Matematikk S2 eksamen høst 2023 - oppgaver og løsningsforslag

Ifingo-side for S2 høst 2023 med oppgavekort, modellbesvarelser, overgangsnote om REA3028/REA3062, FAQ og internlenker.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk S2

Spørsmål / oppgavekort: Regn integralet av x3+2xx^{3}+2xx3+2x fra -1 til 1 og forklar hva svaret betyr.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Odde funksjon og integral

📝 OppgaveRegn integralet av x3+2xx^{3}+2xx3+2x fra -1 til 1 og forklar hva svaret betyr. ✅ Modellbesvarelse
  1. Funksjonen f(x)=x3+2xf(x)=x^{3}+2xf(x)=x3+2x er odd, fordi f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x).
  2. På et symmetrisk intervall [-1,1] blir integralet av en odd funksjon lik 0.
  3. Direkte regning gir antiderivert x4/4+x2x^{4}/4+x^{2}x4/4+x2, og verdien ved 1 og -1 er lik.
  4. Integralverdien er derfor 0.
  5. Tolkningen er ikke at arealet er null, men at positivt og negativt fortegnsareal kansellerer hverandre.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven skiller mellom nettoareal og geometrisk areal, og bruker symmetri effektivt.

Oppgave 2

2

Geometrisk og aritmetisk rekke

📝 OppgaveBestem summen av fire første ledd i en geometrisk rekke og finn midtleddet i en aritmetisk rekke. ✅ Modellbesvarelse
  1. For den uendelige geometriske rekken er S=8S=8S=8 og a1=4a1=4a1=4. Formelen S=a1/(1−k)S=a1/(1-k)S=a1/(1−k) gir k=12k=\tfrac{1}{2}k=21​.
  2. Summen av de fire første leddene blir S4=4(1−124)/(1−12)=152=7,5S4=4(1-\tfrac{1}{2}^{4})/(1-\tfrac{1}{2})=\tfrac{15}{2}=7,5S4=4(1−21​4)/(1−21​)=215​=7,5.
  3. I den aritmetiske rekken er a1,a4a1, a4a1,a4 og a7a7a7 symmetrisk plassert rundt a4a4a4.
  4. Dermed er a1+a4+a7=3a4=114a1+a4+a7 = 3a4 = 114a1+a4+a7=3a4=114.
  5. Vi får a4=38a4=38a4=38.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den velger riktig sumformel og ser strukturen i den aritmetiske rekken.

Oppgave 3

3

Kostnadsgraf og enhetskostnad

📝 OppgaveTolk tangenter og linjer i en kostnadsgraf for å finne enhetskostnad og grensekostnad. ✅ Modellbesvarelse
  1. Enhetskostnad er E(x)=K(x)/xE(x)=K(x)/xE(x)=K(x)/x. Når linjen fra origo til punktet på kostnadsgrafen har stigningstall 81,75 ved x=40x=40x=40, blir E(40)=81,75E(40)=81,75E(40)=81,75.
  2. Tangenten f(x)=31x+2030f(x)=31x+2030f(x)=31x+2030 har stigningstall 31 ved samme punkt.
  3. Dermed er grensekostnaden K′(40)=31K'(40)=31K′(40)=31.
  4. Den minste enhetskostnaden oppstår der linjen fra origo tangerer kostnadsgrafen.
  5. Kontrollverdien fra figuren gir minste enhetskostnad 60 kr per enhet.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven tolker stigningstall økonomisk og ikke blander gjennomsnittskostnad og marginalkostnad.

Oppgave 4

4

Program som beregner areal

📝 OppgaveForklar et program som summerer abs(x2−1x^{2}-1x2−1) på intervallet [-2,2], og finn arealet ved regning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Programmet bruker en Riemann-sum til å tilnærme integralet av |x2−1∣x^{2}-1|x2−1∣ fra -2 til 2.
  2. Nullpunktene til x2−1x^{2}-1x2−1 er x=−1x=-1x=−1 og x=1x=1x=1, så integralet må deles i tre deler.
  3. På [-2,-1] og [1,2] er funksjonen positiv. På [-1,1] er den negativ, så absoluttverdien gir 1−x21-x^{2}1−x2.
  4. De tre delarealene blir 43,43\tfrac{4}{3}, \tfrac{4}{3}34​,34​ og 43\tfrac{4}{3}34​.
  5. Totalt areal er 4.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven forstår hvorfor absoluttverdi krever oppdeling ved nullpunktene.

Oppgave 5

5

Forventning og varians

📝 OppgaveTrekk en kule med vekt 4 kg, 5 kg eller 10 kg. Vis E(X)=6E(X)=6E(X)=6 og finn variansen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sannsynlighetene er P(4)=14,P(5)=12P(4)=\tfrac{1}{4}, P(5)=\tfrac{1}{2}P(4)=41​,P(5)=21​ og P(10)=14P(10)=\tfrac{1}{4}P(10)=41​.
  2. Forventningen er 4⋅14+5⋅12+10⋅14=64\cdot \tfrac{1}{4} + 5\cdot \tfrac{1}{2} + 10\cdot \tfrac{1}{4} = 64⋅41​+5⋅21​+10⋅41​=6.
  3. E(X2)=16⋅14+25⋅12+100⋅14=41,5E(X^{2})=16\cdot \tfrac{1}{4} + 25\cdot \tfrac{1}{2} + 100\cdot \tfrac{1}{4} = 41,5E(X2)=16⋅41​+25⋅21​+100⋅41​=41,5.
  4. Variansen er Var(X)=E(X2)−E(X)2=41,5−36=5,5E(X^{2})-E(X)^{2} = 41,5-36 = 5,5E(X2)−E(X)2=41,5−36=5,5.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven viser hele fordelingen før forventning og varians beregnes.

Oppgave 6

6

Etterspørsel, inntekt og grensekostnad

📝 OppgaveBruk etterspørselsmodeller til å finne pris, maksimal inntekt og produksjon der grenseinntekt er lik grensekostnad. ✅ Modellbesvarelse
  1. For varen med gitt etterspørselsfunksjon løses q(p)=70q(p)=70q(p)=70 for å finne prisen som gir 70 solgte enheter per dag.
  2. For modellen p=79−12,2ln⁡xp=79-12,2\ln xp=79−12,2lnx blir inntekten I(x)=x(79−12,2ln⁡x)I(x)=x(79-12,2\ln x)I(x)=x(79−12,2lnx).
  3. Derivasjon gir I′(x)=66,8−12,2ln⁡xI'(x)=66,8-12,2\ln xI′(x)=66,8−12,2lnx.
  4. Maksimal inntekt får vi når I′(x)=0I'(x)=0I′(x)=0, som gir pris p=12,20p=12,20p=12,20 kr.
  5. Med K(x)=0,021x2+10x+910K(x)=0,021x^{2}+10x+910K(x)=0,021x2+10x+910 får vi K′(x)=0,042x+10K'(x)=0,042x+10K′(x)=0,042x+10.
  6. Likningen I′(x)=K′(x)I'(x)=K'(x)I′(x)=K′(x) gir x omtrent 80. Praktisk betyr det produksjonsnivået der overskuddet er størst.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven kobler etterspørsel, inntekt, derivasjon og økonomisk tolkning.

Oppgave 7

7

Sparing med geometrisk rekke

📝 OppgaveRegn med årlige innskudd, fast rente og økende sparebeløp. ✅ Modellbesvarelse
  1. Miriam setter inn 20 000 kr i 20 år med rente 3,5 %. Like etter innskudd 20 er summen en geometrisk rekke.
  2. S=20000(1,03520−1)/0,035S=20000(1,035^{2}0-1)/0,035S=20000(1,03520−1)/0,035, som gir omtrent 565 594 kr.
  3. For Hermod gir b(1,03520−1)/0,035=692852b(1,035^{2}0-1)/0,035 = 692 852b(1,03520−1)/0,035=692852, altså b=24500b=24 500b=24500 kr.
  4. Hvis Miriam skal nå 1 000 000 kr og øker innskuddet med d hvert år, settes summen opp som sum av (20000+(k−1)d)⋅1,03520−k(20000+(k-1)d)\cdot 1,035^{20-k}(20000+(k−1)d)⋅1,03520−k.
  5. Kontrollverdien er d omtrent 1836 kr per år.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi tidslinjen for innskudd og rente er presis.

Oppgave 8

8

Normalfordeling og hypotesetest

📝 OppgaveAnalyser bremselengde med normalfordeling og test om gjennomsnittet er over 83 meter. ✅ Modellbesvarelse
  1. For én måling er X normalfordelt med μ=83\mu =83μ=83 og sigma=3,0.
  2. P(X>87)P(X>87)P(X>87) gir z=(87−83)/3=1,33z=(87-83)/3=1,33z=(87−83)/3=1,33, og sannsynligheten er omtrent 0,091.
  3. 90-persentilen blir k=83+1,282⋅3k=83+1,282\cdot 3k=83+1,282⋅3, omtrent 86,8 m.
  4. For gjennomsnitt av 15 målinger er standardavviket 3/153/\sqrt{15}3/15 ​, omtrent 0,775.
  5. P(xbar<84) blir omtrent 0,90.
  6. Hypotesetest: H0H0H0: μ=83,H1\mu =83, H1μ=83,H1: mu>83. Målingene gir xbar=84,18 og z omtrent 1,52.
  7. P-verdien er omtrent 0,064, større enn 0,05. Vi forkaster ikke H0H0H0.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bruker riktig standardavvik for gjennomsnitt og konkluderer med p-verdi.

Oppgave 9

9

Figurtall og rekursjon

📝 OppgaveBeskriv pentagon-figurtallene 1, 6, 16, 31, 51 og finn P100P100P100. ✅ Modellbesvarelse
  1. Differansene er 5, 10, 15, 20, ...
  2. Dette gir rekursjonen P1=1P1=1P1=1 og Pn=P(n−1)+5(n−1)P(n-1)+5(n-1)P(n−1)+5(n−1) for n≥2n\ge 2n≥2.
  3. Et program kan starte med P=1P=1P=1 og legge til 5(n-1) for n fra 2 til 100.
  4. Kontrollverdien er P100=24751P100=24 751P100=24751.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven forklarer både mønsteret og hvordan rekursjonen kan programmeres.

Oppgave 10

10

Simulering med blandet normalfordeling

📝 OppgaveAnslå sannsynligheten for at et tilfeldig barn på 24 måneder er lavere enn 84 cm. ✅ Modellbesvarelse
  1. Jentehøyde modelleres som X~N(87,3,3)N(87,3,3)N(87,3,3), og guttehøyde som Y~N(88,3,1)N(88,3,1)N(88,3,1).
  2. Siden populasjonen har like mange jenter og gutter, blir sannsynligheten et gjennomsnitt av de to normalfordelingene.
  3. For jenter: z=(84−87)/3,3=−0,909z=(84-87)/3,3=-0,909z=(84−87)/3,3=−0,909, som gir P omtrent 0,182.
  4. For gutter: z=(84−88)/3,1=−1,290z=(84-88)/3,1=-1,290z=(84−88)/3,1=−1,290, som gir P omtrent 0,099.
  5. Samlet sannsynlighet blir 0,5*0,182 + 0,5*0,099, omtrent 0,140.
  6. Et simuleringsprogram bør derfor gi omtrent 14 % når antall simuleringer er stort.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den forklarer hvorfor blandingen av to normalfordelinger ikke bare kan behandles som én normalfordeling.

Ofte stilte spørsmål

Hvilken fagkode bør brukes for S2 høst 2023?Bruk en tydelig overgangsnote. REA3028 er utgått med siste eksamen høst 2023, mens løsningskilden markerer dette settet som REA3062.Hva er de viktigste temaene i S2 høst 2023?Integral/symmetri, rekker, kostnadsanalyse, arealprogrammering, forventning/varians, sparing, normalfordeling, hypotesetest, figurtall og simulering.Er oppgavekortene direkte kopiert?Nei. De er ifingos egne korte oppgaveformuleringer, med egne modellbesvarelser og kontrollverdier fra åpne kilder. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S2

Relaterte sider

Matematikk S2EksamensoppgaverMatematikk

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo