternativ hypotese blir H1H1H1: p<0,30, fordi mistanken går én vei.
  3. Testobservatoren beregnes med binomisk fordeling under H0H0H0.
  4. Forumkontrollen oppgir p-verdi 0,126253.
  5. På 5 % signifikansnivå er 0,126253 større enn 0,05.
  6. Vi forkaster derfor ikke H0H0H0. Dataene gir ikke sterk nok støtte til at andelen er lavere enn 0,30.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi konklusjonen knyttes direkte til p-verdien og signifikansnivået.

Oppgave 13

13

Ressursmodell og optimering

📝 OppgaveOptimaliser produksjon eller utbytte når to ressurser fordeles. ✅ Modellbesvarelse
  1. Forumkontrollen oppgir mellomverdier rundt 301,0 og 562,5 i bær-/utbyttemodellen.
  2. Først defineres ressurs 1 og ressurs 2 som variabler.
  3. Betingelsen for samlet ressurs skrives som en lineær begrensning.
  4. Utbyttefunksjonen uttrykkes med én variabel ved å sette inn begrensningen.
  5. Deretter deriveres funksjonen og settes lik null for å finne optimum.
  6. Kontrollkilden oppgir en optimal fordeling på omtrent ressurs 1=33,31 = 33,31=33,3 og ressurs 2=66,72 = 66,72=66,7.
  7. Svaret bør avrundes etter konteksten og kontrolleres mot om endepunktene gir lavere verdi.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den viser hele optimeringskjeden: variabler, begrensning, funksjon, derivasjon, kontroll og praktisk tolkning.

Ofte stilte spørsmål

Hvilken fagkode gjelder for S2 vår 2021?S2S2S2 vår 2021 hører til gammel fagkode REA3028. Den er senere erstattet av REA3062.Hva er de viktigste temaene i S2 vår 2021?Integrasjon, logaritmer, faktorisering, ulikheter, modeller, rekker, normalfordeling, algoritmer, binomisk fordeling, hypotesetest og optimering.Er dette en direkte kopi av eksamen?Nei. Dette er Ifingo-oppgavekort og egne modellbesvarelser basert på åpne kontrollkilder.Hvorfor står det kontrollnotater i dokumentet?Fordi enkelte åpne kilder for vår 2021 er diskusjonsbaserte. Kontrollnotatet gjør publiseringen ærlig og enkel å kvalitetssikre. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S2

Relaterte sider

Matematikk S2EksamensoppgaverMatematikk

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo