Matematikk S2 eksamen høst 2021 - REA3028 oppgaver og løsningsforslag

Øv til S2 høst 2021 med Ifingo-oppgavekort, modellbesvarelser, sterke svar-forklaringer, FAQ og internlenker.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk S2

Studocu-forhåndsvisning av Marius Nilsen / Bergen Private Gymnas løsningsforslag for S2S2S2 høst 2021.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=x3+exf(x)=x^{3}+e^{x}f(x)=x3+ex og g(x)=ln⁡(x3+1)g(x)=\ln (x^{3}+1)g(x)=ln(x3+1). ✅ Modellbesvarelse
  1. For f(x)=x3+exf(x)=x^{3}+e^{x}f(x)=x3+ex deriverer vi leddvis.
  2. Da blir f′(x)=3x2+exf'(x)=3x^{2}+e^{x}f′(x)=3x2+ex.
  3. For g(x)=ln⁡(x3+1)g(x)=\ln (x^{3}+1)g(x)=ln(x3+1) bruker vi kjerneregelen.
  4. Ytre derivert er 1/(x3+1)1/(x^{3}+1)1/(x3+1), og indre derivert er 3x23x^{2}3x2.
  5. Dermed er g′(x)=3x2/(x3+1)g'(x)=3x^{2}/(x^{3}+1)g′(x)=3x2/(x3+1).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven viser både leddvis derivasjon og kjerneregel tydelig.

Oppgave 2

2

Polynomdivisjon og eksponentiallikning

📝 OppgaveArbeid med P(x)=x3−2x2−31x−28P(x)=x^{3}-2x^{2}-31x-28P(x)=x3−2x2−31x−28: divisjon, faktorisering, fortegn og likning med exe^{x}ex. ✅ Modellbesvarelse
  1. P(1)=1−2−31−28=−60P(1)=1-2-31-28=-60P(1)=1−2−31−28=−60, så P(x)P(x)P(x) er ikke delelig med x-1.
  2. Polynomdivisjon med x+1 gir P(x)=(x+1)(x2−3x−28)P(x)=(x+1)(x^{2}-3x-28)P(x)=(x+1)(x2−3x−28).
  3. Andregradsfaktoren faktoriseres som (x+4)(x-7).
  4. Dermed er P(x)=(x+4)(x+1)(x−7)P(x)=(x+4)(x+1)(x-7)P(x)=(x+4)(x+1)(x−7).
  5. Fortegnsdrøfting gir P(x)≥0P(x)\ge 0P(x)≥0 for x i [-4,-1] eller x≥7x\ge 7x≥7.
  6. Likningen e3x−2e2x−31ex−28=0e^{3x}-2e^{2x}-31e^{x}-28=0e3x−2e2x−31ex−28=0 blir samme faktorisering med exe^{x}ex. Siden ex>0e^{x}>0ex>0, får vi ex=7e^{x}=7ex=7 og x=ln7.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven bruker faktoriseringen på flere delspørsmål og forklarer hvorfor bare ex=7e^{x}=7ex=7 er mulig.

Oppgave 3

3

Aritmetisk rekke

📝 OppgaveSummen av de n første leddene er Sn=2n2+nS_n=2n^{2}+nSn​=2n2+n. Finn a1,a10a1, a10a1,a10, eksplisitt formel og summen til 399. ✅ Modellbesvarelse
  1. Første ledd er a1=S1=2⋅12+1=3a1=S1=2\cdot 1^{2}+1=3a1=S1=2⋅12+1=3.
  2. S10=2⋅102+10=210S10=2\cdot 10^{2}+10=210S10=2⋅102+10=210.
  3. S10=10(a1+a10)/2S10=10(a1+a10)/2S10=10(a1+a10)/2, så 210=5(3+a10)210=5(3+a10)210=5(3+a10). Dermed er a10=39a10=39a10=39.
  4. Differansen blir d=(39−3)/9=4d=(39-3)/9=4d=(39−3)/9=4.
  5. Dermed er an=3+(n−1)4=4n−1a_n=3+(n-1)4=4n-1an​=3+(n−1)4=4n−1.
  6. Når an=399a_n=399an​=399, får vi 4n−1=3994n-1=3994n−1=399, altså n=100n=100n=100.
  7. Summen blir S100=2⋅1002+100=20100S100=2\cdot 100^{2}+100=20100S100=2⋅1002+100=20100.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi eleven kobler sumformel, leddformel og eksplisitt formel presist.

Oppgave 4

4

Grensekostnad og kostnadsfunksjon

📝 OppgaveSammenlign grensekostnad og grenseinntekt ved 400 enheter, finn optimalt nivå og kostnad. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kontrollverdiene gir K′(x)=0,4x+500K'(x)=0,4x+500K′(x)=0,4x+500 og I′(x)=−0,3x+850I'(x)=-0,3x+850I′(x)=−0,3x+850.
  2. Ved x=400x=400x=400 er K′(400)=660K'(400)=660K′(400)=660 og I′(400)=730I'(400)=730I′(400)=730.
  3. Siden grenseinntekten er større enn grensekostnaden, kan økt produksjon gi høyere overskudd.
  4. Størst overskudd får vi når K′(x)=I′(x)K'(x)=I'(x)K′(x)=I′(x): 0,4x+500=−0,3x+8500,4x+500=-0,3x+8500,4x+500=−0,3x+850.
  5. Dette gir x=500x=500x=500 enheter per dag.
  6. Kostnadsfunksjonen kan skrives K(x)=0,2x2+500x+50000K(x)=0,2x^{2}+500x+50000K(x)=0,2x2+500x+50000.
  7. Da er K(400)=282000K(400)=282000K(400)=282000 kr.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven tolker deriverte økonomisk og rekonstruerer kostnadsfunksjonen fra grensekostnaden.

Oppgave 5

5

Logaritmefunksjon

📝 OppgaveDrøft f(x)=ln⁡(x)/xf(x)=\ln (x)/xf(x)=ln(x)/x og en transformert funksjon g(x)=3−6e⋅f(x)g(x)=3-6e\cdot f(x)g(x)=3−6e⋅f(x). ✅ Modellbesvarelse
  1. Med brøkregelen får vi f′(x)=(1−ln⁡x)/x2f'(x)=(1-\ln x)/x^{2}f′(x)=(1−lnx)/x2.
  2. f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 når ln⁡x=1\ln x=1lnx=1, altså x=ex=ex=e.
  3. For 0<x<e er f'(x)>0, og for x>e er f'(x)<0.
  4. Grafen til f har toppunkt i(e,1/e)i (e,1/e)i(e,1/e).
  5. For g(x)=3−6e⋅f(x)g(x)=3-6e\cdot f(x)g(x)=3−6e⋅f(x) blir g′(x)=−6e⋅f′(x)g'(x)=-6e\cdot f'(x)g′(x)=−6e⋅f′(x). Fortegnet snus.
  6. Derfor får g et bunnpunkt ved x=ex=ex=e. Verdien er g(e)=3−6e⋅(1/e)=−3g(e)=3-6e\cdot (1/e)=-3g(e)=3−6e⋅(1/e)=−3.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi eleven bruker fortegnsdrøfting, ikke bare en derivert lik null.

Oppgave 6

6

Normalfordeling og binomisk modell

📝 OppgavePotetvekt er normalfordelt med μ=200\mu =200μ=200 og sigma=40, og selvbetjening modelleres binomisk. ✅ Modellbesvarelse
  1. For potetvekten er P(180<X<220)=P(−0,5<Z<0,5)=0,6915−0,3085=0,383P(180<X<220)=P(-0,5<Z<0,5)=0,6915-0,3085=0,383P(180<X<220)=P(−0,5<Z<0,5)=0,6915−0,3085=0,383.
  2. Sannsynligheten for at en potet veier under 150 g er P(Z<−1,25)=0,1056P(Z<-1,25)=0,1056P(Z<−1,25)=0,1056.
  3. I selvbetjeningsdelen brukes binomisk modell med n=200n=200n=200 og p=0,1p=0,1p=0,1.
  4. Forventningen er E(X)E(X)E(X)=np=20.
  5. Variansen er Var(X)=np(1-p)=200⋅0,1⋅0,9=18200\cdot 0,1\cdot 0,9=18200⋅0,1⋅0,9=18.
  6. Kontrollverdien for P(X≥25)P(X\ge 25)P(X≥25) er omtrent 0,1449.
  7. Hypotesetest for mistanke om lavere andel: H0H0H0: p=0,1p=0,1p=0,1 og H1H1H1: p<0,1. Kontrollkilden gir p-verdi rundt 0,066-0,072, så H0H0H0 forkastes ikke på 5 % nivå.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bruker riktig modelltype i hver del og skiller sannsynlighet fra hypotesetest.

Oppgave 7

7

Camillas aksjefond

📝 OppgaveCamilla sparer i aksjefond fra 11-årsdagen til 20-årsdagen med årlige innskudd og avkastning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kildeutdraget viser at sluttverdien av de 10 innskuddene danner en geometrisk rekke.
  2. Første relevant ledd kan uttrykkes som 12000⋅1,05912000\cdot 1,05^{9}12000⋅1,059, fordi et tidlig innskudd står lenge og vokser med 5 % årlig.
  3. Forholdet mellom påfølgende sluttverdier er 1,061,051,\tfrac{06}{1},051,106​,05 når innskuddene øker med 6 % samtidig som rentetiden blir ett år kortere.
  4. Summen av tidligere saldo og innskuddsrekken gir kontrollverdi omtrent 336 000 kr på 20-årsdagen.
  5. Et sterkt svar viser tidslinjen: når innskuddene skjer, hvor lenge hvert beløp forrentes, og hvorfor dette blir geometrisk.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi tidslinjen styrer modellen, ikke bare en løs sumformel.

Oppgave 8

8

Logistisk smittemodell

📝 OppgaveBestem parametere, tolk bæreevne og finn når smitten øker mest. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kildekontrollen gir parameterverdier omtrent N=0,6,a=39N=0,6, a=39N=0,6,a=39 og k=0,156k=0,156k=0,156 for den logistiske modellen.
  2. N representerer bæreevnen, altså øvre grense for andelen som modellen nærmer seg.
  3. Her betyr N=0,6N=0,6N=0,6 at modellen peker mot at omtrent 60 % av befolkningen blir smittet.
  4. Smitten øker raskest i vendepunktet, der den deriverte av den logistiske modellen er størst.
  5. Kontrollkilden angir at økningen er størst omtrent det sjette døgnet etter at utbruddet oppdages.
  6. Arealet under smittefartsmodellen over et langt intervall tolkes som samlet smittet andel; kontrollverdi omtrent 20 % i den aktuelle delmodellen.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven tolker modellparameterne og den deriverte i praktisk kontekst.

Ofte stilte spørsmål

Hvilken fagkode gjelder for S2 høst 2021?S2S2S2 høst 2021 hører til gammel fagkode REA3028. Den er senere erstattet av REA3062.Hva er de viktigste temaene i S2 høst 2021?Derivasjon, polynomdivisjon, faktorisering, rekker, økonomiske modeller, logaritmefunksjon, normalfordeling, binomisk fordeling, hypotesetest og logistisk modell.Er oppgavekortene direkte kopiert fra eksamen?Nei. De er ifingos egne korte oppgaveformuleringer med egne modellbesvarelser. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk S2

Relaterte sider

Matematikk S2EksamensoppgaverMatematikk

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo