Matematikk S2 eksamen høst 2022 - REA3028 oppgaver og løsningsforslag

Øv til S2 høst 2022 med Ifingo-oppgavekort, modellbesvarelser, sterke svar-forklaringer, FAQ og internlenker.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk S2

Studocu-forhåndsvisning av REA3028 Matematikk S216.11S2 16.11S216.11.2022, brukt til å kontrollere oppgavestruktur.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Geometrisk rekke

📝 OppgaveAvgjør om rekken 36−24+16−32336 - 24 + 16 - \tfrac{32}{3}36−24+16−332​ + ... konvergerer, og finn summen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Første ledd er a1=36a1=36a1=36.
  2. Kvotienten er k=−2436=−23k=-\tfrac{24}{36}=-\tfrac{2}{3}k=−3624​=−32​.
  3. Siden |k∣=23<1k|=\tfrac{2}{3}<1k∣=32​<1, konvergerer den uendelige geometriske rekken.
  4. Summen blir S=a1/(1−k)=36/(1+23)=36/53=1085S=a1/(1-k)=36/(1+\tfrac{2}{3})=36/\tfrac{5}{3}=\tfrac{108}{5}S=a1/(1−k)=36/(1+32​)=36/35​=5108​.
  5. Altså er summen 21,6.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven først sjekker konvergenskravet og deretter bruker riktig sumformel.

Oppgave 2

2

Polynom og eksponentiallikning

📝 OppgaveBruk faktorisering til å løse ulikhet og en likning med e-ledd. ✅ Modellbesvarelse
  1. For funksjonen f(x)=−2x3+6x2−8f(x)=-2x^{3}+6x^{2}-8f(x)=−2x3+6x2−8 kan faktoriseringen skrives f(x)=−2(x+1)(x−2)2f(x)=-2(x+1)(x-2)^{2}f(x)=−2(x+1)(x−2)2.
  2. Siden (x−2)2(x-2)^{2}(x−2)2 alltid er ikke-negativ, avgjøres fortegnet i hovedsak av -2(x+1).
  3. Ulikheten f(x)≤0f(x)\le 0f(x)≤0 gjelder derfor for x≥−1x\ge -1x≥−1, med x=2x=2x=2 som dobbelt nullpunkt.
  4. Likningen e3x−3e2x+4=0e^{3x}-3e^{2x}+4=0e3x−3e2x+4=0 kan løses ved substitusjon u=exu=e^{x}u=ex dersom uttrykket lar seg omskrive til polynom i u.
  5. Et sterkt svar viser substitusjonen, løser for u og går tilbake til x=ln⁡ux=\ln ux=lnu for positive u-verdier.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bruker struktur og fortegn, ikke bare grafisk gjetning.

Oppgave 3

3

Lineært likningssystem

📝 OppgaveTre kunder kjøper epler, poteter og moreller. Finn kiloprisene. ✅ Modellbesvarelse
  1. La e være pris per kg epler, p pris per kg poteter og m pris per kg moreller.
  2. Likningene blir e+2p+0,5m=155,2e+5p+m=330e+2p+0,5m=155, 2e+5p+m=330e+2p+0,5m=155,2e+5p+m=330 og 1,5e+3p+0,5m=1951,5e+3p+0,5m=1951,5e+3p+0,5m=195.
  3. Løser vi systemet, får vi e=40,p=20e=40, p=20e=40,p=20 og m=150m=150m=150.
  4. Kiloprisene er altså 40 kr/kg for epler, 20 kr/kg for poteter og 150 kr/kg for moreller.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi alle størrelser defineres før likningssystemet løses.

Oppgave 4

4

Aritmetisk sparing

📝 OppgaveIda sparer 100 kr første uke og øker med fast beløp. Hvor mye må økningen minst være for å nå 1900 kr etter 10 innskudd? ✅ Modellbesvarelse
  1. Dette er en aritmetisk rekke med a1=100,n=10a1=100, n=10a1=100,n=10 og differanse d.
  2. Summen blir S10=102⋅(2⋅100+9d)=1000+45dS10=\tfrac{10}{2}\cdot (2\cdot 100+9d)=1000+45dS10=210​⋅(2⋅100+9d)=1000+45d.
  3. Vi krever 1000+45d≥19001000+45d \ge 19001000+45d≥1900.
  4. Da får vi 45d≥90045d\ge 90045d≥900, altså d≥20d\ge 20d≥20.
  5. Ida må øke sparebeløpet med minst 20 kr hver uke.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven modellerer spareplanen som en rekke og tolker minsteverdien riktig.

Oppgave 5

5

Kostnad, etterspørsel og overskudd

📝 OppgaveKostnaden er K(x)=0,2x2+600x+8000K(x)=0,2x^{2}+600x+8000K(x)=0,2x2+600x+8000, og etterspørselen er e(p)=12000−10pe(p)=12000-10pe(p)=12000−10p. ✅ Modellbesvarelse
  1. Enhetskostnaden er E(x)=K(x)/x=0,2x+600+8000/xE(x)=K(x)/x=0,2x+600+8000/xE(x)=K(x)/x=0,2x+600+8000/x.
  2. Minimum finnes når E′(x)=0E'(x)=0E′(x)=0, altså 0,2−8000/x2=00,2-8000/x^{2}=00,2−8000/x2=0.
  3. Dette gir x2=40000x^{2}=40000x2=40000 og x=200x=200x=200.
  4. Etterspørselen e(p)=12000−10pe(p)=12000-10pe(p)=12000−10p gir p=1200−0,1xp=1200-0,1xp=1200−0,1x.
  5. Inntekten blir I(x)=x(1200−0,1x)I(x)=x(1200-0,1x)I(x)=x(1200−0,1x). Overskuddet O(x)=I(x)−K(x)=−0,3x2+600x−8000O(x)=I(x)-K(x)=-0,3x^{2}+600x-8000O(x)=I(x)−K(x)=−0,3x2+600x−8000.
  6. Toppunktet ligger ved x=1000x=1000x=1000. Prisen blir p=1200−0,1⋅1000=1100p=1200-0,1\cdot 1000=1100p=1200−0,1⋅1000=1100 kr.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven kobler pris, etterspørsel, kostnad og overskudd i én modell.

Oppgave 6

6

Eksponentialfunksjon og grafvalg

📝 OppgaveAnalyser f(x)=4(x2−5x+4)e−x/2f(x)=4(x^{2}-5x+4)e^{-x/2}f(x)=4(x2−5x+4)e−x/2, nullpunkter og derivasjon. ✅ Modellbesvarelse
  1. Nullpunktene kommer fra x2−5x+4=0x^{2}-5x+4=0x2−5x+4=0, altså (x−1)(x−4)=0(x-1)(x-4)=0(x−1)(x−4)=0.
  2. Dermed er nullpunktene x=1x=1x=1 og x=4x=4x=4.
  3. Den deriverte kan skrives f′(x)=−2(x2−9x+14)e−x/2f'(x)=-2(x^{2}-9x+14)e^{-x/2}f′(x)=−2(x2−9x+14)e−x/2.
  4. Siden e−x/2>0e^{-x/2}>0e−x/2>0, bestemmes fortegnet til den deriverte av -2(x-2)(x-7).
  5. Grafen må derfor ha vendende utvikling med ekstremalpunkter ved x=2x=2x=2 og x=7x=7x=7, og nullpunkter ved x=1x=1x=1 og x=4x=4x=4.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi grafvalget begrunnes med nullpunkter og fortegn til den deriverte.

Oppgave 7

7

Binomisk og normaltilnærming

📝 OppgaveEt lykkehjul har sannsynlighet 0,2 for grønt. Snurr 100 ganger og analyser X. ✅ Modellbesvarelse
  1. X er binomisk fordelt fordi vi har 100 uavhengige forsøk, samme sannsynlighet p=0,2p=0,2p=0,2 hver gang, og teller antall grønne.
  2. Forventning er mu=np=100⋅0,2=20100\cdot 0,2=20100⋅0,2=20.
  3. Standardavvik er sigma=sqrt(np(1-p))=sqrt(100*0,2*0,8)=4.
  4. Normaltilnærming er rimelig fordi np=20 og n(1−p)=80n(1-p)=80n(1−p)=80 er store nok.
  5. P(X>25)P(X>25)P(X>25) blir omtrent 0,087 med eksakt binomisk kontroll, eller rundt 0,08-0,09 med normaltilnærming.
  6. Minste k slik at P(X≥k)≤0,01P(X\ge k)\le 0,01P(X≥k)≤0,01 er k=31k=31k=31 med eksakt binomisk kontroll.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven kontrollerer modellforutsetninger og bruker både tilnærming og eksakt sannsynlighet bevisst.

Oppgave 8

8

Bakterievekst

📝 OppgaveBakterier vokser naturlig som N(t)=0,8e0,35tN(t)=0,8e^{0,35t}N(t)=0,8e0,35t. Med stoff følger modellen B(t)=0,8e0,35t−0,01t2B(t)=0,8e^{0,35t-0,01t^{2}}B(t)=0,8e0,35t−0,01t2. ✅ Modellbesvarelse
  1. Uten stoff blir avfallet helsefare når 0,8e0,35t>150,8e^{0,35t}>150,8e0,35t>15.
  2. Likningen 0,8e0,35t=150,8e^{0,35t}=150,8e0,35t=15 gir t=ln⁡(150,8)/0,35t=\ln (\tfrac{15}{0},8)/0,35t=ln(015​,8)/0,35, omtrent 8,37 dager.
  3. Med stoffet finner vi maksimum for eksponenten 0,35t−0,01t20,35t-0,01t^{2}0,35t−0,01t2.
  4. Toppunktet er ved t=0,35/(2⋅0,01)=17,5t=0,35/(2\cdot 0,01)=17,5t=0,35/(2⋅0,01)=17,5.
  5. Da er B(17,5)B(17,5)B(17,5) omtrent 17,10 millioner, altså blir avfallet helsefare med denne stoffmengden.
  6. For generell modell S(t)=0,8e^(0,35t-kt^2) må maksimum være høyst 15. Dette gir k minst omtrent 0,01045.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven bruker eksponenten til å finne toppunktet og vurderer helsefare matematisk.

Oppgave 9

9

Sparing og annuitetslån

📝 OppgaveAnniken sparer fra 15 til 20 år og tar senere opp annuitetslån på 2 millioner kroner. ✅ Modellbesvarelse
  1. Startbeløpet 30 000 kr vokser med månedlig rente 0,1 % i 60 måneder.
  2. Månedlige innskudd på 500 kr danner en geometrisk sum. Kontrollverdi for saldo etter innskuddet på 20-årsdagen er omtrent 62 800 kr, avhengig av eksakt rentetidspunkt.
  3. For lånet er L=2000000,r=0,024L=2 000 000, r=0,024L=2000000,r=0,024 og n=30n=30n=30.
  4. Annuitetsformelen gir årlig terminbeløp A=L⋅r(1+r)n/((1+r)n−1)A=L\cdot r(1+r)^{n}/((1+r)^{n}-1)A=L⋅r(1+r)n/((1+r)n−1).
  5. Dette gir A omtrent 94 286 kr, som oppgaven ber om å vise.
  6. Hvis hun maksimalt kan betale 110 000 kr per år, løses annuitetsformelen for r.
  7. Høyeste årlige rente hun har råd til er omtrent 3,59 %.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den skiller månedlig sparerente fra årlig lånerente og viser formelbruken tydelig.

Oppgave 10

10

Sjokoladeplater og hypotesetest

📝 OppgaveSjokoladeplater veier normalfordelt med μ=200g\mu =200 gμ=200g og sigma=4 g. Test om maskinen veier for lite. ✅ Modellbesvarelse
  1. P(X<195)P(X<195)P(X<195) får z=(195−200)/4=−1,25z=(195-200)/4=-1,25z=(195−200)/4=−1,25.
  2. Sannsynligheten er omtrent 0,106, altså 10,6 %.
  3. Sannsynligheten for at alle 10 plater i en eske veier over 195 g er (1−0,106)10(1-0,106)^{1}0(1−0,106)10, omtrent 0,327.
  4. En kartong med 100 plater har forventning 20 000 g og standardavvik 100⋅4=40g\sqrt{100}\cdot 4=40 g100 ​⋅4=40g.
  5. Kravet 19 900 til 20 100 g tilsvarer z mellom -2,5 og 2,5. Sannsynligheten er omtrent 0,988.
  6. Hypotesetest: H0H0H0: μ=200\mu =200μ=200 og H1H1H1: mu<200.
  7. Med n=100n=100n=100 og xbar=199,1 blir z=(199,1−200)/(4/100)=−2,25z=(199,1-200)/(4/\sqrt{100})=-2,25z=(199,1−200)/(4/100 ​)=−2,25.
  8. P-verdien er omtrent 0,012. På 5 % nivå forkaster vi H0H0H0 og konkluderer med at det er grunnlag for mistanken.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bruker normalfordeling både for enkeltplate, sum/gjennomsnitt og hypotesetest.

Ofte stilte spørsmål

Hvilken fagkode gjelder for S2 høst 2022?S2S2S2 høst 2022 hører til gammel fagkode REA3028. Den er senere erstattet av REA3062.Hva er de viktigste temaene i S2 høst 2022?Rekker, likningssystemer, økonomiske modeller, eksponentialfunksjoner, binomisk fordeling, normalfordeling, bakterievekst, annuitetslån og hypotesetest.Er oppgavekortene direkte kopiert?Nei. De er ifingos egne korte oppgaveformuleringer. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S2

Relaterte sider

Matematikk S2EksamensoppgaverMatematikk

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo